28 Modelo de Ising

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Transición en el Modelo de
Ising.
1. Introducción.
El modelo de Ising es un hamiltoniano modelo simple, introducido para tratar el fe-
rromagnetismo. Fue propuesto originalmente a principios de la década de 1920 por
Wilhelm Lenz en un intento de explicar el ferromagnetismo desde los primeros prin-
cipios microscópicos. Esto fue después de que Weiss introdujera el modelo de campo
medio para el ferromagnetismo, pero antes del advenimiento del intercambio modelo
cuántico de intercambio de Heisenberg (que usamos para motivar el campo medio de
Weiss, aunque no fue aśı históricamente). Este modelo pre-cuántico comprende un
conjunto de momentos magnéticos, cada uno de los cuales tiene dos estados posibles:
puede apuntar en paralelo o en antiparalelo a una dirección determinada. Lenz teńıa
la esperanza de que este simple modelo interactuante exhibiera una transición ferro-
magnética. Lenz planteó esto como un problema para su estudiante Ernst Ising. Ising
fue capaz de resolver solo el caso unidimensional y se decepcionó al descubrir que no
hab́ıa transición de fase. No fue hasta la década de 1940 que Lars Onsager resolvió
el caso bidimensional, dando una transición ferromagnética a una temperatura finita.
Sin embargo, el modelo de Ising tridimensional aún no está resuelto; probablemente
no admite una solución anaĺıtica.
Nótese que el modelo de campo medio (Weiss) y sus predicciones son independientes
de la dimensión espacial. Dentro de ese contexto, el descubrimiento de la diferencia
entre el caso unidimensional y bidimensional del modelo de Ising fue bastante sor-
prendente. Además, es importante porque, a pesar de su origen magnético, se puede
aplicar a una variedad de sistemas f́ısicos diferentes. Este es un ejemplo del fenómeno
de la universalidad en las transiciones de fase. Quizás aún más importante sea el
hecho de que el modelo de Ising en dos dimensiones se haya resuelto anaĺıticamente.
Este es uno de los pocos modelos microscópicos de sistemas interactuantes que se ha
resuelto exactamente para exhibir una transición de fase.
El modelo de Ising es un modelo en la red, como el de Heisenberg; los momentos
se fijan en los sitios. A menudo se consideran interacciones solo entre vecinos más
cercanos. El parámetro de orden es un escalar: el valor esperado del ”spin”de Ising.
La perspicacia de Lenz consistió en eliminar todos los aspectos superfluos del ferro-
magnético manteniendo la esencia del sistema que conduce a una transición.
1
El modelo de Ising involucra las enerǵıas de pares vecinos de momentos magnéticos.
Denotaremos las direcciones en las que los momentos pueden apuntar como arriba y
abajo. En caso de estar paralelos los spines vecinos tendrán una enerǵıa ε↑↑ , mien-
tras que los vecinos antiparalelos tendrán otra, ε↑↓.
Si la enerǵıa del caso paralelo es energéticamente favorable, ε↑↑ < ε↑↓ la fase or-
denada será ferromagnética. En cambio cuando se favorece el estado antiparalelo
ε↑↑ > ε↑↓ la fase ordenada será antiferromagnética.
Lo notable del modelo de Ising es que se puede aplicar a cualquier modelo que repre-
sente situaciones de enerǵıa binaria. Como uno de tantos ejemplos, en una mezcla
binaria de átomos A y átomos B. Aqúı también la interacción depende de los vecinos
más cercanos. Podemos asignar a los átomos A el ’spin arriba’ y a los B el ’spin aba-
jo’. El análogo de la transición ferromagnética será la separación de fases, cuando
los átomos A se juntan entre ellos y lo mismo hacen los B. Si en cambio es favorable
que los átomos A y B sean vecinos, tendremos el análogo del antiferromagneto, y el
sistema estará en una estructura de superred.
Vemos cómo, interpretando los parámetros de manera apropiada, el modelo de Ising
puede usarse para describir una variedad de sistemas f́ısicos. En lo que sigue usare-
mos el lenguaje del caso magnético, pero la generalización a otros sistemas es sencilla.
2. Modelo de Ising y campo medio.
El modelo de Ising (ferromagnético) está formulado sobre una red en la cual en cada
sitio el spin puede apuntar hacia arriba (+1) o hacia abajo (1).
