Unidad2

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𝒂𝒊
 
 
 
𝑓: 𝐺 → 𝐻
𝒙, 𝒚 𝐺 𝑓(𝒙 + 𝒚) =
𝑓(𝒙) + 𝑓(𝒚) 𝑓 𝐺
𝐻 𝑓 𝒙 𝐻
𝑓 𝒚
 
𝑇: 𝑉 → 𝑊
𝑉 𝑊
𝑇(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) =
𝑎𝑇(𝒙) + 𝑏𝑇(𝒚) 𝑎, 𝑏 𝒙, 𝒚
 
 
𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑉 𝑊
𝑇
 𝑇(𝒙 + 𝒚) = 𝑇(𝒙) + 𝑇(𝒚)
 𝑇(𝑎𝒙) = 𝑎𝑇(𝒙) 𝑎
𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑉 𝑊
𝑇(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) = 𝑎𝑇(𝒙) + 𝑏𝑇(𝒚) 𝑎, 𝑏
𝒙, 𝒚
 
 
𝑓: 𝑋 → 𝑌
𝒙, 𝒙′
𝑓(𝒙) = 𝑓(𝒙′) 𝒙 = 𝒙′
𝑓: 𝑋 → 𝑌
𝒚
𝑌 𝒙 𝑋 𝑓(𝒙) = 𝒚
𝑓: 𝑋 → 𝑌
 
𝑇: 𝑈 → 𝑉 𝑆: 𝑉 → 𝑊
𝑈, 𝑉 𝑊 𝑆 ∘ 𝑇: 𝑈 → 𝑊
(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒖) = 𝑆(𝑇(𝒖)) 𝑇 𝑆
𝑆 ∘ 𝑇 𝑇 𝑆
(𝑆 ∘ 𝑇)(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) = 𝑎(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒙) + 𝑏(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒚)
𝑎, 𝑏 𝒙, 𝒚 𝑇 𝑆
(𝑆 ∘ 𝑇)(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) = 𝑆(𝑇(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚))
= 𝑆(𝑎𝑇(𝒙) + 𝑏𝑇(𝒚))
= 𝑎𝑆(𝑇(𝒙)) + 𝑏𝑆(𝑇(𝒚))
= 𝑎(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒙) + 𝑏(𝑆 ∘ 𝑇)(𝒚).
𝐼: 𝑉 → 𝑉 𝑉 𝐼(𝒙) = 𝒙
𝒙 𝑉
𝑇: 𝑈 → 𝑉 𝑆: 𝑉 → 𝑊
𝐼 ∘ 𝑇 𝑆 ∘ 𝐼 = 𝑆 𝐼 ∘ 𝑇: 𝑈 → 𝑉 𝑆 ∘ 𝐼: 𝑉 → 𝑊
 
𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑉 𝑊
𝑇(𝑎𝒙 + 𝑏𝒚) = 𝑎𝑇(𝒙) + 𝑏𝑇(𝒚) 𝑎, 𝑏 𝒙, 𝒚 𝑉
 
𝑉 𝑊 ℝ𝑚 ℝ𝑛
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒎 𝑉
𝒙 𝑉 𝒙 = 𝑥1𝒂𝟏 + 𝑥2𝒂𝟐 + ⋯ +
𝑥𝑚𝒂𝒎 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚
𝑚 𝒄𝟏, 𝒄𝟐, … , 𝒄𝒎 𝑊
𝑇: 𝑉 → 𝑊
𝒙 = 𝑥1𝒂𝟏 + 𝑥2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚𝒂𝒎,
 
𝑇(𝒙) = 𝑥1𝒄𝟏 + 𝑥2𝒄𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚𝒄𝒎.
𝑇
𝒙 = 𝑥1𝒂𝟏 + 𝑥2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚𝒂𝒎 𝒚 = 𝑦1𝒂𝟏 + 𝑦2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑦𝑚𝒂𝒎
𝒙 + 𝒚
𝒙 + 𝒚 = (𝑥1 + 𝑦1)𝒂𝟏 + (𝑥2 + 𝑦2)𝒂𝟐 + ⋯ + (𝑥𝑚 + 𝑦𝑚)𝒂𝒎
𝑇(𝒙 + 𝒚) = (𝑥1 + 𝑦1)𝒄𝟏 + (𝑥2 + 𝑦2)𝒄𝟐 + ⋯ + (𝑥𝑚 + 𝑦𝑚)𝒄𝒎 = 𝑇(𝒙) + 𝑇(𝒚)
𝑇(𝑎𝒙) = 𝑎𝑇(𝒙)
 𝒂𝒊
𝒂𝒊
𝒂𝟏 = 1𝒂𝟏 + 0𝒂𝟐 + ⋯ + 0𝒂𝒎
𝒂𝟐 = 0𝒂𝟏 + 1𝒂𝟐 + ⋯ + 0𝒂𝒎
⋮
𝒂𝒎 = 0𝒂𝟏 + 0𝒂𝟐 + ⋯ + 1𝒂𝒎.
 
