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Quinto año. Colegio la Santa Unión de los Sagrados Corazones 
Función polinómica 
 
Funciones Polinómicas 
 
❖ CONCEPTO DE FUNCIÓN POLINÓMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❖ ORDEN DE MULTIPLICIDAD 
 
 
 
 
 
 
 
En este gráfico podemos ver, tanto la multiplicidad par como la impar.
 
 
Es decir, si la raíz se repite un número 
impar de veces la gráfica CRUZA al eje x 
Es decir, si la raíz se repite un número 
par de veces la gráfica REBOTA en el eje 
x 
Quinto año. Colegio la Santa Unión de los Sagrados Corazones 
Función polinómica 
 
 
 
 
❖ TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 
 
En la siguiente tabla se observan polinomios expresados en forma factorizada, sus raíces reales y su orden de 
multiplicidad (OMI: orden de multiplicidad impar y OMP orden de multiplicidad par). 
 
Polinomio expresado como producto. Raíces Reales 
Cantidad de 
Raíces Reales 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1). (𝑥 − 2)2. (𝑥 + 3) 
x = 1 (Raíz simple OMI) 
x= 2 (Raíz doble OMP) 
x = -3 (Raíz simple OMI) 
Cuatro en total 
𝑅(𝑥) = (𝑥 − 7)3. (𝑥 − 4)2 
x = 7 (Raíz triple OMI) 
x =4 (Raíz doble OMP) 
Cinco en total 
𝑄(𝑥) = (𝑥 + 5)3 x =-5 (Raíz triple OMI) Tres en total 
𝑆(𝑥) = (𝑥 − 8). (𝑥
2
+ 1 ) x = 8 (Raíz simple OMI) 
Una sola raíz 
real 
𝑀(𝑥) = (𝑥 − 1). (𝑥 − 2). (𝑥 + 3) 
x =1 (Raíz simple OMI) 
x = 2 (Raíz simple OMI) 
x = -3 (Raíz simple OMI) 
Tres en total 
 
Así mismo, un polinomio puede tener raíces reales y raíces no reales. El polinomio S(x) tiene una raíz real y dos raíces 
no reales. 
Existe un teorema, llamado teorema fundamental del álgebra, a partir del cual podemos afirmar que un polinomio 
de grado n tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las no reales. 
Atención: las raíces no reales siempre son de multiplicidad par, es decir, 2 ,4 … 
 
 
 
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Función polinómica 
 
 
 
 
❖ TEOREMA DE BOLZANO 
Cuando una función es continua en un intervalo y tiene distinto signo en los extremos del mismo, entonces tiene por 
lo menos una raíz real en ese intervalo. 
Consecuencia: Entre dos raíces consecutivas, los valores que toma un polinomio son todos positivos o todos negativos. 
 
En este gráfico se puede observar: 
 
• 𝑓(0) < 0, es decir que es negativa 
en 𝑥 = 0 
• 𝑓(4) > 0, es decir que es positiva 
en 𝑥 = 4 
Como la función tiene distinto signo 
en el extremo del intervalo  4;0 , si 
con un lápiz seguimos el recorrido del 
gráfico desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 4, 
necesariamente debemos atravesar 
el eje x. En este ejemplo, eso ocurre en 
𝑥 = 2 que es una raíz de la función 
polinómica. 
 
 
❖ GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA 
 
 
 
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Función polinómica 
 
 Las raíces de la función dada de ejemplo eran: 
▪ 𝑥 = −3 (𝑟𝑎í𝑧 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑂𝑀𝐼) 𝑨𝑻𝑹𝑨𝑽𝑰𝑬𝑺𝑨 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 
▪ 𝑥 = −2 (𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑂𝑀𝑃) 𝑹𝑬𝑩𝑶𝑻𝑨 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 
▪ 𝑥 = 1 (𝑟𝑎í𝑧 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑂𝑀𝐼) 𝑨𝑻𝑹𝑨𝑽𝑰𝑬𝑺𝑨 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 
 
 Si las ubicamos en la recta podemos ver los intervalos que se forman 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(−∞ ; −3) 
 
(−3 ; −2) 
 
(−2 ; 1) 
 
(1 ; ∞) 
 
Elegimos un valor 
arbitrario en el intervalo, 
por ejemplo 𝑥 = −4. 
Así 𝑓(−4) > 0 
 
Entonces, ese intervalo 
pertenece al 𝐶+ 
 
 
Como en 𝑥 = −3 la 
gráfica atraviesa al eje x, 
entonces cambiará de 
signo. 
Por lo tanto, este 
intervalo pertenece al 
𝐶− 
Como en 𝑥 = −2 la 
gráfica rebota en el eje x, 
entonces tendrá el 
mismo signo. 
Por lo tanto, este 
intervalo pertenece al 
𝐶− 
Como en 𝑥 = 1 la 
gráfica atraviesa al eje x, 
entonces tendrá el 
mismo signo. 
Por lo tanto, este 
intervalo pertenece al 
𝐶+ 
−3 −2 −1 0 1 
(−∞ ; −3) (−3 ; −2) (−2 ; 1) (1 ; ∞) 
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Función polinómica 
 
 
Conclusión: 
 
Actividades 
1) Dadas las siguientes funciones polinómicas indicar: 
 
a) Graficar utilizando Geogebra 
b) Indicar cuántas raíces tienen cada una 
c) Imagen 
d) Conjunto de positividad y negatividad 
e) Intervalo de crecimiento y decrecimiento 
f) Repite lo mismo con las siguientes funciones 
 
g) A partir de las funciones indicar similitudes y diferencias después de 
realizar su grafica con GeoGebra. 
h) Si una función polinómica es de grado 5, significa que tiene 5 raíces. Justificar tu respuesta. 
 
2) Dada las siguientes funciones expresada de manera factorizada. Indicar: 
 
a) Grado de cada una de ellas 
b) Conjunto de positividad y negatividad 
c) Cuantas raíces reales tiene y porqué. 
d) Graficar las funciones a y c e indicar similitudes y diferencias 
 
 
 
3) Observar las siguientes gráficas y escribir la fórmula factorizada en cada caso 
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4) Dada las siguientes funciones polinómicas, encontrar conjunto de positividad, de negatividad y luego 
graficar. 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
6) Responder lo mismo con el ejercicio f 
 
7) Cuales de las siguientes gráficas corresponde a la gráfica de la función. Explicar como te diste cuenta 
 
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Función polinómica 
 
 
8) 
 
 
 
 
 
9) 
 
 
 
 
 
10) Indicar cuál es la gráfica que corresponde a cada función: 
 
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Función polinómica 
 
11) Observar la gráfica de la función y escribir: 
 
 
12) Escribir en cada caso los conjuntos de positividad y negatividad de cada función: 
a) 𝑃(𝑥) = −2 ∙ (𝑥 + 3)4 ∙ (𝑥 − 2)3 
b) 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 
c) 𝐹(𝑥) = 𝑥5 ∙ (𝑥 − 1) 
d) 𝐻(𝑥) = 𝑥7 − 16𝑥5 (extraer factor común y realizar luego diferencia de cuadrados) 
e) 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 − 16𝑥2 + 16𝑥 (extraer factor común y realizar luego trinomio cuadrado perfecto) 
 
13) Dadas las siguientes funciones polinómicas: 
a) 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 − 4𝑥 + 24 
b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 6𝑥 − 20 
c) ℎ(𝑥) = 𝑥6 − 4𝑥4 (extraer factor común y realizar luego diferencia de cuadrados) 
d) 𝑃(𝑥) = 3𝑥5 + 18𝑥4 + 27𝑥3 (extraer factor común y realizar luego trinomio cuadrado perfecto) 
e) 𝐹(𝑥) = 2𝑥4 − 6𝑥3 − 6𝑥2 + 22𝑥 − 12 
f) 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 4 
g) 𝐺(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 
h) 𝑃(𝑥) = 3𝑥5 − 21𝑥4 − 15𝑥3 + 225𝑥2 
 
 
 
 
 
I. Indicar sus expresiones factorizadas 
II. Determinar para cada una dominio, imagen, ordenada y raíces (indicando el 
orden de multiplicidad de las mismas). 
III. Escribir los conjuntos de positividad y negatividad de ambas (realizar la recta con 
los signos) 
IV. Construir los gráficos aproximados 
 
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14) Indicar cuál es la función que corresponde a cada gráfica 
 
 
15) Colocar OP (orden par) o OI (orden impar) en cada raíz según corresponda 
 
 
16) Graficar las siguientes funciones, graficar, indicar su expresión factorizada. 
 
 
Actividades de Revisión 
1) Las funciones 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 8𝑥2 − 𝑥 − 8 y 𝑞(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 8 tienen en común 
a) Una raíz 
b) Dos raíces 
c) Tres raíces 
d) Ninguna raíz 
2) La función 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 corta en el eje de las abscisas en 
a) Ningún punto 
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Función polinómica 
b) Dos puntos 
c) Tres puntos 
d) Un punto 
3) El conjunto de positivada de 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 es 
a) (−2; 0) 
b) (−2; 0)𝑈 (
1
2
; ∞) 
c) (−∞; −2)𝑈(−2,0) 
d) (−∞; −2)𝑈(0;
1
2
) 
4) Si 𝑓(𝑥) = −𝑛𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑛𝑥 y sabemos que 𝑓 (
1
2
) = 0, entonces n es igual a: 
a) n=2 
b) n=1 
c) n=-1 
d) n=-2 
e) 
 
5) Realicen la gráfica aproximada la siguiente función e indicar conjunto de positividad, 
negatividad, ceros, dominio y ordenada al origen 
a) 𝐺(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 
 
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