Poisson 1

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Los mensajes que son spam arriban según un proceso de Poisson de tasa 𝜆𝑠 = 8 mensajes por hora, 
mientras que los que no son spam (regulares) lo hacen con 𝜆𝑟 = 2 mensajes por hora, e 
independientemente de los spam. De los mensajes regulares, con probabilidad 𝑝 = 0,05 y de 
manera independiente son invitaciones para salir con amigos. 
(a) Se tardan 2 seg en reconocer y borrar un mensaje de spam. El tiempo para leer y contestar un 
mensaje regular es uniforme entre 60 y 120 seg. Encontrar la media y varianza del tiempo necesario 
para procesar todos los mensajes recibidos entre las 12 y 22 hs. 
(b) Si acaba de recibirse un mensaje nuevo, hallar la probabilidad de que sea una invitación para salir 
con amigos. 
(c) La cuenta acaba de ser verificada. Encontrar la media del número de mensajes de spam que se 
recibirán hasta la llegada del próximo mensaje regular. 
(d) Entre las 10 y 14 hs. Arribaron 10 mensajes de spam. Calcular la probabilidad de que exactamente 
3 de ellos hayan arribado entre las 11 y 12 hs. 
(e) Luego de chequear el correo, una persona se queda dormida durante un tiempo aleatorio 
exponencial de media 1 hora. Si al despertarse observa que no recibió mensajes nuevos, hallar la 
función de densidad condicional del tiempo que estuvo dormida condicionada al hecho de que en 
ese tiempo no recibió mensajes). 
La llegada de mensajes sigue un proceso de Poisson de intensidad 𝜆𝑠 + 𝜆𝑟 = 10 mensajes por hora, 
resultado de superponer dos procesos de Poisson independientes. En el proceso resultante se 
superponen la sucesión de tiempos entre arribos de mensajes spam con la sucesión de tiempos entre 
arribos de mensajes regulares . A partir de un instante cualquiera (por la falta de memoria de las 
exponenciales), el tiempo hasta el arribo del próximo mensaje sigue la distribución del mínimo entre 
dos exponenciales de parámetros 𝜆𝑠 y 𝜆𝑟. Es decir, los tiempos entre mensajes en el proceso 
resultante son exponenciales de parámetro 𝜆𝑠 + 𝜆𝑟 como era de esperarse (ya que el proceso 
resultante es un proceso de Poisson de intensidad 𝜆𝑠 + 𝜆𝑟). Además, recordando lo estudiado sobre 
competencia de exponenciales independientes, cada mensaje tiene una probabilidad 𝜆𝑠/(𝜆𝑠 + 𝜆𝑟) 
de ser un mensaje spam y 𝜆𝑟/(𝜆𝑠 + 𝜆𝑟) de ser un mensaje regular. 
(a) Sea 𝑁(12,22] la cantidad de mensajes arribados entre las 12 y 22 hs. Entonces 
𝑁(12,22]~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(100). Sea 𝑇 el tiempo en seg necesario para procesar todos los mensajes 
arribados entre 12 y 22 hs. Si en el intervalo considerado llegan 𝑛 mensajes, cada uno de estos 
mensajes será procesado en un tiempo 𝑇𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Suponemos que estos tiempos son 
independientes entre sí e independientes de 𝑁. Entonces: 
𝑇|𝑁(12,22] = 𝑛 
= ∑ 𝑇𝑖 
𝑛
𝑖=1
 
