U3_teoria_de_conjuntos

Vista previa del material en texto

Matemáticas 
 
 
Introducción al Pensamiento Matemático 
 
 
Primer Semestre 
 
 
Unidad 3. 
 Teoría de Conjuntos 
 
 
Clave 
05141103/06141103 
 
 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 2 
Tabla de contenidos. 
Unidad 3. Teoría de conjuntos .................................................................................................... 4 
Introducción .................................................................................................................................... 4 
Competencia Específica ............................................................................................................... 4 
Propósitos de la unidad ................................................................................................................ 5 
Problema Prototípico..................................................................................................................... 5 
3.1 Concepto de conjunto ............................................................................................................ 7 
3.1.1 .......................................................................................................................... Conjunto vacío11 
3.1.2 .............................................................................................................................. Cardinalidad11 
3.1.3 ............................................................................................................................ Subconjuntos12 
3.1.4 ............................................................................................................... Igualdad de conjuntos13 
3.1.5 .................................................................................................................. Conjuntos disjuntos15 
3.1.6 .................................................................................................................... Conjunto universal16 
3.1.7 .......................................................................................................... Diagramas de Venn Euler17 
3.2 Operaciones de conjuntos .............................................................................................. 19 
3.2.1 Unión ................................................................................................................................... 19 
3.2.2 Intersección ......................................................................................................................... 24 
3.2.3 Complemento ...................................................................................................................... 25 
3.3.4 Diferencia ............................................................................................................................ 29 
3.2.5. Producto cartesiano ........................................................................................................... 34 
Cierre de la unidad ...................................................................................................................... 40 
Recursos didácticos .................................................................................................................... 40 
Fuentes de consulta .................................................................................................................... 40 
 
 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 3 
Tabla de ilustraciones. 
 
Ilustración 1. Problema prototípico. ................................................................................. 5 
Ilustración 2. Los números naturales son un subconjunto de los números reales. ........ 18 
Ilustración 3. El conjunto B es un subconjunto de A y C es un conjunto ajeno a A y B. 18 
Ilustración 4. La región sombreada representa la unión de los conjuntos A y B............ 19 
Ilustración 5. La unión de los conjuntos A, B y C es la región representada por cada uno 
de ellos. ......................................................................................................................... 22 
Ilustración 6. La región sombreada representa la intersección de los conjuntos cuando 
tienen elementos en común. .......................................................................................... 24 
Ilustración 7. La región de color rosa es el complemento del conjunto A. ..................... 26 
Ilustración 8. La parte naranja del diagrama es la que representa la diferencia de 
conjuntos A - B. ............................................................................................................. 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 4 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
 
Introducción 
 
La mayoría de las personas utilizan indistintamente la palabra conjunto para referirse a 
una colección de objetos, por ejemplo, el conjunto de lápices, bolígrafos, libros, libretas, 
televisiones, videojuegos, refrigeradores, por mencionar algunos. Es decir, agrupas por 
medio de una característica común, en este caso, sabes que todos se llaman lápices, 
bolígrafos y demás, pero hay diferencias entre ellos y pueden llegar a ser muy grandes. 
Si eres más estricto, los lápices pueden ser de madera o de otro material, los bolígrafos 
pueden ser de gel o de diferentes colores. Por lo tanto, no basta con que tengan una 
característica común, aunque te estés refiriendo a números, personas, figuras, ideas y 
conceptos. 
 
Lo esencial de un conjunto es estar bien definido, es decir, a partir de una característica 
particular, debes determinar si un elemento pertenece o no al conjunto. Por ejemplo, el 
conjunto de los números naturales pares; -2 es un número entero y aunque es par no 
pertenece al conjunto porque no cumple con la característica que se está pidiendo. Por 
otro lado, si te refieres al conjunto de las personas altas, para empezar debes 
preguntarte qué tan alto es alto, qué estatura estás pidiendo, de qué lugar son las 
personas, el color de piel, el color de ojos, la nacionalidad, entre muchos más. 
 
En esta unidad trabajarás el concepto de conjunto y las operaciones que puedes 
realizar con ellos, siempre y cuando estén bien definidos. 
 
 
Competencia Específica 
 
Analizar proposiciones simples y compuestas empleando las operaciones 
proposicionales para expresarlas en un lenguaje lógico. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 5 
Propósitos de la unidad 
 
 Identificar lo que es un conjunto y la dificultad de definirlo. 
 Realizar las construcciones de conjuntos como resultados de las operaciones de unión, 
intersección, diferencia, complemento y producto cartesiano de distintos conjuntos. 
 Realizar demostraciones usando conjuntos, lógica proposicional y los diferentes 
métodos de demostración. 
 Demostrar un enunciado matemático empleando conjuntos y aplicando los elementos de 
la lógica proposicional y algún método de demostración. 
 
 
Problema Prototípico 
 
Unidad 3: Durante esta unidad aplicarás lo aprendido para resolver un problema con 
operaciones de conjuntos basado en una encuesta a 95 personas con respecto a su 
género de película favorito. 
 
 
Ilustración 1. Problema prototípico. 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 6 
 
3. ¿Cuál es tu película favorita? 
Esta pregunta es muy frecuente entre todos los ámbitos sociales y educativos. Todas 
las personas tienen un género preferido de película e incluso, muchas de ellas prefieren 
dos géneros o ni uno. La encuesta se ha realizado acotando los géneros de películas a: 
drama, comedia y acción, ya que son los más comunes y permitirá al alumno un mejor 
manejo de los datos. 
 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 7 
3.1 Concepto de conjunto 
Conjuntos 
 
Conjunto es una palabra familiar, que conocesde cursos anteriores. Una constelación 
es un conjunto de estrellas; una circunferencia es un conjunto de puntos que verifican 
equidistar de otro punto llamado centro; el abecedario es el conjunto de todas las 
letras. Sin embargo, si quieres contestar a la pregunta: ¿qué es un conjunto? 
responderías: ¿una colección de objetos, una agrupación? Tendrías a su vez que 
conocer la definición de los conceptos “colección”, “agrupación”, y otros similares, y 
entrarías en un círculo vicioso. Si afirmas que “toda reunión de objetos es un conjunto”, 
el concepto participa circularmente de su propia definición. 
 
 En matemáticas eludes estos problemas, eligiendo algunos conceptos que se llaman 
“conceptos primitivos”, aceptándolos sin definición. Los eliges como punto de partida, 
suponiendo que todos tienen una noción intuitiva de lo que quieren decir. Entonces, 
para los efectos del desarrollo de este tema, vas a partir de los siguientes conceptos 
primitivos: 
 
Conjunto 
Elemento 
Pertenece 
 
Aproximadamente a la mitad del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor creaba 
la primera teoría de conjuntos. Hasta fines de ese siglo nadie se había preocupado por 
una definición rigurosa de conjunto, hasta que en 1895 Cantor expresa: 
 
“Un conjunto es la agrupación en un todo, de objetos definidos y distintos de nuestra 
intuición o de nuestro pensamiento”. 
 
