Fundamentos de la matematica financiera

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PROFESOR: Martín Enrique Arzuza Arzuza 
 
1.1 Conceptos y Fundamentos 
 
 
En esta Unidad se establecerán las bases sobre las cuales se ha construido la teoría 
de las Matemáticas Financieras. 
 
Competencia Específica de Matemáticas Financieras. Tomar decisiones 
soportadas en el principio del valor del dinero en el tiempo, sobre colocación y 
consecución de fondos, direccionándolas a la obtención de un mayor rendimiento con 
un menor costo, en el propósito de contribuir a la creación de valor para la 
organización. 
 
.1.1 Resultados de aprendizaje e indicadores de desempeño. 
RESULTADOS DE APRENDIZAJE: 
Evidenciar conocimiento sobre los fundamentos de las matemáticas financieras, en 
cuanto a conceptos, variables y procedimientos de cálculo, con los cuales se puedan 
tomar decisiones razonables, que le generen valor a la empresa, en casos de 
excedentes o déficit de tesorería que presenten solo una entrada y una salida de 
dinero. 
INDICADORES DE DESEMPEÑO: 
1. Reconoce los fundamentos y la importancia de las matemáticas financieras, así 
como las operaciones básicas objeto de su estudio, en los diferentes 
escenarios económicos. 
2. Interpreta la relación entre las variables que intervienen en las operaciones de 
inversión y crédito y su representación en diagramas de flujo. 
3. Aplica las reglas y procedimientos en la solución de casos relacionados con la 
inversión y el financiamiento para operaciones de diagrama simple. 
4. Evalúa casos de inversión o de crédito, bajo diagramas simples, para tomar 
decisiones en situaciones de excedentes o de déficit. 
 
1.1.2 Importancia de las matemáticas financieras como 
herramienta de decisión. 
 
Todo aquel que tenga la responsabilidad de administrar dineros, tiene como función 
prioritaria, la de generar valor y es en esa vía que le corresponde apoyarse en el 
proceso administrativo, donde su carta de navegación en la planeación de sus 
actividades, será siempre el PRESUPUESTO, 
 
El PRESUPUESTO es un estado que proyecta y compara las entradas y salidas de 
dinero del negocio, para un período determinado. Como resultado de las operaciones, 
donde las entradas suman y las salidas restan, el presupuesto entrega una de dos 
situaciones que demandan la acción de la gerencia financiera y son ellas: 
1. Cuando en el presupuesto del período en estudio, las entradas de dinero superan 
las salidas, resultando así lo que se define como excedentes o dineros ociosos; 
en cuyo caso corresponderá al administrador financiero invertir tales dineros, de 
lo contrario se considerará una mala gestión el no hacerlo. 
2. Cuando las entradas no alcanzan a cubrir los requerimientos de las salidas o 
compromisos, entonces se dirá que hay déficit, siendo ahora responsabilidad del 
administrador financiero, conseguir los dineros faltantes de manera oportuna, a 
través de la banca, para evitar trastornos en las actividades de la empresa. 
 
Todo profesional en cargos de manejo, se verá abocado a administrar los dineros de 
la empresa y quienes tienen la responsabilidad de administrar dinero, no pueden 
marginarse del estudio de las matemáticas financieras, disciplina que le ofrece los 
fundamentos necesarios para tomar las mejores decisiones cuando se trata de invertir 
excedentes u obtener financiamiento para cubrir el déficit de un flujo de caja o de 
tesorería. 
A través del manejo de conceptos, relaciones entre variables, procedimientos 
matemáticos y uso de la tecnología, se logran resultados o cifras con las cuales el 
interesado en resolver una situación de crédito o inversión se llena de razones para 
decidir y actuar. 
1.1.3 Valor del dinero en el tiempo 
 
