Unidad 3

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Matemáticas discretas 
Unidad 3. Relaciones 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología 
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Tabla de contenidos 
UNIDAD 3. RELACIONES ______________________________________________________________ 3 
Presentación de la unidad ___________________________________________________________ 3 
Propósito de la unidad ______________________________________________________________ 3 
Competencia específica _____________________________________________________________ 4 
 
3.1. Introducción a la relación ________________________________________________________ 4 
3.1.1. Definición de relación __________________________________________________________ 5 
Actividad 1. Definición de relación ____________________________________________________ 7 
3.1.2. Relación binaria ______________________________________________________________ 7 
3.1.3. Matriz de una relación _________________________________________________________ 8 
3.1.4. Grafo de una relación _________________________________________________________ 10 
Actividad 2. Relaciones ___________________________________________________________ 10 
 
3.2. Propiedades de las relaciones ___________________________________________________ 11 
3.2.1. Reflexiva ___________________________________________________________________ 12 
3.2.2. Irreflexiva __________________________________________________________________ 12 
3.2.3. Simétrica __________________________________________________________________ 13 
3.2.4. Asimétrica __________________________________________________________________ 14 
3.2.5. Antisimétrica ________________________________________________________________ 14 
3.2.6. Transitiva __________________________________________________________________ 15 
Actividad 3. Propiedades de las relaciones ____________________________________________ 16 
 
3.3. Operaciones con relaciones _____________________________________________________ 17 
3.3.1. Operaciones con relaciones ____________________________________________________ 17 
Actividad 4. Operaciones con relaciones ______________________________________________ 20 
 
3.4. Relaciones de equivalencia ______________________________________________________ 21 
3.4.1. Relación de equivalencia ______________________________________________________ 22 
3.4.2. Cerraduras _________________________________________________________________ 22 
Actividad 5. Elementos de la relación _________________________________________________ 25 
 
Evidencia de aprendizaje. Relación de números de lotería ________________________________ 26 
Cierre de la unidad _________________________________________________________________ 26 
Fuentes de consulta _______________________________________________________________ 26 
 
 
 
 
 
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Unidad 3. Relaciones 
 
 
 
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UNIDAD 3. RELACIONES 
 
 
Presentación de la unidad 
En Física y Matemáticas (y en particular en Ciencias Computacionales) siempre estamos comparando 
cosas, escribiendo “relaciones” entre diferentes cantidades. Usualmente, al compararlas utilizamos 
símbolos para denotar que son iguales, mayores o menores unas con respecto a otras. Pero la idea de 
relación puede ir más allá e implicar diferentes asociaciones. 
 
En este capítulo estudiaremos las diferentes asociaciones que dan origen a relaciones particulares, cómo 
se definen formalmente éstas de manera matemática y sus propiedades. Primero las explicaremos de 
forma que podrá parecer un poco descuida y poco formal pero que redundará en beneficio del lector que 
por primera vez tiene contacto con esta materia y posteriormente se introducirá la definición rigurosa en el 
lenguaje de las matemáticas abstractas. 
 
Propósito de la unidad 
 
 
 
 
 
El propósito de esta unidad es que el alumno 
analice el concepto de relación y sea capaz de 
establecer distintos tipos de relaciones a conjuntos 
y representar mediante grafos o matrices dichas 
relaciones. Esto, para establecer características 
específicas de los elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Competencia específica 
 
 
 
 
 
 
Analizar estructuras básicas para identificar las clases y 
los tipos de relaciones, resolviendo operaciones entre 
conjuntos e interpretando sus propiedades. 
 
 
3.1. Introducción a la relación 
El concepto de relación, implica un nivel de abstracción elevado pero que sin embargo es esencial en una 
gran variedad de temas. Coloquialmente, la palabra “relación” tiene muchos significados y diferentes 
interpretaciones dependiendo del contexto en el que se le utilice. Por ejemplo, antiguamente se aplicaba al 
relato de un viaje o una crónica. En nuestro contexto, una relación se entiende más como la existencia de 
una conexión entre dos entidades matemáticas, ya sean números o símbolos. 
Muchas veces se emplea el concepto de relación sin siquiera tenerlo en cuenta de manera explícita o 
definirlo. Esto sucede en los pares ordenados que describen las coordenadas cartesianas en un plano. De 
la misma manera, una función establece una relación entre dos o más cantidades. Como veremos a lo 
largo de esta unidad, existen diferentes tipos de relaciones y éstas a su vez pueden ser de extensión finita 
o infinita dependiendo del número de elementos entre los cuales se establezca la relación que se quiera 
definir. En nuestro curso nos limitaremos a estudiar las características de las relaciones aplicadas a 
colecciones o conjuntos finitos, de hecho en la unidad anterior ya hemos utilizado las relaciones a la hora 
de definir los grafos o bien, dicho de otra forma los grafos pueden ser dibujados a partir de relaciones como 
veremos a lo largo de esta unidad. 
Las relaciones son definidas sobre colecciones (o conjuntos) de objetos. Los objetos son usualmente 
números, pero en general puede ser cualquier cosa. Como ejemplo consideremos el conjunto de elementos 
{1, 2, ☺, ¬_¬, ^_^, 123}, esta es una colección finita, con un número determinado de elementos, en 
particular nuestra colección contiene solo seis elementos. A pesar de que el símbolo “¬_¬” está formado 
 
 
 