𝑉
𝒂𝒊
𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒎
𝑇
𝒂𝒊 𝒂𝒊 𝑇(𝒂𝒊) = 𝒄𝒊 𝑖 =
1,2, … , 𝑚 𝑇 𝒂𝒊 𝒄𝒊 𝑇
: 𝑉 → 𝑊
𝑆(𝒂𝒊) = 𝒄𝒊 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑇(𝒙) = 𝑥1𝒄𝟏 + 𝑥2𝒄𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚𝒄𝒎 = 𝑥1𝑆(𝒂𝟏) + 𝑥2𝑆(𝒂𝟐) + ⋯ + 𝑥𝑚𝑆(𝒂𝒎) = 𝑆(𝒙)
𝒙 𝑉. 𝑇 = 𝑆
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒎
𝑉 𝒙 𝑉
𝒙 = 𝑥1𝒂𝟏 + 𝑥2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚𝒂𝒎
𝑚 𝒄𝟏, 𝒄𝟐, … , 𝒄𝒎 𝑊
𝑉 𝑊
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒎 𝒄𝟏, 𝒄𝟐, … , 𝒄𝒎 𝑊
 
 
ℝ𝑚 ℝ𝑛 𝐿(ℝ𝑚, ℝ𝑛) 𝑚 × 𝑛
ℳ(𝑚, 𝑛)
𝒂𝟏 = (1,0, … ,0) 𝒂𝟐 = (0,1, … ,0) … 𝒂𝒎 = (0,0, … ,1) 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚)
𝒙 = 𝑥1𝒂𝟏 + 𝑥2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚𝒂𝒎 𝒙 𝑉
𝒂𝒊 𝒙 = 𝑦1𝒂𝟏 + 𝑦2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑦𝑚𝒂𝒎
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚) = 𝒙 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚),
ℝ𝑚 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝒙 ℝ𝑚 𝒂𝒊
ℝ𝑚
𝑇: ℝ𝑚 → ℝ𝑛
𝒂𝒊 𝒂𝒊
𝑇 𝒂𝒊 𝒄𝒊 = 𝑇(𝒂𝒊)
 
𝑇(𝒂𝟏) = 𝒄𝟏 = (𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛)
𝑇(𝒂𝟐) = 𝒄𝟐 = (𝑎21, 𝑎22, … , 𝑎2𝑛)
⋮
𝑇(𝒂𝒎) = 𝒄𝒎 = (𝑎𝑚1, 𝑎𝑚2, … , 𝑎𝑚𝑛).
𝑚 × 𝑛 𝑖
𝑇(𝒂𝒊) 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) = (
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
).
𝑋, 𝑌
𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥′) 𝑥 = 𝑥′ 𝑦
𝑌 𝑥 𝑋 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑓: 𝐿(ℝ𝑚, ℝ𝑛) → ℳ(𝑚, 𝑛) 𝑇: ℝ𝑚 → ℝ𝑛 𝐿(ℝ𝑚, ℝ𝑛) 𝑓(𝑇)
(𝑎𝑖𝑗) 𝑖 𝑇(𝒂𝒊)
𝑖 = 1,2, … , 𝑚
(𝑎𝑖𝑗) = 𝑓(𝑇) = 𝑓(𝑆) = (𝑏𝑖𝑗)
𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑇 = 𝑆
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑇: ℝ
𝑚 → ℝ𝑛
𝑇(𝒂𝒊) 𝑖 𝐴 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑓 𝑓(𝑇) = 𝐴
𝑓 𝐿(ℝ𝑚, ℝ𝑛) ℳ(𝑚, 𝑛)
 
