Matemáticas3

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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Liceo “Alfredo Ramón Delgado Mejías”
Pampanito – Trujillo
Transformaciones lineales
Elaborado por:
-Fabián Moncayo #13
CI: 31.008.080
5to “D”
¿Qué es la transformación lineal?
-Una transformación lineal es una función o aplicación lineal cuyo dominio y condominio son espacios vectoriales, en lugar de los números reales como es el caso de las funciones en el campo real. Por supuesto esta tiene que cumplir con ciertas propiedades, pero siempre sobre los espacios vectoriales
-A las transformaciones lineales también se les llama operaciones lineares. Una transformación lineal es entonces, una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de espacio vectorial, es decir, el conjunto de llegada (condominio o imagen) de la suma de los 2 vectores del dominio (conjunto de salida) es la suma de las imágenes de cada uno de los vectores y la imagen del producto del vector por el escalar. La transformación lineal es una definición entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para enseñar una transformación lineal usaremos F (v)=W, son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. A las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.
-Una aplicación entre conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B.
-La aplicación de f del conjunto A en el conjunto B si indica mediante f:AB. El conjunto A se llama conjunto inicial, y el conjunto B final. Si la aplicación f asigna al elemento a E A el elemento b E B, diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a)=b. la regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, este claro que elemento de B es su imagen.
	Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:
T (a + b) = T (a) + T (b)
T (k a) = k T (a)
-Que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
-Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama condominio de T.
Ejemplo 1.
A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación:
T: R2 ® R3 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)
-Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
                                           = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)
b) ¿ " x Î  R2, " k Î  R : T (k x) = k T (x) ?
T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) = 
= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
= k T (x)
Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 
Ejemplo 2.
Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 ® R2 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 
T (x) + T (y)  = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹ T (x) + T (y)
-No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.
Ejemplo 3.
 Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: Mn x n ® R / " v Î Mn x n : T (v) = det(v)
Sabemos que det(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) = kn det(A) ¹  k det(A), entonces esta transformación no es lineal.
Propiedades
· ü Para toda transformación lineal T: V ® W, T (-x) = -T (x)
· ü Para toda transformación lineal T: V ® W, T (0) = 0 (El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )
· ü Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V ® W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n
Aplicación de las transformaciones lineales.
-En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su condominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. Ósea, una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:
F: V→WF: V→W es una transformación lineal si y sólo si:
· F(u+v) =F(u)+F(v)    ∀u, v∈VF(u+v) =F(u)+F(v)    ∀u, v∈V
· F(k*v) =k*F(v)       ∀v∈V, ∀k∈RF(k*v) =k*F(v)       ∀v∈V, ∀k∈R
Reflexión:
-Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, la llamamos reflexión del conjunto de puntos dados. También se realiza con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.
Dilatación:
-Al igual que en la reflexión, se pueden expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dado con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).
Contracción
La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).
Rotación
El término rotación tiene dos significados, pues la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.
Transformaciones Geométricas
Las transformaciones geométricas son las operaciones que permiten crear una nueva figura homóloga, a partir de una previamente dada. Estas transformaciones pueden ser:
Directas, si la homóloga conserva la orientación de la original
 
 
Inversas, si la homóloga tiene el sentido contrario a la original
 
 
 
Todas las culturas han utilizado las transformaciones geométricas en sus manifestaciones artísticas, utilizando los movimientos en el plano para crear bellísimas decoraciones geométricas.
TRASLACIÓN
 
Una traslación es una transformación isométrica (el objeto trasladado conserva sus medidas), la cual se desplaza según un vector.
 
 
 
 
ROTACIÓN
Un giro de centro O y ángulo α es una transformación geométrica plana que consiste en hacer girar cada punto de la figura plana (y por lo tanto, cada arista) un mismo ángulo a alrededor del centro O.
 
 
Se considera un giro de ángulo positivo al que se realiza en el sentido contrario al de las agujas del reloj (anti horario), y negativo al que se realiza en el sentido de las agujas del reloj (horario).
 
 
SIMETRÍA
Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'.
Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano,de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA
 
 
· Las simetrías son isometrías
 
 
HOMOTECIA
La homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos, y cumplen las siguientes condiciones:
Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).
La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).
 
 
Ejercicios de matemáticas