Esta definición no clarifica el concepto de conjunto. Al hablar de “objetos definidos” 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 8 
Cantor quería expresar la idea que dado un conjunto siempre es posible, ante un 
objeto cualquiera, decidir si dicho objeto pertenece o no al conjunto. Al exigir que estos 
elementos fuesen “distintos”, Cantor quería significar que todos los elementos del 
mismo conjunto debían ser diferentes; es decir, un conjunto no debía tener elementos 
repetidos. Cantor nunca llegó a utilizar esta definición. Él mismo hizo una fuerte crítica 
a su teoría en 1897 y 1899. 
 
En 1901, Bertrand Russell descubrió la “Paradoja de Russell”, que agudizó algunos 
problemas de la teoría de conjuntos y provocó una de las mayores crisis de la lógica. 
¿Qué dice la Paradoja de Russell? Es claro que un conjunto A de lápices no es un 
lápiz, y puesto que A contiene sólo lápices, es inmediato que A no es elemento de A. 
Análogamente, el conjunto N de los números naturales no es un número natural. 
 
Bertrand Russell: filósofo británico nacido en el País de Gales, vivió entre 1872 y 1970, 
y es considerado el último sabio universal. Ganó el Premio Nobel de Literatura en 
1950. 
 
Dado que en N sólo encuentras números naturales, N no se pertenece a sí mismo. 
Según la definición de Cantor, parecería acertado afirmar que si agrupas todos los 
conjuntos que no son elementos de sí mismos, como A y N, obtendrías un conjunto. 
 
Russell probó que no es cierto. Esto proviene de una definición “ingenua” del concepto 
de conjunto. Dentro de esa “ingenuidad” con la que Cantor elaboró y desarrolló su 
teoría, estaba planteada la llamada crisis de los fundamentos de la matemática de 
comienzos del siglo XX. 
 
En 1908, el matemático Ernst Zermelo (1871-1953) desarrolla un enfoque axiomático 
que elimina lo del conjunto de los elementos que no se pertenecen a sí mismos, y 
busca retener la riqueza operativa de la teoría de Cantor. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 9 
Escande A. (2008). Conjuntos. Uruguay. Recuperado de: 
http://www.x.edu.uy/conjuntosteorico.pdf 
 
Lipschutz (1991) explica que “el concepto de conjunto es fundamental en todas las 
ramas de la matemática. Intuitivamente, un conjunto es una lista o clase de objetos bien 
definidos, objetos que, como se verá en los ejemplos, pueden ser cualesquiera: 
números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del 
conjunto” (p. 1). 
 
Un conjunto es una colección de objetos que pueden o no tener alguna característica 
en común y se representa por medio de letras mayúsculas: 𝑈, 𝑉, 𝑊, 𝑅, 𝑆, 𝑇, por decir 
algunos. 
 
Ejemplos de conjuntos: 
 
El conjunto de los números naturales se representa con la letra 𝑵 y sus elementos son: 
𝑵 = {1, 2, 3, … } 
 
El conjunto de los números enteros se representa con la letra 𝒁 y sus elementos son: 
𝒁 = {… − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } 
 
El conjunto de los números racionales se representa por 𝑸 y sus elementos son de la 
forma 
𝑝
𝑞
 donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros. 
𝑸 = {
𝑝
𝑞
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 𝑦 𝑞 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑞 ≠ 0 } 
 
El conjunto de los números irracionales se denota por 𝑰 y sus elementos son: 
𝑰 = {√𝑝, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜} 
 
http://www.x.edu.uy/conjuntosteorico.pdf
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 10 
El conjunto de los números reales que se denota por 𝑹 está formado por los números 
racionales e irracionales. 
 
Para definir un conjunto es necesario describir de una manera precisa, cuáles son los 
elementos de dicho conjunto. 
 
Los objetos o elementos que forman un conjunto se representan por medio de letras 
minúsculas encerrados entre un par de llaves. Cuando un objeto pertenece a un 
conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia ∈, por ejemplo, si 𝑎 es un elemento del 
conjunto 𝐴, se representa por 𝑎 ∈ 𝐴 y significa que 𝑎 “pertenece a” 𝐴. 
 
Ejemplo 1. El conjunto de los enteros positivos incluido el 0, cuyo símbolo es 𝑍+, tiene 
los siguientes elementos: 
 
𝒁+ = {0, 1, 2, 3, 4, … } 
 
Los puntos suspensivos indican que la serie o secuencia de números continúa, en este 
caso no hay ningún número después de los puntos suspensivos lo cual significa que la 
serie continua infinitamente. 
 
Ejemplo 2. El conjunto de los números enteros del 1 al 100. 
 
Sea 𝐴 el conjunto, entonces: 
 
𝐴 = {1, 2, 3, … , 100} 
 
Como puedes observar en este ejemplo, el conjunto está muy bien definido. El 
0, −1, −2, 1/2, 1/4 y otros no pertenecen al conjunto. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 11 
3.1.1 Conjunto vacío 
 
Se le llama conjunto vacío a aquel que no posee ningún elemento. Siempre que 
utilices este conjunto debes recordar el porqué de su nombre, ya que esto ofrece una 
herramienta de demostración muy importante, más adelante se detallará esta situación. 
El conjunto vacío se representa por el símbolo ∅ o un par de corchetes vacíos { }. 
 
Puedes encontrar el conjunto vacío en muchas partes, por ejemplo: 
 
El conjunto de todos los dragones que habitan en el Distrito Federal. 
 
Si representas al conjunto con la letra 𝐷, entonces tienes que; 
𝐷 = ∅ 
 
Ya que no existe ningún dragón en el mundo y por ende en el Distrito Federal. 
 
El conjunto de todas las panteras que habitan en el fondo del mar. 
 
Si representas a este conjunto por 𝑃, tienes: 
 
𝑃 = ∅ 
 
Puesto que ninguna pantera habita en el fondo del mar. 
 
3.1.2 Cardinalidad 
 
La cardinalidad se refiere a la cantidad de elementos que tiene un conjunto. De esta 
manera, si un conjunto 𝐴 tiene una cantidad finita de elementos, entonces 𝐴 es un 
conjunto finito y su cardinalidad se representará por el número de elementos que 
posee. 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 12 
 
Si un conjunto 𝐵 tiene una cantidad infinita de elementos, entonces, dices que el 
conjunto es infinito y que tiene una cardinalidad infinita. 
 
