Unidad1

Derecho Penal I

•
UNAM

0
jessica g
17/8/2023
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Derecho Penal I

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ℝ𝒏 
 
 
 𝑭(𝑽, 𝑾)
𝑽 𝑾 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
file:///C:/Users/juan.gomeza/Documents/Desarrollos%20matematicas/Victor%20Amezcua/Algebra%20lineal%20I/U1/Unidad%201.%20Historia,%20problema%20prototipico.docx%23_Toc436647819
file:///C:/Users/juan.gomeza/Documents/Desarrollos%20matematicas/Victor%20Amezcua/Algebra%20lineal%20I/U1/Unidad%201.%20Historia,%20problema%20prototipico.docx%23_Toc436647820
file:///C:/Users/juan.gomeza/Documents/Desarrollos%20matematicas/Victor%20Amezcua/Algebra%20lineal%20I/U1/Unidad%201.%20Historia,%20problema%20prototipico.docx%23_Toc436647821
file:///C:/Users/juan.gomeza/Documents/Desarrollos%20matematicas/Victor%20Amezcua/Algebra%20lineal%20I/U1/Unidad%201.%20Historia,%20problema%20prototipico.docx%23_Toc436647822
file:///C:/Users/juan.gomeza/Documents/Desarrollos%20matematicas/Victor%20Amezcua/Algebra%20lineal%20I/U1/Unidad%201.%20Historia,%20problema%20prototipico.docx%23_Toc436647823
file:///C:/Users/juan.gomeza/Documents/Desarrollos%20matematicas/Victor%20Amezcua/Algebra%20lineal%20I/U1/Unidad%201.%20Historia,%20problema%20prototipico.docx%23_Toc436647824
file:///C:/Users/juan.gomeza/Documents/Desarrollos%20matematicas/Victor%20Amezcua/Algebra%20lineal%20I/U1/Unidad%201.%20Historia,%20problema%20prototipico.docx%23_Toc436647826
 
Figura 1. Sistema de ecuaciones en el plano
 
• 
 
 
 
 
 
Ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ → ← → →
 
→ → ← → ← → →
→ → ← → → →
 
11𝐼1 − 3𝐼2 = 30
−3𝐼1 + 6𝐼2 − 𝐼3 = 5
−𝐼2 + 3𝐼3 = −25.
 
 
Fígura 2. Papiro de Rhind
.
 
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 39 
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 34 
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 26. 
Figura 3. Análisis diofántico
 
Figura 4. Matriz en un plano
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1tica%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_lineal
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcional
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones
http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa
 
 
𝐼1 − 𝐼3 = 30
3𝐼1 + 5𝐼2 + 2𝐼3 = 5
4𝐼1 + 7𝐼2 + 3𝐼3 = −25.
 
 
𝐼1 − 𝐼3 = 30
3𝐼1 + 5𝐼2 + 2𝐼3 = 5
4𝐼1 + 7𝐼2 + 3𝐼3 = 1.
 
 
 
 
 
 
 
 
 ℝ𝒏
(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑛 (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)
ℝ𝑛 ℝ2 ℝ3
ℝ𝑛
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) 𝑎1 = 𝑏1, 𝑎2 = 𝑏2, … , 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛.
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛).
 
𝑟 𝑟 (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)
𝑟
𝑟 ∙ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) = (𝑟 ∙ 𝑎1, 𝑟 ∙ 𝑎2, … , 𝑟 ∙ 𝑎𝑛).
ℝ𝑛
((𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)) + (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛)
= (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + ((𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) + (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛)).
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛) + (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛).
(0, 0, … ,0)
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (0, 0, … ,0) (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛).
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)
(−𝑎1, −𝑎2, … , −𝑎𝑛)
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (−𝑎1, −𝑎2, … , −𝑎𝑛) = (0, 0, … ,0).
 
𝑟 ∙ ((𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)) = 𝑟 ∙ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + 𝑟 ∙ (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)
(𝑟 + 𝑠) ∙ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) = 𝑟 ∙ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + 𝑠 ∙ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)
(𝑟𝑠) ∙ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)).
1 ∙ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛).
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (−𝑎1, −𝑎2, … , −𝑎𝑛) = (𝑎1 + (−𝑎1), 𝑎2 + (−𝑎2), … , 𝑎𝑛 + (−𝑎𝑛)) = (0, 0, … ,0).
𝑎 + (−𝑎) = 0
 
 
ℝ𝑛
3 × 3 4 × 3
3 × 4
𝑎) (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 𝑏) (
 1 3 −2
 0 1 4
 2 0 1 
−5 0 0 
) 𝑐) (
1 5
3 1
3 0
 
