ESTATICA_CM

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ESTATICA Y CENTRO DE 
MASA
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Prof. Ing. Alberto Pacci
Centro de Masa
Si se observa un cuerpo que se sostiene desde un punto, se 
verá que se tiene que balancear bien para evitar que ruede en 
una o otra dirección. 
Se puede concluir que existe un punto desde el cual se 
puede equilibrar el cuerpo sin que gire. Este punto se 
denomina centro de masa.
2
El centro de masa de un par de partículas unidas se localiza 
en algún lugar entre ellas dependiendo de la diferencia que 
exista entre las masas:
Si 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 entonces el centro de masa se encuentra al 
centro.
Si 𝒎𝟏 > 𝒎𝟐 entonces el centro de masa está más cerca de 𝒎𝟏
y viceversa.
Centro de Masa
𝑥𝐶𝑀 =
 𝑚𝑖𝑥𝑖
 𝑚𝑖
𝑦𝐶𝑀 =
 𝑚𝑖𝑦𝑖
 𝑚𝑖
𝑧𝐶𝑀 =
 𝑚𝑖𝑧𝑖
 𝑚𝑖
𝒓𝑪𝑴 = 𝒙𝑪𝑴 𝒊 + 𝒚𝑪𝑴 𝒋 + 𝒛𝑪𝑴 𝒌
3
Propiedades del centro de masa
El movimiento traslacional
del centro de masa de un 
objeto es el mismo como si 
toda la masa del objeto 
estuviera en ese punto.
La fuerza de gravedad 
ejercida sobre el objeto 
puede ser representada 
como si fuese siempre 
ejercida en el centro de 
masa. 4
- 5 -
Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las
sumas se sustituyen por integrales extendidas a
toda la masa del cuerpo.






dmz
m
zseaodmzzmM
dmy
m
yseaodmyymM
dmx
m
xseaodmxxmM
xy
zx
yz
1
1
1
Donde:  dmm
Vectorialmente:




Vm
Vm
dV
m
dm
m
dVdmm


rrr
rrr
11
donde r es el vector de posición del elemento dm del cuerpo
respecto al origen, ρ es la densidad del elemento y dV es su
volumen
- 6 -
• El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es el CDG del cuerpo.
• El módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del
cuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se
encuentre del centro de la Tierra. En la práctica se supone que todos los
puntosa del cuerpo experimentan la misma aceleración gravitatoria g. Además,
debido al tamaño de la Tierra, las rectas soporte de las fuerzas que se ejercen
sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de la Tierra y se
pueden suponer paralelas. Estas dos hipótesis dan un centro de gravedad que
coincide con el CDM ya que:
• Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el
cálculo del CDM tendremos:
Centro de gravedad (CDG)






dWz
W
zseaodWzzWM
dWy
W
yseaodWyyWM
dWx
W
xseaodWxxWM
xy
zx
yz
1
1
1
Donde:  dWW
gmW 
El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas másicas
distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales
que constituyen el cuerpo.
- 7 -
Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su CDG podrá
determinarse considerando que el cuerpo está constituido
por infinitos elementos cada uno de los cuales tenga un peso
dW dado así: dVdW 
donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y
dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:

V
dVW 
Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W
sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento
será
)( dVxdWxdM y 
y según la definición de CDG:
)(  VVy dVxdVxWxM 
así pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será:



V
V
dV
dVx
x

 )(
y análogamente:





V
V
V
V
dV
dVz
z
dV
dVy
y



 )(
y
)(
- 8 -
PROBLEMAS
- 9 -
Cuando sea constante el peso 
específico de un cuerpo 
tendremos que:
Centroides de Volúmenes, Superficies y Líneas
Centroides de Volúmenes
Estas coordenadas (Centroide) solo 
dependen de la configuración geométrica del 
cuerpo y son independientes de sus 
propiedades físicas.
El centroide de un volumen coincide en 
posición con el CDG G del cuerpo si este es 
homogéneo. Cuando el peso específico varíe 
de unos puntos a otros, el CDG G del cuerpo 
y el Centroide no tienen por que coincidir. 
Ejemplo: En el caso de la figura, como el 
peso específico de la parte inferior del cono 
es mayor que el de la parte superior, el CDG, 
que depende del peso de las dos partes, se 
hallará por debajo del centroide C que solo 
depende del volumen de dichas partes. 
 
VVV
dVz
V
zdVy
V
ydVx
V
x
111
- 10 -
Centroides de Superficies
El CDG G de una placa delgada, homogénea, de grosor t uniforme y 
superficie de área A, se puede determinar considerando un elemento 
infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en función de un 
elemento infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma siguiente: 
dV = t dA. Así pues, en el caso de una placa delgada tendríamos:
 
AAA
dAz
A
zdAy
A
ydAx
A
x
111
Centroides de Líneas
El CDG G de un alambre curvo, homogéneo, de pequeña sección recta de área
A y de longitud L, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal
de volumen dV que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal
de longitud en la forma: dV = A dL.
Así pues, para una varilla o
alambre finos tendríamos:
 