ℝ𝑚 ℝ𝑛
𝑚 ×
𝑛
𝒙 = 𝑥1𝒂𝟏 + 𝑥2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚𝒂𝒎 𝒚 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚) =
𝑇(𝒙)
𝑇(𝒙) = 𝑥1𝑇(𝒂𝟏) + 𝑥2𝑇(𝒂𝟐) + ⋯ + 𝑥𝑚𝑇(𝒂𝒎) 
= 𝑥1(𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛) + 𝑥2(𝑎21, 𝑎22, … , 𝑎2𝑛) + ⋯ + 𝑥𝑚(𝑎𝑚1, 𝑎𝑚2, … , 𝑎𝑚𝑛)
= (𝑥1𝑎11, 𝑥1𝑎12, … , 𝑥1𝑎1𝑛) + (𝑥2𝑎21, 𝑥2𝑎22, … , 𝑥2𝑎2𝑛) 
+ ⋯ + (𝑥𝑚𝑎𝑚1, 𝑥𝑚𝑎𝑚2, … , 𝑥𝑚𝑎𝑚𝑛) 
= (𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎21 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚1, 𝑥1𝑎12 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚2, 
… , 𝑥1𝑎1𝑛 + 𝑥2𝑎2𝑛 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚𝑛). 
ℝ𝑛 𝑦𝑖
𝑦1 = 𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎21 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚1
𝑦2 = 𝑥1𝑎12 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚2
⋮
𝑦𝑛 = 𝑥1𝑎1𝑛 + 𝑥2𝑎2𝑛 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚𝑛.
 
𝑇
𝑥𝑖
𝐴 =
(𝑎𝑖𝑗) 𝑇 𝐴 𝐴
𝑡
𝐴
𝐴 𝑚 × 𝑛 𝐴𝑡 𝑛 × 𝑚
𝐴𝑡 = (𝑎𝑖𝑗
𝑡)
𝑎𝑖𝑗
𝑡 = 𝑎𝑗𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
ℝ𝑚 𝒂𝟏 = (1,0, … ,0) 𝒂𝟐 = (0,1, … ,0) … 𝒂𝒎 = (0,0, … ,1)
𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚) = 𝑥1𝒂𝟏 + 𝑥2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑥𝑚𝒂𝒎
 
𝒙 𝑉 𝒂𝒊
𝑛 × 𝑛
ℝ𝑛 ℝ𝑛
ℝ𝑚 ℝ𝑛 𝐿(ℝ𝑚, ℝ𝑛) 𝑚 × 𝑛 ℳ(𝑚, 𝑛)
𝑛 = 𝑚 𝑓: 𝐿(ℝ𝑛, ℝ𝑛) → ℳ(𝑛, 𝑛)
ℳ(𝑛, 𝑛) 𝑓
𝐿(ℝ𝑛, ℝ𝑛) 𝑓
𝐿(ℝ𝑛, ℝ𝑛)
𝐹(ℝ𝑛, ℝ𝑛)
𝑓(𝑇 + 𝑈) = 𝑓(𝑇) + 𝑓(𝑈) 𝑓(𝑟 ∙ 𝑇) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑇)
 
𝑟 𝑟
𝒂𝒊 𝑖 = 1,2, … , 𝑚,
𝒂𝒊 ℝ
𝑛
𝒂𝒊
𝑇(𝒂𝟏) = (𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛) 𝑈(𝒂𝟏) = (𝑏11, 𝑏12, … , 𝑏1𝑛)
𝑇(𝒂𝟐) = (𝑎21, 𝑎22, … , 𝑎2𝑛) 𝑈(𝒂𝟐) = (𝑏21, 𝑏22, … , 𝑏2𝑛)
⋮
𝑇(𝒂𝒎) = (𝑎𝑚1, 𝑎𝑚2, … , 𝑎𝑚𝑛) 𝑈(𝒂𝒎) = (𝑏𝑚1, 𝑏𝑚2, … , 𝑏𝑚𝑛).
𝑇(𝒂𝟏) + 𝑈(𝒂𝟏) = (𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛) + (𝑏11, 𝑏12, … , 𝑏1𝑛)
= (𝑎11 + 𝑏11, 𝑎12 + 𝑏12, … , 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛)
= (𝑇 + 𝑈)(𝒂𝟏)
𝑇(𝒂𝟐) + 𝑈(𝒂𝟐) = (𝑎21, 𝑎22, … , 𝑎2𝑛) + (𝑏21, 𝑏22, … , 𝑏2𝑛)
= (𝑎21 + 𝑏21, 𝑎22 + 𝑏22, … , 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛)
= (𝑇 + 𝑈)(𝒂𝟐)
⋮
𝑇(𝒂𝒎) + 𝑈(𝒂𝒎) = (𝑎𝑚1, 𝑎𝑚2, … , 𝑎𝑚𝑛) + (𝑏𝑚1, 𝑏𝑚2, … , 𝑏𝑚𝑛)
= (𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1, 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2, … , 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛)
= (𝑇 + 𝑈)(𝒂𝒎).
(𝑇 + 𝑈)(𝒂𝒊)
𝑇(𝒂𝒊) 𝑈(𝒂𝒊) 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
 
