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"LO CUE TODO POSTULANTE DEBE CONOCER ARTIFICIOS Y TECNICAS BALBN RVAS F UESTO UNI IBM ARIMETKA GE0RAETRIA TRIGONO AETRiA ALGEBRA . PROLOGO La experiencia que dan los años en a docencia Pre-universitaria yen participar como componente del equipo "Reunión de Profesores"de una prestigiosa Editorial que publica el solucionario analtico y detallado de los Exámenesde Admisión tomados en las Universidades: Universidad Nacional de Ingenieria, Universidad Nacional Mayor de San Marcos y Universidad Nacional Fede- rico Villarreal, durante los 10 últimos años, me permite informar de una serie de Técni- casy Artificios pararesolver problemas tipo I.B.M. en un tiempo menor que el necesita do convensionalmente Sin el ánimo de pretender resolver cualquier problema tipo I. B.M., mediante un sencillo ánalisis comparativo entre la pregunta y las alternativas, se expone en forma prác- icayfchaciente los principis básicosdel método y la solución a una gran variedad de problemas en capítulos importantes de ma- temática para fina/mente concluir con, la so lución a problemas que han sido tomados en los concursos de admisión a las universida- des: INGENIERIA, SAN MARCOS, VILLARREAL en los últimosaños. Buscandomotivar en el postulante su capacidadde andhisis y obseruación, diri. 9imos pues, esta pequeña obra, única en su género, como una muestra de todo aquello, que pudiendo ser aprovechado pasa desaper cibido. El apego a las fomas convencio nales de solución en las preguntas tipo I.B.M. nos conducen a. actuar mecánica mente al solucionar un problema de esta na turaleza, no considerando un factor impor- tante que juega a nuestro favor como son las alternativas. En contribución a una de las disci- plinas más austeras: "LAS MATEMATICAS" EL AUTOR. INOICE *. Examén de admisión la preparación De ia elección. *. De la preparación *, Examén de admisión la prueba computarizada - Del objetivo . De la elaboracion.. . De la estructura y características. de la prueba De las indicaciones. El dla de la prueba. Da los preparativos previos El día del examén. Examenes de ingreso Situaciones aritméticas. Situaciones algegráicas . Situaciones geométricas Situaciones trigonométrícas. . Preguntas de éxamen de admisión u.N. Teor la de exponentes. .Preductos notables. División y divisibilidad aigadraica Factorizacion y M.C.U... Fracciones. Radicación.,. Radicación.: Series y progresicnes generaiizadas ApBicaciones varias. Aplicación del metoda Problemas propuestos solucíonarios. Algebra seccion .- problemas Series y progresiones generalizadas sección 1 problemas , Geometría sección iil problemas Trigonometría sección V. problemas . Solucionario Saccicn Sección . . Secclón J}l. *. Examen de algebra 1. Solucionari0. , Examen.de algebra lI. . Examen de trigonometr ia. *. Solucionario.. Paradojas matemäticas ... Prablemas selectos de lgebra. . Salucionario. Solucionario de los problamas pares . Paradojas matemáticas oBuci�n Números raales Elementos de ca!lculo *. Prallminares.. Constanta ... Constantes numésicxs a absokutas. . Constantes argkrarizs.' .. U 15 16 19 19 19 20 2 22 2 50 53 S7 60 62 94 94 *Parametro Valor absoluto Variable. Función. . Intervalo de una variable. *. Intervalo cerrado. . *. Intervalo abierto. . *. interval *. Intervalo abierto por la izquierda . *. Dominio y rango de una función *. Notación de las funciones. Exclusión. . . *. Gráfica de funciones alge braicas. *. Plano cartesiano . . Par ordenado . *. Definición. *. Clasificaciónde las funciones. Funciones especiales Gráfica de funciones Generalidades convenientes para graficar va función. *. Gráfica de funciones aplicación Continuidad y diferenciación de una función . *. Humanidades . *. Prefijos de origen Griego.. Prefijos de origen Latino. *. Sufijos Latinos. *. Sufijos Castellanos. Examen de adm isión de humaidades. *. Solucionario .. *. Examen Solución U.N.I. 80. *. Examen Solución U.N.I. 81. Examen Solución U.N.I: 82 1.. Examen Solución U.N.I. 82 1!. Examen Solución U.N.i. 83 tfi.. Examen Solución U.N.I. 84 I *.Examen Solución U.N.I. 84 *. Examen Solución U.N.I. 85. . *. Examen Solución U.N.I. 86. #. Examen Solución U.N.I. 87. Examen Solución U.N.J. 88.. *. Examen Solución U.N.I. 89.. *. Examen Solución U.N.M.S.M. .. Examen Solución U.N.M.S.M. *. Examen Solución U.N.M.S.M. 88 1 Examen - Solución U.N.M.S.M. 89 Examen - Solución U.N.F.V. 80 - 84. . Examen Solución U.N.F.V. 86. Examen - Solución U.N.F.V. 87. Examen Solución U.N.F.V. 88. Examen - Solución U.N.F.V. 89 1 94 94 95 9 95 95 95 96 96 96 96 97 97 97 97 * abierto por la derecha 98 99 99 99 100 107 108 109 111 112 113 114 115 118 122 127 32 .137 139 143 146 .150 5 160 164 169 169 171 174 183 186 188 192 , . * EXAMEN DE A DMISION LA PREPARACION Luego de dejar las aulas aspirante a seguir estudios superiores en una universidad, deberá tomar por primera vez una decisión gravitante para su vida futura. Ya no se trata de aprobar un ano escolar, profesión o carrera y concursar mediante un Exámen de Admisión para ocupar una escolares, el las características de la Prueba de Admi- sión en la universidad a la cual postulas. La cantidad promedio de preguntas que por asignaturas se toman y del rigor de las mismas. ahora se trata de elegir una El sistema calificativo: En algunas universidades todas tienen el mismo puntaje; en otras la puntuación es mayor para deter mi- nados cursos, de acuerdo a la carrera elegida. las preguntas vacante. de Admisión a las diferentes profesiones que ofrece la univer objetivo seleccionar postulantes cuyas aptitud académica acrediten idoneidad EI Concurso sidad, tiene como Teniendo en cuen ta el inciso anterior, plantea tu preparación en forma idónea, poniendo especiai que mayor cantidad de puntos te hagan acumular o que tienen un promedio mayor de praguntas en el examen de admisión(°). conocimientos para realizar estudios Universitarios. énfasis en los curs os A continuación se indica una serie de sugerencias, pautas y generalidades que el postulante debe tener presente. En la última etapa de preparación debes entrenarte con simulacros se:amente preparados, dirigidos a la universir)id a la cual postulas. La finalidad es de familiari- zarte con los sucesos que próximamente tendrás que afrontar. DE LA ELECCI ON Deberás auto-analizarte, reconocer tus inclinaciones, aptitudes, capaci dad y personalidad. Destierra el pensamiento generalizado de postular a un programa con puntaje mínimo bajo, para luego de realizar el traslado al programa preferencia. Son buenos indicadores los Test de orlentación Vocacional-Profesional. ingresar, Consulta con profesionales y entendi- en la materia, ello clasificará tus ideas y despejará tus dudas. de tu dos En abrumadora mayoría no éste objetivo. logran DE LA PREPARA CI ON Conviene advertir, sin embargo, que el éxito de la preparación no depende exclusivamente de un adecuado entrenamien to en responder cierto género de pregun- tas; la acti tud personal y el caudal de conocimientos siempre la base de un elevado rendimiento. Debes ser responsable en la tarea de prepararte. En ésta etapa tu mismo planificarás y distribui ráss manteniendo un orden de prioridades. tu tiempo, Infórmate qué universidades adquiridos constituirán en puedes estudi ar la carrera que has elegido. El que seas un eficiente y competitivo profesional depende en gran parte de tí mismo y no del nombre de la universidad en la que estudies. Esta recomendación resulta necesaria porque generalmente no se toman "exáme- nes de admisión, en los cuales se estable- ce previamente una nota aprobatoria, de modo que todo postulante que alcance () Debes tener pleno conocimiento de dicha nota esadmitido automáticamente a la universidad sino que en muchos casos, por la existencia de un número limitado de vacantes fijado con antela- ción, la universidad realiza un so" de admisión (que no es lo mismo que un examen"), de modo que no bas-. ta alcanzar una cierta nota aprobatoria, sino que hay que ocupar unos de los primeros lugares en el orden de méritos (de acuerdo al número de vacantes), para hacerse acreedor a una de las vacantes ofrecidas. Téngase en cuenta que con la modalidad del "concurso" muchos postulantes que obtienen buenas notas en las correspondientes pruebas de conocimientos y/o aptitud académica, no llegan a alcanzar una "concur vacante. EXAMEN DE ADMISION LA PRUEBA COMPUTARIZADA (PRUEBA TIPO I.B.M.) DEL OBJETIVO EI objetivo de admisión a las universidades y otros institu tos de Educación Superior, es evaluar los conocimientos adquiridos por los postulan- tes en la etapa escolar (o pre-universita- ria), as como también el grado de madu- rez intelectual que requiere el postulante pra seguir estudios superiores. los Cada universidad goza de autonomía académica y por lo tanto no existe un patrón común en la exámenes que se toma cada año, en lo que se refiere a examenesde estructura de los El número de preguntas a tomarse en cada una de las asignaturas de ietras y ciencias. De acuerdo a su realidad pedagógico económico, cada universidad decide un limitado número diferentescarreras profesionales ofrece, y como hay una gran pobiación estudiantil en la etapa pre-universitaria y el número de postulantes supera ampliamen te al de las vacantes, esto determina que se realice un examen de selección. El número total de preguntas. de vacantes para las El tiempo de duración de cada prueba. qua DE LA ES TRUCTURA Y CARA CTERISTICAS DE LAS PRUEBAS Las pruebas de admisión se realizan mediante un sistema de evaluación computa rizado que es usado en la mayoría de los exámenes Los concursosde admisión son, por lo tanto, competencias todos los postulantes rinden una o intelectuales en de ingreso a las diferentes universidades del pals. que varias pruebas, administradas equivalente- mente con los mismo instrumentos técnicos Una pregunta computarizada por lo general presenta tres parte: el enunciado del problema, la pregunta y las alternativas de respuesta (generalmente 5). mismo tiempo de duración. Las pruebas de admisión además de evaluar los conocimientos básicos adquiridos por los postulantes, les exigen cierta capacidad de interpretación, raciocinio y habilidad para enfocar, preguntas que se elaboran de acuerdo al sistema computarizado. Este sistema de evaluación computari- zado es dinámico y trata de abarcar los capítulos y temas más importantes de las en forma integral, las diferentes asignaturas Secundaria; cursadass evalúa en la instrucción mediante una serie de preguntas en di feren tes situaciones, el criterio personal para localizar además, DE LA ELABORACION interpretar lainformación La elaboración, de prueba de recibida, alejándose de ésta manera de la metodología memorística, tradicional la etapa escolar, y llevando al postulante a una participación más activa en lo que se refiere a la habilidad y capacidad de interpretación. una admisión es un minucioso proceso en e que se selecciona un determinado número de preguntas para cada una de las di feren- tes materias, previamente anunciadas con su correspondiente balotario en el prospec- to de admisión, y est a cargo de una Comisión de Admisión especialistas docente de la universidad. en conformada por la plana DE LAS INDI CACI ONESS integrantes de Es recomendable hacer un análisis de la estructura y caractarísticas de las pruebas de admisión que sa toman en la universidad a la cual se postula(), en que 39 refiere al número promedio de preguntas por curso, así como a los capítu los de mayor incidencia; ello te dará una idea para ser racional en la distibución del tiempo que habrás de dedicar a las diferentes materias en la etapa da prepara cion. Un análisis cualitativo y cuantitativo de las tres últimas pruebas tomadas será un buen indicador. Por todo lado es conveniente estar bien informado da las disposicienes vigentes en cada universidad por cuanto, en muchos casos, y de acuer do a a especialidad a la cual postulas, se atribuye un puntaje mayor a las preguntas referentes a ciertas materias, lo que te indica que dichas areas habrás de dedicarles mayor atencion tanta en la etapa de preparación com en el momento de la prueba. EXAMEN DE ADMISION EL DIA DE LA PRUEBA DE LOS PREPARATIVOS PREVIOS Lee cuidadosamente las preguntas, AL DIA DEL EXAMEN razona y no te precipites. Debes controlar tus emociones. Por lo general el postulante llega al Examen de Admisión con la obligación de ingresar a la universidad, devido a; la presión familiar y/o situaciones comparativas de diversa índole. Recuerda que luego de los prime- ros momentos de iniciada la prueba, irás di sipando la tensión y el estado de ansiedad: en consecuencia por ningún motivo te ofusques al no poder contestar determina- das preguntas; déjalas para el final. Debes mantenerte sereno. Ten presente que el día del exámen tu estado mental debe estar dirigido únicamente a la mejor manera de enfrentar la prueba. El tiempo asignado para resolver la prueba es suficientemente amplio. Recuerda que todos tenemos temor a lo desconocido; es un estado generaliza- do en los postulantes,en unos más marca- do que en otros, ya que son concientes de no haber dedicado concienzudamente horas de estudio. No dediques, sin embargo, mucho tiempo a una pregunta. Si no puedes hallar la respues ta correcta sigu� adelante y trata de respon der la pregunta que viene a continuación. Cuando termines, intenta resolver las que pasaste por alto anteriormente. De esta ma- nera evitas la pérdida de un tiempo precioso y el riesgo de equivocarte por el apuro. Con anterioridad debes reconocer ei local donde has de rendir la prueba. No estudies la noche anterior al día del exámen, percátate de llevar un documen to de identificación, carnet de postulante, 2 lápices y borrador. Es preferible que empieces a rescl- ver la prueba por los cursos que más domi- nas o por las preguntas más sencillas. Ello te dará confianza e ira disipando la tensión. Evita llegar Controla tu tiempo. Es conveniente que faltando media hora para la finalización, transcribas las respuestas marcadasen la prueba, a las tarjetas I.B.M., poniendo espe cial cuidado en ésto. - Ni muy temprano (Te causa fati- ga mental y física). Ni con retrazo (No rendirás la prueba). Si marcaste erradamente una EL DIA DEL EXAMEN alternativa, en la tarjeta, marca la que crees Momentos antes de la entrega de correcta y luego borra cuidadosamente la errada. los implementos para rendir la prueba, prác tica operaciones simples (suma, resta, mul- tiplicación, división) ésto te ayudará a disi par un tanto la tensión. Sólo una alternativa es la correcta, por ningun motivo marques doso más alter nativas en la tarjeta para una misma pregun Sigue correctamente las indicacio- ta. nes para llenar la tarjeta de identificación;si tienes dudas consulta con el jurado de aula. Es importantísimo éste acto. Se te calificará como error aunque una de ellas sea la correcta. 10 EXAMENES DEINGRES C HA TEMATICA SCLUCIONES PREGUNTAS NO COMPUTARIZA DAS TIPO I.B.K. CONVENCIONALES euscando las diagonales y el lado", Las motivaren elpostulant su caacidad de anátisis, observación y sin el nimo de pretender resolver cualquier problema de matemática en el sistema mediante global entre el enunciado, la pregunta y las alternatives, se presenta a continuación dos casos para reso lver en forma practica problemas de matemática tipo 1.0.M. alternativas: ubicando en la al ternativa "8*: 4Cm+ 3Cm = 7Cm. Seconcluye de éste an�lisis que la al ternativa "8 serå la solucíon del problema3. Computarizado, enfoque un (8) 2. lina aecta parale la a un ledo de un iängulo, dekenmina sobre un segundo ado do8 egmntos de 1dm. y JCuáles &0n los se gme ntos deteAmina- dos en el otno lado cuya longitud es 30 m2 Os?. CASO I 7m. Los problemas de matemática tipo 1.8,M. requieren de un especial cuioado en Su proposición, tanto en e enunciado como Aprovechando A 22.40 y 6.34 1.60 y 8.40o C 21.30 y 6.22 E 20.98 9.01 D) 21.60 y 8.40 alternativas. B1 22.07 y 7.57 en lass un entre ambas partes veremos problemas cuya solución puede ser obtenida por simple inspección, ubicando una carac- terfstica o un dato principal del problema, que esté relacionado con la pregunta y como consecuencia con las alternativas. desface8 E 20.98 y 9.01 (UNFV-831 Solucibn Sintética Siguiendo un procedimiento analogo al del prodiema anterior. Así: Un dato análisis de éstas tres partes, se obtiene la alternativa respuesta. Así principal del problema: 1. En un nombo Ca euma de las diagonales es 10 R tnos y et radio del cinculo inscrito es 12 e n0s. Cal cular las diagonales y el lado. Longitud del otro lado: 30m.". La pregunta del probl ema: "cuåles son los segmentos". Las alternativas: udicando en la alternativa "D": 21.60 8.40 30 Se concluye de éste analisis que la alterna tiva "0* serå la solucion del problema. A) 39m., 29m., 24m. B) 40m., 30m.. 25m. CI 38., 18m,, 23m. D 37a. , 27m., 12m. E) 36m., 26m., 21m. (D) 3. uis te dice a CCsan: "Muestras eda- des son proponcionales a los ninea0s 3y aespectivamente. Ademds Yo tengo la edad que ti tenias cuando i padre tenia la edad de tu padre. Cuando u padre te nga la edad de ni padn2, mi edad sená la mitad de la Sol ucidn Sintética Realzando un analisis Conjunto entre - n dato princi pal del problema: "la su ma de las di agonales es 70 metros". - La pregunta del problema: "Calcul ar 11 edad u padee ten ace 10 aios, y edad end aitad de la edad ue nle padae ace S alosf edadi de 5. Mallan el valo d , que wailiea h4 . h%-r. A 179 C) 170 E) 150 Solucibn Sintetica abo. A Pare que la sun de dos radicales sea un nonero entero, cada uno de loS radi cales deberå arrojar ralz ex icta. Entonces eceseriaente Solucibn Sintética: Resolviendo por los etodos convenci ona les. el problema requiere de tlenpo y cuidado la interpretacibn. -Pero por el netodo de anal izar el enunciado las alternativas a la vez. se lega a la. solucibn correcta, nedi ante un razona- iento sencil lo. Asl Luis le dice a César muestras edades Son proporctoneles a los ntseros 3 y 4. Si Luis tiene 3x° años entonces Cesar tendra 4x nos. 14 cubo perfecto. cubo perfecto. 14 Ademas, para que se cumpla ésta condi cion "x" debera de ser cuadrado perfecto por que necesari amente debera arro jar ralz exacta. Analizando las alternativas el nico cuadrado perfecto fåcil de reconocers 169 que por lo razonado serå la solu Se plde como respuesta la suma de las edades de anbos quepor o expuesto anteriornente forns: 3x x 7x. de donde se educe que la respuesta tiene que ser un mal tiplo de 7, analizando Jas aiternati vas ubicamos la respuesta. cidn. debera de ser de a (D) 6. 3Qud valores de x" mayores que 1/3 aatiafecen la ineeuaciðn?. 4. Calculan el producio be 4akiendo que 6e.9 ... 45 Al ixe R/.-@« z< -1]ulz« R/ 1/3<ad 81 e R/ 1/3<z< 3F Cxe R/-T< z < 3 01 xe R/-1< z« l/31 El ixe R/-o < Solucibn Sintética A) Mo se puede deteAineR. C 10 E) S De la pregunta del problema: Quê valo- res de "x" mayores que 1/3?. Deducimos que "x" no puede admitir a cero nía nlero negati vos. Anal izando las alternati vas, la Gntc qie cumple con lo anteriormente expuesto es la "8". que vendra a ser la solucion correcta. D1 60 Solucibn Sintética Se pide como respuesta abc. el produc to de tres ntmeros. conociêndose de estos las relaciones que indican en el enunciado. Asi: Descaaponiendo las CCo el producto de tres neros de tal anera qe estos cuplan las releciones indicadas. Ast 80 2 x 50 YERIFICAMDO: al ternativas B) xe R/ 1/3<x43 (8) 2S8 15 2.38 93 33.. 645 7. a A" uno de los dngulos agudoo an nitngulo aeetdngulo. Si el seo de dicho dngulo eu a u coaeno eo e4 a 15; el veten de: senk-cok, 4end es la soluctbndel prodlema. (0) A 12 C 17 en forma imple. 15 29 Estos valores cancretos, al..ser toempla 2ados en a expresión y tealizar las operaciones tales, que no nos conduzcan cantida- des inconmensurablestales como: indicadas, deber án ser 15 (UNFV-84 Solucion 5intética Por dato del problema: se cumple sen A De la proporcion se deduce elección conveniento éstos 39 La valores concretos, primeramente. 3arán analizados reemplazando alternatlva, todas a3 alternativas arrojer valores diferentes y con ello certeza solución en cada COS A 15 siendo lo idoneo que senA. En consecuencia Siempre será una cantfda que: cos A sen A Ccos A negativa. Anal izando las al ternativas vi sualizamos que la nica negativa es la "A" y por lo tanto serå 1a respuesta. tendremas la de hatlar directaments la 4 Se reemplazan éstos yalores alegidos en ei problema y. se calcula su valor umerico. A) 8. Si: 8en 4 cos4, entonce s cOA , es igual 59 Finalmente éstos valores elegi dus s reemplazan' en las alternativas y. aquella ue arroje el mismo valor numèrico que e obtenido en el problema será la alternativa solución, FI 5 G4 H -1 UNMSU-83 69 S pasamos por alto el inciso 39, y luego procedimiento para problema medianta verifica e dosó más de las alternati vas cumplen en coincidir con el vafor numerico de la expresión; se darán otros valores rápidamente el proceso y descartando únicamente entre las que cumplieron a vez antarior, logrando asf la única .alternativa que cumpia con el nuevo valor numirico del problema y que vendráa' ser la solución del problema. Solucibn Sintética: Analizando por partes la expresion de sèguir correctamente el solucionar e método, se senx 4 coS X Resul tado negativo. necesariamen te tendra que ser una canti dad negativa. positivo concretos, repitiendo En conclusidn "cos. x* deberd ce ser una cantidad negativa. Anal izando lasal ternativas la Gnica gue cunple y viene a ser ia Solución es. Anállsis (K) Al titizar ste méto do se tratará de dar valores particulares tratando de evitar trabajar con fac tores cero 6 expresiones que s reduzcan acero, con cantidades indeterminadas 6 inconmensurables a, , Asl CASO II Los problemas de matemática tipo 1.8.M. de carácter general tendrán una solución 3encilla al particularlzarios, mediante slgul ente proçedimianto PROCEDIMIENTO I SlapliGican 19 Se l atrlbuaa las partés iterafes o simbolo3, qus rapresentan expresiones generallzadas, valores concre tus, conve nientemente elegidos a fin de particuiarl 2ar probfema y lograr la solución 8 2x C)2 El Ningun 13 Soluciôn Sintética Se le atribuye a las partes literales o simbolos. que representan expresiones general izadas. valores concretos, conve- nientemente elegidos mejor si son peque- hos ya que serån fåciinente operables. nati vas presentan valores diferentes. entonces x 2 es idóneo. 3) Si se asune para x » 1, entonces el - vator Numérico de la expresión a sin pliflcarse serla s 1) Asumiendo para x « 0, entonces el va- lor numérico de la expresion a simpli ficarse serla : N Conclustón. : X no es conveniente. 171 AL simplikiean la expresión ./s././a Reempl az amos segui danente x 0 en las alternativas, ubicamos aquella que arroje \por valor Numéri co - y esta vendrå a ser la soluciôn. Al hacerlo vemos que las alternativas "A y "B" arrojan por valor Nunérico -I y son posibles respuestas. Rapidamente volvenos a repetir el proceso, Gnicaente entre las alternativas "A y para otro valor de "x* ta! como: X=2 se obtiene A) ba 36 descartamos b SolucionSintétfca Si se pensara en los valores particularas tales como a . D 0 antes de reemplazar en el ejercicio inspecci onamos ias alternativas y se ve que A, B.C yD tienen el ni so valor Nunérico "0". lo cua! no es lo coveniente. Lo idôneo es que las alternativas por lo nenos en su mayoria arrojen valores diferentes. En efercicios en las que existan partes Iiterales afectadas por radicales. los valores idoneos seràn aquellos para los cudles existe ralz exactà. En el efercicio presentado a y b podrån Reempl azamos segui�anente 2 en 1as alternativas A" y *8". udicanda aquela que arroja por valor Num�rico 1 y ésta vendrå à ser la respuesta Siendo la que Cumple ia dl ternativa A. 2) St se hudiese doble trabajo. el valor a asumÍ r se debto ser primeraente reempl azado en las al ternativas, siedo el valor idôneo aquel para el cual todas las al ternativas arrojen valores diferen tes y recien tendreos a ubicar la alternativa respuesta de un solo tradajo. Así querido evitar el asumir erteza de 14,9,16,25 . Cuadrados Perfectos Para: x 0 La "A" y 8 arrojan el ai smo valor 1 (no es idóneo). I) En lo que respecta a prodlemas d Trigonopetrla se ha de evi tar traba- ar con valores angul ares que en determinados ejercícios nos conduz- can a cantidades inconmensurables tales conO: + , @. En general los 1ineanientos observa- dos en los incisos anteriores con debida interpretaciôn x 1 La expresión a. simplifi carse toma un valor in- Comensurable cD. x 2 A) 18) 3 C) 5 0) E) Ninguna debera su tenerse presente para el caso de trigonoetría. Vemos que para x 2 todas las alter 14 NGcn METODO DE SOLUCION: "TECNICAS Y ARTIFICIOS" eaeanssepeapaeeeeeeeeeneaseeo ereooepeoosoga0dasosaanposotpeoe. donde cada nimero tiene "n" eifnas {te nas iguales nepresentan cifnas igua - les) y ademãs SITUACIONES ARI TMETICAS 1. Si "n" es un uimeno entero y positivo, el valon de la Suma c 3 33 . Hallan " cifnas b.6....bb»c.c....c.cod.d..dd A 10-9-10 8) 9n-10 27 27 A 11..15 B 166.....65 C 1-9n-10 D) 10-9n10 n eifna n eifnas 27 27 C55 56 D99. n cifnas 27 E 233.....3 Solucion Sintética Teniendo presente que "n indica ademås del ntmero de cifras "3 que tendra Solucion Sintética 19 Suponganos quen 1, o sea cada núme ro es de una cifra, entonces deberå de Cumplirse cada sumando, el número de sumandos que hay en la serie. Siempre que se tenga éstas relaciones a la vez la solucion es directa. AsI Calculo de la Suma de la serie cuando n 2. 10 - b 0 sea : 3 33 n2 36 28 Asignando anterior serie de igualdades deber de cumplir- se empezando de la última igual dad y eligiendo un valor para "b" convenien te este serå : b 8 de donde para que se cumpla la relacíbn anterior se tendra c 4, d 3, e = l, valores teniendo relacibn que la en la presente Reemplazando en 1as alternativas: n 2, la que cumple y viene a ser la respuesta es la "C". As1: 109n-10. 972 36 10 27 27 (C) 0 sea: 2. Se tiene la senie de nazones iguales: 10 -8 C.C .d. 6.b bb 3 Entonces se pide hallar (tentendo pre- sente que n a 1). C.C..s s .CC , .a .a.d.. d.d. 10 - b 2.. 8421 15 ..e.e 15 49 Reempl azando en las alternativas los valores asumidos, la única que cum -" ple y por ló tanto es la solución se r la n 1. 29 Calcul ando el Yalor Numéri co de la exX presion para n 1. (A) As 3. Haller ta sunc: [1o|20*'130* Y.N. dB+V6.8,4.4 21 3 "q1otn-1} 3 Identificando 'en las al ternativas. la que arroje por Valor Numérico "4" y por 1o tanto es la Respuesta la : (C) 2 2 C 1 2. Efecauan 2 3 -8.15 2-1 E n-1 2 Solucion Sintética A) 4 '. 8. B) 4x x- 3 Anal izando.el criterio de formación de la serie Cuya suma se pide, se deduce que cuando n a 2, entonces El 4x S 10n-1) (10(1)) 10 En base 10 10) 2 Solución Sintética 19 Asignando a la parte 1iteral un vaBor pequeño tal como: x = 1 2 Calculando el Valor Numérico de la ex presiôn. As!: Reemp! azando segui damente 2 en cada una de las älternativas, aquella que dA por resu! tado 2 serå la sol uci ôn. :AS1 Là al ternativa "C* Y.N. 8* 15 . 13 n(1)i,20). 1 2 33 Reemplazando en las alternativas x=1, la que coincide con el Valor Nunérico hallado para la expresiôn {13). serås la solución y es la (C) SITUACIONES ALGEBRA I CAS (A) 1. Sinplifiçen 39 Si: a6e9 ab ac be -4 Calcular el valon de : abc A 4 Ci E) N. A. Solucion Sintética: 81 2n C1 E Se pide calcular el valor del producto de: abc. tres factores, analizando lasS alternatlvas y problema, sencillo se concluye que:-4 es Ia solucibn del probt ema ya que Solucion SIntética 1 Atribuyendo a la parte 1iteral un va Tor las condiciones del procedimiento medi ante un Cual ulera pero pequeño, de modo que sea fåci lmente operable. Asl: 16 -4 (-2) (2) (1) (8) SITUACIONES GEOMETRICAS I. En la 6igura BR ALtuna BD Bisectriz BD // HF 145 45 La nelación viene dada pon HF DH 2 A) AC 8 . AB (AB-BC) AC (AB BC) NOTA Se pudo haber elegido el triangulo Nota- dle de 30 y 60 de lados 1, 2, V3 obte- niendo también la soluci ón correcta. 2 AC C BC (AB BC AB (AB BT) Se da un niängulo ABC, se traza la biseciriz interion AF por F se naza FE paralela a AB y_ pon E se raza ED panalela a BC. S AE 5mts. Calculan : B0. E) Ninguna. 2. B A) 2.5 mts. C 15 mts. E) 1.5 mts. B) 10 mts. D) 5 mts. Solucion Sintética Al no especificar que tipo de triangulo es y no hay datos que determinen e tipo de triángulo, se elige un triángulo Notable convenientemente. D H Solucion Sintética 19 De acuerdo al enunci ado del problema no se especifica que ti po de triangu lo es; entonces para hacer el análi- sis rapidamente elegimosl Triângu- lo Rectangulo de 45 y 45 2. 1. 1. As1 2 Entonces BU 1 HF 3 Reemplazando en las alternati vas de acuerdo a los datos estableci dos la única que cumple y es là solucion sera la Asi: Sea ABC un Triangulo Equi làtero. Se determina que BU = 5 mts. (C) (D) 17 Solucion Sintética 3. Los tados de un poligono negular de "n" Cados, n> 4, po ongan para onman una esthella, El mm2no de ghados de cada angulo intenno en cada punta de la esine lla es 19 Particularizando el probl ema para: X = 0 29 Determi nando el V.N. de la expresión para X 0 A) 360 8) 80n-4 V.N. E = Cotg- sec 0 = 1 1 0 C 180(n-2) D) 90(2n-1 al ternativas 39 Identificando en las para x resultado correcta y es la E) 80 0, aquella que de por "0" sera la Solucioon (A) Solucion Sintética 19 El problema es de tipo general y se Cumple regular n 4. Haciendo el para n 5, pentågono regul ar cuyo ángulo interior es de 108. entonces una sola punta de estrella será 2. Simplifican: Cualquier poligon0 análisis para E en 6B 6n 24B en 98. cos 98 Lsen 38. cos 3BB A) sen 12 B 8)sec 6 B Angulo de la Cl cos 12 B D cosec 6 B punta E) et 6 B 36 Solucion Sintética 19 Anal izando la Estructura del problema y las alternativas se verifica que el ángulo idóneo es:8 10. 2 Calcul ando el Valor Numêrico de "E" para B 10. Se logra Ar2 72 72/ V.N. E= sen 60.sen 90.cos 90 sen 240 sen 30.cos 30 108° 108 V.N. E = 1 alternativas, 39 Reemplazando en B 10, aquella que coincide con valor Expresin, serå la respuesta. Asi las 2 Reempl azando n 5, en las alternati- va. aquella que arroje por resultado numérico hallado para la 36 sea serå la solucion correcta del problema y es (B SITUACIONES TRIGONOMETRI CAS sec 68sec 60 x 2 1 1. Simptigican (B) E cotg ( x) - sec 2 x B sec 2x D) -tg 2x 3. Calcular B en el cireulo tnigonome tnico adjunto en 6unción de "e" -cotg 2x -cosec 2x A)Tcos c 18 . Calulaa la sua S 12 2x4+ 3ká»4ztt...."a* tdnminos.E) Faltan datos. Solucion Stntettca B) ne)(421 E I!(2n1) Sol uci Cn Stntética : 12 Parcicularizanda el problea2 para n=t, se tana en cuenta úntcanente el prier teraino. Asi: 8 1 El problema es de Caráeter general, asignando un valorangular tal cono 2Reexepl azardo n a 1 en las ai ternativas aquella que dé por resul tado *2" serå ta soluc!ôn corracta y es ia "E*. C 90 nn1)(2n+1). 2)G) 2 22 Reenplazanda en ies alternati vas C 90 do "0" y es la respuesta àl probiens, es la aquella que då por resul ta- 3 3 3. Eseiba los nizros peres en la gorma: C SERIES GENEIALI ZA DAS 2 I. AL suraR Se ab Eneontraa poa el todo de irduccibn sa3t2 dtiea ta: suna dz los tEanisnos qse coRoan la vrtsiaa (ila : tiene Solucion Siatética: 12 Particularlzando el prodlena para ni, Se tcaa en cuentaà únicaente el prier témino. que sers Solucica Sintstica : Los t8rairos qua feraan 1a enéslza fi- ta sertn: z. (z 2). (z" 4)..... 2 fcenpl azando n 1 en las al ternati Yas. aquei la que dé por resul tado n téralnos 27 Para: n 1, sa considere el priner Ttralco uyo valor es z' » 2. Reeerpl a- zardo n tcentifi cando correcta que ser sera la soluciôn y es la en las alterntivas e logra a respuesta (D PREGUNTAS DE EXAMENES DE ENGEMERI}: ADMISION U.N. 1. Teniendo presente el principio básico anteriormente visto, presentaremos modelos de ejercicios, de exámenes de admisión, que pueden ser resueltos en forma directa. Solución Sintética Calculo del V.N. da la expresiôn para n 2. Asf V.N. 3-3(0). 24 TEORIA DE EXPONENTES 3(3) 1. La expresión Analizando las alternativas para: n = 2. se determina que el valor directo de la alternativa (B) es la que coincide entonces esa será la respuesta correcta. Teniendo presente que para cualquier valor particular que se le asigne a "n" el resultado siempre será 24. es guct a UNT-75) Di (B) E) 3« PRODUCTO6 NOTABLESS Sol ución Sintética Calcuto del valor de la expres!on para' a 2. Ast 1. E equivalente de la expresibn: Ixix1l(x*2) [x*31, es : 81 3x-11z D 3x*1} Efectuendorx - (x*)* ,2.2 uNT-66 El vator hallado coincide con la al terna tiva (C) por lo tanto es la respuesta Correct. Solucibn Sintética : Tenienda presente que para Cualqufer valor particular gue se le aslgne a "n el resultado slempre es Calculo del V.lu. de la expresibn para* x 2. Y.N. 1 2(3)(4) (5) 121 Reempl nlca dzando: x 2, en las al ternati vas, 2. Si se sirpli{iea la expesión : a única que colnei de es (0). (3(2), 1. 1 121 4e obtiene (0) . atduela ltogoe»ty»z') s zyezlly''zi, se obctene A} t.j.z C1 3x y uNI-75) Al S-1 CI 1-3 81 24 B)z y D)6x9 2C E- xyz Seluci to Sintética UNI-73 dividendo y Caluic de los V.N. GlviSor para: X = 1 02x+7i-SCx-173x122xi+66176 del Soiucton Sintetlca Calculo de V.N. de la expresion perai d-2x-15 - 16 1 2 t- 3 V.M. (1+2»31+2(1*+2*31-3(123N1 Efectuando -1/ 2)36 6 (La divi siónes exacta c sea el residuo n existe). Reempl azando los veiores asignados en las alternativas, cumple la alternati và, (D:asf : La RespuesLa es (A) 61(2(3) 36 2. EL Aesiduo de la división del polina- (D -2yigrz -2xz entre 3. Efecaianda el producio : i2.- Al z- 3 A uNI-FO Solucin Sintética Calculo del v.N. del dividendo y div> sCr, para x C 3 3 E . A. (UNT-74) Solución Sintética calculo del Y.N. de la expres i ôn Para x = 2. así : d! -T = -4 Efectuando V.. . 12 3 O (La división es exacta, $ea no existe resi�uo) Analizando ias al lernatívas la respues ta es la La respesta es (C) (B 3. E aesultado de dividir la expresión: DIVISION Y DIVIS IB!LIDAD ALGEBRA ICA 2. ntne: EL rsLdio de la divisisn de: 21-50x-173«*-12x+50 entre A)-27 -x-15, 2s B . D)4- 2 E} 4 UNT-70 (LNT 30 21 Solución Sintética Determinando el V.N. del dividendo y di- visor: para X = 1 T.I. del cociente = 2x -2x 3 D 4.(1-4.(1)-2.(4).(1)+2.(1) = 6 Sabiendo que el cociente es de grado ' P) respecto a "a" y tiene por térni d 41) (1) 1 Entonces el V.N. de la División: =6 no independiente de "a" -2x4 la: La respuesta es d 1 (D) Reempl azando en las alternativas; la unica que d por resultado 6 es la {D). Asi los valores particulares FACTORIZA CI ON Y M.C.D. 2.4-21) = 82 = 6 . Uno de tos gactores de: x°-x*-8x-16, Por 10 tanto a respuaesta es A) x4 C1x2x»4 B)x-2x4 D) x-x-4 (D) E) -x4 Otro Método de I!egar a la soluciôn Solucion Sintética: Calculo del V.N. de la expres ion para: 1) De acuerdo a como se anunci a la pre gunta se deduce gue la divisiôn es exacta o Sea o existe residuo entonces d. 2) Si se toma una de !as letras cOMO le tra ordenatriz, la ctra serå una cons tante. Tomemos ia letra "a" como le tra ordenatriz. Entonces el grado del cociente respeC to a ésta letra "a" Será la diferen cia entre 1os grados del dividendo divisor 2. v.N. 2 -2-8x2-16 28 Si: 28 1o descomponemos en el producto de 2 6 mas factores, éstos factores podrian ser: (2, 4. 7, 14 sierpre dodle signo. Reemplazando en las alternativas {A 24 = 12 (no puede ser) (B) 2 4 4 8 (descartado) (C 2+4 4 12 (descartado) D) 2 - 2 4 2 (según lo analizado.'. El cociente respecto a "a" es de grado (3/2). es factor de 28). .'. La respuestâ es 3) En toda division aigebraica exacta el término independiente del dividende (D) Cuce de Zos diguientes trinomios es 6aeton dee polinomio? a2ab+b-2a-2b-35 2. (2.x) es igual al producto entre los térninos independientes de: divisor A a»b5 -x) y el término independientede cOciente. 8) a»b D) atb 35 S C) arb-55 0 sea. (T.i. del cociente )x(-x » E) Ninguna UNT- 69) 2. 22 Solucion Sintética calculo del V.N. de la expresiôn: 3 de sus factores. calculo del V.N. de la expresiôn; para x 2 y 3. v.N. 2 +2(2)(3)+3-2(2)-2(3)-35 -20 Factores que puede tener: -20:2, 4, 5, 10. (doble signo) Reemplazando en las al ternativas (A) 2+ 3 + 5 10 (cumple la condicióon) V.N. de la expresiôn: 2+4(3°= 340 Reempl azando los valores particulares en las alternati vas, la unica que coincide - es (C), por lo tanto es la respuesta. La Respuesta es R 23+7 12 descartado (C) 2 3 5 0 (descartado) (D) 2 3+ 35 40 (descartado) (C) Encontran et M.C.0. de las siguien tes expresiones: 5. La respuesta es (A) 3. Uno de los factones de : 2 9, e A) 2x C 2xlx+2) 81 x D)x-2 (UNT 67) A) Soluciôn Sintética C)x1 E)- 2x 3 Determinando el V.N. de cada expresión - para: x 3, as 2x8x 186 4x-2x 42: 2x(x+2)=90 (UNT 14 Solucion Sintética : Determinando el M.C.D. de: 186 42 y 90 (Metodo aritmético), es 6. Reempl azando x = 3 en las alternativas la que cumple La Respuesta es Calculo del V.N., para: x 4, de ex- presion N. 4 4 2(4)9 256 32 +9-297 Factores que puede tener: 297: 3, 9, 27, (8) 11. Reempl azando: x 4 en las al ternativas: (A) 13 (descartado) (B) 11 (si cumple) (C) 5 (descartado) (D) 19 (descartado) (E) 5 (descartado) FRACCIONES 1. La expresión equivale a : '.La respuesta es (B) 4. Descomponea el binomio :r44 en - l producto de dos binomios neales8. A 8) Im2 A) No es posihle 8) x 2y llx2-2y C) 3m 2 m 2 D) xe2y)x°-a'y»2ry-2y) E) Ninguna antenior. tm1 (UNT 74) (UNI 65} Solucion Sintética NOtese que en este ejercicio se pide el equivalente a toda la expresion y no uno Soluciôn Sintêtica: Calculo del V.N. de la expresion para m 1, asi V.N. de ls expresion: 1 +- 3 3 23 Reemplazando: m= 1, en las alternati vas. Cumple la (E). (A). La Respuesta es (A) 32 As1 2m 1 3 4. Simpeuficando ta expresiðn 1- , nesultaa: La Respuesta es (E) (1ax-la x 2. Simpligican : 3x-14 x-5 , 10x 3 A A) 14x5 10x3 c 3 D 1 a D)-2 Ox 3 (UNT 70) E) Ninguna. Solucion Sintética : (UNT 65) Solucion Sintetica Calculo del V.N. de la expresion para x = 1, asf Calculo del valor numérico de la expre - sion; para : a3 El valor numérico de la expresión es igual a X 2 V.N. de la expresiôn 14-5 3+10+3 1-3 -1 16 1+(3)(2)1- (3 2) Reempi azando los valores particulares en las àlternativas, cumple la alternativa (A) Reempl azando x 1, en las a! ternatieas. cumple la (C). Ast . = -1 3. Reduciendo a su minima expresibn Por 1o tanto La Respuestaes (A) a-6ab neaulta ab 5. Eectuan, la siguiente simplificación: ab 8 ab 26 ab 2xy C a - E) 26-ab ab I ndican si el valor de "7" es : (UNI- 13) A) 2 B) 3 D) 0 Solucion Sintética Calculo del V.N. de la expresi bn, para: 1, Reempl azando en la expresiôn: 1- 2.1)(2)-2, . .+2 - E) -1 (UNT 71) 2 Sol uci on Sintética Calculo del V.N. de la expresi on, para X = 1 y = 3 (19(2) (1)(2)-14 2 Reempl azando éstos mi smos valores parti- culares en las al ternati vas cumple la - 24 2 B(1(3) 4112(1)(3)-3 b (UNT 14) V.N. de 2 8111 203) 84)-33 Solucion Sintética Calculo del V.N. de la expresiôn; para a4 b i Se obtiene 2(1)+3 2 24 19 1./401, 31/ /a?. 44 4(4) .2 2.. 7 19 Analizando las alternativass La Respuesta es Reemplazando éstos valores particulares en las al ternativas, cumple la alternati- va (C): (A) . .T.2. 6. Simpeifican la expresión (C (xg*1} 2. iCudál de las iguientes expreiones e 2quivalente a : A) x-T B) T C T E) -T Solucion Sintética Calculo del V.N. de la expresión; para ab B) a.b. a3.6T D) 6. 3ab A a.6. ab? C ab El 6.ab x 2 y 3 tUNT 68) (2(2) (3)2)i-2-3-1 12.1 6 21- (2431) i Solucion Sintética: Calculo del V.N. de la expresibn; para: a b 4 V.N. de la exprestan 6 (211) . 211.21 21 (1)142. 341.4-2./1+14 16 x .8 ix i Reempl azando éstos valores particulares en las al ternativas, la única que cumple es la al ternativa (A), entonces es la respuestta. As (A) /-T = 2 + i Reempl azando éstos atores particul ares en las al ternativas, eupke la al teraati va (E), por lo tato es ka respuesta. E) 3. Et binoméo: 2a -b, equivate a A) arb4 /a6 82arb a C) aa-bre as 4asb E) aarab-2 /ab RA DI CACION I. Simpeificando ta expresión : fENT 70) .L./ L..ab. Sotucion SintéticaCalculo del V.N. de la expres i bn 4 4a . a d 4 para: b 9 asi: V.N. : 2/a-/6 = 2./4 obtiene 8) a. 6 Al b. a c).a - 1 DI 36 Reempl azando éstos valores particul ares en las alternativas. cumple la alternati va (A), por lo tanto es la respuesta. - J 4a + b - 4./ill = ./25 - 24 = /í = 1 4 . Silr9'liJi.Clllt r E•-,====;---r==== ·=- Jx.•2+'1. .r;:;r - / u'l.-2 .r;;r AJ 2 CJ .!. 3 BJ .!. . 4 O) I 2 fA) E) 4 . · ... (UNl - .7!) Solucibn SintHica C!Jculo del V.-N. d~ 11 E11_, pari' : ~x ~.c3. . . . ..~ ' ! .. . ; .::'.'" .. セセ@ ,: E = .------ 1 .. _·;:' -~~,•· ~-' 'sf: ---:__ !': .. :" /3.2..,2 JT-- ·.h.2-2 ./,J+l f :1.·: ._) ~r: . ' . ' .~, , ' .. .,, . . - . Ana 11 zando. 11 ás a lterna-r'i=~as;- :· ·,¡,,:e-.~,\ La Respuesta ser~ . . _,.,. ;/iof ; · - : :~ - >=-· - S A cudl de lM úgtúútt~t exp,,.ellióne6 u -,igual e.i b-l~om,i.o ::/ · / · . , '. /· P . rq - 2q ; nr· ... .,·: . . ;<: ~: ~~2~4pq~ •.. ··• •.. ,-··.;,: ~: ti:¡:f ffq . . ·- " ~' E) /f,2q--4Pq./Pq .· ·1uN"l-c- ·6's] . - ' Solutibn Sfnt~tic~ CAiculo del V.N : efe fa exp;es}gn.'-- ~~ra P = 4 ; q = 1 . V.N. de: P/q-2q./i> = 4/í -2(1.)/4 = O Reemplazando éstos valóres parti-'cuiares · en las alternativas, cumple a1 alternati va (A); por lo tanto es la respuesta. - (/\) 6.· lCu.ó.t e6 et 11.e~to que 1te6ulta de ex- .tAae'!. la 11.a.i.z cuadl1.ada del. polinomio 9x4,6x3-23x2-3x,13 A) 5 B) 6x,13 25 CJ 1x. - 3 · f) Sx. - 3 O) 4x. + 11 SoluclOn Sintética: C~lculo del V.N. de la exprestOn. Para X= 2. V.N. de la exprestOn: 2x24+6x23-2Jxz2- -Jx2+13 = 107 al extraer la ratz cua drada de 107, el residuo es 7. Reemplazando en las altérnativas: x = 2, la -CJnica alternativa que cumple es la - (E), por lo tanto es la respuesta. ASI : Sx - 3 = 5(2) - ·3 = 7 SERIE.5 Y PROGRE.5 IONES GENERALIZA D\S · (E) 1 •. S.i "n" t6 un núme1to en-teJto y po~-i. - セ@ : µ.vo, .,et. valo.11. de la. 6uma. : - セ@ - -_-_ . 3· セ@ 3~· • • . • • • • • + 3 • • • • • 3 · , t6 : n ci6Jt46 A) ro"-9n-10 - B) 10"* 1+9n-10 21 21 · n+l n, 1 C} 10 ·_ -9n-10 · V) 1 O · -9n1-1 O 21 21 E} . 1.0n·9n, I O -- 21 (UNI - 80) セ@ Soluci~n Sintética l"e_niendQ presente que 11 n11 indica, adem~s del número de. cifras 3 que tendr~ cada sumando,· el número de sumandos de la -serie. Siempre que se tenga ~stas rel a- ciónes a la vez la solución es directa. Ast: C~lculo de la suma de la serie cuando: n =-= 2. O sea: 3 + 33 = 36 Reemplazando en las alternativas: n = 2. 1 a que cumple y viene a ser 1 a respuest3 es (C) : 1on+t - 9n - 10 972 ------ = - = 36 27 27 (C) f. ,. La 4wna de. "n" tl.1tmino6 de. la p1Lo91t.e. 6.i6n tVLi.(mlti.ca : - ta" - 1 3 6at - S 4a - - ; --- a 4 a u .AJ n(a'•a-tJct1 8) n(,l-r-)a·J C) n1,(4'-a)ti-J V) an(a2•a•1) .... ' E) 411• (cl- na:"" 1 n2. (UNl - 11) SoJuciC>n Sintética C!lculo del V.N. de 1a·suma de la progr! slbn aritmética. Cuando: a• 2; n z 3 26 asumir que tengan un mismo valor y . si damo's un valor común que cumpla Ja condicibn de-1 problema ese valor es: a=1;b=1. Reemplazando éstos valores en las afirma ciónes. verificamos si son ciertas o falsas. Asl : I) 。 R K「 R K M。M T KM「 R MN@ 2 (FALSA) JI) !..(b+ lb +l )2 s 1 (VERDADERA) b a+.fa'+1 3 ·111) (ª+1) '"2 = .! (VERMDERA) b+1 • b Asl V N 2( _2-,- 2- •_1 .. 4c2<.->- · 3 6(2,J;'.s .. : .. z-------T -~+ . - ~-·, 1-·v_> .! = fEI. . , _- b / bt 1 (VERDADERA) 2 2 · , セ@ 39 ·-. 2 L - セ@ Reenipl azando .éstos ·valores· particul are·s. en las. alternativas, la úntca· que cuinplé~- Y por lo tanto es la respuesta serA : セ@ . {~)~' · . . t 3 . ·;., ·• ., . . Entonces la -alternativa ,La· R.esp~sta es · ·:_ ,,.- セ セセ@ .- :.· .. (O) ,~. ~,C~l u ta 6Wft4 de. lo6 Hn" plÚ.mtJt06 .:· _ -- mimeJt06, i¿!,p(VlU? ... ·_; ALtn(n-1 J . - ·B) ,i'J,.1 3. Si. : a . • . a a ,; . ¡t --~ ·e') -n2-t - O) tCrI4t . dt·~~ t ·44 6,¿·· -. · · > i~ .=,· · :- ' -· · __ EL, n(n~H - (UNl - 6'} -; Sol·ucibn SintHica : gu.ie.ntu- a~Vtmac.lonu 40n vc11.~ádu44·1 Como' e( -~e~ulta'do· de la suma esU en _ fu"nc:tbri -·. del -n(iinero de términos, se > _ . .' _:· ·. p_µedé as•ig,:iár valore~ particulares. Ast: t 2 j 4 -2 · · . J J a •b •· a +b- • } · . - ll) ~. (b,~JJ•1,i.-1 b j' Fa+l rrlJ · rª'1J1 • セ@ b•1 . b IV) ¡ • / ::: A) J ,¡ 11 C} I. lJ IJ 111 El Todt:4 B) l y ll l O) ff. 1'!1, IV (UNl - &'O} SoluciOn Sintética ()! la condiciOn: Teniendo pre!.ei'l'ti: que ei enuncia110 ,del problema no (lice que "r.1 11 y "t," sean ·,al cre5 di fer~ntes entonces se puede ,Cua.ndo :- n = 1, o sea cuando se considera -'e.l primer número impar .,que se sabe que ~,. vale 1. -la fbr.mula que aé "1" para n=l, séa la sol-ucibn.: Reemplazando:. n = 1, en cada. alterna.ti va la rintca que da por resultado 11 111 es la (O). Por lo tanto _viene a ser la respuesta: La Respuesta es (O) - S. Si. ~a 4Wn:t de. loó "n" p!L,imz.1t06 . .({Jtm.Uto6 d2. una pito9-tu.lón ll/LU.ml-ti- ca vale: n(3n•1J, la Jtaz6n de la p,'l.09Jte.4.ió,: e.,& Al 6 Bi CJ 2 V) 4 E) ! {UN! - ,5) Soíucián Sint~ticíl : Nuevamente e! resultado de la sumi!, está en funi:'ión del nú:r.e-ro de Wrminos. l . se puede aslgna'r valores particulares. Asf : . Cuando: n • í, el valor <'el primer t~nnl no: ( n (3(' )t 1) .-.- • - Cuando: n • 2. el valor de la sUffla de los t primeros : (2)(3(2.hl) • 14 o sea: , · · 4: •· x ; ·4 •. ·10 La razon es •&• • . • . e \. / . 4+X• u 6 X•. t0 La Respuesta es· (A) .A P_ L l .C A. :C I O N É S . V ·A セ@ lA S · · 27 - . ' f. l.f .z • - • cl1.lcut4'l , u I •· h•g•zJJ·Ít•y-zlJ.,;1.t·~•il' • . • Í-~~·•v•iJ3· A) ! is, ! ' 4 CJ' ! i?J U ' ' Ei Nut91uui • . Soluclbn Sintética - t11gtend~·v1lores convenientes para 1, z, de suerte .~ue su p~od~cto sea _·. セ@ 1 ,. : I セ@ 1 1 1 · . · セ@ •. as : • • -- • y • -- , z • セ@,.,, . :_4'8 . ', . 2 4 6 .. . ·Ree!l1>1atando fstos ·yaf ores en .,,. .• par, . , • 0 • ~- c·atcular su valor n~rtco, as! : · 4 • (f(rt•f) l·t,t-rOdZx~ .-~ .J(_;f l~~e-t_óJt. -, ~,·-;· . . El -· v·a.!or: nu~r-"ic:o de· "d". luego de ~fec- . - · ,~, ,;,. , .• > · ' , - toar es 1 ,. 0~5J セセ@ . _i/i-. · : ,.',:::·tntonc~s11a alter'nnha ·,resJjuesta ser! • A·) t1 , . . JJ . U - ", .h _(A)• . . . . · .. C) · · Tenér p·resente que el sistema de valores · Et !iltguM. :OI . 49' · , éleglda par-a x~ 'i, i 'puede· ser ·cualquie- ra de tal fonna que su producto sea: Soluc!On Sintética ·: - . El n(¡.-,ero de hct.o~s en el racJicfndO y . el tr-'1tce del radical dependen"· del v,,tor ri1•~ Sé le -atrl t,uya 1 "nN~: Asl . : 0 SI: h:s3, el valor ~mérlco de_ -"iJ• セ@ ser!: V.H. de d.• ⦅ H Tク QPクXRKP ᄋ Nウ ᄋ INjR@ J6561 @ 81 " Donde analizando las- alternathas ll - Q_•Je ,:umple y es respuesta es la (B). . . fK>t!se ou-. si se asuml, pu.e: n • 4 6 n e s. 6, 7, ••••• , etc. la resi;,ueso, slelT'pre serl 81, l~go de efectuar las opertclones indicadas.Y la razOn es por e:~ la ~xpreslbn es Independiente de I.J varlabl~ o tiene un valor constante • . En este ~Jerclcto la pregunta estl efec- tuada en runclbn de •n• pero las 1lterna tiYas ~en r.6meros directos y no estlñ en funcibn do •n• tsto quiere decir que par.i cu4lquler valor que se le 1trlbuy1 • •n• el resultado debe SP.r el •i SIIO que en fste caso es 81. ,., 1/48. . -Ást: ( 1) .. · !) O ( 1. 2~ -'). etc. pero e 1 . 6 8 . 96 . · valor de~,,-, luego de efeét1Jar tas ope- racJones siempre ser!: l · 2 {A) J.· i{ .coeie~e qut.~t~u!~a dt la dlvi - t{6ít di. , . · . . ti. ' •' i11 turl • h·JI tnttt 4rtJ, .tt11""4 u" Pl1Mti1t.o clf -tlUÜ!o4 -igu.at. a . J 111 . · A l tt.\JIÜfa! CJ f• .t~06 fJ lti.J!guM. Solución Sintética SJ JII -tf~OJ T43niendo presente, de acuerdo · a las alternati- vas~ q~e el riúmero de términos ~sta en función de m se da un valor conveniente a "m"de tal forma que la división no sea muy operativa, asi para : m = 1. La división será· : ' 2 2 (x+~) -(x-y) 4xy = - = 4:cy 4xy ( L'n sOl o ténn1 no tena·r~ 1 d dí v t si 6n 1 J Entonces reemplazdn<lo m = 1,. en las al ternativas, la Crn1ca que verificd es la (B) que viene a ser la alternativa res - puestd. (B) "· Ltu?go de. セ@ aC.Co-ú z ~:: la Up,\tú6n, .Üt dica-\ ~l 6ac.{01t qui no a~e t 2 2 t( 4 4 4) . (;e 'IJ •z J - .t ~IJ z A) x•,¡•z 8) ;e-y, l C) v-z-i ~J_·x1•yZ..•zt . El U.A. Soluc!On Sintética·: En , los · Cdsos de fª·~tor.izaC:fon para localizar factore·s de 'u~ expres1on algebraica es conveniente evr'tar los val ores 0-_Y 1. As l. : X · '" ·2 - · ;- par4: y = 3 : \'.N. セ@ 1ª=¡ -(22+i-+42J2 - ' z = 4 expres10n , セ@ セ@ 4 4 4 . -2(2+3+4)= ·135 ·--~ -- Determt nando los divisores de 13-5. · Divi~o~e~ qe ,·Js:· ! .. (3.5,..-9,~27_.J~ie;pre - セ@ ' ... 28 z • T- ce: 4l obüe.~ poi!. Jte.6uUado: AJ O C) !. s EJ IJ..i.11gu11a. Solución Sintética 81 7 DI i 2 Asignando valores particulares a: a:, ts. -, • para calculár, como consecuencia, los valores de x, y, z, que hc1n de reemplazarse en •dM para hallar su valor numérico; ast a: = 1 para: s = 2 entonces T = 3 · X : ca - 8 = -J y =13-1= -1 z =1-a:= 2 -Kdem!s: V.N. de d: (-,J(-t)(2)( 1+t+4) = -1+(-1)+32 _ 12 2 - =-- 30 5 . Ana•l ¡ Zdndo las alternativas 1 a respuesta · ·ser&· 1.4 tC) .' . El grupo de valores asignados : a:, B. 1. pudo · hdber sido otro con .lo cual los · vdlores de x. y, z. hubieran variado pera al ser reemplazados en •i- y efec- tu:dr I a · di vt sibn et resultado siempre serc1 : 2/5. se considera el doble;.stgnp_. - Reemplaz.dndo el slstemd ,de va-lores ,i?n - " las d'ltern'atlvas, ía aHe'r-nativa·-(o} es セ@ -~ fa que no es ,di vi s.or de -135, c1sl : . 2 2 2 · , - . -- - X @ y + Z = 29 : · En los ejercicios de factorizacióñ, pdra no tener vuias alternativas que cump)dn y como consecuen_cia la repeti- cibn ·del proce~o pdra otr_o va.lar púticu lar, se a de dar valores ün tanto alej-a:- dos. de o y 1 pero que a su vez no sean tan operativos dl calcular el valor_ numérico óe toda la e."<p resion. (0) 5. En la 6,'tacc..i.óri alge b-tt;,i.c.a , z z z ;!!:.!l..:...t.(.( ~íf'°Z) 5 S S .( *l./ 'l R.u~4zo.mo".. : i • ce - a; IJ • 8 - l. 29 , ..•...............................••...••.•.•.•.•................................... APLICACION DEL "ETODO • • • • • • • • • セ@ ..•......•................•.•....•..........•....•.............................. , .... PROBLEMS· PRCPUESTCE セ@ S<l..UCI ~RIO · La Intención !do ,' los problemas de mate,náticas que • co"LJnuací6n ,le 1~ prop.one, para solucionar mediante el m6todo es cJa familia -rizarlos y qoe la. variedad de los mismos los ayude a situarse· y ·ptant~ar' la 0 solución ·exacta para- Ctda ~obl&n1a. セ@ ._ Finalmento tlonttn •• soluclonario t;QiltCISO . a,, tes . 'problemas. p,opc.,~ros, sloulendo una de las div~rsas formas para llegaf • la m{sma soluc.ión~- . No se pretende rásolvor cualquier problema · de matemátic~ tipo 1.8 M. mediante· al método, pero sí, acondicionarlos coó" una serie- de· t&cnicas · y· rec;urs~ tfkac~ que pueden emplea, tavorablt~enta en-) os Exáman~ de Admisión. セ@ ob-ti..ene Al Cl C) tt - b El b/a. Z. E6eULLail stn_z11• 1.so" " s". •· s"• 1(. s-r . A) so AL GE 8 RA- S ECC 1 00 l - PR OSl Et'AS I H) a• b DI Íb ,.,,0 . s "0 8) 100 4. C) ZSó 01 150 El M. A . . • • (a•b•~lla-b,c}t~,b-c) QMセ 「セ」IK@ +(cz.• 4 '1. -b2) t A\ ta.t'cl CJ 441 ,/· E} tilb .'l. EL valo-t de la U~i 6_¿6,. : -".•Q 1-11 tab • 1.t,,l -·-· z ,,z • paAO. b-1 1). .a: J( - btl • a • b 1 • u : 4b •tcab A)_. _ .. BI a•b ab•, 't.ab s. CJ ta-b O} Sa a•b E·J t R2duw b ¡r;; • x. JF;;i" y_fi Sabünda qu.t : 3 fT b 。ᄋ@ セ@ . -----, J1_ .,¡;;r._ AJ C) ! b EJ L _ _a-·b · BI - 1 - ab - b O) - a . ! . - 4 . . ~ -6. Eva.l.Luvt • • , ,¡ ·•/· f ( S-i.a.rtd.o.: ah ·• ¡l + .b% . . t t •aby • ll - b Al 4 8) 1 Cl l OJ l/2 . ,El lltlt!Jwut An-tu..io-\ _ iJ. Hallaii. e.t· valOll rwr,l/t..icc al . 3 - • • x - 3x., a, p~a: .. 3 I rr 1 . . 3 -1 rr- 1 x セ@ ャ。K 。ᄋMQ@ + ャ。M 。ᄋMQ@ Al a B) z~ CJ _ セ@ 01 4a E) Sa 1. E6e'C{uaA . : ' 3 , 1 . h - _tx '."' ' · @ ,s:l 1 1 h -, ' AJ · I 4x.+x .,, B) 1 4~-~ -8 1 C) ü-l., O) 4~•a él 4:t-& 9 . oe.e~~útM a valM de "a", 6ab-<.e,u::!o que. e.l. p-0U11omlo 30 "'' b" 1 i:..t @ X t u db,1.i..6-ible. e. lt-t,t e : , x - 11 t ,q % 8) 11 @ , CI II OJ " - 1 EJ I - ,r 1 o. I セ@ e.t. valOJt <h •a"• 4a.b.i.endo que t t p<>(.htomio : · 3 t x •Jm.t , .3ax· •& u divÍ,.4-ÜJte pOlt : . .t t • fatx • a AJ 11 • 1 B) 11 • · b C.J 11 _f bh V} J ¡¡;r ' E} N-i.r.ctz114 a n..te.uo-t . ,_ . · J_ t. o~·-e.l val())l ca "e" e.11 la u.p,'lu,¿_6n: r~ñ;81~!.~: Cx+ J}.. ·6ab.ie.ndo que. le:. セ@ ú ct.i.vi4.i.ble e.n-tte. : 3 ;_-· . (X• 1J • ' - .. . . · 1 -1 -:.._l · l.~ l f (-11-·JJ- 8) -11fn-N - ·. e} ' Ln- 1} o 1 ( 11• tJ \"-:El _, _.· - . セ@ - ·- . :---1 ..;.t . -\ K J~~-ur.o de loó- ,ac.tOJtU de : . . . . . :( S. -t ·/ :_ J . <' ... :. A( .l .--: x +:. ·1 . B) .l + x + 1 : : :: Cl . ·'i/ , x-2 ,_ 1 V) セ@ 4 • i • 1 · セ@ , E-) x t ~--x セ@ セ@ 1 1 J·. S~rial-e une de lot:i 6c::tc.-Co-tu de : .. 3 · 3 [ :dt 3 -2y3¡ ] ' _ + [y(zx3-)3l] · 3 . 3 . 3 · x. , +IJ ' X. . *IJ / ,q _x.z " , ·x.y -.+ ,/ Bl i- u1 + ~f C }/ l: 2 -• °"i/ + 1 V) .t • lJ E} :(2 - ¡/ + 1 14. Sir.al'1-\ _ wt~ de l~ 6czet_OJtU de a ( a- Zál-b (b-2c.) - ( c+d) k-d) A) atb•c-d· BJ a-bic+d C) a,btc~ V) a-b-c-d セ@ E) Ni 11 gu na an,.tu¿_o-t . ! 5. T,tanÁ 60-'t.m-t a P"-00½ªº, el poUnomi.o P'tü, ,¿réU .. cando a cortdnu.a.u6n u.no d2 6U-6 é lle;f,f,),tU. . . 811 lt 4 ·3 ·,, P(1d • t •IX.) +(.t) t2 Al ~Z + 1 C) :rtn - ~" + l E} }J. A. Bl x.2n_ 4 ·01 ¡zn • xn • I r 6. Si lial2 uno cú l06 6 ac.tOJte~ de la h- p\U-l6,r : 11. [J•t•.tt• •.. •x"-J•~"tP-t" A} l•utt• ... -•~n-!+.t~J . 8) ( 1 •x •.t 2 • ••• +:cP- '·•-~P)" C) U~:c)" - xP O) ' " @ ;cP¡ " . - X • EJ (1 • ·.tf~ - :e" l t . Sú,,pU6-iéa,,. : . . _ . ___ E•• :::~: ;~~:rn~;;¼{•:~:\~_;'-, --. AJ xf- -2x~a B)x:-: - .r~ -_'' < - CJ :::::=:: -•;~;::{{;] ,; ,_ - El x2 - 3 · Z r l: - セ@ 31 f} N. A. 20. S-únpUl,ÜA/1 f 4 . 4 4 (a+b•d-lb•c.l :-la•cl -(a•él • ..... . abcla + b + d 4 4 4 ••••• + a + b + c. A) o Bl 1 C) f VI 6 E, 1% Zl. S.ú,,pUJi.ca1t ttl +• ,,,. ! )! .. fn+ZI! -ni , [n • ll ! A) n + Z BJ n • l Cl- ll DJ 11 - J E} n - t --- º . . ; 'l bz 'l . b b .2 Z-~-- Sé_ : a , , e • a • ac. • c. -- -·i.derrtlU : -,~ - .. r rr- zlf· 3 'f ro r,;:- 10 n • · ~/ @ @ セセ@ ••• + ilU Ca.lcida..i : • . -- -- .K . ,, b" n ( 1 1 l l -. • ª · · .c. • Tn ' Tn @ Tn - a b c. ·, ' A) - 1 : C-} l E} IJ. A. ·23. 'Cs.ü11~li-6,ic.a-'l : ' B) 2 V} 4 m.n.p. {'a+b+cl (ab+ac•bcl , .a. b-:c. (11,n,p} (mn•mp+np) t.aEu.e.~o que_: am • bn • c.p Al 1 C) mrtp E ) wip /a 1:x. • 8) 'l DI abe. r <' : · · 1 1 1 O z.,. ~= - @ - @ - • X · tJ z HallaA tl va.l.OJt rwnt,\.i.co d~ ]MANjNKセ M セ@ Z X y A} -2 CI . 2 El O Z5. Oada la. Jtelauón B} -3 Di 3 a3 + b3 , c3 • 3 HallM : t ( cab- J) ( a •~-•e) - I t t 2 (a-b) @ (b-cl • le-a·) Ai) - I. 8) セ@ j % C) t E) r 3 VI 3 t6. HaUM -e·l 'valOJt. ,lkimrl,'1.Úo de. • a3_ t., tt • -~J - 3abc. . 3 - 3 - 3 - X • tJ ᄋ @ Z .; 3X.!J Z Sab.i..t~o qut : x -. _b • c. - a IJ•a•c.-b z•a•b-c. At O CJ t EJ 1 / 4 t1. -fóec...tL.u,t : 81 1 01 1/2 1ra-1. J6"-r)(~•r, .Jod1_ a-r_b-1 & 1 fu r lb- r -la-1 b- r a-1 AJ l 8) O C) 'l 01 Jab a2 • b'Z El--- ab U. ,_:l U .tita u la "11.lz c.u.o.dlt ada áe. l poU n()lft.(O : ¡ 'Z 'Z . -- P [a, b) • t~- -Ja -'Zab-b Se .Ce.ndltd : Al fof- fi 81 fi. ~J/ C) l•;b -F! º' [, /f E) M.i.n9W1a dt la.4 ante~¡OJte4. %9. Re.duw : Ja,Sb•3 hab•bf - J a• .Jzab,b2 •b' A) ./a;"6 CI t la E)~ B) .f[(j 01 b 1 :32 JO. -Et valo.\ dt la. 4~ : . .f .J -. .1 (ti• 1) .(.t~ t.(. •••• •~ , f4 At i.-1 C) tü E) 1-,i 8) ¡_ O) ú1 JI. Calcula.t tl m6dulo o va.lo.\ ab4oluto da. la UpllU-ión : i•i'~i 3 •.• ~~(4n•tl ..clJUAi.n~ ., .. , · .Jt -~ . -<. t.(. t.(. · · -· . , • t . n .{".lt171U106 11 . S@ セ@ '. 0) -- t 1 ,El - . - t ;. BJ JJ ,t - E.) Gャ@ " . A) ./ií. Jn-t· !i) rn:1",[T é) .r,;::T. M @ rñ VI OQQ @ 2 1:) lñ- t 33. RuotVVI. : (a•b•e•ac) lti ; b+c,r} -.~ cu•ó+c+uf ·---- (atb•c•x)(a,b-c~x),cd A) X• b , B) x • a C) X• d O) x • c. E) x • ab 34. Re..6olvt~ la-e.c.u.ae<.ón: cix+q+b)3-(i,b) 3~a!J((~-a•b)3-(x•bJ3• ( xエ」ゥ 「I@ (x_-a•b) ( .t• b) a 3l --· . A) x • 9i~•'- " -9a'" a1,2.,. c.J .IC -~- 9a 9ab1. - l 8) X • - · :-z- 9a l . 0) x • セセ@ b .H. Si. K•lo9 a.logbe+lo9 a.lob b,to~bc.log b e e a a Ha.U.a1t : V • logba 2 + l.ogi 2 + foga.c 2 · .(} K C} Z( E) .3K 8) K - 1 V) 2K - 1 33 J 6 • si.mpV. 6 ü.a1t : ( • lóg a • log ,-a: + log 3 a + • •• • •• a "ª - ¡¡ ••• + log a· - "ra Al n(n·d) C) n{n+l)/Z E} ,l-1 8) n(n-1) D) n(r.-J .)/2 34 ••••••••••••••••,••••••••••••••••••••t••••••••••••••~•••: • • • • • • • SERIES Y PROGRES IONES Cl:NERA U ZA DAS • • .. . セ@ : SECC ION I 1 - PROBLE~S : ~,•~•r••••••~~••••t•••••~••••••••••••~•••••••'~&•••e••~•• J.,0 ~llllt4'.°I 1 1 1 1 E • t • i1 • ? • ... • z" 6e ob-tiel\JZ. Al B) t-n , 1 C) t" f VI 2" - 2" z" El ! tt-1 t. Calc.i.d.a.1t la 6WJl(l S-f ~Zd•h4,.h6•hl• .. ,,i t(Anltt~. A} 11{t1•1l Bl ョHョ LI@ {tt,Z) 6 6 C) {n•2)(,i•r) 2 =l n(nfJl(tntll 3 O) n(ZH,J) 6 3. Calcul.Ull. vl valCl-t ót tc.1 e,:p'lt~.(drt : K 11 dt3~S,Sx1• ... ,t1 ,t,[,11mirto~ ! •n • r2 .z 'l.z tK . ,, r. , J • •• • + n 4"/utt.(_rt~ Al l C) 3 El s 61 f O) 4 4. HaU.att. e.a ~UM <k. l~ "m" ~Jtuó - .c{Jt.,,.,,¿ttOó di : ( 2rn--;), ti fm- 3) • 3 I Zl!I- 5) • . ..• ur,it.uartáQ el va.lo-\ Qnco~a tomo: ((!J'.lt J •bm l •cml. dait e.l .vato-,. de -•a•b•c.;. A) a•b•c • 1 6) c::•~•b 1 • 1 C) ' 1 a•c•b • 0 O) a•ttb • o E) ' (lfC•b • J S. f4™bcz le\ ~-t04 pa.\U en lo. éo-i --: z 4 & 6· 1() lt Erico~\aJt pe,,_ セ@ e. rr,úodo de -<.r.cfuc.ción - ma,{crná..til!4 l.:z ~wr-4 セ@ l.o~ .tvr.mú101 que con,~'U1Qn la q~l~.i.m~ 6ila: A) n2 81 n{n1-1) セ@ ,,2,, C) n(n'•H VJ " t , 2 S 5 ..• 5 a q ••• a a (doce) lt UÓ/l'¼ A) 355 .•• s 2 2 ... 2 1.--.--, --.,,-~ M n ül 3 セ@ l i . .. °6 T -T . 7 ! ¡ n n C) 34-:J . .,:;¡TT ... T'Z n n V) !ii ... ?;°6 t1 E) 3) ) ... "5 ! n 1. HaU<t\ t.a óuma z,,o•3tto)'4¡3o¡•···•n(10(n-l)I t 2 A) セ@ - J 6) !!_ + 1 t t CI n(nd) t E) 11(1t-l J _ I t DI n(ritf), 1 z - •· Se. .tiene ·. P(>:I • (x•n 3 + (>:+2) 3., (>:+3) 3, •••••••• -. • ••••• (·2n-1) ..ClJUr.inoó. Hdllue: P{-n) AJ n 3 C) (2it-J) J EJ n 9 . s. , 1 • .(.: - ., - f .2 3 ·· 8) (2nJ 3 V) O J •... •-1-•K 4 n•l' 35 · 2 n - • ·log 2+tog 3 a • ... +log (n+]Jª a a a Ai n + K · 8) ,1 - K C) 2:1 - K V) 2n + k El 2n G E O~M E T R I ).~ SECCI0N III - PROBLEl"AS 1 • En ,rn:: . .uc.ta _,~b. co~-i.di,-:.1:t\ t o6:" ~>Úo~- -=--0, A, B, c. de _ma_ne,'la quf · . AC . Bt: -•--:- ,:(Z 6 Cal~a.f!. it : .. •:..lo.11. d~ VC. A) a.Vil 1- __ b.7Ji,; ,· e¡ (l.t"iB -- b._ot. · «b CI a.t1°Á • b.~~ . a ~-b a.VA + .b.u"_·._, . El ------"- tt , :, Vi . ll.U~ - 'b.'DA a , b 2. s~ , .tlene i.t~ -tuangulÓ ,ie~a»gt:.-:.J ' ASC: (b ·• tJO l. 6~ .t11aia E? _b.(..~~c.t-u.t del. dr:gu.t(/· B; !O ett ~¡ .. Cr..!cu.i:z.,t il 6nguto 60,..ma.d:1 pc-'1. la. - .üi.te~.J..,:ceiór. de z~.t. ó.i~er..-t,~ .. ú~ft dr.f. úr.9:.i.lo !WC t: :Jet éngÚ!.:: A. ;· Ai 45C CJ :f f l 36°3fJ' Bl 22°30.' - V) J0°30' 3. fr. ·un ruangi.1!.:, 1tectá119u!.o ·.BAC: (,i;, • 90°). Sé .t.'-az.a lc1 rredú:ma: AJ.l, 4-l O u el. eútcmice.n-tllo dil VLiángu.!o wr y f tl ei,'tetmc2 n,t/1.o del. VUángt.:lo iMC • __ ,_ C::tl~u!!Vi . e'i. ár.9ulo VAF. A} isº Bt 45° · _ _e) 9.0ºi V) 135° E) '.f,0.0 4. En ta kicwit:t m, al-tY"t~ 1ID b.ú., セ@ c.-Ot.i. i flJ/{rrF Be 90c cO . La. 1tetau.ón: - v-<.ene dltáa .po:r. Rt i)~ 1 A) __ , ___ _ -Bi V} TC . • 1'Z AB(AB + BCi E) Ninguna Ante.lt..io1t. 5. Vado w, .t1t.icin9ulo 1te.c..tdn9uto ABC 1teeto en A, .tomando como dicirrrU11.o AC 6e duC11.,tbe una wcun6ucnc.ia que cOJt.ta en M a la /upo-te. •w a IJ a la p1tolon9ac.ión de. med.-iana 1te.lat.i.va a dicha h<.po.Ce.nt.t4aen N. llaUa1t' llN, 6-<.: 'X! • 4 mu. IJ 'RQ • 2 m.t6. A) ./3 mu. 8) 3 ./ 3 mt6. 2 C) f ./ 3 mt6. V) 2 mt6. E) 4 mt6. 6. En un W4nguto ABC: AC • Bmt.6. Se .tJtaza la ne di.da 'RQ セ@ 6 mt6 • En · e.l Wángulo AMB 6e. .tJlaza t.a b-i.6ecV1..iz ..in-te.Jt-io1t 1lF, en el ..{11..lángulo BMC, · &e -C/1.aza la b.l6ee-C11.ü -<.tt-Ce.1t.io.1t 1111. Cat.culall fR?. A) 5.2 mt6. 8) 5 mt.6. C) 3 mtó. . V) 4.8 m.t6. E) Ninguna cU. t.cv.i an-teJt-io1te.6. 7. Se d6. un .tlüángu.lo ABC, 6e. .t~~za t.a b.lófe-t11.ü ..in.t~:-ioJt 7J, polt . - F,- 6e -Olaza . IT pa)t.ate.la a AB IJ pOlt t · 6e . .tita za tD pcvr.at.et.a a B€. Si AE • Sffl.t6 • . Calcula1t 'BD?. . · · . Al 2.5 mt·6. B) 10 mt6. C) 15 º,n,.(6. . V) 5. m.(6. E) 7.5 m.t6. 8. Vado un .tluángulo BAC; 6e .tltazcui la.6 b.l6e.C,y'Ücu -in.te11.-io1t IJ ix.tuú,li de.l ángulo B, polt e.l. vlit-ü..ce A 6e · .tAaza XE pVtpend..<.cuia/1. a t.a bi6ecvu..z -lnte.Jt...io1t, AD . pupend..<.cula/1. _ a la b-úe.c..OU:z eueJt...iOJt ( E en "Be, V· ·e.h ta p!lolongac.ión de BC) • Calculall E 6ab.C:.e.ndo que AB • 15 m.t6. A) 30 m.U. B) 20 m.c6. C) 25 mu. VI 15 m.c~. E) 35 mt.6. 9. En un -Oúánguto ABC, el ángulo ex.te- .lÚOJt de. B u -igual a 3 vece.a et. ángulo -intell.-iOJt C, · y la rwz.dia.Vti..z de.l la.do Be c.OJt.ta a Ar en V. Si 1JC•40 CIM. Calcu.la1t e.t valo1t del lado ABL A) 60 CJM. 8) 20 ciM. C) 30 ~. D) 25 cm6 セ@ E) 40 cnv... 36 10. En un .tlt.idngu.lo ABC, 4e -ü..ene . b + e a•-- 2 la dv.,.tancia del -ince.n.tlto al veJtUct A u dJz. B mt.6. Cat.culall el 1t.actio d4 ta wcun6ue ncúi .i,v., CILU4 '! .AJ 2 ,n,.(4. B) 4 mU. C J 6 m.t6. VJ 8 mC6. f) 3 mt6. 11. La di.6.taneia di.l ()ttocentllo de un Vúángulo ABC, al vh-ü..ce A u .igual a 24 mt6. el lado 'EC • . 10 m.u • Calcul.a11. e.l 11.adi.o del eiltcuto eútcun6CA.Uo • AJ 6.S mt6. C) 10 mt.6. ~J 1 ml4. B) J 6 mt6. V) 13 mt6 • · 12. .En un .or;.¿angu.locualqu-i.ua ABC, "Q" ·e4 et punto donde 4e cOJt.Can la.6 rrtl d-i.ana.6 AfJ, 1W IJ -rn. S-i et_ dll.fz del ·Wángu.lo ABC u de. 36 m • ~atlCVJ,2et áltea de.l Wángulo PQN. AJ 9 m · . B) 3 セ@ C) J !· m2 VJ 4 m2 E} _N. A. 13 º $e -ü..erie un Vúángu.lo ABC en et que 4e. .otaza lci . rwz.cliana AIJ. ·Po.1t et vt1t.µce. セ@ 6e._ .tltaza una pe,1.pencli.cuta11. a -die.ha mutiana que · ta cOJt..ta en 2l · puM.o P, l.o mi.6mo pOlt C 4e .tltaza . 4rl4 pe.11.pe ndicui.a11. a ta ml6ma oue t.a .l~u6ec..ta e.n N. Se p1tegunta ·~ IJ 'PB -tion : A-) V-<:éuentu B) NJ • 2. 1'B C) "PB セ@ 2.'CN V) Iguale.ti _E) Ne, .e.x.-ú.te ninguna 1telac.i6n. 14, Se. .ti.ene un. Vúangulo .i.666c.ete6 セ@ . ABC ob.tu6·o en B. En ta p!lolongac.ión de ta ba.4~ ·J:.C tie. toma un punto ·u que di.6-ta 3 mt4 • diz.t lado Be IJ 1 S mt6. de.(. lado AB. Catculall ta al.tu/la W del Wángulo: ABC . A) 11 mt6. B) 9 mtti. · · CJ 12mt.6. V) 10mt6. EJ 1! ~. 37 TRIGONOMETRIA SECCI ON IV - PROBLEMS J. Ho.tl4Jt el tqu.ivatcn.t~ d~ 6 ( t . co~: O! - rJ f • 2 A) at,en4ce • C06 4ce) 8) l(un4ce •· _C06 4c.cl C) 11,eic.c · • c066ce·) . O) 1.uli4c.c . . 4 €) !.co~ cr. !. Si : K " .can"a:. f ct.9"Cl'.. + n(.-Mn~.cc~ cº•l"cc] n - -- Catcula.t : K2 • K.;. 2 A) -! .. ~) ~1 C) O _O) 1 ': ' .. -. f) 2 ' ... ,.._ l. SimpU&iCM e.e Q!. .· -.. ·. , ·-·-,w- /' -~ K ·• ..tca,e -[3.C06 - - f .• 6~,t - セ@ ·"' · 3 '. : . J : -·:.:a l -~-- A) ,en ce C) .f ·'I" e.e f} ·coa 1cé ., C) r .ttn1a: E) 1 s . Si lf)li,icaJt •. .E • eta_(: • xi " . •:1f .(a• h cr -ct9 tx f) -cae tx llJ, c._óo; ce V) 2~ccu· a!_ • 62C b · n, . u,, E • un 2,c, • 4en( 2x • -) +6en(h•-, 3 3 A) O C) f EJ C06 fx 7. En ia ¡dirt.tidad BI' 1 or 6tn rx c.tg セ@ ., ~C6C re - ' · • A.C6C ce _ etg re - cae e.e セ@ 1 Hal.,:vi.·, d. yellO'l セ@ A. A) J - C06 C1! 8) 1 • CD& CC ·ci r · • tan _ce O) J • ,en re El" N. A_. a. En ta a.ig~e.nte. ~xptu.i6n. poli. qut 6u!! ei6n .t/r..i9onomtl-t/Lica 6e. de.be. ~e.e.mplataJL el pa1tánwlt,\o "m•. pa,ta que ta Upllt • ,-i611 ,u una .id.entidad. _ 1 •co~CI! ,e.e-· Cl!- J _ 4,. • 4 1-C06CI! huc c.c A) 6t~f e.e C) .tati2 ce E) C6c2. ce •,e.ea:. 8) C06 ! CI! V)' e,tg"- e: · 9. Haltalt ei vatp.'I. de "!11", palla q(,e ta >..J.. _ ~Ate. üp,tu.ión ,e.~ una '.ü:Je.nüdad. - .J6ec x - , tan ,JC + /6tC X + tan X • [(uc2 1 • A) % 3.,ec Jt . J~(! X @ J JrAc X - .J 1 rt 1 - m J 1 3 S) etg X 2 • C) .tan4x VJ l.c-&c3x E) uc1x 10. La e.zpttai6n: E • 1 • 1 • 2.c~ 9 4tft 8 • C06 O - 1 t6 tquivaltnte a Al ' • C06 O 8) t 6fn O 6fn e C06 8 e, 1 • aen o r,) - C06 O ' • C06 8 un u E) - un 8 C06 8 11. S.in,,U6.C:ca,t ( .tan e • f) U . .tan o • r J-fuc2e ·. UC e - A) S.uno. coae 8) 3-._·4eía e \ éo6 e C) r-5.4ene.co40 O) .. h3.4u1. 8 ·.C068' f) un o. coa o 1 f • SúnpU.6.C:CGll : 6en«:(aen <e • coa <e - -~ ·aec CI! @ • .,tan« (C06Cl! - JJ-'f , ·AJ .aen <e • coÁ . « · B) un <e -~ ·coti · <e C) C06 Cl! - 6UÍ Cl! V) · 6fn Cl! - C06 é:c·: N @ -Í ·. f) tien Cl! • C06 ←」 LN LN@ 1 1 3. i,A ·qul u ,igua_l1 un· o . aen , . ------· ----- .. cotio • un 1 ~oao - 6tn 4 ,; 4en·o -~ºª ·, , :4en e· nn_ f - c.o. o " A) ,en e C) C06 8 E) un e. coa l 14. Súnpli6.ica-\ : B) 6tn , - D) C06 tJ · - · ·' E Jf.aen x C06 x • -,;-===- - -~__;_- 'l QMVエョ@ X 2(1•un x) A) aen X 8) C06 X C) .tan X V) O E) 1 J S. Hallall tl equivalente de -1 38 A) -1.. .tan fCl!. ·aen32Cl! " 8) -1.. .tan 'lCl!.aen"'lCt! " C) ...1. 4ec 2Cl! • .tan 'lCI! 16 ()) _J 62C fCl!.C6C 2CI! " E) 1 6fC la! 16 C6C fCl! 16. _La expll~6i6n: .-. - . ' . - ·,3 ( )3 ,~ t セ@ (~enx~c_ou セ@ 4enx-cou A) 8) , -C) >- .:·01 E) ;= E• A) ,.. :~e, É) 3.6en x • .r.aen x - 3.tien x - t'.6en セ@ • 2 .C6C_ ~- - -titn 68 . _4en 248 ~en 128_ C06 128 .tan 68 6tn 2x C06 X.&9 X 2 .C06 JC 2.etg X.C4C JC 2 .ctg X .C6C JC 3 .coa x .~n x .aen 98.c06 98 un 38 •. c06 38· - 1 8) !. uc 68 f V) !_ C6C 68 f u! · s.4,;pU6-icci..'l ~- - C04 (X - ~) E • .. . . • J f - c.t9 X . 1 e~ (i - ..:) A) -J · f C) 1 E) -2 ' 9. SimpU.6.i.call f BJ -1 . VJ O 4'113(!_ @ cエAI VヲcSHcエA@ -1) f E • ________ .....;_ __ C06(~ - fl)•uc( 31_ •«J· r .. 3 - AJ ,e.n'«.co,'« 8) .can2«.Hn1« CJ .tan1 O!. coa'« l1J c.t92 cc.coa t « EJ et/0!.CACf O! 39 to. f.xpllUM en 6unc.i6n de: aen x IJ cou,· ta UpllU.i6il: f • 6f.C X - ~an X - ate x • .Can x - AJ 6f.n X - 1 8) 1 - aen x C06 l C06 X cJ @ coa X 11) 1 @ 4e.n X 6f.ft X CO~, X E) 1 - _C~6 _X 6f.ft X . o セ@ AJ .tan« 2 - • .tan re C) .tan -O! E) RaN。ョ@ O! 1 • .can2«. •·.· 22. S-i.: .tan e - etge • 11!- . _ HallaA. '-t. eqcuv~e,nte. _d! _ i _ -_ E • ,eno• co~ e _ ,u?.::~ --~e e ,ene- co, _o ,e.~o -• C6C o · AJ 2m ·s:1 4m, -1 O) __ ,- CJ 2111 4m f) N.A. 23. Si: -ae.n O! • co6 O! • P CalculaA. : E • ,HnO! • .tan« • co6 O! • et9 O! A) P ,:i - 1 CJ P(l - P') E) ( pf - 1) 2 P( ,.p2) B) p2 - 1 O) 3 - P 2 U. Si: uc2cc @ CACf O! • 4 Halla1t e.l valOll de. : E • 6e.c4« .; CAC.f O! A) a(a-2) C) a(a-1) EJ 2a(a-1) 8) a(a+2) O) a{a+1) "5 e,: .f 4 , • ~: 6f. n X @ C06 X • m H~la1t: E • ae.116x • c_06 6x AJ ½ (3m-1) C) 3m'/. __ 2 "f) 3m - 5 8) 3m-1 OJ m - 1 26. S.i : 2 · .tan O! • 1 • I( .ta_n ai. @ etg O! HaU._iVr. : c.t,.2« • 1 .tan O! • etg O! A) ) BJ I( 21( @ 1 _CJ 1 11) ! 21( @ 1( EJ 21( @ i,. Si: a• un O!• coa ce •.••..•••• (1) u. b -~ .tan O! • etg « .......... ( 2 ) I.Qµl .ie.laci6n e.x.ú.te. entlle. a iJ b't A) a(b2 - JJ • 2 BJ b(a2 • J) • 2 . t . CJ b{a - JJ • 2 OJ a{b2 • aJ • 2 E J Ninguna ante."-iOll. Si: , _ene • 4 C06 f/ HallaA.: .tan IJ ae.n f/ • b C06 O A) b -~ 8) セ@4 z 1 C)b. ¡-¡;r:,-/#}-:-. O) W; 4 f 1 E) Ninguna. an.tt..\.(.Oll. %9. Si: 6e n A • Jm IJ C06 A • .fñ C06 8 6en 8 Ha.U a11. el va.lo,i de E• un2B - 6en2B (m+l)f AJ---- ln·IJ (nt-nJ CJ 11-mJ 2 (n-1) (m+n) 8) V) E) N.i.nguna an.tt,t.iO.\. (m-1Jf lm+n) lm+ I J (1-mJ f (1-nJ lm-n) 30. Si: a.un ce + b.co6 ce • p a.co6 ce + b.un ce • q En.toncu cotg ce, 4U4 : A) 1a+b) q B) (a.+b)p a-6 ci=o CJ 1a+b)p.q a.-b D) q.a · p.b p.a - q.b E) N.inguna ante.Jtio-t. 31. Si: ce+ B • 90°, c.de.má.~ : 1 6ec ce • - ....••. .. .. .. . . ...... . ( 11 X 6ec 8 • !... ••. .•. •.••. ... •. . •. . . • ( z 1 IJ EUmút41l e.e IJ B de. l.a. Up'leúone6 ( l 1 ·IJ (2 J. A)x+y•l C) x2 + l • E) X. y• 1 32. Si u cumple. BJ X - y • 2 2 DJ X - y • 1 6en(a+b+c) w co6 a. co6 b. co~ セ@ llal.l.aJt et equ..ivatente de : E • 1-.tan a - .tan b - .tan e AJ -.tar. セ@ . .tan b • .tan e 6) .tan a• .tan b + .Can e C) tan(a + b + e) V) 2 E) 4 3.3. Simpli.6·,¿~ ,, ? E • 4eC セ@ t~e- 2 -- + t a • .tan re+b a • .Catt 8 •b 40 1,ttb.iendo que : 4 • .Can 8 + b.ctg ce • O AJ a+ b B) セ@ ab a • b C) !...:.,! OJ ab ab a - b EJ !_!__! a - b 34. Si: m.tan(! • /J 4 Ha.lla1t.: un I • n . .tan(!. - 1) 4 3S. AJ rn-rm Jñ+./m e J rm • rn イMNヲ@ E) .fm + 1 .r,¡ - , Si: 6tC 8 1 - C06 O Ha.U~ BJ rm- rn ./ñ-.Jm VJ ..T,ñ • .r;¡ .fñ-./rñ m + n ·-- "' - n E • 6 2C8 @ 1 6tn 2a Al !! m E) m セ@ n m+n -11 81 m - n V) m • n m - ti .36. Si: ~en m - n ·- m + ti Calcula1t e.l va.lo1t. de E ., 10.óettO + 6 C.06 o J6.6ene + 9.coó o Al :n B) - 3n C) 2 ,n @ I? V) 3 m + 2ti E) 3 m - r. 5 m :" n 2 m 5 n m t n 5· rii - 11 37. Si : tan 2x = ctg a Hallar : ctg x? A) -ctg-( ir + oel 4 l c)to.n{f-~). B) c.t~ ! - i ) DJ t<1n セ@ a E) -tan - 2 38. Si : a.sec x · + b.csc x = O 2 · Hallar el valor de : V= (a2+lr) (sen2x-(a2 - b2)cos2x-2b2) l . ~4+b4 B) 2 á +b2 C) a2 + b2 39. Factorizar : E = tan(a+b+c) - tanúi~b)·: __ t.;in ·c/ .,,. I, . ' セ@ . . ·-•:" ·' . ;~·- A) tan (a+b+c).ta iz(a-b) :, ·_ B) tan (a+b+c).tan(a+b).-tan'_ ¿} CJ ctg (a+b+c).dg(.a+_~)'.dg_: cf . , . O) ctg (a+b+c)..ctg(4~b):ctg·- ~ ·.. _-E) sen (a+b+c).sen(a+b).-seti ·e 40. Si : A + B + C = 1( Factorizar : 3 3 Je= ·¡ K = cos2 A+cos2 B -sen2' 3 3 3 AJ 4.cos4 A. cos-;¡ B . sen-;¡(A + B) .B) 3 · 3 3 4.cos2 A. cos2 B . sen 4 (A+ B) C' 3 3 3 1 4.sen4 A. sen¡ B . sen-:¡(A + B) D) senA.cosB . sen(A+B) E) 3 3 3 4.cos4 A. cos-:¡ B . cos 4 (A+ B) 41. ¿A qué es igual? 41 E= cos2 3t -sen2 7: A) cos SA . cos 2A 8) sen SA . sen 2A C) sen 5A . cos 2A O) cos SA ._ sen 2A E) -sen 2A . cos 5A 42. Si: J,r A+B-C= 2 Hallar el equivalente de : E = cos 2A + cos 2B + cos 2C - 1 A) 4 . sen A . sen B . sen· C B) -4 . sen A . cos B . cos C C) 4 . sen A . cos B . cos C D) -4 . sen A . sen b . sen C E) -4 . sen A . sen A . sen C _''43. En un triángulo ABC. ¿A qué es igual? ·'· . -- ,i: +b· a+c b+c ( E= ·-;-+ - --b-+ - 0 - - 2 cosA + cosB + cose) .- a.2 +b2 +c2 , A) b a . . J . C) a5 +b +e3 Jabe E) 'a3 --bJ +el · - abe B) aJ +b3 +el abe D) ª3 +bl +el 2abc 44. 'En un triángulo ABC (recto en 8) se traza Ía bisectriz AD relativa al lado 8C. Si : AD = m. Hallar tan : , en función de los lados del triángulo. A) (a+b)(a+e) ac B) (b+c)(m+c) a.b· C) ( b + e )( in+ e) D) (m+c)(b+c) ab E) (a+b)(m+c) 45. Si : A + 2B + 3C = rr Factorizar : E• den A, Vセセ@ 28, e.er. 3C ,\) 2.Aen A.6en B.den e 81 4. C.Oó A.cod B.co~ e C) 2. C.06 A • ca~ B. e.o~ 3C - 2 2 º' A 3C 4 .Aen - • 6271 B.e.en - 2 z 'f) 4 .e.o& A B.coó JC - C04 2 2 46. Catc.ula.'t B'Q en e.t wculp -Otigonorri- -Ot..ic.o a.d j urJ,to e 11 6Linc.i_611 de セセ@ ". A H . B 8' A) JI-e.o~ .. セ@ e J .¡t,¡ 1-'óe,, ~·I E,J F aUfllt d;U~. La. t~p,'l.t~·-:lón ,5¡ J ftóerrr.cc•': .,: '· ·.,_ ~·: . . . セ セ@ 1~ ·- - 0.1 Vr_[l.t, e..en_ ·cr.L --- E . 3 a,ic ·-.se,, 3~. u equ.ivale~e ~a: · .. , ,:zl1 ~, MC. 41?11 3.d r 8) '"C. C.Od 9x [ 1 . t f h J · , \ . CI a.-tc 4en 9.t I l . z J.h, ) Dl aJtc. e~ 1 .3.t - l 6x 3) él a1tc. den( 3x - 16x3) 42 ;. ·-:· - . 43 - . . . , '•, .:. · s o Lúe 1-0NA R fo · · ' -: . . . JECCI ON :--i- . Re6pue6ta (A) . . 2. Para:. n ;;: . t • se ti ene : :_ - . . K = ·250.;- . ,·· . Re6pue~~a : (cj:_-:: 3, Pará;::-:. a ~--- 1 , b ·= 2: e"-~=\ .·: .. c. • -- . rJ = 3¿:,.-lde~ti f icancio:-~ ~_/¿2 · · - '.• ...... 4. Par~1:;·:·a -~ -l, b ¿= 2·- f' _-: - .entohees .. :- -. . · .. 5 · ~-· .': . •.·,- :.,. _X =· - ·. -· - ,• . . . 2 ·' ·- -~ reem_p_l_a,iando e ipent if i,cancto.- ; >. · :·~·i,. s:· Para:·, a•.:;; 1, b = ~6 (cub; ~~p;~ftÚ:tos), . -:. ·-v_alot e~ _elegidos conyenient~mente. . /}' --~--~· .:· . ' . - - Re4pue6.ta (Vi ·· · -- _; ·. 6~ Para: _·a':=·_2, b =.1,: ,se t (?ndrá que_ 1 セ@ . . ·•:- . . • , - , ; 5 ~3. - · ·- X = - • y =. - . . '2 2 Reemplazando e identi f icando ·: :- ' . ie6puÚÚ raf :- ·: · · 1.· Para:-.·a = ·i, se tendr~:-x '.; ·2 reempl~ zando ·e identificando : · · · ·' · · ·Retpuu.tá ::( C-) · 8. Para: x = 1, efeétú~nd~ ~: id~~tifica_!! do . Rupuu.ta . {A) · 9. SP. sabe que (x-1)2 =.¡2 - 2x + t 1,0. en,tor1ces: -.a-= 1, b = -2, } ) セ@ , RU~6ta (CI . . Se Sdbe:·qoe· : -._ · (x~f.)~_ =:, x3 .+ 3x2 + 3x + . ;' 2 · 2 . · · _(x+1) = セ@ + 2x + 1 Identffiéando: m-= 1: a= 1, b = 1 · Rupuet,.ta f 0} i1. Se sa~ que-: . )3 3 3· 2 3 1 ( X+ 1 _ = X · :t- · X + X . + t:: ñtonces: n = 1. -A= 1, B =_3, C = -3, n = 3 Rupue6ta ( B} ;, 12 •. Par~: x = 2, sal.e 33, divisores: セ@ (3 y 11)~ ree~plazando e. identifi- ·- : cando. Re~puu.ta (AJ 1j. Par,; x = l, y= 1 . __ , .Reémplazando é identific:1nao . Reópuu..ta (A) 14 . Para: a= 1, b = 2. e= 3, d = 4. Reempl'éizando e identificando. Ru~e-6.ta f A) 15. Para: n = t, x: .2. Reemplazando e identificando. Re6,:x.tU.ta (e} 16. Para: n セ@ 2, P = t · Se tiene : · (1 +X+ x2}1 - x2 = 1 + k Reemplazando e identificllndo. Rupuu.ta {.l.) . 17. Para: X a i. A= 15, 8 セ@ -9, C = 21~ . cuyo M.C.O. es J. · Reemplazando e identificdndo. RUp.tU.ta (E) No.ta: No 6e .coma en cue n.ta 1..i.9no. 18. Para: x = 1., Reemplazando e 'identificando. Re6puU.t4 (CJ 19. Para: a= 1. Reemplazando e identific•ando. Rupuuta (8) 20. Para: a= 1, b = -r, e= 2. ·Reemplazando e i~ntificcindo .• Reentpl.az4ildo (f) 21. Para: n = 1. Reemplazando e identificando. Reemplu~ndo (4) 44 27. Para: a= 4 y b = 9 Reemplazando y efectuando. Rupuu.ta (BJ 28. Para: a= b = 1 Se tiene : ./P = ff Reemplazando e identificando. Rupuu.ta (AJ 29. Para: a= 4: b = 1 Reemplazando e identificando. Re,puuta (BJ 30. Sí: -K = 'O;entonces deben consid,rar-se hasta ei término que tenga: 1 , o , sea_: i + i · = i - 1 Ru~~,.ca- (AJ 0 , 3L sk· :n = · L en e·J numerador deben · ; "':_conslderarse, los . seis primeros · - セ@ _ · términos y en el denominador el ·, , , ·· .pf(~ró. . ._ 22. Aslliliendo : . :·,_: :~., _. Ef!?ctufñdo. reemplazando e identifi-a = b = e, cumple la ·condicHm. · -.i" ,_. __ , · - · ~· _ c.a·ndo' .. ·,. Reen,p I az ando e i den Uf i candó. , . . . " º' . :t, _: _ "· . '' .. :-' : . R\?4~6~ (O) ''f!,. _\". < - , ..... '3J- - -e • _-. -. " - • -. I. ,- ·. ·" ;~2. :Par(l{ r( = 1-. ·se ·\rabaja -' con 23. Asumiendo.:! ~- : ~-: 1 · ';;, ,_ · , ~'._ ;:_ :.<. ~- ¡2 セ@ 2};¡2:!' Rupuuta (Ct . verificando la 'condiciOn, reemplaza_!!. do e identi-f'icando. Ru,,uuta (A·) 24. Eligie~do: x = y -= 2: z' = -1 verificando la coodiciOn. Reemplaundo e idenú fica·ndo,. Re,puuta (A) ' -3. 25. Para: a = O, b -= o, e = ./'f Reemplazando e identi,ficando. · Rupuu.Ca (A) 26. Para: a= O, b = O, e= 1. Entonces : X a 1, y: 1, 2; -1. Reemplazando e iderlt.i ficando. RUp,.tU-tll {f) , e.fectu_a'ndo y-descomponiendo e! radi -cal -doble ~- i dentificando. - . R24JXIU.ta ( 8 l 33. la ecuacibn ltte.ral se transforma en una ecuactbn· nu!Érica,. ·asignando _valores, ast a = O · -·-b = 1 ' solucionando e identificando. Rupuuta (VJ 34. Pdra: a= 1 y be O Solucionando e identificando. RUJX1e4;t4 IA) 35. Para: a aba e• tO •;:;¡;•,•- ~--,--- ' . - ... entonces : K = (1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 3 se pide: V • 2 + 2 @ 2 = 6 reemplazando e identificando . .. · Rupuu.ca tcJ 36. Para: ·n = 1, se tiene: K = 1 og 11 a = 1 Reemplazando e identificando. RupuU.C4 ( C J - -:. SECCJON ·J J' 1. Para: n = 1, se cons,i-derá. _ E = ! (el pr¡mer iér.m;:n~) セ@ : 2 45 n n n · 2 .(2 +2).(2 +4) •.••..•...•.•••••..• n términos Para: n = 1, se considPra el primer término cuyo· válor es 21 = 2. Reemplazando e identificando.- Rupuut4 (CJ 6. Para: n = 1, se transforma a cjfras ; m1nimas el nC,mero: '25i(doce) • Reemplazando e identificando. Re\\puU.ta (CJ 7-. Para: n. = 2·, se considera el primer _ térñii'no: ~-( 10) = 2 . Réemplazando e identificando. Re6puU.C4 (CJ reemplazando e i deriÜfi C~!'dÓ.- ·· -_ -" - 1 ·: 8. • _ Jlu~e,.ci 'rpk ·. ·. ~- ;:_, ---~ '_ -· Para:· n = 1_, -se considera. er - (2n-1) términos H 2( 1)-1 = 1 • 2. Para: n = 1, se c0.osf~ f d .- -·, ·:· ,_ 5 e 1 X 2 • 2(1er·. -té~~.ino) ' ~--- _-- - -_ Reempl aundo e i den,H fii'c~~do. -- . -_ , e Rupuu.Ca (f r'.:- 3. Para: n = 1, se ~-cons·i dera: ros términos asl : K = 1 x· 3 + f = . 4 -2 .. 1 . identificando. Rupuu.ta .IOJ-: los pri'me-· . 4. Para: n = 1. se considera ·et, primer - - término de la serie, asJ- - (Zm-1) (2.( 1) - 1 ) = ademas.: · a(t)3+b(1)2 +e(!)= o sea a+ b •e= Rupuu.ta (AJ · 5. Los términos que forman la enésima f_!. la serln: · término • • · P(x) = (x+n,3 se pide: P(-1) . , . 3 - P(~1) -i {-1 + 1) = O Re6puU.t4 (O) 9~ Para: n = 1. entonces: K = セ@ Se pi_de "P" considerando : · n = 1 (valor asumido) P = log 2ª = log a1/2 = ! a ª 2 Reemplazando e identificando. Rupuu.ta ( B) SECCION I II 1. Planteando la relaciOn conveniente: ~=B'C セ@ !:4 a b 2 relaciOn cualquiera que. cumpla la - igualdad o 2 A 4 e 4 e セ@ 1~lr~ cu~l¼uie~J. 5e pi Je. 'OC = 10 . · Re~mplJzando los ~Jtores plunteados e fóentificados. Rupuu.ta (!J) ~- セ@ h~bla de un tric1ngulo
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