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por tres caracteres sigue siendo un único elemento de la colección de la misma forma que el número 123 
se considera un solo elemento pero se requieren tres caracteres para representarlo. 
Entonces, por relación entendemos por ejemplo, una colección de pares ordenados de los objetos que se 
encuentran en nuestra colección:  = {(1, ☺), (123, ^_^), (2, 1)}. De la colección anterior podemos decir 
que 1 está relacionado con ☺, 2 está relacionado con 1 pero ☺ no está relacionado con ¬_¬. Usar esta 
nomenclatura para establecer o mencionar la existencia de una relación entre dos objetos es poco elegante 
y tedioso. En la literatura, diferentes autores usan diferente nomenclaturay simbología para denotar una 
relación entre dos objetos, por ejemplo, (1, ☺) pertenece a la relación  . Sin embargo, esta forma de 
enunciarlo aún sigue siendo larga y puede hacerse más compacta utilizando el símbolo  que 
entenderemos como “pertenece a”, así (1, ☺) . Otra forma común y más compacta de escribir esto 
mismo corresponde a 1☺. 
Dependiendo de la relación que se establezca entre dos objetos podemos representarla de manera más 
compacta definiendo un símbolo en particular para esa relación, de esta manera podemos decir 1~☺, que 
significaría 1 está relacionado con ☺ a través de la relación  . En muchos casos ya existe un símbolo 
predeterminado para un tipo particular de relación como veremos más adelante. 
Antes de pasar a definir de manera formal lo que se entiende por relación, abordaremos una operación 
lógica esencial en la secuencia conceptual de los conceptos que discutiremos en este capítulo. Nos 
referimos al Producto Cartesiano. 
 3.1.1. Definición de relación 
Seguramente el lector ya se encuentra familiarizado con el producto convencional entre dos números 
normales (escalares), probablemente también sea de su conocimiento el producto punto o escalar entre 
dos vectores y el producto vectorial o producto cruz. De la misma manera puede ser posible que ya haya 
comenzado su estudio del producto de matrices. Éste no es más que una generalización del producto 
escalar, también conocido como producto interno. Existen otros tipos de productos y el producto cartesiano 
es uno de ellos. 
La operación definida como producto cartesiano recibe su nombre del matemático francés René Descartes 
quién desarrolló la formulación de la Geometría Analítica introduciendo de esta manera el concepto de par 
ordenado en las coordenadas cartesianas. El producto directo de dos conjuntos es lo que se conoce como 
producto cartesiano en la teoría de conjuntos. Si tenemos dos colecciones o conjuntos, su producto directo 
generará un nuevo conjunto formado por los pares ordenados de cada elemento del primer conjunto y un 
elemento del segundo conjunto. De esta manera si se tienen dos conjuntos con n y m elementos su 
producto directos generará n  m elementos (n, m). Donde se ha escogido el símbolo “ ” para denotar el 
producto directo. 
Ejemplo. Se tienen dos colecciones F = (manzana, durazno) y C = (verde, amarillo, rojo). Encuentre su 
producto cartesiano. 
Solución. Calculamos este producto como: 
 
 
 
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R = FC = {(manzana, verde), (manzana, amarillo), (manzana, rojo), (durazno, verde), (durazno, amarillo), 
(durazno, rojo)}. 
El producto cartesiano en general no es conmutativo. 
A continuación definiremos formalmente el producto cartesiano de manera general. 
Definición. Sean los conjuntos 
1 2, ,..., nX X X , el producto cartesiano n-ario de 
estos, denotado por 1 2 ... nX X X   , es el conjunto de todos los pares 
ordenados en los cuales el primer elemento se encuentra en el conjunto X1, el 
segundo en el conjunto X2, y así sucesivamente, de tal forma que: 
  1 2 1 2 1 1 2 2... , ,..., ... .n n n nX X X x x x x X x X x X          
En particular para el ejemplo que se dio, con solo dos elementos se tiene que: 
Definición. El producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por XY, 
es el conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento 
se encuentra en el conjunto X y el segundo en el conjunto Y: 
   , .X Y x y x X y Y     
Con los conceptos que acabamos de revisar ya es posible dar una definición 
formal de relación. 
 
 
Como en el caso del producto cartesiano primero definiremos una relación entre cualquier número de 
conjuntos y posteriormente trataremos el caso particular de solo dos conjuntos que fue el que empezamos 
discutiendo y ejemplificando de manera informal al inicio del capítulo. 
Definición. Sean los conjuntos 1 2, ,..., nX X X . Una relación n-aria en estos conjuntos es un 
subconjunto del producto cartesiano n-ario 1 2 ... nX X X   . Los conjuntos 1 2, ,..., nX X X 
son llamados el dominio y n se conoce como el grado de la relación. Simbólicamente: 
 1 2 ... .nX X X    
Si  = 0, llamaremos a esta relación, una relación vacía. Si  = 1 2 ... nX X X   , será una relación 
universal, mientras que en el caso particular en que solo tengamos tres conjuntos será una relación ternaria 
y para dos conjuntos una relación binaria. Estas últimas tienen mayor interés para nuestro curso ya que por 
ejemplo el espacio cartesiano tridimensional se forma al multiplicar (producto cartesiano) el conjunto de los 
números reales por sí mismo tres veces y de forma análoga el plano cartesiano cuando el conjunto de los 
 
 
 
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números reales se multiplica por sí mismo una vez. Otro ejemplo de una relación binaria la encontramos 
cuando se hizo el producto cartesiano de la colección de colores por la colección de frutas. El resto de este 
capítulo estará dedicado a relaciones binarias, a sus propiedades y operaciones que son posibles llevar a 
cabo con ellas. 
Actividad 1. Definición de relación 
Propósito 
Construir una definición general de relación que incluya las relaciones matemáticas y las relaciones entre 
personas. 
 
Instrucciones 
Participa con tus compañeros(as) respondiento las siguientes preguntas en el foro. 
 ¿Qué características esenciales definen las relaciones entre las personas? 
 ¿Qué caracteristicas basicas tienen las relaciones matemáticas? 
 ¿Será posible relacionar los números y el comportamiento de las personas? 
 
