Física para ingeniería y ciencias_ Teoría y 695 problemas resueltos ( PDFDrive )

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FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS 
 
DARE A. WELLS es profesor emérito de Física en la Universidad de 
Cincinnati (Ohio). Obtuvo su doctorado en esa universidad, y entre las 
obras que ha publicado figuran unos veinte ensayos sobre espectrosco-
pia y oscilaciones pequeñas, así como la dinámica de Lagrange y el 
tratamiento de los sistemas electromecánicos con los métodos de 
Lagrange. Es el creador de una forma general de la "función P", que 
sirve para determinar las fuerzas generalizadas de disipación. El pro-
fesor Wells es autor también de Lagrangian Dynamics, un título más 
de la serie Schaum. 
HAROLD S. SLUSHER es profesor asistente de Física en la Univer-
sidad de Texas (El Paso) y profesor de Ciencias Astronómicas en la 
Gradúate School del Institute for Creation Research, en San Diego 
(California). Slusher posee un doctorado en Ciencias de la Indiana 
Christian University y otro en Filosofía de la Columbia Pacific Uni-
versity. Entre las investigaciones que ha publicado conviene mencionar 
las monografías dedicadas a la cosmogonía, cosmología y geocronología. 
SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM 
TEORÍA Y PROBLEMAS 
DE 
FÍSICA 
PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS 
● 
 
 Dare A. Wells, Ph.D. 
Emeritus Professor of Physics 
Universtty of Cincinnati 
Harold S. Slusher, D.Sc, Ph.D. 
Assistant Professor of Physics 
University of Texas at El Paso 
TRADUCCIÓN 
Antonio Ortíz Herrera 
Profesor de Física y Matemáticas 
 REVISIÓN TÉCNICA 
 Miguel Irán Alcérreca Sánchez 
Licenciado en Física y en Matemáticas 
Escueta Súpertor de Ftsica y Matemáticas, IPN 
Investigador del 
Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares 
McGRAW-HILL 
MÉXICO � BOGOTÁ � BUENOS AIRES � GUATEMALA � LISBOA � MADRID 
NUEVA YORK � PANAMÁ � SAN JUAN � SANTIAGO � SAO PAULO 
AUCKLAND � HAMBURGO � JOHANNESBURGO � LONDRES � MONTREAL 
NUEVA DELHI � PARÍS � SAN FRANCISCO � SINGAPUR 
ST. LOUIS � SIDNEY � TOKIO � TORONTO. 
FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS 
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. 
DERECHOS RESERVADOS © 1984, respecto a la primera edición en español por 
LIBROS McGRAW-HILL DE MÉXICO, S. A. de C. V. 
Atlacomulco 499-501, Fracc. Industrial Sn. Andrés Atoto 
53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México 
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 465 
ISBN 968-451-605-3 
Traducido de la primera edición en inglés de 
SCHAUM'S OUTLINE OF PHYSICS FOR ENGINEERING AND SCIENCE 
Copyright © 1983, by McGraw-Hill Book Inc., U. S. A. 
ISBN 0-07-069254-8 
1234567890 I.P.-85 8012346795 
Impreso en México Printed in México 
Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 1985 
en Impresora Publi-Mex, S. A. 
Calzada San Lorenzo 279 Local 32 
Col. Estrella 
Delegación Iztapalapa 
09800 México, D.F. 
Se tiraron 4 600 ejemplares 
Prefacio 
Los principios fundamentales de la Física, junto con algunas ramas de las 
Matemáticas, constituyen el pilar sobre el que descansan esa disciplina y todas 
las especialidades de la Ingeniería. Este libro se propone ante todo ayudar al 
estudiante de Ciencias e Ingeniería a conseguir, en poco tiempo y sin mucho 
esfuerzo, un buen conocimiento de los principios y métodos básicos. 
Al preparar la obra nos hemos guiado por el siguiente criterio: un ejemplo 
específico y adecuado, resuelto en forma pormenorizada, constituye el mejor 
medio de ilustrar los principios de la Física y los procedimientos de las Mate-
máticas. El problema resuelto es una manera muy didáctica de (por decirlo así) 
"explicar la explicación" de un libro de texto o de una lección. Es además un 
medio sumamente eficaz para despertar el interés de los alumnos por esa 
ciencia básica, no pocas veces sembrada de dificultades. Y esta opinión la 
comparten muchos de ellos. 
Así pues, todos los capítulos (menos el primero en el cual se resumen 
las nociones esenciales) comienzan con una sucinta exposición de los principios 
de la Física y de sus nexos con las Matemáticas, como suele hacerse en esta 
clase de libros. Viene después un extenso conjunto de ejemplos, cuidadosa-
mente seleccionados y graduados según su dificultad, que se resuelven paso 
a paso. Por últímo, para facilitar la autoevaluación se incluyen problemas espe-
cíficos con su respuesta respectiva. 
Un sincero testimonio de gratitud a nuestros ex alumnos cuyo interés y 
desinterés, deficiencias y aciertos nos estimularon mucho en la elaboración de 
esta obra y en la selección de los contenidos. 
DARE A. WELLS 
HABOLD S. SLUSHER 
Contenido 
Capítulo 1 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS ......................................... 1 
Métodos vectoriales, unidades, análisis dimensional 
1.1 Escalares y vectores. 1.2 Representación gráfica de vectores. 1.3 
Componentes de vectores. 1.4 Vectores unitarios. 1.5 Multiplicación 
vectorial. 1.6 Entidades físicas. 1.7 Análisis dimensional de unidades 
en ecuaciones físicas. 
Capítulo 2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 
CON ACELERACIÓN CONSTANTE . ....................................................... 13 
2.1 Definiciones de velocidad y aceleración. 2.2 Movimiento rectilíneo 
uniformemente acelerado. 
Capítulo 3 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA 
PARTÍCULA CON ACELERACIÓN CONSTANTE ................................ 21 
Capítulo 4 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO: INTRODUCCIÓN . 
4.1 Leyes de Newtoh del movimiento. 4.2 Masa y peso. 4.3 Sis-
temas de referencia. 4.4 Procedimiento para calcular las fuerzas y ace-
leraciones. 
31
 
 
Capítulo 5 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO, 
PROBLEMAS MAS AVANZADOS����������� ........ �.. 
5.1 Centro de masa. 5.2 Sistemas de partículas que interactúan. 
. Fuerzas de fricción. 5.4 Movimiento circular uniforme. 
 5.3 
39 
Capítulo6 CANTIDAD DE MOVIMIENTO 
IMPULSO Y MOVIMIENTO RELATIVO .................................................. 51 
6.1 Cantidad de movimiento lineal. 6.2 Impulso. 6.3 Conservación de la 
cantidad de movimiento lineal. 6.4 Movimiento relativo. 
Capítulo 7 MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN UN PLANO ........................ ............... 61 
7.1 (Rapidez) velocidad angular constante. 7.2 Movimiento angular con 
velocidad variable. 7.3 Movimiento a lo largo de una curva plana en 
general. 
Capítulo 8 TRABAJO, ENERGÍA CINÉTICA Y POTENCIA ...................................... 73 
8.1 Trabajo. 8.2 Energía. 8.3 Principio de equivalencia entre la energía 
y el trabajo. 8.4 Potencia. 
Viii 
Capítulo 9 
Capítulo 10 
Capítulo 11 
Capítulo 12 
Capítulo 13 
Capítulo 14 
Capítulo 15 
Capítulo 16 
Capítulo 17 
Capítulo 18 
CONTENIDO 
ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA . . . 83 
9.1 Fuerzas conservativas. 9.2 Energía potencial. 9.3 Conservación 
de la energía. 
ESTÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS ................................................ 91 
10.1 Momento de torsión (torca). 10.2 Condiciones del equilibrio. 
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO .............................................. 105 
11.1 Momento de inercia. 11.2 Teoremas relativos a los momentos de 
inercia. 11.3 Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento. 
11.4 Momentos de torsión y aceleración angular. 
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR ............................................ 115 
12.1 Cantidad de movimiento angular. 12.2 Principio del momento an-
gular. 12.3 Conservación del momento angular. 
GRAVITACIÓN ..................................................................................................... 123 
13.1 Campo gravitacional. 13.2 Fuerza gravitacional. 13.3 Energía 
potencial gravitacional. 13.4 Leyes de Kepler. Órbitas. 13.5 Ley de 
Causs. 
ELASTICIDAD Y MOVIMIENTO ARMÓNICO ......................................... 135 
14.1 Elasticidad y la ley de Hooke. 14.2 Movimiento armónico simple. 
14.3 Ecuaciones para el MAS. 14.4Movimiento armónico amortiguado. 
14.5 Energía potencial del movimiento armónico simple. 14.6 Movimiento 
de un péndulo simple. 
ESTÁTICA DE FLUIDOS ............................................................................... 145 
15.1 Presión en un fluido. 15.2 Principio de Pascal. 15.3 Densidad. 
15.4 Leyes de la estática de fluidos. 
DINÁMICA DE FLUIDOS ............................................................................. 153 
16.1 Algunas propiedades del flujo de un fluido. 16.2 La ecuación de 
continuidad. 16.3 Ecuación de Bernoulli. 
GASES, MOVIMIENTO TÉRMICO Y LA PRIMERA 
LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................. 161 
17.1 Ecuación de estado. 17.2 Movimiento térmico. 17.3 La primera 
ley de termodinámica. 
PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA ..................................... 171 
18.1 Dilatación térmica. 18.2 Capacidad calórica. 18.3 Transferencia 
de calor. 
CONTENIDO ix 
C a p í t u l o 1 9 E N T R O P Í A Y L A S E G U N D A L E Y D E L A T E R M O D I N Á M I C A . . . . 1 7 9 
19.1 Procesos reversibles. 19.2 Entropía. 19.3 Miqümas térmicas y 
refrigeradores. 19.4 Otros enunciados de la segunda ley de la termo-
dinámica. 
Capítulo 20 FENÓMENOS ONDULATORIOS ................................................................... 189 
20.1 Función de onda. 20.2 Ondas sobre una cuerda extendida. 20.3 
La onda sinusoidal. 20.4 Principio de la superposición dé ondas. 20.5 
Ondas estacionarias. 
Capítulo 21 ONDAS SONORAS ............ ��������������������. 199 
21.1 Velocidad del sonido. 21.2 Intensidad y volumen de las ondas sonó-
ras. 21.3 El efecto Doppler. 
Capítulo 22 CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB ........................................ 207 
22.1 Carga eléctrica. 22.2 Fuerza entre cargad puntuales. 
Capítulo 23 EL CAMPO ELÉCTRICO FORMADO POR CARGAS EN REPOSO .. 217 
23.1 Definición general de E. 23.2 Principio de superposición para £. 
Capítulo 24 FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS .......................... �����... 225 
24.1 Flujo eléctrico. 24.2 Ley de Gauss. 
Capítulo 25 POTENCIAL ELÉCTRICO .................... ��������������.. 231 
25.1 Energía potencial eléctrica. 25.2 Potencial eiéetrioo o voltaje. 25.3 
Principio de superposición para ф. 25.4 Él electrón-volt. 
Capítulo 26 CORRIENTE ELÉCTRICA, RESISTENCIA Y POTENCIA.................... 241 
26.1 Corriente y densidad de corriente. 28.2 Ley de Ohm; resistencia. 
26.3 Coeficiente de temperatura de la resistencia. 20.4 Fuentes de ener-
gía eléctrica. 26.5 Potencia eléctrica. 
Capítulo 27 LEYES DE KIRCHHOFF DE CIRCUITOS RESISTIVOS ................. 251 
27.1 Pasos preliminares. 27.2 Ley de Kirehhoff para corrientes. 27.3 
Ley de Kirehhoff para circuitos cerrados, 27.4 Aplicación de las dos leyes. 
Capítulo 28 FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CARGAS 
EN MOVIMIENTO ............................................................................................ 257 
28.1 El campo magnético. 28.2 Fuerza sobre un alambre que transporta 
corriente. 28.3 Flujo magnético. 
Ca pít u lo 29 FUE NTE S D E C AM PO MAG NÉ T ICO , , . . . . . . , . . . . . . . . , , . . . .............. 271 
29.1 Campo magnético sobre una carga en movimiento. 29.2 Campo mag-
nético sobre un filamento de corriente. 29.3 Ley circuital de Ampére. 
x CONTENIDO 
Capítulo 30 LEY DE FARADAY DE LA FUERZA 
ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................. 281 
30.1 FEM inducida. 30.2 Ley de Lenz. 
Capítulo 31 INDUCTANCIA ................................................................................................... 291 
31.1 Autoinductancia de una bobina. 31.2 Inductancia mutua de dos 
bobinas. 
Capítulo 32 CAMPOS MAGNÉTICOS EN MEDIOS MATERIALES 299 
32.1 Los tres vectores magnéticos. 32.2 Susceptibilidad magnética; per-
meabilidad. 32.3 Circuitos magnéticos. 32.4 Densidad de energía. 
Capítulo 33 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS 
CIRCUITOS ELÉCTRICOS SIMPLES ....................................................... 305 
33.1 El circuito en serie R-L-C. 33.2 Analogías electromecánicas. 
Capítulo 34 SOLUCIONES ESTACIONARIAS PARA CIRCUITOS SIMPLES CA .. 313 
34.1 Circuito en serie. 34.2 Circuito en paralelo. 
Capítulo 35 REFLEXIÓN, REFRACCIÓN Y POLARIZACIÓN DE LA LUZ ............ 323 
35.1 Leyes de la reflexión y la refracción. 35.2 Polarización. 35.3 In-
tensidad de la luz polarizada. 
Capítulo 36 ÓPTICA GEOMÉTRICA .................................................................................. 331 
36.1 Fórmula gaussiana de las lentes; fórmula de la amplificación. 36.2 
Trazo de rayos. 
Capítulo 37 INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN DE LA LUZ .................................. 339 
37.1 Interferencia. 37.2 Difracción. 
Capítulo 38 RELATIVIDAD ESPECIAL 349 
38.1 Los dos postulados básicos. 38.2 Consecuencias de los postulados. 
Capítulo 39 FOTONES .............................................................................................................. 357 
39.1 Naturaleza dual de la luz. 39.2 Efecto fotoeléctrico. 39.3 Dis-
persión de Compton. 39.4 Aniquilación de pares, producción de pares. 
Capítulo 40 EL ÁTOMO DE BOHR ................................................................................. 363 
40.1 Introducción. 40.2 Energía clásica del átomo. 40.3 Postulados 
del modelo de Bohr. 40.4 Niveles de energía. 40.5 Espectros ató-
micos. 
Capítulo 41 EL NÚCLEO ........................................................................................................ 371 
41.1 Energía de amarre de los núcleos estables. 41.2 Desintegración 
radiactiva. 41.3 Reacciones nucleares. 
ÍNDICE ................................................................................................................ 379 
Capítulo 1 
Repaso de conocimientos básicos 
Métodos vectoriales, unidades, 
análisis dimensional 
1.1. ESCALARES Y VECTORES 
Las cantidades como tiempo, masa, densidad, trabajo y temperatura que tienen magnitud y 
carecen de dirección se denominan escalares. Se denotan con letras cursivas como A, B, m, t, ρ, Q, 
etcétera. 
Otras como la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico que tienen magnitud y di-
rección, se denominan vectores. Se indican con letras negritas como A, B, F, E, etcétera. Se re-
quieren tres números para especificar un vector, y sólo se requiere uno para especificar un escalar. 
1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES 
 
 Cualquier vector, como la fuerza F en la figura 1-1(a) o la velocidad v en la figura l-l(b), se 
representa con una recta, La longitud de la recta, medida en las unidades convenientes(centíme- 
tros, pulgadas), representa la magnitud del vector ; y los ángulos que éste forma (con los ejes 
rectangulares X, Y, Z. por ejemplo), representan la dirección del vector. 
 
 
EJEMPLO 1.1. La recta Oa de la figura 1-1 (a) representa una fuerza de 100 N que actúa sobre 
el punto O. Aquí la líneatrazada en el plano XY forma un ángulo de 57°con Ob.Observese que 
tanto la magnitud como la dirección F se representan con la recta Oa. 
La recta Oa, trazada en el espacio tridimensional de la figura 1-1(b), representa la velocidad de 
un proyectil que se desplaza a 100 m/s. La longitud de Oa (100 unidades) indica la magnitud de v 
y θ1, θ2, θ3 proporcionan su dirección. Obsérvese que si los valores de cosθ1 y cosθ2 son dados, θ3 se 
obtinene a partir de 
 cos θ3 = ± 1-cos2 θ1-cos2 θ2 
Fig. 1-1N 
 2 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPÍTULO 1 
Adición gráfica de vectores 
En la figura 1-2, las fuerzas Ft y F2 actúan sobre el punto O. Las magnitudes y lasdirec-
ciones se trazaron a la escala que se muestra. Ahora, para "sumar" estos vectores (esto es, para 
encontrar un único vector que sea completamente equivalente a los dos), se completa el parale-
logramo (líneas punteadas) y se traza la diagonal, Esta línea, medida en las unidades de F1 y 
F2 representa la magnitud y la dirección del "vector suma" R que se escribe simbólicamente como 
 R = F1 + F2 
EJEMPLO 1.2 Supóngase que un clavo está clavado en una tabla en el punto O de la figura 1-2. 
Al tirar de dos cuerdas atadas al clavo se ejercen fuerzas de 75 y 100 N en las direcciones de Oa y 
Ob. El clavo no "sentirá" la existencia de dos fuerzas, sino una sola fuerza R, cuya magnitud aproxi-
mada es de R = 152 N y que forma el ángulo α≈ 35°. Por supuesto, dados F1, F2, y θ, se pueden 
calcular R y α, Pero únicamente nos interesan los métodos gráficos. 
 
 
Flg. 1-2 Flg.1-3 
EJEMPLO 1.3 Supóngase que el clavo del ejemplo 1.2 se reemplaza por un pequeño objeto que 
puede moverse libremente y que tiene una masa m = 0.2 kg. ¿Cuál es la aceleración a en el instante en 
que las fuerzas se aplican? 
La fuerza neta y la aceleración se relacionan por R=ma. Por tanto, la magnitud de a es 
 α = 152 = 760 m/s2 
 0,2 
y su dirección es la misma de R. 
EJEMPLO 1.4 Si un aeroplano vuela con una velocidad de 152 m/s en la dirección Oc de la figura 
1-2, equivale a que se desplazase simultáneamente en las direcciones Oa y Ob con velocidades de 75 
y 100 m/s, respectivamente. 
Sustracción gráfica 
La sustracción de un vector significa que a éste se le invierte la dirección y se suma como 
anteriormente se indicó. 
EJEMPLO 1.5 Dados R y F1 en la figura 1-2, encuéntrese F2. 
A partir de que R = F1 + F2, se encuentra que F2 = R � F1. Como se indica en la figura 1-3, se 
invierte la dirección de F1 y se suma a R completando el paralelogramo para encontrar F2. 
EJEMPLO 1.6 Una lancha cruza un río a lo largo de la recta AB en la figura 1-4. Como se indica, 
la corriente del agua tiene una velocidad de 4 m/s. En aguas tranquilas la lancha viaja a una velocidad 
υ2 = 6 m/s. ¿Cuál es su rapidez υ3 a lo largo de AB? ¿En qué dirección será empujada la lancha (¿cuál 
es el valor de α?) y cuál es el tiempo entre A y B? (Observación: aquí se proporcionan la magnitud y 
la dirección de v1, la magnitud de v2, la dirección de v3. y la magnitud y la dirección del segmento AB; 
se deben encontrar α y la magnitud de v3,) 
 
 
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 1-4 
Una solución gráfica se obtiene de la siguiente manera. Trácese: (1) el río y la línea AB a una 
escala conveniente; (2) un círculo con radio de 6 unidades y cuyo centro se localice en un punto O 
de AB; (3) Oa de 4 unidades de longitud (esto es, − v1); ab, paralela a AB y que interseque el círculo en 
b; (4) bcparalela a Oa. Luego se determinan el ángulo α y v3 =Oc. A partir de medidas aproximadas, 
v3 = 3.0 m/s ya =s 35°. Puesto que 
AB = (500)2+ (866)2= 1000 m 
el tiempo entre A y B es 1000/3.0 = 333 s = 5.6 min. 
1.3 COMPONENTES DE VECTORES 
En la figura 1-5 las líneas punteadas perpendiculares que parten de P y que se dirigen hacia 
X y Y determinan la dirección y magnitud de las componentes vectoriales Fx y Fy de F. Las magnitudes 
de estas componentes, que son cantidades escalares, se escriben como Fx, Fy. Obsérvese que en la 
figura 1-2, F1 y F2 son las componentes Vectoriales de R tomadas a lo largo de las líneas oblicuas 
Oa y Ob, respectivamente. En la figura 1-6, Fx, Fy, Fz son las componentes vectoriales rectangulares 
de F; las componentes escalares se escriben como Fx, Fy, Fz. 
Y 
 
Fig. 1-5 
Cálculo de las magnitudes de las componentes 
En la figura 1-5 es claro que 
Fx = F cos θ Fy = F sen θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1 
En la figura 1-6, las componentes de F están dadas por 
Fx = F cos θ1 Fy = F cos θ2 Fz = F cos θ3 
O, por razones de comodidad, escribiendo cos θ1 = ℓ, cos θ2 = m, cos θ3 = n, 
FX = F ℓ Fy = Fm Fz = Fn 
A las letras ℓ, m y n se les denomina cosenos directores de F. Y se puede mostrar que 
 
ℓ2 +m2+n2=1
 
 
Fig. 1-6 
EJEMPLO 1.7 (a) Supóngase que F,en la figura 1-5 tiene una magnitud de 300 N y θ = 30°. Entonces 
Fx = 300 cos30°= 259.8 N Fy = 300 sen30°= 150 N 
(b) Supóngase que F = 300 N y θ = 145° (aquí F se encuentra en el segundo cuadrante). 
Fx = 300 cos 145° = (300) (-0.8192) = -245.75 N (en la dirección negativa de X) 
 Fy = 300 sen 145° = (300) (+0.5736) = 172.07 N 
EJEMPLO 1.8 En la figura 1-6 F representa una fuerza de 200 N. Sea θ1 = 60°, θ2 = 40°. Entonces, 
ℓ = 0.5 m = 0.766 n = (1- ℓ2- m2)1/2 = 0.404 
(tomando en cuenta que Fz es positiva; de otra manera, n = − 0.404), y las componentes rectangulares 
de F son: 
Fx = (200) (0.5) = 100 N Fy = 153.2 N Fz = 80.8 N 
Como una comprobación (1002 + 153.22 + 80.82)1/2 ≈ 200. Obsérvese que θ = 66.17°. 
Adición de componentes 
Para sumar A y B en la figura 1-7, se escribe A + B = R. A R se le denomina resultante o 
vector suma de A y B. 
Las componentes de A y B son Ax = A cos α, Ay = A sen α, Bx = B cos ß, By = B sen β. 
Ahora bien, A y B se pueden reemplazar por estas componentes, y R es un vector que tiene las 
componentes rectangulares 
Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By 
 
