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RELACIONES FUNCIONES LIMITES CONTINUIDAD LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES A. VENERO B. Hugo Quezada Alegría Resaltado , ANA.LISIS . , MATE MATICO d ·1 2da. Edición 2012· J. ARMANDO VENERO - B • . dx LICENCIADO EN MATEMÁTICAS (U.1'1.1.) ·Con la colaboración especial de JOSE P. MIGUEL CAÑAMERO Master.en Matemáticas y Ciencias de la Computación Univerity of British Columbia, Vancouver, Canadá. ALBERTO LUTGARDO YAÑEZ Máster en M~temáticas y Ciencias de la Computación University of Kentucky, Kentucky, U.S.A. R. ISABEL VENERO DE LUJGARDO Tutora en Matemáticas • West VaÍley Colle'ge, California, U.S.A. - 'E'DICIONES <;i'E:M.'A.1l LIMA PERÚ http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Hugo Quezada Alegría Resaltado , , . . ANALISIS MATEMATICO 1 2a. Edición J. ARMANDO VENERO B. Est~dios de ~aglster en MATEMÁTICAS (P.U.C.~ . ) Dpto. de tipeo, diagramaci6n y diseño Ana María Vargas Loayza, Lic. en Educación (UNMSM) Hecho el Depósito Legal ~n la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2U12-04350 ISBN: 978-612-45216-1-4 Primera Reimpresión, Mayo 2012 © 2012, 2010, Representaciones Gemar E.l.R.L. Av. Rio Vilcanota 168: Ate. Lima 03 Teléfono: 4466176 rep_gemar09@hotm?il.com COPYRIGHT© 2012, 2010, 2007, por Representaciones .Gemar E.1.R.L. LIMA - PERO . . . Prohibida la r~producción parcial o total, por cualquier me- dio o método, de este libro sin la autorización legal del autor y/o de REPRESENTACIONES GEMAR E.I.R.L. LIMA- PERÚ. . ANÁLISIS MATEMÁTICO I , PROLOGO Como alternati11a a la necesidad de contar con un libro que comple- mente el primer curso de matemáticas universitarias en las especialidades de Ingeniería y Ciencias , es que presentamos esta obra que trata acerca del CÁLCULO DIFERENCIAL. El estudio de este tema es enfocado de dos mane- ras: teórica y práctica. La teoría no es tan rigurosa, con ejemplos ilustrativos que explican por si _mismos la importancia de estudiar la teoría eón atención y cuidado. . '\ El estudio de este tema presupone conocer, aunque a un nivel ele- mental, la Lógica Simbólica y la Teoría de Conjuntos, y a un mayor grado las propiedades de los NÚMEROS REALES que se refieren a sus axiomas, á la solución de Ecuaciones e Inecuaciones tanto Lineales como Cuadráticas, las propiedades del Valor Absoluto y del Máximo Entero, así como el Axioma del Supremo. Estas propiedades se.pueden encontrar en muchos libros entre los cuales: MATEMÁTICA BÁSICA o INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MA- TEMÁTICO de mi autoría. Sin embargo, algunos conceptos y propiedades importantes los presentamos en este libro en un capítulo introductorio de- nominado Capítulo O: NÚMEROS REALES. Los capítulos de esta obra siguen un orden tal que cada uno de ellos depende del anterior en gran medida, razón por la cual aconsejamos al es- tudiante dedicarse con esmero a cada capítulo, tanto en lo que respecta a su teoría como a sus ejemplos resueltos. El primer Capítulo titulado RELACIONES está dedicado.a la geome- tría de ciertas gráficas que será sumamente útil en el capítulo siguiente que . trata de las Funciones. Se presentan los criterios y técnicas para graficar y reconocer curvas y regiones especiales en e_l plano cartesiano. Luego se estudian las FUNCIONES enforma detallada, presentando las técnicas para hallar el dominio y el rango de una.función dada, así como para realizar operacio.,,es·entre.funciones y construir funciones más elabo- . radas como las FUNCI<JNES COMPUESTAS y las FUNCIONES INVERSAS. El tercer Capítulo estudia el concepto de LÍMITE y es el más impor- tante del libro pues coltitituye la puerta de entrada al universo denominado ANÁLISIS MATEMÁTICO, ya que conceptos posteriores como la Continui- dad, la Derivada, la Antegral y muchos otros, se definen en base a los ANÁLISIS MATEMÁTICO I Límites. La presentación de este capítulo es el resumen de mi experiencia docente en la enseñanza de este tema durante· varios años. El cuarto Capítulo acerca de la CONTINUIDAD DE FUNCIONES es corto pero completo y es prácticamente una extensión del anterior. El quinto Capítulo trata de la DERWADA defunciones, que es una nueva operación matemática sobre las funciones. Precisamente este concep- to así como el de la operación denominada INTEGRACIÓN, dieron un gran impulso a la Ciencia y a la Tecnología. · · · El sexto capítulo estudia las APLICACIONES DE LA DERIVADA en lo que se refiere principalmente a la Razón de Cambio de una función con respecto a su variable, a las Velocidades, al cálculo de valores Máximos y Mínimos y al trazado de Gráficas de Punciones. . Además, en este sexto capítulo presentamos el MÉTODO DE NEW- TON que es una técnica muy sencilla y a la vez impresionante, que requiere al menos de una calculadora con memoria, y se utiliza para calcular las so-. luciones de aquellas ecuaciones polinómicas y de otros tipos, que resultan . imposibles de ser halladas en forma exacta, con el grado de aproximación que uno quiera. El último capítulo trata de la FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL (Logaritmo Neperiano) y la función EXPONENCIAL, sus defin:ciones, gráfi- cas, propiedades, sus derivadas y algunas aplicacion.es. Incluye los límites logarítmicos y exponenciales , y en esta segunda edición estamos presentando en una forma muy didáctica todas las técnicas para el cálculo de límites que tienen las formas exponenciales indeterminadas: o o 00 o ' 00 y 1 • Como una ayuda adicional para el estudiante se presentan series de ejercicios al.final de cada capítulo y a continuación sus respectivas claves de respuestas, y con avances de solución de muchos de ellos. J. ARMANDO VENERO BALDEÓN CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO CONTENIDO o NÚMEROS REALES 1 Axiomas de la Relación de Orden 2 Ecuaciones 3 Ecuaciones Cuadrátic·as en una variable Raíces del Trinomio Cuadrático ax 2 + bx +e 4 Completación de Cuadrados La técnica de completar cuadrados .5 Discriminante de ax 2 + bx +e 6 Valor Absoluto de un número real 1. RELACIONES 1 Pares Ordenados, Producto Cartesiano 2 .Relaciones. Tipos de Relaciones 3 Gráficas de Relaciones 4 ·Relaciones Inversas 5 Distancia entre dos Puntos 6 La recta y sus Ecuaciones: 7 Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares 8 .Distancia de un Punto a una Recta 9 Ángulo entre dos Rectas 10 Gráficas que involucran el Valor Absoluto 11 Gráficas de Ecuaciones: Parábolas, Circunferencias 12 Criterios generales para graficar ecuaciones 13 Serie de ejercicios 2 FUNCIONES 1 Funciones. Dominio, Rango y Gráfica 2 Cálculo de Dominios y Rangos de Funciones 3 Funciones Especiales: Identidad, Constante, Escalón Unitario, Signo, Valor Absoluto, Máximo Entero, Raíz Cuadrada, Funciones Cuadráticas, Polinomios, Seno y Coseno 4 Evaluación de una Funéión en un Punto 5 Trazado de Gráficas Especiales · 6 Funciones Pares, Impares y Periódicas 7 Álgebra de Funciones: Igualdad de Funciones; Suma, 1 2 3 3 5 7 10 12 16 16 19 26 34 37 39 43 45 47 49 54 65 71 . 74 74 80 . 85 100 108 116 i ,' r . Resta, Multiplicación y Cociente de Funciones 120 5 La Derivada de una Función Compuesta 403 8 Composición de Funciones 130 6 Problemas resueltos 412 9 Funciones Inversas. Funciones Suryectivas, 7 Derivadas Laterales 414 Inyectivas y Biyectivas. Funciones Inversas 144 8 Funciones no diferenciables 417 10 Funciones Trigonométricas y sus Inversas 178 9 Diferenciabilidad y Continuidad 423 11 Serie de ejercicios · 189 10 Tópicos sobre Análisis de la Oiferenciabilidad 425 :~ 11 Derivadas de orden superior 436 CAPÍTULO 3 LÍMITES. 234 ' 12 Diferenciación implíclta 438 13 Diferenciales. Error Relativo y Error Porcentual 441 1 Introducción 234 14 Razón de cambio instantáneo. Velocidad Instantánea 449 2 Vecindades, Entornos. Vecindades reducidas 234 15 Representación paramétrica de curvas. Derivadas 457 .3 Puntos de Acumulación de un conjunto de números 16 Trazado de Curvas Paramétricas. Criterios· 466 reales. Puntosde Acumulación-del dominio de una 17 Serie de ejercicios · 474 Función 248 4 Límites 251 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA DERIVADA 511 5 Teoremas sobre Límites y sus aplicaciones 262 6 Límites Laterales. Ilustración geométrica 267 1 Valores Extremos de una Función 511 7 Límites de Funciones Compuestas 278 2 Ef Teorema de Rolle. El Teorema del Valor Medio 513 8 Cálculo de Límites 282 3 Teorema Generalizado del valor Medio. 9 Límites Trigonométricos 288 Reglas de L'Hospital 518 10 límites Infinitos 296 4 Funciones crecientes. Funciones decrecientes · 525 11 Asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas 309 5 Aplicaciones del Teorema del Valor Medio . 532 12 Serie de ejercicios 314: 6 Puntos Críticos de una función en un inter:valo 539 ¡;' 7 Criterio de la Primera Derivada. CAPÍTULO 4 CONTINUIDAD 339 ' Criterio de la Segunda Derivada 544 · ~ 8 Concavidad. Puntos de inflexión 556 1 Co!ltinuidad de una Función en un pUnto 339 9 Aplicaciones al trazado de curvas 563 2 Continuidad de una Función sobre un subconjunto de 10 Derivada de la Función Inversa . 569 su dominio 344 11 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas 573 3 Continuidad por la derecha; continuidad por la izquierda 12 Serie de ejercicios 584 en un punto 348 13 Evaluación de Polinomios con calculadoras de b.olsillo 653 4 Clases de Discontinuidades. Extensión continua 350 14 Aproximaciones Suce~ivas. Método de Newton 654 5 Teoremas sobre Continuidad 353 6 Continuidad"tle Funciones especiales 356 CAPÍTULO 7 LOGARITMO Y EXPONENCIAL 670 7 Problemas resuelto~ 359 8 Teoremas Especiales sobre funciones Continuas: 1 La Función Logaritmo (Natural) 670 Teorema del Valor Intermedio. Teorema del Cero 362 2 Propiedades de la Función Logaritmo 672 9 Funciones acotadas. Teorema Fundamental de las 3 El Número· e. Un estimado de su Valor Numérico 675 Funciones continuas. Teorema de los Valores Extremos 4 Derivación Logarítmica 689 Absolutos . 366 5 Cálculo de Límites Logarítmicos 690 10 Serie de ejercicios 374 6 La Función Exponencial (Natural) 697 7 Límites Exponenciales (Naturales) y Gráficas 716 CAPÍTULO 5 LA DERIVADA 389 8 Gráficas de Funciones Exponenciales 722 9 Algunos Límites Especiales 738 1 Recta tangente a la grtifica de una Función 389 1o Derivadas de Funciones Exponenciales Generalizadas 740 2 La Derivada de una Función. Funciones Diferenciables 392 11 Límites de Funciones Exponenciales Generalizadas 741 3 Diferenciación de funciones especiales 396 Serie de ejercicios ·749 4 Teoremas sobre Derivadas 397 :·············································.···· ····························~ 1 "La conciencia es como un vaso ¡ 1 ¡ 'si no está fimpio e[ vaso . . ; j : resuítará sucio toáo {o que : ¡ entre en él• ¡ ¡ ¡ 1 Horacio t ············· ······················ ··~················"························-- '• ! ~ I ~ 1 1 ..,·. 1 Cap.O .- l -· o REALES l. AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE ORDEN Sean a , b , e E lR • 01. LEY DE TRICOTOMÍA: Si a E R. , b E R. , entonces se cumple una y solamente una de las relaciones : a<b, a=b ó a>b. 02. LEY TRANSITIVA: · Si a < b . y b < e entonces a < e . 03. LEY DE LA ADICIÓN Y CANCELACIÓN: Para todo e E lit , a<b ~ a+e < b+e a < b · . # a - e < ·b - e • El sentido de la desigualdad no 'Cambia si a ambos miembros se le suma (o se le resta) un mismo número real e ' ··· · 04. LEY DE LA MULTIPLICACIÓN: i) Si e > O· a < b => (ae) < (be) _._ . ./ ii) Si e < o a < b => (ae) > (be) •!• El sentido de la desigualdad no cambia sí se mullí plica a ambos miembros por un mismo número positivo. . - 2 - Análisis Matemfitico 1 Cap.O •:• La desigualdad cambia de sentido si se multiplica ambos miembros por una misma cantidad negativa. EJEMPLOS: X< 5 => -2X. > -10 3x < 15 2. 1 ECUACIONES EQUIVALENTES 1 Se llaman ECUACIONES EQUIVALENTES a aquellas que tie- nen exactamente el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, las ecuaciones x 2 - 6x = o y · (x - 3)2 = 9 tienen ambas exactamente dos soluciones: x = ·o y x = 6 , {y ninguna otra). 2.1 OPERACIONES QUE ORIGINAN ECUACIONES EQUIVALENTES a) Sumar el mismo número o expresión a ambos miembros. b) Restar el mismo número o expresión a ambos miembros. c) Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma CONSTANTE NO NULA. d) Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma expresión que depende de una variable, para aquellos valores de la variable que NO PERMITAN que la expresión 1ome el ,VALOR CERO, y siempre que no origine soluriones extrañas ni que se pierdan algunas soluciones de la ecuación original. 2.2 NOTA.· RESOLVER UNA ECUACIÓN significa que se deben realizar sucesiva - mente las mismas operaciones (permitidas) en ambos miembros con el objetivo de dejar la incógnita sola en uno de los miembros. Por ejemplo, para resolver la ecuación 3. (b) 6x - 11 = 2x + 9 => 6x - 11 - 2x = 2x + 9 - 2x · => (a) => 4x - 11 4x - 11+11 9 9 + 11 => (e) => 4x = 20 1 -(4x) 4 = ...!... (20) 4 ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE: 2 ' ' ax + bx + e = O· X= 5 Cap.O Números Reales • 3 - donde a "" o , b y e son constantes reales. La resolución de la ecuación (•) puede realizarse ya sea FACTORIZANDO o COMPLETANDO CUADRADOS, métodos basados en los siguientes teoremas. 3.1 TEOREMA l.· Si a E R , b E R. , b 2: O : a 2 = b -<=} a = ± .Jb Por ejemplo: 1) x 2 = i6 => x = ± 4 {dos soluciones) 2) (x - 5)2 = 36 => x-5 = ±J36 x-5 ±6 x = 11 , x = -1 {dos soluciones). 3) (2x + 1)2 = 7 => 2x + l = ± .J7. 4) => 2x = - 1 ± .J7 {dos soluciones) => x = ...!... ( -1 ± .J7) . 2 2(x-3) = 5 2 (x - 3) 2 = 5/2 x-3 = ±/5í2 X~ 3±/5í2 5) La ecuación (3x - s)2 = - 4 NO TIENE SOLUCIÓN EN R , . pues en este campo. de números un cuadrado toma valor POSITIVO o CERO solamen- te y en ningún caso podrá tomar el valor: - 4 . Cabe indicar que esta ecua9ión sí tiene soluciones en el campo de los NÚME- ROS COMPLEJOS e , a saber: x = (5 ± 2 i)/3 , donde · i = ..¡-::1 es la unidad imaginaria. 3.2 TEOREMA 11 •• Si a , b e R : . 1 · a b .= O -<=} (a = O) V (b = O) - 4 - Análisis Matemático 1 Cap.o· El conectivo lógico ~ se lee "o" en el sentido inclusivo de " y/ o " y se emplea para indicar LA REUNIÓN de las soluciones de la eéuación 1 a = . o 1 con las de la ecuación 1 b = o 1 . x 2 - 12x + 35 = O {:} (x - 5) (x - 7) = O {:} (x - 5 = O) V (x - 7 = O) {:} (x = 5) V (x = 7) . Resolver UNA ecuación complicada de segundo grado equivale a resolver DOS ecuaciones sencillas de primer 9rado. Esto es un procedimiento usual en el campo de las matemáticas, en general, y se consigue por factorización. Este teorema se extiende a productos de tres o más factores: abe = O {:} (a = O) v (b =·o) v (e = O). 3.3 TEOREMA III .- En efecto, a2 = b2 ·{:} (a - b)(a + b) = o , (4x - 1)2 = (3x + 15)2 {:} 4x -J = ± (3x + 15) {:} [ 4x - 1 = 3x + 15] V [ 4x - 1 = - (3x + 15)] X= 16 X= 16 V V 1x = -14 ] X= -2] 3.4 RAÍCES DEL TRINOMIO CUADRÁTICO ax2 + bx + e Son aquellos valores particulares de la variable x que hacen que el trinomio cuadrático ax 2 + bx + e tome el valor CERO. 2 . Por ejemplo, hallaremos varios valores de x + 2x - 8 : ·:· Si X = 1 1 2 + 2 (J) - 8 - 5 ·:· Si 1 X= 2 ¡ 22 + 2(2)- 8 0 . •!• Si X= -3 (-3) 2 +2(-3)-8 -5 •!• Si X = o o2 + 2(0) - 8 -8 /. Cap.O Números Reales -5- •!• Silx=-41: (-4) 2 +2(-4)-8 0 Así resulta que 1 x = 2 1 y 1 x = - 4 1 son RAÍCES del trinomio cua- drático x 2 + 2x - 8 . 3.5 SOLUCIONES DE LA EC.UACIÓN ax2 + bx + e = o Si la ecuación tiene su segundo miembro igual a CERO, entonces se llaman . SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN ax2 + bx + e = o a las 1 RAÍCES DEL PRIMER MIEMBRO ax2 + bx + e 1. Así, las soluciones de la ecuación x 2 + 2x - 8 = o son las raíces del primer miembro x 2 + 2x. - 8 , es decir x = 2 y x = - 4 . 4. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS: 1 Es un procedimiento algebraico que consiste de transformar la expresión cuadrática EN FORMAEQUIVALENTE como ax 2 + bx + e = a (x - h) 2 + k donde h y k son constantes reales que pueden tomar valores positivos, negati- vos -o cero. Se le reconoce porque la variable x aparece una sola vez. Por ejemplo, · (1) 2x 2 - l2x + l3 2 (x - 3) 2 =- 5 - (2) x 2 + 2x - ~ 2 - (x + l) - 9 (3) - Jx 2+ 12x - 14 - - 3 (x - 2) 2 ..:. 2 (4) 2 - 4x + 7 . 2 2x - 2 (x - l) + 5 (5) 5x2 - 20x + 20 - 5 (x - 2) 2 (6) -x2 +·6X + 16 2 - -(x - 3) + 25 (7) 1x 2 -5 1x 2 -5 - ! '!¡ .11' - 6 - Análisis Matemático 1 Cap.O La completación de cuadrados es muy importante en varios aspectos. En particular casi de inmediato te proporciona las raíces reales de cual- quier trinomio cuadrático: LAS RAÍCES DE: i (x - 3)2 - 5 SON LAS SOLUCIONES DE: · 2 (x - 3)2 - 5 = O (x- 3) 2 = 5/2 x-3 = ±fS/i es decir, X 3 ± .¡s¡:¡. ... TEOR. · ( I ) [ 3.1 J . 2 Estas dos SOLUCIONES de la ecuación 2 (x - 3) - 5 = o son las dos RAÍCES del trinomio 2 (x - 3) 2 - 5 . Es decir, para hallar las raíces de 2 (x - 3) 2 - 5 , _mentalmente (imaginaria- mente) haces aparecer a su derecha la expresión 1 = o 1 ·y procedes a hallarlas como acabamos de hacer. · 4.1 NOTA.- Ya puedes da~e cuenta de que el trinomio cuadrático ax 2 + bx + e presentado e~ la forma a(x - h)2 + k : i) TIENE DOS RAICES REALES DISTltnAS SI LOS NÚMEROS a y k TIENEN SIG- NOS OPUESTOS como en los trinomios cuadráticos (1), (2), (6) y. (7): . 2 (x + 1) - 9 2 ' -(x - 3) + 25 raíces: X= -J ± 3 X = 2 X= -4 raíces: x=3±5 ~ x=8, x=-2 2 1x - 5 , raíces x . = ± .[Si7" . ii) TIENE UNA ÚNICA RAÍZ REAL (repeticja) SI k = O co(llo en el trinomio (5) : 5 (x - 2) 2 cuya raíz es x = 2 del cual también se dice que es una raíz de MULTIPLICIDAD DOS, es decir, repetida. . iii) NO TIENE NINGUNA RAÍZ REAL . SI 'LOS NÚMEROS a y k TIENEN EL MISMO SIG- NO, ambos positivos o ambos negativos. Ver los trinomios cuadráticos (3) y (4) . 2 . 2 .. - 3 (x - 2) -: 2 2 (x - J) + 5 '• \. t ,, l ~ ,\' J Cap.O Números Reales -7- (Ellos tienen raíces COMPLEJAS IMAGINARIAS). En este último caso, debido a que el trinomio cuadrático ax 2 + bx + e NO SE HACE CERO NUNCA EN R , entonces o toma solamente valores positi- vos o solamente valores negativos, en R : (iii) [1]. Si a > o (iii) [2]. Si a < o 2 . ax + bx + e > O , para todo x E R . 2 ax + bx + e < o , para todo x E R. • A los trinomios cuadráticos de este tipo se les conoce también como TRINOMIOS CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES en .R , o EXPRESIONES CUADRÁTICAS IRREDU- CIBLES en R , como - 3x 2 + 12x - 16 = - 3 (x - 2)2 - 4 que no tiene raíces reales y éuyo valor es SIEMPRE NEGATIVO, para cualquier x E R 4.2 1 LA TÉCNICA DE COMPLETAR CUADRADOS . · I FUNDAMENTO : 2 . 2 1 x + 2ax + a _ (x + a) x 2 - 2ax + a 2 = (x - a)2 2 ·2 r2l x ± 2ax _ x ± 2ar + ~ (x ± a)2 - ª2 . ªA L_A EXPRESIÓN 1 x 2 ± 2ax 1 LE SUMAS Y LE.RESTAS, EN ESE ORDEN, El CUADRADO 0 D.E LA MITAD [I) DEL COEFICIENTE 0 DEL TÉRMINO EN x. ENTONCES, LOS TRES PRIMEROS SUMANDOS CONSTITUYEN EL CUA- DRADO DEL BINOMIO (x + a) 2 O DE Cx - a) 2 , RESPECTIVAMENTEª !CASO 11 x.2 ..:.. bx 2 - bx + (b/2)2 - (b/2)2 - X b 2 b 2 - (x - -) - (-) / 2 2 ') x-+ bx - / + bx + (b/2)2 - (b/2) 2 b 2 b 2 - (X+-) - (-) 2 . 2 .. -·· • 8 . Análisis Matemático 1 Cap.p AL COEFICIENTE b DE x LE TOMAS LA MITAD : b/ 2 Y LO COLOCAS, CON SU SIGNO, DENTRO DE CADA UNO DE LOS DOS CUADRADOS. EL SEGUNDO CUADRADO SIEMPRE APARECE RESTANDO. x 2 - 8x ., 2 . ., . 2 - x- - 8x + 4 - 4- - (x - 4) - 16 x 2 + Sx 2 5 2 5 2 5 2 25 - X + Sx + (-) - (-) - (x +-) --2 2 . 2 4 2 .. [(x - 4/·-42 ] + 3 2 · X . - 8x + 3 - - (x - 4) .,... 13 !CASO 21 . x 2 + bx +e b 2 b 2 (x + - ) - (-) + e 2 2 2 . x - bx +e ' b 2 b 2 ' (x - -) - (-) · +e . 