Sobre la teoría especial de la relatividad

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Sobre la teoría especial de la relatividad
Juan Manuel Tejeiro Sarmiento
Profesor Titular
Observatorio Astronómico Nacional
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
2004
ii
Índice general
Introducción VII
I Cinemática relativista 1
1. Modelo mecánico del mundo 3
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Leyes de Newton y principio de relatividad . . . . . . . . . . 4
1.3. Luz y éter: El retorno al espacio absoluto . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Un experimento crucial . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Fundamentos de la relatividad especial 19
2.1. Postulados de la relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Propiedades de las TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Consecuencias de las TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. La estructura causal del espacio-tiempo 47
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Rotaciones en el plano euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Cuadri-vectores y el grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . 51
3.4. Conos de luz y relaciones de causalidad . . . . . . . . . . . . 55
3.5. Algebra de cuadri-vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Cinemática relativista 65
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Cuadri-vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Cuadri-vector aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1. Viaje interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4. Cuadri-vector de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
iii
iv ÍNDICE GENERAL
II Dinámica relativista 79
5. Dinámica relativista 81
5.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3. Propiedades del c-momentun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4. Sistema centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.5. Energía umbral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6. Fotones y partículas de masa en reposo cero . . . . . . . . . . 96
6. Aplicaciones de la dinámica relativista 101
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2. Colisiones elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.1. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.2. Efecto Compton inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3. Colisiones inelásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3.1. Absorción de un fotón por un átomo . . . . . . . . . . 108
6.3.2. Emisión de un fotón por un átomo exitado . . . . . . 111
6.4. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5. Creación y aniquilación de partículas . . . . . . . . . . . . . . 115
III Electrodinámica relativista 117
7. Tensores 119
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2. Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.1. Componentes covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2.2. Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.3. Propiedades de simetría de tensores . . . . . . . . . . 130
7.3. Transformación general de coordenadas . . . . . . . . . . . . 136
7.4. Operadores vectoriales . . . . . . . . . . . 138
8. Electrodinámica 143
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3. Campo magnético como un efecto relativista . . . . . . . . . . 146
8.4. Ecuaciones de Maxwell covariantes . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.5. Transformaciones Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9. Bibliografía 169
Prefacio
Segunda edición de las notas de clase sobre relatividad especial.
v
vi PREFACE
Introducción
La teoría de la relatividad (especial y general) es considerada como uno
de los más grandes logros de la mente humana y forma parte, de lo que
podemos llamar la cultura del hombre del siglo XX. A pesar del estigma
de incomprensibilidad que siempre ha rodeado a la teoría de la relatividad,
en el sentido que su comprensión está al alcance solamente de unos pocos
especialistas, esta teoría científica ha sido la de mayor impacto y difusión a
nivel de divulgación y ha tenido influencia definitiva sobre nuestra imagen
del mundo.
El desarrollo de la teoría de la relatividad ha estado marcado por cir-
cunstancias particulares que la diferencian de otros desarrollos de la física
contemporánea, a las cuales me referiré en esta introducción, con el fin de
mostrar, por una parte el estado actual de la teoría y por otra, el papel
fundamental que ha jugado y juega esta teoría en el desarrollo de la física
actual.
La formulación de la Teoría Especial de la Relatividad dada por Einstein
en 1905 es completa, es decir, a parte de ejemplos y aplicaciones de la teoría,
o de su reformulación en términos de modelos matemáticos más sofisticados,
todo los elementos básicos que hoy conocemos de la teoría especial de la rel-
atividad están contenidos en los trabajos originales de Einstein. Además, el
estilo del primer trabajo publicado por Einstein sobre el tema, a diferencia
de otros trabajos en física teórica, se caracterizó por su sencillez en la ex-
posición, con muy poco contenido matemático y la ausencia de referencias a
artículos y trabajos anteriores. Su conclusión fundamental, la necesidad de
reformular el concepto absoluto de simultaneidad y con él, el concepto de
tiempo en física, muestra la genialidad de Einstein, no por la complejidad de
sus razonamientos ni la complejidad en los cálculos, sino por la profundidad
de sus conclusiones, las cuales modificaron de manera radical e irreversible
nuestros conceptos básicos de espacio y tiempo. No es cierto, como sostienen
varios historiadores de la física, que el trabajo de Einstein no fue compren-
dido en su tiempo, pues pocos meses después de su publicación físicos de
vii
viii INTRODUCCIÓN
Cracovia afirmaban que había nacido un nuevo Copernico y ya para 1909,
los principales físicos de esa época tales como Planck, von Laue y otros,
reconocieron la genialidad de Einstein y la importancia de sus trabajos.
Es importante resaltar en este punto que de hecho todas las ecuaciones
básicas de la teoría especial de la relatividad, tales como la contracción
de longitudes, aumento de la masa con la velocidad, la equivalencia masa-
energía, etc., ya eran conocidas en la literatura y por lo tanto, la física si
estaba preparada para entender y asimilar las ideas de Einstein. Para com-
prender esto, basta con recordar que la teoría electromagnética de Maxwell
es una teoría relativista y por lo tanto era de esperar que un estudio minu-
cioso de las ecuaciones de Maxwell (recordemos el excelente trabajo realiza-
do por Lorentz sobre el electrón, el cual fue publicado en 1904) condujera a
todas estas ecuaciones relativistas, aun cuando su interpretación estuviera
fuertemente influenciada por el concepto del éter.
Claramente, el impacto de la teoría especial de la relatividad de Einstein
no se podía esperar que fuera muy grande a nivel experimental y tecnológi-
co, pues de hecho la posibilidad de probar experimentalmente la teoría en
forma directa era muy difícil y más significativo aún, era su escasa o prác-
ticamente nula aplicabilidad. Esto, debido a que los fenómenos relativistas
son relevantes en situaciones que involucren velocidades comparables a la
velocidad de la luz en el vacío (aproximadamente 300,000km/s), lo cual solo
vino a ser posible con el desarrollo de los grandes aceleradores de partículas
a mediados del siglo XX.
En 1916 Einstein publica la Teoría General de la Relatividad, la cual
corresponde a la formulación relativista de la ley de gravitación universal de
Newton. Estos trabajos, a diferencia de sus primeraspublicaciones sobre la
teoría especial de la relatividad, si requirieron de una estructura matemática
muy compleja: la geometría diferencial y el cálculo tensorial. Dos predic-
ciones fundamentales surgen de estos trabajos, el corrimiento del perihelio
de Mercurio, efecto que ya había sido observado, más no explicado por los
astrónomos y la desviación de la luz por el sol, cuya corroboración se da en
1919, aprovechando un eclipse total de sol que tuvo lugar el 29 de Mayo.
Más significativo aún para el desarrollo de la teoría general de la relativi-
dad, puede ser el descubrimiento de Hubble de la expansión del universo en
1929, si bien Einstein no había predicho este efecto, si estaba contenido en
sus ecuaciones de la relatividad general. Este punto de la historia marca el
comienzo de la cosmología actual, la cual es una de las áreas de investigación
más activas que tenemos hoy día.
Retomando de nuevo el desarrollo de la teoría especial de la relatividad,
el papel fundamental que ella juega en la física se comienza a reconocer
ix
y a explotar tan solo con el desarrollo de la mecánica cuántica relativista
formulada por Dirac en 1925. En efecto, hasta 1925 se conocían solamente
dos partículas elementales: el electrón y el protón. Como una consecuencia
fundamental de su recién desarrollada teoría relativista del electrón, Dirac
predice la existencia del positrón, que es una partícula fundamental de la
misma masa del electrón pero de carga opuesta. Este hecho es posterior-
mente generalizado y se establece un resultado general de la naturaleza y
es que a toda partícula fundamental le corresponde una antipartícula. Estos
desarrollos condujeron entonces a la teoría cuántica de campos, que consti-
tuye el marco teórico para entender las interacciones fundamentales de la
naturaleza (electromagnética, fuerte y débil), que rigen el comportamiento
de la materia a escala microscópica.
Hoy día la teoría especial de la relatividad es reconocida como una teoría
fundamental de la física, cuyo alcance va más allá de sus posibles aplica-
ciones experimentales o tecnológicas, pues ella se enmarca en el contexto de
las propiedades fundamentales del espacio-tiempo, independientemente de
cualquier modelo físico utilizado para describir los fenómenos. En general,
las leyes físicas que rigen el comportamiento de los sistemas se formulan en
términos de relaciones (ecuaciones diferenciales) entre las variables físicas
necesarias para describir un sistema. Estas variables físicas se describen por
funciones del espacio y el tiempo (posición, momentun, energía, etc.), cuyo
comportamiento está regido por los principios de la teoría especial de la
relatividad.
El objetivo fundamental de este libro es presentar los principios bási-
cos y los resultados fundamentales de la teoría especial de la relatividad,
con énfasis en una formulación covariante, es decir una formulación que nos
permite desde un principio, exhibir en forma explícita el carácter relativista
de una teoría. Para este fin se han organizado los temas en tres grupos: El
primer grupo lo conforman los tres primeros capítulos, la presente introduc-
ción, un capítulo sobre los fundamentos de la mecánica Newtoniana, con
una breve discusión sobre el problema del éter, esto con el fin de motivar los
postulados básicos de la teoría especial de la relatividad y sus principales
consecuencias, desarolladas en el tercer capítulo. El segundo grupo lo consti-
tuye el cuerpo central del libro, comenzando con una formulación exhaustiva
del concepto de cuadri-vector y la estructura causal del espacio-tiempo para
formular los principios y leyes de la dinámica relativista, dedicando un capí-
tulo a sus principales aplicaciones. El último tema está destinado a formular
la teoría electromagnética (ecuaciones de Maxwell) en forma explícita rel-
ativista, para lo cual se dedica un capítulo a la formulación y álgebra de
tensores sobre el espacio de Minkowski en forma sencilla, es decir sin re-
x INTRODUCCIÓN
currir a todo el formalismo matemático de las variedades y la geometría
diferencial, pero manteniendo la validéz general, tanto en la notación como
en los resultados fundamentales.