La razón de ser de las MATEMÁTICAS FINANCIERAS se encuentra en “el valor del 
dinero en el tiempo “. Bajo este enunciado se plantean relaciones de equivalencia 
entre las variables propias de las transacciones financieras, tales como capital, tasa 
de interés, tiempo y valor futuro. Por ejemplo, si usted a través de sus inversiones 
puede convertir $100 de hoy en $110 al cabo de un año, se podría decir entonces que 
le sería indiferente recibir $100 hoy o recibir $110 dentro de un año, o dicho de otra 
manera, para Usted sería equivalente tener $100 hoy que tener $110 dentro de un 
año. 
La equivalencia entre valores con distintas fechas de vencimiento se apoya en ese 
principio del valor del dinero en el tiempo. Cuando un inversionista, deja su dinero en 
manos de un deudor, lo hace motivado por la oportunidad de recibir una cantidad 
adicional que le compense: a) el riesgo asumido, b) el deterioro causado por la 
inflación y c) la oportunidad que pierde, de ganar en otra inversión. 
El costo del dinero nace, entonces, de la necesidad que de él tienen, demandantes 
dispuestos a pagar por el uso de los excedentes que poseen los oferentes. Explica 
este concepto la razón de ser de las Matemáticas Financieras, es el fundamento o 
naturaleza de las transacciones relacionadas con la inversión y el crédito. 
“Es el valor del dinero en el tiempo lo que permite establecer la equivalencia 
entre valores con distintas fechas de vencimiento”. 
1.1.4 Actores, y Variables Básicas de la Inversión y el Crédito 
 
Actores. En toda transacción de inversión o de crédito se presentan dos actores: el 
propietario del dinero, quien se llamará acreedor y el que paga por utilizarlo, quien se 
denomina deudor. 
Variables. Las variables propias de la inversión y el financiamiento son las mismas, 
toda vez que en cada operación de crédito se presenta simultáneamente una 
operación de inversión y en cada operación de inversión se dará una operación de 
crédito. Por ejemplo, si una empresa se financia con dineros de una institución 
financiera, la transacción constituye crédito para la empresa e inversión para la 
institución financiera. Las variables básicas de la inversión y el crédito son: 
Variable y definición 
Simbología en 
fórmulas 
Simbología en 
Excel 
Capital o valor presente: Cantidad de dinero cedida por el 
inversionista o acreedor al deudor, al comienzo de la operación. 
 
También representa el valor en el cual se convierte un futuro 
antes de la fecha de su vencimiento, al descontarle al futuro los 
intereses. 
P VA 
Valor futuro: Valor en el cual se convierte un capital, luego de 
que sobre él actúa una tasa de interés durante algún tiempo; 
 
también se puede decir que es el total devuelto por el deudor a 
su acreedor, el cual incluye capital e intereses. 
F VF 
Tasa de interés: Se expresa en porcentaje e indica la cantidad 
adicional que deberá cancelar el deudor a su acreedor, por 
 
cada 100 pesos que de éste haya utilizado, en la unidad de 
tiempo. 
i Tasa 
Interés: Cifra en pesos que el deudor paga a su acreedor, 
como 
 
compensación por utilizar su dinero. 
I No aplica 
Número de períodos: Número de períodos durante los cuales 
un capital genera intereses. 
n NPER 
Número de períodos en un año. Número de capitalizaciones 
en un año, sin importar el tiempo de la transacción. 
m No aplica 
 
En cuanto a esta última variable, m, vale decir sobre su cálculo, que es muy sencillo, 
pero que debe practicarse a conciencia, pues el subestimarlo por su simplicidad, 
puede conducir a cometer errores. 
 
Periodicidad Diaria base 
360 
Diaria 
base 
365 
mensual 
bimestral 
 
trimestral 
 semestral anual 
 V alor 
m 360 365 12 6 4 2 1 
 
1.2 Diagramas de Flujo de Caja. 
 
Un diagrama de flujo de caja es una representación de los valores implicados en una 
operación de inversión o financiamiento, donde cada uno de ellos se dibuja como una 
flecha dispuesta en orden a sus respectivos vencimientos, sobre una línea de tiempo. 
En nuestro estudio utilizaremosuna convención empleada en los diagramas de caja 
donde las flechas se dibujan hacia arriba cuando corresponden a entradas y hacia 
abajo cuando indiquen salidas. 
 
Importante además al dibujar el diagrama: si se trata de una inversión, hacerlo desde 
el punto de vista del inversionista y si concierne a una operación de crédito, hacerlo 
desde el punto de vista del beneficiario del crédito. 
 Diagrama de inversión: Al inicio en la inversión se presenta una salida de dinero 
(flecha hacia abajo) y al final de la operación, el inversionista recibe su capital más 
intereses (flecha hacia arriba) 
 
Diagrama de crédito: Al inicio, el beneficiario del crédito recibe el valor del mismo 
(flecha hacia arriba) y al final le corresponde una salida de dinero al pagar (flecha hacia 
abajo) 
 
Cuando se quiere dar solución a un caso problema, conviene realizar un diagrama de 
caja, lo cual permite una visión general de la situación, facilitando con ello el 
planteamiento a seguir. 
 