Representarás la cardinalidad de un conjunto, como el conjunto delimitado por un par 
de barritas, por ejemplo: si 𝐴 es un conjunto, su cardinalidad la representarás por |𝐴|. 
 
El conjunto vacío tiene cardinalidad 0, por lo cual puedes decir que |∅| = 0. 
 
Ejemplos: 
 
Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} 
 
La cardinalidad del conjunto 𝐴 es: |𝐴| = 8 
 
Sea 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … , 500} 
 
La cardinalidad del conjunto 𝐵 es: |𝐵| = 5003.1.3 Subconjuntos 
 
Para explicar en qué consiste un subconjunto analiza el siguiente ejemplo. 
 
Sea 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sea 𝐵 = {2, 4, 6} 
 
En este ejemplo puedes notar que los elementos del conjunto 𝐵, los cuales son: 
2, 4 𝑦 6, también son elementos del conjunto 𝐴, por esta razón, puedes decir que 𝐵 es 
un subconjunto de 𝐴. 
 
Definición de subconjuntos 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 13 
 
Un conjunto 𝐵 es subconjunto de un conjunto 𝐴 si todo elemento del conjunto 𝐵 es un 
elemento del conjunto 𝐴. Lo representas por 𝐵 ⊆ 𝐴, y lo lees “𝐵 es un subconjunto de 
𝐴”, también lo puedes representar por 𝐴 ⊃ 𝐵, lo cual significa que 𝐴 contiene a 𝐵. Para 
cualquier conjunto 𝐶 tienes que 𝐶 ⊆ 𝐶, es decir, que cualquier conjunto es un 
subconjunto de sí mismo. 
 
Ejemplos: 
 
Si 𝑍 es el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números naturales 𝑁, 
entonces 𝑁 ⊆ 𝑍. 
 
Si 𝑅 es el conjunto de los números reales y 𝑍 el conjunto de todos los números enteros, 
entonces 𝑍 ⊆ 𝑅. 
 
El conjunto vacío es un subconjunto propio de todo conjunto. 
 
El conjunto de los números naturales 𝑁 es un subconjunto propio de los números reales 
𝑅, esto es, 𝑁 ⊂ 𝑅. 
 
3.1.4 Igualdad de conjuntos 
 
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, los conjuntos 
𝐴 y 𝐵 son iguales si cada elemento de 𝐴 es un elemento de 𝐵 y viceversa, cada 
elemento de 𝐵 es un elemento de 𝐴. 
 
Simbólicamente, la igualdad de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 ocurre cuando 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴, 
entonces dices que 𝐴 = 𝐵. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 14 
Si 𝐴 y 𝐵 son dos conjuntos distintos, y 𝐴 ⊆ 𝐵, dices que 𝐴 es un subconjunto propio de 
𝐵. Este subconjunto lo denotas de igual manera que cuando se denota un subconjunto 
normal, es decir, como 𝐴 ⊆ 𝐵. 
 
Por otra parte, si tienes que 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴, dices que 𝐴 es un subconjunto impropio 
de 𝐵 o bien, que 𝐵 es un subconjunto impropio de 𝐴. Esta clase de subconjunto lo 
denotas con el símbolo ⊂, de esta manera estableces que 𝐴 ⊂ 𝐵. 
 
Con lo anterior puedes decir que si 𝐶 es un conjunto, entonces 𝐶 es un subconjunto 
impropio de sí mismo, es decir, 𝐶 ⊂ 𝐶. 
 
Para que dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 sean distintos basta con que exista un elemento en 𝐴 que 
no esté en 𝐵 o viceversa. 
 
Hasta este momento, conoces los conjuntos y subconjuntos, una manera de 
representar a los conjuntos es la siguiente: 
 
𝐴 = {𝑥 | 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑} 
 
Lo anterior significa: el conjunto 𝐴 que consta de todos los 𝑥, tales que 𝑥 tiene cierta 
propiedad, como puedes observar, el símbolo “|” significa tal que. 
 
Esta es una forma abreviada de representar un conjunto, por ejemplo: 
 
Si 𝐴 es el conjunto de todos los números cuyo cuadrado es un entero positivo. 
 
Este conjunto lo puedes representar de la siguiente manera: 
𝐴 = {𝑥 | 𝑥2 ∈ 𝑍+} 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 15 
Si 𝐵 es el conjunto de todos los números naturales comprendidos entre el 0 y el 100, 
incluyendo el 0 y el 100. 
 
Este conjunto lo puedes representar como: 
 
𝐵 = { 𝑥 | 1 ≤ 𝑥 ≤ 100} 
 
Si 𝐶 es el conjunto de todas las pelotas contenidas en un enorme costal. 
 
Este conjunto lo representas de la siguiente manera: 
 
𝐶 = {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑙} 
 
3.1.5 Conjuntos disjuntos 
 
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, es decir, 
para cualquier elemento 𝑥 de 𝐴 se tiene que 𝑥 no está en 𝐵 y para cualquier elemento 
𝑦 de 𝐵 se tiene que 𝑦 no está en 𝐴. Puedes representarloasí: 𝐴 y 𝐵 son disjuntos si 𝑥 ∈
 𝐴, entonces 𝑥 ∉ 𝐵 y si 𝑦 ∈ 𝐵, entonces 𝑦 ∉ 𝐴. 
 
Para comprender cuando los conjuntos son disjuntos, analiza lo siguiente. 
 
Ejemplo: 
 
Sean los conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4} y 𝐵 = {−1, 0, 10, 15} 
 
Los conjuntos 𝐴 y 𝐵 son disjuntos, ya que ninguno de ellos tiene elementos en común, 
es decir, si tomas algún elemento de 𝐴, éste no se encuentra en 𝐵 y si tomas un 
elemento de 𝐵, éste no se encuentra en 𝐴. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 16 
3.1.6 Conjunto universal 
 
Se le llama conjunto universal al conjunto que contiene a todos los conjuntos, es 
decir, un conjunto es universal si contiene a todos los conjuntos con los que estás 
trabajando. Por ejemplo, si tienes los conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶, los cuales son: 
 
𝐴 = {1, 2, 3, 4}; 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 𝑦 𝐶 = {𝑥 | 𝑥 > 4} 
 
Si construyes el conjunto 𝐷 de la siguiente manera: 
 
𝐷 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑥 | 𝑥 > 0} 
 
Entonces tienes que de entre los conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷, el conjunto 𝐷 es el conjunto 
universal de los cuatro ya mencionados, esto se debe a que todos son subconjuntos de 
𝐷. 
 
Todo conjunto puede considerarse como un subconjunto de sí mismo, por esta razón, 
puedes decir que un conjunto puede considerarse como el conjunto universal de sí 
mismo. 
 
