Estad Clase Proceso Bernoulli Poisson

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Proceso Bernoulli Poisson 
 
Introducción 
 
Desarrollaremos el Proceso Bernoulli Poisson a partir de la variable dicotómica 
Bernoulli “XBe”. A partir de esta variable generaremos el proceso Bernoulli que 
incluye 3 variables fundamentales, a saber: 
 
.- Binomial 
.- Geométrica 
.- Pascal 
 
Posteriormente explicaremos el Proceso Poisson con sus respectivas variables 
asociadas 
 
.- Poisson 
.- Exponencial 
.- Gamma 
 
Existe una correspondencia fundamental entre las variables del Proceso Bernoulli 
y Poisson 
 
La variable Binomial está asociada a la variable Poisson; la Geométrica a la 
Exponencial y la Pascal a la Gamma. 
 
 
Variable Bernoulli 
 
La variable Bernoulli toma solo dos valores posibles 
Toma el valor “1” cuando ocurre lo que llamaremos un “éxito” y toma el valor 
“0” cuando ocurre un “no-éxito” 
 
Llamaremos “p” a la probabilidad de éxito, es decir 
 
P ( XBe = 1 ) = p 
 
Llamaremos “q” a la probabilidad de no-éxito, o sea: 
 
P ( XBe = 0 ) = q = 1 – p (lógicamente p + q = 1) 
 
Es importante destacar que el valor de “p” en el proceso Bernoulli se mantiene 
constante y además –como veremos más adelante- nuestro modelo asumirá 
condiciones de independencia. 
 
Los ejemplos de aplicación de la variable Bernoulli son variados: 
 
.- Producción: el éxito consistirá en que la pieza fabricada cumpla con cierta 
norma de calidad 
 
.- Aplicación de vacunas: el éxito consistirá en que la persona no enferme 
 
.- Encuestas de opinión: el éxito consistirá en que la persona encuestada opine 
favorablemente respecto de algún tema 
 
.- Deportes: el jugador convierte el penal 
 
.- Juegos: al arrojar una moneda el éxito es que salga “cara” 
 
.-etc , etc… 
 
 
Para completar la descripción de la variable Bernoulli encontraremos su media y 
varianza 
 
El valor esperado de XBe lo calcularemos con la formula general de esperanza 
matemática para variable discreta 
 
E (XBe) = Σ x * P(x) = 0 * (1-p) + 1 * p = p 
 
Para la varianza 
 
V(x) = E ( (XBe)
2
 ) – E
2
 (XBe) = ( 0
2
 * (1 – p ) + 1
2
 * p ) - (p)
2 
 = p * ( 1 – p ) 
 
 
Proceso Bernoulli 
 
 
Variable Binomial 
 
Definimos a la variable Binomial “XBi” como la cantidad de éxitos obtenidos en 
“n” experimentos Bernoulli independientes 
 
Veamos cuales son los valores posibles de esta variable 
 
Si por ejemplo arrojamos una moneda “n” veces y contamos la cantidad de caras, 
los resultados posibles serán 0 ; 1 ; 2 ;…..; n 
XBi = 0 indica que todos los tiros fueron “ceca” 
XBi = 1 indica que entre los n tiros hubo una cara y n-1 cecas 
…. 
Finalmente XBi = n indica que todos los tiros fueron cara. 
 
El paso siguiente consistirá en encontrar las probabilidades de la “XBi” para cada 
valor posible 
 
Comencemos por XBi = 0 y veamos cual es la probabilidad correspondiente: 
 
P (XBi= 0) = P ( (XBe1 = 0) ∩ (XBe2 = 0) ∩ …. ∩ (XBen = 0) ) 
 
La expresión anterior es una igualdad porque si la XBi tomo el valor cero implica 
necesariamente que todos y cada una de los experimentos Bernoulli fueron 
“no éxito” 
 
La expresión de la derecha es una probabilidad conjunta “n dimensional” y al 
haber independencia podemos expresarla como producto de sus probabilidades 
marginales 
 
P (XBi= 0) = P (XBe1 = 0) * P (XBe2 = 0) * …. * P (XBen = 0) 
 
Dado que en el Proceso Bernoulli el parámetro “p” se mantiene constante todas 
las P (XBe = 0) = 1 – p 
 
Entonces 
 
P (XBi= 0) = ( 1 – p ) 
n
 
 
Continuemos con XBi = 1 y veamos cual es la probabilidad correspondiente: 
 
P (XBi= 1) = P ( ( (XBe1 = 1) ∩ (XBe2 = 0) ∩ …. ∩ (XBen = 0) ) U 
 ( (XBe1 = 0) ∩ (XBe2 = 1) ∩ …. ∩ (XBen = 0) ) U 
 U…….U ( (XBe1 = 0) ∩ (XBe2 = 0) ∩ …. ∩ (XBen = 1)) ) 
 
Por tratarse de n uniones disjuntas pasamos a la suma de las probabilidades 
 
P (XBi= 1) = P ( (XBe1 = 1) ∩ (XBe2 = 0) ∩ …. ∩ (XBen = 0) ) + 
 P ( (XBe1 = 0) ∩ (XBe2 = 1) ∩ …. ∩ (XBen = 0) ) + 
 +…….+ P (XBe1 = 0) ∩ (XBe2 = 0) ∩ …. ∩ (XBen = 1)) ) 
 
Por independencia pasamos al producto de las probabilidades dentro de cada 
término: 
 
P (XBi= 1) = p * (1–p) * …… * (1–p) + (1–p) * p * (1–p) …. * (1–p) +….. 
…………………+(1-p) * …..* (1-p) * p 
 
Finalmente 
 
P (XBi= 1) = n * p * (1-p)
n-1
 
 
Se comprenderá por lo expuesto en los casos anteriores que para ( XBe = n ) 
su correspondiente probabilidad será: 
 
P (XBi= n) = p
n
 
 
 
Fórmula general 
 
Trataremos de encontrar la expresión general de la función de probabilidad de la 
variable Binomial para una cantidad “r” de éxitos. 
 
 Todos los ordenamientos posibles tendrán “r” veces el “1” y “n-r” veces el “0” 
por lo tanto la probabilidad de cada uno de esos ordenamientos será 
 
 p
r
 
 
* (1-p) 
n-r 
 
 
Finalmente debemos preguntarnos ¿de cuantas maneras puedo acomodar “r 
unos” y “n-r ceros” en n casilleros? 
 
Esa cantidad surge del numero combinatorio Cn;r = 
𝑛!
(𝑛−𝑟)!∗𝑟!
 
 
Por lo tanto 
 
P (XBi= r) = Cn;r * p
r
 
 
* (1-p) 
n-r 
 con r = 0; 1 ; 2 ; ……; n (nula en otro caso) 
 
Decimos que la variable Binomial tiene dos parámetros: “n” y “p” 
Siendo n la cantidad de experimentos Bernoulli independientes y “p” la 
probabilidad de éxito de cada experimento 
 
En forma sintética X : Bi (n;p) 
 
Que se lee “X es una variable aleatoria Binomial de parámetros n y p” 
Completaremos la descripción de la variable Binomial indicando su media y su 
varianza 
 
E(XBi) = n * p 
 
V(XBi) = n * p * (1-p) 
 
Por ultimo agregaremos que la variable Binomial puede interpretarse como una 
suma de n variables Bernoulli independientes 
 
 XBi = Σ xBe 
 
 
Ejemplos de aplicación de esta variable 
 
.- cantidad de piezas “buenas” obtenidas dentro de un lote de producción 
 
.- cantidad de caras obtenidas al lanzar una moneda n veces 
 
.- cantidad de reservas canceladas a un evento 
 
 
 
 
Variable Geométrica 
 
Definimos a la variable Geométrica “ng” como la cantidad de experimentos 
Bernoulli independientes hasta obtener el primer éxito (siempre p cte) 
 
¿Cuáles serán los valores posibles para esta variable? 
 
 El valor más pequeño que puede tomar esta variable es 1 (obtener el primer éxito 
en el primer experimento) 
 
¿Habrá algún límite superior para esta variable? 
 
Si me piden que tire un dado hasta obtener un AS, puedo tener muchísima mala 
suerte y arrojar el dado una gran cantidad de veces sin que salga AS 
 
Por lo tanto los valores posibles son 1; 2 ; 3 ……..∞ 
 
Calculemos las respectivas probabilidades 
 
P (ng = 1) = P (XBe1 = 1) = p 
 
P (ng = 2) = P ( (XBe1 = 0) ∩ (XBe2 = 1) ) = (1-p) * p 
 
P (ng = 3) = P ( (XBe1 = 0) ∩ (XBe2 = 0) ∩ (XBe3 = 1) ) = (1-p)
2
 * p 
 
 En general para cualquier valor “n” 
 
P (ng = n) = (1-p)
n-1
 * p con n = 1; 2 ; ……∞ (nula en otro caso) 
 
La variable Geométrica tiene un solo parámetros “p” 
 
En forma sintética n : G (p) 
 
Que se lee “n es una variable aleatoria Geométrica de parámetro p” 
 
Completaremos la descripción de la variable Geométrica indicando su media y 
su varianza 
 
E(ng) = 1 / p 
 
V(ng) = (1-p) / p
2
 
 
Finalmente indicaremos una propiedad importante de esta variable que es “la 
falta de memoria” 
 
Simbólicamente 
 
P (ng > a + b / n > a ) = P (ng > b) 
 
 
 
Ejemplos de aplicación de esta variable 
 
.- cantidad de piezas “buenas” producidas hasta obtener una pieza “buena” 
 
.- cantidad de tiros de dado hasta obtener un AS 
 
 
 
 Variable Pascal 
 
Definimos a la variable Pascal “nPa” como la cantidad de experimentos Bernoulli 
independientes hasta obtener el “r-esimo” éxito (siempre p cte) 
 
Los valores posibles para esta variable serán r ; r + 1 ; r + 2 ; ......∞ 
 
Intentaremos encontrar la función de probabilidad en formadirecta 
 
La probabilidad de que la variable Pascal tome un valor “n” cualquiera implica 
necesariamente que ocurran los siguientes dos eventos 
 
A = que en los primeros n-1 experimentos Bernoulli se hayan obtenido r-1 éxitos 
(en cualquier orden) 
 
B = que en el último experimento haya ocurrido un éxito 
 
Puede observarse que P (A) = P (XBi= r-1) = Cn-1;r-1 * p
r-1
 
 
* (1-p) 
(n-1)-(r-1)
 
 
(es una probabilidad Binomial evaluada en r-1 de parámetros n-1 y p) 
 
P (B) = P (XBen = 1) = p 
 
Por lo tanto la probabilidad buscada será: 
 
P ( nPa = n ) = P (A ∩ B) = P (a) * P (B) (por ser sucesos independientes) 
 
P ( nPa = n ) = Cn-1;r-1 * p
r
 
 
* (1-p) 
n-r
 con n = r+1 ; r+2 ; …. ∞ (nula en otro 
caso) 
 
La variable Pascal tiene dos parámetros “r” y “p” 
 
En forma sintética n : Pa (r ; p) 
 
Que se lee “n es una variable aleatoria Pascal de parámetros r y p” 
 
Completaremos la descripción de la variable Pascal indicando su media y su 
varianza 
 
E(nPa) = r / p 
 
V(nPa) = r * (1-p) / p
2
 
 
La variable Pascal puede interpretarse como una suma de “r” variables 
geométricas independientes 
 
nPa = Σ ng 
 
Por otra parte debemos resaltar que la variable Pascal con parámetro r=1 resulta 
ser la variable Geométrica; dicho de otro modo, la variable Geométrica es un 
caso particular de la variable Pascal. 
 
 
Ejemplos de aplicación de esta variable 
 
.- cantidad de piezas “buenas” producidas hasta obtener una docena de piezas 
“buenas” 
 
.- cantidad de tiros a un blanco hasta acertar por tercera vez 
 
 
Relacion entre la variable Binomial y Pascal 
 
La probabilidad de que la variable Pascal tome un valor menor que un cierto 
valor “n” para obtener el “r-esimo” éxito es igual a la probabilidad de que la 
variable Binomial sea mayor o igual que “r” para esa cantidad “n” de 
experimentos 
 
En símbolos 
 
P (nPa ≤ n ) = P ( XBi ≥ r) 
 
Como ejemplo tomemos n=2 y r=1 
 
P (nPa ≤ 2 ) = P ( XBi ≥ 1) 
 
