Copia de Geometría 2 parte 2

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73« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
TEMA 13
PROPORCIONALIDAD
RAZÓN DE DOS SEGMENTOS
La razón de dos segmentos, es el cociente de las lon-
gitudes de dichos segmentos, expresadas en la mis-
ma unidad de medida, dicha razón no tiene unidades.
* Ejemplo:
A
B C
D
3m 4m
 * La razón entre los segmentos AB y CD
 se expresa:  AB 3m AB 3=CD 4m CD 4
SEGMENTOS PROPORCIONALES
Dos segmentos son proporcionales a otros dos, si la
razón de los primeros es igual a la razón de los segun-
dos.
* Ejemplo:
 Si: AB =4m y CD = 5m
4m 5m
A B C D
 
AB 4
CD 5 .............................. (I)
 Si: EF = 8m y GH = 10 m
8m 10m
E F G H

  
EF EF 4
GH 10 GH 5 .................. (II)
 Luego: (I) = (II)
 
AB EF=
CD GH
* Entonces, los segmentos AB y CD son proporciona-
les a los segmentos EF y GH.
TEOREMA DE THALES DE MILETO
Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas
transversales a ellas, segmentos cuyas longitudes son
proporcionales.
Si: 1 2 3L //L // L
  
L1
L2
L3
A
B
C
P
Q
R
a
b
c
d
a c
b d
* Luego se obtiene:

 
a c
a b c d
COROLARIO DEL TEOREMA DE THALES
Toda recta paralela, a uno de los lados de un triángu-
lo, divide a los otros dos lados en segmentos cuyas
longitudes son proporcionales.
Si: L // AC

A
B
C
P Q
L
a
b
m
n
a m
b n
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En todo triángulo una bisectríz interior, divide al lado
al cual es relativo en segmentos cuyas longitudes son
proporcionales a las longitudes de los lados adyacen-
tes a dicha bisectriz.
Si: BD : Bisectríz interior
A
B
C
D
 
c a
m n
c m
a n
74 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triángulo una bisectríz exterior (tal que los
lados adyacentes a dicha bisectriz son de longitudes
diferentes) divide a la prolongación del lado al cual es
relativa en segmentos cuyas longitudes son propor-
cionales a los lados adyacentes a dicha bisectríz.
Si: BE : Bisectriz exterior


A
B
C
E
m
c
a
n
 c ma n
TEOREMA DE CEVA
En todo triángulo, tres cevianas interiores concurren-
tes dividen a cada lado en dos segmentos, cumplién-
dose que el producto de las longitudes de tres de ellos,
sin extremo común es igual al producto de las longitu-
des de los otros tres.
Si: AM, BN, CQ : son cevianas
A
B
C
M
N
Q
m
a n
c
b r
 . . . .a b c m n r
1. Se tienen los segmentos consecutivos y colineales
BC y AB tal que: 
5
2
BC
AB
 y AC = 28 cm.
Hallar la medida de " AB "
a) 10 cm b) 6 c) 5
d) 8 e) 12
2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos
P, Q y R tal que: 3PQ = 7QR y PR = 80 cm.
Hallar: PQ - QR.
a) 24 cm b) 40 c) 48
d) 32 e) 42
3. Calcular "x", si: L1 // L2 // L 3 .
x
9
8
12
L1
L2
L3
 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 4
4. Si: AC//EF , calcular "x".
E F
x 3
A C
B
5 8
 
a) 15 b) 17 c)
4
21
d)
8
15 e)
9
15
5. Si: a b c .Hallar "y"
y2
16
5
20
a
b
c
 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Si: AB//ML , calcular "x".
 
A C
B
x
10 15
18
L
M
75« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
a) 12 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
7. En la figura: AE = 5 u; BD = 2 u y DC = 9 u
Hallar la medida de "EC ", para que: AB//ED .
A
E
C
D
B
 
a) 20,3 u b) 21,8 c) 22
d) 20,1 e) 22,5
8. Hallar la medida de " JH "
Si: FH//IJ y FG = 17 y IG = 15
F
I
G
J
H
90
 
a) 12 b) 20 c) 24
d) 30 e) 18
9. Calcular "PQ", si: PM =10
 
R P
Q
12 30


N
M
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
10.Hallar la medida de "BC "
C A
a
18
10
 
E
F
B
15
a) 22 b) 35 c) 30
d) 20 e) 25
Bloque II
1. Según la figura: AB//ED ; BD = 12 u y DC = 18 u.
Hallar la medida de " AE ", si: EC =30.
 
A
E
C
D
B
a) 15 u b) 20 c) 25
d) 30 e) 40
2. En la figura L1 ; L2 y L3 son paralelas, AB = 3
u y BC = 3 u. Hallar las medidas de "DE " y "DF "
respectivamente.
 
C
x+1
2x-4
L1
L2
L3
A
B
D
E
F
a) 12; 9 b) 15; 16 c) 9; 12
d) 3; 8 e) 6; 12
3. Calcular "x", si: AC//EF .
 
A
E
B
F
C
6 9
x+1 3
a) 3 b) 2 c) 1
d) 0,5 e) 10
4. Si: 
2
7
AE
BE
 ; calcular "x".
 
A
E
B
F
C


21
x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
76 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
5. Si: AB = 6u; BC = 9u y AD = 4u, hallar "DC"
A
E
C
B
D
 

a) 5 u b) 6 c) 8
d) 9 e) 10
6. Si: 2BE = 7AE, calcular "FC".
 
A
E
B
F
C


28
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
7. Hallar la medida de "BF ", si: EF//AB


15
12
10
A
B
E
C
F
x
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
8. Los lados de un triángulo ABC, miden AB = 9, BC=5,
AC = 7. Se traza la bisectríz exterior BE. Calcular
CE
A) 8 B) 8,75 C) 4
D) 4,75 E) 3
9. En el gráfico: 1 2 3L //L // L
  
, ED = 2EF y AB = 5.
Hallar BC.
L1
L2
L3
A
B
C
F
E
D
A) 3 B) 4 C) 12
D) 10 E) 25
10.En la figura BF es bisectriz, AB = 8, BC = 12 y AC
= 16. Hallar AF.
A
B
CF
A) 6 B) 6,2 C) 6,3
D) 6,4 E) 6,5
Bloque III
1. Si: AB//PQ , calcular "x".
30ºA
B
C
x
5n
4n
10 3
P
Q
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
2. En el gráfico. Calcular CQ
A
B
C
Q
45º8
6
77« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
A) 5 B) 30 C) 10
D) 8 E) 15
3. Si: AC//EF , calcular "x".
A
E
B
3k
C
2k30º
6
x
F
a) 5 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
4. En la figura, se conoce: Fh–EG=10, GH+EF=22 y
CD = 12; se pide hallar AB; si: 
   
1 2 3 4L //L //L //L .
L1
L2
L3
L4
A
B
C
D
E
F
G
H
A) 10,5 B) 8 C) 6
D) 4,5 E) 12
5. En el gráfico. Hallar CD
Si: AB = 6, BC = 3, AC = 4


A
B
C D
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
1. Calcular "x", si: L1 // L2 // L 3 .
x
15
18
45
L1
L2
L3
2. Calcular "x", si: L1 // L2 // L 3 .
2x + 1
12
22
6
L1
L2
L3
78 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
3. En la figura: x + y = 40 cm
Calcular "x", si: L1 // L2 // L 3 .
5
20
x
y
L1
L2
L3
4. Calcular "x", si: AC//PQ .
A
B
C
P Q
8 10
x+3 5
5. En la figura adjunta: CD//AB .
Calcular "x".
12
15
C
EA
B
D2x 3x - 6
6. Si: L1 // L2 // L3 , calcular: x + 2.
7
42
21
L1
L2
L3
x
7. Calcular "MA", MN // AC , si: MB=4u, BN=7 u, BC=12
u.
A C
B
NM
8. Si: a // b // c , hallar "y".
y2
16
5
20
a
b
c
9. Si: L1 // L2 // L3 , calcular "x".
3x - 2
14u
2u
4x + 3
L1
L2
L3






10.En la figura: L1 // L2 // L3; BC = 2(AB), DF = 30 u.
Calcular "DE"
B
C
A
E
F
DL1
L2
L3
79« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
2. Hallar "x",
si: L1 // L2 // L 3
L1
L2
L3
x2
12
6
8
1. Si: BD es bisectriz, hallar el valor de "x".
3. Si: 
2
7
AE
BE
 ; hallar "x".
15 13
x
14
A
B
CD
A
E
B
F
C


28
x
80 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 14
SEMEJANZA
Definición
Son dos triángulos que tienen sus ángulos
respectivamente de igual medida y además las
longitudes de sus lados homólogos proporcionales.
A C
B
b



M P
N
n



ac mp
En el gráfico, ABC ~ MNP
Se cumple:
• Las medidas de sus ángulos son respectivamente
iguales.
• Sus lados homólogos son proporcionales.
Es decir: 
a
m
b
n
=
c
p
=
Criterios de semejanza en triángulos
Caso I
Dos triángulos son semejantes si tienen al menos
dos ángulos respectivamente de igual medida.
A C
B
 
