Geometrias_metricas_killing

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Geometrías, métricas y campos de 
Killing
 
Derivada de Lie en una variedad 
diferenciable
 
Carta local en M
xα(0) xα(ϵ)
Γ1
xα(ϵ)=xα(0)+Dλ x
α
(0) ϵ+
1
2 !
Dλ
2 xα(0)ϵ2+⋯
xα(ϵ)=eϵD λ xα(0)
Γ2
xα ' (ϵ)
Luego para cada una de las curvas
xα(ϵ)=eϵD λ xα(0) x
α ' (ϵ)=eϵDρ xα(0)
Haciendo un desarrollo de Taylor
Aα es el vector tangente a Γ1 en el cero
Bα es el vector tangente a Γ2 en el cero
Aα
Bα
 
Carta local en M
xα(0)
Γ1
Γ2
Xα(P2)=e
ϵDρ eϵDλ xα(0)
Xα(P2 ' )=e
ϵDλ eϵ Dρ xα(0)
Γ2
Γ1
Δ xα=xα(P2)−x
α
(P2 ') eϵD≈1+ϵD+
1
2
ϵ
2D2+O (ϵ3)
Δ xα=ϵ2(DρDλ−DλDρ)x
α
(0)
Aα=Dλ x
α
(0) B
α
=Dρ x
α
(0)
Δ xα=ϵ2(Dρ A
α
−DλB
α
)xα(0)
Dρ A
α
=
∂ Aα
∂ xβ
d xβ
d ρ
=Bβ ∂ A
α
∂ xβ
DλB
α
=
∂Bα
∂ xβ
d xβ
d λ
=Aβ ∂B
α
∂ xβ
Δ xα=ϵ2(Bβ
∂ Aα
∂ xβ
−Aβ
∂ Bα
∂ xβ
) xα (0)
LB A
α
=Bβ
∂ Aα
∂ xβ
−Aβ
∂Bα
∂ xβEs la derivada de Lie de flujos
 
LB A
α
=0⇔ xα (P2)=x
α
(P2 ' ) Es decir el flujo del campo permite caminos cerrados
Ejemplo: A=e1 y B=− y e1+x e2 luego:
LAB
1
=A1∂xB
1
+A 2∂ yB
1
−B1∂x A
1
−B2∂ y A
1
=0 LAB
2
=1
LAB=e2
LB A
α
=Bβ∇β A
α
−Aβ∇βB
α Derivada de Lie para una geometría 
no euclidea de vectores contra-
variantes
 
Propiedades:
LA (α X+βY )=αLA X+βLAY
LA (X Y )=(LA X )Y +X (LAY )
LA f=A
α ∂ f
∂ xα
si: f :M→ℝ
AαBα :M→ℝPara hallar la derivada de Lie de un vector co-variante se puede usar el hecho que
luego: Lu(A
αBα)=u
ρ
∂ρ(A
αBα) de la tercera y segunda propiedad resulta
LB Aα=B
β
∇β Aα+Aβ∇αB
β
En el caso de tensores:
LuT
μ ν
=uβ∇βT
μν
−T αν∇αu
μ
−T μ α∇αu
ν
LuTμ ν=u
β
∇βT μν+T α ν∇ μu
α
+Tμ α∇ ν u
α
 
Lu g=0⇔∃
Suponiendo que se conoce la métrica, g, en M diferenciable, luego:
una isometría en la dirección de dicho campo vectorial “u”
Lu gμ ν=u
β
∇βgμ ν+gα ν∇ μu
α
+gμ α∇ νu
α ∇β gμ ν=0 gβν∇μu
β
=∇μuν
a dicho campo se lo llama campo de Killing
∇μuν+∇ νuμ=0 Ecuaciones de Killing
 
Corolario del teorema de Nöether:
Cada isometría en M generada por un campo de Killing, está 
asociado a una cantidad dinámica que se conserva en los flujos 
del campo
Ejemplo: La métrica intrínseca de la esfera es: d S2=a2(d θ2+sen(θ)2dφ2) luego las conexiones
afín no nulas son: Γφ θ
φ
=Γθ φ
φ
=cot (θ) y Γφφ
θ
=−
1
2
sen(2θ)
Si μ=ν=θ , de Γθθ
μ
=0 ∇ θκθ=∂θκθ=0resulta entonces: κθ=f (φ) (1)
Si μ=ν=φ⇒∇φ κφ=0 por otro lado ∇φκφ=∂φ κφ−Γφφ
θ
κθ=0 de (1) resulta
∂φκφ+
1
2
sen(2θ) f (θ)=0 integrando resulta κφ+
1
2
sen(2θ)∫ f (φ)d φ=g(θ) (2)
 
Si μ=φ ν=θ⇒∇φκθ+∇ θκφ=0 donde: ∇φκθ=∂φκθ−Γφθ
φ
κφ ∇ θκφ=∂θκφ−Γθ φ
φ
κφy
lo que resulta ∂φκθ+∂θκφ−2ctg(θ)κφ=0 de (2) y (1), operando resulta la identidad
∫ f (φ)dφ+ f ' (φ)=2ctg (θ)g (θ)−g ' (θ)=C la cual debe ser una constante (*), entonces
(*) para que valga la identidad h(x)=g(y), esta debe ser 
idéntico a una constante.
2ctg (θ)g(θ)−g ' (θ)=C⇒ sen2(θ)(C ctg (θ)+B)
∫ f (φ)dφ+ f ' (φ)=C⇒ f (φ)=A cos(φ)+Dsen(φ)
Sin perdida de generalidad tomo 
C=0 por lo que las componentes co-
variantes serán:
κθ=A cos(φ)+D sen(φ)
κφ=−
1
2
sen(2θ)(A sen(φ)−D cos(φ))+B sen2(θ)
Luego por medio del tensor métrico se llega a: κ=κθ∂θ+κ
φ
∂φ≡−A Lx+D Ly+B L z
 
Curvas integrales o congruencias
Si se considera el campo vectorial U=Uμ eμ∈TM las congruencias, o curvas integrales
o flujo del campo vectorial son las soluciones del sistema de ecuaciones ordinarias
d xμ
d λ
=U μ(x)
xμ (0)=x0
μ
Si se considera U=x ∂t+ t ∂x
d t
d λ
=x
d x
d λ
=t
t (λ)=A ch(λ)+B sh(λ)
x (λ)=A sh(λ)+Bch (λ)
t 2−x2=C
 
Leyes de conservación
Campos de Killing Congruencias Dejan invariante a la métrica
El número de campos de Killing es: n(n+1)
2
Por ejemplo en E3 hay 6 campos, 3 traslaciones y 3 rotaciones. En M
4
 hay 10 
campos asociados a los grupos de Poincaré. Todos ellos están asociados a leyes 
de conservación.
 
Si Xα(τ) es una trayectoria geodésica, entonces esta debe satisfacer
d2 Xα
d τ2
+Γβγ
α d Xβ
d τ
d X γ
d τ
=0
Si V=
d Xμ
d τ
eμ a=
d
d τ
(V μ eμ)=
d V my
d τ
eμ+V
μ d eμ
d τ
d eμ
d τ
=V αΓμ α
γ eγ
a=(
d V γ
d τ
+V αV βΓαβ
γ
)eγ
Xα(τ) es una geodésica si y solo si la cuadri-aceleración es nula 
 
Proposición
Toda cantidad conservada en una geodésica debe ser de la forma
C=V⋅κ
donde “k” es un campo de Killing. 
Lema auxiliar: si S es un tensor simétrico y T un tensor arbitrario, entonces se verifica
SαβT αβ=
1
2
Sαβ(T αβ+T βα)
La demostración de la proposición se deja como ejercicio
 
Campos de Killing Congruencias Dejan invariante a la métrica
Responden a una ley de 
conservación
Geodésica
Por ejemplo si un campo de Killing fuese: κ=e0=∂t luego C=V⋅κ=V
0
=
d t
d τ
=γ=
E
m
entonces V⋅e0=
E
m
E=p⋅e0
Análogamente κ=x∂ t+ t ∂x x p0−t px=N escalar de Penrose
 