Al interpretar el enunciado del problema a través de un diagrama, se debe tener como 
referencia un punto en la línea del tiempo que represente el día de hoy. El punto cero 
en la escala del tiempo representa la fecha de inicio de la negociación. 
 
1.3 Situaciones de Estudio y sus correspondientes modelos de 
diagramas de flujo 
 
El estudio de las matemáticas Financieras comprende precisamente todo lo que atañe 
a esas transacciones de inversión y crédito; por tanto, toda situación tratada en el 
presente módulo estará relacionada de alguna manera con la inversión y el 
financiamiento. 
Para efectos de una mejor comprensión de las operaciones en estudio, se emplean 
los gráficos convencionales de flujos de caja; así que para cada una de ellas, como 
son las distintas opciones de inversión y financiamiento, se reseñarán con sus 
respectivos modelos de diagramas. 
 
1.3.1 Inversión. Opciones con Excedentes. 
 
En materia de inversión, se plantean alternativas tales como: 
 
a) Inversión en fondos. Consiste en colocar dineros en una institución financiera, la 
cual reconoce al depositante, un valor adicional representado en intereses que le 
compensen el riesgo, la pérdida de poder adquisitivo y la oportunidad de hacerlos 
rendir en cualquier otra alternativa de inversión que posea. 
 
 
 -------- RETIROS ------- SALDO 
 
 0 1 2 3 n-1 n (número del período) 
 
 
 
 -------- DEPÓSITOS ------- 
 
 
Desde la óptica de quien invierte en una cuenta, sus depósitos constituyen 
desembolsos o salidas, mientras los retiros tienen el carácter de entrada. 
 
Su respectivo diagrama, sin embargo, presenta una circunstancia especial en cuanto 
a que el saldo debe estar representado al final del flujo, por una flecha de 
entrada. 
 
A pesar de que el saldo mantenido en una cuenta no es propiamente un ingreso hasta 
tanto no se retire, éste deberá ser tomado como tal, a fin de equilibrar los dos 
conjuntos de entradas y salidas. 
 
Es en el equilibrio de los conjuntos de ingresos y desembolsos en que las matemáticas 
financieras se apoyan para dar solución a cada situación. 
 . 
b) Inversión en Títulos. Se refiere a la compra de títulos valores, tales como: Divisas, 
Acciones, Bonos, CDT’s, Papeles Comerciales, TES, CERT’s, TIDIS, y en general 
de todo título por el cual se perciban rendimientos al ser negociado. 
 
 ---- Intereses ---- Vr. De Venta 
 
 0 1 2 3 n (Número del Período) 
 
 
 dVel r. Ddeocumento Compra 
 
La negociación con papeles solo demanda desembolso al comienzo de la operación y 
su monto está dado por el valor de compra del documento. En algunos papeles puede 
pactarse pago de intereses durante la vigencia del documento, en cuyo caso estos 
intereses se mostrarán en el flujo como flechas de entrada. 
 
Al negociarse, sea en fecha de redención o antes de la misma, el valor de venta del 
documento se representará por flecha de ingreso. 
 
c) Inversión en Proyectos. Esta alternativa corresponde a la inversión en negocios o 
actividades empresariales. 
 
Los proyectos, especialmente al evaluar su viabilidad económica, se estudian a partir 
de un período que representa su vida útil, considerando en su flujo de caja, la inversión 
inicial, los costos y los gastos como salidas, en tanto que los ingresos y el valor que 
pueda recuperarse al final de su vida útil como entradas. 
 
El valor que puede obtenerse por lo que queda del proyecto al final de su vida útil, 
recibe los nombres de: valor de mercado, valor de salvamento, valor de desecho o 
valor residual y es representado por flecha de entrada al final. 
 