E G
 
F
En el gráfico, si :  m BAC m FEG y
 m ACB m EGF
Se cumple: ABC ~ EFG
Caso II
Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
de igual medida y la longitud de los lados que
determinan a dichos ángulos son respectivamente
proporcionales.
A C
B

M L

N
c
b n
m
En el gráfico, si:  m BAC m NML
 y:  
c b
k
m n
Se cumple: ABC ~ MNL
Caso III
Dos triángulos son semejantes si las longitudes de
sus lados son respectivamente proporcionales.A C
B
M L
N
c
b n
l
a m
En el gráfico, si:   
a b c
k
m n l
Se cumple: ABC ~ MNL
Observación:
1. Una recta secante a un triángulo paralela a uno de
sus lados determina un triángulo parcial semejante
al triángulo dado.
A C
B
QP
En el gráfico, si: PQ // AC
Se cumple: PBQ ~ ABC
81« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
Bloque I
1. Calcular "x"

x
9
x 4

a) 4 b) 6 c) 5
d) 7 e) 3
2. Calcular "x"


 
2
x
32
x
 
a) 15 b) 8 c) 6
d) 4 e) 3
3. Hallar "x + y"
 


12
18
15
y
x 6
a) 7 b) 8 c) 10
d) 9 e) 11
4. Calcule: x

8
2 
x 6
a) 4 u b) 5 u c) 1,5 u
d) 2,5 u e) 3 u
5. Si: AC//EF , calcular "x".
14
x
7
2
A C
B
E F 
a) 16 b) 17 c) 18
d) 15 e) 19
7. Hallar la medida de "PQ "; AC//PQ , si: AB =
12; AC = 8; AP = 3
P Q
A C
B
a) 2 b) 4 c) 6
d) 4,5 e) 5,5
8. Calcular "PQ"
P Q
A C
B


4
8
15
a) 5 b) 6 c) 7,5
d) 8 e) 10
9. Calcular "x"
A B21
14
8
x
D C
E


a) 12 b) 16 c) 14
d) 15 e) 10,5
82 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
10.Calcular "x", si: L // AC .
A C
B
6
2
x
4
L
 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Bloque II
1. Hallar la longitud de "BD "
A
E
CB D
12
6
9
a) 2 b) 4 c) 3
d) 1 e) 5
2. Hallar la longitud de la altura de una torre que forma
una sombra de 8 m en el mismo instante que un
poste de 5 m produce una sombra de 2 m.
a) 15 m b) 20 c) 30
d) 18 e) 24
3. En la figura, calcular "AD".
8
5
16
B
A
C
E
D
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
4. Calcular "x", si: AE//BD
 15 D
A E
C
B
6
20
x
a) 24 b) 23 c) 22
d) 20 e) 21
5. En la figura mostrada, calcular "x".
8
x
B
A C
2
4


E
F
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
6. En la figura, calcular "x", si: MB = MA.
M
4
9
B
A
C
D
x
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
7. Calcule: x
5
2
3
x
a) 5,1 u b) 5,2 u c) 5,25 u
d) 4 u e) 3,6 u
8. Calcule: a
5
4
a a
83« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
a) 6 u b) 3 u c) 12 u
d) 4,5 u e) 4,6 u
9. Calcule: h
 
4
h
9
a) 2 u b) 3 u c) 6 u
d) 4 u e) 8 u
10.Calcular "x"
 
x
8
C
7
B
A 7,5 E
D
a) 5 b) 4 c) 3
d) 10 e) 6
Bloque III
1. Calcular "x"
 


6
9 x
a) 5 b) 2 c) 4
d) 6 e) 3
2. Calcular "AB"
C
 
F
A
B
4
12
a) 6 b) 8 c) 7
d) 4,5 e) 5,5
3. Hallar la longitud de "BC ", si: BC//DE .
A D C
B
E
8
12 9
 
a) 10,5 b) 8 c) 9,5
d) 7,5 e) 12,5
4. Calcule la longitud del lado del cuadrado, si: AM=6u
y AN=4u.
 
A N
M
a) 4,2 u b) 3.6 u c) 2,4 u
d) 4,8 u e) 2,6 u
5. En la figura "O" es centro, OE = 9 y OF = 16.
Calcular "OA".
T F
O
EA
a) 8 b) 12,5 c) 12
d) 15 e) 28
84 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
1. En el gráfico PQ=15, QR=9, BC=5. Calcule AB.
B
A C P R
Q
  
2. En la figura BC=6, PQ=3, QR=2. Calcule AB.


A
B C Q R
P


3. En la figura: +=90°, BC=6, PQ=3, QR=4. Calcule
AB.


A
B Q R
P
C
4. En la figura: M N // A C , AC=20, B N N C
3 2
 .
Calcule MN.
A C
B
NM
5. En la figura: AB=12, BD=6, DC=12. Calcule DF.
FA C
D
B
 
6. En la figura: AC=3, AE=9, DE=5. Calcule AB.
B
A C E
D
7. Calcule: x

a
2a
x

6
8. En la figura: BC=24, PQ=6, QR=8. Calcule AB.
  
P R A C
B
Q
9. En la figura: AB=1, DE=4, BC=CE. Calcule BC
B
A
C E
D
10.En la figura: BE=6, DE=EC=4. Calcule AC.
A C
B
ED 

85« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
2. Hallar la longitud
de "PQ "
N
OT
A
3. En la figura: AB=9, AE=4, EC=2. Calcule DE.
1. En la figura: AH=4, BH=6, DE=2. Calcule EC.
A H E C
B
D
B
A CE
D
86 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 15
RELACIONES MÉTRICAS
EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
I. Proyección ortogonal
a. De un punto sobre una recta o un plano:
Es el pie de la perpendicular trazada desde el
punto hacia la recta o plano de proyección.
A
L
A'
B'
B
A': Proyección ortogonal de A sobre la recta de
proyección L.
B': Proyección ortogonal de B sobre el plano de
proyección P.
b. De un segmento sobre una recta: Es el
segmento que se forma al unir los pies de las
perpendiculares trazadas desde los puntos
extremos del segmento hacia la recta de
proyección.
L
A' B'
A
B
C' D'
C
D
E
F
E' G' H
G
'B'A : Proyección ortogonal de AB sobre la recta L.
'D'C : Proyección ortogonal de CD sobre la recta L.
E : Proyección ortogonal de EF sobre la recta L.
H'G : Proyección ortogonal de GH sobre la recta L.
II.Triángulo rectángulo
C
b
B A
n
a
Hm
h
c
Elementos:
a; b : Catetos
c : Hipotenusa
h : Altura relativa a la hipotenusa.
m : Proyección ortogonal del cateto "a" sobre "c".
n : Proyección ortogonal del cateto "b" sobre "c".
Relaciones:
 1 Cada cateto es media proporcional entre la
hipotenusa y su proyección sobre ella.
a2 = m . c
b2 = n . c
 2 La altura es media proporcional entre las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
h2 = m . n
 3 El producto de los catetos es igual al producto de
la hipotenusa por la altura relativa a ella.
a . b = c . h
 4 Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2 + b2 = c2
87« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
Bloque I
1. Calcular "x".
x
9 16
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
2. Calcular "h".
12 27
h
a) 20 b) 18 c) 16
d) 19 e) 13
3. Calcular "x".
x
7
9
a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) 8
4. Calcular "x".
x - 8 x - 1
x
a) 20 b) 10 c) 12
d) 13 e) 15
5. Calcular "x"
x
8
12
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
6. Calcular "h".
25
24
h
a) 4,67 b) 5,18 c) 6,72
d) 3,28 e) 6,12
7. Calcular "x"
x+3
17
15
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
8. Calcular "x", en:
16
x
9
a) 12 b) 15 c) 10
d) 16 e) 14
9. Hallar el perímetro del triángulo "ABC".
4
16
A
B
C
a) )33(3  b) )33(6 
c) )33(8  d) 38 
e) 324 
10.Calcule: x
8 1
x
88 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
a) 2 u b) 3 u c) 4 u
d) 5 u e) 22 u
Bloque II
1. Calcular "x"
7
5
x
29
a) 30 b) 21 c) 25
d) 23 e) 24
2. En la figura se pide la proyección de AB sobre la recta
"L".
10
17
18
A
B
a) 12 b) 10 c) 15
d) 16 e) 17
3. Calcular el radio "x" de la circunferencia si "O" es
centro y "T" es punto de tangencia.
x
O
8 2
TA B
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Calcular "x", si ABCD es un rectángulo.
4,5 8
x
A
B
D
C
a) 9 b) 4 c) 5
d) 10 e) 6
5. Calcular "x".
x
24
20
15
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 6
6. En la figura, AB = 10 y AH  HC = 36. Hallar BF..
A
B
C
H
F
A) 3 B) 2,8 C) 3,6
D) 3,2 E) 4
7. En la figura: AC = 25 y BC = 20. Hallar RC.
HA C
R
B
A) 12 B) 12,8 C) 16
D) 13,2 E) 14,2
8. En un triángulo rectángulo, dos de sus medianas
son perpendiculares. Calcule la razón entre las
longitudes de sus catetos.
89« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
a) 2 2 b) 3 c) 5
d) 2 e) 2 3
9. Calcular "x", si: AC = 8 y AO = 10 y “O” es centro
y "C" y "B" punto de tangencia.
O
x
C
B
A
a) 6 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
10.Calcular "x"
3 x
9
4
a) 2 b) 3 c) 2,4
d) 3,6 e) 5
Bloque III
1. En un triángulo ABC, recto en A; se traza la altu-
ra AH si: AB=8, AC=3. Calcular CH
BH
A)
3
8
B)
9
64
C)
36
49
D)
18
49
E)
9
16
2. En el gráfico rectángulo ABCD de la figura: AD = 20
y BD = 25. Hallar RD.
 
