TPN7-CN2022

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TRABAJO PRACTICO Nº7 
1°.- Los sistemas de medición de ángulos (sexagesimal y radial) sirven para un mismo propósito, 
existe entre ellos una equivalencia. Completar la siguiente tabla y ubicar cada uno de los ángulos 
dados en una circunferencia. 
Sistema 
Sexagesimal 1º 30º 45º 60º 90º 180º 210º 270º 165º 360º 
Radial π/180 π/6 π/4 π/3 π/2 π 7π/6 3π/2 11π/12 2π 
 
2°.- Dados los siguientes ángulos 162.000"; 5/3𝜋; 125°, 2,098 ; 1,0559; 330,01° 
 
 
 162000’’ = 45° 
 
3600′′ → 1° 
 
162000′′ → 𝑥 
 
𝑥 =
162000′′ ∗ 1°
3600′′
= 45° 
 
 
 162000’’= 1/4π = 0,785398 
𝜋 → 180° 
 
 𝑥 → 45° 
 
𝑥 =
45° ∗ 𝜋
180°
=
1
4
𝜋 
 
 
 5/3 𝜋 = 300° 
 
𝜋 → 180° 
 
5
3
 𝜋 → 𝑥 
 
𝑥 =
5
3
 𝜋 ∗ 180°
𝜋
= 300° 
 
 5/3 𝜋 = 5,235987 
 
 
 125°=125° 
 
 125°=25/36π = 2,18166 
 
𝜋 → 180° 
 
 𝑥 → 125° 
 
𝑥 =
125° ∗ 𝜋
180°
=
25
36
𝜋 
 
 
 2,098 = 120,21°=120° 12’ 24’’ 
 
𝜋 → 180° 
 
2,098 → 𝑥 
 
𝑥 =
2,098 ∗ 180°
𝜋
= 120,21°
= 120°12′24′′ 
 
 
 1,0559 = 60,4986°= 60° 29’ 55’’ 
 
𝜋 → 180° 
 
1,0559 → 𝑥 
 
𝑥 =
1,0559 ∗ 180°
𝜋
= 60,4986°
= 60°29′55′′ 
 
 330,01°=330°36’’ 
 
 330,01°= 5,75976 
 
𝜋 → 180° 
 
 𝑥 → 330,01° 
 
𝑥 =
330,01° ∗ 𝜋
180°
= 5,75976 
 
a) Ordenarlos de menor a mayor en el sistema sexagesimal notación decimal y notación en 
grados, minutos y segundos. 
 
 45°< 60,4986° < 120,21°<125°< 300°<330,01° 
 
 45°< 60° 29’ 55’’ < 120° 12’ 24’’<125°< 300°<330°36’’ 
 
b) Ordenarlos de mayor a menor en el sistema radial. 
5,75976 > 5/3 𝜋 > 25/36π > 2,098 > 1,0559 > 1/4 𝜋 
3°.- En la siguiente figura se sabe que 𝑟1∥𝑟2 
 
a) Calcular la amplitud de los ángulos señalados con números. 
Calculo del ángulo 1 y 2: 
 
1=30° por ser opuesto por el vértice del ángulo de 30° 
2=150° por ser adyacente al ángulo de 30° 
 
 
Calculo del ángulo 3 y 4: 
 
4=1= 30° por ser ángulos alternos internos 
3=60° por ser ángulo complementario del ángulo 1 o 4 
 
 
 
Calculo del ángulo 5,6 y 7: 
 
6=60° por ser ángulo complementario de 1 
5=120° por ser ángulo conjugado de 6 
7=30° por ser ángulo complementario de 6 
 
 
b) Expresar la amplitud de dichos ángulos 
en el sistema sexagesimal. 
1= 30º 
2=150º 
3=60º 
4=30º 
5=120º 
6=60º 
7=30º 
c) Expresar la amplitud de dichos ángulos 
en el sistema radial. 
1=1/6 π 
2= 5/6 π 
3=1/3 π 
4=1/6 π 
5=2/3 π 
6=1/3 π 
7=1/6 π 
 
 
4°.- Suponer que la Tierra demora 24 horas en dar un giro completo en torno de su propio eje. 
Calcular cuántos radianes gira en: 5 segundos, 17 minutos y en 3 horas. 
 
 t = 5 s 
 
1ℎ → 3600𝑠 
 
24ℎ → 𝑥 
 
𝑥 =
24ℎ ∗ 3600𝑠
1ℎ
= 86400𝑠 
 
𝜋 → 86400𝑠 
 
𝑥 → 5𝑠 
 
𝑥 =
5𝑠 ∗ 𝜋
86400𝑠
=
1
17280
𝜋 
 
 
 t = 17min 
 
1ℎ → 60𝑚𝑖𝑛 
 
24ℎ → 𝑥 
 
𝑥 =
24ℎ ∗ 60𝑚𝑖𝑛
1ℎ
= 1440𝑚𝑖𝑛 
 
𝜋 → 1440𝑚𝑖𝑛 
 
𝑥 → 17𝑚𝑖𝑛 
 
𝑥 =
17𝑚𝑖𝑛 ∗ 𝜋
1440𝑚𝑖𝑛
= 0,03708 
 
 
 t=3h 
 
𝜋 → 24ℎ 
 
 𝑥 → 3ℎ 
 
𝑥 =
3 ∗ 𝜋
24
=
1
8
𝜋 
 
5°.- Determinar la longitud de un arco de circunferencia con radio 5 cm, sabiendo que está 
subtendido por un ángulo de: 
 
Nota: La fórmula para determinar la longitud de arco de una circunferencia, correspondiente a un 
ángulo es: 
Dado el ángulo en sexagesimal 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔𝐴�̂� =
𝑃𝑒𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∗ 𝛼
360°
 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔𝐴�̂� =
2𝜋 ∗ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝛼
360°
 
 
Dado el ángulo en radial 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔𝐴�̂� =
𝑃𝑒𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∗ 𝛼
2𝜋
 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔𝐴�̂� =
2𝜋 ∗ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝛼
2𝜋
 
 
 
 
a) 2,4 radianes 
2𝜋 ∗ 5𝑐𝑚 → 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
 𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑜 → 2,4 𝑟𝑎𝑑 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑜 =
2𝜋 ∗ 5𝑐𝑚 ∗ 2,4 𝑟𝑎𝑑
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
= 12𝑐𝑚 
 
b) π/6 
2𝜋 ∗ 5𝑐𝑚 → 2𝜋 
 
 𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑜 → 
𝜋
6
 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑜 =
2𝜋 ∗ 5𝑐𝑚 ∗
𝜋
6 
2𝜋 
= 2,618𝑐𝑚 
 
c) 75º 
2𝜋 ∗ 5𝑐𝑚 → 360° 
 
 𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑜 → 75° 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑜 =
2𝜋 ∗ 5𝑐𝑚 ∗ 75°
360°
= 6,545𝑐𝑚 
 
 
d) 1200º 45’=1200,75º 
2𝜋 ∗ 5𝑐𝑚 → 360° 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑜 → 1200,75° 
 
𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑎𝑟𝑐𝑜 =
2𝜋 ∗ 5𝑐𝑚 ∗ 1200,75°
360°
= 104,79𝑐𝑚 
 
 
6°.- Las ruedas de una bicicleta tienen 100 cm de radio. Si un punto sobre una de ellas toca 50 
veces el suelo durante un avance en línea recta. ¿Qué distancia recorrió ese punto de la rueda? 
2𝜋 ∗ 100𝑐𝑚 → 1 𝑔𝑖𝑟𝑜 
 
 𝑥 → 50𝑔𝑖𝑟𝑜𝑠 
 
𝑥 =
2𝜋 ∗ 100𝑐𝑚 ∗ 50𝑔𝑖𝑟𝑜𝑠
1𝑔𝑖𝑟𝑜
= 31415,93𝑐𝑚 
 
7°.- Indicar cuáles de los siguientes pares de ángulos son congruentes. 
 
Nota: Dos ángulos son congruentes si difieren en un número entero “k” de giros. 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 360° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 2𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
 
a) −40° y 680° 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 360° 
680° = −40° + 𝑘 ∗ 360° 
𝑘 =
680° + 40°
360°
= 2 
 
k es un numero entero por lo tanto son ángulos 
congruentes 
b) 88° y 800° 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 360° 
800° = 88° + 𝑘 ∗ 360° 
𝑘 =
800° − 88°
360°
= 1,9777 
 
k no es un numero entero por lo tanto no son 
ángulos congruentes 
 
c) 45° y 1485° 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 360° 
1485° = 45° + 𝑘 ∗ 360° 
𝑘 =
1485° − 45°
360°
= 4 
 
k es un numero entero por lo tanto son ángulos 
congruentes 
 
d) 𝜋/3 y 2/3𝜋 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 2𝜋 
2𝜋
3
=
𝜋
3
+ 𝑘 ∗ 2𝜋 
𝑘 =
2𝜋
3 −
𝜋
3
2𝜋
=
1
6
 
k no es un numero entero por lo tanto no son 
ángulos congruentes 
 
e) 𝜋/6 y 13/6𝜋 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 2𝜋 
13𝜋
6
=
𝜋
6
+ 𝑘 ∗ 2𝜋 
𝑘 =
13𝜋
6 −
𝜋
6
2𝜋
= 1 
 