Ĥ = −~J
∑
〈i,j〉
Szi S
z
j (1)
donde otra vez sumamos sólo sobre primeros vecinos 〈i, j〉 1.
Notemos que este es tan solo un término del modelo de Heisenberg, o sea tan solo la
parte zz del producto escalar Si·Sj. Aśı, el modelo de Ising puede ser un caso especial
del modelo de Heisenberg, que se puede dar cuando hay anisotroṕıas espaciales (por
ejemplo en una superficie sobre la cual está depositada una molécula magnética)
que hacen que la enerǵıa de intercambio ~J sea anisotrópica espacialmente y valga
1Cada par de spines se cuenta una sola vez en la suma
2
Mel
-1
Jz � Jx, Jy.
De ahora en adelante absorveremos a ~ en J , de manera que J tendrá unidades de
enerǵıa.
Con campo mangético, el hamiltoniano queda
Ĥ = −J
∑
〈i,j〉
Szi S
z
j − ~γB
N∑
i=1
Szi (2)
donde J es positivo (ferromagnético), N el número de sitios de la red y el campo
externo B apunta en la dirección z.
Como veremos, en dimensiones superiores a 1, el modelo de Ising tiene dos fases
distintas, a saber una fase paramagnética en la que sus spines están desordenados
debido a fluctuaciones térmicas, y una fase ferromagnética en la que sus spines se
alinean preferentemente en una dirección. Estas dos fases están separadas por una
transición de fase a una temperatura cŕıtica T = Tc debajo de la cual el sistema se
vuelve ferromagnético. Esto es totalmente análogo a lo que sucede con el modelo
de Heisenberg. Podemos distinguir cuantitativamente estas dos fases mediante el
parámetro de orden, la magnetización M .
3. Campo medio
Trataremos al hamiltoniano en campo medio.
Szi = 〈Szi 〉+ δSzi (3)
donde las fluctuaciones alrededor del valor medio están dadas por:
δSzi = S
z
i − 〈Szi 〉 (4)
El término de interacción Szi S
z
j es entonces
Szi S
z
j = (〈Szi 〉+ δSzi )(〈Szj 〉+ δSzj )
= 〈Szi 〉〈Szj 〉+ 〈Szi 〉δSzj + 〈Szj 〉δSzi + δSzi δSzj (5)
Ahora asumiremos que las fluctuaciones son pequeñas, despreciando el último término,
cuadrático en las fluctuaciones
δSzi δS
z
j = 0 (6)
3
Esto es en lo que consiste hacer campo medio: asumir que las fluctuaciones son
pequeñas. Por ello no funcionará bien en 1D (donde las fluctuaciones son muy im-
portantes) pero notablemente, tal como en el caso del campo medio del modelo de
Heisenberg, podrá predecir semicuantitativamente los exponentes cŕıticos.
Podemos escribir entonces
Szi S
z
j ' 〈Szi 〉〈Szj 〉+ 〈Szi 〉δSzj + 〈Szj 〉δSzi
= 〈Szi 〉〈Szj 〉+ 〈Szi 〉(Szj − 〈Szj 〉) + 〈Szj 〉(Szi − 〈Szi 〉)
= 〈Szi 〉Szj + Szi 〈Szj 〉 − 〈Szi 〉〈Szj 〉 (7)
Como el sistema es invariante traslacional, el valor medio del spin en cada sitio es
el mismo
m = γ~Szi
y entonces
Szi S
z
j =
m
γ~
(Szj + S
z
i )−
m2
(γ~)2
=
m
γ~
[
(Szj + S
z
i )−
m
γ~
]
(8)
y el hamiltoniano queda
ˆHCM = −J
m
γ~
∑
〈i,j〉
[
(Szj + S
z
i )−
m
γ~
]
− ~γB
N∑
i=1
Szi (9)
donde el sub́ındice CM se refiere a que estamos en la aproximación de campo medio.
Como
∑
〈ij〉 S
z
i =
∑
〈ij〉 S
z
j
ˆHCM = −J
m
γ~
∑
〈i,j〉
[
2Szi −
m
γ~
]
− ~γB
N∑
i=1
Szi (10)
podemos escribir la doble suma en primeros vecinos como∑
〈ij〉
−→ 1
2
∑
i
∑
j∈pv
donde el factor 1/2 evita el doble conteo, y donde con pv nos referimos a los primeros
vecinos de cada sitio, o el número de coordinación z. Como no hay referencia a j
en la sumas del hamiltoniano, la suma en j nos queda simplemente z, el número de
4
coordinación.