A
B C
D
R
A) 16 B) 8 C) 10
D) 12 E) 9
3. En la figura, T es punto de tangencia y B centro
del arco ETF, cuyo radio r se requiere hallar, sa-
biendo que: AB = 20 y AC = 25
A E
T
C
F
B
A) 8 B) 10 C) 12
D) 15 E) 9
4. Calcular "x", si "P" y "Q" son puntos de tangencia y
"O" es centro de la semicircunferencia.
6
P
x
QO
10
a) 5,1 b) 5,3 c) 6,4
d) 6,8 e) 10,3
90 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año deSecundaria
1. Calcular "x", en:
6
x 10
3x
2. Calcular "x", en:
x 2x
10 5 
3. Calcular "a"
16
a
7
4. Calcular "x"
x
4
6
5. Calcular "h"
9
h
12
6. Calcular “x + y”
x
h
1 8
y 12
7. Calcular "a".
a
4 12
8. Calcular "h"
h
818
5. Calcular "x", si "O" y "O1" son centros de las
circunferencias y "T" es punto de tangencia.
O
O1
T
x
5
9
a) 5 b) 5,6 c) 6
d) 6,3 e) 7
91« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
9. Calcular "x".
x - 2 x - 9
x
10.Calcular "h"
h15
20
A
B
C
2. Calcular "x", en:
x - 1 x
x + 1
1. Calcular "x" en la figura siguiente:
 
x
4
8
N
OT
A
3. En la figura. Calcular x
A
B
CH
x
Q
169
92 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 16
RELACIONES MÉTRICAS
EN LA CIRCUNFERENCIA
Bloque I
1. Calcule: x.
 
x-1 2
4
x+1
a) 1 u b) 2 u c) 3 u
d) 2,5 u e) 3,5 u
2. Calcule: x
 
2
1
x+2
a) 1 u b) 2 u c) 3 u
d) 3,5 u e) 1,5 u
TEOREMA DE LAS CUERDAS
Al trazar en una circunferencia dos cuerdas secantes
se cumple, que los productos de las longitudes de los
segmentos determinados en cada cuerda son iguales.
A
N
B
M
P
b
m
n
a
 
Del gráficosecumple:
a b m n  
TEOREMA DE LOS SECANTES
Al trazar desde un punto exterior a una circunferencia
dos rectas secantes, se cumple que los productos entre
las longitudes de los segmentos secantes y su parte
externa son iguales
 
A
B
C
D
Pm a
n
b
Del gráfico secumple:
m a n b  
TEOREMA DE LA TANGENTE
Trazar desde un punto exterior a una circunferencia
una recta tangente y una recta secante, se cumple
que el cuadrado de la longitud del segmento tangente
es igual al producto de las longitudes del segmento
secante y su parte externa.
m
A
B
PT
n
a
2a m n 
3. Calcule: x
 
a
2ax
4
a) 4+a b) 8+a c) 8+3a
d) 4-a e) 4-2a
4. AM=MB, FM=2u, ME=3u. Calcule: AB.
 
B
F
A
M
E
a) 6 u b) 2 6 u c) 3 u
d) 2 3 u e) 3 2 u
93« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
5. En la figura, calcule x.
A) 5
B) 6
C) 7 
x–2
x+2
8
4
D) 8
E) 9
6. En la figura, calcule x.
A) 1
B) 2
C) 3
4
x
6D) 4
E) 5
7. En la figura. Calcular x.
A
D
B
C
P
x
4
2x
3x
 
A) 7 B) 6 C) 5
D) 3 E) 4
8. Calcular “AB”; si: AP = 3; PC = 2; PD = 6.
A
P
C
BD
 
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
9. Calcular “x”.
5
4
x
 
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 9
10.Si “O” es centro de la circunferencia. Calcular su
radio, además: PC = 5; PA = 4 y CD = 3.
A P
CB
D
a) 2,5 b) 3 c) 3,5
d) 2 e) 5
Bloque II
1. En el gráfico: Calcular x.
A
D
B
C
E
x
4
4
M6
6
 
A) 4 B) 6 C) 5
D) 7 E) 9
2. Calcule: x
x b
2
b
3
1b
 
a) 2 u b) 4 u c) 6 u
d) 5 u e) 1,5 u
3. Si: CD = 12; BH = 2, hallar “AB”.
A B
D
C
H 
94 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
4. Siendo “P“ y “Q” puntos de tangencia; AB = 4; BC
= 5; CD = 3, hallar “x.y”
A
B
DC
P
Q
x
y
 
a) 6 6 b) 12 6 c) 8 6
d) 10 6 e) 6
5. En la figura, calcule x.
a) 1
b) 2
c) 3 
a
a
b
b
6x
d) 4
e) 5
6. En la figura, calcule BD si: AB=3
C
A
D
E
B
a) 7 b) 6 c) 3 2
d) 4 e) 8
7. En la figura, calcule x.
a) 4
b) 5
c) 8
x
4
3 a
a
a
d) 7
e) 6
8. En el gráfico: Calcular x.
A
B
C D
E
F
a
a
3
8
4
x
Q
P
 
a) 3 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8
9. En la figura, AB = 9, BC = 3 y T es punto de
tangencia. Hallar CD.
E
D
C
T A
B


a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 3,5
10.En la figura: Calcular CF. Si: AF=1, FD=4
A B
C D
F
O
95« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
a) 1 b) 3 c) 2
d) 4 e) 6
Bloque III
1. En el gráfico: Calcular x
A
B C
D
E
6
3
2
x
a) 3 b) 4 c) 2
d) 6 e) 5
2. En la figura, O es centro de la circunferencia, MTEP
es un rectángulo. ET=5, PC=8 y AB=BC. Hallar
AC.
A
B
CPM
T E
O
a) 6 2 b) 10 2 c) 8 2
d) 12 2 e) 14 2
3. Calcular CD; en el gráfico.
Si: CM AB BM 5  
A
B C
D
M
a) 1 b) 3 c) 2
d) 7 e) 5
4. Del gráfico: BM es mediana AE=6, EB=4, CF=3.
Calcular BF.
A
B
C
E
M
F
a) 12 b) 15 c) 17
d) 19 e) 21
5. En el gráfico AB=4u, BC=2u y CD=1u. Calcule DE
A
B
C
D E
a) 3,0 u b) 2,5 u c) 2,0 u
d) 1,4 u e) 4,6 u
96 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
1. En el gráfico: Calcular x
x
8
9
E
C
A
D
B
x
2. En el gráfico: Calcular x.
P es punto de tangencia
2x P
9
C
B
x
A
3. En el gráfico R es punto de tangencia. Calcular x.
R
Q
P
4
A a B C a D
x
5
4. En la figura, O es centro de la circunferencia. BF=3
y OF = 9. Hallar EF.
O C
D
A
E B
F
5. En el gráfico: A es punto de tangencia, AF=FM=MB,
FL=1, LG = 8. Calcular AM.
G
B
L
F
A
M
6. En el gráfico: AB=4, BF=3, CD=8, DT=12. Calcular
BE. Si: T es punto de tangencia.
A
B
C D
TE
F
7. En la figura, calcule x.
x
3x
10
8. En la figura, calcule x.
5
x
4
2x
9. Calcule x, si O es centro.
5
20
x
O
10. En la figura, calcule x.
x x
1
3
97« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
2. Calcular “x”.
5 4
3
x 3. En la figura, calcule x.
4
x+1
x–1
6
1. Calcule x, si ABCD es un romboide.
D
B
4
x
5
E
C
A
98 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 17
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
REGIÓN PLANA:
Es una porción del plano limitada por una línea
cerrada, también llamada frontera de la región.
B
A
Q
A : Región triangular.
B : Región cuadrangular.
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA (S)
Es la medida de una región plana, la cual resulta
de comparar dicha región con otra tomada como
unidad. Las unidades de medida como centíme-
tro, metro, kilómetro, decímetro, pie, etc; van ele-
vadas al cuadrado.
B
A
C
D
En el gráfico: S ABCD = 15u2
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
Es una región plana cuyo contorno es un triángu-
lo.
Estudiaremos, ahora las principales fórmulas para el
cálculo de áreas de las regiones triangulares.
FÓRMULA BÁSICA
El área de una región triangular es igual al semiproducto
de la longitud de la base y la altura.
CA
B
H
b
h
En el gráfico:
BH : Altura relativa a AC
Se cumple: S ABC
2
b h