3 −2
0 0
0 1
).
𝑚 𝑛
𝑚 × 𝑛 𝑖 𝑗
𝑎𝑖𝑗
(
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
)
𝑎𝑖𝑗
 𝑨 = (𝑎𝑖𝑗)
ℝ𝑛
ℳ(𝑚, 𝑛)
 
ℝ𝑛
1 ∈ ℝ
𝟎
𝑨 – 𝑨
𝑨 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑩 = (𝑏𝑖𝑗) 𝑪 = (𝑐𝑖𝑗) 𝑚 × 𝑛
𝑟, 𝑠 ∈ ℝ
 (𝑨 + 𝑩) + 𝑪 = 𝑨 + (𝑩 + 𝑪)
 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨
 𝑨 + 𝟎 = 𝑨
 𝑨 + (−𝑨) = 𝟎
 𝑟 ∙ (𝑨 + 𝑩) = 𝑟 ∙ 𝑨 + 𝑟 ∙ 𝑩 (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑨 = 𝑟 ∙ 𝑨 + 𝑠 ∙ 𝑨
 (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑨 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑨)
 1 ∙ 𝑨 = 𝑨.
 𝑟 ∙ (𝑨 + 𝑩) = 𝑟 ∙ 𝑨 + 𝑟 ∙ 𝑩
𝑟 ∙ (𝑨 + 𝑩) = 𝑟 ∙ ((𝑎𝑖𝑗) + (𝑏𝑖𝑗))
= 𝑟 ∙ (𝑎𝑖𝑗+𝑏𝑖𝑗)
= (𝑟 (𝑎𝑖𝑗+𝑏𝑖𝑗))
= (𝑟𝑎𝑖𝑗+𝑟𝑏𝑖𝑗)
= (𝑟𝑎𝑖𝑗) + (𝑟𝑏𝑖𝑗)
= 𝑟 ∙ 𝑨 + 𝑟 ∙ 𝑩.
 
 
𝑓: ℝ → ℝ ℱ(ℝ)
𝑓, 𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ ℝ
𝑓 𝑔 𝑓 + 𝑔: ℝ → ℝ
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥).
𝑟 𝑓 𝑟 ∙
𝑓: ℝ → ℝ
(𝑟 ∙ 𝑓)(𝑥) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑥).
𝑟
𝑓(𝑥)
ℝ𝑛
 
 1 ∈ ℝ
𝑓(𝑥) = 0 𝑥
𝟎 𝟎(𝑥) = 0 𝑥
𝑥 𝑓
−𝑓: ℝ → ℝ (−𝑓)(𝑥) = −(𝑓(𝑥))
(𝑓 + (−𝑓))(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (−𝑓)(𝑥)
= 𝑓(𝑥) − (𝑓(𝑥))
= 0
= 𝟎(𝑥)
𝑥 𝑓 + (−𝑓) = 𝟎
𝑓: ℝ → ℝ 𝑔: ℝ → ℝ ℎ: ℝ → ℝ 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ
 (𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ)
 𝑓 + 𝑔 = 𝑔 + 𝑓
 𝑓 + 𝟎 = 𝑓
 𝑓 + (−𝑓) = 𝟎
 𝑟 ∙ (𝑓 + 𝑔) = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑟 ∙ 𝑔 (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑠 ∙ 𝑓
 (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑓)
 1 ∙ 𝑓 = 𝑓.
 
 𝑭(𝑽, 𝑾)
𝑽 𝑾
𝑓: 𝑉 → 𝑊
𝐹(𝑉, 𝑊)
𝑓, 𝑔
𝑓(𝑣) = 𝑔(𝑣) 𝑣 ∈ 𝑉
𝑓 𝑔 𝑓 + 𝑔: 𝑉 → 𝑊
(𝑓 + 𝑔)(𝑣) = 𝑓(𝑣) + 𝑔(𝑣).
𝑟 𝑓 𝑟 ∙
𝑓: 𝑉 → 𝑊
(𝑟 ∙ 𝑓)(𝑣) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑣).
𝑟
𝑓(𝑣)
ℱ(ℝ)
 