Desarrollando la parte izquierda de la igualdad 
 
P (nPa ≤ 2 ) = P (nPa = 1 ) + P (nPa = 2 ) = p + ( p * ( 1 – p ) ) = 2p – p
2
 
 
Desarrollando la parte derecha de la igualdad 
 
P ( XBi ≥ 1) = P ( XBi = 1) + P ( XBi = 2) = 2p (1-p) + p
2
 = 2p – p
2
 
 
Lo cual verifica la igualdad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proceso Poisson 
 
El Proceso Poisson es el límite del Proceso Bernoulli cuando “n” tiende a infinito 
y “p” tiende a cero 
 
La cantidad de experimentos Bernoulli se aplicara ahora a lo que llamaremos “un 
continuo t”. En general este continuo puede ser el tiempo –de allí la “t”- aunque 
también el proceso se aplica a otros continuos: longitud; área; etc. 
 
El parámetro equivalente a “p” en este proceso es la tasa lambda “λ” que se 
define como la cantidad de éxitos por unidad de continuo “t” y que se mantiene 
constante. 
 
Variable Bernoulli en el Proceso Poisson 
 
La variable Bernoulli toma el valor “1” cuando ocurre un “éxito” en un 
diferencial del continuo t que indicaremos como “dt” y toma el valor “0” cuando 
ocurre un “no-éxito” 
 
Por lo tanto 
 
P ( XBe = 1 ) = λ * dt 
 
La probabilidad de no-éxito será: 
 
P ( XBe = 0 ) = 1 - λ * dt 
 
Las aplicaciones son múltiples: 
 
.- Llamada telefónica entrante 
 
.- Arribos de vehículos a un puesto de peaje 
 
.- Clientes que llegan a una caja en un supermercado 
 
.- Rotura de un hilo en una maquina textil 
 
.- Accidentes de transito 
 
Debemos aclarar que el origen del Proceso Poisson estuvo asociado al estudio de 
fallas y accidentes, por lo que dentro de ese contexto se llama “éxito” a un evento 
catastrófico. 
 
Pasaremos a describir las 3 variables de este proceso 
 
Variable Poisson 
 
Definimos a la variable Poisson “XPo” como la cantidad de éxitos obtenidos en el 
continuo “t” (λ constante) 
 
Los valores posibles de esta variable serán: 0; 1 ; 2 ; … ∞ 
 
Recordemos que los éxitos y no éxitos se aplican a un dt y que por lo tanto hay 
infinitos dt dentro del continuo t. 
 
No mostraremos aquí la deducción de la función de probabilidad (puede 
obtenerse como límite de la formula Binomial para n tendiendo a infinito y p 
tendiendo a cero) 
 
P (XPo = k) = 
𝒆−𝝀𝒕
𝒌!
 * (λt)
k
 con k: 0 ; 1 ; 2 …..∞ (nula en otro caso) 
 
La variable Poisson tiene dos parámetros “λ” y “t” 
 
En forma sintética X : Po (λ;t) 
 
Que se lee “X es una variable aleatoria Poisson de parámetros λ y t” 
Completaremos la descripción de esta variable indicando su media y su varianza 
 
E(XBi) = λ * t 
 
V(XBi) = λ * t 
 
Notar la equivalencia entre la variable Binomial y la Poisson en cuanto a cómo 
fueron definidas y obsérvese que la media de la Binomial es el producto de sus 
parámetros “n*p” del mismo modo que lo es para la media de la Poisson. 
 
 
Ejemplos de aplicación de esta variable 
 
.- cantidad de llamadas telefónicas recibidas en una hora 
 
.- cantidad de defectos encontrados en 10 metros cuadrados de tela 
 
.- cantidad de accidentes de trabajo en un mes 
 
 
 
Variable Exponencial 
 
Definimos a la variable Exponencial “te” como la cantidad de continuo t hasta 
obtener el primer éxito (siempre λ cte) 
 
¿Cuáles serán los valores posibles para esta variable? 
 