∑
〈ij〉
=
1
2
z
∑
i
de manera que el hamiltoniano se simplifica aún más
ˆHCM = −J
mz
γ~
∑
i
(
2Szi −
m
γ~
)
− ~γB
N∑
i=1
Szi
=
NzJm2
2γ~
− Jmz
γ~
∑
i
Szi − ~γB
N∑
i=1
Szi
=
NzJm2
2γ~
−
(
J
mz
γ~
+ ~γB
) N∑
i=1
Szi (11)
o simplemente
ˆHCM =
NzJm2
2γ~
− ~γBeff
N∑
i=1
Szi (12)
donde
Bef =
(
J
mz
γ2~2
+B
)
es el campo efectivo que sienten los spines.
Hemos entonces desacoplado efectivamente el Hamiltoniano en una suma de térmi-
nos de un solo cuerpo. Nuevamente, esto significa conceptualmenteque las part́ıculas
ya no interactúan entre śı en esta aproximación, sino que interactúan solo con un
campo magnético efectivo Bef que está compuesto por el campo externo B y el
campo interno efectivo ∝ Jmz inducido por las part́ıculas vecinas.
4. Función de partición, comportamiento cŕıtico.
El tratamiento hasta aqúı ha sido en la misma ĺınea que el dado para el modelo de
Heisenberg en campo medio, por lo que los resultados son idénticos. La única dife-
rencia de base es que mientras que en el caso del modelo de Heisenberg el parámetro
5
de orden puede apuntar en cualquier dirección, en el caso Ising sólo puede apuntar
en dos direcciones ’arriba’ y ’abajo’. En ese sentido, el estado ferromagnético del
Heisenberg rompe una simetŕıa cont́ınua, mientras que el del Ising rompe una si-
metŕıa discreta.
La función de partición (obtenida paso por paso en el tratamiento del paramangeto,
un sistema de dos niveles) es:
ZCM = e
−βNzJm2
2γ~ [2 cosh(βBef)]
N (13)
y la magnetización por sitio se obtiene de la ecuación
m =
1
Nβ
∂(lnZCM)
∂Bef
(14)
obteniéndose la ecuación de autoconsistencia
m =
~γ
2
tanh
γ~
2kBT
(
J
mz
γ2~2
+B
)
= m0 tanh
m0
kBT
(
J
mz
γ2~2
+B
)
(15)
El sistema tendrá una única solución m = 0 por encima de una temperatura cŕıtica
Tc, mientras que tendrá tres soluciones por debajo de la misma, m = 0, que es ines-
table, y m = ±m0. La temperatura cŕıtica es:
Tc =
zJ
4kB
Cabe señalar que para el caso 1D, CM predice una transición de fase magnética en
kBTc = J/2; sin embargo, al resolver este sistema exactamente, encontramos que de
hecho no hay transición de fase en 1D. Las fluctuaciones térmicas resultan ser lo
suficientemente fuertes como para destruir el ordenamiento magnético del sistema
en 1D (ver más abajo), por lo que CM proporciona un resultado cualitativamente
incorrecto en este caso.
Como se mencionó anteriormente, CM es más preciso en dimensiones más altas. Por
ejemplo, para el caso 2D en la red cuadrada, CM predice kBTc = J , pero este caso fue
resuelto exactamente por Onsager en 1944, obteniendo que kBTc = 0,567J . Teniendo
en cuenta que CM asume que las fluctuaciones son pequeñas, generalmente sobre-
estima la tendencia del sistema a ordenarse y, por lo tanto, sobreestima el valor de Tc.
El parámetro de orden, la magnetización, tendrá un comportamiento cŕıtico:
m(T, 0) = ±(3|τ |)1/2 T → T−c (16)
6
donde τ es la temperatura reducida. El exponente cŕıtico β = 0,5.