1 ∈ ℝ
𝟎 de 𝑊 𝑓(𝑣) = 0 𝑣
𝟎 𝟎(𝑣) = 0
𝑣
𝑣 𝑓
−𝑓: ℝ → ℝ (−𝑓)(𝑣) = −(𝑓(𝑣))
𝑓: 𝑉 → 𝑊 𝑔: 𝑉 → 𝑊 ℎ: 𝑉 → 𝑊 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ
 (𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ)
 𝑓 + 𝑔 = 𝑔 + 𝑓
 𝑓 + 𝟎 = 𝑓
 𝑓 + (−𝑓) = 𝟎
 𝑟 ∙ (𝑓 + 𝑔) = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑟 ∙ 𝑔 (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑠 ∙ 𝑓
 (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑓)
 1 ∙ 𝑓 = 𝑓.
 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑚𝑥
𝑚 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑚
𝑝 𝑎𝑚 ≠ 0
ℝ[𝑥]
 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑚𝑥
𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑥
𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑞(𝑥) =
𝑏𝑛𝑥
𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑛 ≥ 𝑚 𝑛 = 𝑚 + 𝑘
𝑘 ≥ 0 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑎𝑛 =
0, … , 𝑎𝑚+1 = 0
𝑛 𝑛
𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥)
𝑥
𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) (𝑝 + 𝑞)(𝑥)
(𝑝 + 𝑞)(𝑥) = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑥
𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛−1)𝑥
𝑛−1 + ⋯ + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥 + 𝑎0 + 𝑏0.
𝑟 𝑝(𝑥) =
𝑎𝑚𝑥
𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑥
𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑟 ∙ 𝑝(𝑥)
𝑟 ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑟 ∙ 𝑎𝑚𝑥
𝑚 + 𝑟 ∙ 𝑎𝑚−1𝑥
𝑚−1 + ⋯ + 𝑟 ∙ 𝑎1𝑥 + 𝑟 ∙ 𝑎0.
𝑟
𝑎𝑚, … , 𝑎1, 𝑎0
ℝ𝑛
 
1 ∈ ℝ
𝑝(𝑥)
−𝑝(𝑥) = (−𝑎𝑚)𝑥
𝑚 + (−𝑎𝑚−1)𝑥
𝑚−1 + ⋯ + (−𝑎1)𝑥 + (−𝑎0)
𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) ℎ(𝑥) 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ 
 (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥))
 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 𝑝(𝑥)
 𝑝(𝑥) + 𝟎(𝑥) = 𝑝(𝑥)
 𝑝(𝑥) + (−𝑝(𝑥)) = 𝟎
 𝑟 ∙ (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) = 𝑟 ∙ 𝑝(𝑥) + 𝑟 ∙ 𝑞(𝑥) (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑟 ∙ 𝑝(𝑥) + 𝑠 ∙ 𝑝(𝑥)
 (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑝(𝑥))
 1 ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥).
 
 
𝑉 ℝ
 
𝒙, 𝒚 𝑉 𝒙 + 𝒚
 𝑟
𝒙 𝑉 𝑉 𝑟 ∙ 𝒙
𝑉
𝑉
𝒙 𝑉
𝑉 −𝒙 𝒙
𝒙, 𝒚, 𝒛 𝑟, 𝑠
 (𝒙 + 𝒚) + 𝒛 = 𝒙 + (𝒚 + 𝒛)
 𝒙 + 𝒚 = 𝒚 + 𝒙
 𝟎 𝑉 𝒙 + 𝟎 = 𝒙
 𝒙 𝑉 −𝒙 𝒙 + (−𝒙) = 𝟎
 𝑟 ∙ (𝒙 + 𝒚) = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝑟 ∙ 𝒚 (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝑠 ∙ 𝒙
 (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝒙)
 
 1 ∙ 𝒙 = 𝒙.
 
 𝒙 + 𝒚 = 𝒙 + 𝒛 𝒚 = 𝒛
 0 ∙ 𝒙 = 𝟎 𝒙
 𝑟 ∙ 𝟎 = 𝟎 𝑟
 −𝒙 𝒙 (−1) ∙ 𝒙
 𝒚 = 𝟎 + 𝒚 = (−𝒙 + 𝒙) + 𝒚 = −𝒙 + (𝒙 + 𝒚) = −𝒙 + (𝒙 + 𝒛) = (−𝒙 + 𝒙) + 𝒛 = 𝟎 + 𝒛 = 𝒛
 𝑟 ∙ 𝒙 + 0 ∙ 𝒙 = (𝑟 + 0) ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝟎 𝑟 ∙
𝒙 ∙ 𝒙 = 𝟎
 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝑟 ∙ 𝟎 = 𝑟 ∙ (𝒙 + 𝟎) = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝟎 𝑟 ∙ 𝒙
𝑟 ∙ 𝟎 = 𝟎
 𝒙 + (−1) ∙ 𝒙 = 1 ∙ 𝒙 + (−1) ∙ 𝒙 = (1 + (−1)) ∙ 𝒙 = 0 ∙ 𝒙 = 0 = 𝒙 + (−𝒙)
𝒙 (−1) ∙ 𝒙 = −𝒙
 
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm