Parcial 1 Sem 3-2014 (resuelto)

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CICLO BÁSICO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA 
CÁLCULO I 0251 
 
31-10-2014 
EXAMEN PARCIAL # 1 (20%) 
 
1. Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones 
a. 





+
>−
−
≤
+
+
4
532
38
4
374
xx
x
x
x
x
 b. 1|2||1| −≤−−+ xxx 
 
 
2. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia de centro 
( )0,2 y radio 3 que pasan por el punto ( )0,1− . 
 
3. Halle la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a la recta que 
pasa por B y C, donde: 
a) A es el centro de la elipse 050508254 22 =−−−+ yxyx . 
b) B es el foco de la parábola 08442 =++− xyx . 
c) C es el centro de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas 
02734 =−− yx y 02134 =−+ yx . 
 
4. Calcule el valor de y , de tal forma que el punto 




 yP ,
3
8
 esté a una distancia 
de 5 unidades del baricentro del triángulo de vértices ( )1,2−A , ( )7,4B y ( )3,6 −C 
 
 
5. Grafique la región del plano cartesiano que satisface el siguiente sistema de 
inecuaciones: 
 







≤
−>
≤+
−≥
4||
1
16
16
22
2
2
x
yx
yx
yx
 
 
Ítem 1a 1b 2 3 4 4 
Puntaje 3 3 3 4 2 5 
 
RECUERDE JUSTIFICAR TODAS SUS RESPUESTAS 
No se permite el uso de calculadoras o formularios 
 
http://red.fau.ucv.ve:8080/static/ciclon/images/ucvpeq1.jpg
http://www.ing.ucv.ve/
1) a) 





+
>−
−
≤
+
+
4
532
38
4
374
xx
x
x
x
x
 
Resolviendo la primera inecuación: 
 
4𝑥 + 37
𝑥 + 4
−
8𝑥 − 3
𝑥
≤ 0 ⇒ 
𝑥(4𝑥 + 37) − (𝑥 + 4)(8𝑥 − 3)
𝑥(𝑥 + 4)
≤ 0 
 
⇒ 
4𝑥2 + 37𝑥 − 8𝑥2 − 29𝑥 + 12
𝑥(𝑥 + 4)
≤ 0 ⇒
−4𝑥2 + 8𝑥 + 12
𝑥(𝑥 + 4)
≤ 0 
 
 ⇒−
4(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
𝑥(𝑥 + 4)
≤ 0 
 
Estudio de signos: 
 
Intervalo: (−∞,−𝟒] ∪ [−𝟏,𝟎) ∪ [𝟑, +∞) 
 
Resolviendo la segunda inecuación: 
 
2 − 𝑥 >
3 + 5𝑥
4
 ⇒ 8 − 4𝑥 > 3 + 5𝑥 ⇒ 9𝑥 < −5 ⇒ 𝑥 < −
5
9
 
Intervalo: �−∞,−𝟓
𝟗
� 
 
Intersectando ambos intervalos 
Solución: (−∞,−𝟒] ∪ [−𝟏,𝟎) ∪ [𝟑, +∞) ∩ �−∞,−𝟓
𝟗
� 
 = (−∞,−𝟒) ∪ �−𝟏,−𝟓
𝟗
� ∪ [𝟑, +∞) 
 
b) 1|2||1| −≤−−+ xxx 
 
Para resolver esta inecuación usamos la definición de valor absoluto: 
 
|𝑥 + 1| = � 𝑥 + 1 𝑠𝑠 𝑥 ≥ −1−(𝑥 + 1) 𝑠𝑠 𝑥 < −1 y |𝑥 − 2| = �
 𝑥 − 2 𝑠𝑠 𝑥 ≥ 2
−(𝑥 − 2) 𝑠𝑠 𝑥 < 2 
 
Hay que estudiar 4 casos: 
 
b.1) 𝑥 ≥ −1 𝑦 𝑥 ≥ 2 
(𝑥 + 1) − (𝑥 − 2) ≤ 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 ≥ 4 Intervalo: [4, +∞) 
 
b.2) 𝑥 ≥ −1 𝑦 𝑥 < 2 
(𝑥 + 1) + (𝑥 − 2) ≤ 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 ≤ 0 Intervalo: [−1,0] 
 
b.3) 𝑥 < −1 𝑦 𝑥 ≥ 2 
−(𝑥 + 1) − (𝑥 − 2) ≤ 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 ≥ 2
3
 Intervalo: ∅ 
 
b.4) 𝑥 < −1 𝑦 𝑥 < 2 
−(𝑥 + 1) + (𝑥 − 2) ≤ 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 ≥ −2 Intervalo: [−2,−1) 
 
La solución final es la unión de todos los intervalos encontrados: 
 
Solución: [𝟒, +∞) ∪ [−𝟏,𝟎] ∪ ∅∪ [−𝟐,−𝟏) = [−𝟐,𝟎] ∪ [𝟒, +∞) 
 
2) Para hallar las rectas tangentes debemos construir la ecuación de la 
circunferencia e intersectarla con una recta genérica que pasa por el punto 
(-1,0). 
 