2 2 . COMPLETAS CUADRADOS SOLAMENTE A LOS DOS PRIMEROS SUMANDOS · COMO EN EL CASO 1. . 1) 2 · ~ ~ x + 4x - 7 = (x + 2) - (2)- - 7 _ (x+ 2)2 - 11 TIENE DOS RAÍCES REALES x = . - 2 ± fü. 2). x2 - . 9x + 5 = 9 2 9 2 9 2 61. (x - -) -'- (-) + s = (x - ~) - - 2 2 ' 2 ' 4 TIENE DOS RAÍCES REALES x = .1_ ± ..f6l 2 2 2 . 32 . 32 3) · x - 3x + 4 = (x - -) . - (-) + 4 · _ 2 2 .. NO TIENE RAÍCES REALES; . ..!.c9 ± ../61). 2 ( 3 )2 . 7 X-:-- +~ 2 4 4) x 2 + 12x + 36 = · (x + 6)2 - 62 + 36 = (x+ 6) 2 [ ya era un cuadrado perfecto ] , TIENE UNA ÚNICA RAÍZ x · = - 6 • !CASO 31 ax 2 ± bx + e . ~ a [ x 2 ± ~ x . a ] + e . b 2 b ., = a [ (x ± -) - (-)- J + e 2a 2a · Cap.O Números RealeS - 9 - 1) 2) 3) 4) FACTORIZAS EL COEFICIENTE ~ SOLAMENTE . EN LOS DOS PRIMEROS SU· . MANDOS QUE CONTIENEN A LA VARIABLE X. LUEGO, DENTRO DEL CORCHETE, APLICAS LA TÉCNICA DEL CASO 1. 2x 2 + 8x + 5 - 2 [ x 2 + 4x + O - O ] + 5 - 2 [ x 2 + 4x + 22 - 22 1 + 5 (CASO 1) - 2 [ (x + 2) 2 - 22 ] + 5 2 - 2 (x+ 2) ..- 3 tiene dos rafees reales: x=-2±.[3[2" : 2 3x - 7x + 2 _ ' 2 7 3[x --x ] + 2 3 (CASO 1) 7 2 7 2 ' - 3 [ (X - - ) - (-) . ] + 2 6 6 - 7 2 49 = 3 (x - -) - - + 2 6 12 = .. 3{.t-l._)2~ ~ ' 6 12 tiene dos raíces reales: x l._ ± 2.. · es decir x = 2 x = 1/3 . 6 6 ., . ' . 2 -'- x- - Sx + 3 _ - [ x + Sx J + 3 e - 52 52 . - - (x + -) - (-) ] + 3 2 2 s 2 25 _ -(x+-) +-+3 _ s 2 37 -(x+-) +-· - 2 4 ' s ../37 tiene dos raíces reales: x = - - ± -- 2 2 2 2 5 - 4x + Sx - 2 . _ - 4 [ x ,... -:-- x .. 4 . 2 4 ..!.c-s ± /37). 2 1 - 2 ·= -4 e (x _Í.)2 - (Í.)2 ] - 2 . 8 8 ~ ': http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ . . i o . Análisis Matemático 1 Cap. O _ - 4 (x - í/ + 22.. - 2 8 16 . _ - 4 (x - -~-/ - ..2.. ... NO TIENÉ RAÍCES REALES. 8 16 5) 2 2 20 - 25x + 20x - 4 _ -25 [ x - -x ] - 4 25 2 4 - -25( X - -X ) - 4 . 5 - -25[ (~ - 2..)2 - (2..) 2 J - 4 5 5 2 2 _ - 25 (x - -) + 4 - 4 5 2 2 - - 25 (x - -) ¡ cuadrad~ perfecto 1 5 TIENE UNA ÚNICA RAÍZ: X= 2/5 (de multiplicidad dos). s. DISCRIMINANTE DE ax2 + bx + e 1 . !CASO I. l Por ejemplo: 2 . ' En la fórmula de las raíces del trinomio cuadrático ;ix + bx + e : - b ± .~ b 2 - 4ac 2a a=O,b,ceR, se llama DISCRIMINANTE a la cantidad subradical 1 ~ . = b 2 - 4ac 1. Si 2 b - 4ac > O entonces ax 2 + bx + e tiene DOS RAICES REALES DISTINTAS x1 = x2 • En tal caso se puede factorizar con dos factores de grado uno, en lR , de la forma " ...._~ª-x_2_+~b_x_+~c~=_. _._ª_(x~-~x-1 )~(-x~--x_2_)~..JI • 2x 2 + sx - 12 'tiene DISCRIMINANTE b2 - 4ac = Números Reales .. 11 .. s2 - 4(2)(-12) = 1211 > o 1 entonces tiene dos raíces reales distintas ; 2x 2 + Sx - 12 (2x - 3)(x - 4) 2(x - 2:..)(x + 4) 2 ~ x 1 = 3/2, x2 = - 4 , son sus dos raíces reales distintas. · Si 1 b 2 - 4ac = O 1 entonces ax2 + bx + e tiene DOS RAÍCES REALES'IGUALES x1 = x2 , es decir tiene UNA ÚNICA RAÍZ REAL DE MULTIPLICIDAD DOS (es decir, repetida) . En tal caso, tenemos un CUADRADO PERFECTO en R, de la forma 1 ax 2 + bx + e == a (x - x1 ) 2 Por ejemplo, . Jx 2 ....:. JOx + 7S ~ b2 - 4ac = .(- 30)2 - 4 (3)(75) lCASO 111 .1 = 90Q ,... 3 (300) - CTJ ~ tiene una única raíz real repelida; en efecto 2 . 2 . Jx - JOx + 7S = J(x - 10x+ 25) = 3 (x - S)2 que tiene como única raíz x 1 = x 2 = S • Si 1 h 2 - 4ac <: · O 1 entonces ax2 + .bx +e NO TIENE NINGUNA RAIZ REAL , y no se podrá factorizar con dos facto~s de grado uno, en lR . Por esta razón a estas expresiones cuadr~ticás se les denomina IRREDUCIBLES EN R . Y como ax 2 +, bx + e · no se hace cero para ningún x e l!l , flntonces: O loina valores positivos solamente o toma valores negativos solamente para todo x en lR . Asl, i) Si I a > O 1 y J b2 - 4ac < O 1 e.ntonces lax 2 +. bx· + e > O 1 - 12 - Análisis Matemático 1 Cap. O es POSITIVO para cualquier x E R . ii) Si 1a<o1 y 1b2 -4a.c<o1 entonces lax2 + bx +e < ol •.. es NEGATIVO para cUalquier X E R . Por ejemplo, para -x2 + 2x - 3: b2 - 4ac = 2 2 - 4(-1)(-3) = -8 <o ~ - x 2 + 2x .:._ 3. NO tiene .nfnguna' raíz real. Y se cumple que . - x 2 ~ .2x - 3 ·es siempre NEGATIVO, paratodo x e ll , pues a = -.1 (negativo). PROBLEMA.- Halle el conjunio de valores de K para los cuales el trin·omio cuadrático (K + 6) x 2 + (K - 1~ x. +· 1 ·no tiene s~luciones reales. SOLUCIÓN.- Ello ocurre si el discrimi1,1ante es negativo: ~ 6. (K - :Í)2 - 4-(K + 6) <" O . . K E {-2, io) '. . • o • Ci) 2 . .. ~. . K - 4·K + 4 - 4K' - 24 K 2 ..!. SJC. -;, 20 < O ' (K - IO)(K + 2) < O VALOR ABSOLUTO. DE UN NÚMERO~ REAL !u! · ~ { _: si , • si µ~o u$!) 1u1 = 'Valor Absoluto de u e~. un número no negativo , siempre. S.1 TEOREMA.· Sean a , b ·e R : . 1) 1 a 1 = 1 b I · # 1 a = ± b 1 # . 1 a = :b I ·~ l. a = ~ b ) (reunid.o con) . 2) Si b ~ o -:·I .... _l_a_l_=_h_._<* ___ a_=_±--'b--' < o Cap.O Números Reales - 13 - 3) Si b ~o: lal $ b # 1 -b $ a $ b # -b $a 1J\1 ª:::; b (lntersectado con) 4) Si b >o: 1 al< b # 1-b < a < b 1 5) Si b ~o: lal ~ b # a ~ b V a$ -b 1 . (reunido con) 6) Si b ~o: lal > b # a > b . V a< -'- b 7) 1 a 1 < 1 b 1 . # (a + b)(a - b) < O 1- 6.2 TEOREMA.· Sea a e ll , 1) Si .·n es E~TERO POSITIVo' PAR :' - 1 al .1 2) ~ = lal 4f4" . "/a~ = 1 al 6.3 TEOREMA.· Sea a e ll , . 1) Si ri es ENTERO PÓSITIVO IMPAR: nf-;; "/a- = a 3lJ . 2) "/a~ = a , ~=a 6.4 NOTA.· Si la potencia n está afuera de la expresión radical no interviene el valor absoluto t sea n par o impar. · 1 ( n_¡a) n = a 1 •. para todo ENTERO POSITIVO n , par o impar. 6.5 COROLARIO.· Sea a e ll (1) lu= a 1 1 si a~ o ; (2) lu= -a 1 si a :::; o . :! : .. - 14 - Análisis Matemático 1 Cap.O EJEMPLO.- Si X < o : 4 . ·2 ~ ' X +x 6.6 TEOREMA.· .Sean a y .b núm~Hos reales, •. (1) (2) (3) 1 o 2 ~ b2 a = . {::>- 1a1 ·= l _b 1 ª2 =:= b2 -<=? a= :f b ..Ja ~ b {::>- (a;::: o ) /\ (b;::: O)/\ 2 [ a = b ] 1 .. NOTA.·· En las equaci<?nes co.n raqicales del tipo [3] lo recomendable es -comprobar cada una de las soluciones halladas al elevar al cua-. drado, en la ecuación original. EJEMP.LO> Resolver: = Jx Elevamos al cuadrado: '2 . . 2 x - 2x = 9x => 8x2 = - 2x => · x(4x+I) =O => 1 x = o ¡ ·, x = - 1/ 4 se descarta en la ecuación original . ( a ;::: .o ) /\ ( b ~ o ) /\ [ a 5 b2 ] . , 2 • EJEMPLO.· "t X: - _2x 5 Jx· 2 . 2 2 ( x - 2x) ;::: O /\ Jx ·;::: O /\ x - 2x 5 9x [ donde 8x2 + .;:t 2: O {::} xH.x + 1) ;::: O \ · .. {::} x E (~oo, -1/4] u [o, oo} ] -<=>-. x e ( ( "- ~, o J u [ 2, oo}) n -[o, .oo} n ( ( - oo, - 1/ 4] u [o, oo}) · {::>- x E {O } U [ 2 , oo) .= C.'6. Cap.O Números Reales - 15 • (5) j ..Ja 2: b 1 -<=>- .( a ;::: o ) /\ [ ( b < o ) v { ( b ;::: o ) /\ ( a ;::: b 2 ) } ] {::>- [ (b < O) /\ (a ;::: O)] V [ (b ;::: O) /\ (a ;::: O) /\ (a 2: b 2 ) ] EJEMPLO: ~ x 2 - 2x ;::: Jx {::} (x 2 - 2x ;::: O) /\ [ (Jx < O) V { (Jx ;::: O) /\ (x 2 - 2x ;::: 9x 2 )}] {::} x e ( ( - 6o, o] u [ 2, oo) j n [ (- oo, o) u { [o, oo) n [-1/4, o] } ] . . {::>- X E { - 09 , O ) = C.S. 6.7 TEOREMA.· Si a y b e R + , .ambos positivos, (1) -a 5 X 5 b {::>- O 5 1x1 5 máx { 1a1 ; 1b1 } (2) -a 5 X 5 b {::>- 2 ' 2 b.» O 5 x 5 max { a ; - (3) o 5 a 5 b . {::>- ª2 5 b2 . (4) o 5 a 5 b {::>- ..Ja 5- lb. -16 - Cap. 1 1 RELAC.IONES l. 1 PARES ORDENADOS. PRODUCTO CARTESIANO Los PARES ORDENADOS son entes matemáticos que consisten de dos elementos ~ y E_ , denominados PRIMERA COMPONENTE y SEGUNDA COM· PONENTE . respectivamente, y se les denota por el símbolo : (a, b) • DEFINÍCIÓN FORMAL.- En términos de conjuntos, el PAR ORDENADO (a' b) se defi- ne como el conjunto: (a,b) = {{a},{a,b}}. 1.1 IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.· 1 Dados dos pares ordenados (a, b) . y (e, d), entonces (a, b) = (e, d) si y sólo si a = e y b = d . Para la prueba se utiliza la Definición Formal , considerando los dos casos: i} a = b. , ii} a ;e b . .1.2 NOTA: De (1.1) tenemos que: DOS PARES ORDENADOS son iguales si y só- lo si sus primeras componentes son iguales entre. sí, y sus segundas · componentes también son iguales entre sr. 1.3 EJEMPLOS.· a) (2, 3) y (3, "2) no son pares ordenados iguales. b) (6, 3) y (6, 9) tampoco son pares ordenados iguales, pues difieren en la segunda componente. Cap. 1 Relaciones · -17 - b) Si (2x + y , 1) = (3, 2x - y} entonces se cumple el sistema de ecuaciones simultáneas: { 2x +y = 3 l = 2x - y x=l, y=I 1.4 PRODUCTO CARTESIANO A x B Dados dos conjuntos no vacíos A y B se define el PRODUCTO CAATES~ANO A x B como el conjunto de pares ordenados: A X B = { (a, b) / a E A y b E B } , tales que su primera componente está en el conjunto A , {su segunda componente en el conjunto B . 1.5 EJEMPLO .- Se\ln A = { I , 2 , 3 } , B = { a , b } , entonces A x B = { (1, a), (l, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } , cuyos elementos pudieron haberse distribuido en un. DIAGRAMA DE ÁRBOL : A B AxB -<:: a ~ (I , a) b ~ (1) b) TOTAL: -<:: a ~ (2, a) 3 X 2 = 6 elementos en A x B. 2 b ~ (2' b) <::: ·~ ~ (3 , a) 3 (3 'b) ~ 1.6 NOTA.- En general, si los conjuntos A Y. B son finitos con m y n elemen- tos respectivamente , entonces el Producto Cartesiano A x B tiene · m x n elementos. De aquí proviene su nombre y su notación. El concepto de producto Cartesiano se puede extender a más de dos conjuntos no vacíos: · · A X B X e = { (a' b' e) / a E A /\ b E B /\ e E e } surgiendo así el concepto de Terna Ordenada : (a,b,c) = { {a},{a,b},{a,b,c}} -18 - Análisis Matemático I Cap. 1 1.7 EJEMPLO.- Si A = {a. b } ' B = { 1, 2 }, e = { r. s} => A B e AxBxC <::::::. r (a; 1, r) 1 (a, I , ·a< s s). <:::: r (a 1 2, r) 2 s (a, 2, s) Total: 2X2X2=8 <:::: r ( b, 1, r) elementos. b< s ( b. 1, s) 2 <:::: r ( b, 2, r) s ( b. 2, s ) En general, el producto cartesiano no es 'conmutativo· es decir . . . A x B :e B x A , a menos que A = B . 1.8 EJEMPLO.. Si A = { 1}' B = { 2} entonces A X B = { (1, 2)} 1 mientras que B x A = { (2, I)} . 