Conjunto de los números reales

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Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt” 
Sede Trujillo
Programa Administración
Unidad curricular matemática I
Unidad I
Conjunto de los números reales 
Profesora:	Bachiller:
Francys Morón José Santiago
 C.I: 27.475.023
Mayo, 2021
Índice
Introducción …………………………………………………………………………pág. 3
Conjuntos de números……………………………………………………………... pág. 4
Operaciones con conjuntos…………………………………………………. pág. 4,5 y 6
Conjunto de los números naturales…………………………………………… pág.6 y 7
Conjunto de los números enteros…………………………………………………. pág. 7
Conjunto de los números racionales……………………………………………… pág. 7
Conjunto de números irracionales………………………………………………… pág. 7
Conjunto de números reales………………………………………………………. pág. 8
Operaciones en (R)…………………………………………………………. pág. 8,9 y 10
Operaciones con intervalos………………………………………………………. pág. 11
Inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales………………………………...pág. 12
Valor absoluto……………………………………………………………………… pág. 13
Conclusión…………………………………………………………………………. pág. 14
Referencias bibliográficas………………………………………………………... pág. 15
Introducción
 En la antigüedad el hombre tuvo la necesidad de comunicarse y abstractamente creo el habla y la escritura, luego sintió la necesidad de saber cuántas cosas tenia, e inventó los números para contar cuantos animales tenía. Hoy en día el sistema numérico es de base diez, pues todos los humanos tenemos diez dedos en la mano y se dice que con ellos empezamos a contar.
 En la actualidad existen diversos modos de ver los números, uno de estos se relaciona con la teoría de conjuntos, la cual estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
 La teoría de conjuntos posee una amplia información de términos que nos permite identificarlos, estos son: los diferentes tipos de conjuntos, las operaciones que se encuentran involucradas con los conjuntos, por otra parte también lo que son las inecuaciones y sus tipos, y las operaciones con intervalos. A continuación estos términos se estudian en el presente trabajo.
Conjuntos de números
 Es una colección, lista o clase de objetos bien definidos que tienen una propiedad en común, estos objetos pueden ser cualesquiera como; números, personas, letras, ríos, entre otros.
 Existen diferentes conjuntos numéricos, como la son: los naturales(N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (I) y los reales (R).
Operaciones con conjuntos
 Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. Dentro de las operaciones con conjuntos tenemos los siguientes; unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
 Unión de conjuntos:
 Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente (∪), un ejemplo de la unión de conjuntos es:
 Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
 Intersección de conjuntos:
 Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación, es decir, dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes de A y B, serán excluidos, el símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente (∩), un ejemplo de la intersección de conjuntos es:
 Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}.
 Diferencia de conjuntos:
 Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entre A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente (-), un ejemplo de la diferencia de conjuntos es:
 Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}.
 Diferencia de simétrica de conjuntos:
 Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente (△), un ejemplo de la diferencia de simetría de conjuntos es:
 Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}.
 Complemento de conjuntos
 El conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del A, en esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento, un ejemplo del complemento de conjuntos es:
 Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
Conjunto de los números naturales (N)
 Los naturales (N) son los números que utilizamos para contar y son la continuidad de la suma del uno, es decir: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9……}, dentro de este conjunto están los subconjuntos de los números, pares, impares, primos entre otros. Además es importante saber que el cero no pertenece a los números naturales. Los números naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación.
Conjunto de los números enteros (Z)
 Los números enteros se denotan con la letra Z, está conformado por el conjunto de los números naturales, agregando el cero y sus inversos aditivos, es decir, {…-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…}, los números enteros son cerrados respecto a las operaciones de adicción, multiplicación y sustracción.
Conjunto de los números racionales (Q)
 Los racionales son todos los números que se puedan expresar de la forma a/b, donde a y b son números enteros, siendo b≠0. Ejemplo: {2/1,6/8,2/4,6/5,-5/3}, los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino que también de la división.
Conjunto de números irracionales (I)
 Son los elementos de la recta que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas, de este modo puede definirse al número irracional como los números que sean imposibles de expresar como fracción, como por ejemplo:{π, √2, e}.
Conjunto de números reales (R)
 Los reales es el conjunto que tiene a todos los conjuntos nombrados anteriormente, y abarca todas sus propiedades.
Operaciones en (R)
 Propiedades de los reales en la suma o adición:
 La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos.Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí.
 La suma de números reales tiene las siguientes propiedades:
 Propiedad Interna: es el resultado de sumar dos números reales es otro número real.
 Propiedad Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
 Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
 Propiedad del Elemento neutro: El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
 Propiedades de los reales en la Diferencia (resta o sustracción):
 La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar. Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números.
 Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:
 • Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.
 • Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.
 • Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.
 • Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.
 Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma, por ejemplo la resta no es una operación conmutativa.
 Propiedades de los reales en un Producto (multiplicación):
 La regla de los signos que se aplica para el producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con todos los números reales. Entre las propiedades del producto o multiplicación con números reales tenemos:
 Propiedad Interna: El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
 Propiedad Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
 Propiedad Conmutativa: La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si A y B son dos números reales. 
 Propiedad del Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
 Propiedad Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
 Propiedad que permite Sacar factor común (factorizar): Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
Propiedades de los reales en la División
 La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir. La excepción es que el divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede dividir entre cero, pero, ojo, que el dividendo sí puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero.
 Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:
 • El cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;
 • El cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.
 Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa así como también la operación asociativa.
Operaciones con intervalos
 Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente por un trazo o una semirrecta en la recta numérica. Existen intervalos abiertos, que son aquellos en que no se incluyen los extremos; intervalos cerrados, aquellos en que se incluyen los extremos, e intervalos que combinan extremos abierto con cerrado.
 La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < (menor que) o > (mayor que); y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ≥ (mayor o igual que) o el signo ≤ (menor o igual que).
 Cuando se trata de valores menor que o mayor que (o sea que no incluyen sus extremos) se puede utilizar el símbolo ( ), para anotar el par ordenado de que se trate. Y cuando se trata de valores igual o menor e igual o mayor que (o sea que incluyan sus extremos) se puede utilizar el símbolo [ ].
 Las operaciones que se efectúan con los intervalos son las siguientes:
 Unión de intervalos: La unión de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que están en el intervalo A o bien están en el intervalo B o bien están en los dos intervalos a la vez. Se representa con el símbolo ∪. 
 Intersección de intervalos: la intersección de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que son comunes en el intervalo A y en el intervalo B. Se representa con el símbolo ∩. 
Inecuaciones lineales, cuadráticas e irracionales
 Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas, Los signos <, >, ≤ o ≥ son los que separan un miembro de otro. Las soluciones de una inecuación son los valores de la incógnita que cumplen la desigualdad, por lo general una inecuación admite infinitas soluciones, el grado de ellas se define como el mayor exponente de la variable. Una inecuación se puede clasificar según su grado y el número de incógnitas que tiene, dentro de la inecuación tenemos:
 Inecuaciones lineales: es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales.
 Inecuaciones cuadráticas: es de la forma ax2 + bx + c < 0 (o >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación. De manera que, la forma estándar de las dos inecuaciones anteriormente mencionadas sería: x2 + 2x – 15 < 0 y x2 – 2x – 3 ≥ 0.
 Inecuaciones racionales: Son inecuaciones racionales aquellas en la que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2. Es una de las que tiene más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.
Valor absoluto
 La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
 Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
 La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor absoluto: |8|.
Conclusión 
 Al estudiar la teoría de conjuntos se puede identificar la complejidad de operaciones que posee, se identificó todos los conjuntos que se encuentran integrados como lo son; los de los números naturales, enteros, racionales, irracionales y los reales, lo cual nos permite obtener conocimientos para que fueron creados. Por medio de los conjuntos y sus operaciones aprendemos a agrupar, a través de la agrupación de conjuntos conocemos las distintas propiedades que existente ellas.Referencias bibliográficas
 Lipschutz, S. (1969). Teoría de conjuntos y temas afines. Chile, Editorial McGraw-Hill.
 Operaciones con conjuntos. (2019, Enero 28). Recuperado de (https://www.conoce3000.com/html/espaniol/libros/operacionesconjuntos.php).
 Profe. [Los números]. (s.f). Recuperado de (https://www.google.com/amp/s/miprofe.com/los-numeros/amp/).
 [Operaciones aritméticas y propiedades con números reales]. (s.f). recuperado de (https://www.profesoenlinea.cl/matematica/Numeros_reales_propiedades.html).
 [Inecuaciones lineales, cuadráticas, polinómicas y racionales]. (s.f). recuperado de (https://sites.google.com/site/collegegrupo2016/tarea-1).
 Pérez, J y Gardey, A. (2015). Definición de valor absoluto. Recuperado de (https://definicion.de/valor-absoluto/).