3.1.2. Relación binaria 
El grado dos de una relación es usualmente el más común, ya que cuando se empieza a estudiar el 
comportamiento de un fenómeno o la influencia de una cantidad con respecto a otra, es conveniente 
sobresimplificarlo y estudiar la relación que existe entre un par de colecciones o conjuntos, dando origen de 
esta manera a una relación binaria. En lo sucesivo nos referiremos a una relación binaria simplemente 
como una “relación”, en caso de que el grado de la relación sea diferente de dos se mencionará 
explícitamente. 
Definición. Sean los conjuntos X y Y. Una relación binaria en estos conjuntos es un subconjunto del 
producto cartesiano binario X Y . Simbólicamente: 
 X Y  
En el ejemplo de las frutas y colores, del inicio del capítulo, se calculó el producto cartesiano. El conjunto 
solución tiene seis elementos pero una relación definida en ese conjunto puede tener un número menor o 
igual de elementos dependiendo de las condiciones establecidas. Por ejemplo, suponga que se pide que 
las frutas sean rojas, entonces la relación  estará dada por el subconjunto {(manzana, rojo), (durazno, 
rojo)}. Esta relación solo tiene dos elementos y podemos decir que “manzana rojo” pero 
“manzana  verde”. 
Ejemplo. Sea el conjunto A = {1, 2, 3} y la relación  = {(3, 2), (3, 1), (2, 1)}. Mencione que característica 
satisface la relación. 
Solución. La relación es un subconjunto del producto cartesiano AA y se pude expresar como 
  , .a b a b  
 
 
 
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Es importante aclarar que en este caso se debe entender el elemento a como un elemento cualquiera del 
conjunto A y el elemento b es otro elemento cualquiera del conjunto A que sinembargo puede o no ser 
igual a a, en nuestro ejemplo en particular necesariamente tiene que ser diferente de a. 
Definición. Para cualquier relación X Y  , el subconjunto de X 
   ; , , ,x x X y Y x y    
es llamado el dominio de  . El subconjunto de Y 
   ; , , ,y y Y x X x y    
es llamado el rango de  . 
En palabras, esto significa que todos los elementos del conjunto X que forman parte de la relación  serán 
el dominio. Mientras que todos los elementos del conjunto Y que forman parte de la relación  serán el 
rango. 
Ejemplo. Sea la relación  = {(3, 2), (3, 1), (2, 1)}. ¿Cuál es su dominio y cuál su rango? 
Solución. El dominio y el rango estarán dados por: dominio = {2, 3}, rango = {1, 2}. 
 
3.1.3. Matriz de una relación 
El concepto de representar una relación en términos de matrices es muy similar al visto en la unidad dos: 
Grafos y Árboles, en los temas Matrices de Adyacencia y Matrices de Incidencia. Curiosamente ahí se 
partió de una representación visual e intuitiva y se llegó a su equivalente matricial, en esta sección por el 
contrario empezaremos con la representación matricial de una relación y en la sección siguiente se 
describirá su grafo o gráfica directa. 
Como hemos procedido hasta el momento, primero daremos un ejemplo para que el lector visualice 
directamente el procedimiento y posteriormente entienda la definición formal sin mucho problema. 
Retomando el ejemplo de las frutas y colores, con el que ya estamos familiarizados, tenemos el producto 
cartesiano R = FC = {(manzana, verde), (manzana, amarillo), (manzana, rojo), (durazno, verde), (durazno, 
amarillo), (durazno, rojo)}. Recordando que la relación pide que las frutas sean rojas, entonces  estará 
dada por el subconjunto {(manzana, rojo), (durazno, rojo)}. La representación matricial se escribe como 
sigue: las filas serán los elementos de F y las columnas los elementos de C, si en la (fila, columna) existe 
un elemento de  en la matriz se colocará un 1, de lo contrario será un cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Explícitamente 
 
 
 
manzana 0 0 1
.
durazno 0 0 1
 
 
 
 
De esta manera vemos que es muy sencillo generar la matriz asociada a una relación. 
Definición. Una relación entre conjuntos finitos puede ser representada mediante una 
matriz de ceros y unos. Sea una relación  entre un conjunto X = {x1, x2, …, xm} y un 
conjunto Y = { y1, y2, …, yn}. La relación  puede ser representada por la matriz 
,ijm    M donde 
 
 
 
1, si , ,
0, si , .
i j
ij
i j
x y
m
x y
 
 

 
Es decir, que el elemento (xi, yj) será 1 si existe “xi yj” y 0 cuando “xi  yj”. Es claro que esta 
representación depende totalmente de la forma en que se asigna, por convención, el conjunto X y el 
conjunto Y en filas y columnas, respectivamente. Así como del orden en que los elementos de cada uno de 
estos conjuntos son listados. Usualmente, el dominio es subconjunto de X y el rango es subconjunto de Y. 
Ejemplo. Encuentre la representación matricial de la relación entre los conjuntos A = {1, 2} y B = {1, 3, 2} 
que contiene los elementos (a, b) sí , y a A b B a b   . Además: a1 = 1, a2 = 2, b1 = 1, b2 = 3 y b3 = 2. 
Solución. Primero escribimos los elementos de la relación  = {(1, 3), (1, 2), (2, 3)} y ahora la 
representamos matricialmente: 
 
1
2
0 1 1
.
0 1 0
a
a
 
 
 
 
Note que en este caso el conjunto B no tiene sus elementos ordenados ascendentemente y 
consecuentemente se nombró b2 = 3. En general las matrices pueden ser más grandes pero dado que lo 
importante es entender el concepto, trataremos de limitaremos a matrices de doce elementos como 
máximo. 
 
ve
rd
e 
am
ar
ill
o
 
ro
jo
 
b1 b2 b3 
 
 
 
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3.1.4. Grafo de una relación 
En esta sección discutiremos el problema inverso al atacado en la unidad dos, es decir, en vez de 
representar un grafo como matriz, acá partiremos de la relación y dibujaremos el grafo. El grafo en este 
contexto también es conocido como gráfica directa o para abreviar digráfica. 
Definición. La digráfica es un conjunto de vértices (o nodos) V junto con un conjunto E de 
pares ordenados de elementos de V llamados arcos (o aristas dirigidas). El vértice a es 
llamado el vértice inicial del arco (a, b) y el vértice b es llamado el vértice terminal. 
El caso en que se tiene un elemento de la relación de la forma (a, a) también está comprendido en la 
digráfica y se representa por un vértice que se conecta consigo mismo a través de un lazo. 
Ya que este tema se vio a mayor detalle y profundidad en el capítulo dos, acá solo daremos un ejemplo 
sencillo. 
Ejemplo. Dibuje la digráfica de la relación  = {(1, 3), (1, 2), (2, 3)}. 
Solución. La digráfica de esta relación se muestra en figura siguiente 
 
Fig. 3.1. Digráfica del ejemplo anterior. 
Actividad 2. Relaciones 
Propósito 
Realizar ejercicios sobre los tipos de relaciones. 
 