1.9 EJEMPLO.. Demuestre que: 1) M e A A N e B => . M X N. e A X B 2) A X (B n C) . = (A X B) n (A X C) 3) A X (B U C) = (A x B) U (A x C} SOLUCIÓN: 1. Sea (x' y) E M X N => X E M A yeN => x E A A Y.E B · por hipótesis => (x' y) E A X B Por lo tanto, MxN e A X B. 2. Sea (x. y) E A X (B n C) '{::} X E A A y E (B 0 C) {::} x E A A (y E B A y E C) {::} (x E A A x E A) A y E B A y E C (a E A A b E B) A (a E A A b E C) {::} (x,y)EÁXB A (x,y)EAX"C {::} (x,y)E(AxB.)n(AxC). 3. EJERCICIO. Cap. t Relaciones -19 - 1.10 PROBLEMA.- · Demuestre que (A X B)' = (A' X B) U (A X B') U (A' X B') . SOLUCIÓN .- Sea (a, b) E (Ax B)' ·{::} (a, b) fi! A X B {::} ....... ((a, b) E Ax B] ....... [aEA A bEB] ....... (a E A) V ..... (b E B) [ ..... (a EA) A (bEB V beB')J y [(aEAV a EA') A ..... (bEB)] (pues p :::;; p 11 V ) , - (a E A' A b E B) V (a E A A b E B') V (a E A' A ·b E B') {::} (a, b) E (A' X B) U (A X B') U (A' X B') . 1.12 NOT~ .- Al Producto Cartesiano A x A también se le representa por A 2 . 2. 1 RELACIONES~ TIPOS DE RELACIONES 1 Dados dos conjuntos no vacíos A y. B , a un conjunto 1( de pa- res ordenados se le denomina RELACIÓN DE A EN. B si es que 1( es un subconjunto cualquiera de Ax B. También se le llama RELACIÓN BINARIA. 1( es una Relación de A en B si y sólo si 1( e A x B 2.1 EJEMPLO.· Dados A = { 3, 4, s } , B = { l, 2 } • ~os siguientes conjun- tos de pares ordenados son algunas RELACIONES de A en B : 9<.1 = { (3, 1) } , 1(2 = { (S, l) } , 1(3 = { (3, 1), ( 4, 2), (S, l) } 9{ 4 = {(~ 1 1).(3,2).(4,1),(4,2)}, 1(5 = AxB . . P11esto que, en general, si A x B · tiene n elementos entonces A x B tiene 2 n subconjuntos; por lo tanto, existen 2 n relaciones de A en B . Cuando un par ordenado (a, b) pertenece a una relación 1( también se deno- ta: a 1( b . Es decir, a 1( b si y sólo si (a, b) e 1( , y en tal caso se lee: • !! está relacionado con !! según la relación 9{ •. Para las relaciones previamente dadas: 3 1(1 1, 4 1(3 2. Y si (a, b) fi! 1( entonces se denota .a j( b . -20 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 2.2 DEFINICIÓN .- Se dice que.!!( es una RELACIÓN EN UN CONJUNTO A si !l(cAxA. 2.3 EJEMPLO .- Si !!?.. es una Relación en A = { 2, 3 , 4 } tal que !!?.. = { (x, y) / y + l :::; x 2 } entonces !!?.. = { (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4) }, pues para (x , y) E A x A , con x E A A y E A : X= 2: y+ 1 :::; 2 2 => YE{2,3} => (2, 2f, (2: 3) E !l( X= 3; y+ 1 :::; 32 => YE{2,3,4} => (3, 2) ,(3, 3) ,(3, 4) E !l( X= 4: y+ 1 :::; 4 2 => YE{2,3,4} => (4, 2),(4, 3),(4, 4) E !J?.. 2,4 PROBLEMA.- En A = { 1 , 2, 3 , 4 , 5} se define la relación !!?.. = { (1, 1),(2, 2),(3, 3),(5, 1),(2, 4),(5, 4)_,(5, 2),(4, 3),(3, 5) }. Si M = { (x E A / (x, 2) E !f?.. } , N = { (y E A / (3, y) E !J?.. } p = { X E A / (x, 5) rt !!( } ' ha.lle (M u N) - p . SOLUCIÓN .- Verifique que M = { (x E A / . (x ~ 2) E !!?.. } = { 2' 5 } ]'J. :::: { (y E A / (3, y) E !f?.. } = { .3, 5 } P = { X E A j (x, 5) f{ !l( } = { 1, 2, 4, 5 } (M U N) - P = { 2, 3, 5 } - { 1, 2, 4, 5 } = { 3 } . 2.5 PROBLEMA .- Sean A = { i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y la relación R en A :. (a, h) E R # a es divisor de b . Halle n (!J?..) = número de elementos de la relación !!?.. . SOLUCIÓN.- (a, b) E !!( e Ax A # b es múltiplo de a . Así (I, I), (2, 4)", (3, 6) E !!?.. . En general: !!?.. = { (l,l),(l,2),(1,3),(l,4),(l,5),(1;6),(l,7),(l,8),(2,2),(2,4), (2' 6), (2 • 8), (3 • 3). (3 • 6) ,.( 4 '4)' ( 4 • 8). (5 '5), ( 6. 6). (7 ' 7), ( 8. 8) } n(!l() = 20 elementos. ' Relaciones -21 - a.11 EJERCICIO .- Se define una relación !!?.. en z como : (a, b) E !J?... # a - b es múltiplo de 3. Demuestre que: 1) (a, a) E !!?.. , V a E Z 2) (a; b) e !!?.. => (b, a) E !!?.. 3) (a, b) E!!?.. · A (b, e) E .1{ => (a, e) E !!?.. . SOLUCIÓN a - b es múltiplo de 3 # ·ª - b = . 3 k , para algún k E Z 1) V a E Z , a - a = o = 3 x O , con • O E Z => (a, a) E !!?.. • 2) Si (a, b) E !!?.. entonces a - b = 3k , para algún k E Z , => -(a - b) = 3(-k) ,"donde -k E z, pues k e z => b-a=-(a-b)e!f?... 3) Si (a, b) E !!?.. y (b, e) e !!?.. => a - b = 3k1 , algún k1 E Z => b - e = 3 k 2 , algún k 2 E Z Entonces, sumando ambas igualdades: a - ·e = 3k3 , donde k 3 = ( k 1 + k 2 ) E z , . => (a, e) E !!?.. . 2.7 1 RELACIONES REFLEXl~~S 1 Una relación !J?.. es una RELACIÓN REFLEXIVA EN A [ !!?.. e A x A ] si para todo a E A : (a, a) E !!?.. . Es decir, !!?.. es REFLEXIVA en A si todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante la relación !!?.. . 2.8 EJEMPLO •• Sean A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y las relaciones en A : !!?.., = { (1,2), (3,3), (3,4), (4,4), (4,1), (2,2), (1,1)} !l?..2 = { (1,1), (2,2), (3,4), (4,3), (4,4)} entonces !f?..1 es reflexiva en A pues (a, a) E . !f?..1 , V a E A , además de otros puntos, en cambio en -1{2 falta (3, 3) para serlo. 2.9 1 RELACIONES SIMÉTRICAS 1 Una relación !J?.. en un conjunto A es una RELACIÓN SIMÉTRICA en f!. si se cumple la implicación siguiente: -22 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 {a, b) E 1{ :;.. (b, a} E 1{. Es decir, si {a, b) está en 1{ entonces el elemento {b, a) también debe estar en 1{ para que 1{ sea SIMÉTRICA . 2.10 EJEMPLO.- Dados A = { 1, 2, 3, 4} y las relaciones en A: 1{1 = { (1,2),(2,3),(4,2),(3,2),(2,1),(2,4)}. 1{2 , = { (1, 1)' (2' 2)' (3' 3) } • 1{3 = { (1,1),(3,3),(4,1),(2,3),(1,4)}. vemos que 1{1 y 1{2 son Simétricas, pero que 1{3 no lo es, pues le fal- ta el elemento (3, 2) para serlo. 2.11 1 RELACIONES TRANSITIVAS Una relación 1{ en un conjunto A es TRANSITIVA si se cumple la imp,licación: [ (a, b) e 1{ /\ (b, e) E 1{ ] :;.. (a, e) E 1{ ------- __ ;... _______ --------------- 2.12 EJE~PLO .- Dado A = { 1, 2, 3, 4} , la relación en A: 1{ 1 = { (l,2),(2,3),(1,3),(3,1),(1,I) }, · NO ES TRANSITIVA, pues si bien se cumplen las implicaciones: (1, 2) E 1{ 1 /\ (2, 3) E 1{ 1 => y (1, 3) E 1{ 1 /\ (3, 1) E 1{ 1 => (1, 3) E 1{ 1 (1, 1) E 1{ 1 en cambio falla en: (2, 3) e 1{ 1 /\ (3, 1) E 1{ 1 => (2, 1) E 1{ 1 , pues falta (2, 1) en 1{ 1 . En cambio 1{ 2 = { {l, 2), (2, 1), {2, 2), (1, 1) } sí es Transitiva, 1( 3 = { (l,4),(4,J),(2,4),(3,4),(4,3)} no es Transitiva, pues le faltan por lo menos 7 elementos para serlo. [ ¿Cuáles son? l APTA: Son: (1,l),(2,1),.(3,l),(1,3),(2,3),(3,3), y (4,4). 2.12 1 RELACIONES DE EQUIVALENCIA 1 Una relación 1{·en A es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA si satisface (simultáneamente) las tres condiciones: C11p. 1 Relaciones -23 - 1) REFLEXIVA : "I a E A , (a, a) E 1{ 2) SIMÉTRICA : Si (a, b) E 1{ entonces (b, a) E 1{ 3) TRANSITIVA: Si [ (a, b) E 1{ /\ (b, e) E 1{ ] entonces (a, e) E 1{ 2.13 EJEMPLOS .- 1) Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 } entonces la relación 2. 1{ = { (l,1),(2,1).{l,2), (2,2), (3,3), (4,4)} es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA en A. 2) La relación 1{ definida en z (enteros) por: 1{ = { (a, .b) e Z x Z / (a - b) es múltiplo de 3 } también es de EQUIVALENCIA , lo cual ya fue demostrado en el Prob. [2.6] . 14 DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN Se llama DOMINIO de la relación 1{ al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de 1{ . Y se llama RANGO de la relación 1{ al conjunto de todas las segundas com- ponentes de los pares ordenados de 1{ . Dom (1{) { x / (x, y) E 1{ } Rang (1{) = { y / (x, y) E 1{ } 2.15 EJEMPLO.- Dada la reíación en A = { 1, 2, l, 4, 5 } : 1{ = { (1, 1),(2, i),(2, 2),(3, 1),(3, 2),(4, 2),(5'. 3)} entonces Dom (1{) = { 1 , 2 , 3 , 4, 5 ~ , Rang (1{) = { 1 , 2, 3 } . SERIE DE EJERCICIOS 1. Demuestre que: (A .:,.. B) x C = (A X C) - (B .X C). 2. ¿Cuántos elementos tiene · A x B si A = { x e z / -12 < :e+ 6 < 20 } y 2 B = { X E .z I 10 < X < 400 } ?. 3. Halle por extensión el conjunto M = { (s, t) E R. x Jt / (s2 + 3s, t 2 - 7t) = (- 2, - 12) } . 4. En A = { 1 , 2, 3 , 4 , 5 } se define la relación 1{ : ·24 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 5. 6. 7. 8. 9. !R.,= {(I, 1),(2, 2), (3,3),(5,l),(2,4),{5,4),(5,2),(4,3),(3,5)}. Si M = { x E A / (x, 2) E !R., } , N = {y E A / (3, y) E fR..} , P = {x E A / (x, 5) ~ !R..} , halle: (M u N) - P . Si A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, entonces dada la relación en A: !R.. = { (x, y) / y es múltiplo de x, x :;.: . y } e A x A , halle la suma de todos los elemento~ del Dominio de !R.,. Demuestre que si A y B son conjuntos no vacíos y se cumple que (A x B) u (B x A) = e x e entonces A = B = e. ' Dadas las relaciones en z: !R.. 1 = { (x, y) / x- - 2y = 3 } y !R.. 2 = { (x, y) ¡ x > y v x < y } , halle !R.. 1 - !R.. 2 • Dado el Universo u = { 1 , 2 , 3 , 4}, y las relaciones en U : !R.. 1 = { (x, y)/ x = y } , !R..~ = { (x, y) / y = 3 } , !R., 3 = { (x, y)/ y';?: x }, halle t,t 3 - (!R., 1 u !R., 2 ). Dados los conjuntos A = { x E N / x < · 3 } , B = { x E N / x es par y x <:. 5 } , e = { x E N / x es impar, x ::; 6} . Halle (A n B) X (C - A) .. 10. Sea A = z . En A definimos la relación T mediante la condicil~n: (x, y) E T {::} · x - y es divisible por 5 . ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? : a) (x, y) ET => (y,x) ET, c) (2 , 17) E T , b) (x, 4) E T =? x es múltiplo de s. d) (7n, - Sn) E T , V n E Z. 11. Sea U= {1,2,3,4,5} y !R., 1 = {(x,y) / x <y}, !R.. 2 = {(x,y) / x + y = 5 } dos relaciones en u. Halle el número de elementos de la rela- ción ( !R.. 1 u !R.. 2 ) • 12. Si A={{x,y)/ (x 2 +3x, y 2 +3y-2)=(-2,2x)} e zxz, B = { (x, y) / y = x, x E Z } , halle: A - B . 13. Dado el conjunto A = [ 1 , 8] n z , se define la relación !R.. en A como: (~, .!?_) E !R.. {::} ~ es divisor de ~ . Halle n (!R.,) . 14. Sean A= {a,b,c}, B = {a,b,d,e}, ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto (A x B) -:- (B x A) ? . 15. ¿Cuáles de las siguientes afirma¡:iones son veri:laderas? : a) A e A X A' V conjunto A ; . b) A X B e (A X B) u e Cap. 1 Relaciones -25 • c) (A x B) U (C x D) = (A U C) x (B U D) d) (A - B) X (C - D) = (A XC) n (B' X o') 16. Si A = {X E N / X = (2k - 1)/3 1 k EN}, ' . . . B = { X E N / x- + l $ 12 } 1 halle (A n B) X (B - A) . 17. Dados A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y la relación en A definida por: !R.,= { (x, y) ¡ x = y v x + y = 3 } , ¿Cuáles son verdaderas?: a) (a, a) E !R.. , V a E !R.. b) (a,b) E !R..=> (b,a) E !R.. · , c) (a, b) E !R../\ (b,c) E !R.. :::::} v (a,h)e!R.,. (a, c) E !R.. . Indicar además si !R.. es o no una relación de equivalencia. 18. En A = { I, 2, 4, 6, 8 } se define 'R.. = { (x, y) / 3 es divisor de x + y } halle la suma de todos los elementos del rangcr de la relación 'R._. . 2 19. En A= { -4, -3, -2, -l, o, 1, 2} se define 'R..= { (x, y)/ x + x = y 2 + y } , halle la suma de todos los elementos del dominio de 'R._. 20. Dada la relación 'R...= { (x, y) E lR x lR / qx - q = IY -ti}, a) ¿Es A una relación de equivalencia?. ¿Por qué? b) Para cada x fijo, calcule Ax = { y / (x, y) E !R.. } . 21. Si u es el conjunto de triángulos en el plano IR x lR y si s es la relación defi· nida en u por la regla: (x, y) E s si y sólo si ~ es semejante a y , demuestre que s es una relación de Equivalencia. 22. Una relación 'R.. en un conjunto A se llama ANTISIMÉTRICA si cumple que: (a,b)e!R.," (b,a)e!R.,:::::} a=b (•) · Demuestre que son antisimétricas las siguientes relaciones definidas en z : 'R.. l. = { (x, y) / x $ y } Y 'R.. 2 = { (x, y) / x < Y } • SUG: En 'R.. 2 : "(x, y) E 'R.. y (x, y) E 'R.." es FALSO pues "x < y y y < x" es absurdo. luego, (•) es VERDADERA. 23. Si !R., y S son dos relaciones REFLEXIVAS definidas en un conjunto A , ¿Cuáles son verdaderas? : a) 'R.. u S es reflexiva , · b) 'R.. n S es reflexiva , c) C!R.. u 5) n C'R.. n 5) es reflexiva. -26 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 24. En A = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8} se define la relación !/{ = x + y } . ¿Cuáles son verdaderas? : { (x, y) / 3 es divisor de a) !/{ es reflexiva , c) !/{ es transitiva , b) !/{ es simétrica , d) · !/{ tiene 9 elementos. CLAVE DE RESPUESTAS 2. 992; · 3) M = {(-1,3),(-1,4),(-2,3),(-2,4)}; 4) {3} 5. 12; 7) {(3,3),(-1,-1)} ; 8) {(1,4),(2,4),(3,4),(1,2)} 9. {(2,3),(2,5)}; 10) Sólo (a), (c) y (d); 11) 12; 12. {(-2,-1),(-1,0),(-l,-3)}; 13) 20; 14) 2 8 = 256 15. Sólo (b) y (d); 16) {(1,2),(3.2)} ; 17) Todas, Sí. 18. 36; . 19) - 7 ; 20. a) Sí, b) Ax = { x, 1 - x} ; 23) T~das 24. Sólo ( b ) y ( d ) 3 • I GRÁFICAS DE . RELACIONES .1 . Dada una relación !/{ se consideran los valores del DOMINIO de !/{ en el Eje X , y los valores del RANGO de !/{ en el Eje y , Y luego se van· ubicando los puntos en el plano cartesiano correspon-j iente~ Así por ejemplo, la representación gráfica de la relación · !/{ = { (1'1)' (2' 1), (2' 2)' (3' 1)' (3. 2)' ( 4 '2>. (5 '3) } Corresponde a la figura adyacente 3.1 NOTACIÓN.- y !/{ R.2 3 .. lR X R. = 2 • • • • • • o 1 2 3 4 5 X 3.2 EJEMPLO .• Bosquejáremos las gráficas de las siguientes relaciones en JR : L = { (x' y) e lR X lR / X = y } . S = { (x , y) E lR X lR / X = 2 = { (2, y) / y E lR } T = { (x' y) E lR X lR / y = 3 } - { (x, J) / X e lR } ('11p . 1 Re ladones - 27 - Para que un par ordenado se encuentre en la relación l!. sus dos compo- nentes deben ser IGUALES. Así, algunos pares ordenados en J!. son: (- 2, - 2), (-1, -1), (O, O), (1, !), (6, 6), (7 /5, 7 /5), etc., y donde resulta en Hle caso que: Dom ( .f) = ( - oo , oo} :;= lR [ Eje X ] Rang (.f) = ( - oo, oo} = lit [ E:je Y] En general, como el dominio ha de ser un conjunto continuo, entonces uniendo todos los pun- tos de l!. se obtiene una RECTA. Algunos elementos de la relación s son (2, - 2), (2, - 1), (2, O), (2, 1) , ( 2 , 3 / 2) , etc. Aquí basta que la primera componente séa igual a ~ para que tal par ordenado se encuentre en la relación S = { (x, y) E ll X R / x = 2 } = { (2, y) / y E R } . La segunda componente no tiene · r11tricciones en R : Dom (S) = { 2} Rang (S) = ( - oo, oo} Aquí también la gráfica co- rresponde a una RECTA (VER- TICAL), que precisamente pasa por X= 2. y 3 2 o -1 -2 s X :; 2 (2,3/2) (2' 1) (2; O) 2 (2 ,-1) (2. -2) X En general, toda ecuación de la forma: 1 x . = e 1 ( f constante) en el plano XY corresponde a una RECTA VERTICAL que pasa por x = e precisamente. http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ -28 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 Análogamente, podemos ver que Ja gráfica de la relación T definida por T = { (x' y) E lR X lR / y = J } corresponde a una RECTA HORIZONTAL qué pasa a Ja ' altura' y = 3 . Dom (T) ( - oo , oo) Rang (T) = { 3} En general, toda ecuación d~ la forma: 1 y = e 1 ' con e constante, en el .·plano .xy corresponde a una RECTA y J o 2 3 4 HORIZONTAL que pasa precisamente a la.altura y = e . 3.3 NOTA.- La gráfica correspondiente a a) Ja ecuación y = o coincide con EL EJE X·. b) Ja ecuaí:ión x = o coincide con EL EJE Y. 3.4 PROE!LEMA .- Bosqueje Ja gráfica de Ja relación: T T = { (x, y) E lR X lR / (x - 3) (y - 2) = O } SOLUCIÓN.- De Ja propiedad ab = o ~ [ a = O v b = o ]: X (x - 3) (y - 2) 0 ~ [ X - 3 = 0 V y - 2 = 0 ~ x=3 V y=2 y~ X= 3 4 y por tener el conectivo lógi co de Ja DISYUNCIÓN y su gráfica consiste de (LA REU- NIÓN DE) ambas rectas , es decir, de toda Ja cruz de Ja figura siguiente. 3 2 T .....,,, ~ • y= 2 o 2 3 4 5 ~X . A continuación presentamos las gráficas de las siguientes relaciones (verificar) : 2 .R = { (X , y) E lR X lR / y = X } S. = {(X ; y) E lR X lR /•y=.[';} T = { (x, y) E lit x R / y = - ..¡-; } Cap. 1 Relaciones - 29 - 2 W = { (x, y) E lR X lR / X = y } y ANALÍTICAMENTE Y GRÁFICAMENTE [ 2 y= X ;?:: 0 · x no tiene restncciones. ::}- Dom (R) = ( - oo, oo) = lR Rang (R) = [O , oo) -2 -1 o 2 X y 2 o 4 y o 4 -1 -2 y -1 X X X [ y=.[';,x;:::o ó Y=rx;:::o ::}- Dom (S) = [O, oo) Ra~g (S) = [O, oo) [ Y= -rx, X ;?:: 0 . y= -rx 5 º ::}-. Dom (T) = [O, oo) Rang (T) = ( - oo, O ] . 2 [ x=y ;:::o y sin restricciones ::}- .Dom (W) = [O, oo) Rang (W) = ( - oo, oo) 3.5 NOTA.- Como X = y 2 {:::} [ y = .¡-; V y = - .¡-;, \;/ X ;::: o ] 1 entonces Ja gráfica de W corresponde a la reunión de las gráficas de las rélaciones s y T~ · -30 - Análisis Matemático 1 La figura adyacente corresponde a la gráfica de la relación CÚBICA: B = { (x' y) E lR X lR / y = x 3 } Dom (B) (-<Xl, (X)) Rang(B) = (- <Xl, oo) Cap. 1 y 8 y = X~ X -- -8 Ahora bosquejaremos las gráficas de las siguientes relacionés (RECTAS): L 1 = { (x, y)/ L 2 = { (x, y) / L3 = { (x, y) / y = - 2x } L4 { (x, y) / y = -x } Y=-2X ' Y=-x' ·. ' ' ¡ y=2X X ' ' ' ' Relaciones - 3 t ·- GRÁFICAS DE RELACIONES DEFINIDAS POR INECUACIONES DEL TIPO S = { (X, y) E lli. X R. / y S .X } El punto (x , y) satisface la condición y ::;; x (véase en el Eje Y) siem- , pre que se encuentre en la semirrecta vertical que comienza en la recta y baja sin límite . [ Zona sombreada de la figura ( a) ] • La relación S 0 = { (x, y) / y < x } corresponde a la gráfica que sigue a continuación pero con excepción de los puntos del borde · y = x . [ Fig. ( b ) ] Fig. (a) Fig. ( b) y ' 1 1 1 1 X 1 ' 1 1 1 Y::;; x.;: 1 1 1 ·, 1 1 1 1 1 1 l. 1 1 1 1 1 •· 1 X Cuando -x toma todos los valores en el Eje X, la semi- rrecta hallada barrerá toda la zona sombreada. Del mismo modo se puede bosquejar la gráfica de la relación T, T = { (x, y)/ 2y > ....:.x } = { (X, y)/ y > _..!_X } , 2 partiendo de la gráfica del borde y = _ 2.; x , sin incluirlo. Fig. ( e) . 2 y Y=.X, ,,. "'• : <( ' 1 -X 1 ' 1 1 1 1 "• ., y __ ¿_, (x' y) /' 1 1 o 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1X 1 1 ,,, 1 ' /1 1 1 A 1 1 1 X Fig. ( c) 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 : ·1 1 1 , y>--x ... 1 2 1 ...,~~: : :Y '...J~ 1 --x y 1 1 1 1 1 f 1 .... ~+ '1" -t 1 f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x, y): 1 1 1 1 r 1 1 1 / 1 ' ·y·~;1 1 1 1 2 /1 1 1 1 1 1 1 1 /1 1 1 1 1 1 1 1 1 -32 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 3.7 EJERCICIO .• _Halle la gráfica de la intersección de las relaciones: S = { (x , .y)/ ~ ::S: 3 } , T = { (x, y)/ y < x 2 } .SOLUCIÓN.· . ----\ y -----\ -----.\ ::::::, :::::::\ -------, --------· 3.8 RESUMEN •• 2 .y=x t '- (_ 2 ¡- y < X 1- - T ---· X ----\ --~--\ ~::::.:~ ·--,---\ -_-_-.:_-_-_,. y 9 1- 1- 1- -------\ f----------------\ , __ :_-_-_-_-_-_-_--\ ,-_-_-_- --- SnT- ----- . 3 y ·-- ____ 2 ------ ·o -5 --- 3 ~:::~s __ - --- X Si la inecuación puede expresarse como i ) y > (EXPRESIÓN en x) o como ii ) y ;?: ( EXPRESIÓN en x) entonces su gráfica tiene como borde : y = ( EXPRESIÓN en x) ( i ) tiene como gráfica a la parte superior del plano, SIN EL BORI>~. ( ii ) tiene como gráfica a la parte superior del plano, CON EL BORDE. X y En los casos : y < . . . ( ó y :::.; • . • ) la gráfica corresponde a la re- gión debajo del borde sin incluirlo (o incluyéndolo si y :::.; ••. ) . 3.9 EJEMPLO.- Grafique las relaciones determinadas por las inecuaciones: a) Y $ l .t 1 • b) y ;?: 1 X 1 • SOLUCIÓN.· Cap. 1 Relaciones 1) 1 X 1 ;?: y {::} ( X ~ y V X :5 -y {::} ( y $ X V y $ -X que corresponde a la (RE)UNIÓN de las dos regiones: y Y=-x 1: 1:; 1' 1 .,., • 1 .,, 1 1 '; 1 1 ', 1 1 ' .,, 1 1 1 ,,. 1 1 1 1 Y=X 1 1 1 1 f\ 1 1 1 1 1 '' 1 '1 1 1 '"'. 1 1 1 1 ,,. 1 1 1 1 1 ,, 1 1 1 1 • . , 1 1 1 1 1 1 " - 33 - X b) La gráfica corresponderá al complemento de la gráfica de (a) más la frontera, pues: YC:lxl <=> lxl::S:Y <=> (y;?:O) /\ (-y::S:x.::S:y) <:::> (y~ O) /\ (y;?: x) /\ (y~ -x) (INTERSECCIÓN DE LAS TRES RE~IONES) 3.10 PROBLEMA ;. Grafique la (re)unión de las relacion_es en R. : 3 !!(_ = { (X, y) f X ;?: y > X , X > 0 } 3 $ = { (X, y) f X $ y < X , X < 0 } SOLUCIÓN .- !!(_ corresponde a la intersección de las tres regiones: i) y::S:x /\ ii) y>x 3 /\ iii) x>O y s corresponde a la intersección de las tres regiones: i) y ;?: X /\ ÍÍ) y < x 3 /\ iíi) X < 0 · y , , , ,'Y=X X Note que el origen (O, O) no se incluye en ninguna de las dos relaciones: !!(_ .ó S. 1 1 -34 - Análisís Matemático 1 Cap. 1 · 3.11 PROBLEMA.- Grafique la región definida por la relación: . s = { (x, y) E lR X lR / 1 y 1 ~ x 2 , 1 y 1 $ 1 X 1 } SOLUCIÓN .- s es la intersección de: 1 y 1 2::: x 2 . /\ 1 y 1 $ 1 x 1 , donde i) 1 y 1 >_ x 2 2 · 2 siy sólo si y 2::: x v y $ -x . , ii) 1y1 $ 1 xi {:::> {:::> ' y= -X '' { X 2::: 0 V x<O { (x 2::: O) V (x <O) y /\ f\ /\ /\ 1y1 $X 1 YI $-X (-x $y) (y 2::: x) ' ' f\ (y $ x) /\ (y$ -x) . 4. 1 RELACIONES INVERSAS Toda RELACIÓN 2t de A en B. tiene una RELACIÓN INVERSA de B en A , denotada por 2t - 1 , y definida por: 1 . !!( - = { (b, a) / (a, b) E !!( } . Así, los elementos de !!( ~ 1 son aquellos pares ~rdenados obtenidos al in- tercambiar las componentes entre sí de cada uno de los pares ordenados d~ la relación ~recia2{_. · · 4.1 EJEMPLO.- Si A = { 1, 2, 3} , B = { 4, 5} y la relación 2( de A en B: !!( { (1, 4),(1, 5),(2, 4).(2, 5)} entonces !R...- 1 = { (4, 1),(5, 1),(4, 2),(5, 2)} Cap. 1 Relaciones - 35 - 4.2 EJEMPLO.- Dado v = { 1 , 2 , 3 , 4 } y la relación en V : . !!( = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} , entonces . !J(-1 = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. -1 . En este caso vemos que !!( = .!R.. . 4.3 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES INVERSAS. - Dada una relación !!( de A en B y su relación inversa · !1(-I deBenA : .· DOMINIO de !!( - 1 = RANGO de !!( RANGO de !!( - I DOMINIO de !!( En el primer ejemplo tenemos que Dom (!J(-I) = { 4, 5} = Rang (20 Dom(!!()'. 4.4 GRÁFICA DE UNA RELACIÓN INVERSA 1 De la definición !J(-: 1 = { (b, a)/ (a, b) E!!(}, y to- mando el caso !!( = { (2, O}, (1, 1), (3, 2) } entonces su inversa resulta ser -1 . !!( = { {O, 2), (1, 1), (2, 3) } . En la figura se han Ubicado los .pun- . -1 los de !l( y !!( , y vemos !lUe si se considera a la RECTA y = x · · como un ESPEJO DOBLE entonces precisamente se obtiene 2{.- 1 c~ mo LA IMAGEN DE 2{_ A TRAVÉ~ DI DICHO ESPEJO. y " / y= X 3 _____ .... ___ _,, 1 "• 2{_-1 1,," 1 - - - - - ->- - -t (3, 2) "1 " 1 !!( 1 --~(l. 1~ : (O , 2) " 1 1 . 1 / 1 1 1 1 (2, O) 3 X Q, , " En este caso, se dice que la recta ú = x es una RECTA DE SIMETRÍA, y que: LA GRÁFICA DE LA RELACIÓN INVERSA 2{_ - l ES SIMÉTRICA A LA GRÁFICA DE 2{_ CÓN RESPECTO A LA RECTA y == x . -36 - Análisis Matemático 1 En los diagramas siguientes , las curvas continuas corresponden a la relación directa !!?.. ' y las cur- vas punteadas a la relación inver- sa fit-l '. -" " y , " ; !!?..-' Cap. 1 X En la figura izquierda !!?.. consiste de toda la circunferencia y de toda la zona sombreada. y X Observe que la Relación Inversa de una Recta Horizontal y = e es la Re- cta Vertical x = e , y viceversa. En efecto, !!?.. = { ( 4 , · z) / z e lR } tiene ecuación x = 4 y !K_.- 1 = { (z, 4) / z E R } tiene ecuación y= 4 . L RI ·ó 1 d 1 'bl l'P 2 eslaparábola rp-t •. a e ac1 n nversa e a para o a ..l\. : y . = x -'\. x = y 2 , la cual se obtuvo interca~1biando x con y en la relación inicial !K._. ~ y !!?.. !i=4 " " " " " " " o " , x=4 " " " Y=.x " " " !!?..-! - ~X 2 " " " " . ' '...:i-1 ... X ... __ y2 = X Cap. 1 Relaciones - 37 - 5 • l DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 1 La DISTANCIA entre los puntos P = (x1 , y 1 ) y Q = (x2 , y 2 ) , denotada por d = d [ P, Q] satisface la siguiente condición: d2 = 1 X2 - xd2 + 1 Y2 - yil2 = (x2 - X¡ )2 + (y2 - Y¡ )2' d[P, Q] = . / . 2 · 2 = 'V (x2 - xi) + (y2 - Y¡) 5.1 EJEMPLO.- Para los.puntos: y 1) P= (3, 4). Q= (6, S): d[P, Q] = ~ (6-3)2 + (S - 4)2 = [25" = 5 2) P=(-1,-4),Q=(ll,-9): d[P, Q] = ~ [11 - (-1)] 2 + ((-9)- (-4)]2 = ~ = 13 3) P = (- S·, - 7) , Q = (O, S) : d[P, Q] =~[O- (_;_S)] 2 .f. (8 -(-7)]2 = .,/2i9" = 17 5.2 NOTA.- Siempre se cumple que d [ P, Q ] = d [ Q, P] ;::: o . 5.3 PROBLEMA .- Demuestre que el triángulo de vértices A= (2, 3), B= (-1, O), C= (-2, 4) esisósceles. SOLUCIÓN.- Para que ello ocurra, dos de SllS lados deben tener longitudes iguales. Podemos verificar que, en electo: d[A,, B] = 3.JT , d[A, C] = Jl7; d[B, C] = fü. 5.4 PROBLEMA.- · H(!lle una ecuación para los puntos P = (x, y) que equidisten de A = (-2, 3) y B = (5, 7). SOLUCIÓN.- -38 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 Por la condición: d[P, A]= d[P, B] : ~ (x + 2) 2 + (y - 3)2 ~ 2 . 2 = (x - 5) + (y - 7) Elevando al cuadrado y redu- ciendo : 14x + 8y = 61. ; A= (-2,3) <:_ B = (5, 7) ,,, ; . ;°' / I I p =(!,Y) L X s.s PROBLEMA.- Demuestre que los puntos A(~3 , 2), B(5, -6) y C(I, -2) son colineales [que se encuentran en una misma recta]. SOLUCIÓN .- Ello ocurrirá en el único caso en que: considerando la~ distancias entre ellos, la SUMA de dos de tales distancias debe coincidir con el valor de la tercera. Así, podemos verificar que esto es cierto puesto que· d[A, C] = 4.[2, d[C, B] = 4.[2, d[A, B] = s/2 . 5.6 1 FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO 1 En la recta vemos que el Punto Medio M entre a y b es 1· b-á ·1 R a M . b M = b-a a+ b (SEMISUMA de a y b ) a+(--) = 2 2 Usaremos este hecho en ambos Ejes X , Y , para hallar las coordenadas del punto M = (r , s) que se encuentra a la mitad del segmento de recta que une a los puntos P = (xi , Y1) y Q = (x2 ' Y2) : y Por el Teorema de Tales, si M es punto medio del segmento PQ , entonces r es punto medio enfre x1 y x 2 , y .s es 1 1 1 1 1 1 1 1 · I 1 1 punto medio entre y 1 y y 2 : Y¡ - i - - - - ~ - - _q P1 1 1 o r X Cap. 1 Relaciones - 39 - 1 s = . 2 Por lo tanto, ( xi+ x2 , Y¡+ Y2 ) 2 2 y se lee : LA SEMISUMA DE LAS COORDENADAS. DE LOS EXTREMOS P y Q . 5.7 EJEMPLO.- El punto medio M entre A = (3, 7) y B = (9, -5) es M = ( 2.±...2_ , 7 + (-5) ) = ( 6, l) . 2 2 6. LA RECTA Y SUS ECUACIONES 1 1 X= C Si una recta es vertical sabemos que su ecuación es de la forma , siendo e: una constante. Si la recta L no es vertical y pasa por un punto fijo P 0 = llamado PUNTO DE PASO de la recta, entonces L forma unángulo fijo a "" 90º con el Eje X, medido en sentido antihorario a partir del semieje po- sitivo del Eje X . Este. ángulo se llama ÁNGULO DE INCLINACIÓN de L Un punto P = (x , y) "" 1'0 pertenecerá a la.recta L si y sólo si Si Q = (x1 , Y¡) E L , entonces también se cumple que: Y¡ - Y0 Tan a . =· ---- y y --- -- p I} 1 1 (y - y ) 1 o. - a __ ____ _ti X 6.1 PENDIENTE .- Se llama PENDIENTE de una recia L al valor de la tangente de su ángulo de inclinación a , y se le denota m = Tan«· = , a "" 90° donde los puntos (x 1 , y 1 ) = Q y (x0 , y 0 ) pertenecen ambos a la recta L. -40 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 El valor de la PENDIENTE siempre es constante para cada recta, y proporCio- na una medida de su inclinación con respecto al Eje X . Así, la ecuación de una recta que NO ES VERTICAL L queda determinada tan sólo indicando su PENDIENTE m , y las coordenadas de cualquier PUNTO DE PASO (x 0 , y 0 ) , en la forma: => L: y - Yo 6.2 PROBLEMA:- ·Halle la ecuación d.e la recta L que pasa por (1, 2) y tiene án- gulo de inclinación de 45º . SOLUCIÓN.· a = 45º . La pendiente m es: m = Tan a= Tan·45o = 1 , y como pasa por (x 0 , y 0 ) = (1, 2) , entonces L: y - y 0 = m (x - x 0 ) => y - 2 = I • (x '- 1) => L : y - 2 = x - 1 , es decir L : y= X+ J. 6.3 PROBLEMA.. Halle la ecuación de la recta L que pasa por los puntos A = (3, 4) y B = (5, 8) . SOLUCIÓN .- Como ambos puntos pertenecen a la recta L , se puede tomar cualquiera de ellos como PUNTODEPASO P 0 = (x 0 ,y 0 ); digamos P 0 =A= (3; 4) . Ahora sólo falta hallar el valor de la pendiente m , y con las coordenadas del punto B = (x, y) = (5, 8) obtenemos · y - Yo 8 - 4 4 2 m = = ·--- = - = 2 => m = X - X 0 5 - 3 2 Y la·ecuación d¡¡ L: y - Yo = m (x - x 0 ) => y-4 = 2 (x - 3) •.. (1) Pero, si en lugar de P 0 = A se hubiese considerado P 0 = B. = (5 , 8) en- tonces se habría obtenido m = 2 , => L: y - 8 = 2 (x - 5) . ... (2) que aparentemente es diferente de (1) pero si se efectúan las reducciones necesarias se encontrará.que (1) y (2) son equivalentes obteniéndose en ambos casos: L: y = Zx - 2 La ecuación para L en la forma~ la FORMA PUNTO - PENDIENTE. m (x - x 0 ) es denominada l'ap. 1 Relaciones Ahora, consideremos como Punto de Paso a (O, b) , donde L intercepta al [ jE Y , entonces L: y - b = m (x - O) => ¡-L: y mx + b X Esta forma proporciona directamente la PENDIENTE m como el coeficiente de la variable x, mientras que el término independiente E. indica el punto en el EJE Y donde la recta L lo corta y E, obviamente puede ser: > o , = o ó < O • Así, por ejemplo, la ecuación y = 3x - 1 corresponde a la recta con pendiente m = 3, y punto de paso (O, b) = (O, -1) . Si la recta L tiene su ángulo de inclinación a, tal que: 1) o < ·ª < 90º m= Tan a > O .. . PENDIENTE POSITIVA. 2) a = o m= Tan O o Recta HORIZONTAL. 3) 90º < a < 180° m =Tan a < o PENDIENTE NEGATIVA. Cualquier otro ángulo se reduce a los tres casos dados para efectos del cálculo de la PENDIENTE m = Tan a . 6.4 NOTA.· m= 1 {::? Tana = {::? a = 45º m = -1 <=? Tan a= -1 {::? a= 135° y y X Y si o < a < 90º , la pendiente m aumenta de valor conforme el angulo a va creciendo. En general se tiene el siguiente esquema gráfico: -42 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 y y X X O< a< 90° 6.5 PROBLEMA.. Dada la ecuación de la recta L : 2x + 4 y = 4 , halle su pen· diente, un punto de paso, y bosqueje su gráfica. SOLUCIÓN .• Para hallar algún punto de paso basta dar un valor real cualquiera ·a la variable x, y despejar el correspondiente valor de y , o viceversa. Así, para y = o se tiene X = 2 • luego p o = (2 • O_) resulta ser un punto de paso (pero NO ES EL ÚNICO) • Despejando y y = - _!_x + 1 =>- m = - _!_ • 2 2 Note que la recta también pasa por el punto (o, b) =(O, 1) m = y 2 X . 6.6 TEOREMA •• Si a y b no son ambos ceros a la vez ·, entonces la ecuación: ax+ by+ e= O siempre represen- ta a una recta en el plano XY . ·. PRUEBA.· i) Si a= O , b ... o y = - c/b ( L HORIZONTAL) ii) Si a ;e O , b. = o ' · X= -e /a ( L VERTICAL ) iii) Si a :;e O , b,.. o a (-~) que es una y = (--)x + b b Cap. 1 Relaciones - 43 - ·recta con pendiente m = - a/b , y pasa por (o, - c/b) . 7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES "Dos rectas L 1 y L 2 son PARALELAS ( L 1 // L 2 ) si tienen el mismo ángulo de inclinación: ª1 .= ª2 = ª · En el caso de rectas que no sciñ verticales, esto equivale a· que sus pén· dientes sean iguales: m 1 = m 2 = in = Tan a . X Si ninguna de las dos rectas L 1 y L 2 es vertical, entonces ellas serán PERPENDICU- LARES si y sólo si a 2 - a 1 = 90º, a 2 = 90º - ( ...:.. a 1 ) => Tan a 2 = Cot ( - a 1 ) = -Cot( a 1) = - l/Tan(a 1) <=> (Tan a 1 ) ( Tan a 2 ) = -1 <=> m1 • m2 = - .1 ( PRODUCTO DE PENDIENTES = - 1 ] X 7.1 TEOREMA.· Sean L 1 y L 2 dos rectas de pendientes m 1 y m 2 respectivamente, entonces son PARALELAS ii) L 1 J. L 2 son PERPENDICULARES <=> 1 m 1 • m 2 = -1 I · 7.2 · EJEMPLOS.. Las rectas L 1 : 2x + y + 1 = O L 2 : 2y = - 5 - 4x -44 - Análisis Matemático l Cap. 1 son PARALELAS , pues sus pendientes son iguales. Las rectas 1~, : ax+ by+ c = O a;eO, b;eO L 2 : - bx + ay + d = O son PERPENDICULARES, pues mi = - a/b y m2 = b/a Las rectas a b => . m 1 • m., = ( - - ) · ( - ) = -1 - b a L 1 : 3x-2y+l=0 L 2 : 4x + 6y - 12 = O también son perpendiculares: m 1 • m 2 - 4/6 = -2/3 = (2..)·(-2) 2 3 7.3 PROBLEMA .• Halle el valor de k para que la rectas dadas sean paralélas -1 L 1 : kx+(k-l)y+l8 .= O, L 2 : 4x+3y+7 =O. SOLUCIÓN .- ID¡ = -k k - 1 m 2 = - ~ , y como las ·rectas deben ser pa- 3 . ralelas entonces m 1 = m 2 . De esta ecuación despejamos k = 4 . 7.4 PROBLEMA.- ¿Son las rectas L 1 : -2x + y = -2 1 L 2 : X + y 7 perpendiculares? . Halle su punto de intersección Q • . SOLUCIÓN . m 1 = 2 , m 2 = -1 => m 1 • m 2 ;e ·-'-1. Luego, las dos rectas NI SON perpendiculares NI SON paralelas. El punto Q = (x, y) buscado, al estar en ambas rectas, ceben saiisfacer las dos- ecuaciones simultáneamente, lo que indica que se debe resolver .el sistema: { -2x +y= -2 X+ y= 7 => X=3 1 Y=4 => Q = (3 1 4) . X 7.5· NOTA .• Cuando dos ecuaciones (simultáneas) de dos rectas no tienen ninguna so- lución, es porque ambas rectas son paralelas y están separadas entre sí. Cap. 1 Relaciones - 45 - Tal es el caso de las rectas: L 1 : 2x +y = 2 L 2 : 4x+2y 10 (1) (2) que al reemplazar (1) en (2) se llega a que 4 = 10 (ABSURDO) , y esto ocurre pues al tener las pendientes el mismo valor: m 1 = m 2 = - 2 se concluye única- mente que las dos rectas SON PARALELAS L 1 // L 2 , pero que no necesariamente tienen que ser coincidentes. Podemos ve~ que estas dos rectas dadas son paralelas, pero están separadas: L1 : 2x +y = 2 L 2 : 2x +y = 5 X 7.6 PROBLEMA.· Si L: Jx + 4y - 2 = o , halle la ecuación de la recta L' tal que L' ..L L , y que pasa por (4, 2) . SOLUCIÓN .- L 3x + 4y - 2 = O => I/ : '- .4x + 3y + k Y como ( 4 , 2) e L' se cumple que - 4 ( 4) + 3 (2) + k = o k = 10 , L' : - 4x + Jy + 10 = O . 8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 1 o Dados un punto Q = (x 1 , y¡) y la recta L de ecuación L: ax + by + c = o entonces la recta L' que pasa por Q y es per- pendicular a la recta L tiene como ecuación : (VERIFICAR) L' : - bx + ay + ( bx1 - ay1) o . http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ i i¡ . . •• 1 .. -46 - Análisis Matemático 1 La distancia de Q a L es igual a la distancia de Q al punto R E L n L' . Resolviendo el sistema de ecua- ciones de L y L' se obtienen las coordenadas del punto R : y 2 2 2 x = ( b x 1 - a by 1 - ac }/(a + b ) 0 Cap. 1 L X 2 2 b (ax¡+ byt + e) = b2 k-2 (y - y 1 ) = ---=----=--- a 2 + b 2 donde k ax1 + by1 +e = -------- ª2 + b2 => Por lo tanto, d = d[Q, L] = d[Q, R] ~ 2 2 . d=lk)a+b . donde Q = (x 1 , y 1 ) y L: ax +by + e = O . 8.1 EJEMPLOS.· Dados los puntos A = (9, 1) y B = (3, 4) , las distancias. respectivas a la recta L : 3x - 4 y + 7 = o son : d[A, L] 1 3 (9) - 4 (1) + 7 1 JO --;====--'- = - = 6 , A ::: (9, 1) ~32+42 5 13(3)-4(4)+71 o . d [ B, L] = --;===-""--- = - = 0 , B = (3 ; 4) . ~32+42 5 Esto implica que el punto B PERTENECE A LA RECTA L , como se puede verificar sus- tituyendo las coordena·das del punto B en la ecuación de L . 8.2 PROBLEMA.· Demuestre que l<J distancia entre las Rectas Paralelas: L 1 : ax + by + e = o y L 2 : ax+ by + e' = o está dada por Relaciones 1 e - e' 1 ~ ª2 + b2 SOLUCIÓN.- i) Si L 1 // L 2 y si son verticales entonces b = o . [ Completar esta prueba como ejercicio ] ii) Si L 1 y L 2 no son verticales entonces b "' o , tomamos un punto Q ~ L 2 cualquiera, digamos: Q = (O, - e' /b) ··y => d [ L2 , L1 ] = d [ Q , L1 ] e' . 1 la·(O) + b{--) +e b ~ ª2 + b2 d [ L2 , L 1 l = 1 e - e' 1 / ~ a 2 +. b 2 8.3 EJEMPLO.- La distancia entre las rectas L 1 : 3x + 4y + s = o. , y - 47 - L 2 : - 6x - 8y + 20 = O => L 2 : 3x + 4y +_ 10 = O donde identificamos los valores de e = s , e' = -10 , está dada por 9. ÁNGU.LO ENTRE RECTAS 15 = 3 unidades. 5 Si e es el ángulo entre L 1 ·y . L 2 , medido en sentido positivo (ANTIHORARIO) , y si a 1 y a 2 son los ángulos de inclinación de L 1 y L 2 respec- tivamente coh a 1 < a 2 como en la figura, entonces: Tan 0 -48 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 En efecto, m 1 = pendiente de L 1 = Tan a 1 m 2 = pendiente de L 2 = Tan a 2 ÁNGULO ENTRE L 1 y L 2 e= a 2 - · a 1 • Así, la fórmula ( •) viene de la relación: Tan a .2 - Tan a 1 y Tan 0 = Tan (a 2 - a 1) = 1 + Tan a 2 Tan a 1 . i) Si Tan 0 > o entonces 0 es un ángulo AGUDO donde si: ii) Si Tan 0 < o entonces 0 .es un ángulo OBTUSO • Ll . X Y si p = :re - 0 es el ángulo suplementario entre L 1 y L 2 : Tan p = - Tan 0 . ( 9.1 PROBLEMA.· Halle la ecuación de.la recta L' que forma un ángulo de 45º con L : 3x -y+ 1 =:=:o, y ·quepasapor (O, 1)., SOLUCIÓN.- Sólo falta hallar la pendiente de L' pero hay dos posibles soluciones para L' y los denotamos L 1 y L 2 . · Como L tiene pendiente m = 3 : m-m L 1 ·: Tan01 = 1 . . 1 + mm 1. Y siendo 01 = 45º = 02 : 1 1+3m1 entonces L 1 y-1 = -x 2 X y - 1 = -2x. l'up. 1 Relaciones -49 - 8.2 PROBLEMA.· Si 0 es uno de los ángulos entre las rectas LI y L2 ' y si 1Tan0 I = 2 , halle el valor de: . i) La tangente del ángulo agudo entré L¡ y L2 . ii) La tangente del ángulo obtuso entre LI '/ L2 . SOLUCIÓN.- Como Tan0 = ±2 entonces i) 0¡ agudo => Tan0 1 = + 2 (pues Tan 0¡ debe ser > o) ii) 02 obtuso - => Tan0 2 = -2 (pues Tan0 2 debe ser < o) 9.3 NOTA.· Las tangentes .del ángulo agudo y del ángulo obtuso entre dos rectas sólo difieren en el signo. · · 10. GRÁFICAS QUE INVOLUCRAN EL VALOR ABSOLUTO La ecuación y = 1x1 es equivalente a la condición y~O/\ [x=y V X=-y] {::} y~O · /\ [y=x V y=-x] que equivale a considerar los. puntos de ambas rectas: y ·= x , y = - x pero so- lamente en el semiplano superior y ~ o + y ' ' ' ' ' o La ecuación y = 1 x -,- t I + x es equivalente a : { X - I + X = 2x - I , y = 1-x+x { 2.x - 1 ' si X ~ y = si X< 1 que consiste de dos partes: la parte de la recta y = , 2x - J corres- pondiente solamente a los valores de x ~ 1 . , y la parte de la recta para x~I {::} para x<I y ) y , 0 X X X -50 ·- Análisis Matemático 1 Cap. 1 Y = 1 (horizontal) correspondiente sólo a la parte del plano ubicada a la izquierda de x = 1 , es decir: x < 1 . La ecuación 1 y - 2x 1 = 4 - 2x - y , que es equivalente a: 4 - 2x - y > O A [ y - 2x = 4 - 2x - y y y - 2x = - 4 + 2x + y ] ~ Y :5 ~ 2x + 4 A ( y = 2 V X = 1 ] y< -2x+4 \J~ y consiste de aquellos puntos del pla- no que están en las rectas y = 2 (horizontal) y x = 1 (uertical) pero solamente aquellos que se en- cuentran debajo de la· recta y = - 2x + 4 , es decir, en la - \ 4 , y> -2x+·4 \ ' \ ' 3 \ 1 _____ 2-+--'-\,~ ~~· !~ --- \ región y :5 - 2x + 4 . . \ \ 1 \ \ \ .O .. 1 2 \ 3 EJERCICIOS PROPUESTOS. \ \ 1. Grafique la relación R = { (x, y) E R 2 / · 1 x - ¡" 1 = 1 y - 1 1 } ~ 2. Gralique e indique el dominio de la relación: 2 R = { (x, y) E R / 2 < 1 x - 4 j :5 12 } 3. Grafique e indique el dominio y el rango de la relación S = {(x, y) E lll 2 / 1y1 ~ x 2 A 1 y r. < x } . 4. Gralique la región s indicando su dominio y rango: 2 . S ={(x,y)eR / IYI :5 lxl :5 3 }. 5. Gralique la región definida por la relación s = { (x' y) E R .X R / 1 y 1 ~ x2 • 1 ~il :5 1X1 } e indique su dominio y rango. ,.. X \ 6. Grafique la región determinada por la relación s- 1 , para la relación s dél pro- blema anterior. SUG.- Utilice la re.eta y = x como espejo doble. 7. Grafique la región definida por la relación inversa s- 1 donde S = { (x, y) E lll 2 / .[Y~ x } SUG.- ¡y ~ X ~ y ~ o A [ X < o V (x ~ o A y ~ . x 2 ) ] 8. Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) (2,l)y (3,4) b) (6,-3)y (-2,1) Cap. 1 Relaciones - 51 - e) (o • 1) y . (1 • o) 9. Encuentre el valor de las pendientes de las rectas que son bisectrices entre las rectas y = x y el EJE X . SUG.- m = Tan (a/2) donde Tan a = 1 = (Pendiente de y = x ) Tan(ª) __ 2 Tan (a/2) . 1 - Tan2 (a/2) , y despeje Tan (a/2) . . 10. Una recta con pendiente negativa pasa por ( - 1 • 1) y dista .JS unidades del punto A = ( 4 • 1) . Halle el valor de su pendiente y la ecuación de dicha recta. 1 t. Sea P = (a ; b) un-punto del plano tal que la rect_a OP que lo une con el origen tiene pendiente - 3 y la recta MP trazada por los puntos P y M = (3. t) tiene pendiente 2 . Halle el valor de a + b . 12. Halle las ecuaciones de las rectas L 1 y L 2 que pasan por (5, 6) y tales que L 1 es paralela a 2x + y + I = o • y L 2 es perpendicular a 3x + 2y + 2 = o. 13. Halle el ángulo obtuso 9 que forman las rectas 'L 1 con pendiente k y ta recta L 2 con pendiente (k - 1) / (k + 1) . SUG.