Si por ejemplo estamos evaluando el tiempo que transcurre entre un cierto 
instante inicial y la primera llamada que se produce en una central de bomberos 
vemos que el resultado puede ser cualquier número real, por lo tanto la variable 
es continua, siendo su función de densidad de probabilidad: 
 
 f(te = t) = λ e
-λt
 con t > 0 (nula en otro caso) 
 
 
La variable Exponencial tiene un solo parámetros “λ” 
 
En forma sintética t : e (λ) 
 
Que se lee “X es una variable aleatoria Exponencial de parámetro λ” 
Completaremos la descripción de esta variable indicando su media y su varianza 
 
E(te) = 1 / λ 
 
V(te) = 1 / λ
2
 
 
Notar la equivalencia entre la variable Geométrica y la Exponencial en cuanto a 
cómo fueron definidas y obsérvese que la media de la Geométrica es el reciproco 
de su parámetros “p” del mismo modo que la media de la Poisson es el reciproco 
del parámetro λ. 
 
 
Aquí también vale “la falta de memoria” 
 
P ( te > a + b / n > a ) = P (te > b) 
 
 
 
Variablr Gamma 
 
Definimos a la variable Gamma “tγ” como la cantidad de continuo t hasta obtener 
el “k-esimo” éxito (siempre λ cte) 
 
Los valores posibles para esta variable serán los reales positivos 
 
 
 
 f(tγ = t) = 
𝒕𝒌−𝟏
(𝒌−𝟏)!
 * λ
k
 * e
-λt
 con t > 0 (nula en otro caso) 
 
 
 
La variable Gamma tiene dos parámetros “λ” y “k” 
 
En forma sintética t : γ (λ ; k) 
 
Que se lee “t es una variable Gamma de parámetros λ y k” 
 
Completaremos la descripción de la variable Gamma indicando su media y su 
varianza 
 
E(tγ) = k / λ 
 
V(tγ) = k / λ
2
 
 
La variable Gamma puede interpretarse como una suma de “k” variables 
exponenciales independientes 
 
tγ = Σ te 
 
Por otra parte debemos resaltar que la variable Gamma con parámetro k=1 
resulta ser la variable Exponencial; dicho de otro modo, la variable Exponencial 
es un caso particular de la variable Gamma. 
 
 
Ejemplos de aplicación de esta variable 
 
.- cantidad de metros de hilo producido hasta la tercera rotura. 
 
.- tiempo de trabajo de un controlador aéreo hasta atender el décimo aterrizaje. 
 
 
Relación entre la variable Poisson y la Gamma 
 
La probabilidad de que la variable Gamma tome un valor menor que un cierto 
valor “t” para obtener el “k-esimo” éxito es igual a la probabilidad de que la 
variable Poisson sea mayor o igual que “k “ en ese intervalo “t” 
 
En símbolos 
 
P (tγ < t ) = P ( XPo ≥ k) 
 
Lo verificaremos para k=1 
 
P (tγ < t ) = 1 – e
-λt
 (recordar que la Variable Gamma en k=1 es la variable 
exponencial)Por otra parte 
 
P ( XPo ≥ 1) = 1 - P ( XPo = 0) = 1 – 
𝑒−𝜆𝑡
0!
 * (λt)
0
 = 1 – e
-λt
 
 
Lo cual verifica la igualdad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algunas Propiedades del Proceso Bernoulli-Poisson 
 
Primera 
 
Sea X : Po (λx; t) 
Sea Y : Po (λy; t) 
Sean X e Y independientes 
Si W = X + Y 
Entonces W : Po (λw = λx + λy ; t) 
Es decir, la suma de variables Po independientes aplicadas a un mismo 
continuo “t”, genera una nueva variable Po cuyo lambda es la suma de 
los lambdas correspondientes 
 
Segunda 
 
Sea X : Po (λ; tx) 
Sea Y : Po (λ; ty) 
Sean X e Y independientes 
Si W = X + Y 
Entonces W : Po (λ; tw = tx + ty ) 
Es decir, la suma de variables Po independientes y de igual lambda 
aplicadas a sus respectivos continuos “t”, genera una nueva variable Po 
de igual lambda y con continuo “t” suma de los continuos 
correspondientes 
 
Tercera 
 
Sea X : Po (λx; t) 
Sea Y/x : Bi (x; p) 
Entonces Y : Po (λy = p* λx; t ) 
Es decir, dado un espacio bidimensional (X;Y) donde X es Po e Y/x es 
Bi con los parámetros indicados, entonces la marginal en Y es Po con 
los parámetros indicados.