k es un numero entero por lo tanto son ángulos 
congruentes 
f) –𝜋/4 y 7/4𝜋 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 2𝜋 
7𝜋
4
= −
𝜋
4
+ 𝑘 ∗ 2𝜋 
𝑘 =
7𝜋
4 +
𝜋
4
2𝜋
=
3
4
 
 
k no es un numero entero por lo tanto no son 
ángulos congruentes 
8º.- Escribir la expresión general de todos los pares de ángulos congruentes con: 
a) 7/3𝜋 
𝛼 =
7
3
𝜋 + 𝑘 ∗ 2𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
 
b) 160° 
𝛼 = 160° + 𝑘 ∗ 360° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
 
c) –180° 
𝛼 = −180° + 𝑘 ∗ 360° 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
 
d) 2/3𝜋 
𝛼 =
2
3
𝜋 + 𝑘 ∗ 2𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
 
9 °.- Las funciones trigonométricas serán positivas o negativas, según el cuadrante al cual 
pertenezca el ángulo considerado. 
 
La funciones seno y cosecante serán positivas si el valor de la ordenada del punto P es positiva, y 
son negativas, si la ordenada es negativa. 
a) ¿Qué ocurre con el signo de la función coseno y su reciproca? 
La funciones coseno y secante serán positivas si el valor de la abscisa del punto M es positiva, y 
son negativas, si la abscisa es negativa. 
b) ¿Qué ocurre con el signo de la función tangente y su reciproca? 
La funciones tangente y cotangente serán positivas si los valores de la ordenada y abscisa tienen 
signos iguales, y son negativas, si los valores de ordenada y abscisa tienen signos distintos. 
 
c) Completar la tabla que resume lo enunciado anteriormente. Sugerencia: puede aplicar el 
siguiente modelo. 
 
 I Cuad. II Cuad. III Cuad. IV Cuad. 
sen α + + - - 
cos α + - - + 
tg α + - + - 
cosec α + + - - 
sec α + - - + 
cotg α + - + - 
 
10º.- Calcular las funciones trigonométricas para los siguientes ángulos: 
 
 
Funciones trigonométricas del 
ángulo A 
 
𝐻 = √𝐶𝐴2 + 𝐶𝑂2 
𝐻 = √(−5)2 + 22 = √29 
 
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
𝐶𝑂
𝐻
=
2
√29
=
2√29
29
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝐴 =
𝐶𝐴
𝐻
=
−5
√29
=
−5√29
29
 
 
𝑡𝑔 𝐴 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
2
−5
= −
2
5
 
 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝐴 =
𝐻
𝐶𝑂
=
√29
2
 
 
𝑠𝑒𝑐 𝐴 =
𝐻
𝐶𝐴
=
√29
−5
= −
√29
5
 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐴 =
𝐶𝐴
𝐶𝑂
=
−5
2
= −
5
2
 
 
Funciones trigonométricas del 
ángulo B 
 
𝐻 = √𝐶𝐴2 + 𝐶𝑂2 
𝐻 = √(−3)2 + (−3)2 = √18 
𝐻 = 3√2 
 
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝐶𝑂
𝐻
=
−3
3√2
= −
√2
2
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝐵 =
𝐶𝐴
𝐻
=
−3
3√2
= −
√2
2
 
 
𝑡𝑔 𝐵 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
−
√2
2
−
√2
2
= 1 
 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝐵 =
𝐻
𝐶𝑂
=
3√2
−3
= −√2 
 
𝑠𝑒𝑐 𝐵 =
𝐻
𝐶𝐴
=
3√2
−3
= −√2 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐵 =
𝐶𝐴
𝐶𝑂
=
−
√2
2
−
√2
2
= 1 
 
Funciones trigonométricas del 
ángulo C 
 
𝐻 = √𝐶𝐴2 + 𝐶𝑂2 
𝐻 = √32 + (−4)2 = √25 
𝐻 = 5 
 
𝑠𝑒𝑛 𝐶 =
𝐶𝑂𝐻
=
−4
5
= −
4
5
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝐶 =
𝐶𝐴
𝐻
=
3
5
 
 
𝑡𝑔 𝐶 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
−4
3
= −
4
3
 
 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝐶 =
𝐻
𝐶𝑂
=
5
−4
= −
5
4
 
 
𝑠𝑒𝑐 𝐶 =
𝐻
𝐶𝐴
=
5
3
 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶 =
𝐶𝐴
𝐶𝑂
=
3
−4
= −
3
4
 
