resistenciademateria-482987-downloadable-3809211

Vista previa del material en texto

Accede a apuntes, guías, libros y más de tu carrera
Método de doble integración y ejercicios de aplicación
pag.
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y 
ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
RESISTENCIA DE MATERIALES I
METODO DE DOBLE INTEGRACION Y EJERICIOS DE APLICACIÓN
DOCENTE: ING. Jannyna Beatriz Bernilla Gonzales
GRUPO N°: 9
INTEGRANTES:
1. DEL ÁGUILA TAPIA LUIGUI JHERZON
2. CHUMACERO VARGAS AARON ADONAI 
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
INTRODUCCIÓN
Las piezas flexadas sufren desplazamientos o
deflexiones, cuyo control es tan importante
para garantizar el buen comportamiento
estructural como la verificación de la
resistencia. Cuando la estructura presenta
deformaciones excesivas, la percepción de
las mismas por parte de los usuarios genera
en éstos una sensación de alto riesgo debido
a grandes deflexiones pueden presentar
desgastes prematuros u originar efectos
vibratorios inadecuados.
Grietas y fisuras en edificio
sometido a vibraciones producto
de maquina industria, el daño es
las juntas de mortero.
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
El conocimiento de las deformaciones resulta también
sumamente importante desde el punto de vista
constructivo. En efecto, si se conoce por ejemplo, la
flecha máxima que tendrá una viga de hormigón
armado sometida a las cargas permanentes, cuando se
la construye puede contraflecharse el encofrado de
manera tal de compensar esa deformación, de modo
que la pieza quede para ese estado de cargas sin
deformación aparente. El análisis de las deflexiones
resulta imprescindible para la resolución estática de
piezas flexadas hiperestáticas. Todo esto ha motivado
la existencia de numerosos métodos de cálculo de
deformaciones, algunos aplicables a cualquier tipo de
estructuras y otros solamente a estructuras lineales. A
continuación analizaremos algunos de estos métodos.
Agrietamiento en puro debido a 
deflexión en viga
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
OBJETIVOS
 Reconocer, interpretar y explicar el método de integración 
doble para evaluar la deflexión de las vigas ante las cargas 
que se le aplican.
OBJETIVO GENERAL:
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
:
 Reconocer la importancia del cálculo de deflexiones para 
el análisis estructural.
 Establecer correctamente las ecuaciones diferenciales 
para el desarrollo de problemas.
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Deformación en vigas
La viga ante la acción de cargas externas, ubicadas en uno de los planos
principales de inercia y actuantes por la normal con su eje, hace que el eje de
la viga se deforme en forma de curva en el plano de cargas. El eje deformado
de la viga recibe el nombre de línea elástica o curva elástica.
a. Deflexión o flecha (𝑦𝐴):
Es el desplazamiento vertical de un punto de
la viga, desde su posición inicial hasta su
nueva ubicación en la línea elástica.
b. Pendiente o ángulo de giro (𝜃𝐴):
Es el ángulo que gira cada sección transversal
alrededor del eje neutro en relación a su
posición inicial y se determina por la tangente
trazada al punto indicado en la curva elástica
respecto a la línea horizontal de su posición
inicial.
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Método de Doble Integración
 Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar
para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones
de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.
 Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los
diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener
posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una
viga por medio del cálculo integral.
 El método de doble integración produce ecuaciones para la
pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación
directa del punto de máxima deflexión.
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELÁSTICA 
Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación en la cual
se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento
flector en una viga sometida a flexión pura:1𝜌 = 𝑀(𝑋)𝐸. 𝐼
Donde “𝜌" es el radio de curvatura, “E” el módulo de elasticidad del
material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de
la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que
está sometida la misma. Observemos que este último término se ha
designado como dependiente de la longitud medida desde un
extremo de la viga (“x”). Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del
cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana
en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión1𝜌 = 𝑑2𝑦𝑑𝑥2(1 + (𝑑𝑦𝑑𝑥)2)32
Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:
Corresponde a la primera
derivada de la función
𝑑𝑦𝑑𝑥 Corresponde a la segundaderivada de la función𝑑2𝑦𝑑𝑥2
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden,
y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe
las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a
cargas transversales.
