EI20160225

Vista previa del material en texto

PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.06 - 81.09)
Evaluación Integradora Segundo cuatrimestre – 2015
Duración: 4 horas. 25/II/16 –9:00 hs.
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. Se colocan al azar 6 bolas indistinguibles en 6 urnas numeradas del 1 al 6. Calcular la
probabilidad de que haya exactamente 3 bolas en las primeras 3 urnas.
2. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con distribución uniforme sobre la región Λ = {(x, y) :
1 ≤ x+ y ≤ 3,−1 ≤ x− y ≤ 1}. Sea J = 1{X < Y }. ¿Es J independiente de X + Y ?
3. Dos máquinas 1 y 2 producen varillas de longitud aleatoria L1 y L2, respectivamente.
La distribución de L1 es uniforme entre 20 y 24 cm. y la distribución de L2 es uniforme
entre 22 y 26 cm.. La máquina 1 produce el 55% de la producción y la máquina 2 el resto.
Las varillas se acumulan en un galpón. Calcular la covarianza entre M y L, donde M es el
número de máquina y L es la longitud de una varilla elegida al azar en el galpón.
4. En la intersección de Paseo Colón y Estados Unidos ocurren accidentes de tránsito de
acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 2 por d́ıa. Las cantidades de heridos por
accidente son independientes entre śı e independientes del momento en que ocurren. La
distribución de la cantidad de heridos por accidente es 0, 1, 2 con probabilidades 1
2
, 1
4
, 1
4
,
respectivamente. Calcular la esperanza de la cantidad de heridos por accidente durante el
mes de enero de 2016 en la mencionada intersección.
5. Un radioisótopo emite part́ıculas de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad
10 por hora. Calcular aproximadamente la probabilidad de que entre las 00:00 y las 10:00
se hayan emitido menos de 106 part́ıculas.
PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.09 - 81.04)
Evaluación Integradora Segundo cuatrimestre – 2015
Duración: 4 horas. 25/II/16 –9:00 hs.
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. Se colocan al azar 6 bolas indistinguibles en 6 urnas numeradas del 1 al 6. Calcular la
probabilidad de que haya exactamente 3 bolas en las primeras 3 urnas.
2. Dos máquinas 1 y 2 producen varillas de longitud aleatoria L1 y L2, respectivamente.
La distribución de L1 es uniforme entre 20 y 24 cm. y la distribución de L2 es uniforme
entre 22 y 26 cm.. La máquina 1 produce el 55% de la producción y la máquina 2 el resto.
Las varillas se acumulan en un galpón. Calcular la covarianza entre M y L, donde M es el
número de máquina y L es la longitud de una varilla elegida al azar en el galpón.
3. En la intersección de Paseo Colón y Estados Unidos ocurren accidentes de tránsito de
acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 2 por d́ıa. Las cantidades de heridos por
accidente son independientes entre śı e independientes del momento en que ocurren. La
distribución de la cantidad de heridos por accidente es 0, 1, 2 con probabilidades 1
2
, 1
4
, 1
4
,
respectivamente. Calcular la esperanza de la cantidad de heridos por accidente durante el
mes de enero de 2016 en la mencionada intersección.
4. Se recibe un lote de art́ıculos provenientes de China. A priori se supone que la pro-
porción p de art́ıculos defectuosos se distribuye de acuerdo con una densidad de la forma
f(p) = 6(1 − p)51{0 < p < 1}. Se examina una muestra de 5 art́ıculos y no se encuentra
ninguno defectuoso. En base a la información muestral, estimar la probabilidad de que
entre otros 5 art́ıculos del mismo lote no haya art́ıculos defectuosos.
5. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es
f(x|θ) =
2x
θ2
1 {0 ≤ x ≤ θ} , θ > 0.
Diseñar un test de hipótesis de nivel 0.1 para testear la hipótesis de que la media de X es
mayor que 1.2 basado en una muestra de X de tamaño 1. Graficar la función de potencia
del test.