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 5 
Dado que Rx y Ry forman un ángulo recto 
R = (R2x + R2y)½ = [(Ax + Bx )2+ (Ay + By)2] ½ 
Los cosenos directores de R están dados por 
ℓ = cos θ = 
Ax + Bx m = sen θ = 
Ay + By
 n = 0 
 R
 
R 
 
Encontremos ahora el vector suma de, por ejemplo, tres Vectores, F1; F2, F3, trazados a partir 
de O. Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, la magnitud de la resultante está dada 
por 
 R = (F1x + F2x+ F3x)2 + (F1y + F2y+ F3y)2+ (F1z + F2z+ F3z)2] ½ 
donde F1x es la componente X de F1, etcétera. Los cosenos directores de R están dados por 
 ℓ= m = n = 
La magnitud y la dirección de la resultante de cualquier número de vectores trazados a par-
tir de O se obtienen de la misma manera. 
EJEMPLO 1.9 En la figura 1-7, sea A una fuerza de 50 N con α = 20° y B una fuerza de 80 N 
con β = 60°. Encuéntrese el vector suma. 
Ax = 50 cos 20° = 46.98 N Ay = 50 sen 20°= 17.1 N 
Igualmente, Bx = 40 N, By = 69.28 N. Por tanto, 
R = [(46.98 + 40)2 + (17.1 + 69.28)2]½ = 122.6 N 
ℓ = 
= 0.709
 
m = 0.705 n = 0 
Obsérvese que 
tan θ = 
por lo cual θ ≈ 45°. 
1.4 VECTORES UNITARIOS 
Cualquier vector F se puede escribir así: 
F = F e 
donde F es la magnitud de F y e es un vector unitario (aquel cuya magnitud es 1) en la direc-
ción de F. Esto es, la magnitud de F está indicada por F y su dirección es la de e. F tiene uni-
dades (por ejemplo N, m/s), F tiene las mismas unidades; e es un vector adimensional. 
Vectores unitarios a lo largo de los ejes rectangulares 
En la figura 1-6, se introducen los vectores unitarios i, j, k a lo largo: de X, Y, Z, respectiva-
mente. Entonces, las componentes vectoriales de F se pueden escribir cómo Fxi, Fyj, Fzk. Dado 
que F es la resultante de sus componentes vectoriales, se obtiene una expresión muy importante 
 F = Fxi + Fyj + FzK 
En esta expresión, Fx = F cos θ1 = Fℓ, según se mostró anteriormente. También aquí la 
magnitud y la dirección (esto es, los cosenos directores) se obtienen así: 
 F = (F2x + F2y+ F2z)½ 
 
 ℓ = m = n = 
F1x + F2x + F3x 
R 
F1y + F2y + F3y 
R 
F1z + F2z + F3z 
R 
46.98 + 40 
122.6 
17.1 + 69.28 
46.98 + 40 
≈ 1 
Fx 
F 
Fy 
F 
Fz 
F 
6 REPASODE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPÍTULO 1 
EJEMPLO 1.10 Refiriéndose al ejemplo 1.8 de la figura 1-6, donde 
Fx = 100 N Fy = 153.2 N Fz = 80.8 N 
el vector F se puede escribir como 
F=100i+153.2J + 80.8k 
con magnitud F= (1002 + 153.22 + 812)1/2 = 200 N y dirección 
ℓ = = 0.5 m =0.766 n = 0.404 
Estrictamente se debería haber escrito 
F = (100 N)i-(153.2 N)j +(80.8 N)k o F= 100i+153.2j + 80.8k N 
pero por razones de simplicidad, se omiten las unidades cuando se expresa un vector en términos 
de sus componentes. 
EJEMPLO 1.11. Las componentes rectangulares de un vector aceleración a son ax = 6, ay = 4, az = 9 
m/s2. Por tanto, en notación vectorial 
 a = 6i + 4j + 9k 
La magnitud de a es a = (θ2 + 42 + 92)1/2 = 11.53 m/s2, y los cosenos directores de a son 
 
 
 
 
Expresión vectorial de un segmento de recta 
La recta ab de la figura 1-8 está determinada por los puntos P1 y P2. Considerando el segmento 
de recta entre P1 y P2 como un vector s, se puede escribir 
 s = (x2 � x1)i + (y2 - y,)j + (z2 � z1)k 
con magnitud 
 
y dirección ℓ = 
 
 
 
 
s = [(x2 � x1)2 + (y2 - y,)2 + (z2 � z1)½] 
 
 
 
 
Flg. 1-8 
Un caso especial de esto es el llamado radio vector r, el segmento con origen en O y dirigi-
do hasta el punto P(x, y, z). 
r = xi + y j + zk 
con r - (x2 + y2 + z2)1/2 y 
ℓ = 
x
 m = 
y n = 
z
 
r r r
m = n =ℓ = 
100 
200
 6 
11.53
 
11.53
 4 9 
11.53 
 x2 � x1
 s m = 
y2 � y1
 s n =
z2 � z1
 s
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 7 
1.5 MULTIPLICACIÓN VECTORIAL 
Se deben considerar tres tipos de multiplicación. El método y la utilidad de cada uno se hará 
evidente a partir de los diversos ejemplos físicos y geométricos que se dan a continuación. 
Multiplicación de un vector por un escalar 
Un vector F se puede multiplicar por un escalar b. La cantidad bF es un vector que tiene 
una magnitud \b\ F (el valor absoluto de b multiplicado por la magnitud de F); la dirección de 
bF es la de F o − F, según que h sea positivo o negativo. 
EJEMPLO 1.12. Considérese el vector velocidad 
v=16i + 30j + 24k m/s 
con v = (162 + 302 + 242)1/2 = 41.62 m/s, cuya dirección está dada por ℓ = 16/41.62, etcétera. 
Ahora multipliquemos v por 10: 10 v = 160i + 300j + 240k ≡ v1. Luego 
v1 = [(160)2 + (300)2 + (240)2]½ = (10)(41.62) = 10 υ 
y los cosenos directores de v1, son 
 ℓ1 = 160 = 16 = ℓ 
 (10)(41.62) 4L62 
lo cual muestra que v1 tiene la dirección de v. 
El producto escalar o producto punto 
El producto punto de dos vectores cualesquiera, como F1 y F2 en la figura 1-2, se escribe 
F1 · F2 y se defne como el producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo que forman. 
Esto es, 
F1 � F2 = F1F2 cos θ 
que es una cantidad escalar. En la figura 1-2, F1 = 75, F2 = 100, θ = 60°. Entonces, 
F1 � F2 = (75)(100)(0.5) = 3750 
Producto punto de los vectores unitarios a lo largo de X, Y, Z. Dado que i, j, k son mutua-
mente perpendiculares y de magnitud unitaria, por definición de producto punto se obtiene que 
i · i = j · j = k · k = l 
i · j = i · k = j · k = 0 
Producto punto en términos de las componentes rectangulares. Escribiendo dos vectores cuales-
quiera como 
F1 = F1xi + F1y j + F2zk F2 = F2xi + F2y j + F3yk 
Su producto punto está dado por 
F1 � F2 = (Flxi + F1yj + F1zk) � (F2xi + F2yj + F2zk) 
El lado derecho se simplifica al aceptar la premisa de que se cumple la ley distributiva, y em-
pleando los valores de i · i , etcétera, encontrados anteriormente. 
F1 � F2 = F1xF2x + F1yF2y + F1zF2z 
Para mostrar que F1 � F2 es justo la cantidad F1F2 cos θ, en donde θ es; el ángulo entre F1 y F2, 
al dividir y multiplicar el lado derecho por F1F2, se obtiene que 
 
F 1 � F 2 =F 1 F 2 = F 1 F 2 (ℓ1 ℓ2 +m 1 m 2 + n 1 n 2 ) 
 
Ahora bien, la fórmula familiar para la adición en dos dimensiones 
cos θ = cos (θ1 - θ2) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2= ℓ1 ℓ2 + m1m2 
se extiende para tres dimensiones como eos θ = ℓ1 ℓ2 +m 1 m 2 + n 1 n 2 . Por eso lo anterior se 
transforma en F1F2 cos θ, y por consiguiente este método de multiplicación está de acuerdo con la de-
finición de producto punto. 
m1 = m n1 = n 
 F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z 
 F 1 F 2 + F 1 F 2 + F 1 F 2 
8 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1 
EJEMPLO 1.13. Sea F1 = 10i - 15j - 20k, F2 = 6i + 8j - 12k. 
F1 � F2 = (10)(6)+ (-15)(8)+ (-20)(-12) = 180 
Obsérvese ahora que F1 = (102 + 152 + 202)1/2 = 26.93, F2 = 15.62. De aquí que el ángulo θ for-
mado por F1 y F2 está dado por 
 
 θ = 64.66º 
 
Desde luego, el mismo valor se puede obtener partiendo de cos θ = ℓ1 ℓ2+ m 1 m 2 + n 1 n 2 . 
Proyección de cualquier vector a lo largo de una recta. La proyección del vector A = (Ax, Ay, 
Az) a lo largo de la línea determinada por el radiovector r = (x, y, z) es Ar = A cos θ, en donde 
θ es el ángulo formado por r y A, De la definición de producto punto, 
A � r = (Ar cos θ) = Arr 
Por tanto, 
 
 = Axℓ + Aym + Azn 
donde ℓ, m, n son los cosenos directores de la línea considerada. La expresión de Ar es válida 
aun cuando la línea no pase por el origen. 
EJEMPLO 1.14. Encuéntrese la proyección de A = 10i + 8j - 6k a lo largo de r = 5i + 6j + 9k. 
Aquí r = (52 + 62 + 92)1/2 = 11.92 y 
Producto vectorial o producto cruz 
El producto cruz de dos vectores, como F1 y F2 en la figura 1-9, se escribe F = F1 x F2, se 
define como el vector F que tiene una magnitud 
F = F1F2 sen θ 
y una dirección igual a la dirección de avance de un tornillo de cuerda derecha cuando se atorni-
lla de F1 a F2 un ángulo θ; aquí se supone que el eje del tornillo es normal al plano determinado 
por F1 y F2 (la regla del tornillo de cuerda derecha). O, si la punta de los dedos de la mano 
derecha giran de F1 a F2, el pulgar extendido apuntará en la dirección de F (regla de la mano 
derecha). 
Obsérvese que de acuerdo con la regla de tornillo de cuerda derecha, F1 x F2 = � (F2 x F1) 
Y 
Producto Vectorial = A x B 
Flg. 1-10 Flg. 1-9 
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 9
Producto cruz de los vectores unitarios. Dado que i, j, k son mutuamente perpendiculares y de 
magnitud unitaria, se deduce de la definición de producto cruz que 
i x i = j x j = k x k = 0 
 i x j = k j x k = i k x i = j 
j x i = - k k x j = - l i x k = - j 
Producto cruz en términos de las componentes rectangulares. Dados dos vectores, como los 
de la figura 1-10, 
 A = Axi + Ayj+Azk B=Bxi+Byj+Bzk 
su producto cruz es 
C = A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byi + Bzk) 
Aplicando la ley distributiva al lado derecho y utilizando los valores de i x i, etc., encontrados 
anteriormente, se obtiene 
C = A x B = (AyBz � AzBy)i + (AzBx � AxBz)j + (AxBy � AyBx)k 
De manera equivalente, A x B se puede expresar como un determinante, 
 
 
 
lo cual se puede verificar al desarrollar el determinante con respecto al primer renglón. Obsér-
vese que las componentes X, Y, Z de C son 
Cx = AyBz - AzBy Cy = (AzBx - AxBz) Cz = AxBy - AyBx 
Por lo tanto, la magnitud de C es C = C2 + C2 + C2)1/2 y sus cosenos directores son 
 x y z 
 
 
 
 
El vector C es, por supuesto, normal al plano de los vectores A y B. 
EJEMPLO 1.15. Suponiendo que los vectores A y B.en la figura 1-11 están en el plano XY deter-
mínese la magnitud y dirección de C = A x B. 
C = (200)(100) sen (55° - 15°) = 20 000 sen 40° = 12 855.75 
y por la regla de la mano derecha la dirección de C es la de +Z. Vectorialmente se puede escribir 
C = 12855.75k. 
Fig. 1-11
 
10 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1 
EJEMPLO 1.16. En la figura 1-10, sea A = 20i � 10j + 30k y B = -6i + 15j - 25k. (a) Calcúlese 
la magnitud de A y B. (b) Encuéntrense los cosenos directores de A. (c) Obténgase el producto vecto-
rial C = A x B. (d) Determínese la magnitud y dirección de C. (e) Calcúlese el ángulo θ formado 
por A y B. (f) Obténganse los valores de los cosenos directores ℓ2, m2, n2 de B, así como de los ángulos 
α21, α22, α23 formados por B y los ejes X, Y, y Z, respectivamente. 
(a) A = (202 + 102 + 302)1/2 = 37.42 B = 29.77 
(b) 
(c) Aplicando la fórmula de determinantes, 
 
 
 
C = i[(-10)(-25) - (15)(30)] - j[(20)(-25) - (30)(-6)] + k[(20)(15) - (-10)(-6)] 
= -200i + 320j + 240k = 200(-i + 1.6 j + 1.2k) 
(d) La magnitud de C es 
C = 200 (12 + 1.62 + 1.22)1/2 = 447.21 
Los cosenos directores son 
 
 
 
Obsérvese que C = C(ℓ3i + m3j + n3k). 
(e) C=AB sen θ 
 447.21 = (37.42)(29.77) sen θ 
 sen θ = 0.40145 
 θ= 23.67°
 B = -6i + 15j � 25k = B(ℓ2i + m2j + n2k)
Entonces 
Bℓ2 = -6 Bm2 = 15 Bn2 = -25 
B = (62 + 152 + 252)1/2 = 29.766 
ℓ2 = -0.2016 m2 = 0.5039 n2 = -0.8399 
Los ángulos correspondientes son 
α21=101.63° α22 = 59.74° α23 =147.13° 
 
1.6 ENTIDADES FÍSICAS 
He aquí las entidades o cantidades físicas que tienen importancia en el tratamiento de los 
campos generales de la mecánica, la electricidad y el magnetismo: masa, longitud, tiempo, velo-
cidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, carga eléctrica, voltaje, y muchas más. 
De todas éstas, cuatro y sólo cuatro, masa, longitud, tiempo, y corriente eléctrica (o carga, 
como se verá más adelante), se consideran entidades básicas e independientes. Todas las otras se 
definen por medio de relaciones sencillas de las básicas y se denominan cantidades derivadas. 
Entidades básicas 
De acuerdo con la práctica moderna, el Sistema Internacional de Unidades (SI) se utiliza en 
todo el texto, excepto donde se indique lo contrario. En este sistema, los nombres, símbolos y 
definiciones de las unidades correspondientes son: 
CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 1 1 
Longitud: metro (m) = la longitud de 1 650 763.73 longitudes de onda en el vacío de cierta 
línea espectral del kriptón-86. 
Masa: kilogramo (kg) = la masa de un cilindro específico de platino-iridio que se conserva en 
Sévres, Francia. 
Tiempo: segundo (s) = la duración de 9 192 631 770 periodos de oscilación de cierta línea espectral 
del cesio-133. 
Corriente eléctrica: ampere (A). Considérense dos alambres paralelos, finos y muy largos, situados 
a 1 metro de distancia entre sí en el vacío, conectados en serie y que portan una corriente eléctrica 
estacionaria I. Supóngase que I se ajusta hasta que la fuerza magnética por metro de longitud sobre 
cada alambre sea exactamente 2 x 10-7 newtons. Este valor de I se define como un ampere. 
Carga eléctrica: coulomb (C) se define como la cantidad de carga por segundo que pasa a 
través de la sección transversal de un alambre en el cuál existe una corriente estacionaria de un 
ampere. Éste es aproximadamente igual al valor de la carga total de 6.2419 x 1018 electrones. 
Dado que coulombs = amperes x segundos, resulta claro que los amperes y los coulombs no 
son independientes, por lo que aquí hay que hacer una elección; cada uno de ellos se puede 
tratar como independiente. El otro debe entonces considerarse como cantidad derivada. 
Longitud, masa, tiempo y corriente eléctrica (o carga) a menudo se denominan dimensiones físicas. 
Para el tratamiento de temas relacionados con la temperatura, la luz y la intensidad luminosa y 
la entidad molecular, la mole, las correspondientes unidades independientes se definen en los 
capítulos siguientes. 
Entidades derivadas 
Una entidad derivada es la que se define en términos de dos o más entidades básicas. Ejemplos: 
velocidad lineal = longitud/tiempo; aceleración = longitud/tiempo2; fuerza = (masa x longi-
tud)/tiempo2. Estas relaciones son válidas sin importar las unidades que se empleen. 
Cuando se introducen unidades específicas, pueden obtenerse las correspondientes relaciones 
dimensionales. Por ejemplo, utilizando unidades del SI, 
 
 
 
 
 
 
 
 
De igual manera, comenzando con la definición fundamental de cualquier cantidad derivada, 
se puede conocer la correspondiente expresión dimensional. 
1.7 ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES EN ECUACIONES FÍSICAS 
Una ecuación física expresa matemáticamente las relaciones que existen entre las cantidades 
físicas. La importancia del análisis dimensional se deriva del hecho de que cada término por 
separado en una ecuación física debe representar la misma entidad física; ambos deben ser di-
mensionalmente iguales. Si esto no sucede, la ecuación será errónea. Y para la correcta solución de 
un problema, a lo largo del proceso de solución todos los términos se deben de expresar en las 
mismas unidades básicas. 
 Velocidad: u = ds ; u � d relación, u = m dt s 
 Aceleración: a = du ; u � d relación, a = m dt S2 
 Fuerza: a = F =Ma; u � d relación, F = 
Kg ● m 
= │N│ 
 
 S2 
 Trabajo: W = ∫ F ● ds; u � d relación, W =│N ● m│= 
Kg ● m = │J│. 
 
 S2 
12 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1 
Para hacer una comprobación dimensional se reemplaza por m cada símbolo que representa 
la longitud en metros; la masa en kilogramos, por kg; el tiempo en segundos, por s; la velocidad en 
metros sobre segundo, por m/s; la aceleración en metros sobre segundos, por m/s2; la fuerza 
en newtons, por (kg � m)/s2, etcétera. Después de reducir los términos, una ojeada basta para 
saber si la ecuación es dimensionalmente correcta. Si existen constantes en la ecuación sus dimen-
siones deben conocerse a partir de consideraciones previas y ser tomadas en cuenta. Debe no-
tarse el hecho de que si una ecuación es dimensionalmente correcta esto no garantiza que la 
ecuación sea intrínsecamente correcta. Diversos ejemplos relacionados con el análisis dimensio-
nal sé encuentran en los capítulos siguientes. 
Capítulo 2 
Movimiento rectilíneo de una partícula 
con aceleración constante 
2.1 DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 
La velocidad promedio, υprom, es una cantidad escalar. Una partícula que recorre una distan- 
cia s (por decir algo, de a a b en la figura 2-1) en un tiempo t, lo hace con una velocidad pro-
medio dada por 
υprom = O s = υpromt (2.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.2-1 
La velocidad lineal instantánea, υ (una cantidad vectorial), se define como (Fig. 2-1) 
 
v = lím 
∆t→0 
∆r = dr ∆t dt 
O dado que r = xi + yj + zk , 
 
 
donde x, y, z, son las coordenadas rectangulares de la partícula en P1 en la figura 2-1; i, j, k son 
vectores unitarios a lo largo de X, Y, Z; y para mayor comodidad dx/dt se escribe como x 
etcétera. Obsérvese que v es tangente a la trayectoria en P1. Las unidades para v (asi como las 
de υprom) son m/s. 
Aceleración lineal instantánea, a (un vector) es el cambio instantáneo del vector velocidad v 
con respecto al tiempo. Refiriéndose a la figura 2-2, la partícula en P1 tiene velocidad v1. En un 
tiempo corto, ∆t, su velocidad en P2 es v2. El cambio en la velocidad es ∆v = v2 � v1, y la acele- 
ración instantánea en P1 es 
v = lím 
∆t→0 
∆v = dv∆t dt 
s 
t 
14 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2 
 
Fig.2-2 
O bien, a partir de (2.3) se puede escribir 
 (25) 
Las unidades de a son m/s2. 
Desde la ecuación (2.2) hasta la (2.5), todas son expresiones generales de la velocidad lineal 
y la aceleración lineal en un movimiento tridimensional. Y son, por supuesto, aplicables a ca-
sos especiales, como lo serían el movimiento a lo largo de una recta, el movimiento en un plano, 
el movimiento sobre la superficie de una esfera, y otros de ese tipo. 
2.2 MOVIMIENTO BECTIL1NEO UNIFORMEMENTE ACELERADO 
Cuando a es constante en magnitud y dirección, y cuando elmovimiento es a lo largo de la 
línea de acción de a, se puede asignar una dirección positiva a lo largo de esta línea (ya sea en 
la dirección de a o en la dirección de � a) y trabajar únicamente con números en lugar de vec-
tores. Se tienen así las siguientes relaciones: 
 
(2.6) 
donde υprom es la velocidad promedio en el intervalo de tiempo de 0 a t, y donde υ0 y s0 son la 
velocidad y la distancia en t = 0. 
En la mayor parte de los problemas se eligen los ejes de coordenadas de tal manera que s0 = 0. 
Por lo tanto, para el movimento a lo largo de X, con la partícula inicialmente en el origen, (2.6) 
se transforma en 
 
 
 
Aceleración gravitacional. Todo cuerpo que cae libremente cerca de la superficie de la Tierra 
experimenta una aceleración decreciente aproximadamente constante de g = 9.8 m/s2. 
 