1𝜌 = 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 = 𝑀(𝑋)𝐸. 𝐼
Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos
despreciar el término relativo a la primera derivada(dy/dx)
; obtenemos entonces que:
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Recordando la ecuación diferencial de la elástica:𝑑2𝑦𝑑𝑥2 = 𝑀(𝑋)𝐸. 𝐼
El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que
varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección
transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar
la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el
caso considerado, la rigidez a la flexión es constante.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación 
por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos: 𝐸. 𝐼.𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0𝑥𝑀(𝑥). 𝑑𝑥 + 𝑐1Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
𝐸. 𝐼. 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0𝑥𝑀(𝑥). 𝑑𝑥 + 𝑐1
Donde ‘ 𝑐1 ’ es una constante de integración que depende de las
condiciones de frontera, como se explicará más adelante.
De modo que con la expresión
anterior se puede determinar la
inclinación de la recta tangente
a la curva de la elástica para
cualquier longitud ‘x’ de la viga.
𝑑𝑦𝑑𝑥 = tan 𝜃 = 𝜃
Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la
aproximación:
Ecuación diferencial de 
la pendiente de la viga
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior,
tenemos:𝐸. 𝐼. 𝑦(𝑥) = 0𝑥 0𝑥𝑀 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑐1 . 𝑑𝑥 + 𝑐2
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para
cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.
El término ‘𝑐2 ’ es una constante de integración que, al igual que
‘ 𝑐1 ’, depende de las condiciones de frontera. Para poder
establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el
ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga.
Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta
información.
Ecuación diferencial de la deflexión de la vigaDescargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Condiciones de frontera
Al llevar a cabo estas integraciones aparecen las constantes de integración (C1 y
C2) que deben determinarse a partir de las llamadas condiciones de frontera,
que vienen siendo valores de las deformaciones que dependen de las condiciones
de apoyo de la viga, y de condiciones de continuidad de la viga
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
𝒚𝟏(𝒙𝑨) = 𝒚𝟐(𝒙𝑨)𝜽𝟏(𝒙𝑨) = 𝜽𝟐(𝒙𝑨)
Ecuaciones de continuidad 
𝒚𝟏(𝒙𝑨) = 𝒚𝟐(𝒙𝑨)