- Halle Tan 9 , con valor negativo. 14. Una recta cuya ordenada en el origen es tres veces la de 2x - y+ 1 = o (en . el origen) es dos veces la de 2y - 4x + 12 = o , forma un triángulo en el pri- mer cuadrante con los ejes coordenados. Halle su área. 15. Halle la ecuación de la recta L que pasa poi' el origen de coordenadas sabiendo que la longitud de su segmento comprendido entre las rectas L 1 : 2x - y+ 5 = O y L 2 : 2x - y+ 10 = O es ·.,{10. Se sabe además que la recta no pasa por el segundo cuadrante. SUG.- Bosqueje una gráfica aproximada. 16. Dada la familia de rectas 2kx + y + k 2 = o , halle la tangente del ángulo agudo entre las dos rectas de la familia que pasa por (1, - 8) . 17. La ecuación . x +y - 2 + k(x - y+ 6) = o representa una familia de rec- tas que pasan fodas por un mismo punto. Halle las coordenadas de este punto. 18. Una recta que pasa por el origen corta a las rectas x - y = 3 y y = 2x + 4 en los puntos A y B respectivamente. Si el origen es punto me- dio del segmento AB , halle la abscisa del punto A . ; -52 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 19. Entre las rectas que pasan por A :::: (3, O) halle una manera que el segmento comprendido entre las rectas 2X - y = 2 y x + y + 3 = o sea dividido por la mitad por el punto A . 20. Uno de los vértices de un triángulo es A = (3, - J) y la·s ecuaciones de la bi- sectriz y de la mediana trazadas desde vértices diferentes son respectivamente x - 4y + 10 = o y 6x + JOy - 59 = o • Halle la pendiente del lado que contiene al vértice A y al vértice que se encuentra en la bisectriz. 21. Halle la gráfica de las relaciones determinadas por las ecuaciones a) . y= El - 1 b) Y = 1 X - 2 I - X • X 22. Una recta L con pendiente positiva pasa por A = (1, - 2) y forma con las . rectas 3x + 4y - i = o y 4x + 3y + 1 = o un triángulo isósceles cuyos lados iguales están sobre las rectas dadas. Halle la ecuación de L . 23. Un rayo de luz corre alo largo· de la recta x - 2y + 5. = o . hasta llegar al ~s pejo cuya ecuación es 3x - 2y + 1 = o en el cual se refleja. Halle la ecuación de la recta L en la que el rayo reflejado se encuentra. 24. Halle la gráfica de la relación A n B donde A = { (x. y) / X - 1 :::; y :::; X + 1 } ' B = { (x' y) / :::; X :::; 3 } . CLAVE DE RESPUESTAS 2. (3' 3) X (3. -3) y ------- --1 r: ::::::: _:, • . 1-- ------- --1 r_: ::::::::::: :.:1 1- -:------ --1 r:: ::::::: ::1 1-- ------- -, r:: ------- --. . 1 3. y (l, l) X X (1,-1) 2.DomR = [-8, 2) u (6, 16] 3. Dom S = (O, 1 ) Rang S = ( -:- 1 •. 1 ) - { O } Dom S = [ -' 3 , 3 ] Rang S = [ - 3 , 3 ] 4. Cap. 1 Relaciones - 53 - 5) 6) y 7) y Y=h. X ------"':'----------------------- . X (1, -1} -1 ------.. --------------------- 8. a) m = 3 , . b) m = - 1/2 , c) m = - 1 9. m 1 = ..f2 - 1 , m2 = - ( ..f2 + 1) . ·Note que· ambas bi.sectrices son per- pendiculares entre sí. (Esto s[empre se presenta asíJ 10. m = -1/2 , L: y = 1 - (l/2)(x ·+ I) pues L : . y = . mx + b , ( ~ 1 , 1) E L => b = m + · 1 , de ~onde L : y = mx + (m + 1) , o también mx - y + (m + 1) = O Luego, ../5 = d[L; (4, I)] = l4m - 1 +Cm+ OI/~ m 2 + I => .m = ± 1/2 _.. y elegimos el sigilo (-) . b-1 11. a+b = -2 pues -- = 2· A b =-Ja => a=I, h=-3 - a-3 12. m 1 =-2 => L 1 :y-6=-2(x-5) m 2 = 2/3 => L2 : y - 6 = (2/3)(x ,..- 5) m -m 13. Tan 0 = ± [ . 2 1 1 + m 1m 2 => Tan9 = -1 , 9 = 311/4 • . 14. 9 u2 , 15. m = 1/3 ·, L: x :: 3y ., 16. Tan 9 = 12/31 , 17. A= (-2, 4) 18. 1 ·, A = (l, - 2) . 19. 8x - y - 24 = o , 20. m = 6/7 . 21. a) y b) o X ----0-2 X -54 - Análisis Matemático 1 22. m = 1 , L : y + 2 = x - 1 . . 29 29 23. m = -, L~ y - 2 = -(x + 1) . 2 . . 2 .· 24. y 3 , ,'Y=x+I 2 - , .. ;;;; , y· = X - 1 ,' . ::P.· ,~ . ••• 1 • 1 O /i 2 X Cap. 1 11. GRÁF;rCAS DE ECUACIONES. PARÁBOLAS. CIRCUNFERENCIAS 1. GRÁFICA DE LA PARÁBOLA Ya vimos que la gráfica de la ~cuación de primer g.rado de la forma ~I a_x_+_b_y_+_c_=_o~I es una recta. Ahora conoceremos las gráficas · de las ec~aciones de segundo grado de la forma y = ax2 + bx· + . e = a (x - h)2 + .k Esta completacióri de cuadrados siempre se puede realizar, donde · h y k son ciertas constantes que dependen dé a , b y e , y que pueden tomar cualquier valor real. 1.1 DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES GRÁFICA DE LAS PARÁBOLAS 2 y = X y ::;: (x - 3)2 : Para y = x 2 : : 1-: 1-: 1-: 1 ~ 1 1 ~ 1 : y = (x - 3)2 :1.:1 4 1 2 1~1 4 1:1: Cap. 1 · Relaciones - 55- y _____ 4 -2 _ ·¡ o 2 3 4 5 X 1.2 NOTA.· La forma de la gráfica de la ecuación y = (x - 3) 2 es la misma que la de y = x 2 , a la que se le ha desplazado 3 unidades HACIA LA DERECHA. a) La gráfica del y . = a (x - h) 2 1 tiene la misma forma que la de l.__Y_=_a_x_2~ a la que se le desplazado 1h1 ünidades HORIZONTALMENTE y • HACIA LA DERECHA si h > o - HACIA LA IZQUIERDA si h <: o . Así, la gráfica de y = (x + 3)2 = [ x - (- 3) J2 es, para h = - 3 : -5 -4 -3 -2 -1 o y - ---1y=x2 1: I 1 1 1 I ' I : - _ , 1 /1 1 / 1 1 2 X GRÁFICAS. DE: y = -x2 y y = -(x - 3)~: 2 y= -x X . 2 y=-(x-3) h=3>0, a la DERECHA \, i 11 - 56 - Análisis Matémático 1 Cap. 1 1.3 NOTA.- La gráfica de y = -x2 tiene la misma forma que la de y = x 2 pero volteada, como si el EJEX actuara como un ESJ'EJO y ahí se reflejara la gráfica de y = x 2 . 1.4 DESPLAZAMIENTOS VERTICALES.- GRÁFICAS DE : 2 y = X y ·= x2 y = x 2 + 1: : 1-: 1-I 1 : 1 1 : 1 : 1-: 1-~ 1 o 1 2 1 : 1 Observe que la gráfica de 1 y = x 2 + 1 1 · tiene la misma forma que la de 1 Y = x 2 I . a la cual se le ha subido 1 Unidad VERTICALMENTE. y y = x 2 + 1 = xl -2 -1 o 2 X 1.5 NOTA.. En general, la gráfica de la ecuación y = a(x - h)2 + k tiene la misma forma que la de y = a (x - h)2 a la que se le ha des- plazado 1 k 1 unidades, VERTICALMENTE: • HACIA ARRIBA, si k > o . • HACIA ABAJO, si k < o Combinando las NOTAS ( 1.2 } y ( 1.5 ) podemos bosquejar la grá- fica de y .= (x - 4) 2 - 2 . tomando la gráfica de y = x 2 y desplazándol~ Cap. t Relaciones 1 h 1 = l 4 I = 4 unidades HAC!A LA DERECHA ( h = 4 > o ) , y luego 1 h 1 = 1- 2 I = 2 unidades HACIA ABAJO ( k = - 2 < o ) : :i y=x Analicemos ahora la mayor o menor abertura de estas parábolas. GRÁFICAS DE : 2 y = X 1 2 y= -x 2 y - - - _8 - - - - - 7 2 y= 2x - 51- 2 y = 2x 1 2 y= -x 2 -2 -1 o 2 X t.6 NOTA.- . La gráfica de 1 y = ax2 I es: . a) MÁS ANGOSTA qu~ la de y = x 2 si 1 a 1-> l b) MÁS ANCHA que la de y = x 2 si o < 1a1 < l. Al punto V = (h , k) en 1 Y = a (x - h)2 + k 1 se le llama VÉRTICE DE LA PARÁBOLA , siendo su abscisa:, h = - b/(ia) . GRÁFICAS DE 1 y ;,, a(x - h)2 +k1: - 58 - Análisis Matemático 1 Cap. 1 y y a< O V k k V h X X 1.7 PROBLEMA.. Bosqueje las gráficas de las ecuaciones: a) y = 2x2 + 12x + 7 , b) 2y = 2x - x 2 + 3 .. SOLUCIÓN.- Completando cuadrados: a) Y= 2(x+3) 2 -t => VÉRTICE V=(h,k)=(-3,-1), a=2>0 b) 1 . 2 VERTICE 1 y= -~(x - 1) + 2 => V = (h, k) = (1 , 2) , a = ·'--<o 2 2 y y V= (1, 2) o X -1 o 2 X V=(-3,-1) .1.8 GRÁFICAS QUE INVOLUCRAN EL VALOR ABSOLUTO- Aquí bosquejaremos las gráficas de las ecuaciones de la forma : 1 Y= j.a(x-h) 2 + kj . , Observe que la ordenada y debe satisfacer y ~ o {semiplano superior). Por ejemplo, .. Y = 1 -(x - 2)2 + 3 1 y = 1 (x - 2)2 - 3 1 Relaciones - 59 - {::} y ~ O /\ [ y = (x - 2) 2 - 3 V 2 y = -(x - 2) + 3 ) cuyos puntos, de cada parábola, y 18 encuentran en el semiplano 1uperior y ~ o : 1 I 3 /\4 I \ I \ I \ y - ' I * \ - . ' 1 / -3 ____ ......... y= (x - 2)2 - j 2 . -(x - 2) + 3 La forma de ambas en la misma, solamente que una de ellas está dirigida hacia arriba con vértice (2, - 3) y la otra hacia abajo con vértice (2, 3) . · la gráfica resultante {curva continua), se obtiene también considerando al EJE X como un ESPEJO, y donde la parte de la paráfJola- y = (x - 2)2 - 3 que H encuentra en el semiplano inferior y $ o (•) se ha reflejado hacia el semi- plano superior y ~ o {como si hubiese girado en 180° alrededor del EJE X . ) MÉTODO PRÁCTICO : Para y = 1 a (x - h)2 + h 1 donde se ha acomo- dado de manera que a > o , se grafica y = a (x ..... h) 2 + k , y si alguna parte de esta parábola cae en el_ semiplano inferior y ::::; o , esta parte se ha de reflejar en el ESPEJO { EJE X ) ' girando ' hacia el semiplano superior. 1.9 EJEMPLO.- Para graficar Y,= 1- (x + 3) 2 + 2 I = 1 (x + 3)2 - 2 j se co- mienza graficando la parábola y = (x + 3)2 - 2 la zona y $ o lo reflejamos {respecto al EJE X ) HACIA LA PARTE SUPERIOR y ~ O : ' I ·. / 'J..~- I I I , y luego lo que se encuentre en y 2 O X -2 - 60 - Análisis Matemático 1 Cap. i 2. 1 LA CIRCUNFERENCIA 1 Una CIRCUNFERENCIA es el conjunto de todos los puntos P (x, y) del plano que equidistan de un punto fijo e = (h, k) llamado el CENTRO. Al valor de dicha distancia constante se le llama RADIO de la circunferencia. P(x,y) , e= (h,k) y CONDICIÓN: d (P, C) = r , r > o ·.es decir . ~ (x - h) 2 + (y - k) 2 = r k (x - h)2 + (y - k) 2 = r 2 , . X EJEMPLOS .- 1. La ecuación (x - t) 2 + (y -'- 3)2 = 25 ( = 52 ) corresponde a una circunfe· rencia con centro (h, k) = (1, 3), y radio r = 5 . 2. La ecuación: (x + 2) 2 + (y - 1) 2 = 6 = cfii corresponde a una cir: cunferencia con centro (h, k) = (-2, 1) , y radio r = fi . 3. La ecuación (y + 2)2 + (x - 1) 2 = 36 corresponde a una circunferencia con centro (h, k) = (1, - 2) y radio r = 6 . 2.1 EJERCICIO.- Especifique qué tipo de gráfica corresponde a la ecuación: 2 2 16y - · 8x + 2x + 2y + 25 = O • SOLUCIÓN.- Completando cuadrados para cada variable: 2 . 2 2(x - 2) - 8 + 2(y + 4) - 32 + 25 = O 2 2 . (x - 2) +(y + 4) = 15/2 que corresponde a una circunferencia de centro (h, k) = (2, - 4) y radio r = .¡J5/2 . . 2.2 NOTA .- I) Puesto que: a¡ + b 2 = o ~ a = o /\ b = o , entonces (x
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