 
CAPÍTULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 15 
Problemas resueltos 
2.1. La partícula que se muestra en la figura 2-3 se desplaza a lo largo de X con una aceleración 
constante de � 4 m/s2. Al pasar por el origen, en la dirección + de X, su velocidad es 20 
m/s. En este problema el tiempo t se mide a partir del momento en el que la partícula se 
encuentra por vez primera en el origen, (a) ¿En qué distancia x' y tiempo t', υ = 0? (b) ¿En 
qué momento la partícula se encuentra en x = 15 m, y cuál es su velocidad en ese punto? (c) 
¿Cuál es su velocidad en x= +25? ¿Én x = � 25 m? Trátese de encontrar la velocidad de la 
partícula en x = 55 m. 
(a) Aplicando 
0 = 20+(�4)t′ o t' = 5s 
Entonces 
 
O a partir de que 
0 = (20)2 + 2(�4)x′ o x'=50m 
(b) 
Resolviendo esta ecuación cuadrática, 
Por lo tanto t1 = 0.8167 s, t2 = 9.1833 s, donde t1 es el tiempo entre el origen y x = 15 m, y 
t2 es el tiempo para ir desde O hasta más allá de x = 15 m y regresar a este punto. En x = 
15 m, 
 y (t) = at3/2 � bt + c 
Obsérvese que la rapidez es igual en ambos casos. 
(c) En x = +25 m, υ2 = (20)2 + 2(-4)(25) o υ = ±14.1421 m/s 
y en x = � 25m, υ2 = 202 + 2(-4)(-25) o υ = � 24.4949 m/s 
(¿Por qué se debe descartar la raíz υ = +24.4949?) 
Suponiendo que x = 55 m, υ2 =202 + 2(-4) (55), de donde υ = +√�40. Es de espe-
rarse el valor imaginario de υ dado que x nunca es mayor que 50 m. 
16 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2 
2.2. Un automóvil de retropropulsión parte del reposo en x = 0 y se mueve en la dirección + de 
X con una aceleración constante de ẍ = 5 m/s2 durante 8 s hasta que se termina su com-
bustible. Y luego continúa con velocidad constante. ¿Qué distancia recorre el automóvil en 
12 s? 
La distancia a partir de O cuando el combustible se agota es de 
2.3. 
y en este punto v = (2ax1)1/2 = 50.5964 m/s. Por lo que la distancia recorrida en 12 s es 
x2 = x1 + υ (12 - 8) = 160 + (50.5964)(4) = 362.38 m 
 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, desde la 
azotea de una torre que tiene una altura de 50 m (véase la figura 2-4). A su regreso no 
pega contra la torre y cae hasta el suelo, (a) ¿Cuánto tiempo t1 transcurre desde el 
instante en que la bola es lanzada hasta que pasa a la altura de la azotea de la torre? 
¿Qué velocidad tiene en ese momento? (b) ¿Qué tiempo total t2 tarda la pelota en llegar 
al suelo? ¿Con qué velocidad υ2 llega? 
(a) En el sistema de coordenadas que se muestra en la figura 2-4, y = vot + 1/2 at2. Pero 
en la azotea y = 0, y entonces 
por lo cual t1 = 0, lo que indica el instante en el cual la pelota es lanzada, e igualmente 
t1 = 4.0816 s, tiempo en que se eleva y regresa a la altura de la azotea. Entonces, dado que 
υ = υ 0 + at, 
υ 1 = 20 + (-9.8)(4.0816) = -20 m/s 
que es el negativo de la velocidad inicial. 
(b) o t2 = 5.8315 s 
υ2 = 20 + (-9.8)(5.8315) = � 37.15 m/s 
 
Fig. 2-4 
2.4. Refiriéndose al problema 2.3 y la figura 2-4, (a) ¿cuál es la altura máxima, desde 
el suelo, a la que llega la pelota? (b) Los puntos P1y P2 se encuentran a 15 y 30 m por debajo 
de la azotea de la torre. ¿En qué intervalo la pelota viaja de P1 a P2? (c) Se necesita que, 
CAPÍTULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 17 
después de pasar por la azotea, la pelota llegué al suelo en 3 s. ¿Con qué velocidad debe 
ser lanzada hacia arriba desde la azotea? 
(a) Máxima altura desde el piso: h = ymáx + 50. Si se sabe que υ 20 + 2a ymáx= 0, 
Por tanto, h = 70.4082 m. 
(b) Si t1 y t2 son los tiempos para arribar a P1 y P2 respectivamente, 
-15 = 20 t1 - 4.9t 21 y -30 = 20 t2 - 4.9 t 22 
 Resolviendo, t1 = 4.723 s, t2 = 5.248 s, y el tiempo de Pt a P2 es t2 � t1 = 0.519 s. 
(c) Si υi es la velocidad inicial deseada, entonces �υ1, es la velocidad que alcanza después de 
pasar a la altura de la azotea (¿por qué?). Entonces, aplicando 
para la caída de la azotea al suelo, se incluye que 
-50= (-υi)(3)-4.9(3)2 o υi = 1.967 m/s 
2.5. Una pelota que parte del reposo cae bajo la influencia de la gravedad durante 6 s, mo-
mento en el que atraviesa un vidrio plano horizontal rompiéndolo y perdiendo 2/3 de su 
velocidad. Si luego llega al suelo en 2 s, encuéntrese la altura del vidrio por encima del 
suelo. 
Partiendo de v = vot +1/2 at2, la velocidad justo antes de golpear el vidrio es 
v1 = 0- 4.9(6)2 = -176.4 m/s 
y, por tanto, la velocidad después de pasar a través del vidrio es (l/3) υ1 = �58.8 m/s. Entonces 
-h = (-58.8)(2) -4.9(2)2 h = 137.2 m 
2.6. Un plano inclinado, como el de la figura 2-5, forma un ángulo θ con la horizontal. Un sur-
co OA hecho sobre el plano forma un ángulo α con OX. Un cilindro pequeño y liso se des-
liza libremente hacia abajo por el surco bajo la influencia de la gravedad, habiendo partido 
del reposo en el punto (x0, y0). Obténgase: (o) su aceleración a lo largo del surco, (b) el tiempo 
que le toma llegar a O, (c) su velocidad en O. Sea. θ = 30°, x0 = 3 m, y0 = 4 m. 
 
Flg.2-5
18 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2 
(a) La componente de g paralela a OY es g sen θ; de aquí que la componente a lo largo del 
surco sea a = g sen θ sen α. De donde 
 
a = (9 .8 ) (0 .5 ) (0 .8) = 3 .92 m/ s 2 . 
(b) 
donde Entonces 
y sen θ = 0.5 
 o t = 1.597 s 
 
(c) v = 0 + (3.92)(1.597) = 6.26 m/s 
2.7. Una cuenta (véase la figura 2-6) se desliza libremente hacia abajo por un alambre l iso 
que une a los puntos P1 y P2 que se encuentran en un círculo vertical de radio R. Si la cuenta 
parte del reposo en P1 el punto más alto del círculo, calcúlese (a) su velocidad υ al llegar a 
P2; (b) el tiempo que tarda en llegar a P2 y muéstrese que este tiempo es el mismo para 
cualquier cuerda trazada desde P1. 
(a) La aceleración de la cuenta al descender por el alambre es g cos θ y la longitud del alambre 
es 2R cos θ. Por tanto, 
 
 
(b) 
 
 
 
que es la misma sin importar en qué lugar del círculo se encuentre P2. 
 
 
Flg.2-6 Flg.2-7 
2.8. El cuerpo 1 de la figura 2-7 parte del reposo desde la cima de un plano inclinado liso y 
en el mismo instante el cuerpo 2 es lanzado hacia arriba desde el pie del plano con una 
velocidad tal que ambos cuerpos se encuentran a mitad de camino en el plano. 
Determínense (a) la velocidad de lanzamiento y (b) la velocidad que tienen los cuerpos 
al encontrarse. 
(b) 
CAPITULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 19 
 (a) En un tiempo común t, el cuerpo 1, recorre una distancia 
 
 
y el cuerpo 2 recorre una distancia. 
 
 
 
sumando estas dos ecuaciones obtenemos ℓ = v02 t o t = ℓ/ v02. Sustituyendo este valor de 
en la primera ecuación y despejando v02, se obtiene 
 
 
 
Problemas complementarios 
2.9. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s desde la cornisa 
de un acantilado que tiene una altura de 110m. Despreciando la resistencia del aire, calcúlese el 
tiempo que la piedra tarda en llegar a la base del acantilado. ¿Con qué velocidad llega? 
Respuesta: 11.93 s; -76.89 m/s 
2.10. Un protón en un campo eléctrico, uniforme se mueve en línea recta con aceleración constante. 
A partir del reposo alcanza una velocidad de 1000 km/s en una distancia de 1 cm. (a) ¿Cuál 
es su aceleración? (b) ¿Qué tiempo requiere para alcanzar dicha velocidad? 
Respuesta: (a) 5 X 1013 m/s; (b) 2 x 10-8 s 
2.11. Se hace que un objeto se desplace a lo largo del eje X de tal manera que su desplazamiento 
está dado por 
 x = 30 + 20t � 15t2 
donde x se expresa en m y t en s. (a) Encuéntrenle tas expresiones para la velocidad x� y la ace-
leración ẍ . ¿La aceleración es constante? (b) ¿Cuáles son ía posición; inicial y la velocidad inicial 
del objeto? (c) ¿En qué tiempo y a qué distancia del origen su velocidad es cero?(d) ¿En qué 
momento y en qué lugar su velocidad es -50 m/s? 
Respuestas: (a) x� = 20 � 30t; x ̈ = -30 m/s2 = constante (c) t = 0.66667 s, x = 36.6667 m 
(b) xo = 30 m, x� o = 20 m/s (d) t = 2.3333 s, x = -5 m 
2.12. Un hombre corre con una velocidad de 4 m/s para alcanzar y abordar un autobús que se en 
cuentra estacionado. Cuando el hombre se halla a 6 m de la puerta (en t = 0, el autobús avanza 
y continúa con una aceleración constante de 1.2 m/s2. (a) ¿Cuánto tardará el hombre en alcanzarla 
puerta? (b) ¿Si al comienzo se encuentra a 10 m de la puerta podrá darle alcance corriendo 
con la misma velocidad? Respuestas: (a) 4.387 s; (b) no 
2.13. Una camioneta avanza con una velocidad constante de 21 m/s. El conductor ve un automóvil 
detenido justo adelante a una distancia de 110 m. Después de un "tiempo de reacción" de ∆t, 
acciona los frenos, los cuales dan a la camioneta una aceleración de �3 m/s2. (a) ¿Cuál es el 
máximo ∆t permisible para evitar el choque y qué distancia se moverá la camioneta antes de que 
se accionen los frenos? (b) Suponiendo un tiempo de reacción de 1.4 s, ¿qué tan lejosdel 
automóvil se detendrá la camioneta y en cuántos segundos a partir del momento en el que el 
conductor ve por primera vez el automóvil? Respuestas: (a) 1.7381 s, 36.5 m; (b) 7.1 m, 8.4 s 
 