Donde:
b : longitud de la base.
h : altura relativa a la base.
Si: BCA: Obtusángulo; BH es la altura relativa al
lado AC .
CA
B
h
H b
 S ABC
2
b h

Si: ABC: rectángulo; AB y AC son los catetos
b
c
CA
B
 S ABC
2
b c=
Si: ABC es equilátero:
B
A C
60°60°
30° 30°
h
L L
L
2 3
S
4
×= L
 
2 3
S
3
×= h
99« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN
TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE LA LONGI-
TUD DE SUS LADOS.
(FÓRMULA DE HERÓN)
El área de una región triangular es igual a la raíz
cuadrada del producto del semiperímetro de la
región triangular y la diferencia de dicho
semiperímetro con la longitud de cada uno de
los lados.
CA
B
b
c a
En el ABC:
2
a b cp  
p : semiperímetro de la región ABC.
Se cumple:
S ABC ( )( )( – )p p a p b p c  
RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE LAS REGIO-
NES TRIANGULARES
1) En toda región triangular una ceviana interior
determina dos regiones triangulares cuyas áreas
son proporcionales a las longitudes de los
segmentos que dicha ceviana determina en el lado
al cual es relativa.
CA
B
nm
N
S1 S2
En el ABC: BN determina las regiones trian-
gulares ABN y NBC.
Se cumple:
S ABN
S NBC
m
n



o tambien: 1
2
S
S
m
n

2) En el ABC:
BM : Mediana relativa a AC
CA
B
m
M
m
S1 S2
Se cumple:
S ABM S MBC 
o tambien: S1 = S2
3) Si G es baricentro del ABCC
CA
B
P
S
G
M N
S
S
S
S S
Se cumple:
S AMG=S MGB=S BGN=S NGC
=S GCP=S GAP
   
 
100 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
Bloque I
1. Calcular "a", si el área del triángulo PQT es 24 u2.
 
a
Q
P T3a
a) 2 u b) 3 c) 4
d) 5 e)6
2. Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí
como 3 es a 4. Si el área de su región es 54 u2,
¿cuánto mide su hipotenusa?
a) 5 u b) 10 c) 13
d) 15 e) 20
3. El perímetro de un triángulo equilátero es 36 u.
Calcular el área de su región.
a) 312 u2 b) 316 c) 318
d) 324 e) 336
4. Los catetos de un triángulo rectángulo están en
relación de 1 es a 2, calcular la longitud del cateto
mayor si el área del triángulo es 16 u2.
a) 10 u b) 15 c) 6
d) 12 e) 8
5. El largo de un rectángulo excede al ancho en 2 u.
Si el perímetro es 16 u, hallar el área del rectángulo.
a) 15 u2 b) 12 c) 18
d) 20 e) 24
6. Según la figura, AC = 12; BH = 9, además BE =
2EH. Calcular el área de la región sombreada.
E
B
A CH
 
a) 18 b) 24 c) 28
d) 32 e) 36
7. Los lados de un triángulo miden 5, 6 y 7. Calcular
su área.
a) 6 6 b) 12 c) 14
d) 9 e) 3 5
8. El área de la región triangular es 60u2. Calcular la
longitud del menor cateto.
a) 2u 
CA
B
15x
b) 4u
c) 6u
d) 6 2 u
e) 8u
9. Si el área de la región triangular ABC es 80. Calcular
el área de la región sombreada. Si: 1
2
S 3
S 2

a) 32 
CA
B
D
S1 S2
b) 20
c) 48
d) 40
e) 3 2
101« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
10.En el gráfico: ABC es un triángulo equilátero cuya
altura mide 3 . Calcular su área.
a) 3
A
B
C
3
H
b) 4
c) 3
d) 5
e) 2
Bloque II
1. De la figura, BM = MC y AQ = QM, el área del
triángulo "ABQ" es 8 u2. Calcular el área del triángulo
"ABC".
A
B
C
Q
M
a) 40 b) 32 c) 36
d) 24 e) 16
2. Hallar el área de la región triangular ABC.
A
B
C
N
M
S
a) 4S b) 6S c) 8S
d) 10S e) 20S
3. Un triángulo ABC tiene un área de 120 u2. Sobre el
lado AC se toma un punto "Q" tal que: 3AQ =
7QC. Calcular el área del triángulo "ABQ".
a) 60 u2 b) 72 c) 84
d) 96 e) 108
4. Hallar el área de la región triangular ABC
A F
B
Cb 3b
2a
a
E
15u2
a) 75 u2 b) 60 c) 50
d) 80 e) 90
6. Hallar el área de la región triangular "ABC", si el
área de la región sombreada es 9 cm2.
A
B
C
a) 24 cm2 b) 18 c) 28
d) 26 e) 27
7. Hallar el área de la región sombreada, si el área de
la región triangular "AEC" es 40 m2.
102 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
A
B
C
E
4n
n
a) 6 m2 b) 10 c) 8
d) 12 e) 16
8. Hallar el área de la región triangular ABC.
A
B
C
F
E
n
2n
16 u2
a) 32 u2 b) 46 c) 48
d) 36 e) 5
9. AC//PE . Área PBE = 6u2
Hallar el área de la región triangular ABC
A
B
C
P E
a
4a
a) 86 u2 b) 78 c) 76
d) 96 e) 106
10.Si: BM = MC y AE = 3EC
Hallar el área de la región triangular ABC, si el área
de la región triangular MEC = 12 u2.
A
B
CE
M
a) 72 u2 b) 84 c) 96
d) 114 e) 120
Bloque III
1. En un triángulo ABC se sabe que: m A = 30° y m C =
53°. Si: AB = 16, halle el área del triángulo ABC.
a) )334(8  b) )332(8 
c) )33(4  d) )332(4 
e) N.A.
2. La relación de áreas de la parte sombreada a la no
sombreada es de:
A
B
C
a)
4
1 b)
2
1 c)
3
1
d)
5
1 e)
7
2
103« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
3. Si el área de la región triangular ABC es 48u2.
Calcular el área de la región sombreada.
a) 12u2 
A
B
C
x
x
y
y
b) 16u2
c) 18u2
d) 20u2
e) 24u2
4. Hallar el área de la región triangular ABC
A
B
C
EM
N16 u
2
S
a) 6 S b) 7 S c) 9 S
d) 8 S e) 10 S
5. Si: AC = 3CE; BD = DC y área de la región DCE es
12 u2. Hallar el área de la región triangular ABC.
A C
B
E
D
a) 60 b) 72 c) 96
d) 84 e) 100
1. Hallar el área de la región triangular "ABC".
 
B
A C
4
6
60º
2. Calcular el área de la región triangular "PQR".
Q
P R
135º
3
5 2
3. En el gráfico. Calcular el área de la región triángular
ABC, si: BC=15, AC=17, AB=8.
CA
B
104 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
N
OT
A
4. En la figura. Calcular el área de la región triangular ABC.
A
E D
C
B2m
2m
2m
2m
2m
5. La figura muestra a dos triángulos semejantes de
base "b" y "3b". Si el área menor es de 4 dm2,
calcular el área mayor.
b 3b
6. La base y la altura de un triángulo se encuentran
en la relación de 1 a 3. Si el área de dicho triángulo
es 24 u2, calcular la base.
7. Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí
como 2 es a 3. Calcular la hipotenusa, si el área del
triángulo es 24 m2.
8. Calcular el área de un triángulo equilátero, sabiendo
que el radio de la circunferencia inscrita mide 2.
9. Hallar el área de la región sombreada, si el área
del triángulo "ABC" es 48 u2.
A
B
CD
k 3k
5. Dado el triángulo PQR se traza la ceviana PA tal
que el área de la región triangular PQA = 36 u2 y
QA = 3AR. Hallar el área de la región triangular
PQR.
2. Hallar el área del
triángulo "ABD"; si: BF
= 3 u, AC = 10 u.
1. Hallar el área de la región sombreada, si el área del triángulo ABC es 40 u2.
3. Hallar el área de la región triangular ABC
CA
B
3k 2k
A
B
DF
CE
A C
B
M N
S
E
105« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
TEMA 18
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
Es una región plana cuyo contorno es un cuadrilátero,
esta región, puede ser convexa y no convexa.
Ahora pasaremos a estudiar las fórmulas para el cál-
culo de las principales regiones cuadrangulares.
1) ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
El área de una región trapecial es igual al producto
de la semisuma de las longitudes de la bases con
la longitud de la altura de dicho trapecio.
b
A
B
D
C
h
a
En el gráfico: ABCD es un trapecio
BC y AD : bases.
h : longitud de la altura.
Se cumple: 
( + )
S ABCD=
2
a b
h
Además:
A
B
D
C
h
a
m
M N
 MN : mediana
Se cumple: S ABCD =m h
2) EL ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBOIDAL
Área de una región romboidal es igual al producto
de las longitudes de un lado y la altura relativa a
dicho lado.
h
DA
B C
Hb
En el gráfico: CH : altura (h)
AD : base (b)
Entonces: S ABCD b h 
3) ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBAL
El área de una región rombal es igual al
semiproducto de las longitudes de sus diagonales.
D
d
Q
P R
S
En el gráfico PQRS es un rombo.
PR : Diagonal Mayor (D)
QS : Diagonal Menor (d)
Se cumple: D dS PQRS
2


4) ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRADA
El área de una región cuadrada es igual al cuadrado
de la longitud de su lado.
DA
CB
d
l
l
En el gráfico: AB; AD : lado del cuadrado (l)
Se cumple: 2S ABCD l 
2
S ABCD
2
d

5) ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR
El área de una región rectangular es igual al
producto de la longitud de la base y de la altura.
En el gráfico ABCD es un rectángulo
DA
CB
h
b
AD : Base (b)
CD : Altura (h)
Se cumple: ABCD .S b h
106 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
RELACIÓN DE LAS ÁREAS EN REGIONES
CUADRANGULARES
1) En un cuadrilátero convexo.
A)
DA
C
B N
LM
P
Se cumple:
S ABCD
S MNLP
2
=
Ademas: MNLP es un paralelogramo..
B)
DA
C
B
P
S1
S4
S2
S3
Se cumple: 1 2 3 4S S S S  
2) En las regiones trapeciales
A)
DA
CB
O
S1
S2 2 1 2S =S S
B)
DA
CB
M
En el gráfico: M es punto medio de CD
Se cumple: 
S ABCD
S BMA
2
=
3) En una región romboidal
DA
B CP
S ABCD
S APD=
2

Bloque I
1. Calcular el perímetro de un cuadrado, si el área de
su región mide 256 u2.
a) 56 u b) 60 c) 64
d) 72 e) 80
2. Las bases de un trapecio miden 4 u y 10 u y el área
de dicho trapecio mide 63 u2. Calcular su altura.
a) 6 u b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
3. La base de un rectángulo mide el doble de su altura
y su área es 18 u2. Calcular la longitud de su base.
a) 3 u b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
4. Las bases de un trapecio miden 9 u y 14 u. Si su
altura mide 12 u, calcular el área de su región.
a) 62 u2 b) 69 c) 124
d) 138 e) 150
107« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
5. El área del paralelogramo "ABCD" es 112 u2.
Calcular "h".
h
A
B C
D16
a) 5 u b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
6. Lasdiagonales de un rombo son entre sí como 2 es
a 3 y el área de su región es 108 u2. Calcular la
suma de sus diagonales.
a) 25 u b) 30 c) 35
d) 40 e) 45
7. El lado del cuadrado "ABCD" mide 6 u. Calcular el
área de la región sombreada.
B C
M
A D
 
a) 9 u2 b) 10 c) 12
d) 15 e) 18
8. Hallar el área de la región sombreada, si "CDE" es
un triángulo equilátero.
B C
2
A D2
E
a) 31  b) 32  c) 33 
d) 34  e) 38 
9. Si: AD//BC , calcular la longitud de la altura, si: S = 30
cm2.
B C
A D9 cm
3 cm
a) 5 cm b) 6 c) 8
d) 10 e) 4
10.Hallar la relación entre el área del triángulo AED y
del cuadrado ABCD
A D
B CE
a)
3
1
b)
4
1
c)
2
1
d)
3
2
e)
5
3
Bloque II
1. Si ABCD es un rectángulo, hallar la relación entre
el área de la región sombreada y del rectángulo
ABCD.
A D
B CP a4a
53º
108 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
a)
3
1
b)
5
2
c)
5
3
d)
7
3
e)
2
1
2. Hallar "x"
B
A D
C
x
30
18
6
P
a) 12 b) 10 c) 15
d) 5 e) 6
3. Hallar el área de la región del trapecio ABCD.
B
A D
C
4
O
9
a) 25 b) 20 c) 18
d) 16 e) 30
4. En el gráfico: calcular el área de la región trapecial
ABCD.
a) 72u2 
16u2
25u2
A
B C
D
b) 80u2
c) 81u2
d) 49u2
e) 25u2
5. en el gráfico: calcular el área de la región romboidal
abcd.
a) 75 
A D
B CH
60º
510
b) 3
c) 75 3
d) 45 3
e) 15
6. Hallar el área de la región del trapecio ABCD.
A
B C
D
O8u2
2u2
a) 50 u2 b) 48 c) 36
d) 42 e) 54
7. Hallar el área de la región del trapecio APQC.
A
B
C
P Q
y
 
a) 2y b) 3y c) 4y
d) 5y e) 6y
8. Hallar el área de la región del trapezoide "ABCD".
A
B
C
D
12 u 2
4 u2
6 u2
109« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
a) 8 u2 b) 22 c) 28
d) 30 e) 36
9. Calcular el área de un cuadrado de 140 u de
perímetro.
a) 900 u2 b) 1 000 c) 1 225
d) 1 596 e) 1 400
10.El área del triángulo "AFD" es al área del rectángulo
"ABCD" como:
B F C
A D
 
a)
2
1
b)
3
1
c)
4
1
d)
3
2
e)
6
1
Bloque III
1. En el gráfico: ABCD es un trapecio la base mayor
es el doble de la menor. Encuentra la relación entre
el área del trapecio y el área sombreada.
a) 1,5 
a
2a
A
B C
D
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) 1,75
2. Siendo ABCD un romboide: S1 = 4u
2 y S = 18 u2.
Calcular S2
S
S1
S2
A
B E C
D
a) 24 u2 b) 22 c) 14
d) 26 e) 30
3. Si ABCD es un romboide. La relación de las áreas
sombreada y no sombreada es de:
A
B C
D
 
a) 5 b) 4 c)
3
1
d)
2
3 e)
3
4
4. Si AC//EF y la relación de áreas del triángulo EBF
y del trapecio AEFC son de "S" y "2S". Calcular:
AC
EF
A C
E F
B
 
a)
2
2 b)
2
6 c)
2
3
d)
3
3 e) 2
5. Si ABCD es un romboide, donde: AQ = 4QC. ¿Qué
fracción es el área sombreada respecto del área
ABCD?
110 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
1 En el gráfico. Calcular el área de la región cuadrada
ABCD; si: CE=ED
DA
CB
E
5
2. En el gráfico: calcular el área de la región romboidal
si: QR = 9, RS = 4 y MS = 7.
RQ
P SM
3. Calcular el área de una región rombal sabiendo que
la longitud de su lado es 13 y de su diagonal mayor
es 24.
4. Calcular el área de una región cuadrada, si las
longitud de sus diagonales 8 2 .
5. En el gráfico: ¿qué valor debe tomar x, para que el
área del triángulo ABE sea la mitad del área del
trapecio BCDE?
S
2S
A B C
DE
2
4
x
6. En el gráfico: calcular el área de la región trapecial.
A
B
D
C
6 6
6
3
7. En el cuadrado ABCD, M y N son puntos medios y
calcular el área de la región ABPD; de mayor
perímetro. (Sx)
Sx
2m2
A
B C
D
N
M
P
8. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD
es un cuadrado de área 144u2 y de centro O.
O E
DA
B C
9. El perímetro de una región rectangular es 60
además el largo es el doble de su ancho. Calcular
su área.
A B
C
D
Q
a)
8
1 b)
12
1 c)
14
1
d)
10
1 e)
13
1
111« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
10.En la figura, ABCD es un trapecio, B C // A D ,
S(BPC)=4, S(APD)=9. Calcular S(ABCD)
DA
CB
P
4
9
3. En el gráfico: calcular el área de una región romboidal
ABCD.
1. En el gráfico: calcular el área de la región cuadrangular APQC. Si: PQ es
base media, AC=8, QH=6.
2. Un terreno de
forma rectangular
tiene un perímetro igual
a 46, siendo su diagonal igual
a 17 ¿calcular el área del terreno?
A
B
C
QP
H
A D
B C
60º
16
20
112 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 19
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
1. Círculo
R
 A =  r2
2. Sector circular
R
R
O
 2torsec R . 360
A 



