02-03-17

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PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.06-81.09)
Evaluación Integradora Segundo cuatrimestre – 2016
Duración: 4 horas. 2/III/17 –18:00 hs.
Curso:
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. Sea (X, Y ) una vector aleatorio con función de distribución conjunta de la forma
FX,Y (x, y) =
(
1− 2−x − 2−y + 2−(x+y)
)
1{x ≥ 0, y ≥ 0}.
Calcular la probabilidad de que (X, Y ) pertenezca al rectángulo
B =
{
(x, y) ∈ R2 : 1 < x ≤ 2, 1 < y ≤ 3
}
.
2. La probabilidad de que una moneda salga cara es X, donde X es una variable aleatoria
con función densidad fX(x) = 2x1{0 < x < 1}. Sea N la cantidad de lanzamientos de la
moneda hasta que salga cara. Calcular la covarianza entre X y N .
3. Se considera un router con 4 enlaces de entrada. Los flujos en los enlaces (en Mb por
segundo) son variables aleatorias independientes con función densidad de la forma
f(x) =
5x
2
e−
5
4
x2
1{x > 0}.
El buffer del router se desborda cuando 2 o más enlaces tienen flujos mayores que 1.
Calcular la probabilidad de que se desborde el buffer.
4. Invitados a una fiesta de cumpleaños llegan de acuerdo con un proceso de Poisson de
intensidad 12 por hora. Sabiendo que entre las 21:00 y las 21:15 llegaron exactamente 3
invitados, calcular la probabilidad de que hayan llegado 1 entre las 21:00 y las 21:05, 1
entre las 21:05 y las 21:10, y 1 entre las 21:10 y las 21:16.
5. Se lanza un dado equilibrado repetidamente. Sea N la cantidad de lanzamientos nece-
sarios hasta obtener 30 veces el 6. Estimar la probabilidad de que N sea menor o igual que
200.
La evaluación se aprueba resolviendo correctamente al menos 3 de los 5 problemas.
PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.09-81.04)
Evaluación Integradora Segundo cuatrimestre – 2016
Duración: 4 horas. 2/III/17 –18:00 hs.
Curso:
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. La probabilidad de que una moneda salga cara es X, donde X es una variable aleatoria
con función densidad fX(x) = 2x1{0 < x < 1}. Sea N la cantidad de lanzamientos de la
moneda hasta que salga cara. Calcular la covarianza entre X y N .
2. Se considera un router con 4 enlaces de entrada. Los flujos en los enlaces (en Mb por
segundo) son variables aleatorias independientes con función densidad de la forma
f(x) =
5x
2
e−
5
4
x2
1{x > 0}.
El buffer del router se desborda cuando 2 o más enlaces tienen flujos mayores que 1.
Calcular la probabilidad de que se desborde el buffer.
3. Invitados a una fiesta de cumpleaños llegan de acuerdo con un proceso de Poisson de
intensidad 12 por hora. Sabiendo que entre las 21:00 y las 21:15 llegaron exactamente 3
invitados, calcular la probabilidad de que hayan llegado 1 entre las 21:00 y las 21:05, 1
entre las 21:05 y las 21:10, y 1 entre las 21:10 y las 21:16.
4. Hallar el estimador de máxima verosimilitud del parámetro σ2 > 0 de una variable
aleatoria continua con función densidad
f(x|σ2) =
x
σ2
e−x
2/2σ2
1{x > 0}.
En base a la muestra 1.44, 1.52, 0.75, 1.09, 0.75, 2.08 calcular el estimador de máxima
verosimilitud para σ2.
5. Una fuente de polonio emite part́ıculas alfa de acuerdo con un proceso de Poisson de
intensidad λ por segundo. Se la observó durante 4 horas y se registraron 11150 emisiones.
En base a esta información muestral construir un intervalo de confianza de nivel 0.99 para
la intensidad del proceso.
La evaluación se aprueba resolviendo correctamente al menos 1 de los últimos 2 problemas
y al menos 3 de los 5.