Generalmente representas al conjunto universal por 𝑈. 
 
Ejemplo: 
 
Si 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑁}, entonces el conjunto 𝐵 = {𝑦 | 𝑦 ∈ 𝑅} es un conjunto universal de 
𝐴. 
 
Si 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒, 𝑚, 𝑧}, entonces el conjunto 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑏𝑒𝑐𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜} es 
un conjunto universal de 𝐴. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 17 
3.1.7 Diagramas de Venn Euler 
 
En muchas ocasiones se tiende a confundir los diagramas de Venn con los diagramas 
de Euler. Los diagramas que utilizas en la teoría de conjuntos son representaciones 
graficas de los conjuntos por medio de círculos, en el sentido que un círculo representa 
a cierto conjunto. 
 
El diagrama de Euler es un diagrama que se utiliza para representar la inclusión de 
conjuntos, es decir, cuando un conjunto se encuentra incluido dentro de otro. También 
se utiliza para representar a conjuntos disjuntos, esto los verás más adelante en la 
sección de complemento. 
 
Se ha dicho anteriormente que en el diagrama de Euler utilizas círculos para 
representar conjuntos, para completar el diagrama, éstos van encerrados dentro de un 
rectángulo al cual le colocas la letra 𝑈, debido a que se le considera como un conjunto 
universal que contiene aquéllos que se están representando dentro de él. 
 
Para comprender mejor el diagrama de Euler se darán algunos ejemplos. 
 
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. 
 
Si 𝑵 es el conjunto de los números naturales y 𝑹 el de los números reales, el diagrama 
de Euler que representa estos conjuntos es el siguiente: 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 18 
 
Ilustración 2. Los números naturales son un subconjunto de los números reales. 
 
𝑆𝑖 𝐴 = {1, 5, 10, 15}, 𝐵 = {1, 15} y 𝐶 = {2, 4, 6, 8}, el diagrama de Euler que representa 
estos conjuntos es: 
 
 
Ilustración 3. El conjunto B es un subconjunto de A y C es un conjunto ajeno a A y B. 
 
Puedes decir que el diagrama de Venn es el perfeccionamiento del diagrama de Euler y 
se desarrolló para poder representar de manera esquemática muchas situaciones más 
que se presentan con los conjuntos. Por ejemplo, cuando dos conjuntos tienen 
elementos en común sin que ocurra necesariamente que uno este contenido dentro de 
otro. Este tipo de diagrama es el que vas a utilizar para desarrollar algunos de los 
conceptos más importantes que se presentarán a lo largo de esta sección, con el objeto 
de identificarlos y para comprenderlos a fondo. 
 
 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 19 
3.2 Operaciones de conjuntos 
 
Si tienes dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, puedes realizar diferentes operaciones entre ellos a partir 
de sus elementos, ya sea que los conjuntos sean finitos o infinitos. Esto generalmente 
se realiza para construir nuevos conjuntosmás complejos, descomponerlos en otros 
más simples, encontrar sus características en común y deshacerse de ellas o 
reutilizarlas, por mencionar algunos. 
 
En esta sección se definirán las operaciones entre conjuntos, así como su 
representación gráfica. 
 
3.2.1 Unión 
 
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, se define a la unión de 𝐴 y B como un nuevo conjunto, 
denotado por 𝐴 ∪ 𝐵. Dicho conjunto está formado por todos los elementos contenidos 
en 𝐴 y todos los elementos contenidos en 𝐵. 
 
La unión de conjuntos la representas de la siguiente manera: 
 
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 ˅ 𝒙 ∈ 𝑩} 
 
Por medio de los diagramas de Venn puedes representar la unión de conjuntos de la 
siguiente manera: 
 
 
Ilustración 4. La región sombreada representa la unión de los conjuntos A y B. 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 20 
Como puedes observar en el diagrama anterior, la unión representa la fusión de los 
elementos de los conjuntos 𝐴 y 𝐵. 
 
Cuando se efectúa la unión de dos conjuntos, digase 𝐴 y 𝐵, el resultado es un conjunto 
que contiene tanto a 𝐴 como a 𝐵. Esta afirmación es demasiado obvia, pero para no 
omitir casos, vas a demostrarlo. 
Ejemplo.: 
Si 𝐴 y 𝐵 son dos conjuntos, entonces 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 
 
 
Primero identifica las hipótesis: 
 
 𝐴 es un conjunto 
 𝐵 es un conjunto 
 
Debes llegar a la conclusión de que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y que 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵. 
 
Demostración: 
 
Sea 𝑥 ∈ 𝐴, esto implica que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵, esto es posible por la ley de la adición 
para operadores lógicos. 
 
Como tienes que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵, significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵. 
 
Como esto ocurre con un elemento 𝑥 cualquiera de 𝐴, lo mismo ocurrirá para cualquier 
otro elemento de 𝐴, por lo tanto, puedes concluir que todo elemento de 𝐴 es un 
elemento de 𝐴 ∪ 𝐵, es decir, que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵. 
 
Ahora, sea 𝑦 ∈ 𝐵, esto implica que 𝑦 ∈ 𝐵 ˅ 𝑦 ∈ 𝐴, esto es posible por la ley de la 
adición para operadores lógicos. 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 21 
 
Como 𝑦 ∈ 𝐵 ˅ 𝑦 ∈ 𝐴, entonces 𝑦 ∈ 𝐴 ˅ 𝑦 ∈ 𝐵. Esto se puede realizar debido a la 
regla de inferencia “ley conmutativa” del operador lógico o (˅). 
 
Tienes que 𝑦 ∈ 𝐴 ˅ 𝑦 ∈ 𝐵, lo cual significa que 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵. 
 
Como esto ocurre con un elemento 𝑦 cualquiera de 𝐵, lo mismo ocurrirá para cualquier 
otro elemento de 𝐵, por lo tanto, puedes concluir que todo elemento de 𝐵 es un 
elemento de 𝐴 ∪ 𝐵, es decir, que 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵. 
 
Por lo tanto, para cualquier par de conjuntos 𝐴 y 𝐵, se verifica que 
𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵. 
 
Ejemplo: 
 
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 tres conjuntos, donde: 
 
𝑨 = {𝒙 | 𝒙 > 0}, 𝑩 = {𝒚 | 𝒚 < 0} y 𝑪 = {𝟎} 
 
Tienes que: 
 
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑍}, donde 𝑍 es el conjunto de los números enteros. 
 
Es obvio que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son subconjuntos de 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶, o bien del conjunto de los 
números enteros 𝑍. 
 
El siguiente diagrama de Venn representa la unión de los conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 22 
 
Ilustración 5. La unión de los conjuntos A, B y C es la región representada por cada uno de ellos. 
 