𝑓(𝑇 + 𝑈) =
𝑓(𝑇) + 𝑓(𝑈)
𝑓(𝑟 ∙ 𝑇) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑇)
 
𝐴
𝑇𝐴
𝑓: 𝐿(ℝ𝑛, ℝ𝑛) → ℳ(𝑛, 𝑛) 𝑓
𝑔: ℳ(𝑛, 𝑛) → 𝐿(ℝ𝑛, ℝ𝑛) 𝑔(𝐴) = 𝑇𝐴
𝑓 𝑇𝐴 𝐴
𝑓 ∘ 𝑔(𝐴) = 𝑓(𝑔(𝐴)) = 𝑓(𝑇𝐴) = 𝐴 = 𝐼(𝐴).
𝑓(𝑇) = 𝐴 𝑔 𝐴 𝑇
𝑔 ∘ 𝑓(𝑇) = 𝑔(𝑓(𝑇)) = 𝑔(𝐴) = 𝑇𝐴 = 𝑇 = 𝐼(𝑇).
𝐴
𝑔
→ 𝑇𝐴
𝑓
→ 𝐴,
 
𝑇
𝑓
→ 𝐴
𝑔
→ 𝑇𝐴.
𝑇𝐴?𝐵 = 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴 𝐴 𝐵 𝐴? 𝐵
𝐴 𝐵
𝑇𝐴?𝐵 = 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴
𝑛 × 𝑛
𝑇𝐴: ℝ
𝑛 → ℝ𝑛 𝑇𝐵: ℝ
𝑛 → ℝ𝑛
𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴 𝑓
𝐴? 𝐵
𝐴? 𝐵 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴
 
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏
𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴
𝒂𝒊
(𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴)(𝒂𝒊) = 𝑇𝐵(𝑎𝑖1, 𝑎𝑖2, … , 𝑎𝑖𝑛) 
= 𝑇𝐵(𝑎𝑖1𝒂𝟏 + 𝑎𝑖2𝒂𝟐 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝒂𝒏) 
= 𝑎𝑖1𝑇𝐵(𝒂𝟏) + 𝑎𝑖2𝑇𝐵(𝒂𝟐) + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑇𝐵(𝒂𝒏) 
= 𝑎𝑖1(𝑏11, 𝑏12, … , 𝑏1𝑛) + 𝑎𝑖2(𝑏21, 𝑏22, … , 𝑏2𝑛) + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛(𝑏𝑛1, 𝑏𝑛2, … , 𝑏𝑛𝑛)
= (𝑎𝑖1𝑏11, 𝑎𝑖1𝑏12, … , 𝑎𝑖1𝑏1𝑛) + (𝑎𝑖2𝑏21, 𝑎𝑖2𝑏22, … , 𝑎𝑖2𝑏2𝑛) + 
⋯ + (𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛1, 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛2, … , 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑛) 
= (𝑎𝑖1𝑏11 + 𝑎𝑖2𝑏21 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛1, 𝑎𝑖1𝑏12 + 𝑎𝑖2𝑏22 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛2, 
… , 𝑎𝑖1𝑏1𝑛 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑛). 
𝑖 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴 𝐴? 𝐵
𝐴? 𝐵 𝐴𝐵
𝐴 𝐵 𝑇𝐴?𝐵 = 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴 𝑇𝐴𝐵 =
𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴
𝑛 × 𝑛
𝑖 𝑗
 
𝑖
𝑗
𝑛 × 𝑚 𝑚 × 𝑘
𝑛 × 𝑘
1 × 𝑛
𝑛 × 1
1 × 1
𝑦1 = 𝑥1𝑎11 + 𝑥2𝑎21 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚1
𝑦2 = 𝑥1𝑎12 + 𝑥2𝑎22 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚2
⋮
𝑦𝑛 = 𝑥1𝑎1𝑛 + 𝑥2𝑎2𝑛 + ⋯ + 𝑥𝑚𝑎𝑚𝑛
𝐴𝑡 𝑛 × 𝑚
𝑥𝑖 𝑚 × 1 𝑥𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
𝑦𝑖
𝑛 × 1 𝑦𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
 
(
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦𝑛
) = (
𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑚2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
) (
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
) = (
𝑎11𝑥1 + 𝑎21𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚1𝑥𝑚
𝑎12𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚2𝑥𝑚
⋮
𝑎1𝑛𝑥1 + 𝑎2𝑛𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑚
).
𝑚 × 𝑛
𝑇𝐴𝐵 = 𝑇𝐵 ∘ 𝑇𝐴
 
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm