Productos Notables y Factorización 2

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MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
FACTORIZACIÓN - MISCELÁNEA
Miscelánea
En esta lección presentamos variados ejemplos sobre los distintos casos de factorización que hemos estudiado. El lector
debe entender que, en la práctica, los problemas de factorización no vienen acompañados con un rótulo que diga a qué caso
corresponden. Por lo tanto, se requiere resolver muchos ejercicios para poder adquirir la experiencia necesaria y aśı lograr
identificar ante qué caso de factorización se está enfrentado en cada problema. Todas las factorizaciones son con respecto a
R.
Ejemplo 1
Factorice la expresión x5/2h1/2 − x1/2h5/2.
Solución
x5/2h1/2 − x1/2h5/2 = x1/2h1/2(x2 − h2)
= x1/2h1/2(x− h)(x + h).
Ejemplo 2
Factorice la expresión y4 + 7y2 − 30.
Solución
Si hacemos el cambio de variable x = y2 obtenemos una expresión cuadrática que se puede factorizar usando los casos
anteriores
y4 + 7y2 − 30 = x2 + 7x− 30 = (x− 3)(x + 10).
Al “deshacer” la sustitución obtenemos
y4 + 7y2 − 30 = x2 + 7x− 30
= (x− 3)(x + 10)
= (y2 − 3)(y2 + 10)
= (y −
√
3)(y +
√
3)(y2 + 10).
Ejemplo 3
Factorice la expresión 625− n8.
Solución
Observemos que 625 = 54 y que n8 = (n2)4. Aśı
625− n8 = (5− n2)(53 + 52n2 + 5n4 + n6)
= (
√
5− n)(
√
5 + n)(125 + 25n2 + 5n4 + n6)
= (
√
5− n)(
√
5 + n)
(
25(5 + n2) + n4(5 + n2)
)
= (
√
5− n)(
√
5 + n)(5 + n2)
(
25 + n4
)
.
Notemos que otro camino válido para factorizar esta expresión, es utilizar dos veces la diferencia de cuadrados. Dejamos
como ejercicio al lector que verifique que se obtiene la misma respuesta a través de esa opción.
Ejemplo 4
Factorice la expresión (x + 4)3(y + 6)6 + (x + 4)4(y + 6)5.
Solución
(x + 4)3(y + 6)6 + (x + 4)4(y + 6)5 = (x + 4)3(y + 6)5(y + 6 + x + 4)
= (x + 4)3(y + 6)5(x + y + 10).
1
Ejemplo 5
Factorice la expresión 2x3 − 6x + 8x2 − 24.
Solución
Podemos escribir la expresión como
2x3 + 8x2 − 6x− 24,
y escrita en esta forma observamos que podemos factorizar agrupando términos, es decir,
2x3 + 8x2 − 6x− 24 = 2x2(x + 4)− 6(x + 4)
= (x + 4)(2x2 − 6)
= 2(x + 4)(x−
√
3)(x +
√
3).
Ejemplo 6
La expresión cuadrática
a2 + 2a + 1 + 2(a + 1)− 8,
se puede factorizar de dos formas. Una forma consiste en caracterizar la primera parte de la expresión como un trinomio
cuadrado perfecto (en este caso (a + 1)2) y a continuación hacer el cambio de variable x = a + 1. De esta manera
a2 + 2a + 1 + 2(a + 1)− 8 = (a + 1)2 + 2(a + 1)− 8
= (x + 4)(x− 2)
= ((a + 1) + 4)((a + 1)− 2)
= (a + 5)(a− 1).
Otra forma consiste en simplificar primero la expresión y luego factorizar:
a2 + 2a + 1 + 2(a + 1)− 8 = a2 + 4a− 5
= (a + 5)(a− 1).
Ejemplo 7
Si deseamos escribir la expresión a4 + 4k4 en términos de factores cuadráticos de a y k, observamos que a4 = (a2)2 y
4k4 = (2k2)2. A continuación podemos sumar y restar un término adecuado:
a4 + 4k4 = a4 + 4k4 + 4a2k2 − 4a2k2.
En el lado derecho de esta igualdad observamos que los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto. Por
lo tanto
a4 + 4k4 = a4 + 4k4 + 4a2k2 − 4a2k2 = (a2 + 2k2)2 − 4a2k2.
Finalmente, la última expresión es una diferencia de cuadrados. Luego,
a4 + 4k4 =
[
(a2 + 2k2)− 2ak
] [
(a2 + 2k2) + 2ak
]
.
La técnica de sumar y restar un término adecuado para “armar” un trinomio cuadrado perfecto se conoce como com-
pletación de cuadrados.
Ejemplo 8
Factorice la expresión 2w2 + 9w − 11.
Solución
2w2 + 9w − 11 = 1
2
((4w2) + 9(2w)− 2 · 11)
=
1
2
((2w)2 + 9(2w)− 22)
=
1
2
(2w + 11)(2w − 2)
= (2w + 11)(w − 1).
2
Ejemplo 9
Podemos factorizar p2 + 2p− 3 en la forma
p2 + 2p− 3 = (p + 3)(p− 1).
Alternativamente, se puede emplear la técnica de completación de cuadrados aśı:
p2 + 2p− 3 = p2 + 2p + 1− 1− 3
= (p2 + 2p + 1)− 4
= (p + 1)2 − 4
= ((p + 1)− 2)((p + 1) + 2)
= (p + 3)(p− 1).
Ejemplo 10
Factorice la expresión 4a9/2 + 12a4 + 12a7/2 + 4a3.
Solución
4a9/2 + 12a4 + 12a7/2 + 4a3 = 4a3(a3/2 + 3a + 3a1/2 + 1)
= 4a3((a1/2)3 + 3(a1/2)2 + 3a1/2 + 1)
= 4a3(a1/2 + 1)3.
Ejemplo 11
Factorice la expresión x3 + 75xh2 + 15x2h + 125h3.
Solución
Notemos que 125h3 = (5h)3, 75xh2 = 3x(5h)2 y 15x2h = 3x2(5h). Luego
x3 + 75xh2 + 15x2h + 125h3 = x3 + 15x2h + 75xh2 + 125h3
= x3 + 3x2(5h) + 3x(5h)2 + (5h)3
= (x + 5h)3.
Ejemplo 12
Factorice la expresión x5 + x4 − 2x3 + x2 + x− 2.
Solución
x5 + x4 − 2x3 + x2 + x− 2 = x3(x2 + x− 2) + x2 + x− 2
= (x3 + 1)(x2 + x− 2)
= (x + 1)(x2 − x + 1)(x2 + x− 2)
= (x + 1)(x2 − x + 1)(x + 2)(x− 1).
Ejemplo 13
Factorice la expresión −x5 − x4 − x3 + x2 + x + 1.
Solución
−x5 − x4 − x3 + x2 + x + 1 = −x3(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (1− x3)(x2 + x + 1)
= (1− x)(1 + x + x2)(x2 + x + 1)
= (1− x)(x2 + x + 1)2.
3
Ejemplo 14
Factorice la expresión a12 + 2a10 − 3a8 − a4 − 2a2 + 3.
Solución
a12 + 2a10 − 3a8 − a4 − 2a2 + 3 = a8(a4 + 2a2 − 3)− (a4 + 2a2 − 3)
= (a8 − 1)(a4 + 2a2 − 3)
= (a4 − 1)(a4 + 1)(a4 + 2a2 − 3)
= (a− 1)(a + 1)(a2 + 1)(a4 + 2a2 + 1− 2a2)(a2 + 3)(a2 − 1)
= (a− 1)(a + 1)(a2 + 1)
(
(a2 + 1)2 − 2a2
)
(a2 + 3)(a− 1)(a + 1)
= (a− 1)(a + 1)(a2 + 1)
(
a2 + 1−
√
2a
)(
a2 + 1 +
√
2a
)
(a2 + 3)(a− 1)(a + 1)
= (a− 1)2(a + 1)2(a2 + 1)(a2 + 3)
(
a2 −
√
2a + 1
)(
a2 +
√
2a + 1
)
.
4