τ =
T − Tc
Tc
Figura 1:
La función respuesta, la susceptibilidad magnética, escalará como
m(T, 0) ∝ |τ | T → Tc (17)
5. Enerǵıa libre de Helmholtz
Entender el comportamiento de la enerǵıa libre es importante porque el sistema mi-
nimiza la enerǵıa libre cuando se encuentra en equlibrio a temperatura y volumen
constantes. Espećıficamente, nos enfocaremos en cómo la F depende de la magneti-
zación. A campo nulo, la enerǵıa libre queda
7
FCM |B=0 = −kBT ln(ZCM)
=
N2k2BTc
γ~
m2 − kBT ln
(
e
−βJNzm2
2γ~ [2cosh(βBef )]
N
)
=
N2k2BTc
γ~
m2 −NkBT ln2−NkBT
[
(βBef)
2
2
− (βBef)
4
12
+ ...
]
= ...
=
N2k2BTc
γ~
m2 −NkBT ln2−
8NkBT
2
c
γ2~4T
m2 +
52NkBT
4
c
3γ8~8T 3
m4
Obteniendo finalmente una ley del tipo
FCM |B=0 = F0 + a(T − Tc)m2 + bm4 (18)
Dejando de lado el término constante, que solo corre la enerǵıa libre en una cantidad
fija, obtenemos un comportamiento como el mostrado en la figura 2.
8
Figura 2: Enerǵıa libre según la solución de campo medio del modelo de Ising.
Cuando la temperatura baja por debajo de Tc, la solución m = 0 se vuelve inestable.
9
6. Modelo de Ising en una dimensión
Como descubrió Ising, en una dimensión el modelo no presenta transición de
fase. Esta es una desviación importante respecto a la predicción de campo medio,
lo que indica que la dimensión espacial es importante. La ausencia de una transición
en 1D puede verse en el siguiente elegante argumento, debido a Landau.
La esencia del argumento de Landau es mostrar que a cualquier temperatura dis-
tinta de cero, la fase ordenada es energéticamente desfavorable. Supongamos que
hay una fase ordenada por debajo de una temperatura cŕıtica Tc y examinemos la
estabilidad de esta fase. Estamos considerando una cadena de N spines ordenados.
Ahora introduzcamos un pequeño elemento de desorden invirtiendo todos los espines
desde el n-ésimo sitio en adelante. Esto aumentará la enerǵıa en J (no hay campo
magnético aplicado), proviniendo la contribución extra del par que apunta hacia el
lado opuesto.
Figura 3: Cadena de Ising ferromagnética con una exitación magnética.
La entroṕıa del sistema también aumentará. Ya que tenemos N posibilidades para
elegir donde introducir la inversión de los spines, la entroṕıa se incrementará en
kBlnN . El efecto de la reversión es entonces cambiar la enerǵıa libre en
∆F = J − kBT lnN (19)
El estado de equilibrio es aquel que minimiza F . En el ĺımite termodnámico (N →
∞) el segundo término en 19 dominará, y la enerǵıa libre bajará. Si introducimos
una nueva inversión dentro de la cadena, F volverá a bajar. Aśı, para cualquier tem-
peratura no nula, el término entrópico gana y al sistema le conviene desordenarse
completamente con m = 0. Esto se verifica en la solución exacta del modelo en 1D,
dada por Plische y Bergersen.
7. Modelo de Ising en dos dimensiones
El modelo en 2D fue resuelto exactamente por Onsager en 1944. Hay mucha litera-
tura al respecto.
10
La temperatura cŕıtica es
Tc = 0,567J/kB
y la magnetización sigue una ley
m =
[
1− (senh(J/2kBT ))−4
]1/8
(20)
Por lo que el exponente cŕıtico exacto β en 2D es 1/8, en contraste con el resulta de
campo medio que da 1/2.
Finalmente damos una tabla comparativa de los resultados de campo medio en
comparación con los exactos en 2 dimensiones.
Ising 2D β γ
campo medio 1/2 1
exacto 1/8 7/4
8. Bibliograf́ıa
’Topics in Statistical Mechanics’. Brian Cowan.
’Mean Field Theory Solution of the Ising Model’. Franz Utermohlen.
11
	Introducción.
	Modelo de Ising y campo medio.
	Campo medio
	Función de partición, comportamiento crítico.
	Energía libre de Helmholtz
	Modelo de Ising en una dimensión
	Modelo de Ising en dos dimensiones
	Bibliografía