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
EJERCICIOS DE 
APLICACIÓN 
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Realizamos el DCL
F
L
A
𝑅𝐴𝑦
𝑀𝐴 + 𝐴0 = 0 → 𝑀𝐴 = −𝐹𝐿
 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 =F
FL
(-)
Diagrama de momento flector 𝑀𝑧 𝑥 = −𝐹𝐿 + 𝐹𝑥𝑀𝑧 𝑥 𝑀𝑧 𝑥 = 𝐹(𝑥 − 𝐿)
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
𝜽´ 𝒙 = 𝑴𝑬𝑰 → 𝜽 𝒙 = 𝑴(𝒙)𝑬𝑰 𝒅𝒙 + 𝒌𝟏𝒚´(𝒙) = 𝜽(𝒙) …Giro…Flecha 
Reemplazando:
𝜽 𝒙 = 𝑭 𝒙 − 𝑳 𝟐𝟐 + 𝑲𝟏
y 𝒙 = 𝑭 𝒙−𝑳 𝟑𝟔 +𝑲𝟏𝒙 + 𝑲𝟐
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
CONDICIONES DE FRONTERA
𝒙 = 𝟎 → 𝒚𝟏 = 𝟎
Si: 𝒙 = 𝟎 → 𝜽𝟏 = 𝟎
Si:
𝜽 𝒙 = 𝑭 𝒙 − 𝑳 𝟐𝟐 + 𝑲𝟏
𝜽 𝟎 = 𝑭 𝟎 − 𝑳 𝟐𝟐 + 𝑲𝟏 𝑲𝟏 = −𝑭𝑳𝟐𝟐𝑬𝑰
y 𝒙 = 𝑭 𝒙−𝑳 𝟑𝟔 +𝑲𝟏𝒙 + 𝑲𝟐
y 𝟎 = 𝑭 𝟎−𝑳 𝟑𝟔 +𝑲𝟏(𝟎) + 𝑲𝟐 𝑲𝟐 = −𝑭𝑳𝟑𝟔𝑬𝑰
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Reemplazando el K1 y K2 en las ecuaciones tenemos:𝜽 𝒙 = 𝑭𝟐𝑬𝑰 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝑳)
𝒚 𝒙 = 𝑭𝟐𝑬𝑰 (𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐𝑳)
Hallando la flecha máxima :𝒙 = 𝑳𝒚 𝑳 = 𝑭𝟐𝑬𝑰 (𝑳𝟑 − 𝟑𝑳𝟑)𝒚 𝑳 = −𝑭𝑳𝟑𝟑𝑬𝑰 𝐲(𝒙)
𝐲𝐦𝐚𝐱
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Calcular la rotación en A y la 
deflexión en B. Considerar:𝐸 = 2𝑥106𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐼 = 44537 𝑐𝑚4
SOLUCIÓN
Realizamos el DCL en la viga ABC
y calculamos las reacciones A y B
+ 𝐴0 = 0 → 𝐶𝑦 6 = 15(2)𝐶𝑦 = 5 𝑡𝑛 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = 15 − 𝐶𝑦𝐴𝑦 = 10 𝑡𝑛
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Calculamos las Ecuaciones Diferenciales 
de la curva elástica:
Tramo AB : 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑚
𝑀(𝑥) − 10𝑥 = 0 𝑀(𝑥) = 10𝑥
Tramo BC : 2𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚
𝑀(𝑥) + 15 𝑥 − 2 − 10 𝑥 = 0𝑀(𝑥) = 30 − 5𝑥
−𝑉 𝑥 + 10𝑡𝑛 = 0𝑉(𝑥) = 10 −𝑉 𝑥 − 15𝑡𝑛 + 10𝑡𝑛 = 0𝑉(𝑥) = −5
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Calculamos las Ecuaciones para las 
Rotaciones y Deflexiones
Tramo AB : 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑚𝜃1 = 𝑀(𝑥)𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1𝐸𝐼 10𝑥 𝑑𝑥 = 1𝐸𝐼 (5𝑥2 + 𝐶1)
𝑦1 = 𝑀(𝑥)𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1𝐸𝐼 (5𝑥2 + 𝐶1) 𝑑𝑥 = 1𝐸𝐼 (5𝑥33 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2)
Tramo BC : 2𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚
𝜃2 = 𝑀(𝑥)𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1𝐸𝐼 (30 − 5𝑥 )𝑑𝑥 = 1𝐸𝐼 (30𝑥 − 52𝑥2 + 𝐶3)𝑦1 = 𝑀(𝑥)𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1𝐸𝐼 (30𝑥 − 52 𝑥2 + 𝐶3) 𝑑𝑥 = 1𝐸𝐼 (15𝑥2 5𝑥36 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4)