 
ℓ (0) t + 1 (g senθ)t2 2 2 
ℓ v02 t + 
1 (- g senθ)t2 2 2 
20 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 2 
2.14. Una pelota parte del reposo desde la orilla de una hondonada profunda. Supóngase que la resisten- 
cia del aire le proporciona una aceleración de � byú , donde y se mide positivamente hacia abajo. 
(Esta aceleración negativa es proporcional a su rapidez, yú; la constante positiva b se encuentra 
experimentalmente.) La pelota tiene una aceleración total de � byú + g, y por tanto 
yú = � byú + g (1) 
que es la ecuación diferencial del movimiento, (a) Muéstrese por diferenciación y sustitución que 
y = k (ebt - l) + (g/b)t (2) 
es una solución de ( 1 ) para un valor arbitrario de la constante k y que (2) da y = 0 
para t = 0. (b) Muéstrese a partir de (2) que 
yú = � kbebt + g/b (3) 
Dado que en t = 0, yú = 0, pruébese que k = g/b2. Muéstrese a partir de (3) que si i → ∞, 
yú → g/b; esto es, la velocidad llega a un valor tal que la aceleración debida a la resistencia del 
aire neutraliza la aceleración positiva de la gravedad, y entonces yú = 0. (c) Supóngase que 
b = 0.1 s-1, para encontrar la distancia a la que cae y la rapidez con la que llega después de 
10 s. (d) Muéstrese que después de 1 minuto la pelota habrá llegado esencialmente a su velo-
cidad terminal de 98 m/s. Respuesta: (c) 360.522 m, 61.95 m/s 
2.15. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el origen de los ejes (se considera a 
Y + hacia arriba), con una velocidad inicial yú 0. Suponiéndose, como en el problema 2.14, una 
aceleración � bÿ debida a la resistencia del aire, se tiene que 
ÿ = - b yú � g (1) 
Obsérvese que cuando yú cambia de signo, también lo hace � b yú ; de aquí que ( 1 ) sea válida para 
el movimiento hacia abajo, al igual que para el movimiento hacia arriba, (a) Muéstrese que 
y = k (ebt - l) � (g/b)t (2) 
es una solución de (1) para cualquier valor de k. (b) Muéstrese que yú = �kbebt � g/b y, dado que yú 
= yú 0 en t = 0, demuestra que 
 
 
 (c) Suponiendo que b = 0.1 s-1 y que yú 0 = 50 m/s, encuéntrense la altura y la rapidez para t 
= 3 s. (d) ¿Qué tiempo tardará la pelota en llegar a su máxima altura y cuál es ésta? 
(Indicación: ln 1.51 = 0.41211.) (e) Muéstrese que sin la resistencia del aire la pelota llegaría a 
una altura máxima de 127.55 m en 5.10 s. (f) Sustituyendo en (2), compruébese que el tiempo 
para subir y tocar tierra es de aproximadamente 8.9 s. Respuesta: (c) 89.59 m, 11.64 m/s; (d) 
4.121 s, 96 m 
Capítulo 3 
Movimiento en un plano de una partícula 
con aceleración constante 
Las relaciones (2.1) a (2.5) son aplicables a los tipos más generales de movimiento de una 
partícula (o de un punto), ya sea a lo largo de una línea, en un plano o en el espacio, y para el 
cual la aceleración a puede ser constante. En el caso especial del movimiento en un plano con 
aceleración constante, las expresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración se reducen a: 
 
 
 
en las cuales ẍ y Ø son constantes cada una. Las magnitudes y direcciones de estos vectores es-
tán dadas por 
 
 
 
donde β y α son los ángulos que forman v y X, y a y X. 
Las expresiones de la velocidad v y el desplazamiento r (el vector de posición de la partícu-
la), en términos del tiempo t, se encuentran por integración y son: 
 
 
 
en las cuales v0 y r0 son los valores de v y r en t = 0. Las componentes escalares de (3.5) y (3.6) 
proporcionan un conjunto de relaciones de la forma de (2.6) para cada coordenada: 
 
 
 
 
 
 
El hecho de que a tenga magnitud y dirección constantes no implica que el movimiento se 
realice a lo largo de una recta. En general, la partícula se desplaza a lo largo de una parábola. 
Esto es fácil de apreciarse al encontrar los ejes coordenados tales que uno de ellos, X por 
ejemplo, sea paralelo a a y tal que la partícula se encuentre en el origen cuando t = 0. Entonces, 
las primeras dos ecuaciones (3.7) se transforman en 
 
 
 Cuando se elimina t de éstas, el resultado es 
22 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3 
que es la ecuación de una parábola (véase la figura 3-1). En el caso especial de que yú 0 = 0, la 
trayectoria es una recta: el eje X. 
 
Problemas resueltos 
3.1. Un proyectil (véase la figura 3-2) es disparado hacia arriba con una velocidad inicial v0 = 200 
m/s a un ángulo θ = 60°. (a) Encuéntrese la posición y velocidad del proyectil 10 s des-
pués del disparo, (b) Calcúlese la altura máxima h y el tiempo en el que llega a esta 
posición, (c) Obténgase el tiempo total de vuelo y el alcance R. Dedúzcase una expresión 
general para R. (d) Escríbase una ecuación de la trayectoria, (e) ¿Cuál es la velocidad del 
proyectil cuando se encuentra a una altura y = 1000 m? 
Primero obsérvese que 
 
La aceleración de la gravedad es g = 9.8 m/s2 en la dirección negativa del eje Y. Enton-
ces ẍ = 0, Ø = � 9.8 m/s2. 
(a) Aplicando (3.7), 
 
CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA 23 
La magnitud de la velocidad es v = [(100)2 + (75.2)2]1/2 = 125.12 m/s; la dirección está 
dada por 
 
 (b) Cuando y = h, yú = 0 = yú 0 � gt. Entonces t = yo/g = 17.67 s, y 
 
 (c) AI pegar en el suelo, y = 0. Entonces 
 
Luego R = xú ot =. (100) (35.35) = 3535 m. 
Como antes, el tiempo de vuelo es 
Entonces 
 
 (d) Eliminando t de porque x = xú ot se obtiene que 
 
 
como ecuación de la trayectoria. Alternativamente, la trayectoria está dada por (3.8), con x 
y y reemplazadas por � y y x, respectivamente. 
(e) Por (3.7), xú 2 = xú 20 y yú 2 = yú 20 - 2gyú . Por lo que v2 = xú 2 + yú 2 = v 20- 2gy = (200)2 - 2 (9.8) 
(1000) = 2.04 X 104/s2 ó v = 143 m/s. La dirección de la velocidad está dada por 
 
 
o β = � 45.6°. (¿Por qué existen dos valores para el ángulo?) 
3 . 2 . Una pelota es arrojada hacia arriba desde la azotea de una torre de 35 m, véase figura 3-3, 
con velocidad inicial v 0 = 80 m/s a un ángulo θ = 25° . ( a ) Encuéntrense el tiempo que tarda 
en llegar al piso y la distancia R desde P al punto de impacto, ( b) Calcúlense la magnitud y 
la dirección de la velocidad en el momento del impacto. 
(a) En el punto de impacto, y = � 35 m y x = R. A partir de 
 
24 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3 
t = 7.814 s. Entonces x = R = (80 cos 25°) (7.814) = 566.55 m. 
(b) En el momento del impacto, y = 80 sen 25° - (9.8) (7.814) = - 42.77 m/s y xú - xú 0 = 
80 cos 25° = 72.5 m/s. Entonces v = (42.772 + 72.52)1/2 = 84.18 m/s y 
 
 
3.3. Un proyectil (véase la figura 3-4) es disparado hacia arriba con velocidad u0 a un ángulo 
θ. (a) ¿En qué punto P(x, y) choca contra la azotea del edificio y en cuánto tiempo? (b) En-
cuéntrese la magnitud y la dirección de v en P. Sea θ = 35°, v0 = 40 m/s, α = 30°, y 
h = 15m. 
Primero obsérvese que 
 
y, de la ecuación para la azotea, 
 
 (a) Eliminando t de y = yú ot � 4.9t2 mediante x = xú ot, se tiene que 
 
para la trayectoria del proyectil. Igualando y en (1) a y en (2) y sustituyendo los valores 
numéricos, 
0.004564 x2- 1.277558x + 15 = 0 
por lo cual x = 12.28 m. Entonces y = h - (12.28) tan α = 7.90 m. El tiempo para chocar 
contra la azotea está dado por 
12.28 = 32.7661t o t= 0.375 s 
(b) En P, 
 
 
 
Entonces v = (xú 2 + yú 2)1/2 = 38.0 m/s y tan β = yú / xú = 0.588, o β = 30.46°, donde β es el 
ángulo que forma v con X en P. 
 
3.4. En el problema 3.3 se puede ajustar el ángulo θ. Encuéntrese el valor de θ cuando el pro-
yectil choca con la azotea en un tiempo mínimo. 
De nuevo 
CAPÍTULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DÉ UÑA PARTÍCULA 25 
Igualando estas dos expresiones para y y eliminando x al utilizar x = xú ot = (v0 cos θ)t, se ob-
tiene la siguiente ecuación para el tiempo en el que el proyectil choca con la azotea: 
 
o utilizando la fórmula de la adición, sen(θ + α) = sen θ cos α + cos θ sen α, 
para un t mínimo, se debe tener dt/dθ=0. Derivando (1) con respecto a θ y estableciendo 
dt/dθ=0, se obtiene 
lo cual implica que (dado que tmín ≠ 0) 
cos(θ + α) = 0 o θ = 90°¬ α 
Este resultado significa que el proyectil debe ser apuntado en la dirección de la distancia 
mínima, como si no existiera la aceleración de la gravedad. Sin embargo, la gravedad no puede 
ignorarse en este problema. Si se trate de determinar el valor de tmín al sustituir θ + α = 90° en 
(1) y resolver, se obtiene 
 
 
que es complejo si v0 < √2gh cos α. En otras palabras, si v0 < √2gh cos α, el proyectil nunca 
llegará a la azotea, por lo que tanto el valor de 8 como el concepto de tiempo mínimo dejan de 
tener sentido. 
3.5. Haciendo referencia a la f igura 3-5, el proyecti l se dispara con una, velocidad 
inicial v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 23°. La camioneta se mueve a lo largo de X con una 
velocidad constante de 15 m/s. En el instante en que él proyectil, se dispara, la parte tra-
sera de la camioneta se encuentra en x = 45 m. (a) Encuéntrese el tiempo necesario para 
que el proyectil pegue contra la parte trasera de la camioneta si ésta es muy alta, (b) ¿Qué 
pasaría si la camioneta tuviera únicamente 2 m de alto? 
(a) En este caso, el proyectil golpea la parte trasera de la camioneta en el momento de alcan-
zarla, o sea cuando la distancia respecto a la parte trasera de la camioneta es, 
x1 = 45+15t 
y es igual a la distancia horizontal cubierta por el proyectil, 
 
26 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 3 
 
 
 
 
 (b) En t = 2.61 s, cuando el proyectil alcanza la parte trasera de la camioneta, su altura es 
 
 
o sea 27 cm por encima del techo de la camioneta. Dado que el proyectil se mueve más 
rápido horizontalmente que la camioneta, es claro que después de esto aquél permanece 
por delante de la parte posterior de la camioneta, y nunca la golpeará en esta parte. 
El proyectil alcanzará (en el segundo intento) una altura de 2 m en un tiempo total 
t2 dado por 
 
esto es, 2.635 � 2.614 = 0.021 s después de alcanzar la parte trasera de la camioneta, por 
lo que el proyectil pega contra el techo de la camioneta a una distancia de 
(32.22 � 15)(0.021) = 0.36 m = 36 cm 
desde la orilla posterior. 
3.6. Con base en el problema 3.5(a) encuéntrese el valor de u0 cuando el proyectil golpea a la 
camioneta en y = 3 m, si todas las demás condiciones permanecen iguales. 
El tiempo necesario para alcanzar la parte trasera de la camioneta está dado por 
 
 
 
Sustituyendo los valores numéricos de sen θ y cos θ, se obtiene la siguiente ecuación cuadrática 
para v0: 
 
Resolviendo, V0 = 25.27775 m/s. 
3.7. Una partícula que se mueve en el plano YX tiene componentes X y Y de velocidad dadas por 
xú = b1 + c1t yú = b2+c2t (1) 
donde x y y se miden en metros y f en segundos, (a) ¿Cuáles son las unidades y dimensio-
nes de las constantes b1 y b2? ¿De c1 y c2? (b) Intégrense las relaciones anteriores para ob-
tener x y y como funciones del tiempo, (c) Denotando la aceleración total como a y la velo-
cidad total como v, encuéntrense las expresiones de la magnitud y la dirección de a y v. 
(d) Escríbase v en términos de los vectores unitarios. 
(a) Una ojeada a ( 1 ) muestra que b1 y b2 deben representar velocidades en metros por segundo 
(m/s); dimensionalmente c1 y c2 deben ser |m/s2| y, por tanto, aceleraciones. 
(b) 
donde x0, y0 son los valores de x y y en t = 0. 
(c) Al diferenciar ( 1 ) con respecto a t, ẍ = c1, ÿ = c2. Entonces 
CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA 27 
donde a es el ángulo que forma a con X. Obsérvese que a es constante en magnitud y di-
rección. Para la velocidad, 
 
 
donde β es el ángulo que forma v con X. 
(d) v = (b1 + C1t)i + (b2+C2t)j 
3.8. Refiérase a la figura 3-6. Un proyectil es disparado desde el origen con una velocidad 
inicial v1 = 100 m/s a un ángulo θ1 = 30°. Otro proyectil se dispara en el mismo instante 
desde un punto sobre X que se encuentra a una distancia x0 = 60 m desde el origen, con 
una velocidad inicial v2 = 80 m/s a un ángulo θ2. Se desea que los dos proyectiles choquen 
entre sí en algún punto P(x, y), (a) Determínese el valor necesario de θ2. (b) ¿En cuánto 
tiempo y en qué punto chocarán? (c) Encuéntrense las componentes de la velocidad de 
cada uno en el momento del impacto. 
 