3. Corona circular
R
r
A
O
 A = (R2 - r2)
4. Segmento circular.
O R
P
QA
 A = POQ POQ-
Bloque I
1. Hallar el área de un círculo, sabiendo que el
diámetro de dicho círculo mide 12 m.
a) 144  m2 b) 72 c) 36
d) 48 e) 24
2. Calcular el radio de un círculo, si el área de su región
mide 196.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
3. Calcular el área de un sector circular de 60° de
ángulo central y 12 u de radio.
a) 12 u2 b) 24 c) 16
d) 32 e) 18
4. Un sector circular tiene un ángulo central de 45° y
su área es 2 u2. Calcular el radio.
a) 2 u b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
5. En el cuadrante AOB, AO = OB = 4 u. Calcular el
área de la región sombreada.
A
O B
 
a) ( - 2) u2 b) 2( - 2) c) 4( - 2)
d) 2( - 1) e) 4( -1)
113« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
6. Calcular el área de la región sombreada, si "ABCD"
es un cuadrado de 2 u de lado.
CD
A B
 
a) ( - 1) u2 b) (2 - ) c) (4 - )
d) ( - 4) e) 2(4 - )
7. Si: AB = BC; DB = BF; AC = 6; calcular el área de la
región sombreada.
D
A
E
B F C
 
a) 9(4 - ) b)
4
9 (2 - ) c)
4
9 (4 - )
d)
2
3 (2 - ) e)
4
3 (4 - )
8. Hallar el área de la región sombreada, si:
AB = BC = 8.
D
A B
C
 
a) 8(4 - ) b) 16(4 - ) c) 4(4 - )
d) 8(2 - ) e) 16(2 - )
9. Calcular el área de un círculo inscrito en un cuadrado
de perímetro 16 cm.
a) 2  cm2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10.Un sector circular de radio 6 cm y ángulo central de
30° tiene un área de:
a)  cm2 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
Bloque II
1. Si el área de un círculo es 36 cm2, hallar el área
del cuadrado inscrito en la circunferencia de dicho
círculo.
a) 62 cm2 b) 30 c) 40
d) 45 e) 72
2. Hallar el área de la región sombreada.
4
4
 
a) 4 -  b) 2(4 - ) c) 4(4 - )
d) 2(2 - ) e) 4(2 - )
3. Si "ABCD" es un cuadrado cuyo lado mide 4. Calcular
el área de la región sombreada.
D
A B
C
O
 
a) 4 -  b) 6 -  c) 4
d) 8 -  e) 2(4 - )
114 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
4. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del
cuadrado ABCD mide 2 u.
DA
B C
 
a) ( - 2) u2 b) 2( - 2) c) ( - 1)
d) 2( - 1) e) 4( - 2)
5. Hallar el área de la corona circular de radios 2u y
7u.
a) 42u2 b) 46 c) 45
d) 40 e) 38
6. En el gráfico O es centro: calcular el área del sector
circular sombreado.
A)
2R
2

R
R
R
120º
A
B
C
O
B)
22 R
3

C) 25 R
D) 29 R
E)
2R
6

7. En el gráfico. Calcular el área de la región
sombreda. Si: O es centro ( AD y BC son
diámetros).
A) 12  
A DOB C
7
5
B) 14 
C) 9 
D) 25 
E) 49 
8. En el gráfico: AB= BC = 8. Calcular el área de la
región sombreada. Si O y B son centros.
A) 10 
OB
A
C
B) 8 
C) 6 
D) 4 
E) 2 
9. Si:  = 45°. Hallar el área de la región sombreada
4u
O
a) 8(4 - ) u2 b) 6(4 - )
c) 12(4 - ) d) 16(4 - )
e) 10(4 - )
10.Hallar el área de la región sombreada. ABCD es un
rectángulo.
A
B
D
C
O
R=3u
P
115« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
a) 2u )4(
2
9
 b) )4(
2
5
 c) )8(
2
7

d) )5(
2
3
 e) )5(
2
5

Bloque III
1. En el gráfico. Calcular el área de la región
sombreada. AB es diámetro..
A) 2,14 
A O B
45º
P
2 2
B) 1,14
C)4 
D)  + 2
E) 3,24
2. En el gráfico. Calcular el área del círculo inscrito
en el sector circular de 60º. P y O son centros.
A) 2  
30º
B
P
A
30º
15
15
O
r
r
B) 3 
C) 4 
D) 6 
E) 9 
3. En el gráfico ABCD es un cuadrado; "O" y "D" son
centros. Hallar el área de la región sombreada.
A
B
D
C2u
2u
O
a) 2 u2 b) 0,5 c) 1
d) 1,5 e) 2,5
4. Si ABCD es un rectángulo, hallar el área de la región
sombreada.
A
B
D
C
3u
3u
a) 16(4 - ) u2 b) 18(5 - ) c) 16(5 - )
d) 18(4 - ) e) 12(4 - )
5. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es
un cuadrado de lado 4 y "M", "N", "P" y "Q" son
puntos medios.
B
A
C
D
Q
N
P
M
 
a) 16 b) 16 c) 12
d) 12 e) 10
116 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
1. Calcular el área de un círculo cuyo radio mide 10 u.
2. Calcular el área de un semicírculo cuyo diámetro
mide 16 u.
4. Calcular el área de un sector circular de ángulo
central 45° y radio 4 cm.
5. Hallar el área de una corona circular de radios que
miden 3 u y 8 u.
6. En el gráfico O es centro: calcular el área del sector
circular.
36º
10
10
B
O
A
7. Calcular el área de un círculo inscrito en un trapecio
isósceles de bases que miden 4 u y 16 u.
N
OT
A
3. Calcular el área de un sector circular cuyo ángulo
central mide 40° y la longitud de su radio es 12 u.
8. Un sector circular tiene un ángulo que mide 60°
y 15 u de radio. Hallar el área del círculo inscrito
en el sector circular.
9. En el gráfico O es centro, A es punto de tangencia:
calcular el área de la corona circular. AB = 4.
R
O
r
B
4
A
10. En el gráfico O es centro: calcular el área del
segmento circular sombreado AOB.
A
BO
60º
2
2
2. Hallar el área de
la región sombreada
4
4
24.Calcular el área de la región sombreada, si: ABCE es un cuadrado, "O"
es el centro del semicírculo y AB=EF=2 u.
 
CB
EA F
O
117« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
TEMA 20
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS I
PRISMA
Es aquel poliedro determinado por una superficie pris-
mática cerrada y dos planos paralelos entre sí y secantes a
todas las generatrices.
E
DF
CA
B
Base
Arista
lateral
Cara
lateral
Elementos:
1. Bases: Son las regiones poligonales congruentes y
paralelas ABC y DEF.
2. Caras laterales: Son regiones limitadas por
paralelogramos cuyo número es igual al número de
lados de la base y forman la superficie lateral del pris-
ma: ABEF, EBCD, CDFA.
3. Aristas laterales: Son las intersecciones de las caras
laterales AF, BE, CD
4. Altura: Es la distancia entre las bases.
En todo prisma:
• Toda arista contenida en alguna base del prisma se
denomina arista básica.
• Los prismas se nombran según el número de lados
que tiene la base, por ejemplo si tiene 5 lados, se le
denomina prisma pentagonal, si tiene 8 lados se le
llamará prisma octogonal.
Clasificación de los Prismas
I. Por la inclinación de sus caras
1) Prisma Oblicuo: Es aquel prisma cuyas aristas
laterales no son perpendiculares a las bases.
B C
A D
F G
E H
En el gráfico se muestra un prisma cuadrangular oblicuo:
ABCD – EFGH.
2) Prisma Recto: Es aquel prisma cuyas aristas late-
rales son perpendiculares a las bases.
B C
R
SP
Q
D
A
En el gráfico se muestra el prisma cuadrangular ABCD
– PQRS.
Para hallar:
i) El área de la superficie lateral: (ASL)
(Base)SLA 2 p h
• El área de la superficie lateral del prisma recto, es igual
al perímetro de la base multiplicado por la altura de dicho
prisma.
ii) Volumen (V)
(base)V S  h
• El volumen del prisma recto es igual al área de la base
multiplicado por la altura de dicho prisma.
iii) Área de la superficie total (AST)
(base)ST SLA A 2S 
• El área de la superficie total del prisma es igual al área
de la superficie lateral más dos veces el área de la base.
II. Según su regularidad
a) Prisma regular: Es aquel cuyas bases son
polígonos regulares.
b) Prisma irregular: Es aquel cuyas bases no son
polígonos regulares.
3) Paralelepípedo rectangular, rectoedro u ortoedro:
Es un prisma cuyas caras son regiones rectangulares.
c
b
d
a
Tenemos: a, b y c: Dimensiones del paralelepípido rec-
tangular
118 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
i) Tiene cuatro diagonales, los cuales son concurren-
tes de igual longitud.
2 2 2 2d a b c  
ii) Área de la superficie total (AST)
STA 2( )ab bc ac  
iii) Volumen (V)
V a b c  
4) Hexaedro regular o cubo: Es aquel poliedro regular
limitado por seis regiones cuadradas. Tiene 4
diagonales, las cuales son de igual longitud y concu-
rren en sus puntos medios el cual es el centro del cubo.
a
B C
D
O
GF
A
E H
Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH
a) Diagonal del cubo
CE 3a
b) Área de la superficie (A)
2A 6a
El área de un cubo es seis veces el área de una de sus
caras.
c) Volumen (c)
3V a
El volumen del cubo es igual a la longitud de su arista
elevado al cubo.
Si: OE=OC
Entonces: “O” es el centro del hexaedro regular.
Bloque I
1. En el rectoedro, calcular:
a) El área de la superficie lateral
b) El área de la superficie total
c) Volumen
B C
G
HE
A
F
D
12u
u
25u
2. En el gráfico calcular el volumen y el área de la
superficie lateral del prisma triangular
6u
4u
8u 10u
F
D
E
A B
C
3. En el gráfico las longitudes de los lados del
ortoedro están en la relación de 1, 2 y 3. Si su
volumen es 48u3, calcular el área de la superficie
total
A 
B C 
D 
E F 
G H 
119« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
4. La arista básica de un prisma cuadrangular regular
mide 12u y la altura mide igual al semiperímetro
de la base. Calcular el área lateral del prisma.
5. Calcular el volumen de un hexaedro regular si la
suma de las longitudes de todos sus aristas es
48u.
6. La diagonal de un hexaedro regular mide 6 3 u.
Calcular el área de la superficie total.
7. Calcular el volumen de un prisma recto si su altura
mide 10u y sus aristas básicas 6u, 8u, 10u.
8. En un paralelepípedo rectangular las diagonales
de las caras miden 34 u, 58 u y 74 u.
Calcular su volumen.
9. Calcular el volumen de un cubo si su arista mide
4u.
10. Calcular el volumen de un cubo si la longitud de
su diagonal es 6u.
Bloque II
11. La base de un prisma recto es un triángulo cuyos
lados miden 13, 14 y 15u. Si la altura del sólido
mide 10u. Calcular su volumen
12. Calcular el volumen de un prisma hexagonal regular
de altura 7 3 u, si el apotema de su base mide 3 u.
13. En el gráfico el área de la superficie total de un
rectoedro es 478u2, la suma de sus dimensiones
es 27u. Calcular su volumen.
9 - r
9+r
9u
120 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
14. Se tiene un prisma triangular regular recto, si la
diagonal de una de sus caras mide 4u y el ángulo
que ésta forma con la base mide 60°. Calcular
su volumen.
15. En el gráfico calcular el volumen del prisma recto
triangular regular.
A
10u
P R4u
C
Q
B
 
16. En el prisma triangular regular, la arista básica
mide 6. Calcular la longitud de la altura, si el
volumen del sólido es 36 3 3u .
18. En el gráfico calcular el área de la superficie total
del cubo. Si: AE = 2 u3
19. Calcular el área de la superficie lateral de un prisma
recto, si su base es un triángulo equilátero cuyo
lado mide 2 y la altura del prisma mide 6u.
19. En un hexaedro regular, calcular la longitud de
una diagonal, el área de una cara es: 64
20. Las dimensiones de un rectoedro son 6u, 8u y
4u. Calcular la longitud de su diagonal.
Bloque III
1. Calcular el volumen del prisma cuadrangular
regular de 192u2 de área de la superficie total y
5u de altura.
2. En el gráfico calcular la longitud de la arista del
hexaedro regular. Si: AH = 6u
G H
E
DA
F
B
CH
BA
P
R
Q
C
A B 
C D 
E 
F G 
H 
121« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de SecundariaGeometría
3. En el gráfico calcular el volumen del cubo,
sabiendo que su diagonal mide 5u.
B C
G
HE
F
A D
37º
4. En el hexaedro regular: calcular su volumen
 
A B 
C D 
E 
F G 
H 
5. En el gráfico, calcular la longitud de la arista del
hexaedro regular. “O” es centro de la cara ABCD.
Si: OQ = 6 u .
Q R
C
DA
B
P S
O
1. Conociendo las dimensiones del rectoedro
mostrado, calcular el área y el volumen.
12 cm
5 cm
10 cm
2. La arista de un cubo mide 2 u. Calcular la longitud
de su diagonal.
3. Calcular el área total del cubo, si su diagonal AB
mide 2 3 u .
A
B
4. Calcular la longitud de la diagonal del paralelepípedo
rectangular y además su volumen.
15 u
16 u
12 u
5. En el paralelepípedo rectangular, calcular la longitud
de la diagonal y su área.
3
12
4
122 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
N
OT
A
6. Calcular el volumen del cubo, si: AB 4 2 u .
A
B
7. En un paralelepípedo rectangular la altura mide 10
u, el largo mide 5 u y el ancho mide 2 u. Calcular el
área total.
8. Si la arista de un hexaedro regular mide 5u.
Calcular el área de su superficie.
9. Si las dimensiones de un rectoedro son 2u, 3u y
5u. Calcular su volumen.
10. Calcular el volumen de un prisma triangular si los
lados de la base miden 5, 8 y 5u además la altura
mide 10u.
1. Las longitudes de los lados del paralelepípedo mostrado están en la relación
de 1; 2 y 3. Si su volumen es 48 u3, calcular el área total.
2. Calcular el área
total de un cubo
equivalente a un
paralelepípedo rectangular
de 18 u de largo; 16 u de ancho
y 6 u de altura.
3. De la figura, calcular el volumen del cubo, si: AC 3 2 u .
C
A
123« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
TEMA 21
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS II
PIRÁMIDE
Se llama pirámide al sólido determinado al intersectar
mediante un plano secante una superficie piramidal cerra-
da; la sección determinada se llama base de la pirámide.
La distancia del vértice o cúspide de la pirámide, a la
base se llama altura.
Pirámide regular: Es una pirámide que tiene por base
una región poligonal regular y el pie de su altura es el
centro de la base.
O
A a
B C
D
V
a
M
Elementos de la Pirámide :
1) Vértice: V
2) Arista básica: AD, AB, CD, BC
3) Altura: VO
4) Apotema: (Altura de una cara lateral) VM
5) Base: ABCD
6) Aristas laterales: VA, VB, VD, VC
Para hallar:
Área de la superficie lateral (ASL)
S L (Base)A P  ap
El área de la superficie lateral de una pirámide el igual al
semiperímetro de la base por el apotema.
Área de la superficie total (AST)
S T S T (Base)A A S 
El área de la superficie total de la pirámide es igual al área
de la superficie lateral más el área de la base.
Volumen (V)
(Base)SV
3


h
El volumen de la pirámide es 13 del área de la base por la
altura.
CILINDRO CIRCULAR RECTO
Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos, tam-
bién denominado cilindro de revolución porque es gene-
rado por una región rectangular al girar una vuelta en tor-
no a uno de sus lados.
360°
r
Eje de
giro
r
r
O1
O2
h g h
En el gráfico se muestra un cilindro circular recto.
Donde:
h=g: generatríz, altura
r= radio de la base
Área de la superficie lateral (ASL)
S LA 2 rg
El área de la superficie lateral del cilindro es igual a la
longitud de la base por la generatriz.
r: radio de la base
g: generatríz
Área de la superficie total (AST)
S TA 2 ( )  r g r
Volumen (V)
2V  r g
El volumen del cilindro es igual al área de la base por la
generatriz.
124 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
Bloque I
1. Calcular el volumen del cilindro recto, si el área
de la base es 16p 2u , AD = 4u.
r
r
O
O
A B
D C
 
2. Si el diámetro de la base del cilindro recto mide
4u. Calcular el área de la superficie total.
r
A B
D C
4u
 
3. En el gráfico: Calcular el volumen de la pirámide
regular
A
B C
D
V
6u
4. Calcular la medida de la arista básica de una
pirámide cuadrangular regular si su área de la
superficie total es 600 2u y su apotema mide
25u.
5. El área de la superficie lateral de un cilindro es
6pu2, su volumen 3p 3u . Calcular el área de su
superficie total.
6. Calcular el volumen de un cilindro circular recto
cuya área de su superficie lateral es 100 y su
altura es igual al diámetro de su base.
7. Calcular el volumen de una pirámide regular si su
apotema mide 15u y su base es un triángulo
equilátero de 18 3 u de lado..
8. Calcular el área de la superficie total del cilindro
recto:
145u 9u
 
9. En un cilindro recto, el área de su base es 81
p 2u . Si la generatríz es el doble del diámetro..
Hallar el área de la superficie lateral.
10. Calcular el área de la superficie total del cilindro
recto. Si AB=2u, “O” centro de la base.
125« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
A B
D C
2u
O
O
 
Bloque II
11. La altura de un cilindro recto mide 6u y el área
de su superficie lateral es 36 2u . Calcular su
volumen.
12. Calcular la arista básica de una pirámide
cuadrangular regular cuya área de su superficie
total es 156u2 y su apotema mide 10u.
 