Killing nulos o no materiales
Un campo de Killing se dice “material” si está asociado a cantidades 
conservadas que poseen masa propia.
En estos casos no se parametriza con el tiempo propio, sino con un parámetro arbitrario
Para el caso de un haz de luz ( dtd λ )
2
−( dxd λ )
2
=0 Si ~K es el cuadrivector de onda
entonces ~K⋅~K=gαβK
α Kβ=0
(K 0)2 g00−K̄⋅K̄=0
|K̄|=√g00|K
0
|
~K=K 0e0+√g00|K
0
|eK
 
Tiene sentido hablar de energía de un haz de luz si e
0
 es un vector de Killing
E=~K⋅κ=~K⋅e0=K
0 g00
energía del haz de luz, el cual se conserva
K 0=
E
g00
~K=K 0e0+√g00|K
0
|eK
~K=
E
g00
e0+
E
√g00
eK
f '=
f
√g00
Corrimiento al rojo 
gravitacional para un 
observador lejano
 
Métrica de Schwarzschild d S
2
=(1−2M
r
)dt 2− d r
2
1−2M
r
−r2dΩ2
Si se emite un fotón de frecuencia “f” en r=R (> 2M), su 
corrimiento gravitacional para un observador lejano será
f '=
f
√1−2MR
Métrica de Born d S2=(1−r2ω2)dt 2−2 r2ωdθ dt−dr2−r2d θ2
f '=
f
√1−R2ω2
 
Distancias e intervalos tiempo
 
En RG Xµ puede representar una cuaterna arbitraria donde X0 es la marcha de una 
medición de tiempo en escala arbitraria. Se define como tiempo propio a:
d S2=gμ νdX
μ dX ν dX=dX
0e0 con dX
i
=0
d τ=d S2=g00(d X
0
)
2 d τ=√g00 dX
0
En RE un diferencial de distancia de dos sucesos ocurre cuando son simultáneos, 
dX0=0, pero en RG esto no es posible, pues hay métricas que no permiten la 
simultaneidad. Para resolver esto se hace uso de haces de luz (ficticios) y se 
mide la diferencia de tiempo propio en ir y volver.
 
t
x
dl
A B
X 0
X 0+dX 1
0
X 0+dX 2
0
El diferencial de distancia será: dl=
1
2 √
g00 (dX 2
0
−dX 1
0
)
dS2=gi jdX
idX j+2 g0i dX
0dX i+g00(dX
0
)
2
=0
Para los haces de luz
despejo dX0 como si fuese un número
dX 1
0
=
1
g00
(−g0 idX
i
−√Δi j dX
i dX j)
dX 2
0
=
1
g00
(−g0 idX
i
+√Δ i jdX
idX j)
dl=
1
2 √
g00 (dX 2
0
−dX 1
0
)
Δ i j=g0 i g0 j−gi j g00
dl2=(
g0 i g0 j
g00
−gij)dX
i dX j
 
Se llama métrica inducida espacial a: γ i j=
g0 i g0 j
g00
−gij
Métrica estacionaria y estática
Se dice que la métrica es estacionaria si y 
solo si, se puede hallar un sistema 
coordenado tal que 
∂X 0g=0
Una métrica se dice estática en un 
sistema coordenado si y solo si: g0 i=0 como consecuencia
dl2=−gij dX
i dX j
γ i j=−gij
 
Simultaneidad
t
x
dl
A B
X 0
X 0+dX 1
0
X 0+dX 2
0
En RG a veces se puede sincronizar dos escalas 
de tiempo y a veces no, se define como intervalo 
de tiempo estándar entre dos eventos a:
dX 0=
1
2
(dX 1
0
+dX 2
0
)
dX 1
0
=
1
g00
(−g0 idX
i
−√Δi j dX
i dX j)
dX 2
0
=
1
g00
(−g0 idX
i
+√Δ i jdX
idX j)
dX 0=−
g0 i
g00
dX i
En el caso de una métrica estática siempre es 
dX0=0, por lo que es posible hallar planos de 
simultaneidad, pero no es posible en una métrica 
estacionaria.
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