Instrucciones 
Resuelve los problemas siguientes: 
 
1. ¿Cuál será el número de elementos de un producto cartesiano entre los conjuntos A = {a1, a2, a3, a4} y 
B = {b1, b2}. Sol. 8. 
2. Encuentre todos los elementos del producto cartesiano AB de los conjuntos dados en el problema 1. 
Sol. R = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b2), (a4, b1), (a4, b2)}. 
3. Dada la relación  = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}, mencioné cuál es su dominio y cuál su rango. ¿Cuáles son 
los dos conjuntos más pequeños posibles tales que su producto cartesiano genera esta relación como 
un subconjunto de éste? Sol. El dominio será el conjunto D = {1, 3, 5} y el rango R = {2, 4, 6}. El 
producto DR generará la relación. 
4. Dé la matriz asociada a la relación  = {(1, ), (7, 2e), (4, 0), (4, 2)}, si los conjuntos que la generaron 
son A = {1, 4, 7} y B = {2, , 2e, 0} y los elementos de la relación están formados por los elementos (a, 
1 
2 3 
 
 
 
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b) sí ,a A b B  . Enumere los elementos tal como están enlistados para representar la matriz. Sol. La 
matriz que describe esta relación es: 
 
0 1 0 0
1 0 0 1
0 0 1 0

 
 
  
 
 
M 
5. Dada la matriz 
 
1 0
0 1
0 1
1 0

 
 
 
 
 
 
M 
escriba los elementos de la relación asociada, si los conjuntos que la generaron son A = {a1, a2, a3, a4} y B 
= {b1, b2}. Sol.  = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b2), (a4, b1)}. 
6. Dada la relación  = {(1, 1), (1, ), (7, 2), (2, 4), (4, 2), (e, e)}. Dibuje su digráfica. Sol. La digráfica se 
muestra en la figura siguiente. 
 
 
Fig. 3. 2. Digráfica del problema 6. 
Envía tus resultados al Facilitador(a). 
 
3.2. Propiedades de las relaciones 
Los elementos que forman una relación a veces presentan particularidades especiales que los hacen 
susceptibles para realizar ciertas operaciones sobre relaciones de manera más rápida o eficiente. Como 
estas características son inherentes a los elementos que forman la relación y no a las relaciones en sí, es 
posible generalizarlas y emplearlas para clasificar las relaciones en diferentes grupos de acuerdo, como ya 
se dijo, a las características de sus elementos. En esta sección veremos algunas de las propiedades más 
usadas para clasificar las relaciones originadas sobre un productocartesiano con sí mismo. Es decir, 
Definición. Una relación sobre un conjunto X es una relación de X a X. 
4 2 
7 e 
1  
 
 
 
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Esto significa que las relaciones bajo estudio en esta sección serán siempre un subconjunto del producto 
cartesiano de un conjunto con sí mismo .X X  Estas propiedades de las relaciones no son 
necesariamente excluyentes unas con otras, en algunos casos una relación puede tener dos o más 
propiedades al mismo tiempo. 
3.2.1. Reflexiva 
Definición. Una relación  sobre un conjunto A, se llama reflexiva si el elemento (a, a) 
pertenece a la relación. Es decir, a a a A  . 
Lo esencial para que una relación sea reflexiva es que contenga todos los elementos de su dominio 
relacionados consigo mismos. La existencia en la relación de otros elementos del conjunto generado por el 
producto cartesiano de A con A no es de importancia en la definición. 
Ejemplo. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son reflexivas sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4}? 
1 = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 
2 = {(1,1), (1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (4, 4)} 
3 = {(1,1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} 
4 = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 1)}. 
Solución. La relación 1 es la esencia de la definición de reflexiva, ya que contiene puros elementos de la 
forma (a, a) y son todos los que se pueden generar con los elementos del conjunto A. Las relaciones 2 y 
4 no son reflexivas. En el primer caso porque el elemento (2, 2) está ausente y en el segundo porque no 
se encuentra el elemento (1, 1) ni el elemento (4, 4). Finalmente, 3 es reflexiva ya que los cuatro 
elementos de la forma (a, a) que pueden obtenerse del conjunto A están presentes en la relación. 
3.2.2. Irreflexiva 
Definición. Una relación  sobre un conjunto A, se llama irreflexiva si el elemento (a, a) no 
pertenece a la relación. Es decir,  , ,a A a a   . 
Este caso es muy claro, la única condición que se pide para que la relación sea irreflexiva es que no haya 
elementos conectados con sí mismos, es decir, de la forma (a, a). De esta manera la propiedad reflexiva y 
la irreflexiva son mutuamente excluyentes en una relación. 
Ejemplo. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son irreflexivas sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4}? 
1 = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 
2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} 
 
 
 
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3 = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 1)} 
4 = {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (4, 1)}. 
Solución. 
1 no es irreflexiva pues todos sus elementos son de la forma (a, a). 2 es irreflexiva no hay 
elementos son de la forma (a, a). 
3 no es irreflexiva se encuentra el elemento (2, 2) y (3, 3). 4 es 
irreflexiva, ya que no contiene elementos de la forma (a, a). 
 
