P_Sem 15_Ses 29_Integral Definida ppt

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MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
INTEGRAL DEFINIDA
SEMANA 15
APLICACIÓN
La función ingreso marginal de un fabricante es:𝑅 𝑞 =
50
𝑞
Si R está en dólares, calcule el cambio en el Ingreso total si la producción 
aumenta de 100 a 400.
¿Para resolver utilizamos la formula de la razón de cambio Promedio?
¿Conoce la función Ingreso total?
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante interpreta el
concepto de la integral definida como un área cuyo uso le
permite resolver ejercicios y problemas en el área de la
Administración y Economía.
INTERPRETACIÓN 
GEOMÉTRICA
Conocemos formulas de AREAS BÁSICAS
¿Cómo hallamos el área? 
Haciendo cortes basados en 
áreas básicas
INTERPRETACIÓN 
GEOMÉTRICA
CON LAS ÁREAS BÁSICAS NO SERÍA POSIBLE 
CONOCER EL ÁREA
SI SUMAMOS TODAS LAS AREAS 
POSIBLES LO ÚNICO QUE TENDRÍAMOS 
ES UNA APRÓXIMACIÓN DEL ÁREA 
TOTAL
¿Cómo hallamos el área?
INTERPRETACIÓN 
GEOMÉTRICA
SI LA CURVA REPRESENTA UNA FUNCIÓN f(X)
REPRESENTA EL
ÁREA BAJO LA
CURVA
SI LIMITAMOS LA FUNCIÓN ENTRE VALORES DE “x”
SE CONOCE COMO LA INTEGRAL DEFINIDA
DEFINICIÓN
Si f(x) es una función continua entre “a” y “b”; cuya gráfica se
encuentra sobre el eje “x”.
El área comprendida entre f(x), “a”, “b” y el eje “x” se representa
por la Integral de la función comprendida entre “a” y “b”
𝑓(𝑥)
SEGUNDA TEOREMA 
FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El Teorema permite evaluar la integral Indefinida entre dos 
valores.
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Los valores se conocen como límites de la Integral
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
a
b
APLICACIÓN
Observe que la constante C; no depende de la variable, se elimina en la
evaluación
Hallar el área bajo la curva de la región limitada por la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 + 5, 
desde 𝑥 = 1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 4. 
OBSERVACIÓN
a a
b b
 
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂) 
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 ≠ 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂)
La grafica 
esta sobre 
el eje x
La grafica no 
esta sobre el 
eje x
APLICACIÓN
Si el costo fijo es 200. Halle la función Costo Total
Si la derivada del Costo Total se llama Costo Marginal, entonces:
APLICACIÓN
APLICACIÓN
Halle el Costo Total de las unidades producidas entre la segunda y
octava unidad
Sabemos que al integrar obtendremos el costo total pero no sabemos
el costo fijo luego; no podemos aplicar la razón de cambio promedio
entre la segunda y octava unidad producida.
Recuerda la 
interpretación
 
2
8
3𝑞2 + 2𝑞 − 60 𝑑𝑞 =𝑞3 + 𝑞2 − 60𝑞 + 𝐶
PROPIEDADES DE LA 
INTEGRAL DEFINIDA
PROPIEDADES DE LA 
INTEGRAL DEFINIDA
= 5+4
9+4
(𝑥 − 4 + 4)4−2(𝑥 − 4) 𝑑𝑥
PROPIEDADES DE LA 
INTEGRAL DEFINIDA
= 0
8 𝑥2+8𝑥+8
𝑥
dx
= 0
8
𝑥 +
8
𝑥
dx
PROPIEDADES DE LA 
INTEGRAL DEFINIDA
= 
𝟏
𝟓
 𝟑(𝟓)
𝟕(𝟓)
(𝟓
𝒙
𝟓
+ 𝟒)𝟑−𝟓 (
𝒙
𝟓
− 𝟐) 𝒅𝒙
= 
𝟏
𝟓
 𝟏𝟓+𝟒
𝟑𝟓+𝟒
(𝒙 − 𝟒 + 𝟒)𝟑− 𝒙 − 𝟒 + 𝟏𝟎 𝒅𝒙
= 
𝟏
𝟓
 𝟏𝟗
𝟑𝟗
𝒙𝟑 + 𝟏𝟒) 𝒅𝒙
PROPIEDADES DE LA 
INTEGRAL DEFINIDA
= 𝟗−𝟒
𝟏𝟒−𝟒 (𝒙+𝟒−𝟒)
𝟐𝟓
𝟐
− 𝒙 + 𝟒 + 𝟏 𝒅𝒙
= 5. 𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙
PROPIEDADES DE LA 
INTEGRAL DEFINIDA
= 
𝟏
𝟑
 𝟑−𝟓
𝟏𝟓−𝟓
(𝒙 + 𝟓 − 𝟓) 𝒅𝒙
EJEMPLO EXPLICATIVO 2
EJEMPLO EXPLICATIVO 3
• Hallar el área bajo la curva de la región limitada 
por la gráfica de 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
desde 𝑥 = 1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 3.
Solución:
Para determinar el área solicitada, 
evaluamos la integral definida: 
 1
3
2𝑥 + 1 𝑑𝑥= 𝑥2 + 𝑥 1
3 = 10 𝑢2.
EJERCICIO RETO I 
Hallar el área comprendida entre la función:
Rpta: 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 = 2 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 6.
Resolver:
EJERCICIO RETO 2
¡A practicar!