Circunferencia: (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 3 y la recta genérica: 𝑦 = 𝑚(𝑥 + 1) 
 
Intersectando: (𝑥 − 2)2 + (𝑚(𝑥 + 1))2 = 3 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑚2(𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 3 
⇒ (𝑚2 + 1)𝑥2 + (2𝑚2 − 4)𝑥 + (𝑚2 + 1) = 0 
 
Usando la resolvente: 
𝑥: 
−(2𝑚2 − 4) ± �(2𝑚2 − 4)2 − 4 (𝑚2 + 1) (𝑚2 + 1)
2 (𝑚2 + 1)
 
 
Para que la recta sea tangente a la circunferencia el argumento de la raíz 
debe ser nulo (cero), entonces: 
 
(2𝑚2 − 4)2 − 4 (𝑚2 + 1) (𝑚2 + 1) = 0 ⇒ (2𝑚2 − 4)2 − 4 (𝑚2 + 1)2 = 0 
4𝑚4 − 16𝑚2 + 16 − 4(𝑚4 + 2𝑚2 + 1) = 0 ⇒−24𝑚2 + 12 = 0 
𝑚2 =
12
24
 ⇒ 𝑚 = ±
1
2
 
 
Entonces hay 2 rectas tangentes y son: 
 
𝒚 =
𝟏
𝟐
(𝒙 + 𝟏) 𝒚 𝒚 = −
𝟏
𝟐
(𝒙 + 𝟏) 
 
 
3) Para resolver este problema debemos encontrar los puntos A, B y C 
 
Para A: Centro de la elipse: 4𝑥2 + 25𝑦2 − 8𝑥 − 50𝑦 − 50 = 0 
4(𝑥2 − 2𝑥) + 25(𝑦2 − 2𝑦) = 50 ⇒ 4(𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) + 25(𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 1) = 50 
4(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 25(𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 50 + 4 + 25 
4(𝑥 − 1)2 + 25(𝑦 − 1)2 = 79 
Centro: (1,1) = A 
 
Para B: Foco de la parábola: 𝑥2 − 4𝑦 + 4𝑥 + 8 = 0 
(𝑥2 + 4𝑥) = 4𝑦 − 8 ⇒ (𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4) = 4𝑦 − 8 
(𝑥 + 2)2 = 4𝑦 − 4 ⇒ (𝑥 + 2)2 = 4(𝑦 − 1) 
 
Vértice: (-2,1), p=1, Foco: (-2,2) = B 
 
Para C: Centro de la hipérbola de asíntotas: 4𝑥 − 3𝑦 − 27 = 0 𝑦 4𝑥 + 3𝑦 − 21 = 0 
Donde se intersectan las asíntotas está el centro de la hipérbola: 
4𝑥 − 3𝑦 − 27 = 0 
4𝑥 + 3𝑦 − 21 = 0 
8𝑥 − 48 = 0 ⇒ 𝑥 = 6 
Luego despejando de cualquiera de las rectas 𝑦 = −1 entonces C = (6,-1) 
 
Ahora buscamos la pendiente de la recta BC 
𝑚𝐵𝐵 =
−1 − 2
6 − (−2)
= −
3
8
 
La pendiente de la perpendicular es: 
𝑚⊥ = −
1
𝑚𝐵𝐵
=
8
3
 
Y la ecuación de la recta pedida es: 
(𝒚 − 𝟏) =
𝟖
𝟑
(𝒙 − 𝟏) 
 
4) Primero buscamos el baricentro del triángulo ABC: 
 
𝐵𝐵𝐵𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = �
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐵
3
,
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐵
3
� = �
−2 + 4 + 6
3
,
1 + 7 − 3
3
�
= �
8
3
,
5
3
� 
Ahora usando la ecuación de distancia y el punto P se obtiene una 
ecuación con una incógnita (y) 
𝑑(𝐵𝐵𝐵𝑠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵,𝑃) = ��
8
3
−
8
3
�
2
+ (𝑦 −
5
3
)2 = 5 
�(𝑦 −
5
3
)2 = 5 ⇒ �𝑦 −
5
3
� = 5 ⇒�
𝑦 −
5
3
= 5 ⇒ 𝑦 = 5 +
5
3
 ⇒ 𝑦 =
20
3
𝑦 −
5
3
= −5 ⇒ 𝑦 = −5 +
5
3
 ⇒ 𝑦 = −
10
3
 
Entonces, hay dos valores para y: 𝒚 = 𝟐𝟎
𝟑
 y 𝒚 = −𝟏𝟎
𝟑
 
 
5) Para hallar la región primero buscamos la región asociada a cada 
inecuación: 
 
Para: 𝑥 ≥ 𝑦2 − 16 ⇒ 𝑦2 ≤ 𝑥 + 16 
 
 
 
Para: 𝑥 + 𝑦2 ≤ 16 ⇒ 𝑦2 ≤ −(𝑥 − 16) 
 
 
Para: 𝑥2 > 1 − 𝑦2 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 > 1 
 
 
 
Para: |𝑥| ≤ 4 
 
 
 
Por último, graficando todo en un mismo plano cartesiano tenemos: