GUIA DE EJERCICIOS (TEMA 2)

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FUNCIONES REALES DE 
VARIABLE REAL 
Funciones reales 
de variable real 
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José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 2 
 
 
1. Dada la función 2f(x) 3x 2x 1= + + calcule: 
1.1. f(1) 1.2. f(101) 1.3. f(a) 
1.4. f(a+1) 1.5. (x+2) 1.6. 2f(3x 2)+ 
 
2. Dada la función g(x) ln(x 1)= + calcule: 
2.1. g(0) 2.2. g(4) 2.3. g(e 1)− 
2.4. ng(e 1)− 2.5. g(2x) 2.6. g(a) 
 
3. Encuentre f(x h) f(x)
h
+ − para cada una de las siguientes funciones y simplifique: 
3.1. f(x) 6x 9= − 3.2. 2f(x) x 2x= + 3.3. 3f(x) x= 
3.4. 5
x
f(x) = 3.5. f(x) 3= 3.6. f(x) sen(x)= 
 
4. Sea 
1 x
f(x) log .
1 x
+ =  − 
 
Demuestre que 
x y
f(x) f(y) f .
1 xy
 ++ =  + 
 
 
5. Sea 
1 x
f(x) .
1 x
+=
−
 
Demuestre que 
f(x) f(y) x y
.
1 f(x).f(y) 1 x.y
− −=
+ +
 
 
6. Sean: x x x x1 1
2 2
f(x) (e e ) y g(x) (e e ).− −= + = − Demuestre que 
 6.1. f(x y) f(x).f(y) g(x).g(y)+ = + 
 6.2. f(x).f(x) g(x).g(x) 1− = 
 6.3. f(x).f(x) g(x).g(x) f(2x)+ = 
 
7. Calcule el dominio de las siguientes funciones: 
7.1. 
2
1
f(x)
2x 4x 1
=
+ +
 7.2. 
3 2x 1
f(x)
3x 1
+=
−
 
7.3. 
2
4x 1f(x) x 3
x 4
−= + +
+
 7.4. 2
x
f(x)
x x
=
−
 
 
 
 
 
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 7.5. 
3x
f(x) log
x 5
 
=   − 
 7.6. 2
2x 1
f(x) arc sec
x 1
− =  + 
 
 7.7. f(x) arccos 3 x= + 7.8. 2f(x) 9 x= − 
 7.9. 
3
x 1
f(x)
x 2
−=
+
 7.10. 4f(x) arcsen(log (x))6
π= − 
 7.11.
2
3 4x
f(x)
x 6x 8
−=
+ +
 7.12.
x 2
f(x)
x 3
+=
+
 
 7.13.
3
3
3x 5
f(x)
x x
+=
+
 7.14.
2x 4
f(x)
x 3
−=
+
 
 7.15.
x 2
2
f(x)
1 e +
=
−
 7.16.
x 2
2
f(x)
1 e +
=
−
 
 7.17. x 2f(x) 1 −= − π 7.18. f(x) 1 x= − 
 7.19.
5
f(x)
x x
=
−
 7.20.
x
f(x)
x x
=
−
 
 7.21.
25x x
f(x) log
4
 −=   
 
 7.22.
x 3
f(x) arcsen log(4 x)
2
− = − − 
 
 
 7.23. f(x) log( x 4 6 x)= − + − 7.24. 2f(x) log(1 log(x 5x 16))= − − + 
 7.25.
1
f(x) x 2
log(1 x)
= + +
−
 7.26. 3
1
f(x) x log(2x 3)
x 2
= + − −
−
 
 7.27.
x 2 1 x
f(x)
x 2 1 x
− −= +
+ +
 7.28. 2
1
f(x)
x 1
=
+
 
 7.29.
5 1
f(x)
2x 1 x 2
= −
− +
 7.30.
3 2x
f(x) 3 x arcsen
5
− = − +  
 
 
 7.31. f(x) ln(2x 1 x )= + − 7.32. 2f(x) x 1 2 1 x x 1= − + − + + 
 7.33. 8
2
x(x 4)
f(x) ln 1
(x 2)
 −= +  − 
 7.34. 2
x
f(x) arcsen log
4
  = −  
  
 
 7.35.
2
2
x 1
f(x) log
x.ln(x)
 −=   
 
 7.36.
2xf(x) ln x x 6
x 4
 = + + − − 
 
 7.37.
2x 1
f(x)
log(1 x)
−=
−
 
 7.38. 21 2
3 3
f(x) x x 1 x 1= − − − − 
 7.39.
4
2
4x 9
f(x)
2 sen (x)
−=
−
 7.40.
x
f(x) arcsen log
10
  =   
  
 
 7.41.
2
x
f(x) ln 1
x 1
 
 = −
  −
 
 7.42.
5 1
f(x)
x 22x 1
= −
+−
 
 
 
 
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VARIABLE REAL 
Funciones reales 
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 7.43.
1 1
f(x) 3 1
x x
= − − + 7.44.
2
2
3x 5x 2
f(x) ln
x 4
 − −=   − 
 
 7.45. 2 3f(x) log (log 4 x)= − 
 7.47.
21 x
f(x)
2 ln( x 1 1)
−=
− − +
 
 7.49.
x 1
3 2
x.e
f(x)
x 7x 12x
−
=
− +
 
 7.46. f(x) arcsen(ln x 5)= − 
 7.48.
2
(x 1)(x 2)
f(x)
(x 1) (x 3)
− −
=
+ −
 
 7.50.
2
x 10
f(x) arcsen 1
x 1 x 3x
 = + − +  −
 
8. En cada caso indique (justificando su respuesta) si f y g son iguales: 
8.1. 
x 1
f(x) 1, g(x)
x 1
+= =
+
 
8.2. 2f(x) cos(x), g(x) 1 sen (x)= = − 
8.3. 
 
 
 
2x 2 si x 2
f(x) 2 si 2 x 0, g(x) x 2 x
2x 2 si x 0
− − ≤ −
= − < ≤ = + +
 + >
 
 
9. Decida si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos. Justifique su 
respuesta. 
9.1. f(x) x= 9.2. 2g(x) x 3= − 
9.3. h(x) 5= 9.4. f(x) sec(x)= 
9.5. k(x) tg(x)= 9.6. 3f(x) 2x 3x= − 
9.7. f(x) x cos(x)= 9.8. 5f(x) x 5= + 
9.9. 3 2f(x) 4x 2x= + 9.10. 3 2f(x) x x= + 
9.11. 3f(x) x 1= + 9.12. f(x) sen(x)= 
9.13.
2x
g(x)
sen(x)
= 9.14.
x
h(x)
1 x
=
+
 
9.15.
3x
f(x)
2x 4
=
+
 9.16.
x
f(x)
1 2x
=
+
 
9.17.
2
2
g(x) x ln
x
 =  
 
 9.18.
1 x
f(x) ln
1 x
− =  + 
 
9.19.
2xf(x) e cos(x)= + 9.20.
2f(x) ln(x )= 
9.21. 2g(x) sen(x ) cos(x)= + 9.22. f(x) sen(x) cos(x)= + 
9.23.
ax 1
g(x)
ax 1
+=
−
 9.24. 
 
2csc(x ) si x 0
f(x)
cos(x) si x
 ≥= 
≤ −π
 
 
10.Una función es periódica de período 5 y f(x) 2x 3= + si 0 x 5,≤ < calcule f(18). 
 
 
 
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11.f es periódica, de período 3 y 
1
f(x)
x
= si 0 x 3,< ≤ calcule 19f .
3
 
 
 
 
 
12.Construya el gráfico de una función f(x) impar de período 4, sabiendo que 
 
 2
1 si 0 x 1
f(x)
x si 1 x 2
< ≤= 
< <
. 
 
13.Determine cuáles de las funciones que se dan son periódicas y en los casos que 
corresponda, dé su período: 
13.1. 
x
f(x) tg
3
 =  
 
 13.2. 
x
f(x) tg
2
 =  
 
 
13.3. f(x) 3cos(3x 1)= − 13.4. f(x) sen(3x) cos(4x)= + 
13.5. 2f(x) cos (x)= 13.6. 2f(x) 5 sen(x )= + 
13.7. f(x) 3sen(2x 1)= − + 
 
13.8. *f(x) sen(ax) cos(bx) , a,b N= + ∈ 
14.Represente las siguientes funciones como composición de funciones elementales: 
 14.1. 2f(x) cos (x 3)= + 
 14.2. 
3
1
f(x)
x 1
=
−
 
 14.3. 
3(x 1)h(x) 1 e −= + 
 14.4. 23g(x) sen((x 2) )= − 
 14.5. 
(x 4)
1
g(x)
4 −
= 
 
15.La función f tiene como dominio el intervalo [ 1,1]− . Determine el dominio de f g� siendo: 
15.1. g(x) x= 15.2. g(x) sen(x)= 
15.3. g(x) ln(x)= 
15.4. 
 
 
x 3 si x 0
g(x)
x 3 si x 0
+ ≤
=  − >
 
 
16.Dada la función g(x) x 1= + y 2(f g)(x) cos(x 1),= −� halle f(x). 
 
17.Dada la función 3g(x) x 1= − y x 1(f g)(x) ln ,
x 1
+ =  − 
� halle f(x). 
 
18.Dada 
3
3
7x 8
f(x) ln
9x 10
 +=   − 
 y (f g)(x) cos(x),=� halle g(x). 
 
 
 
 
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19.Dada f(x) 2x 1= − y 2(f g)(x) 2x 3x 1,= − + −� halle g(x). 
 
20.Halle f(x) siendo g(x 2) sen(x)+ = y (f g)(x) ln(x 3).= +� 
 
21.Si las siguientes funciones están definidas respectivamente por: xg(e 2) tg(x)+ = y 
2(f g)(x) x 5,= +� halle f(x). 
 
22.Sean las funciones definidas por 3f(g(x 2)) 9x 8+ = + y 3x 2f(x) e .+= Calcule g(x). 
 
23.Sean las funciones definidas por 2(f g)(x) 1 x 1= − + +� y 
x x
x x
3 3
f(x) 1.
3 3
−
−
−= +
+
 Halle g(x). 
 
24.Si se tiene g(x 2) tg(x) y (f g)(x) ln(x 3),+ = = +� calcule f(x). 
 
25.Halle f(x) siendo 3g(x 1) cos(x)− = y (f g)(x) arcsen(x 2).= −� 
 
26.Dada la función definida por 
x x
x x
e e
h(x)
e e
−
−
−=
+
 determine, si es posible, la función inversa y 
hallarla. 
 
27.Sea 3f(x) 1 log (x) para 0 x 3.= − < ≤ Determine, si existe, la función inversa y en caso 
afirmativo, encuentrela. 
 
28.Demuestre que f y g son inversas una de la otra: 
 28.1. 
1
f(x) sen(2x 1), g(x) ( 1 arcsen(x))
2
= + = − + 
 28.2. xf(x) ln(x 1), g(x) e 1= − = + 
 28.3. 
x x
3x x
3 3 1 x 1
f(x) , g(x) log
2 x 13 3
−
−
+ + = =  −−  
 
 
29.Partiendo de funciones elementales, mediante traslaciones, reflexiones, etc., construye el 
gráfico de las funciones dadas: 
 29.1. 
1
f(x) 2 arcsen(x 1)
2
= − + 
 29.2. f(x) log(3x 3)= + 
 29.3. 
x 1
1
f(x) 5
3
− +
 = −  
 
 
 29.4. f(x) 4 log(2x 1)= + − 
 
 
 
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 29.5. f(x) 2 2 cos(6x 2)= − − 
 29.6. f(x) 2 arc sec(3x 3)= + + 
 29.7. f(x) 2 log(3 x)= − − 
 29.8. f(x) 3sen(2x )= − π 
 29.9. f(x) ln(x 1) 2= + − 
 29.10. f(x) 2 2 arctg( 2x)= π − π − 
 29.11. f(x) 2 x 1= − − 
 29.12. f(x) 1 2cos( x)= − π 
 29.13. f(x) 2 2cos(4x )= − − π 
 29.14. f(x) 3 2 x 1 1= − − − 
 
30.Grafique la siguiente función e indique cuál es su rango: 
 
 
 
2
2
1 2sen( x ) si 5 x 3
f(x) log (x 1) si x 3
(x 5)
2 si 3 x 7
2


− π + π − ≤ < −
= − ≤

 −− < ≤

. 
 
31.Grafique la siguiente función, determinando partes crecientes y decrecientes: 
4 2 x 4 x 4
f(x) 4 x 4
x x 4
 − − < <
= ≥
 − < −

. 
 Grafique f( x ) y f(x) 1− + . 
 
32.Grafique y determine el rango de la siguiente función: 
 
 
 
2
2
2
x 2 x si x 3
f(x) 2 1 (x 4) si 3 x 5
cos( (x 5)) si 6 x 12π
 − <


= + − − ≤ ≤
 − < ≤


.