Cada mensaje que llega tiene una probabilidad 𝑃(𝑆) = 𝜆𝑠/(𝜆𝑠 + 𝜆𝑟) = 0,8 de ser un mensaje spam 
y 𝑃(𝑅) = 𝜆𝑟/(𝜆𝑠 + 𝜆𝑟) = 0,2 de ser un mensaje regular. Si un mensaje es spam se lo borra en 2 seg 
mientras que si es regular se lo procesa en un tiempo uniforme entre 60 y 120 seg. Por lo tanto 𝑇𝑖 
puede ser considerado como una mezcla de dos tiempos: 𝑇𝑖|𝑆 que es constante e igual a 2 segs. y 
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𝑇𝑖|𝑅~𝒰(60,120). Entonces 𝐸[𝑇𝑖|𝑆] = 2 y 𝑉[𝑇𝑖|𝑆] = 0 mientras que para 𝑇𝑖|𝑅 es 𝐸[𝑇𝑖|𝑅] = 90 y 
𝑉[𝑇𝑖|𝑅] = 300. Por lo tanto 
𝐸[𝑇𝑖] = 𝐸[𝑇𝑖|𝑆]𝑃(𝑆) + 𝐸[𝑇𝑖|𝑅]𝑃(𝑅) = 2 × 0,8 + 90 × 0,2 = 19,6 
𝐸[𝑇|𝑁(12,22] = 𝑛] = 𝐸 [∑ 𝑇𝑖 
𝑛
𝑖=1
] = 𝑛𝐸[𝑇𝑖] = 19,6𝑛 ⟹ 𝐸[𝑇|𝑁(12,22]] = 19,6𝑁(12,22] 
𝐸[𝑇] = 𝐸 [𝐸[𝑇|𝑁(12,22] = 𝑛]] = 𝐸[19,6𝑁(12,22]] = 19,6𝐸[𝑁(12,22]] = 1960 seg 
Para la varianza de los 𝑇𝑖 calculamos primero 
𝐸[𝑇𝑖
2] = 𝐸[𝑇𝑖
2|𝑆]𝑃(𝑆) + 𝐸[𝑇𝑖
2|𝑅]𝑃(𝑅)
= (𝑉(𝑇𝑖|𝑆) + 𝐸
2[𝑇𝑖|𝑆])𝑃(𝑆) + (𝑉(𝑇𝑖|𝑅) + 𝐸
2[𝑇𝑖|𝑅])𝑃(𝑅) 
= (0 + 4)0,8 + (300 + 8100)0,2 = 1683,2 
Entonces 𝑉(𝑇𝑖) = 𝐸[𝑇𝑖
2] − 𝐸2[𝑇𝑖] = 1683,2 − 19,6
2 = 1299,04. Como los 𝑇𝑖 son independientes 
podemos calcular 
𝑉(𝑇|𝑁(12,22] = 𝑛) = 𝑉 (∑ 𝑇𝑖 
𝑛
𝑖=1
) = ∑ 𝑉(𝑇𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 1299,04𝑛 ⟹ 𝑉(𝑇|𝑁(12,22]) = 1299,04𝑁(12,22] 
𝑉[𝑇] = 𝐸[𝑉(𝑇|𝑁(12,22])] + 𝑉(𝐸[𝑇|𝑁(12,22]]) = 𝐸[1299,04𝑁(12,22]] + 𝑉(19,6𝑁(12,22])
= 1299,04𝐸[𝑁(12,22]] + 19,6
2𝑉(𝑁(12,22]) 
Resulta 𝑉(𝑇) = 168320 seg2. 
(b) En el punto anterior calculamos la probabilidad de que un mensaje cualquiera que se reciba sea 
spam como 𝑃(𝑆) = 0,8 y la probabilidad de que sea regular como 𝑃(𝑅) = 0,2. Cada mensaje regular 
tiene una probabilidad 𝑝 = 0,05 de ser una invitación para salir con amigos. Definamos el suceso 𝐼: 
el mensaje recibido es una invitación. Se tiene que 𝑃(𝐼|𝑅) = 0,05 y 𝑃(𝐼|𝑆) = 0. Entonces 
𝑃(𝐼) = 𝑃(𝐼|𝑅)𝑃(𝑅) + 𝑃(𝐼|𝑆)𝑃(𝑆) = 0,01 
(c) Si cada mensaje que arriba tiene probabilidades constantes 0,8 de ser spam y 0,2 de ser regular 
independientemente de los otros mensajes, entonces si definimos 𝑁 como la cantidad de mensajes 
arribados hasta el primer mensaje regular, contando estos mensajes a partir de cualquier punto del 
proceso, 𝑁 es una variable geométrica de parámetro 0,2. La media de la cantidad de mensajes spam 
recibidos hasta el primer mensaje regular será entonces 𝐸[𝑁 − 1] = 𝐸[𝑁] − 1 = 1/0,2 − 1 = 4. 
(d) Sean 𝑁𝑠(10,14]: cantidad de mensajes spam recibidos entre las 10 y 14 hs. y 𝑁𝑠(11,12]: cantidad de 
mensajes spam recibidos entre las 11 y 12 hs. Entonces es 𝑁𝑠(10,14]~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(32) y 
𝑁𝑠(11,12]~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(8). Se quiere calcular 𝑃(𝑁𝑠(11,12] = 3|𝑁𝑠(10,14] = 10). La distribución de 
𝑁𝑠(11,12]|𝑁𝑠(10,14] = 𝑛 es binomial de parámetros (𝑛, 𝑞) siendo 𝑛 = 10 y 𝑞 = (12 − 11)/(14 −
10) = 0,25 (o también 𝑞 = 8/32). Entonces 
𝑃(𝑁𝑠(11,12] = 3|𝑁𝑠(10,14] = 10) = (
10
3
) 0,2530,757 ≅ 0,25 
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(e) Sean 
𝑋: tiempo en hs. desde que la persona se queda dormida hasta la llegada del primer mensaje 
𝑋~exp (10) 
𝑌: tiempo en hs. que la persona duerme 
𝑌~exp (1) 
Mientras la persona durmió no se recibieron mensajes, es decir, está dada la condición 𝑌 < 𝑋. Por lo 
tanto, se debe calcular la densidad de la variable 𝑌|𝑌 < 𝑋. 
Para calcularla obtenemos primero la densidad conjunta de las variables 𝑋 e 𝑌 que suponemos 
independientes tal que 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦). Dividiendo esta densidad por 𝑃(𝑌 < 𝑋) tenemos la 
densidad conjunta de 𝑋 e 𝑌 condicionadas a 𝑌 < 𝑋. Tenemos que 𝑃(𝑌 < 𝑋) = 1/(1 + 10) = 1/11 
por lo tanto 
𝑓𝑋𝑌|𝑌<𝑋(𝑥, 𝑦) = 110𝑒
−10𝑥𝑒−𝑦 1{0 < 𝑦 < 𝑥} 
Calculamos ahora la densidad marginal de 𝑌|𝑌 < 𝑋 (graficar la región de integración): 
𝑓𝑌|𝑌<𝑋(𝑦) = ∫ 110𝑒
−10𝑥𝑒−𝑦𝑑𝑥
∞
𝑦
 
Obtenemos 𝑓𝑌|𝑌<𝑋(𝑦) = 11𝑒
−11𝑦 1{𝑦 > 0} como era de esperarse, ya que la variable 𝑌 
condicionada por 𝑌 < 𝑋 es el mínimo entre 𝑋 e 𝑌 que sigue una distribución exponencial cuyo 
parámetro es la suma de los parámetros de las dos exponenciales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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