Guía Práctica 1 - Mecánica Clásica I

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Mecánica Clásica I | Mecánica Clásica y Relatividad | 2022
Gúıa Práctica 1: Formalismo de Lagrange
1. Grados de libertad, v́ınculos y coordenadas generalizadas
Para cada sistema, encontrá:
⋆ el número de grados de libertad originales del sistema (previo a los v́ınculos)
⋆ un conjunto de coordenadas que describan los grados de libertad originales
⋆ los v́ınculos y las ecuaciones de v́ınculo, clasificándolos según si son holónomos o no y si son reónomos
o esclerónomos
⋆ el número de grados de libertad del sistema (teniendo en cuenta los v́ınculos)
⋆ un conjunto de coordenadas generalizadas
⋆ las relaciones constitutivas de las part́ıculas
a) Una part́ıcula de masa m moviéndose sobre la superficie de un cilindro infinito de radio ρ0. Para lo
que se pide responder, ¿hay alguna diferencia si la superficie es lisa (no hay rozamiento) o rugosa?
b) Una part́ıcula de masa m moviéndose sobre una hélice de radio ρ0 y paso h. (El paso es la distancia
entre dos puntos de la hélice luego de que la misma dio una vuelta de 2π.)
c) Una part́ıcula de masa m moviéndose a lo largo de un anillo circular de radio R, fijo y en un plano
horizontal.
d) El péndulo de Ehrenfest: un péndulo de masa puntual m que se mueve en un plano vertical, tal
que la longitud del hilo vaŕıa a lo largo del tiempo de acuerdo a una ley conocida determinada
externamente l(t) = l02 (1 + cosωt), donde l0 es la longitud en el instante inicial y ω es la frecuencia
con la que cambia la longitud.
e) Una part́ıcula de masa m moviéndose en una mesa, conectada al extremo de un hilo sin masa
e inextensible cuya longitud vaŕıa a lo largo del tiempo de acuerdo a una ley conocida l(t) =
l0
2 (1− cosωt). El otro extremo del hilo está fijo respecto de la mesa.
f) Un part́ıcula de masa m unida a un extremo de un hilo inextensible de longitud l0 y masa
despreciable. El otro extremo del hilo está fijo. Este sistema es el llamado péndulo esférico.
g) Dos masas puntuales m1 y m2 conectadas a través de un hilo inextensible sin masa de largo l0. El
hilo pasa por un agujero en una mesa, permitiendo que la masa m1 cuelgue por debajo de la mesa
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como un péndulo, mientras que la masa m2 está limitada a moverse sobre la mesa. Todo el sistema
se encuentra en un plano.
h) Una part́ıcula moviéndose sobre la superficie de una esfera de radio R la cual se desplaza con
velocidad constante V en una dada dirección.
i) Dos masas puntuales m1 y m2 fijas en los extremos de una barra ŕıgida sin masa de largo l0, la
cual puede girar alrededor de su punto medio, el cual a su vez, se encuentra limitado a moverse
sobre un anillo sin masa de radio R. Todo el sistema se encuentra en un plano.
j) Dos masas puntuales m1 y m2 fijas en los extremos de una barra ŕıgida sin masa de largo l0,
mientras que las masas además se encuentran limitadas a moverse sobre un anillo sin masa de
radio R. Todo el sistema se encuentra en un plano.
k) Una rueda de radio ρ0 que rueda sin resbalar en el interior de una cavidad ciĺındrica fija de radio
R, con R > ρ0 permaneciendo siempre el eje de la rueda y el eje de la cavidad paralelos entre śı.