(a) Sean (x1, y1) (x2, y2) las coordenadas del primero y segundo proyectiles, respectivamente, 
en cualquier tiempo t. Entonces 
 
 
Para que choquen y1= y2 (e igualmente x1 = x2). Entonces 
 
 
 
 
 
 
28 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3 
(c) 
 
 
 
 
En realidad, yú 1 = yú 2 (¿por qué?); la diferencia aparente es un error de redondeo. 
3.9. Una pelota, B1; es disparada hacia arriba desde el origen de X, Y con velocidad inicial 
v1 = 100 m/s a un ángulo θ1 = 40°. Después de t = 10 s, como se puede fácilmente mos- 
trar, la pelota se encuentra en el punto P(x1, y1), donde x1 = 766.0444 m, y1 = 152.7876 m. 
Cierto tiempo después, otra pelota, B2, se dispara hacia arriba, también desde el origen, 
con velocidad v2 a un ángulo θ2 = 35°. (a) Encuéntrese un valor de v2 tal que B2 pase por 
el punto P(x1, y1). (b) Calcúlese cuándo debe ser disparada B2 para que las dos pelotas cho- 
quen entre sí P(x1, y1). 
(a) Sean P(x1, y1, t1) las coordenadas y el tiempo de B1 y (x2, y2, t2) las de B2. Dado que B2 
debe pasar por el punto P(x1, y1). 
 
 
 
por lo que v2 = 105.69313 m/s. 
(b) Sustituyendo el valor de v2 en x2 = (v2 cos 35°)t2 = 766.0444, se encuentra que t2 = 8.84795 s. 
Portanto, con v2 = 105.69313 m/s y θ2 = 35°, B2 pasa por P(x1, y1)8.84795 s después de 
que se dispara. Pero B1 llega a este punto 10 s después de ser disparada. Por tanto, si las dos 
tienen que chocar, el disparo de B2 debe retrasarse 10 � 8.84795 = 1.152 s. 
Problemas complementarios 
3.10. Una pelota es lanzada verticalmente desde un punto situado en un lado de una colina que tiene 
pendiente uniforme hacia arriba con un ángulo de 28°. Velocidad inicial de la pelota: v0 = 33 m/s, 
a un ángulo θ = 65° (con respecto a la horizontal). ¿A qué distancia hacia arriba de la pendiente 
caerá la pelota y en cuánto tiempo? Respuesta: 72.5 m; 4.59 s. 
3.11. Un proyectil es disparado con una velocidad inicial v0 = 95 m/s a un ángulo θ = 50°. Después 
de 5 s pega contra la cima de una colima. ¿Cuál es la elevación de la colima por encima del 
punto de disparo? ¿A qué distancia horizontal del arma aterriza el proyectil? 
Respuesta: 241.37 m; 305.32 m. 
3.12. Rehágase el problema 3.4 en un sistema de coordenadas con ejes perpendiculares y paralelos a 
la azotea. Muéstrese que la condición v20 ≥ 2gh cos2 a tiene una interpretación simple en este 
sistema. 
3.13. El movimiento de una partícula en el plano XY está dado por 
x = 25 + 6t2 y = -50-20t + 8t2 
(a) Encuéntrense los siguientes valores iniciales: 
(b) Calcúlense la magnitud y dirección de a, la aceleración de la partícula. 
(c) Obténgase una ecuación para la trayectoria de la partícula (encuéntrese y en función de x). 
CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UÑA PARTÍCULA 29 
3.14. En la figura 3-7 las partículas a de un pequeño trozo de material radiactivo pasan a través de la 
rendija S hacia el espacio existente entre dos placas metálicas paralelas y muy grandes, A y B, 
conectadas a una fuente de voltaje. En virtud del campo eléctrico uniforme entre las placas, cada 
partícula tiene una aceleración constante s = 4 X 1013 m/s2 normal y hacia B. Si v0 = 6 X 106 m/s 
y θ= 45°, determínense h y R. Respuesta: 22.5 cm; 90 cm 
3.15. El arreglo en la figura 3-8 es el mismo de la figura 3-7, excepto porque las partículas α 
entran en la rendija S desde dos fuentes, A1 y A2 a ángulos θ1 y θ2, respectivamente. v0 y a son las 
mismas para ambos grupos. Sabiéndose que v0 = 6 X 106 m/s, a = 4 X 1013 m/s2, θ1 = 45° + 
1°, θ2 = 45° - 1o, muéstrese que todas las partículas están "enfocadas" en un sólo punto P. 
Encuéntrense los valores de R, h1, y h2 � h1 
Respuesta: R = 89.945 cm; h1 = 23.285 cm; h2 � h1 = 2.114 cm 
 
 
3.16. Una pelota es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial v0 = 15 m/s a un ángulo de 30° con 
la horizontal. El lanzador se encuentra cerca de la cima de una colina que tiene una pendiente 
hacia abajo con un ángulo de 20°. (a) ¿Cuándo chocará la pelota contra la pendiente? (b) ¿Qué 
tan lejos cae hacia abajo de la pendiente? (c) ¿Con qué velocidad pega? (Especifíquense las com-
ponentes, horizontal y vertical.) 
 Respuestas: (a) 2.495 s después del lanzamiento 
(b) 34.50 m, medidos hacia abajo 
(c) xú = 13.824 m/s, yú = 16.96 m/s 
30 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3 
3.17. Un bombardero (figura 3-9) vuela rasante a una velocidad v1 = 72 m/s a una altura de h = 100 
m. Cuando se encuentra justo encima del origen deja caer la bomba B que choca contra la camio- 
neta T, que se mueve a lo largo de un camino plano (el eje X) con velocidad constante v2. En 
el momento en el que la bomba es liberada la camioneta está a una distancia x0 = 125 m de O. 
Encuéntrense el valor de v2 y el tiempo de vuelo de B. 
Respuesta: 44.33 m/s (casi 100 mph); 4.51754 s. 
3.18. Una partícula se mueve en el plano XY y a lo largo de la trayectoria dada por y = 10 + 3x + 5x2. 
La componente X de la velocidad, xú = 4 m/s, es constante, y en t = 0, x = x0 = 6 m. (a) Expré- 
sense y y x como funciones de t. (b) Encuéntrense y0 y yú 0. (c) Encuéntrense Ø y ẍ , las compo-
nentes de la aceleración de la partícula. 
Respuestas: (a) y = 208 + 252t + 80t2, x = 4t + 6; 
 (b) 208 m, 252 m/s; 
 (c) ÿ = 160 m/s2, ẍ = 0. 
 
3.19. El movimiento de una partícula en el plano XY está dado por 
x=10+12t-20t2 y = 25 + 15t + 30t2 
(a) Encuéntrense los valores de x0, xú o; y0, yú o. (b) Calcúlense la magnitud y dirección de v0. 
(c) Encuéntrense ẍ , Ø, y a. (d) ¿El movimiento es a lo largo de una recta? 
 
 
 
3.20. Considérese que el movimiento de una partícula está dado por 
x = 5+10t +17t2 + 4t3 y= 8+9t + 20t2-6t3 
(a) Encuéntrense las expresiones de ẍ , Ø. (b) ¿Es éste un caso de movimiento con aceleración 
constante, como en todos los problemas anteriores? 
Respuestas: (a) ẍ = 34 + 24t, y = 40 � 36t; 
 (b) a no es constante porque sus componentes tampoco lo son. 
Capítulo 4 
Leyes de Newton del movimiento: introducción 
4.1 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO 
1a. Ley: Cualquier cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uni-
forme a menos que sea afectado por fuerzas externas y desequilibradas que cambien 
dicho estado. 
A partir de esta ley la fuerza se define como cualquier cosa que cambie o tienda a cambiar el 
estado de movimiento de un objeto. Igualmente, la primera ley de Newton implícitamente define 
los sistemas inerciales de coordenadas (véase la sección 4.3). 
2a. Ley. Si sobre un cuerpo de masa m actúan varias fuerzas y a es su aceleración observada en 
un sistema inercial de coordenadas, entonces 
ΣF=ma 
donde Σ F es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. 
En el caso especial de que la fuerza resultante sea cero, la segunda ley de Newton nos dice que 
a = 0, lo cual implica que la velocidad del cuerpo es constante en magnitud y dirección. 
3a. Ley: Si el cuerpo 1 ejerce una fuerza F2 sobre el cuerpo 2 y éste ejerce una fuerza F1 sobre 
aquél, entonces estas fuerzas son iguales y opuestas sin importar que otras actúen sobre 
los dos cuerpos: 
F1 = -F2 
De acuerdo con la tercera ley de Newton, ninguna fuerza ocurre por sí misma. Las fuerzas de 
acción y reacción nunca están desequilibradas, debido a que son ejercidas sobre cuerpos 
diferentes. 
4.2 MASA Y PESO 
La propiedad que un cuerpo tiene de resistir cualquier cambio en su estado de reposo o de 
movimiento rectilíneo uniforme recibe el nombre de inercia. La inercia de un cuerpo está rela-
cionada con lo que se podría llamar en términos poco estrictos, "cantidad de materia" que con-
tiene. Una medida cuantitativa de la inercia es la masa. 
El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional ejercida sobre ese cuerpo, Un cuerpo de masa m 
tiene un peso w = mg en un lugar donde la aceleración gravitacional es g. 
4.3 SISTEMAS (MARCOS) DE REFERENCIA 
Existen ciertos marcos de referencia, llamados sistemas inerciales, en relación con los cuales 
cualquier partícula tiene un vector velocidad constante cuando está libre de fuerzas externas. 
EJEMPLO 4.1. El sistema de referencia atribuido a las "estrellas fijas" generalmente se toma como un sistema 
inercial. Cualquier otro es inercial si y sólo si su velocidad con respecto a este sistema específico es 
constante. 
32 
En u
cualqui
 
donde d
que act
EJEMP
un sistem
denomi
fuerzas 
4.4 PR
(1) D
(2) A
(3) T
nitudes 
(4) E
objeto c
(5) S
sistema
(6) A
4.1. U
a
a
t
h
(
 