3.2.3. Simétrica 
Definición. Una relación  sobre un conjunto A, se llama simétrica si el elemento (a, b) 
pertenece a la relación y también el elemento (b, a) está en la relación. Es decir, 
, ,a b b a a b     . 
Analicemos esta definición, la única condición que se pide es que cada elemento de la relación debe de 
tener un elemento cuyas componentes estén “invertidas”. Además, la posibilidad de que b = a no está 
excluida. Si todos los elementos de la relación son de la forma a b , basta con contarlos y si son un 
número impar la relación no puede ser simétrica. 
Ejemplo. De las siguientes relaciones sobre el conjunto E = {, , }, ¿cuáles son simétricas? 
1 = {(, ), (, ), (, ), (, )} 
2 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } 
3 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} 
4 = {(, ), (, ), (, ))} 
Solución. La relación 1 no es simétrica, ya que no contiene el elemento (, ). Las relaciones 2 y 3 
son simétricas. 2 posee todas las posibles permutaciones sin repetición de nuestros tres “emoticons”. 
3 es simétrica ya que el elemento (, ) es él mismo la inversión por ser de la forma (a, b) con b = a. 
Finalmente, 4 es evidentemente no simétrica pues ningún elemento tiene su contraparte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2.4. Asimétrica 
Definición. Una relación  sobre un conjunto A, se llama asimétrica si el elemento (a, b) pertenece a la 
relación pero el elemento (b, a) no está en la relación. Es decir, , ,a b b a a b     . 
Esta definición no excluye la posibilidad de que a = b, así pues los elementos de la forma (a, a) no pueden 
estar en la relación asimétrica, ya que son la contra parte de sí mismos. En algunos textos la relación 
asimétrica también es llamada no simétrica. 
Ejemplo. De las siguientes relaciones sobre el conjunto E = {, , }, ¿cuáles son asimétricas? 
1 = {(, ), (, ), (, )} 
2 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } 
3 = {(, ), (, ), (, )} 
Solución. 
1 no es asimétrica ya que se encuentra el elemento (, ). 2 no es asimétrica pues cada 
elemento tiene su contraparte como por ejemplo (, ) y (, ). 3 es la única relación asimétrica. 
 
3.2.5. Antisimétrica 
Definición. Una relación  sobre un conjunto A, se llama antisimétrica si el elemento (a, b) pertenece a la 
relación, si también se encuentra el elemento (b, a) en la relación entonces debe de cumplirse que a = b. 
Es decir,   , ,a b b a a b a b       . 
Esta definición, es un tanto más abstracta, ya que pide la condición de un elemento de la forma (a, b), y 
además si en la relación también existe un elemento de la forma (b, a) entonces éste debe de satisfacer 
que a = b. La condición de la definición también es equivalente a decir que si el elemento (a, b) se 
encuentra en la relación y a b , entonces (b, a) no puede estar en la relación para que sea del tipo 
antisimétrico. El ejemplo siguiente aclarará esta situación. 
Ejemplo. De las siguientes relaciones sobre el conjunto E = {, , }, ¿cuáles son antisimétricas? 
1 = {(, ), (, ), (, )} 
2 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } 
3 = {(, ), (, ), (, ), (, )} 
4 = {(, ), (, ), (, ))} 
 
 
 
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Solución. 
1 es antisimétrica, el primer elemento es de la forma (a, a) y los otros dos de la forma (a, b) sin 
que exista su contraparte (b, a) siendo a b . Por ejemplo  1  pero  1 . 2 y 3 no son 
antisimétricas ya que existen elementos (a, b) y también (b, a) siendo a b . 4 sí es antisimétrica porque 
todos sus elementos son de la forma (a, b) sin que exista su contraparte (b, a) siendo a b . 
 
3.2.6. Transitiva 
Definición. Una relación  sobre un conjunto A, se llama transitiva si el elemento (a, b) pertenece a la 
relación y también se encuentra el elemento (b, c) en la relación entonces debe de cumplirse (a, c) también 
esté en la relación. Es decir, , , ,a b b c a c a b c       . 
Naturalmente, si se encuentra un elemento de la forma a = b, éste automáticamente satisface la condición 
de transitividad. Esta condición es más fácil de visualizar con números que con símbolos.Ejemplo. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son transitivas sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4}? 
1 = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 
2 = {(1,1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 3), (4, 4)} 
3 = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} 
4 = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (1, 4), (1, 1)}. 
Solución. 1 , 2 y 4 son relaciones transitivas. La primera porque todos sus elementos son de la forma 
(a, a). 2 porque entre los elementos de la forma (a, b) siendo a b se cumple que (a, b), (b, c) y (a, c) se 
encuentran en la relación, en particular (1, 2), (2, 3) y (1, 3) satisfacen esta condición. 4 es transitiva ya 
que: (1, 2), (2, 1) y (1, 1); (1, 2), (2, 4) y (1, 4) están en la relación. 3 no es transitiva porque (1, 2) y (2, 1) 
están en la relación pero (1, 1) no está en la relación. De la misma forma (2, 3) y (3, 4) están en la relación 
pero (2, 4) no está. 
Para terminar esta sección y conectarla con lo visto anteriormente, mencionaremos que todas estas 
propiedades de las relaciones presentan características muy particulares a la hora de ser dibujadas como 
digráficas. No las discutiremos acá ya que su estudio está más allá de un curso introductorio. 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 3. Propiedades de las relaciones 
Propósito 
Realizar relaciones binarias de conjuntos. 
Instrucciones 
Relaciona los siguientes conjuntos como se te indica. 
Sean 
 
Dadas las siguientes relaciones sobre el conjunto C ={ , , , }, conteste las preguntas 
acerca de las propiedades de las relaciones. 
1 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} 
2 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} 
3 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} 
4 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} 
5 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} 
1. ¿Cuál(es) de las relación(es) anterior(es) es reflexiva? 
2. ¿Cuál(es) de las relación(es) anterior(es) es transitiva? 
3. ¿Cuál(es) de las relación(es) anterior(es) es simétrica? 
4. ¿Cuál(es) de las relación(es) anterior(es) es irreflexiva? 
5. ¿Cuál(es) de las relación(es) anterior(es) es asimétrica? 
6. Dé un ejemplo de una relación que sea reflexiva, simétrica y antisimétrica al mismo tiempo, 
sobre el conjunto C ={ , , , }. 
Envía tus resultados al Facilitador(a). 
 
 
 
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3.3. Operaciones con relaciones 
Una visión simplista de las relaciones es que éstas son conjuntos de pares ordenados. Siendo así, las 
operaciones que es posible realizar sobre una relación, en principio, son las mismas que se pueden realizar 
entre un par de conjuntos. Además, introduciremos algunas operaciones que no son tan comunes en los 
cursos básicos de teoría de conjuntos. 
3.3.1. Operaciones con relaciones 
Las operaciones que ya deben de ser familiares al lector se repasarán en el ejemplo siguiente. 
Ejemplo. Dadas las relaciones: 
1 = {(1,1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 3), (4, 4)} 
2 = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}. 
Encuentre a) La unión 1 2  , b) la intersección 1 2  , c) la diferencia de 1 2  y d) la diferencia de 
2 1  . 
Solución. a) La unión de dos conjuntos consiste en crear un nuevo conjunto que contenga todos los 
elementos de los que lo generan, sin repetir ningún elemento aunque éste esté en ambos conjuntos 
generadores. La unión en este caso es 
1 2  = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}. 
b) La intersección consistirá en un nuevo conjunto formado por los elementos que aparecen en los dos 
conjuntos que le dieron origen: 
1 2  = {(1, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}. 
c) La diferencia de conjuntos es retirar de un conjunto (minuendo) los elementos de otro (sustraendo) si es 
que están presentes en el conjunto minuendo. De tal forma que 
1 2  = {(1,1), (1, 3)}. 
d) Mientras que en el otro caso 
2 1  = {(1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1)}. 
Ahora introduciremos dos operaciones más que se aplican en el álgebra boolena y en particular pueden 
aplicarse sobre conjuntos. 
Definición. La diferencia simétrica de A y B, denotada por A B , es el conjunto que contiene los 
elementos que se encuentran ya sea en A o en B, pero no en ambos. 
Ejemplo. Encuentre la diferencia simétrica 1 2  de los conjuntos 
 
 
 
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1 = {(1,1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 3), (4, 4)} 
2 = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}. 
Solución. El conjunto resultante de esta operación será: 
1 2  = {(1,1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1)}. 
Esta operación se puede ver como el resultado de una combinación de operaciones, en este caso la unión 
y la intersección:    1 2 1 2 1 2        . Además, por la forma en que fue definida la operación, 
vemos que es conmutativa. Es decir, 1 2  = 2 1  . 
La última operación de conjuntos que revisaremos en este curso estará más ligada a las relaciones que las 
anteriores y también a la propiedad de transitividad. Es el equivalente de la composición de funciones. 
Definición. Sea  una relación de un conjunto A a un conjunto B y sea  una relación de un conjunto B a 
un conjunto C. La compuesta de  con  es la relación consistente de pares ordenados (a, c), donde 
,a A c C  y para la cual existe un elemento b B tal que  ,a b  y  ,b c  . La compuesta de  
con  se denotará   . 
La composición de conjuntos es muy similar a la composición de funciones, solo que en este caso se 
efectuará sobre un número finito de elementos discretos. Para poderla llevar a cabo, basta con verificar que 
el segundo elemento del par ordenado en la relación  coincida con el primer elemento del par ordenado 
en la relación  . Solo los pares que satisfagan esta condición pasarán a formar parte del nuevo conjunto 
en la relación   y los elementos serán formados con el primer elemento del par ordenado en la relación 
 y el segundo elemento del par ordenado en la relación  . Además, dado el concepto de orden 
implicado en la definición, es claro que esta operación será no conmutativa. Todo esto quedará aclarado al 
revisar el siguiente ejemplo. 
Ejemplo. Encuentre B A para los conjuntos 
A = {(1, 4), (2, 6), (3, 2), (5, 1), (7, 3)} 
B = {(6,1), (2, 4), (1, 3), (3, 4)}. 
Solución. El elemento (1, 4) del conjunto A no puede ser compuesto con ningún elemento del conjunto B, 
ya que en éste no hay elementos de la forma (4, x). El elemento (2, 6) de A puede ser compuesto con el 
elemento (6, 1) en B y el resultado será (2, 1). El elemento (3, 2) en A puede ser compuesto con el 
elemento (2, 4) en B, el resultado será (3, 4). De la misma manera (5, 1) y (1, 3) dará (5, 3) y finalmente (7, 
3) y (3, 4) generará (7, 4). Por lo tanto, 
B A = {(2, 1), (3, 4), (5, 3), (7, 4)}. 
 
 
 
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En este ejemplo vimos la composición de dos diferentes conjuntos sin hacer mención alguna a las 
relaciones, pero lo cierto es que esto puede hacerse con el mismo conjunto generadoa partir de una 
relación  sobre un conjunto en particular. La compuesta de una relación  con sí misma es llamada 
potenciación. 
Definición. Sea  una relación sobre un conjunto A. Las potencias n , n = 1, 2, 3, …, están definidas 
recursivamente por 
  1 2 3 2 1, , , .n n              
Ejemplo. Encuentre 
2 para la relación  = {(1,1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 3), (4, 4)} definida sobre el 
conjunto A = {1, 2, 3, 4}. 
Solución. Haremos la composición entre dos conjuntos iguales. Esto es, el elemento (1, 1) será compuesto 
con los elementos (1, 1), (1, 2), (1, 3). El elemento (1, 2) con los elementos (2, 3) y así sucesivamente. 
Entonces, 
 
2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}. 
Como comentario diremos que este ejemplo de relación corresponde al que se dio para una relación con 
propiedad transitiva. La potenciación de estas relaciones siempre da como resultado un subconjunto de sí 
misma. A continuación daremos el teorema sin hacer la demostración, ya que ver la demostración formal 
está más allá de los objetivos de este curso. 
Teorema. La relación  en un conjunto A es transitiva si y solo si 
n  para n = 1, 2, 3,… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 4. Operaciones con relaciones 
Ejercicios. Resuelva los siguientes problemas. 
Dadas las relaciones 
 1 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } 
 2 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, 
sobre el conjunto E = {, , }. Encuentre: 
1. La unión 1 2  . 
2. La intersección 1 2  . 
3. La diferencia de 1 2  y 2 1  . 
4. La diferencia simétrica 1 2  . 
5. Encuentre 
n para la relación  = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 3), (4, 4)} definida sobre el conjunto A 
= {1, 2, 3, 4}. Sol. 
3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} y 4 3  , notamos que la relación ya no cambia 
después de 
2 , por lo tanto n = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}. 
Demostración 
Hay que demostrar las dos contenencias: 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
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En la prueba anterior, si se invierte el sentido de las implicaciones se obtiene la demostración de la parte 
(b). 
1. Completa la demostración del teorema anterior. 
2. Demuestra por inducción que: 
. 
Por último, al invertir las parejas de una relación R obtenemos otra relación, llamada la relación inversa de 
R. 
 
3.4. Relaciones de equivalencia 
Como vimos a lo largo de la sección anterior, las propiedades de las relaciones no son siempre 
mutuamente excluyentes. Es decir, una misma relación puede presentar varias propiedades a la vez. Este 
tipo de relaciones son de particular importancia en las bases de datos y se aplican en ciencias 
computacionales para minimizar y optimizar tiempos de búsqueda o tiempos de ejecución en programación. 
A veces es deseable comparar dos diferentes relaciones que aparentemente no tienen ninguna conexión 
en particular. Es posible hacer este tipo de comparaciones con relaciones que satisface varias condiciones 
o propiedades a la vez, ya que podemos establecer una comparación o equivalencia entre ambas 
relaciones y sus elementos, estas relaciones son llamadas relaciones equivalentes. A continuación se da 
su definición. 
 
 
 
 
 
 
 
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 3.4.1. Relación de equivalencia 
Definición. Una relación sobre un conjunto A, es llamada relación equivalente si es reflexiva, simétrica y 
transitiva al mismo tiempo. 
Definición. Dos elementos a y b relacionados en una relación equivalente son llamados equivalentes y 
será denotado a~b. 
Usualmente para indicar que dos elementos están relacionados en una relación de equivalencia se utiliza la 
notación a~b, debe entenderse con esta relación que existe una relación  sobre un conjunto A tal que 
,a b A y a b. Además, esta relación  es reflexiva, simétrica y transitiva, es decir es una relación 
equivalente. 
Recapitulando, para cualquier elemento de la relación a~a, es decir dicho elemento está relacionada 
consigo mismo (propiedad reflexiva). Para un elemento a~b debe de existir su contraparte b~a (propiedad 
de simetría). Y la propiedad transitiva, si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a 
está relacionado con c, a~b y b~c entonces a~c. 
Ahora daremos un ejemplo sencillo de una relación equivalente: 
Ejemplo. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, entonces la siguiente relación es equivalente sobre A:  = {(1, 1), 
(2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 1)}. Explicar por qué. 
Solución. Los primeros cuatro elementos de la relación son esenciales para que se cumpla la reflexividad 
ya que son todos las posibilidades de la forma a~a dados los elementos del conjunto A. Los elementos (1, 
2), (2, 3) y (1, 3) cumplen transitividad y los elementos (2, 1), (3, 2) y (3, 1) son la contraparte de los 
anteriores (simetría). Además, de estos mismos vemos que (3, 2) y (2, 1) generan a (3, 1) por transitividad. 
En la siguiente sección enseñaremos como generar una relación equivalente a partir de una que no lo es. 
Por ejemplo, si la relación bajo estudio no tiene transitividad o simetría, en base a los elementos que ya se 
encuentran en la relación, se explicará cómo agregar nuevos elementos a la relación tal que la nueva 
relación sea equivalente. 
 
3.4.2. Cerraduras 
Como ya hemos visto las relaciones no siempre tienen las propiedades que hemos descrito anteriormente. 
A veces es conveniente generar una nueva relación “auxiliar” que sí satisfaga alguna de las reglas dadas 
para las diferentes propiedades estudiadas. A esta acción de “a completar” una relación para que tenga 
una propiedad en particular se le conoce como cerradura. 
En general, sea  una relación sobre un conjunto A.  puede o no, tener alguna propiedad P, tal como 
reflexividad, simetría o transitividad. Si existe una relación C con la propiedad P conteniendo a  , tal que C 
es un subconjunto de cada relación con propiedad P conteniendo a  . Entonces, C es llamada la 
cerradura de  con respecto a P. No siempre es posible encontrar una cerradura para una propiedad en 
particular dada una relación  . 
 
