Relatividad_especial

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Repaso de Relatividad Especial
Por 
conveniencia 
se toma C=1
Esquema del diagrama de Minkowsky plano
η=(
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
)Geometría SO(1,3)
 
Relatividad Especial
En el caso de coordenadas esféricas
η=(
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −r2 0
0 0 0 −r2 sen(θ)
)
η−1=(
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 − 1
r2
0
0 0 0 − 1
r2 sen(θ)
)
Xμ=(t ,r ,θ ,0)t
X ν=ημ ν X
μ
Xμ=(t ,−r ,−r
2θ ,0)
 
Localidad y Causalidad
 
Estructura causal
Las trayectorias del 
universo deben hallarse 
siempre dentro de los 
conos de luz ortocrónicos
 
Pasado causal
Plano de simultaneidad de 
radio 1’’ luz
Visible invisible H
=
C
t
Futuro causal
Futuro anti-causal 
Aproximación Humana
Ha
z d
e l
uz
 
x0
=
C
t
x1
Pum!
Supernova
E
vo
lu
ci
ón
 c
on
o s
 c
au
s a
le
s
Veo una 
supernovaYo veo una estrella
Estrella
Po no puede 
comunicar a 
Tinky porque la 
velocidad a la 
cual debe viajar 
la información >C
 
Po no puede porque está fuera del 
cono causal futuro de twinky
Dispy si puede porque está dentro 
del cono causal futuro de twinky
x0
=
C
t
x1
En relatividad se 
puede viajar al futuro, 
no así al pasado
 
Invariantes
Si Xμ∈M 4 Todo invariante es de la forma a= f (X
μ Xμ)
S2=X μ Xμ
C
m0 Masa propia
τ Tiempo propio
Cuadrivelocidad
Xμ( τ)∈M 4
V=d X
d τ
=( ∂ t∂ τ ,
∂ r̄
∂ τ )
t
∂ t
∂ τ=γ
∂ r̄
∂ τ=
∂ t
∂ τ
∂ r̄
∂ t
V=(γ , γ v̄)t
‖V‖M
2 =V t ηV=1
 
Cuadrivelocidad
La suma de velocidades con respecto al tiempo coordenado “t”
th (α)=β=v th (α1+α2)=
th (α1)+ th(α2)
1+ th(α1)th(α2)
=
v1+v2
1+ v1 v2
v=
v1+v2
1+v1 v2
Cuadri-aceleración
‖V‖M
2 =1 d V
μ
d τ V μ=0
aμ=d V
μ
d τ
aμV μ=0
 
Haces de Luz
Se define como vector de onda Kμ=(ω , k̄)=(k0 , k1 , k2 , k3)t
Tal que para una onda en el vacío ‖K‖M=ω
2−k2=0 En un futuro se llamarán
Killing nulos
La fase es ϕ=Kμ X
μ=ω t−k̄⋅̄r En 1+1 (por simplicidad) 
ω '=γ(ω−βk)
k '=γ(−βω+k)
 
Doppler relativista
f '=γ(f−β/λ)
λ f=1
f '
f
=√1−β1+β Doppler longitudinal
ω '=γ(ω−βk)
k=0
f '
f =γ Doppler transversal
Si la velocidad de fase es: μ=ωk
μ<1
μ=1
μ>1
Material o time-like
Nula o lumínica
Súper lumínica o space-like
 
Cuadrimomento
pμ=(E , p̄) ‖p‖M=E
2−p2=m2
Masa propia o en reposo
E=√m2+ p2
E≠mC 2
E '=γ(E−β p)
p '=γ(−βE+ p)
En 1+1 (por simplicidad)
Se puede halla un sistema en el cual p '=0
E=γ E '
p=βE
 
Ley de Newton, ley de conservación
La 2da ley de Newton covariante es: Fμ= dd τ p
μ Fμ=γ( f̄⋅̄β , f̄ )
d E
d τ =γ
d E
d t =γ f̄⋅̄β
d p̄
d τ=γ
d p̄
d t =γ f̄
∑Fμ=0 ∑ pμ=Pμ Permanece constante
Ley de conservación
 
Transformación de la fuerza
f '0=γ(f 0−β f 1)
f '1=γ( f 1−β f 0)
En 1+1
Donde f
0=γ f̄⋅̄β=γW
f 1=γ f
Si f es perpendicular a β
Si f es paralelo a β
W=0
W= f β
Si f es perpendicular a β
Si f es paralelo a β
f=f ' / γ
f=f '
Se puede mostrar que la presión
Es un invariante 
 
Momento angular
Se define como momento angular relativista al tensor antisimétrico
M=(
0 X0 p1−X1 p0 X 0 p2−X 2 p0 X 0 p3−X 3 p0
−X 0 p1+X1 p0 0 L z Ly
−X 0 p2+X 2 p0 −L z 0 Lx
−X 0 p3+X3 p0 −L y −Lx 0
)
Mμ ν=Xμ pν−pμ X ν
X 0=t
p0=E
N̄=t p̄− X̄ E Vector de Penrose
 
Momento angular
∑
i
N̄ i=N̄Si se conserva
Centro de energía R̄=
∑
i
x̄i Ei
∑
i
Ei
Tal que
d N̄
d t =0
R̄(t)=
∑
i
p̄i
∑
i
Ei
t
 
Energía cinética
Se define como energía E=∫ β̄⋅d p̄
E=β̄⋅p̄−∫ p̄⋅d β̄=m γ
Integrando por partes
Se define como energía cinética a
T=E−m T=m(γ−1)
β→0
T→12 mβ
2
 
Tensor energía impulso
Fluido material perfecto Tμ ν=(ρ+P)V μV ν−P gμ ν
T=(
ρ 0 0 0
0 P 0 0
0 0 P 0
0 0 0 P
)Materia polvorienta
Tμ ν=Fμλ Fν
λ−14 gμ νFαβF
αβCampo EM
Ley de conservación es: ∇⋅(∑
i
T i)=0
 
Torque sin poder 
F2
F1
B
A
O
Para el sistema co-movil OA=OB=L F1=F2=F
F1 L−F2 L=0
Para el sistema no co-movil
β̄
OA '=OA=L F '1=F1
OB=OB ' / γ F2=F '2/ γ
F1 L−F2 L/ γ
2=β2 F L≠0
 
Termodinámica relativista
Eintein y Møller propusieron que la entropía debe ser un invariante relativista, 
junto con la presión
Møller et al. Propusieron que la masa de un sistema termodinámico debe ser:
m=H /C2 Y no... m=E /C2
Luego el momento lineal será: ḡ=H β̄ Para C=1
Y la entalpía se transforma como H '=γH En cambio la energía interna U '=γU+P V β2/ γ
T '=T / γ Q'=Q / γCoherentes con la 
dilatación del tiempo
d Q=d U+P dV−β̄⋅ḡ
De acuerdo a estas 
ideas un sistema al 
ser calentado 
adquiere masa
 
Teoría de Loedel
Se denomina aberración de la luz o aberración de Bradley (1725) a la diferencia 
entre la posición observada de una estrella y su posición real, debido a la 
combinación de la velocidad del observador y la velocidad finita de la luz.
El ángulo de aberración es sen(α)=
v
C=β
cos(α)=√1− vC= 1γ
 
Diagrama de Loedel
Ct
X
Observador en la tierra
C
 t’
X’
Observador en la estrella
 
Transformaciones de Loedel
X’C
 t’
Ct
X
t=x sen(α)+t ' cos(α)
x=x ' cos(α)+t sen(α)
Evento
Como desafío mostrar que:
 
Teoría de Loedel
t=x sen(α)+t ' cos(α)
x=x ' cos(α)+t sen(α)
t '= 1
cos (α)
(t−x sen(α))
x '= 1
cos(α)
(x−t sen(α))
sen (α)=v=β
Ángulo de 
aberración
 
Teoría de Loedel
S2=(t ' )2−(x ')2=t2−x2 se verifica!!
Λν
μ=(
1
cos(α)
−tg (α)
−tg (α) 1
cos(α)
)=I /cos(α)−tg (α)A η=(1 00 −1)
 
Equivalencias
β̄
−β̄/2 β̄/2
Loedel
Minkowsky
Sistema auxiliar
 
La gravedad no es una fuerza
t τ
X
Tiempo propio
Tiempo 
coordenado
Se detiene en (t,x)
Caída libre en (t,x)
d2 X
d τ2
=0
d2 X
d τ2
≠0
MRU en (τ,x)
t=f (τ)
 
La gravedad no es una fuerza
En (τ,x) : d
2 X
d τ2
=0
d
d τ
= d t
d τ
d
d t
a= d
2 X
d t2
=− d
2 t
d τ2
(d τ
d t
)
2 d X
d t
a=− d
2 t
d τ2
( d τ
d t
)
3 d X
d τv=
d X
d τ
=cte
Aceleración en (t,X)
a=Q v=g=cteQ=− d
2 t
d τ2
( d τ
d t
)
3
t (τ)=√ 2 τQ +c1+c2
 
La gravedad no es una fuerza
La gravedad es debida a la transformación “activa” del sistema coordenado rectilíneo a 
uno donde el tiempo sea curvo.
Un objeto en caída libre se mueve con MRU ya que se mueve en una geodésica, 
desapareciendo la fuerza peso.
Un objeto detenido está acelerado en el sistema propio y aparece la fuerza peso.
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