 
 
 
 
4.2. U
n
é
L
p
un marco no
ier sistema in
dv1 /dt es la a
úa sobre ella
PLO 4.2. A pa
ma no inercia
ina fuerza ine
reales (efectiv
ROCEDIMIEN
Dibujar un e
Aislar el obje
Trazar todas 
y direccione
Encontrar la f
como un pun
Seleccionar u
a fijo a la Tie
Aplicar R = m
Una fuerza c
alcanzar una 
aceleración q
tancia a trav
hasta 44 m/s.
(a) Sitúese el
Un coco con 
netrar 0.1 m d
ésta es const
Primero se
 
La aceleración
por 
LEYES
o inercial, es
nercial, la ecu
celeración de
a. 
artir de (4,1) s
l si se interpre
ercial debido 
vas). 
NTO PARA 
squema racio
eto en cuestió
las fuerzas qu
s. 
fuerza resulta
nto con masa.
un sistema in
rra se puedema. Aquí a es
constante act
velocidad d
que esta fuer
vés de la cua
. 
l eje X a lo la
masa 0.5 kg
de arena. Enc
ante. 
e calcula la ve
n del coco mi
S DE NEWT
to es, un sis
uación de mo
e la partícula 
se puede ver q
eta el término 
a que es prop
CALCULAR 
onal y precis
ón. 
ue actúan sob
ante, R. (Las 
.) 
nercial de ref
considerar in
s con relació
Problem
túa sobre un
de 50 m/s a p
rza proporcio
al la partícul
argo de la fuer
g cae de un á
cuéntrese la f
elocidad del c
entras se mue
ON DEL MO
stema que te
ovimiento de
en este sistem
que la segunda
�mao como un
porcional a la
LAS FUERZ
so del proble
bre este objet
fuerzas podr
ferencia. (En 
nercial.) 
n al sistema 
mas resue
na partícula d
partir del rep
onaría a una 
la con masa 
rza constante
árbol de 10 m
fuerza de res
coco antes de 
eve a través de
OVIMIENTO
nga una ace
e una partícu
ma, m es su m
a ley de Newt
na fuerza que 
a masa o inerc
ZAS Y ACEL
ema. 
to, indicando 
rán actuar en 
casi todos lo
inercial esco
eltos 
de masa 20 k
oso. Encuén
partícula de 
2000 kg es 
e. Luego, la fu
m de altura y
sistencia Fr, d
que caiga en
e la arena tien
O 
leración ao c
la es 
masa, y Σ F es
ton es válida f
actúa sobre la
cia, m), la cua
LERACIONES
 aproximadam
un punto si i
os problemas
ogido. 
kg durante 5
ntrense: (a) la
masa 2000 k
acelerada d
fuerza es 
y se detiene 
de la arena, s
n la arena (figu
ne el valor con
[CAPITULO
con respecto
 
(4
s la fuerza tot
formalmente 
a partícula (se
al se suma a l
S 
mente sus ma
idealizamos e
s prácticos un
5 s, haciéndo
a fuerza; (b)
kg y (c) la d
esde el repo
después de p
uponiendo q
ura 4-1): 
nstante a1, dad
O 4 
o a 
4.1) 
tal 
en 
 le 
las 
ag-
el 
n 
ole 
 la 
dis-
oso 
pe-
que 
 
do 
CAFÍTULO 
Entonc
La fue
4.3. Dos c
uno s
(inter
de la
intera
El sig
se pue
Estas 
4.4. Los b
super
se eje
fuerz
 
 
(c) P
4] 
ces ΣFy = Fr �
erza es positiv
carros están c
e pone en mo
racción), la ve
a interacción
acción de A 
gno menos ind
ede establecer
son fuerzas p
bloques A y B
rficie lisa y h
erce sobre e
za del bloque 
Por la tercera l
LEYES DE 
� mg = ma1, o
Fr =
va, dado que se
colocados en 
ovimiento de 
elocidad del c
n fue de 0.02
y B. 
 
 
dica que la fue
r como FB = 
promedio que
B, con masa
horizontal co
l bloque A. 
A sobre el b
ley de Newto
NEWTON D
o 
 m(g + a1) = (0
e opone al mo
forma tal que
manera que 
carro A cambi
2 s y mA es 
erza sobre A 
+ 15 N, con 
e actúan duran
s 4 kg y 6 k
omo se mues
(a) ¿Cuál es
bloque B? ¿C
on FB sobre A = 
DEL MOVIM
0.5)(9.8+980) = 
ovimiento, el c
e rueden sobr
ocurre una co
ia, según se m
0.5 kg, enc
(ejercida por 
base en la te
nte el interval
kg, respectiva
stra en la figu
s la acelerac
Cuál es la del 
12 N, hacia la
MIENTO
494.9 N 
cual es en la d
re un riel rect
olisión. Com
muestra en la f
cuéntrese la 
B) es hacia la
rcera ley de N
lo ∆t. 
amente, están
ura 4-3. Una
ión de los b
bloque B. so
a izquierda. 
 
dirección de �Y
to y horizonta
o resultado d
figura 4-2. Si
fuerza prom
a izquierda. L
Newton del m
n en contacto
a fuerza exter
bloques? (b) 
obre, el bloqu
 
33 
 
Y. 
al. Al menos 
de la colisión 
 la duración 
medio de la 
La fuerza FB 
movimiento. 
o sobre una
rna de 20 N
¿Cuál es la
ue A? 
 
34 
4.5. U
a
p
d
a
a
s
y
y
4.6. 
 
Una caja con
amarra a una
pequeña (véa
de 4 m de la
aplican a la 
arranque, com
La caja s
sea más grand
y θ = 44.4°. A
y la distancia
Encuéntrese
en los casos 
como la de a
En cada 
sistema inerc
LEYES
n masa 4 kg
a cuerda que
ase la figura 4
 polea y la c
cuerda un j
menzará la c
e despegará d
de que el pes
Ahora la altu
a con respecto
 la fuerza F 
que se muest
a, o hacia arr
caso se aplica
cial de la Tierr
S DE NEWT
g que reposa
e pasa sobre
4-4). La caja
cuerda forma
jalón consta
caja a despeg
de la superfici
o de la caja.
ura del jalón 
o al punto de 
ejercida por 
tran en la fig
riba si a = 0.
a al hombre la
ra. 
TON DEL MO
 sobre una s
e una polea s
a se encuentra
a un ángulo 
ante de 56 N
garse de la su
ie cuando la c
es h = 4 tan 
arranque es d
el piso de un
gura 4-5. En e
a segunda ley
OVIMIENTO
superficie ho
sin fricción 
a inicialment
de 30° con l
N. ¿En qué 
uperficie? 
componente v
30° = (4/√3)
d = 4 - 2.4 = 
n elevador so
estos casos la
y de Newton, e
O
 
orizontal y s
y que tiene 
te a una dista
la horizontal
punto, con 
vertical del jal
 
) m. Por tanto
1.6 m. 
 
obre los pies
a dirección p
el sistema de 
[CAPITULO
sin fricción,
una masa m
ancia horizon
l. Dos homb
respecto al 
ón en la cuerd
o, 
 de un homb
ositiva se tom
referencia es 
O 4 
, se 
muy 
ntal 
bres 
de 
da 
bre 
ma 
el 
CAPÍTULO 
4.7. Un pá
tierra
vista 
E
miento
Por lo
fue so
4.8. Refié
desde
4] 
ájaro que vue
 X, Y (Fig. 4
por el pájaro
En el sistema d
o del gusano e
o que la aceler
oltado desde e
rase al probl
 el suelo, (b) 
LEYES DE
ela con una a
-6), deja cae
o? 
de coordenada
es 
 
 
ración del gus
el reposo). La
ema 4.7 y la
Verifíquese q
 NEWTON D
aceleración c
r un gusano 
as no inercial
ano es consta
a pendiente de
 figura 4-6(a
que las dos d
DEL MOVIM
constante a0,
de su pico. ¿
 X', Y' del páj
ante y su traye
e la recta con
a). Determíne
escripciones 
MIENTO
, en relación
¿Cuál es la tr
aro (Fig. 4-6)
ectoria es una 
n respecto a la
ese la trayect
de la trayecto
 con el siste
ayectoria del
), la ecuación
recta (supon
a horizontal e
toria del gusa
oria sean equi
35 
 
ma de la 
l gusano, 
 de movi-
niendo que 
es 
ano vista 
ivalentes. 
36 
4.9. U
d
e
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.10. L
d
f
t
(a) En el siste
inicial xú 
tiempo s
 
y la traye
(b) Supóngase
avanzado
(x, y) y (x
La trayec
 
 
 
 
que es un
Un pequeño 
desechado pa
empuje que a
supóngase qu
En la fig
La suma re
do. Por tanto,
Los objetos A
dible. Deben 
figura 4-8. L
trese la tensi
LEYE
ema X, Y del s
= v0, donde v0
e le denota t 
ectoria es una 
e que en t = 0
o una distanci
x', y') del gusa
ctoria en el sis
na recta con p
dirigible des
ara que el dir
actúe hacia a
ue la fuerza 
ura 4-7 las ec
sulta ser 
, 
A y B, cada u
moverse en u
Los objetos s
ión en la cuer
S DE NEWT
suelo el gusan
0 es la rapidez
= 0). De aqu
parábola. 
0 los dos siste
ia vot + 1/2aot2
ano en los dos
stema X', Y' s
pendiente g/a
sciende con u
rigible se elev
arriba sobre a
de empuje es
cuaciones de m
descendie
ascendie
 
uno con masa 
un anillo sin 
e sueltan del
rda justo des
TON DEL MO
no tiene una ac
 del pájaro en
uí que 
emas de coord
2 a lo largo de
s sistemas está
se obtiene sus
a0, como se en
una aceleraci
ve con la mis
aquél y que s
s la misma en
movimiento s
endo 
ndo 
 
m, están con
fricción en u
l reposo en l
spués de que 
OVIMIENTO
celeración con
 el momento e
denadas coinci
el eje X, de ta
án relacionada
stituyendo las
ncontró en el
ión a. ¿Qué c
sma acelerac
sea igual al p
n ambos caso
on 
 
nectados por u
un plano vert
as posicione
se sueltan. 
O
nstante Ø = -g
en que suelta e
iden. En el tie
l manera que 
as por 
 expresiones 
l problema 4.
cantidad de l
ión o? Existe
peso del aire
os. 
 la masa de
una cuerda lig
ical, como se
es que se mue
[CAPITULO
 y una velocid
el gusano (a e
empo t, O' ha
las coordenad
 (2) en ( I ) : 
7. 
lastre debe s
e una fuerza 
 que desplaz
l lastre desech
gera e inexten
e muestra en 
estran. Encué
O 4 
dad 
ste 
(1) 
abrá 
das 
(2) 
er 
de 
za; 
ha-
n- 
la 
én- 
CAPITULO
E
maner
mism
fuerza
4.11. Un cu
posic
 
dond
fuerz
 
 
4.12. En la
F1 = 4
4.13. Poco 
de 22
Respu
4.14. Para m
una fu
masa 
O 4] 
En el moment
ra que, como 
a magnitud a
a horizontal d
uerpo con m
ión es 
e α, β, γ son 
za que actúa 
a figura 4-9 s
4i N y F2 = 2
después de sa
5 N ejercida p