En este caso encontrá las relaciones constitutivas del centro de la rueda y del punto de contacto
de la rueda con la cavidad ciĺındrica.
l) Una masa puntual m moviéndose a lo largo de una barra ŕıgida sin masa semi-infinita, que gira
alrededor de su extremo con una velocidad angular ω constante conocida.
m) La máquina de Atwood. Dos masas puntuales m1 y m2 conectadas a través de un hilo inextensible
sin masa de longitud l0 que pasa por una polea de radio R, de forma tal que cada masa cuelga
a cada lado de la polea y sólo pueden moverse verticalmente. Todo el sistema se encuentra en un
plano.
n) Una part́ıcula de masa m moviéndose a lo largo de un anillo circular de radio R fijo respecto de
un plano vertical, el cual rota con una velocidad angular ω constante conocida alrededor de su
diámetro vertical.
ñ) Un oscilador armónico tridimensional con una masa puntual m y un resorte isotrópico de constante
k y longitud natural l0 = 0.
o) Una esfera de radio a y masa m que rueda sin deslizar sobre un plano inclinado que forma un
ángulo α con la horizontal. En este caso calculá la relación constitutiva del centro de la esfera y de
su punto de contacto con el plano.
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p) El sistema Tierra-Luna, considerando a cada astro como un cuerpo puntual.
q) Un yo-yo, considerando al disco ŕıgido; al hilo inextensible, sin masa y de longitud l0; y que el
sistema se mueve en un plano vertical. El disco del yo-yo rueda sin deslizar respecto del hilo. En
este caso calculá la relación constitutiva del centro del yoyo y de su punto de contacto con el hilo.
r) Un péndulo triple coplanar, con hilos de longitudes l1, l2 y l3 y masas m1, m2 y m3.
s) El plano inclinado de Galileo. Una esfera ŕıgida de radio R que se deja caer y rueda sin resbalar
a lo largo de una canaleta-tobogán recta en un plano inclinado que forma un ángulo α con la
horizontal.
t) El cilindro y el plano móvil. Un cilindro ŕıgido que se deja caer y rueda sin resbalar a lo largo de
un plano inclinado, que a su vez se encuentra sobre una mesa sin roce. El plano forma un ángulo α
con la horizontal. La base del cilindro y la cara lateral del plano están siempre en un mismo plano.
u) Un trompo ŕıgido cuyo punto de apoyo está fijo. En este caso calculá la relación constitutiva del
centro de masas del trompo.
v) Cuatro part́ıculas de masa m moviéndose a lo largo de un anillo circular de radio R, fijo y en un
plano horizontal. Entre cada par de part́ıculas, y enroscado alrededor del anillo, hay un resorte de
constante k y longitud natural l0.
w) Un péndulo forzado. Una masa puntual m en un extremo de una barra ŕıgida sin masa de longitud
l0, cuyo otro extremo se desplaza horizontalmente con una frecuencia ν como x(t) = X0 cos(ν t).
Todo el sistema se mueve en un único plano.
x) El péndulo elástico. Una masa puntual m en un extremo de un resorte de constante k y longitud
natural l0.
y) Una hamaca, de base rectangular ŕıgida, con dos barras sin masa e inextensibles como sostén a la
barra transversal soporte.
z) Una moneda ŕıgida que rota sobre una mesa mientras su punto de apoyo está fijo, la moneda puede
“ladearse”. En este caso calculá la relación constitutiva del centro de masas de la moneda.
Motivación: Este ejercicio permite familiarizarse con los conceptos de grados de libertad, v́ınculos
y coordenadas generalizadas. De esta manera, ayuda a practicar los pasos iniciales en los planteos
de problemas en Mecánica Anaĺıtica.
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2. Principio de los trabajos virtuales
1) Establecé la condición de equilibrio para una balanza, usando el principio de trabajos virtuales.
2) Una barra ŕıgida de longitud L y peso P se apoya sobre una superficie horizontal con rozamiento
y otra vertical lisa. Si la barra está en equilibrio, encontrá la fuerza de roce usando el principio de
los trabajos virtuales. Verificá por otro método.
Figura 1: Regulador de Watt - problema 3 de la sección 2.
3) Determiná la configuración de equilibrio del sistema llamado regulador de Watt (Figura 1) en
función del ángulo.
4) Determiná la configuración de equilibrio del péndulo doble cuando actúa una fuerza F sobre la
masa m2, como muestra la Figura 2.