Demuestra el siguiente enunciado: Sea 𝐴 un conjunto, entonces 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴. 
 
La hipótesis es que 𝐴 es un conjunto. 
 
Si 𝐴 = { }, es obvio que la unión de conjuntos vacíos es el vacío, por lo que, supón que 
𝐴 es no vacío. 
 
Sea 𝑥 ∈ 𝐴, esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐴, es decir que 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐴. 
 
Lo anterior expone que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐴. 
 
Ahora bien, sea 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐴, esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐴, es decir que 𝑥 ∈ 𝐴, lo 
cual es 𝐴 ∪ 𝐴 ⊆ 𝐴. 
 
Has obtenido entonces que para cualquier conjunto 𝐴 se verifica que: 
 
 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐴 y 
 𝐴 ∪ 𝐴 ⊆ 𝐴 
 
Significa que 𝐴 = 𝐴 ∪ 𝐴. 
 
Esto demuestra que el enunciado establecido es verdadero. 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 23 
 
Para finalizar esta sección vas a demostrar otra de las propiedades que tiene la unión 
de conjuntos. 
 
Sea 𝐴 un conjunto cualquiera, entonces 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴. 
 
Demostración: 
 
La hipótesis es que 𝐴 es un conjunto vacío. 
 
Si 𝐴 es un conjunto vacío, entonces la unión sería un conjunto vacío y la igualdad se 
cumple. 
 
Supón que 𝐴 es no vacío. 
 
Sea 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ∅, esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ ∅ , por supuesto que x ∉ ∅ ya que el 
vacío no tiene elementos, esto quiere decir que 𝑥 ∈ 𝐴, lo cual muestra que 𝐴 ∪ ∅ ⊆ 𝐴. 
 
Sabes que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo, en particular, 𝐴 ⊆ 𝐴, por lo 
tanto, 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵, para cualquier conjunto 𝐵. 
 
Si tomas el caso particular de 𝐵 = ∅, tienes que: 
 
𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵, es decir, que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ ∅. 
 
Entonces tienes que: 
 
1. 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 y 
2. 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ ∅. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 24 
Por lo tanto, puedes concluir de 1 y 2 que: 
 
𝐴 = 𝐴 ∪ ∅. 
 
3.2.2 Intersección 
 
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, se le llama intersección de 𝐴 y 𝐵, al conjunto de todos los 
elementos de 𝐴 que pertenecen a 𝐵, es decir, que la intersección de dos conjuntos es 
un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a 
𝐴 y 𝐵. 
 
La intersección de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 la representas como: 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 ˄ 𝒙 ∈ 𝑩} 
 
El diagrama de Venn que representa la intersección es el siguiente: 
 
Ilustración 6. La región sombreada representa la intersección de los conjuntos cuando tienen elementos en común. 
 
Para comprender mejor el concepto de intersección de conjuntos, realiza la 
demostración de algunas propiedades particulares que posee ésta. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 25 
 
1. Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, entonces 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 y 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵. 
 
Sea 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, esto indica por definición que 𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∈ 𝐵, es decir, que 𝑥 ∈ 𝐴, por 
lo que 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴. 
 
Sea 𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, por definición de intersección 𝑦 ∈ 𝐴 ˄ 𝑦 ∈ 𝐵, es decir que 𝑦 ∈ 𝐵, por 
lo que 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵. 
 
Entonces, el enunciado es verdadero. 
 
Vas a finalizar esta sección demostrando el siguiente ejemplo. 
 
2. Sea 𝐴 un conjunto, entonces 𝐴 ∩ ∅ = ∅. 
 
Supón que 𝐴 ∩ ∅ ≠ ∅. Entonces, sea 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ ∅, esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∈ ∅. 
Aquí tienes una contradicción, ya que no existe ningún elemento en el ∅, entonces 𝑥 no 
existe, es decir, que no existe ninguna 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ∈ ∅, por lo tanto, 𝐴 ∩ ∅ no 
tiene ningún elemento, lo cual significa que 𝐴 ∩ ∅ = ∅. 
 
3.2.3 Complemento 
 
Para comprender el complemento de un conjunto 𝐴, se debe tomar en cuenta el 
conjunto universal 𝑈, que en este caso sería aquel conjunto que contiene a 𝐴. 
 
Definición de complemento 
 
Se le llama complemento de 𝐴 con respecto a 𝑈, denotado por 𝐴𝑐, al conjunto formado 
por todos aquellos elementos de 𝑈 que no pertenecen al conjunto 𝐴. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 26 
La representación simbólica del complemento de 𝐴 con respecto de 𝑈 es: 
 
𝐴𝑐 = {𝑥 ∈ 𝑈| ¬(𝑥 ∈ 𝐴)} 
 
Dado que ¬(𝑥 ∈ 𝐴), tiene el mismo significado que 𝑥 ∉ 𝐴, utiliza esta última 
representación para indicar que 𝑥 no está en 𝐴. Así, la representación anterior de 𝐴𝑐 es 
la que se presenta a continuación: 
 
𝑨𝒄 = {𝒙 ∈ 𝑼| 𝒙 ∉ 𝑨)} 
 
El siguiente diagrama de Venn representa el complemento del conjunto 𝐴 con respecto 
al conjunto universal 𝑈. 
 
 
Ilustración 7. La región de color rosa es el complemento del conjunto A. 
 
A continuación, demuestra una de las propiedades del complemento: 
 
Si 𝐴 es un conjunto, entonces (𝐴𝑐)𝑐 = 𝐴. 
 
La hipótesis es que A es un conjunto. 
 
Sea 𝑥 ∈ 𝐴, esto significa que 𝑥 ∉ 𝐴𝑐, de lo contrario, 𝑥no estaría en 𝐴. 
 
Como 𝑥 ∉ 𝐴𝑐, entonces 𝑥 ∈ (𝐴𝑐)𝑐. 
𝐴𝑐 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 27 
Lo anterior quiere decir que 𝐴 ⊆ (𝐴𝑐)𝑐. 
 
Sea 𝑦 ∈ (𝐴𝑐)𝑐. 
Entonces, 𝑦 ∉ 𝐴𝑐, porque 𝑦 está en el complemento de 𝐴𝑐. 
 
Como 𝑦 ∉ 𝐴𝑐, significa que 𝑦 ∈ 𝐴, porque que 𝑦 no está en el complemento de 𝐴. 
 
Lo anterior expone que (𝐴𝑐)𝑐 ⊆ A. 
 
Por lo tanto, (𝐴𝑐)𝑐 = 𝐴. 
 
Antes de desarrollar otro ejemplo, recuerda los cuantificadores que viste en la Unidad 1. 
Los cuantificadores permiten representar de manera particular o general alguna 
proposición que se utiliza para demostrar un enunciado, en este caso, verás cómo se 
utilizan cuando se trabaja con conjuntos. 
 
Cuantificador universal 
 
Este cuantificador se utiliza para generalizar alguna proposición, se representa por el 
símbolo ∀ que significa para todo. 
 
Ejemplo: 
 
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. Si 𝑥 ∈ 𝐴, entonces 𝑥 ∈ 𝐵. 
 
Se trata de una proposición compuesta cuyo conectivo principal es una implicación 
lógica, utilizando cuantificadores, puedes escribirla de la siguiente manera: 
 
∀ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 28 
Significa: “Para todo” 𝑥 que pertenece a 𝐴, 𝑥 pertenece a 𝐵. 
 
Cuantificador existencial 
 
Este cuantificador se utiliza para particularizar alguna proposición, se representa por el 
símbolo ∃ que significa “existe un”. 
 
Ejemplo: 
 
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Si 𝑥 ∈ 𝐴, entonces 𝑥 ∉ 𝐵 
 
Esta proposición es una implicación lógica, por medio del cuantificador existencial, 
puedes escribirla de la siguiente manera: 
 
∃ 𝑥 ∈ 𝐴, tal que 𝑥 ∉ 𝐵 
 
Lo que significa: “Existe un” 𝑥 en 𝐴, tal que 𝑥 ∉ 𝐵. 
 
Los cuantificadores universal y existencial pueden obtenerse negándose uno o el otro. 
 
Ejemplo: 
 
∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵, Significa: Existe un 𝑥 en 𝐴, tal que 𝑥 ∉ 𝐵. 
Negar esta afirmación quiere decir: No existe un 𝑥 en 𝐴, tal que 𝑥 ∉ 𝐵. 
 
Para finalizar la sección vas a demostrar el siguiente enunciado, el cual relaciona al 
conjunto universal con el conjunto vacío. 
 
Sea ∅ el conjunto vacío, entonces ∅𝑐 = 𝑈. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 29 
Es obvio que ∅𝑐 ⊆ 𝑈, porque 𝑈 contiene a todos los conjuntos. 
 
Sea 𝑥 ∈ 𝑈, entonces 𝑥 ∉ ∅, puesto que el vacío no contiene elementos, entonces 
debe pertenecer a su complemento, es decir, 𝑥 ∈ ∅𝑐. 
 
Como tomaste un elemento cualquiera 𝑥 𝑑𝑒 𝑈, tienes que 𝑈 ⊆ ∅𝑐. 
 
Por lo tanto, el enunciado es verdadero. 
 
3.3.4 Diferencia 
 
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. Se define la diferencia de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se denota 
por 𝐴 – 𝐵, como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto 𝐴 y no 
pertenecen a 𝐵. 
 
La diferencia de los conjuntos 𝐴 y 𝐵 la representas simbólicamente como: 
 
𝑨 – 𝑩 = {𝒙| 𝒙 ∈ 𝑨 ˄ 𝒙 ∉ 𝑩} 
 
El diagrama de Venn que representa la diferencia entre los conjuntos 𝐴 y 𝐵 es: 
 
 
Ilustración 8. La parte naranja del diagrama es la que representa la diferencia de conjuntos A - B. 
 
A – B 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 30 
Al conjunto 𝐴 – 𝐵 también se le conoce como complemento relativo de 𝐵 con respecto 
de 𝐴. 
 
La diferencia de conjuntos tiene algunas propiedades muy interesantes, las cuales se 
presentan a continuación. 
 
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos, sus propiedades son: 
 
1. Propiedad conmutativa 
 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 
 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 
 
2. Propiedad asociativa 
 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 
 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 
 
3. Propiedad distributiva 
 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 
 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 
 
4. Leyes de Morgan 
 (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 
 (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 
 
Las cuatro propiedades anteriores, las utilizarás muy a menudo al realizar algunas 
demostraciones sobre la teoría de conjuntos, por esta razón, se presentan. En el 
siguiente ejemplo verás el uso de algunas de las propiedades anteriores. 
 
 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 31 
Ejemplo: 
 
Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶, y 𝐷 conjuntos. Si 𝐶 = 𝐷, entonces (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) = 𝐷 ∪ 𝐶𝑐. 
 
Por hipótesis tienes que 𝐶 = 𝐷. 
 
La conclusión es: (𝑨 ∩ 𝑩)𝒄 ∪ (𝑨 ∪ 𝑪) = 𝑫 ∪ 𝑪𝒄. 
 
Para realizar esta demostración existen dos métodos: el primero consiste en demostrar 
que el primer miembro es un subconjunto del segundo y viceversa, de esta manera 
tendrías que son iguales, aplicando la definición de igualdad de conjuntos. El segundo 
consiste en trabajar el primer miembro y llegar al segundo o viceversa. En este caso, 
vas a realizar la demostración por el segundo método. 
 
Trabajando progresivamente sobre el primer miembro, tienes que: 
 
(𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐) ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) por las leyes de Morgan 
 
 = (𝐵𝑐 ∪ 𝐴𝑐) ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) por la propiedad conmutativa 
 
 = 𝐵𝑐 ∪ (𝐴𝑐 ∪ 𝐴) ∪ 𝐶 por la propiedad asociativa 
 
 = 𝐵𝑐 ∪ (𝑈) ∪ 𝐶 es el resultado de la unión de 
un conjunto y su complemento 
 
 = 𝑈 por la unión del conjunto 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 32 
universal con cualquier otro 
conjunto 
 
Entonces: (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) = 𝑈. 
 
Ahora, trabaja con el segundo miembro. 
 
𝐷 ∪ 𝐶𝑐 = 𝐶 ∪ 𝐶𝑐, por hipótesis, porque 𝐶 = 𝐷 
 
 = 𝑈, porque la unión de un conjunto y su complemento es el conjunto 
universal. 
 
En ambos miembros, has llegado a que 𝑈 = 𝑈, por esta razón, el enunciado: 
 
Si 𝐶 = 𝐷, entonces (𝑨 ∩ 𝑩)𝒄 ∪ (𝑨 ∪ 𝑪) = 𝑫 ∪ 𝑪𝒄 , es verdadero. 
 
Ejemplo: 
 
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Si 𝐵 = 𝐶, entonces ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶𝑐)) – 𝐴 = ∅. 
 
De igual manera, trabaja con los miembros de la igualdad para encontrar un resultado 
que te aproxime o lleve a la conclusión. 
 
 ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶𝑐)) – 𝐴 
= [((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴) ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶𝑐)] – 𝐴 
por la propiedad asociativa 
 
 
 = [(𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐶𝑐 ∪ (𝐴 ∩ por la propiedad 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 33 
 𝐵))] – 𝐴 conmutativa 
 
 = [((𝐴 ∪ 𝐴) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∩ ((𝐶𝑐 ∪ 𝐴) 
∩ (𝐶𝑐 ∪ 𝐵))] – 𝐴 
por la propiedad distributiva 
 
 
 
= [((𝐴) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∩ ((𝐶𝑐 ∪ 𝐴) ∩ (𝐶𝑐 
∪ 𝐵))] − 𝐴 
por la unión de conjuntos 
 
 
 = [(𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∩ ((𝐵𝑐 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵𝑐 ∪
 𝐵))] – 𝐴 
por hipótesis de 𝐵 = 𝐶 
 
 
 = [ 𝐴 ∩ ((𝐵𝑐 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵𝑐 ∪ 𝐵))] – 𝐴 por intersección de 
conjuntos 
 
 = [ 𝐴 ∩ ((𝐵𝑐 ∪ 𝐴) ∩ (𝑈))] – 𝐴 porque la unión de un 
conjunto y su complemento 
es el conjunto universal 
 
 = [𝐴 ∩ (𝐵𝑐 ∪ 𝐴)] – 𝐴 porque la intersección de 
cualquier conjunto 𝑃 con el 
conjunto universal da como 
resultado 𝑃 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 34 
 
 = [𝐴] – 𝐴 por intersección de 
conjuntos 
 
 = ∅ por diferencia de conjuntos 
Por lo tanto, el enunciado es verdadero. 
 
La mayoría de las ocasiones, trabajar con conjuntos puede llevar a desarrollar un 
proceso complicado, el cual puede simplificarse al utilizar las propiedades de los 
conjuntos y algunos resultados previos, ya que algunas operaciones aparecen 
repetidamenteen diferentes procesos. 
 
3.2.5. Producto cartesiano 
 
El producto cartesiano surge básicamente de la necesidad de establecer relaciones 
entre diferentes tipos de conjuntos. Por ejemplo, relacionar un conjunto de personas por 
su apellido con otro que represente las diferentes edades que una persona pueda tener 
y a su vez, se relacione con otro que represente los diferentes sexos, es algo que con 
las operaciones de unión, intersección, diferencia o complemento no se puede realizar. 
Sin embargo, el producto cartesiano permite construir un conjunto tal, que si permite la 
relación, los resultados de sus elementos para los conjuntos mencionados serían de la 
siguiente manera. 
 
𝐴 = (𝑎𝑝𝑒𝑙𝑙𝑖𝑑𝑜, 𝑒𝑑𝑎𝑑, 𝑠𝑒𝑥𝑜) 
 
Tal y como se observa, el producto cartesiano permite establecer una relación entre los 
elementos de los conjuntos mencionados. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 35 
Definición de producto cartesiano 
 
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos. Se define al producto cartesiano de 𝐴 y 𝐵, 
representado por 𝐴 𝑥 𝐵, al conjunto formado por todos los pares ordenados (𝑎, 𝑏), tales 
que 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈ 𝐵. 
 
La representación del producto cartesiano de 𝐴 y 𝐵 es: 
 
𝑨 𝒙 𝑩 = {(𝒂, 𝒃)| 𝒂 ∈ 𝑨 𝒚 𝒃 ∈ 𝑩} 
 
Ejemplo: 
 
1.-Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Si 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y 𝐵 = {1, 2, 3, 4}, entonces, ¿cuál es el 
producto cartesiano de 𝐴 𝑦 𝐵? 
 
Para contestar la pregunta, únicamente utiliza la definición de producto cartesiano. 
 
𝐴 𝑥 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)| 𝑎 ∈ 𝐴 𝑦 𝑏 ∈ 𝐵} 
 
Para este caso tienes que: 
 
𝐴 𝑥 𝐵 
= {(𝑎, 1), (𝑎, 2), (𝑎, 3), (𝑎, 4), (𝑏, 1), (𝑏, 2), (𝑏, 3), (𝑏, 4), (𝑐, 1), (𝑐, 2), (𝑐, 3), (𝑐, 4), (𝑑, 1), 
(𝑑, 2), (𝑑, 3), (𝑑, 4)}. 
 
Una de las características del producto cartesiano que puedes encontrar a simple vista, 
es, si tienes el producto cartesiano de dos conjuntos 𝐴 𝑥 𝐵, donde 𝐴 y 𝐵 tienen una 
cantidad finita de elementos, entonces, puedes encontrar la cantidad de elementos del 
producto cartesiano. Esto puedes hacerlo multiplicando la cardinalidad de 𝐴 por la 
cardinalidad de 𝐵 y el resultado será la cardinalidad de 𝐴 𝑥 𝐵. 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 36 
 
Otra de las características que puede obtenerse del producto cartesiano es la siguiente: 
 
2. Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos tales que 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝐵 = {𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛, 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎}. 
Encontrar 𝐴 𝑥 𝐵 y 𝐵 𝑥 𝐴. 
 
Comienza con 𝐴 𝑥 𝐵 
 
𝐴 𝑥 𝐵 = {(𝑎, 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛), (𝑎, 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜), (𝑎, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎), (𝑏, 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛), (𝑏, 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜), 
(𝑏, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎), (𝑐, 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛), (𝑐, 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜), (𝑐, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎)} 
 
Ahora encuentra a 𝐵 𝑥 𝐴 
 
𝐵 𝑥 𝐴 = {(𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛, 𝑎), (𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛, 𝑏), (𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛, 𝑐), (𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜, 𝑎), (𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜, 𝑏), 
 (𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜, 𝑐), (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎, 𝑎), (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎, 𝑏), (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎, 𝑐)} 
 
El ejemplo anterior se desarrolló para que observes que el producto cartesiano no es 
conmutativo, es decir, que 𝐴 𝑥 𝐵 ≠ 𝐵 𝑥 𝐴, aunque los pares ordenados tienen la misma 
cantidad en ambos productos, los obtenidos difieren uno del otro. 
 
Con esto, has finalizado la sección que comprende al producto cartesiano y realizarás 
algunos ejemplos que muestren los usos que tienen los elementos de la teoría de 
conjuntos en relación con otras áreas. 
 
Ejemplo: 
Sea 𝐴 un conjunto, donde 𝐴 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝑁}. 
 
Demuestra que: Si 𝑥 es par, entonces 𝑥 no es impar. 
 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 37 
Hipótesis: 
 𝑥 es un número natural 
 𝑥 es par 
 
Conclusión: 𝑥 no es impar 
 
Como 𝑥 es par, entonces ∃𝑘 ∈ 𝑍 tal que 𝑥 = 2𝑘. 
 