13. Calcular el área de la superficie total de la pirámide
cuadrángular regular, si: h=12u, CD= 10u.
A 
B C 
D 
h 
H O
 
14. La base de una pirámide regular es un cuadrado
cuya área es 25u2. Si el apotema de la pirámide
es 12u. Calcular el área de la superficie lateral.
15. La figura muestra un tarro de leche cuya altura
es 12u y el radio de la base mide 4u. Hallar el
área de la etiqueta. (suponer que la etiqueta cubre
todo el área lateral)
r
A B
D C
 
16. Calcular el volumen del cilindro, si el diámetro de
la base mide 10.
r
3
O
 
17. Calcular el área de la superficie lateral del cilindro
mostrado.
A B
D C
4
12
O
 
18. Calcular la longitud de la arista básica de una
pirámide regular de base cuadrangular, cuya área
de su superficie total es 360u2 y su apotema mide
13u.
5. Calcular el volumen de una pirámide triangular
cuyas aristas básicas miden 6u, 8u, 10u y su altura
mide 9u.
126 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
20. Calcular el área de la superficie total de una
pirámide cuadrangular regular P–ABCD cuya arista
de la base mide 12u, sabiendo que el área de la
región triangular PAC es 48 3 u2.
Bloque III
21. Calcular el área de la superficie lateral del cilindro
recto mostrado.
13u
B C
A
5u
22. En el gráfico: Calcular el volumen del cilindro de
revolución si: O es el centro de la base,AO = 5u.
O
A
B
37
°
23. La base de una pirámide regular es un cuadrado
cuyo lado mide 12u y la arista lateral de la
pirámide mide 10 3 u. Calcular el área de la
superficie total.
24. Si el número que expresa el área de la superficie
lateral de un cilindro recto y el número que
expresa su volumen son iguales. Calcular la
longitud del radio de la base.
25. Calcular el volumen de un cilindro recto, si la
generatríz mide el doble del radio de su base,
además el área de su superficie lateral es 64p 2u .
1. Calcular el área lateral de un cilindro recto cuya
base tiene área de 36p m2 y su altura es 10 m.
2. Calcular el volumen de un cilindro donde el desa-
rrollo de su superficie lateral es un cuadrado de
área 64 m2.
3. La altura y el diámetro de la base de un cilindro
de revolución tienen igual longitud y su área to-
tal es 24 m2. Calcular el volumen de dicho cilin-
dro.
4. Calcular el volumen de una pirámide triangular
regular cuya arista básica mide 6 y su altura 8.
5. Si “O” es centro de la base, OA = 16 m y mÐOAF
= 15°, calcular el área lateral del cilindro mostra-
do.
127« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
A
F O
6. Se tiene una pirámide de vértice “O” y su base es
un rectángulo ABCD. Si: OB = 8 m; OC = 7 m y
OD = 6 m, calcular “OA”.
7. Calcular el volumen de la pirámide cuadrangularregular, cuya altura es la mitad de la arista básica
la cual mide 6 m.
8. Calcular el volumen de la pirámide cuadrangular
regular mostrada, si las caras laterales son trián-
gulos equiláteros.
6 2 m
9. Calcular el volumen de una pirámide cuyas caras
laterales son triángulos equiláteros y cuya base
es un cuadrado de lado "a".
10. En una pirámide cuadrangular regular, la arista
lateral forma 37° con el plano base. Calcular el
valor del ángulo diedro que forma la cara lateral
con la base.
2. En el gráfico: Si
el diámetro de la
base mide 18 u.
Calcular el volumen del
cilindro recto.
r
A
D
B
C
3u
3. Calcular el volumen de la pirámide regular.
A
B C
D
V
4 2u
2 11u
M
1. En el gráfico: Calcular el volumen del cilindro recto. Si: OA: 2 8u
O
A
B45°
128 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 22
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS III
ESFERA
Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar
360° en torno a su diámetro.
R O
RO
“O”: Centro de la
 esfera
360°
Volumen (V)
34V R
3
 
Área de la superficie esférica (ASE)
2
SEA 4 R 
CONO CIRCULAR RECTO O DE
REVOLUCIÓN
Es aquel cono recto cuya base es un círculo, también
se denomina cono de revolución porque es generado por
una región triangular rectangular al girar una vuelta en
torno a un cateto.
r
g
O
hg
BA
V
360°
r
r
En el gráfico se muestra un cono recto.
h: altura del cono VO
g: generatríz del cono VA
Volumen (V)
2
V
3
 

r h
El volumen de un cono es 13 del área de la base por su
altura.
Área de la superficie lateral (ASL)
S LA    r g
El área de la superficie lateral del cono es, igual al
semiperímetro de la base por la generatriz.
Área de la superficie total (AST)
S TA ( )   r g r
El área de la superficie total del cono es igual al área de la
superficie lateral ( )rg más el área de la base 2( )r .
Bloque I
1. Calcular el volumen de la esfera. Si el área de la
región sombreada es 4 p 2u . “O” centro de la esfera.
 
r
O
2. En el gráfico: Calcular el área de la superficie
esférica. OB =Radio, CB = 4u
 A B
C
45°
O
129« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
3. Calcular el volumen del cono, “O” centro de la base.
O
BA
V
12u60°
4. Calcular la razón entre el área de la superficie
lateral del cono y el área de su base. “O” centro
de la base.
O
BA
V
30°
5. Calcular el volumen y el área de la superficie total
de un cono recto, si su generatríz mide 6, la cual
forma con la base un ángulo que mide 60°.
6. Calcular el área de la superficie lateral de un cono
recto, si su generatriz mide 6u y el diámetro de
su base 8u.
7. El volumen de una esfera es /6 3u . Hallar el área
de la superficie esférica.
8. Calcular el radio de una esfera inscrita en un cono
recto en el cual el radio de la base y la altura
miden 6u y 8u respectivamente.
9. La generatríz de un cono mide 10u y el área de
su superficie lateral es 60 p 2u . Calcular el volumen
del cono.
10. Calcular la longitud del radio de la semi-esfera, si
el área de la superficie esférica es 48 2u .
R=Radio.
R
O
BA
Bloque II
11. Calcular el volumen y el área de la superficie esférica.
Si el área de la región sombreada es 36p 2u . “O” es
centro de la esfera.
 
rO
12. Calcular el volumen de una esfera cuya área de
su superficie esférica es 144 p 2u .
130 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
13. Calcular el área de la superficie total del cono
circular recto, si el radio de su base mide 4u,
r : Radio.
rO BA
V
14. El área de la superficie lateral de un cono de
revolución es igual a 65 2u y el área de su base
es 25 2u . Calcular el volumen del cono..
15. Calcular el radio de la esfera inscrita en un cubo,
cuya área de su superficie total es 24 2u .
16. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro
recto. Calcular la relación entre el volumen de la
esfera y el volumen del cilindro.
17. En el gráfico: Calcular la relación entre los
volúmenes de la semi-esfera y el cono. O y Q
son centros.
O Q
V
M
45°
18. Una esfera cuyo radio mide 3u es equivalente a
un cono circular recto cuyo radio de la base mide
2u. Calcular la medida de la altura del cono.
19. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a
un cubo cuya área de la superficie total es 288 2u .
 
20. Calcular el volumen del cono que se muestra en
el gráfico. “O” centro de la base.
O
BA
V
37°15u
r
Bloque III
21. En el gráfico: Calcular el volumen del cono. “O”
centro de la base.
O
BA
P
12 3
O
BA
P
12 3
O
BA
P
12 3u
22. Calcular el volumen de la esfera. Si: “O” centro
de la esfera, PQ = 6u.
 
Q
P
45°
O
131« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Geometría
23. En el gráfico, calcular el volumen de la esfera si
la longitud de la región sombreada es 2 2 u.
“O” centro de la esfera.
r
O
24. En el gráfico: Calcular el volumen del cono recto.
“O” centro de la base
O
BA
V
10u
25. En el gráfico: Calcular el área de la superficie
lateral del cono recto. “O” centro de la base.
O
BA
P
15
2 61u
1. Calcular el volumen de una esfera cuyo radio mide 6
u.
2. Calcular el volumen de una esfera cuyo diámetro
mide 10 u.
3. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un
cubo cuya arista mide 2 u.
4. Calcular el volumen de una esfera, si el área de la
superficie esférica es 36 u2.
5. Hallar el volumen de la esfera si el área de la
superficie total es 144 u2. ("O" es centro)
O
r
6. Calcular el volumen del cono circular recto cuya
generatríz mide 4u y forma con el plano de la
base un ángulo de 30°.
7. El diámetro de una esfera mide 12. Calcular el
área de la superficie esférica y su volumen.
8. El área lateral de un cono recto de revolución es
el doble del área de su base. Calcular la medida
del ángulo que forma la generatriz con la altura.
9. Calcular el volumen del cono generado por un
trián-gulo equilátero de 6 m de lado al girar alre-
dedor de su altura.
10. El volumen del cono superior es 48 m3. Calcular
el volumen del cono total, si el plano “P” es para-
lelo a la base.
2h
h
132 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Segundo Año de Secundaria
N
OT
A 1. Calcular el área de la superficie total de un cono de revolución de 13u de
generatríz y 12u de altura.
2. Calcular el
volumen de una
esfera circunscrita a un
cubo cuya área de su
superficie total es 288 2u . 3. En el gráfico: Calcular el área de la superficie lateral
del cono. “O” centro de la base.
O
CA
B
3r4
r