Figura 2: Péndulo doble - problema 4 de la sección 2.
5) Encontrá la configuración de equilibrio del sistema que se muestra en la figura 7. Analizá qué ocurre
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si la longitud natural del resorte l0 es menor que la distancia entre el extremo superior del resorte
y la gúıa (h) y qué ocurre en caso contrario.
6) Una part́ıcula de masa m está obligada a moverse en una gúıa parabólica y = ax2 con su concavidad
hacia abajo, sujeta a la fuerza de gravedad y a un resorte de constante elástica k cuyo otro extremo
está en el eje vertical de la parábla. El resorte siempre está horizontal y puede deslizar sin roce.
Determiná la condición de equilibrio en función de la masa, de la constante elástica y de la curvatura
de la gúıa.
7) Del techo y una pared vertical está suspendido un fuelle como el de la figura 3. Los v́ınculos en los
vértices deslizan sin rozamiento sobre la horizontal y la vertical del techo y pared respectivamente.
Las barras son de masa despreciable, en tanto que en los vertices inferiores están fijadas masas
idénticas. Sobre la tijera actúa una fuerza vertical Fv aplicada al vértice deslizante sobre la pared,
y una fuerza horizontal Fh sobre el vértice opuesto tal como muestra la figura 3. Encontrá la
condición de equilibrio usando el principio de los trabajos virtuales.
Figura 3: Figura correspondiente al problema 6 de la sección 2.
3. Ecuaciones de Lagrange
1) Una esfera de masa m es arrojada a un estanque de agua con una velocidad de entrada al agua v
y con un ángulo α. Encontrá las leyes de movimiento, si suponemos que la fuerza de roce viscoso
es proporcional a la velocidad. Para una esfera pequeña la ley de Stokes establece que la fuerza
viscosa Fd = 6πηrv, siendo η el coeficiente de viscocidad dinámica del medio, r el radio de la esfera,
y v su velocidad respecto al medio viscoso.
Nota: Tené en cuenta las dimensión finita de la esfera a la hora de calcular la fuerza viscosa y
el empuje, pero despreciando sus dimensiones en todo lo que se refiere al posible movimiento de
rotación respecto a su centro de masa.
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2) Encontrá las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico simple sin rozamiento.
3) Encontrá la ecuación de movimiento de un péndulo simple usando las ecuaciones de Lagrange.
4) Resolvé el ejercicio 3 de esta sección, con una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad.
5) Encontrá las ecuaciones de movimiento del sistema de la figura 4. El bloque se desplaza sin
rozamiento sobre la barra. Resolvé para los siguientes casos:
a) m se mueve libremente sobre la barra
b) m se mueve según: x = A sin(ωt).
Figura 4: Figura correspondiente al ejercicio 5 de la sección 3.
6) Encontrá las ecuaciones de movimiento de un péndulo doble y resolvé para el caso de pequeñas
oscilaciones
Figura 5: Figura correspondiente al ejercicio 6 de la sección 3.
7) Encontrá el ángulo de oscilación en función del tiempo para el sistema representado en la figura 6
(Péndulo de Ehrenferst). Suponé que la velocidad v es muy pequeña.
8) El punto de suspensión de un péndulo simple de longitud l se eleva con una aceleración constante
a, habiendo partido del reposo en el instante inicial t = 0.
a) Encontrá la ecuación de Lagrange del péndulo.
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Figura 6: Figura correspondiente al ejercicio 7 de la sección 3.
b) Demostrá que para pequeñas oscilaciones el peŕıodo del péndulo es
T = 2π
√
l
g + a
.
c) Analizá este resultado recordando conceptos de mecánica relativa.
d) Considerá ahora que el aire ejerce sobre la masa del péndulo una fuerza viscosa del tipo
fv = −αv, donde α es una constante positiva. ¿Cómo se generaliza la ecuación de Lagrange?
¿Cuál es la ecuación de movimiento para el péndulo en este caso?
9) El punto de suspensión de un péndulo simple de longitud l se mueve horizontalmente hacia la
derecha con una aceleración constante a. Encontrá las ecuaciones de Lagrange del péndulo y estudiá
el caso de pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio estable.
10) Encontrá las ecuaciones de movimiento del sistema de la figura 7 y analizá el caso de pequeñas
oscilaciones.
Figura 7: Figura correspondiente al ejercicio 10 de la sección 3.
11) Una barra de masa despreciable y longitud l que tiene en un extremo una masa m está suspendida
del otro extremo de una masa M. Esta a su vez se encuentra unida a un resorte de constante k. El
resorte está restringido a moverse en la dirección vertical con un extremo fijo a un punto. Calculá
las ecuaciones de movimiento haciendo uso de la formulación lagrangiana. ¿Qué ocurriŕıa si en
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lugar de estar el extremo superior de la barra suspendido de M estuviese directamente suspendido
del resorte? ¿Cuántos grados de libertad tiene este sistema? Obtené las ecuaciones de movimiento.
Figura 8: Figura correspondiente al ejercicio 11 de la sección 3.
12) Bloque y péndulo en plano inclinado
Un pequeño bloque de masa M se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo
α con la horizontal. El bloque está dotado de un eje corto, sin peso y de radio despreciable, del
que se cuelga un péndulo simple de longitud l, cuya masa es m. Suponiendo que el movimiento del
péndulo tiene lugar en un plano paralelo al plano inclinado, determiná las ecuaciones de movimiento
de este sistema.
Figura 9: Figura correspondiente al ejercicio 12 de la sección 3.
13) Disco y péndulo en plano inclinado
Reemplazá el bloque del ejercicio anterior por un disco. El sistema a estudiar: Un disco de masa
M y radio R rueda sin deslizar hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo α con
la horizontal. El disco está dotado de un eje corto, sin peso y de radio despreciable, del que se
cuelga un péndulo simple de longitud l < R, cuya masa es m. Suponiendo que el movimiento del
péndulo tiene lugar en el plano del disco, determiná las ecuaciones de movimiento de Lagrange de
este sistema.
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14) Masa enhebrada en una barra que rota
El sistema consiste en una pelotita enhebrada en una barra que rota con velocidad angular constante
ω alrededor de un eje que pasa por el punto O, como se muestra en la figura 10. El movimiento
del sistema ocurre en el plano perpendicular al eje de rotación, la masa m puede pasar libremente
por el punto O, no hay roce en ningún lado y se desprecia la masa de la barra.
Primero consideremos que el plano del sistema es horizontal, no actúa por lo tanto la gravedad:
a) ¿Cuáles son las ecuaciones de v́ınculo, de qué tipo son y cuáles son las fuerzas de v́ınculo?
¿Cuántos grados de libertad tiene el sistema? ¿Cuál o cuáles coordenadas generalizadas
proponés usar?
b) Calculá la función lagrangeana del sistema y resolvé las ecuaciones de movimiento.
Consideremos ahora que el plano del sistema es vertical, actúa por lo tanto la gravedad:
c) Las respuestas a las preguntas del apartado a) ¿cambian?
d) Calculá la función lagrangeana y resolvé las ecuaciones de movimiento.
Supongamos que la barra ahora gira libremente alrededor del mismo eje, es decir, ya no existe
algún mecanismo que la haga rotar con una velocidad angular constante.
e) ¿Se modifican los grados de libertad? ¿Podés usar las mismas ecuaciones de movimiento que
obtuviste antes?
m
ω
O
Figura 10: Figura correspondiente al ejercicio 14 de la sección 3.
15) Masa enhebrada en un aro que rota
Una masa enhebrada en un aro de radio R cuyo centro está fijo puede deslizar sin rozamiento
por dicho aro. El aro gira alrededor del eje z con una velocidad angular constante ω. Obtené las
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ecuaciones de movimiento para la masa. ¿Podrá la masa estar en reposo respecto del aro? Si este
fuera el caso, analizá pequeñas oscilaciones en torno a las posiciones de equilibrio.
Figura 11: Figura correspondiente al ejercicio 15 de la sección 3.
16) Masa con resorte en una T
Una T ŕıgida consiste en una varilla larga unida perpendicularmente a otra varilla de longitud l
que está sujeta en el origen. La T gira en un plano horizontal con frecuencia angular constante ω.
Una part́ıcula de masa m es libre de deslizar a lo largo de la varilla larga, y está conectada a la
intersección de las varillas por un resorte de constante elástica k y con longitud natural nula.
a) ¿Cuáles y de qué tipo son los v́ınculos del sistema?¿Cuáles son las fuerzas de v́ınculo?
b) ¿Cuántos grados de libertad tiene la part́ıcula y cuáles son las coordenadas generalizadas que
te parecen más apropiadas?
c) Calculá la lagrangeana, las ecuaciones de movimiento y resolvelas.
d) Existe un valor especial de ω, ¿cúal es y qué tiene de especial?
e) ¿Cómo resolveŕıas este problema usando mecánica relativa?
17) Cilindros que ruedan
Un cilindro sólido de radio r y masa m rueda sin deslizar dentro de un cilindro hueco de radio
R. Los ejes de los cilindros son horizontales y paralelos. El movimiento tiene lugar en el campo
gravitatorio de la Tierra. El cilindro de radio mayor es obligado a rotar alrededor de un eje fijo
(que pasa por su centro) con una aceleración angular α constante (ver figura 13).
a) Escrib́ı los v́ınculos (por simplicidad podés pensar que vivimos en un mundo bidimensional).
b) Definiendo el ángulo θ como en la figura 13, expresá la enerǵıa cinética del cilindro de radio
menor en término de θ̇.
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l 
ω
m
k
Figura 12: Figura correspondiente al ejercicio 16 de la sección 3.
c) Encontrá la ecuación de movimiento para θ.
d) Encontrá una condición que debe satisfacer α para que sea posible que exista un valor de
equilibrio para θ. Suponiendo válida dicha condición, calculá el valor de equilibrio de θ.
Figura 13: Figura correspondiente al ejercicio 17 de la sección 3.
18) Dos masas unidas a un resorte enhebradas en un aro que rota
Consideremos dos masas iguales m que pueden deslizar sin rozamiento en un aro de radio R y cuyo
centro está fijo. Las part́ıculas están interactuando a través de un resorte de constante elástica k,
cuya longitud natural 2r0 es menor al diámetro del aro, es decir, 2r0 < 2R. Además el resorte
siempre permanece perpendicular al eje z. El sistema está ilustrado en la figura 14. El aro gira
alrededor del eje z con una velocidad angular constante ω. Despreciamos la gravedad.
a) Encontrá y clasificá los v́ınculos.
b) Usando coordenas ciĺındricas calculá la función lagrangeana y las ecuaciones de movimiento.
c) ¿Cuál son la o las posiciones de “equilibrio” (entre comillas, porque el sistema puede estar
en equilibrio respecto al aro, pero no al sistema de referencia del laboratorio) del sistema en
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función de la frecuencia del aro?
d) ¿Cuál es la frecuencia de oscilación alrededor de dicha posición de equilibrio?
Figura 14: Figura correspondiente al ejercicio 18 de la sección 3.
19) Consideremos una part́ıcula de masa m libre de fuerzas respecto a un sistema inercial S, de
ejes cartesianos xyz. Escrib́ı la función lagrangiana de la part́ıcula tomando como coordenadas
generalizadas a sus coordenas cartesianas respecto de un sistema de referencia S′ no inercial, que
rota a velocidad angular constante Ω = Ωêz respecto al sistema S. Considerá que en el instante
inicial t0 = 0 ambos sistemas coinciden.
Recordando mecánica relativa con sus fuerzas ficticias, ¿cómo interpretaŕıas los distintos términos
de la lagrangiana?
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