Matemática3

Vista previa del material en texto

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación 
L.B. Prof. “Alfredo Ramón Delgado Mejía”
Pampanito. Edo. Trujillo
Matrices y Determinantes
Elaborado por:
13#) Fabián Alejandro Moncayo González
Año y Sección: 5to “D”
CI: 31008080
¿Qué es una matriz?
-Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. De tal manera una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. 
-Se llama matriz de dimensión “m x n” a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma.
-La matriz A se puede denotar también como A = (aiai) donde 
 
¿Qué es el determinante de una matriz?
-El determinante de una matriz cuadrada matriz con el mismo número de filas que de columnas, se obtiene de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria de la misma matriz.
-Para poder realizar este cálculo necesitamos una matriz cuadrada de orden m x n, donde m son las filas y n las columnas, siendo siempre m=n. 
-Esto es lo que llamamos dimensión de la matriz. Para matrices de orden superior a 2 x 2, el cálculo se realiza mediante las reglas de Laplace o Sarrus. 
Regla de Laplace
-Mediante esta regla podremos calcular fácilmente el determinante de matrices de dimensiones iguales y mayores a 3 x 3. 
-De esta forma, simplificamos el cálculo de las matrices de dimensiones elevadas al utilizar la suma de los determinantes de las matrices menores en las que se descompone la matriz inicial.
Regla de Sarrus
Ideada por el matemático francés Pierre Frédéric Sarrus, esta regla nos permite también calcular determinantes de matrices cuadradas de orden 3 y solamente de este orden. Para calcular los determinantes de esta manera debemos dibujar dos conjuntos de dos triángulos opuestos a través de los elementos que componen la matriz. El primer conjunto tendrá dos triángulos que deben cruzar la diagonal principal, mientras que el segundo conjunto tendrá otros dos triángulos que crucen la diagonal secundaria.
-Otra manera de calcular determinantes mediante la regla de Sarrus teniendo un determinante de una matriz 3 x 3 es la siguiente: escribimos las primeras dos filas de la matriz a la derecha de la misma, como si ocupasen una cuarta y quinta fila imaginaria. A partir de aquí, multiplicaremos los elementos por diagonales y, después, tendremos en cuenta que las diagonales descendentes que vayan de izquierda a derecha llevan un signo positivo, mientras que las diagonales de derecha a izquierda que sean también descendientes llevarán un signo negativo. Con este método, a pesar de su sencillez, es posible que se cometan errores, pues el número de operaciones es elevado. 
-A pesar de existir algunas propiedades y trucos para agilizar los cálculos, es aconsejable el uso de calculadoras potentes para realizar cálculos de algunos determinantes de matrices.
Por tanto, estamos ante un instrumento matemático que ayuda a simplificar el cálculo de operaciones más complejas y que a su vez tiene otras diversas utilidades en geometría.
Diferencia entre una matriz y un determinante: La principal diferencia entre las matrices y los determinantes es que una matriz es una manera de expresar datos o números, en cambio, el determinante de una matriz siempre será el resultado de una operación, es decir, un único número.
Historia de una matriz: Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término matriz en 1848/1850. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Historia de una determinante: Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Aplicaciones de las matrices: Son una herramienta muy útil no sólo en el campo de las matemáticas y la física como era de esperar; sino también en el campo de las ciencias sociales, por ejemplo, en economía y en geografía. Esta gran utilidad se debe a que las matrices aportan un nuevo lenguaje facilitando el trabajo en una gran cantidad de ámbitos.
Empezaremos en primer lugar con las aplicaciones en Matemáticas, donde vamos a distinguir las aplicaciones en las distintas ramas:
Álgebra lineal: 
· En esta rama destaca la utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma AX = B, mediante el cálculo de la matriz inversa:
· Estudio de las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales mediante la matriz asociada, que nos permite calcular el núcleo y la imagen.
Geometría:
· Para expresar la ecuación de un giro de ángulo α alrededor del eje OZ:
· Para representar las ecuaciones de las formas cuadráticas. Haciendo el estudio de la matriz correspondiente podemos clasificar la cuadrática en definida positiva, semi definida positiva, definida negativa o semi definida negativa. La matriz asociada a la forma cuadrática siempre es una matriz simétrica.
Análisis:
-En la rama del análisis se utilizan las matrices jacobianas, que se usan para expresar las derivadas parciales de una función en varias variables:
Si f(x, y, z) está definida de la siguiente forma:
-Con las aplicaciones en la Física. La aplicación más importante en este campo son las transformaciones de Lorenz, que dan las ecuaciones del movimiento de un punto en línea recta y sobre el plano conocidas la velocidad de la luz.
Por ejemplo: suponiendo que el punto se desplaza sobre el eje OX y que estamos en un espacio tetradimensional, donde la cuarta dimensión es el tiempo, entonces, el punto tendrá como coordenadas iniciales (x, y’, z’, t) y como finales (x’, y’, z’, t’). Las ecuaciones que dan esta transformación son:
Donde c representa la velocidad de la luz.
-Una vez que ya hemos visto algunas de las aplicaciones más importantes en Ciencias, vamos a ver la importancia que tienen en las Ciencias Sociales. 
Empezaremos primero con la Economía.
-Las matrices se utilizan para la presentación de datos de un problema en forma de tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es el modelo Input-Output, que permite solucionar problemas macroeconómicos, algunos de los cuáles son:
· Orientar o estructurar los sectores productivos.
· Poder predecir las demandas de producción.
· Interpretar las relaciones económicas existentes entre los distintos sectores de producción.
-Si continuamos por la Geografía, también aparecen cuando hay tablas de doble entrada, por ejemplo, para hacer referencia a la distancia que hay entre varias ciudad