Supón que 𝑥 es impar, entonces ∃𝑐 ∈ 𝑍 tal que 𝑥 = 2𝑐 + 1. 
 
Igualando ambos resultados tienes que: 
 
𝑥 = 𝑥, sustituyendo los dos valores de 𝑥 
 
2𝑘 = 2𝑐 + 1 
 
2𝑘 – 2𝑐 = 1 
 
2(𝑘 – 𝑐) = 1 
 
𝑘 – 𝑐 = 
1
2
 
 
Has llegado a una contradicción, ya que 𝑘 – 𝑐 representa la diferencia de dos números 
enteros, pero la diferencia de dos enteros es un número entero, esto significa que lo 
que supusiste verdadero, ∃𝑐 ∈ 𝑍, 𝑥 = 2𝑐 + 1, es falso. 
 
Entonces, tienes que ∀𝑐 ∈ 𝑍, 𝑥 ≠ 2𝑐 + 1. Por lo tanto, si 𝑥 es par, no puede ser 
impar, tal y como lo querías demostrar. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 38 
En este ejemplo, utilizas el conjunto 𝐴, 𝑁 y 𝑍, los cuantificadores existencial y universal 
y el método de demostración por reducción al absurdo, es decir, utilizas elementos que 
has estudiado en las diferentes unidades de este curso. 
 
Antes de trabajar con el siguiente ejemplo, necesitas las siguientes definiciones para 
realizar una demostración. 
 
Definición de punto límite 
Un punto 𝑝 es un punto límite del conjunto 𝐸 si toda vecindad de 𝑝 contiene un punto 𝑞, 
con 𝑞 ≠ 𝑝, tal que 𝑞 ∈ 𝐸. 
 
Definición de vecindad 
Una vecindad de un punto 𝑝 es un conjunto 𝑉𝑟(𝑝) formado por todos los puntos 𝑞, tales 
que 𝑑(𝑝, 𝑞) < 𝑟, donde 𝑟 es el radio de 𝑉𝑟(𝑝). 
 
Con las definiciones anteriores demuestra el siguiente enunciado: 
 
Si 𝑝 es un punto límite de un conjunto 𝐴, entonces toda vecindad de 𝑝 contiene infinitos 
puntos de 𝐴. 
 
Hipótesis: 
 𝑝 es un punto límite de 𝐴 
 
Conclusión: 
 
 Toda vecindad de 𝑝 contiene infinitos puntos de 𝐴 
 
Demuestra este enunciado por reducción al absurdo. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 39 
En la conclusión tienes que toda vecindad de 𝑝 contiene infinitos puntos de 𝐴, al 
negarla queda: 
 
No toda vecindad de 𝑝 contiene una cantidad infinita de puntos de 𝐴. 
 
Es decir, existe una vecindad de 𝑝 que contiene una cantidad finita de puntos de 𝐴. 
 
Supón que dicha vecindad es 𝑉𝑟(𝑝) 
 
Ahora, toma aquel punto que se encuentra más cerca de 𝑝, distinto de 𝑝 y llámalo 𝑞, 
esto es posible gracias a que dentro de la vecindad 𝑉𝑟(𝑝) hay una cantidad finita de 
puntos. 
 
Ahora como 𝑝 ≠ 𝑞, puedes formar la vecindad 𝑊𝑟(𝑝), con radio 𝑟 = 𝑑(𝑝, 𝑞). 
 
Es obvio que dentro de 𝑊𝑟(𝑝) no existe ningún 𝑐 ≠ 𝑝, de lo contrario, 𝑞 no hubiera sido 
el punto más cercano a 𝑝, entonces: 
 
Existe 𝑊𝑟(𝑝), tal que 𝑝 ∈ 𝑊𝑟(𝑝) , pero 𝑊 no tiene ningún otro elemento distinto de 𝑝. 
 
Por definición, tienes que 𝑝 es un punto límite de 𝐴 si toda vecindad de 𝑝 contiene un 
punto 𝑞 ≠ 𝑝, tal que 𝑞 ∈ 𝐴. Pero 𝑝 tiene una vecindad 𝑊𝑟(𝑝) que no contiene un punto 
𝑞 ≠ 𝑝, lo cual es una contradicción. 
 
Esto significa que la suposición: Existe una vecindad de 𝑝 que contiene una cantidad 
finita de puntos de 𝐴, es falsa. 
 
Como la suposición anterior proviene de negar la conclusión, significa que ésta es 
verdadera, es decir, que el enunciado es verdadero. 
 
 
Unidad 3. Teoría de conjuntos 
UNADM | DCEIT | MAT | IPM 40 
El ejemplo anterior generalmente es utilizado en topología y análisis, sin embargo, 
utiliza elementos de la teoría de conjuntos, métodos de demostración y por supuesto la 
equivalencia lógica. Tal y como puedes apreciar, este curso puede ser de gran ayuda 
para poder comprender las diferentes ramas de la matemática. De igual manera, se 
puede utilizar de ayuda en ramas como el álgebra lineal, el cálculo y en el álgebra 
moderna, entre otras. 
 
Cierre de la unidad 
 
Has estudiado la asignatura de Pensamiento matemático, en donde aplicaste la lógica, 
las demostraciones y los conjuntos. Durante todo tu estudio te encontrarás con 
materias en donde aplicarás lo aprendido, ya que la lógica matemática es la base 
necesaria para comprender la teoría y aplicaciones de asignaturas como Álgebra lineal, 
Cálculo diferencial, integral y Topología. Ya que en dichas asignaturas se trabaja con 
conjuntos y demostraciones, y para dar una demostración comoverdadera lo haces con 
la lupa de la lógica. 
 
Recursos didácticos 
Para comprender mejor la teoría de conjuntos, puedes ver los siguientes video 
tutoriales. 
http://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM 
http://www.youtube.com/watch?v=Qsq439_I6fw 
 
Fuentes de consulta 
 
Lipschutz, S. (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. México: Editorial McGraw-Hill. 
Kisbye P. (2008). Elementos de lógica y teoría de conjuntos. Colombia. Recuperado de: 
http://ocw.unc.edu.ar/facultad-de-matematica-astronomia-y-fisica/cursillo-de-
ingreso/actividades-y-materiales/elementos-de-logica-y-teoria-de-conjuntos 
 
http://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM
http://www.youtube.com/watch?v=Qsq439_I6fw
http://ocw.unc.edu.ar/facultad-de-matematica-astronomia-y-fisica/cursillo-de-ingreso/actividades-y-materiales/elementos-de-logica-y-teoria-de-conjuntos
http://ocw.unc.edu.ar/facultad-de-matematica-astronomia-y-fisica/cursillo-de-ingreso/actividades-y-materiales/elementos-de-logica-y-teoria-de-conjuntos