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Condiciones de frontera𝒙 = 𝟎 → 𝒚𝟏 = 𝟎Si: 5 0 33 + 𝐶1 0 + 𝐶2 = 0 𝐶2 = 0 … . (1)𝒙 = 𝟔 → 𝒚𝟐 = 𝟎Si: 15 6 2 − 5 6 36 + 𝐶3 6 + 𝐶4 = 0 6𝐶3 + 𝐶4 = −360 … . (2)
Condiciones de continuidad 𝒙 = 𝟐𝒎 → 𝜽𝟏 = 𝜽𝟐Si: 𝜃1 = 1𝐸𝐼 (5𝑥2 + 𝐶1)
𝜃2 = 1𝐸𝐼 (30𝑥 − 52𝑥2 + 𝐶3)
5 2 2 + 𝐶1 0 = 30 2 − 5 2 22 + 𝐶3
𝐶1 − 𝐶3 = 30… . . (3)
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
𝒙 = 𝟐𝒎 → 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐Si:
𝑦1 = 1𝐸𝐼 (5𝑥33 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2)
𝑦2 = 1𝐸𝐼 (15𝑥2 5𝑥36 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4)
5 2 33 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = 15 2 2 + 𝐶3 2 + 𝐶4
2𝐶1 + 𝐶2 − 2𝐶3 − 𝐶4 = 40… . (4)
Resolviendo el sistema de ecuaciones𝐶2 = 06𝐶3 + 𝐶4 = −360𝐶1 − 𝐶3 = 302𝐶1 + 𝐶2 − 2𝐶3 − 𝐶4 = 40
𝐶1 =-33.33𝐶2 = 𝟎𝐶3 =-63.33𝐶4 = 𝟐𝟎
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Calculando rotación en A:𝜃1 = 1𝐸𝐼 5𝑥2 + 𝐶1 = 1𝐸𝐼 (5𝑥2 − 33.33)𝑬 = 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟔𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝑰 = 𝟒𝟒𝟓𝟑𝟕 𝒄𝒎𝟒𝜃𝐴 𝑥=0 = 1𝐸𝐼 (5(0)2−33.33) 𝜃𝐴 = −3.7x10−3rad
Calculando la deflación en B:𝑦1 = 1𝐸𝐼 5𝑥33 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = 1𝐸𝐼 (5𝑥32 − 33.33𝑥)𝑬 = 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟔𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝑰 = 𝟒𝟒𝟓𝟑𝟕 𝒄𝒎𝟒𝑦𝐵 𝑥=2 = 1𝐸𝐼 (5 2 32 − 33.33(2))𝑦𝐵 = −0.0060m = −0.60cm
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Resolver la viga mostrada y determinar su 
deflexión máxima.
Considerar: 𝐸 = 19𝑥103𝑁/𝑚𝑚2 𝑏 = 300𝑚𝑚 h= 400𝑚𝑚
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Determinamos el grado de indeterminación:𝐺𝐼 = 𝑅 − 3 = 6 − 3 = 3
Isostatizamos la viga:
Calculamos las ecuaciones 
diferenciales de la curva elástica:
Tramo 1 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚
𝑴(𝒙) + 𝟑𝟎𝒙 𝒙𝟐 +𝑴𝑨 − 𝑽𝑨𝒙 = 𝟎𝑴(𝒙) = 𝑽𝑨𝒙 −𝑴𝑨 − 𝟏𝟓𝒙𝟐
−𝑽 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝑽𝑨 = 𝟎𝑽 = 𝑽𝑨 − 𝟑𝟎𝐱
𝑽𝑨 + 𝑽𝑪 = 𝟏𝟐𝟎
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Tramo 2 : 4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚
𝑴(𝒙) + (𝟑𝟎𝒙𝟒) 𝒙 − 𝟐 +𝑴𝑨 − 𝑽𝑨𝒙 = 𝟎𝑴(𝒙) = 𝑽𝑨𝒙 −𝑴𝑨 − 𝟏𝟐𝟎(𝒙 − 𝟐)
Calculamos las ecuaciones para las rotaciones y deflexiones:
Tramo 1 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚𝜽𝟏 = 𝑴 𝒙𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟏𝑬𝑰 (𝑽𝑨𝒙 −𝑴𝑨 − 𝟏𝟓𝒙𝟐)𝒅𝒙 = 𝟎𝜽𝟏 = 𝟏𝑬𝑰 (𝑽𝑨𝟐 𝒙𝟐 −𝑴𝑨𝒙 − 𝟏𝟓𝟑 𝒙𝟑 + 𝑪𝟏)𝒚𝟏 = 𝑴 𝒙𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟏𝑬𝑰 (𝑽𝑨𝟐 𝒙𝟐 −𝑴𝑨𝒙 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝑪𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎𝒚𝟏 = 𝟏𝑬𝑰 (𝑽𝑨𝟔 𝒙𝟑 −𝑴𝑨𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝟒𝒙𝟒 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐)
