P_Sem 14_Ses 27_Integración por Partes ppt

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MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN:
INTEGRACIÓN POR PARTES
Semana 14
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje los estudiantes
resuelven integrales usando la técnica de “Integración por
Partes”.
INTEGRACIÓN POR PARTES
𝐷𝑢. 𝑣 = 𝑢𝐷𝑣 + 𝑣𝐷𝑢
𝐷𝑢. 𝑣 − 𝑢𝐷𝑣 = 𝑣𝐷𝑢 𝑣𝐷𝑢 = 𝐷𝑢. 𝑣 − 𝑢𝐷𝑣o
න𝑣𝐷𝑢 = න𝐷 𝑢. 𝑣 − න𝑢𝐷𝑣
න𝒗𝑫𝒖 = 𝒖. 𝒗 − න𝒖𝑫𝒗
De la derivada de 
un producto se 
genera el modelo 
de la integración 
por partes
Podemos resolver integrales inmediatas porque reconocemos la integral 
que es básica. Cuando no podemos encontrar una solución directa 
recurrimos a un método llamado integración por partes.
INTEGRACIÓN POR PARTES
න𝒗𝑫𝒖 = 𝒖. 𝒗 − න𝒖𝑫𝒗
Una integración que no es directa requiere que parte de ella se considere 
como “𝑣” y al resto como “𝐷𝑢”
න𝑥𝑒𝑥 𝐷𝑥
No podemos 
resolverla en 
forma directa
𝑆𝑖 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 ① 𝑣 = 𝑥
𝒚 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔② 𝑫𝒖 = 𝒆𝒙𝑫𝒙
න𝑣𝐷𝑢 = 𝑢. 𝑣 − න𝑢𝐷𝑣⇒
Falta encontrar 𝑫𝒗 y encontrar 𝒖 para reemplazar en el modelo
INTEGRACIÓN POR PARTES
① 𝒗 = 𝒙 Derivamos a ambos miembros 𝑫 𝒗 = 𝑫𝒙
② 𝑫𝒖 = 𝒆𝒙𝑫𝒙 Integramos a ambos miembros න𝑫𝒖 = න𝒆
𝒙𝑫𝒙 𝒖 = 𝒆𝒙
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜න𝑣 𝐷𝑢 = 𝑢. 𝑣 − න𝑢𝐷𝑣
න𝑥𝑒𝑥 𝐷𝑥 = 𝑥. 𝑒𝑥 −න𝑒𝑥𝐷𝑥
⇒
න𝒙𝒆𝒙𝑫𝒙 = 𝒙. 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝑪Rpta.
INTEGRACIÓN POR PARTES
න𝒍𝒏𝒙𝟐𝑫𝒙
No podemos 
resolverla en 
forma directa
𝑺𝒊 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔 ① 𝒗 = 𝒍𝒏𝒙𝟐 𝒚 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔② 𝑫𝒖 = 𝑫𝒙
Resolver:
Derivamos a ambos miembros de ①
𝑫𝒗 = 𝑫𝒍𝒏𝒙𝟐
𝑫𝒗 =
𝟐
𝒙
𝒅𝒙
Integramos a ambos miembros de②
න𝑫𝒖 = න𝑫𝑫𝒙
𝐮 = 𝐱
INTEGRACIÓN POR PARTES
න𝒍𝒏𝒙𝟐𝑫𝒙
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜න𝑣𝐷𝑢 = 𝑢. 𝑣 − න𝑢𝐷𝑣
න 𝑙𝑛𝑥2𝐷𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥2 −න𝑥.
2
𝑥
𝑑𝑥
න 𝒍𝒏𝒙𝟐𝑫𝒙 = 𝒙𝒍𝒏𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝑪Rpta.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1.- Calcular:
න𝒙𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙
¿Resolvemos por partes o en forma directa?
¿Porque?
¿Quién es 𝒖? ¿Quién es Dv?
EJERCICIOS RETO 
Calcular:
¡A practicar!