EI20140807

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PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.06 - 81.09)
Evaluación Integradora. Primer cuatrimestre – 2014
Duración: 4 horas. 7/VIII/14 –18 hs.
Curso:
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. Hay 12 urnas numeradas del 1 al 12. La r-ésima urna contiene r − 1 bolas rojas y
12− r bolas negras. Se elige una urna al azar y se extraen dos bolas al azar sin reposición.
Calcular la probabilidad de que la segunda bola sea negra.
2. Sean X e Y dos variables aleatorias con función de densidad conjunta
fX,Y (x, y) =
(x+ y)
8
1{0 < x < 2, 0 < y < 2}.
Calcular P(X > 1|Y < 1).
3. Se tira una moneda equilibrada repetidas veces. Sean Hn y Tn la cantidad de caras y
de cecas, respectivamente, en n tiros. Usando la desigualdad de Chebyshev demostrar que
para cada ǫ > 0 vale que
ĺım
n→∞
P
(∣
∣
∣
∣
Hn − Tn
n
∣
∣
∣
∣
< ǫ
)
= 1.
4. La corporación Cobani Products produjo 2 RoboCops, cada uno de los cuales está fallado
con probabilidad 1/2. Cada RoboCop es sometido a una prueba tal que si el Robocop
está fallado se detecta la falla con probabilidad 4/5. Sea X la cantidad de RoboCops
fallados y sea Y la cantidad detectada de RoboCops fallados. Hallar una expresión de la
función de regresión ϕ(y) = E[X|Y = y].
5. Se tira un dado equilibrado 100 veces. Calcular aproximadamente la probabilidad de
que la suma de los valores observados sea menor que 300.
PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.09 - 81.04)
Evaluación Integradora. Primer cuatrimestre – 2014
Duración: 4 horas. 7/VIII/14 –18 hs.
Curso:
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. Se tira una moneda equilibrada repetidas veces. Sean Hn y Tn la cantidad de caras y
de cecas, respectivamente, en n tiros. Usando la desigualdad de Chebyshev demostrar que
para cada ǫ > 0 vale que
ĺım
n→∞
P
(∣
∣
∣
∣
Hn − Tn
n
∣
∣
∣
∣
< ǫ
)
= 1.
2. La corporación Cobani Products produjo 2 RoboCops, cada uno de los cuales está fallado
con probabilidad 1/2. Cada RoboCop es sometido a una prueba tal que si el Robocop
está fallado se detecta la falla con probabilidad 4/5. Sea X la cantidad de RoboCops
fallados y sea Y la cantidad detectada de RoboCops fallados. Hallar una expresión de la
función de regresión ϕ(y) = E[X|Y = y].
3. Se tira un dado equilibrado 100 veces. Calcular aproximadamente la probabilidad de
que la suma de los valores observados sea menor que 300.
4. En 1898 el matemático ruso Ladislaus Bortkiewicz observó que la cantidad de muertes
de soldados por año causadas por patadas de caballos o mulas en los cuerpos de caballeŕıa
del ejército prusiano obedećıa a una distribución de Poisson(µ). Bortkiewicz registró la
cantidad de muertos por año en cada uno de 10 cuerpos de caballeŕıa durante 20 años,
obteniendo aśı 200 registros. Publicó la siguiente tabla que describe los registros:
Muertes 0 1 2 3 4
Frecuencia 109 65 22 3 1
Utilizando como distribución a priori para µ una exponencial de media 0.5, calcular la
media de la distribución a posteriori de µ basada en los datos publicados por Bortkiewicz.
5. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es de la forma
f(x|θ) =
2x
θ2
1{0 < x < θ}, θ > 0
Construir un intervalo de confianza de nivel 0.9 para θ basado en la siguiente muestra
aleatoria: 0.8, 0.1, 0.3.