1.3.2 Crédito. Opciones de Financiamiento. 
 
 El déficit de caja en el presupuesto puede ser financiado por una o varias de las 
siguientes vías: 
 
a) En Dinero. Financiación en efectivo, proveniente de acreedores, sean 
institucionales o no. 
 VR. DEL CRÉDITO 
 
 0 1 2 3 n-1 n (número de períodos) 
 
 
 ---------- PAGOS ---------- 
 
 
 
Para el beneficiario de un crédito, el dinero recibido al inicio de la transacción tiene 
comportamiento de entrada, mientras que los pagos con los cuales cancela el 
empréstito, el de salidas. 
 
b) En Especie. Crédito obtenido de un proveedor sobre mercancías, materias primas, 
activos fijos o servicios en general. 
 
 
c) En el caso de créditos donde se recibe un bien, el valor de contado de ese bien es 
el valor de la entrada en el punto cero o inicio de la transacción. Para los casos en 
que el proveedor demande cuota inicial, esta podrá indicarse como salida en el 
mismo punto inicial o podrá restarse en la flecha correspondiente al valor de 
contado como se recomienda en el gráfico, para efectos de simplificar los cálculos. 
 
En general, cuando se tengan en una misma fecha valores de entrada y de salida, 
se podrá colocar solo uno, con un valor igual al resultado de la diferencia entre los 
primeros y con la orientación de entrada o salida según lo indique el mayor valor. 
 
d) Refinanciación. Replanteamiento de créditos vigentes, sobre los cuales se pactan 
nuevas condiciones, especialmente de mayores plazos para disminuir el valor de 
las cuotas a pagar, aliviando así la carga del flujo de caja. 
 
En las operaciones de refinanciación se advierten claramente dos conjuntos como 
son: el compromiso inicial y el que lo sustituye o nueva forma de pago; como quiera 
que es esta última la que implica desembolsos, los pagos que a través de ella se 
hayan pactado serán salidas en el flujo, mientras las cuotas anuladas de la primera 
forma de pago se mostrarán como entradas en el flujo. 
 
1.2 Modelos de Cálculo del Interés 
Las variables básicas indicadas, se relacionan de acuerdo al modelo de cálculo 
empleado. Estos modelos pueden ser: a Interés simple o a Interés compuesto. Para 
ambos modelos, simple y compuesto, se cumple, que el valor Futuro comprende la 
devolución del capital más los intereses cancelados por el deudor como costo por el 
uso del dinero. Luego 𝑭 = 𝑷 + 𝑰, valor futuro igual capital más intereses. 
 
1.2.1 Interés Simple . Fórmulas 
Se caracteriza porque el capital permanece constante durante toda la operación. Si un 
valor P se coloca a una tasa de interés simple i durante n períodos, el P se convertirá 
en un valor futuro F, de tal forma que: 𝐹 = 𝑷 ∗ (𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏) 
 
Veamosel funcionamiento de este modelo, con el siguiente ejemplo: Se pacta un 
crédito por $500 millones para cancelar con pago único al 1.5% mensual a interés 
simple, dentro de tres meses. Se pide establecer el valor del pago final. 
Desarrollo: 
Período 0 Período 1 Período 2 Período 3 
 
El deudor 
recibe del 
acreedor 
los 
 $50
0 
millones 
 
Se causan los 
intereses del 
período 1. 
Para calcular 
los 
intereses, 
 se 
aplica la tasa 
pactada al 
capital, con la 
siguiente 
fórmula: 
I1 = P0*i 
I=$500* 0.015 
= $7.5 
 
Se causan los 
intereses del 
período 2 así: 
I2 = P*i 
I2 = $500* 0.015 = 
$7.5 
Nótese que el 
capital es el 
mismo y la tasa de 
interés también, 
por lo que el monto 
del interés termina 
siendo igual para 
todos los meses. 
 
Se causan los intereses del 
período 3 con el mismo 
resultado: I3 = P*i 
 I3 = $500* 0.015 = 
$7.5 
Al vencerse el plazo del pago, se cancela 
el total de los intereses: $7.5 en cada uno 
de los tres meses ($7.5*3) y se devuelve 
el capital ($500), para un pago final: F = 
$500+$7.5*3 = 
$522.5 Millones 
Este valor es posible obtenerlo 
directamente con la fórmula a interés 
simple: 
𝑭 = 𝑷(𝟏+𝒊∗𝒏) 
 
 
 
Excel solo trae las funciones para realizar operaciones a interés compuesto, sin 
embargo podemos personalizar las del interés simple. 
 
Pasos para personalizar las funciones del Interés Simple 
 
I. Acceder al Editor de Visual Basic. Se puede hacer por estas vías: a) Pulsando 
simultáneamente ALT y la tecla de funciones F11, o b) Por el menú Desarrollador, 
pulsando el botón de Visual Basic. 
II. Una vez se está en el Editor de Visual Basic, se elige del menú insertar, Módulo 
(NO confundir con Módulo de Clase). 
III. En la ventana que se abre del módulo, se realizan los siguientes registros: 
 
function VFS(VAS, TASAS, NPERS) 
 VFS = VAS*(1+TASAS*NPERS) 
 end function 
 
Observaciones: Se debe verificar que la instrucción esté bien escrita, luego de escribir 
function se pulsa la barra espaciadora, es el único momento en que se da espacio; 
después el editor realiza los espacios de manera automática. Al terminar la primera 
fila y pulsar la tecla ENTER, debe registrarse automáticamente el final de la estructura 
con end function, quedando el cursor entre el inicio y el final de la estructura. El 
nombre con que se ha bautizado la función, debe quedar escrito exactamente igual, 
tanto en la definición de los argumentos (primera línea), como en la fórmula (segunda 
línea), de lo contrario la función no será reconocida. Debe verificarse que en la 
segunda línea la formulación esté escrita correctamente. La línea que separa una 
función de otra se produce automáticamente, una vez se registre en el mismo módulo, 
una nueva función. Entre paréntesis y separados por coma, se registran las variables 
1.2.1.1 Fórmulas a interés Simple 
 
1.2.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
en función de las cuales se encuentra la variable personalizada; en ese mismo orden 
aparecerán en la ventana cuando se invoque la función. En un mismo módulo se 
pueden personalizar todas las funciones que se requieran. Una función no puede 
aparecer más de una vez con el mismo nombre. 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
function VAS(VFS, TASAS, NPERS) 
 VAS = VFS/(1+TASAS*NPERS) 
 end function 
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
function TASAS(VFS, VAS, NPERS) 
 TASAS = (VFS/VAS - 1)/NPERS 
end function 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
function NPERS (VFS, VAS, TASAS) 
 NPERS = (VFS/VAS - 1)/TASAS end 
function 
 
Para guardar el archivo con las funciones personalizadas, se retorna a la hoja de 
cálculo haciendo clic en el ícono de Excel y luego se guarda siguiendo: archivo, 
guardar como, se nombra el archivo y luego se elige en el campo TIPO: "Libro de 
Excel habilitado para macros" y se da guardar para finalizar. 
Al abrir el archivo, éste mostrará una cinta donde se debe habilitar contenido para que 
pueda accederse a las funciones personalizadas. Estas funciones personalizadas se 
invocan a través del ícono fx, clasificadas en el grupo: "definidas por el usuario" 
 
1.2.3 Interés Compuesto. Fórmulas 
Se identifica porque el interés no pagado se capitaliza en el momento en que se 
causen. Esta modalidad es de uso común en las operaciones del mercado financiero 
colombiano. Si un valor P se coloca a una tasa de interés compuesto i durante n 
períodos, el P se convertirá en un valor futuro F, de tal forma que: 𝑭 = 𝑷 ∗ (𝟏 + 𝒊) A 
continuación se explica el modelo a partir del mismo ejemplo dado para el interés 
simple: P = $500 Millones, i = 1.5% y n = 3 meses: 
 
 
 
 
 
Período 0 Período 1 Período 2 Período 3 
 
El deudor 
recibe del 
acreedor 
los 
 $50
0 
Millones. 
Entonces 
P0=$500 
 
Se causan los intereses del 
período 1. 
Para calcular los intereses, se 
aplica la tasa pactada al capital 
del período anterior, con la 
siguiente fórmula: 
I1 = P0*i 
I1=$500* 0.015 = $7.5 
Hasta aquí el procedimiento es 
igual 
al del simple, y si la operación 
tuviera plazo de un mes, el 
resultado sería el mismo para 
ambos modelos. 
Al no cancelarse los intereses 
de este período, el modelo 
convierte el interés calculado en 
capital, y lo suma al capital 
anterior, para originar el nuevo 
capital con el que se liquidarán 
los intereses del siguiente 
período: 
P1=$500+$7.5=$507.5 
 
 
Se causan los 
intereses del período 
2 así: I2 = P1*i 
I2 =$507.5* 0.015 = 
$7.6125 
De la misma manera 
que en el período 
anterior, estos 
intereses no pagados 
hasta ahora, se 
capitalizan sumando 
al capital del período 
anterior: 
 
P2=$507.5+$7.6125= 
$515.1125 
 
 
Se causan los intereses del 
período 3 así: 
I3 = P2*i 
I2 =$515.1125* 0.015 = 
$7.7266875 
Sumando los intereses totales 
se tendría: IT = 
I1+I2+I3. 
Reemplazando: 
IT = 
7.5+7.6125+7.7266875 
= $22.8391875 
 
Pero como el valor Futuro F 
es igual a capital más 
intereses: 
F=P+I Entonces: 
F= $500+$22.8391875 y 
F=$522.8391875 millones 
Cifra que es posible lograr 
directamente con el empleo 
de la fórmula: 
 𝑭 = 𝑷 (𝟏 + 𝒊) 𝒏 
 
Para resolver casos sencillos de inversión y crédito, que en este documento se 
denominan de Diagramas Simples (contemplan solo una entrada y una salida de 
dinero), se parte de la fórmula: 𝑭 = 𝑷 (𝟏 + 𝒊) 𝒏 de donde se despejan las demás 
variables. 
 
 
 
Como ya se indicaba, son situaciones que implican solo una entrada y una salida de 
dinero, y generalmente se resuelven empleando la fórmula de la variable incógnita o 
la función que le corresponde en Excel. 
 
Para dar solución a este tipo de casos bajo interés compuesto, se sugiere seguir los 
siguientes pasos: 
 
Paso 1. Interpretar el enunciado a través de un diagrama, identificando con él si se 
trata de una operación de crédito o de inversión. 
 
Paso 2. Establecer los valores de las variables dadas y la variable incógnita 
 
Paso 3. Hacer corresponder la periodicidad de “n” con la de la tasa de interés “i”, en 
caso de no coincidencia. Esto es que si la tasa está trimestral, el número de períodos 
“n” deberá estar expresado en trimestres; si la tasa está mensual, entonces los 
períodosdeberán expresarse en meses, y así sucesivamente. 
 
1.2.3.1 Fórmulas a interés compuesto: 
 
1.3 Operaciones con Diagramas Simples. 
En caso de que el enunciado entregue las variables “n” e “i” con igual periodicidad, se 
sigue al paso 4. En caso contrario, se tendrán dos opciones para hacer coincidir estas 
variables en periodicidad: una de ellas cambiando la de “n” y la otra cambiando la de 
“i”. Ejemplo. Si “n” =19 meses e “i” = 4% trimestral, se podría convertir a) los 19 meses 
de “n” a trimestres, o b) la tasa del 4% trimestral a mensual. Ambas formas deben 
conducir al mismo resultado. 
 
a) Cambiando los 19 meses a trimestres para trabajar con la tasa trimestral: si 
un mes es un tercio de trimestre, entonces n=19/3. 
 
En general, para hacer conversiones en n, se puede proceder de la siguiente 
forma: 
 
Cambiar un período menor a uno mayor 
Cambiar a operación 
meses años Divida los meses entre 12 
meses semestres Divida los meses entre 6 
meses trimestres Divida los meses entre 3 
meses bimestres Divida los meses entre 2 
bimestres semestres Divida los bimestres entre 3 
trimestres años Divida los trimestres entre 4 
Cambiar un período mayor a uno menor 
Cambiar a operación 
años meses Multiplica los años por 12 
semestres meses Multiplica los semestres por 6 
trimestres meses Multiplica los trimestres por 3 
bimestres meses Multiplica los bimestres por 2 
semestres bimestres Multiplica los semestres por 3 
años trimestres Multiplica los años por 4 
 
b) Cambiando la periodicidad de la tasa a mensual para trabajar con n=19 
meses. 
Esto se realiza con la fórmula de ifinal = (1+iinicial)(minicial/mfinal) – 1 
Para el caso del ejemplo, reemplazamos en esta fórmula, logrando lo siguiente: 
 
Imensual = (1 + 4%) (4/12) – 1= 0.01354= 1.354% mensual 
 
Paso 4. Reemplazar los valores de las variables y calcular la fórmula o función 
incógnita. 
 
i. 
 
CASO 1¿A qué tasa de interés bimestral se financian $4,800,000 si como garantía se 
firma un pagaré por valor de $5,520,000, los cuales deberán ser cancelados diez 
meses después de recibido el crédito? 
 
a) Solución con Fórmula: 
 
1. Diagrama: 
 
 
En el enunciado se identifica una operación de crédito y este es el gráfico.que le 
corresponde 
 
2. Definición de los valores de las variables y variable incógnita: 
 Casos resueltos. 
 
 
 P=$4.800.000 
i% =? bim 
 0 1 2 n=10 meses 
 
 F=$5.520.000 
3. Correspondencia en periodicidad de “n” e “i”: 
 
Esto puede realizarse por dos vías: PRIMERA. Como la tasa se solicitó bimestral, 
“n” se expresa en bimestres: n=10 meses =10/2 bimestres = 5 bimestres y al emplear “n” en 
bimestres, la fórmula arroja tasa bimestral. SEGUNDA. Se reemplaza “n” en meses, 
haciendo que el resultado del cálculo sea tasa mensual y luego se aplica el Ifinal para 
cambiar la periodicidad de la tasa, de mensual a bimestral. 
 
4. Reemplazo de los valores de las variables 
 = 0.02834672 = 2.834% bimestral. 
b) Solución con la función TASA de Excel: 
 
Se invoca la función TASA, ingresando por Fx, eligiéndola entre la categoría 
Financieras y haciendo clic en aceptar o por el camino MAYÚSCULA + F3. 
 
Una vez se despliega la ventana de la función TASA, se digitan los valores de las 
variables correspondientes y se pulsa aceptar: Las variables PAGO y TIPO se ignoran, 
 En la fórmula: 
 
 
pues tales variables pertenecen a un tema no tratado aún. Los valores a digitar son: n 
(NPER) = 5; P (VA) $4.800.000 y F (VF) -$5.520.000. Recuerde que, en este caso por 
ser un problema de crédito, el valor de $5.520.000 representa una salida y, por lo 
tanto, se registra en la ventana con valor negativo. Al considerar el valor de NPER 
como 5, se está expresando en bimestres con lo que el resultado de la tasa 
 
Tan pronto se le da aceptar, se obtiene 3%, valor que corresponde a la tasa 
redondeada. Conviene entonces, estando en la celda de la respuesta, aumentar 
decimales para obtener la cifra exacta 2.834% bimestral. 
 
CASO 2 
Cuánto tiempo será necesario para que una inversión de $1.200.000 se convierta en 
$1.950.750 con una tasa de interés del 27,5% anual? 
 
n =log (1.950.750/1.200.000)/log (1.275) n= 2 años 
 
hallada, será bimestral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Tasas Equivalentes 
 
Dos tasas son equivalentes, si con distintas características, producen un mismo 
resultado. 
 
Al comparar tasas para elegir entre varias, se requiere unificarlas en sus tres 
características como son: Presentación, Periodicidad y Vencimiento. 
 
Se pueden encontrar dos tasas que tengan diferente presentación (nominal y 
efectiva), o diferente periodicidad (Mensual y trimestral), o diferente vencimiento 
(vencida y anticipada) y que produzcan el mismo efecto, resultando indiferente invertir 
a la una o a la otra. 
 
Es de mucha utilidad conocer cómo se cambian las características de una tasa, ya 
que para poder comparar dos de ellas, se requiere que estén dadas con la misma 
presentación, periodicidad y vencimiento. 
 
1.4.1 Características y equivalencias de tasas. 
 
Al utilizar una de las siguientes fórmulas para cambiar una característica a una tasa 
de interés, tenga presente que éstas fórmulas solo le cambian una y solo una 
característica. 
 
 
 
Las tasas pueden pactarse de dos formas en cuanto a su presentación: nominales (j) 
o efectivas (i) y se debe aprender a reconocerlas de acuerdo con la expresión 
utilizada. 
1.4.1.1 Presentación. 
 
El cambio de presentación utiliza las siguientes fórmulas: J = m * i; i = J / m. Donde 
i es la tasa efectiva y J es la tasa nominal. Estas fórmulas aplican tanto para las 
vencidas como para las anticipadas. 
 
EJEMPLO: Qué tasa trimestral es equivalente al 36% ATV?. 
 
SOLUCION: i = 0.36 / 4 = 0.09 = 9% trim. 
 
1.4.1.1.1 Expresiones que definen las tasas nominal y efectiva. 
 
Es conveniente, antes de conocer las estructuras empleadas para enunciar una tasa 
nominal o una tasa efectiva, recordar que cada tasa de interés pactada lleva consigo 
tres propiedades como son: PRESENTACION (Nominal o efectiva), PERIODICIDAD 
(Diaria, mensual, trimestral, etc.) Y VENCIMIENTO (Anticipada o vencida). 
 
Expresiones que definen las TASAS 
Nominal (j) Efectiva o periódica (i) 
a) 36% nominal anual, capitalizable 
mensualmente. 
b) 36% nominal 
 capitalizable mensualmente. 
a) 2% efectiva mensual vencida. 
b) 3% efectiva trimestral 
 
c) 36% capitalizable 
mensualmente. 
d) 24% convertible trimestralmente 
e) 20% liquidable semestralmente. 
f) 2% mensual 
g) 5%semestral 
h) 28% anual 
i) 36% AMV; 36% ASV; 40% ATA; 
38% ATV. 
j) 36% MV; 36% SA; 30% MA 
a) 2% EMV, 18% ESA; % 
E.A. 
 
 
 
 En una negociación, la periodicidad de la tasa indica cada cuánto tiempo el interés se 
convierte en capital. Entonces puede ser diaria, mensual, bimestral, trimestral, etc. 
 
 OJO, para cambiar periodicidad se requiere partir de una efectiva 
y vencida. 
 
Utiliza la siguiente fórmula: i1 = (1 + i0)(m0 / m1) – 1. Donde i1 es la tasa efectiva vencida 
a calcular con nueva periodicidad;m1 es el número de capitalizaciones en un año de 
la tasa a calcular; i0 es la tasa efectiva vencida a la que se va a cambiar la periodicidad, 
y m0 es el número de capitalizaciones de i0. EJEMPLO: 
 
Qué tasa mensual es equivalente al 15% semestral? 
SOLUCION: i1 = 1,15^ (2 / 12) – 1 = 0.023567 mensual. 
 
EL CAMBIO DE PERIODICIDAD SOLO SE DA ENTRE TASAS EFECTIVAS 
VENCIDAS. 
 
 
 Al efectuar una transacción donde se da valor al dinero en el tiempo, la tasa podrá 
negociarse con pago de intereses anticipados o vencidos. 
Utiliza las siguientes fórmulas: ia 
= i / (1 + i); i = ia / (1 - ia) 
EJEMPLO: Qué tasa semestral vencida es equivalente al 42% ATA? 
 
SOLUCION: ia = 0.42 / 4 = 0.105 trimestral. 
 
1.4.1.2 Periodicidad, 
1.4.1.3 Vencimiento, 
i =0.105/(1-0.105) = 0.117318435trim. i1 = 1.1173184354/2 – 1 = 0.2484 semestral. 
 
OJO, para cambiar vencimiento se requiere partir de una efectiva. 
NOTA: EN UNA EXPRESION DONDE NO SE DIGA QUE LA TASA ES ANTICIPADA 
SE DEBE ENTENDER COMO VENCIDA. 
 Casos propuestos de diagramas simples 
 
(1) ¿Qué capital se requiere invertir durante cinco años, en un fondo que paga 
el 2% mensual para que se pueda contar con un saldo de $5.300.000? 
1.615.346 
 
(2) Si hoy un empresario vende en $27.000.000 una propiedad que mantuvo 
durante tres meses, sin que en ese lapso se presentaran entradas o salidas de 
dinero relacionados; ¿en cuánto debió comprarla si obtuvo un rendimiento del 
10% semestral? 25.743.489 
 
(3) ¿Qué valor máximo al 2,5% mensual podría prestar hoy una institución 
financiera a un constructor, cuya capacidad de pago sólo le permitiría cancelarla 
con pago único de $21.012.500 dentro de 2 meses? 20,000,000 
 
(4) ¿En cuánto debió comprar un inversionista un título, si durante los seis 
meses que lo mantuvo le rindió el 22% anual y recibió por su venta $437.000? 
395.641 
 
(5) ¿Cuántos meses habrá transcurrido desde que se compraron unos terrenos 
en $72.000.000 hasta la fecha de hoy en que se lograron vender en 
$185.235.156? Se conoce que el inversionista rindió su dinero en esta 
transacción al 3,2% mensual. 30