− 𝑽 − 𝟑𝟎 𝟒 + 𝑽𝑨 = 𝟎𝑽 = 𝑽𝑨 − 𝟏𝟐𝟎
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Tramo 2 : 4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚𝜽𝟐 = 𝑴 𝒙𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟏𝑬𝑰 [𝑽𝑨𝒙 −𝑴𝑨 − 𝟏𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐 ]𝒅𝒙 = 𝟎𝜽𝟐 = 𝟏𝑬𝑰 [𝑽𝑨𝟐 𝒙𝟐 −𝑴𝑨𝒙 − 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝑪𝟑)𝒚𝟏 = 𝑴 𝒙𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟏𝑬𝑰 [𝑽𝑨𝟐 𝒙𝟐 −𝑴𝑨𝒙 − 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝑪𝟑]𝒅𝒙 = 𝟎𝒚𝟐 = 𝟏𝑬𝑰 [𝑽𝑨𝟔 𝒙𝟑 −𝑴𝑨𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟑 + 𝑪𝟑𝒙 + 𝑪𝟒]
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Condiciones de frontera𝒙 = 𝟎 → 𝒚𝟏 = 𝟎Si: 𝑉𝐴6 0 3 −𝑀𝐴2 0 2 − 54 0 4 + 𝐶1 0 + 𝐶2 = 0 𝐶2 = 0 … . (1)𝒙 = 𝟎 → 𝜽𝟏 = 𝟎𝑉𝐴2 0 2 −𝑀𝐴(0) − 5 0 3 + 𝐶1 = 0 𝐶1 = 0… . (2)𝒙 = 𝟖 → 𝒚𝟐 = 𝟎Si: 𝑉𝐴6 8 3 −𝑀𝐴2 8 2 − 20 8 − 2 3 + 𝐶3 8 + 𝐶4 = 02563 𝑉𝐴 − 32𝑀𝐴 + 8𝐶3 + 𝐶4 = 4320 … . (3)
𝑉𝐴2 8 2 −𝑀𝐴 8 − 60 8 − 2 2 + 𝐶3 = 032𝑉𝐴 − 8𝑀𝐴 + 𝐶3 = 2160 … . (4)
𝒙 = 𝟎 → 𝜽𝟏 = 𝟎
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Condiciones de Continuidad :𝒙 = 𝟒 → 𝜽𝟏 = 𝜽𝟐Si: 𝜽𝟏 = 𝟏𝑬𝑰 (𝑽𝑨𝟐 𝒙𝟐 −𝑴𝑨𝒙 − 𝟏𝟓𝟑 𝒙𝟑 + 𝑪𝟏)𝜽𝟐 = 𝟏𝑬𝑰 [𝑽𝑨𝟐 𝒙𝟐 −𝑴𝑨𝒙 − 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝑪𝟑)
Reemplazando el “x”:−𝟑𝟐𝟎 + 𝑪𝟏 = −𝟐𝟒𝟎 + 𝑪𝟑 𝐶3 = −80 … . (5)𝒙 = 𝟒 → 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐Si: 𝒚𝟏 = 𝟏𝑬𝑰 (𝑽𝑨𝟔 𝒙𝟑 −𝑴𝑨𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝟒𝒙𝟒 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐)𝒚𝟐 = 𝟏𝑬𝑰 [𝑽𝑨𝟔 𝒙𝟑 −𝑴𝑨𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟑 + 𝑪𝟑𝒙 + 𝑪𝟒]
Reemplazando el “x”:−𝟑𝟐𝟎 + 𝑪𝟏 𝟒 + 𝑪𝟐 = −𝟏𝟔𝟎 + 𝑪𝟑 𝟒 + 𝑪𝟒 𝐶4 = 160 … . (6)
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Resolviendo el sistema de Ecuaciones: 𝐶2 = 0 … . (1)𝐶1 = 0… . (2)𝐶3 = −80 … . (5)𝐶4 = 160 … . (6)
2563 𝑉𝐴 − 32𝑀𝐴 + 8𝐶3 + 𝐶4 = 4320 … . (3)
32𝑉𝐴 − 8𝑀𝐴 + 𝐶3 = 2160 … . (4)𝟖𝑽𝑨 − 𝟑𝑴𝑨 = 𝟒𝟓𝟎…(𝟕)𝟖𝑽𝑨 − 𝟐𝑴𝑨 = 𝟓𝟔𝟎…(𝟖)
De (7) y (8) tenemos : 𝑴𝑨 = 𝟏𝟏𝟎𝑲𝑵.𝒎
𝑽𝑨 = 𝟗𝟕. 𝟓𝑲𝑵
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)Encuentra más documentos en www.udocz.com
Por lo tanto las ecuaciones de la rotación y la deflexión en 
cada tramo son :
Tramo 1 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚
Tramo 2 : 4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚
𝜽𝟏 = 𝟏𝑬𝑰 (𝟒𝟖. 𝟕𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝒙 − 𝟓𝒙𝟑)𝒚𝟏 = 𝟏𝑬𝑰 (𝟏𝟔. 𝟐𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝟓𝒙𝟐 − 𝟓𝟒𝒙𝟒)
𝜽𝟐 = 𝟏𝑬𝑰 [𝟒𝟖. 𝟕𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝒙 − 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟐 − 𝟖𝟎)𝒚𝟐 = 𝟏𝑬𝑰 [𝟏𝟔. 𝟐𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟑 − 𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟔𝟎]
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
Calculamos reacciones y graficamos DFC y DMF
+ 𝑀𝐴0 = 110−𝟏𝟐𝟎 𝟐 + 𝑽𝑪 𝟖 +𝑴𝑪 = 𝟏𝟏𝟎
 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 120𝑉𝑐 = 22.5𝐾𝑁
𝑀𝑐 = 50𝐾𝑁.𝑚
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
𝑴(𝒙) = 𝟗𝟕. 𝟓𝒙 − 𝟏𝟏𝟎 − 𝟏𝟓𝒙𝟐
𝑽𝒙 = 𝟗𝟕. 𝟓 − 𝟑𝟎𝐱
𝑴(𝒙) = 𝟗𝟕. 𝟓𝒙 − 𝟏𝟏𝟎 − 𝟏𝟐𝟎(𝒙 − 𝟐)
𝑽𝒙 = 𝟗𝟕. 𝟓 − 𝟏𝟐𝟎
0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚
4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚
𝑽𝟎 = 𝟗𝟕. 𝟓 𝑽𝟒 = −𝟐𝟐. 𝟓
𝑴𝟎 = −𝟏𝟏𝟎 𝑴𝟒 = 𝟒𝟎
𝑴𝟒 = 𝟒𝟎 𝑴𝟖 = −𝟓𝟎
𝑽 = −𝟐𝟐. 𝟓
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
𝑺𝒊: 𝜽𝟏 = 𝟎 → 𝒚𝟏 𝒔𝒆𝒓𝒂𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚
4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚
𝟒𝟖. 𝟕𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝒙 − 𝟓𝒙𝟑 = 𝟎𝒙𝟏 = 𝟎
𝒙𝟏 = 𝟎
Calculamos deflexión 
máxima :
Tramo 1 : 
Tramo 2 : 
𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟓𝟓𝒎 𝒙𝟑 = 𝟔. 𝟐𝟎𝒎
𝑺𝒊: 𝜽𝟐 = 𝟎 → 𝒚𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐𝟒𝟖. 𝟕𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝒙 − 𝟔𝟎 − 𝟐 𝟐 − 𝟖𝟎 = 𝟎
𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟓𝟓
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
El único valor que cumple seria 
para x=3.55 m(𝒚𝒎𝒂𝒙)𝒙=𝟑.𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟔 [ 𝟏𝟏𝟐 𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟒 𝟑 (𝟏𝟔. 𝟐𝟓(𝒙)𝟑−𝟓𝟓(𝒙)𝟐−𝟓𝟒 (𝒙)𝟒)
𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟔 [ 𝟏𝟏𝟐 𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟒 𝟑 (𝟏𝟔. 𝟐𝟓(𝟑. 𝟓𝟓)𝟑−𝟓𝟓(𝟑. 𝟓𝟓)𝟐−𝟓𝟒 (𝟑. 𝟓𝟓)𝟒)
𝒚𝒎𝒂𝒙 = −𝟓. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑𝒎 = −𝟓. 𝟒𝟐𝒎𝒎
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
CONCLUSIÓN
 El desplazamiento o pendiente de un punto
especifico sobre una viga o maro puede
determinarse usando el método de doble
integración sin embargo este método se formula a
partir de la ecuaciones ya mencionadas.
 Este método se limita por tanto a problemas que
implican deflexiones pequeñas causadas solo por
flexión.
Descargado por Chelito Zamorano
(chelitozamorano7@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com