 
 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 7 
 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F) NO justificar la respuesta. 
a) 270°≡1,5 𝜋 
V 
 
b) −60° es congruente con 5/3𝜋 
V 
 
c) Dos ángulos son congruentes cuando solamente difieren en un número 
exacto de giros. 
V 
d) 2° 3′ 2′′ equivalen a 7382′′ 
 
V 
e) La longitud de la circunferencia son 360° 
 
F 
Calculo auxiliar 
a) 
𝜋 → 180° 
 
 𝑥 → 270° 
 
𝑥 =
270° ∗ 𝜋
180°
=
3
2
𝜋 = 1,5𝜋 
 
 b) 
5
3
𝜋 ∗ 180°
𝜋
= 300° 
 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 360° 
300° = −60° + 𝑘 ∗ 360° 
𝑘 =
300° + 60°
360°
= 1 
 
k ∈ Z ⇒ son congruentes 
 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) El valor de 𝑃 =
𝜋
2
180°
 es, 𝑃=1/2 
 
𝑃 =
𝜋
2
180°
=
90°
180°
=
1
2
 
 
b) Si en un triángulo dos de sus ángulos miden 𝜋/2 rad y 𝜋/3 rad, la medida en grados 
sexagesimales del tercer ángulo es 30º 
 
𝛼 +
𝜋
2
+
𝜋
3
= 180° 
𝛼 + 90° + 60° = 180° 
 
𝛼 = 180° − 150° 
𝛼 = 30° 
 
c) El valor de 𝑥 en la igualdad 𝜋/9 rad + (36𝑥)°=38° es 𝑥= ½ 
 
𝜋
9
+ 36°𝑥 = 38° 
20° + 36°𝑥 = 38° 
36°𝑥 = 38° − 20° 
𝑥 =
18°
36°
=
1
2
 
d) Un ángulo positivo, mayor a dos giros y congruente con –50°, es 1030º 
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ∗ 360° 
𝛼 = −50° + 3 ∗ 360° = 1030° 
 
e) La longitud del arco 𝐴�̂� subtendido por un ángulo de 70° en una circunferencia de 18 cm de 
radio es, 𝒍𝒐𝒏𝒈𝑨�̂� = 𝟐𝟏, 𝟗𝟗𝒄𝒎 
𝑙𝑜𝑛𝑔𝐴�̂� =
2𝜋 ∗ 18𝑐𝑚 ∗ 70°
360°
= 21,99𝑐𝑚 
 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar 
N. 
a) La suma de dos ángulos es 0,22rad y su diferencia 0,16rad. La medida del ángulo mayor 
es: N 
𝐴) 9° 42′ 𝐵) 8° 12′ 𝐶) 9° 15′ 𝐷) 10° 42′ 
 
{
𝛼 + 𝛽 = 0,22
𝛼 − 𝛽 = 0,16
 → 𝛽 = 0,22 − 𝛼 
𝛼 − 𝛽 = 0,16 
𝛼 − 0,22 + 𝛼 = 0,16 
2𝛼 = 0,16 + 0,22 
𝛼 =
0,38
2
= 0,19𝑟𝑎𝑑 0,19 ∗
180°
𝜋
= 10°53′10′′ 
b) En 𝐴𝐵𝐶⏞
∆
 se sabe que �̂� + �̂� = 81° y �̂� + �̂� = 0,75𝜋 𝑟𝑎𝑑, entonces �̂� − �̂� es: N 
A) 36° B) 99° C) 54° D) 63° 
(�̂� + �̂�) − (�̂� + �̂�) = 81° − 135° 
�̂� + �̂� − �̂� − �̂� = 81° − 135° 
�̂� − �̂� = −54° 
c) Al simplificar 
2° 2′ 
2′
se obtiene: A 
A) 61 B) 72 C) 52 D) 41 
d) Un quinto del ángulo de un giro en cada sistema equivale a: C 
A) 30° 𝑦 𝜋/5 rad B) 60° y 3 𝜋/5 C) 72° y 2𝜋/5 D) 64° y 𝜋/5 
e) En 𝐴𝐵𝐶⏞
∆
 se sabe que �̂� = (3x)°, �̂� = (9x)° y �̂� = (6x)°, entonces el valor de �̂� es: A 
A) 𝜋/3 rad B)𝜋/4 rad C) 𝜋/2 rad D) 𝜋/7rad 
�̂� + �̂� + �̂� = 180° 
3𝑥 + 9𝑥 + 6𝑥 = 180° 
 
18𝑥 = 180° 
𝑥 =
180°
18
= 10° 
 
�̂� = 6 ∗ 10° = 60° ∗
𝜋
180°
=
𝜋
3