P_Sem14_Ses 28_Integral de la Función Logaritmo y Exponencial ppt

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MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
INTEGRAL DE FUNCIONES 
EXPONENCIALES Y 
LOGARÍTMICAS
INTEGRAL DE FUNCIONES 
EXPONENCIALES Y 
LOGARÍTMICAS
SEMANA 14
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de la clase, el estudiante utiliza
acertadamente las reglas y/o fórmulas de la integral de
funciones exponenciales y logarítmicas en la solución de
ejercicios con autonomía y seguridad.
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE 
FUNCIONES
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
𝐈. 𝐋𝐚𝐬 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚𝐭𝐚𝐬
𝑎) න
1
𝑥
ⅆ𝑥 = ln 𝑥 + 𝐾
𝑏) න𝑒𝑥 ⅆ𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐾
𝑐) න𝑎𝑥 ⅆ𝑥 =
1
ln 𝑎
𝑎𝑥 + 𝐾
ⅆ𝑜𝑛ⅆ𝑒: 𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
OBSERVACIÓN
A estas alturas debe ser capaz de reconocer una integral que puede
resolverla de forma directa.
Ser capaz de aplicar dos métodos (sustitución o por partes) cuando la
integral no es directa.
Uno de estos métodos “cuando la función es fraccionaria” tiende a 
pensar en sustitución pero; sea observador:
Si el numerador es de grado mayor al denominador debe reducir la 
fracción dividiendo los polinomios.
Solo si el denominador es de grado uno puede pensar que esta 
frente a una integración logaritmo.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
𝟏) 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫: න
3𝑥2 + 2
𝑥
ⅆ𝑥
Puede pensar en sustitución pero; observe que el numerador es mayor 
que el denominador
Se recomienda dividir o expresar la función en monomios separados
න
3𝑥2 + 2
𝑥
ⅆ𝑥 = න 3𝑥 +
2
𝑥
ⅆ𝑥
Ahora puede expresar el ejercicio como dos integrales independientes
න3𝑥 ⅆ𝑥 + න
2
𝑥
ⅆ𝑥
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
න3𝑥 ⅆ𝑥 + න
2
𝑥
ⅆ𝑥
INTEGRAL 
INMEDIATA
INTEGRAL 
LOGARITMO
𝟑
𝟐
𝒙𝟐 + 𝟐𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
න2𝑒𝑥 ⅆ𝑥 + න5𝑥 ⅆ𝑥
2) 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫:
න 2𝑒𝑥 + 5𝑥 ⅆ𝑥
𝟐𝒆𝒙 +
𝟓𝒙
𝒍𝒏 𝟓
+ 𝑪
INTEGRALES 
EXPONENCIALES
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Hallar:
න −2𝑒3𝑥 +
5
𝑥
ⅆ𝑥
න−2𝑒3𝑥ⅆ𝑥 + න
5
𝑥
ⅆ𝑥
−𝟐
𝒆𝟑𝒙
𝟑
+ 𝟓 𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Solución.
Halle
න
3
5𝑡 − 12
ⅆ𝑡
Usando la regla del factor constante y la cuarta fórmula:
න
3
5𝑡 − 12
ⅆ𝑡 = 3න
1
5𝑡 − 12
ⅆ𝑡
= 3 ⋅
1
5
⋅ ln 5𝑡 − 12 + 𝐶
=
𝟑
𝟓
⋅ 𝒍𝒏 𝟓𝒕 − 𝟏𝟐 + 𝑪
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
La función de costo marginal de un fabricante es
𝐶′ 𝑞 =
150
0.1𝑞 + 2
Si 𝐶 está en dólares, ¿qué tanto más costaría incrementar la producción
de 10 a 20 unidades?
න𝐶′ 𝑞 ⅆ𝑞 = න
150
0.1𝑞 + 2
ⅆ𝑞
𝐶(𝑞) = 150 ⋅
1
0.1
⋅ ln 0.1𝑞 + 2 + 𝐾
𝐶(𝑞) = 1500 ⋅ ln 0.1𝑞 + 2 + 𝐾
Piden
𝐶 20 − 𝐶 10 = 1500 ln 4 − 1500 ln 3 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝐥𝐧
𝟒
𝟑
dólares 
EJERCICIOS RETO 
Halle
න
1
3𝑢 + 1
+ 𝑒−5𝑢 ⅆ𝑢
Respuesta: 
𝟐
𝟑
𝟑𝒖 + 𝟏 −
𝒆−𝟓𝒖
𝟓
+ 𝑪
¡Ahora todos a
practicar!