LLL
dLz
L
zdLy
L
ydLx
L
x
111
Ejercicio: Centro de Masa
Calcular el centro de masa del siguiente grupo de objetos 
cuando 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎, 𝒃 = 𝟕 𝒄𝒎, 𝒎𝟏 = 𝟐 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟑 𝒌𝒈, 𝑴𝟏 =
𝟔 𝒌𝒈, 𝑴𝟐 = 𝟗 𝒌𝒈
11
12
13
- 14 -
Centroides en algunas Líneas y Superficies
- 15 -
Centroides en algunas Líneas y Superficies
- 16 -
Centroides de algunos Volúmenes
- 17 -
Centroides de algunos Volúmenes
- 18 -
EJERCICIO
Determinar la posición del centroide en la siguiente figura 
plana
- 19 -
PROBLEMA
- 20 -
PROBLEMA
21
DIAGRAMA DE CUERPO 
LIBRE
EJEMPLOS D.C.L.
22
EQUILIBRIO:
Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando 
carece de todo tipo de aceleración (a=0). 
1ª Condición de Equilibrio
"Un cuerpo se encontrará en equilibrio cuando la fuerza 
resultante que actúa sobre él sea igual a cero; para eso, las 
fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y 
concurrentes". 
Condición algebraica.
MOMENTO DE UNA FUERZA
• En mecánica newtoniana, se denomina momento
de una fuerza (respecto a un punto dado) a una
magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial
del vector de posición del punto de aplicación de la
fuerza con respecto al punto al cual se toma el
momento por la fuerza, en ese orden. También se le
denomina momento dinámico o sencillamente
momento.
23
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_axial
MOMENTO DE UNA FUERZA
 El momento de una fuerza aplicada en un punto P
con respecto de un punto O viene dado por el
producto vectorial del vector de posición OP por el
vector fuerza F; esto es
 El momento es un vector perpendicular al plano de
r y F.
 La magnitud del momento esta dado por
 El sentido del momento se determina mediante la
regla de la mano derecha.
 Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores
deslizantes, el momento de una fuerza es
independiente de su punto de aplicación sobre su
recta de acción o directriz.
24
http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_deslizante&action=edit&redlink=1
INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA
 El momento de una fuerza con respecto a un eje da a 
conocer en qué medida existe capacidad en una 
fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del 
cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.
 El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo 
sobre el cual se aplica y es una magnitud 
característica en elementos que trabajan sometidos a 
torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión
(como las vigas
25
http://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/wiki/Viga
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torque_animation.gif
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Torque_animation.gifCOMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO 
26
El momento de la fuerza 
respecto a O es
COMPONETES RECTANGULARES DEL 
MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO 
CUALQUIERA
27
COMPONETES RECTANGULARES DEL 
MOMENTO EN EL PLANO
28
Ejemplo
• Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con
respecto a los puntos (a) E y (b) S
29
Ejemplo
Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al
extremo de una palanca que está unida a
un eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100 lb con
respecto al punto O,
(b) el módulo de la fuerza horizontal que
aplicada en A produce el mismo momento
produce el mismo momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en A
produce el mismo momento respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe aplicarse
una fuerza vertical de 750 N para que
produzca el mismo momento respecto a O
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Parte (a) La magnitud del momento
de la fuerza de 100 lb se obtiene
multiplicando la fuerza por el brazo
de palanca esto es
La dirección de Mo es perpendicular
al plano que contiene F y d y su
sentido se determina mediante la
regla derecha 31
 
  in. 12lb 100
in. 1260cosin.24



O
O
M
d
FdM
in lb 1200 OM
SOLUCIÓN
Parte (b) La fuerza que aplicada en
A produce el mismo momento se
determina en la forma siguiente
32
SOLUCIÓN
 
 
in. 8,20
in. lb 1200
in. 8,20in. lb 1200
in. 8,2060in. 24





F
F
FdM
send
O
lb 7,57F
Parte (b) Debido a que M = F d. el
mínimo valor de F corresponde al
máximo valor de d. Eligiendo la
fuerza perpendicular a OA se
encuentra que d = 24 in; entonces
33
SOLUCIÓN
 
in. 42
in. lbf 1200
in. 42in. lbf 1200




F
F
FdMO
lbf 50F
Parte (b). En este caso Mo = Fd
obteniendo:
34
SOLUCIÓN
 
in. 5cos60
in. 5
lbf 402
in. lbf 1200
lb 240in. lbf 1200






OB
d
d
FdMO
in. 10OB
Ejemplo 
• La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y
por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es
200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la
fuerza ejercida por el alambre en C
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El momento MA de la fuerza
F ejercida por el alambre es
obtenido evaluando el
producto vectorial
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
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FrM ACA


    jirrr ACAC

m 08.0m 3.0 
 
 
     
     kji
kji
r
r
FF
DC
DC




N 128N 69N 120
m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0
N 200
N 200



 
12896120
08.003.0


kji
M A


Ejemplo
La tensión en el cable AB es 150 N. Determinar 
la tensión en AC y CD tal que la suma de los 
momentos alrededor del origen debido a la 
fuerza ejercida por los cables en el punto A es 
cero.
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Ejemplo
38
Hallar el momento de la fuerza F de 450 N, respecto al punto 
A. de la siguiente tubería, sabiendo que la tubería arranca del 
punto A (empotramiento).
PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon
Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando
sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento
de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser
determinado mediante la suma de cada uno de los
momentos de las fueras individuales respecto al mismo
punto. Es decir:
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