 
 
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Unidad 3. Relaciones 
 
 
 
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En nuestro caso nos enfocaremos solamente en la reflexividad, simetría y transitividad. Si se tiene una 
relación  que no es reflexiva la condición de cerradura será muy simple, basta con agregar todos los 
elementos de la forma (a, a) que puedan ser formados con los elementos del conjunto A sobre el cual se ha 
definido  y que no se encuentren desde el inicio en  . La cerradura de reflexión en  estará dada por 
 , donde   ,a a a A   . Los elementos de  se conocen como diagonales. 
Ejemplo. Sea una relación  = {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (4, 3)}, sobre un conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Encuentre la 
cerradura reflexiva. 
Solución. La cerradura reflexiva será un conjunto que contenga todos los términos de la relación  , más 
los términos de la forma (a, a) que no se encuentren en  pero que sean parte del conjunto A. En estecaso los términos agregados para completar la cerradura se han puesto en negritas, 
 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 3), (4, 4)}. 
Antes de mostrar cómo generar una cerradura de simetría definiremos la relación inversa como: 
Definición. Sea  una relación de un conjunto A a un conjunto B. La relación inversa de un conjunto B a 
un conjunto A, denotada por 
1 , es el conjunto de pares ordenados     , ,b a a b  . 
La relación inversa es una operación que cambia el orden de los pares ordenados en una relación dada. 
Si se desea agregar la propiedad de simetría a una relación  , es necesario crear un nuevo conjunto que 
contenga todos los pares ordenados de la forma (b, a) siempre que en la relación original se encentren los 
elementos de la forma (a, b). En otras palabras, la cerradura de simetría se genera con la unión de la 
relación y su relación inversa, 
1 . 
Ejemplo. Sea una relación  = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 3), (4, 4)}, sobre un conjunto A = {1, 2, 
3, 4}. Encuentre la cerradura de simetría. 
Solución. Para poder obtener la cerradura de simetría requerimos agregar todos los términos de la forma 
(b, a) si en la relación  se encuentra el correspondiente término de la forma (a, b). Así, 
1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (1, 3), (3, 3), (4, 3), (3, 4), (4, 4)}. 
Finalmente, nos ocuparemos de la cerradura transitiva. Esta es la cerradura más complicada de construir 
puesto que se tienen que agregar términos de la forma (a, c) siempre y cuando en la relación se 
encuentren los términos de la forma (a, b) y (b, c). Nótese que al agregar nuevos términos de la forma (a, c) 
es posible que estos a su vez tengan que cumplir una nueva relación de cerradura con otros términos ya 
existentes en  , este proceso será entonces iterativo y se detendrá hasta que no haga falta agregar 
nuevos términos. Se debe de tener mucho cuidado para no omitir ninguna relación transitiva entre todos los 
elementos de la cerradura. 
 
 
 
 
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24 
Ejemplo. Sea una relación 
 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (1, 3), (3, 3), (4, 3), (3, 4), (4, 4)} sobre un conjunto A = {1, 2, 3, 4}. 
Encuentra la cerradura transitiva. 
Solución. En este caso notamos que para (3, 1) y (1, 2) hace falta el término (3, 2). Para el (4, 3) y (3, 1) 
faltaría el término (4, 1). Para (2, 1) y (1, 3) se genera (2, 3). Así, una relación intermedia, reordenando 
términos, será: 
T1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 4)} 
En este caso, la introducción del término (4, 1) hace necesario introducir un nuevo término (4, 2) puesto 
que (4, 1) y (1, 2) lo generarían por transitividad. Los otros términos introducidos (2, 3) y (3, 2) no generan 
nuevos términos que no estén ya incluidos en la relación T1. 
T2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (3, 4), (4, 4)}. 
Revisando la relación de cerradura que acabamos de obtener, notamos que ya no es necesario agregar 
nuevos términos pues todos los que están presentes cumplen la transitividad entre ellos. 
El lector posiblemente haya notado que hemos ido tomando los conjuntos generados de cada uno de los 
ejemplos previos, es decir, el que se formó de la relación  del inicio de la sección para que tuviera la 
propiedad de reflexión  , luego se utilizó para hacer la cerradura de simetría 1 y finalmente se 
le impuso la cerradura de transitividad. Sin embargo, la última relación NO es una relación equivalente pues 
al introducir los términos para formar la transitividad se ha perdido la simetría, si introducimos los términos 
adicionales para volver a obtener la simetría hay que revisar que no se haya perdido la transitividad y así 
sucesivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad 3. Relaciones 
 
 
 
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Actividad 5. Elementos de la relación 
Propósito 
Realizar ejercicios sobre los tipos de operaciones entre relaciones. 
 
Instrucciones 
Resuelve las operaciones de relaciones de los siguientes conjuntos. 
Considera las siguientes relaciones 
 
 
Resuelva los siguientes problemas. 
1. Dada la relación  = {(, !), (, ?), (!, $)} sobre el conjunto A = {, ?, !, $}. Encuentra la cerradura 
reflexiva. 
2. Dada la relación  = {( , ), (, !), (, ?), (, $), (!, $)} sobre el conjunto A = {, ?, !, $}. Encuentre la 
cerradura simétrica. 
3. Dada la relación  = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} sobre el conjunto C ={ , , , }. 
Encuentra la relación inversa 
1 . 
4. Dada la relación  = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )} sobre el conjunto C ={ , , , }. 
Encuentra la cerradura transitiva. 
5. Envía tus resultados al Facilitador(a). 
 
 
 
 
 
Matemáticas discretas 
Unidad 3. Relaciones 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología 
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Evidencia de aprendizaje. Relación de números de lotería 
Instrucciones 
Realiza diferentes relaciones y diferentes formas de representar esas relaciones utilizando los números de 
lotería que salen los días martes y domingo de la semana que les toque entregar la evidencia. 
 Realiza relaciones: Reflexiva, irreflexiva, simétrica y asimétrica. 
 Realiza un grafo correspondiente usando la relación asimétrica. 
 Realiza una relación de equivalencia. 
 Crea una matriz de relación con los conjuntos 
 
Cierre de la unidad 
Esta unidad es de las más complejas debido a la cantidad de información que maneja por lo que te 
recomendamos utilices un lugar donde no existan distractores, ya que es muy fácil equivocarse, también 
ten a la mano papel y lápiz porque son necesarios para hacer anotaciones y diagramas. 
Fuentes de consulta 
 Rosen, K. H. (2007). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill. 
 Mattson, H. F. Discrete Mathematics with Applications. Wiley and Sons. 
 Johnsonbaugh, R. (1999). Matemáticas Discretas. Prentice Hall.