Parte I
Cinemática relativista
1
Capítulo 1
Modelo mecánico del mundo
1.1. Introducción
En este capítulo presentaremos en forma resumida la situación de la
física a comienzos del siglo XX, destacando los hechos más relevantes, que
nos permitan motivar y entender mejor los conceptos y postulados funda-
mentales, sobre los cuales está basada la teoría especial de la relatividad,
formulada en 1905 por el físico alemán Albert Einstein.
En la primera sección revisaremos las leyes y conceptos fundamentales
de la mecánica Newtoniana, dedicando el resto del capítulo a presentar una
breve descripción de algunas de las teorías del éter, con el fín de entender el
problema central que se debatía en la física en la segunda mitad del sigloXIX,
en cuanto a la aparente inconsistencia entre la mecánica Newtoniana y la
recién desarrollada teoría electromagnética.
La teoría de la mecánica formulada por Newton en el siglo XVI y en-
riquecida por la contribución de muchos físicos y matemáticos a lo largo de
los dos siglos siguientes, se constituyó en la teoría fundamental que permitía
entender, explicar y predecir todos los fenómenos físicos conocidos. Fue en
la primera mitad del siglo XIX que aparecieron fenómenos relacionados con
el electromagnetismo y con la luz que comenzaron a complicar la imágen
(explicación) mecánica del mundo. Esta situación se tornó más crítica en la
segunda mitad del siglo con el desarrollo de la teoría de la electrodinámica
de Maxwell, pues su aparente incompatibilidad con la mecánica newtoni-
ana, reflejada no sólo en consideraciones teóricas sino también en resultados
experimentales, hacían pensar que alguna de las dos teorías, la mecánica o la
electrodinámica, debería ser abandonada o revisada, lo cual no era un prob-
lema fácil, pues ambas teorías presentaban una enorme cantidad de pruebas
3
4 CAPÍTULO 1. MODELO MECÁNICO DEL MUNDO
experimentales y desarrollos tecnológicos que sustentaban su validez.
1.2. Leyes de Newton y principio de relatividad
Para comprender mejor los problemas que se le planteaban a la física
en el siglo XIX y preparar el terreno para entender los cambios de inter-
pretación necesarios que se dieron con el desarrollo de la teoría especial de
la relatividad, en esta sección revisaremos brevemente algunos conceptos
fundamentales de la mecánica newtoniana, cuyo punto de partida son las
tres leyes de Newton:
Ley de la inercia- Toda partícula permanece en estado de reposo o
movimiento rectilíneo uniforme respecto a cualquier sistema de referencia
inercial, mientras no actúen fuerzas externas sobre él, o equivalentemente el
momentum de una partícula libre de fuerzas permanece constante, en donde
la cantidad dinámica de momentum se define como
p̄ = mv̄ (1.1)
siendo m la masa inercial de la partícula y v̄ su velocidad.
Ecuación de movimiento- La fuerza aplicada sobre la partícula es
igual a la rata de cambio de su momentum
F̄ =
dp̄
dt
= m
dv̄
dt
(1.2)
en donde la última igualdad se deduce del hecho que la masa inercial de una
partícula puntual es constante e independiente de su estado de movimiento.
Interacción entre partículas- La fuerza que una partícula A ejerce
sobre otra partícula B es igual en magnitud y en sentido opuesto a la fuerza
que la partícula B ejerce sobre A.
Para la formulación de estas leyes hay toda una serie de supuestos básicos
necesarios, tales como la estructura geométrica del espacio, el concepto de
tiempo, observador y sistema de referencia, magnitudes físicas y el concepto
de medida. Sin embargo, no es objeto del presente libro entrar a discutir
exhaustivamente estos conceptos, sino nos centraremos únicamente en aque-
llos aspectos que son relevantes para plantear y motivar la formulación de
la teoría especial de la relatividad.
Definamos, en primer lugar, el concepto de observador como un sistema
físico (reglaso patrón de medida espacial y relojes o patrón de medida tem-
poral), que permite determinar la posición y el instante de tiempo respecto
a un origen arbitrario, de un fenómeno físico (que en lo sucesivo llamaremos
1.2. LEYES DE NEWTON Y PRINCIPIO DE RELATIVIDAD 5
evento). A este conjunto de reglas y relojes lo denominaremos sistema de
referencia, cuya representación matemática se puede realizar por el espacio
R × R3, con R los números reales que representa el tiempo y R3 el espacio
euclidiano tridimensional que representa el espacio físico. Dotar al espacio
y al tiempo con esta estructura matemática supone (como lo asumió ex-
plícitamente Newton) que el espacio es absoluto, homogéneo e isotrópico y
obedece la geometría euclideana y el tiempo es absoluto y homogéneo y por
lo tanto son conceptos independientes del observador.
En segundo lugar, Newton asumió que sus leyes se cumplen en el espacio
absoluto, es decir que sus leyes son válidas para un observador, cuyo sistema
de coordenadas esté fijo respecto al espacio absoluto. A este observador par-
ticular se le llama ”sistema de referencia inercial” y lo denotaremos por Σ.
Elegir un sistema de referencia inercial es, en principio, escoger una coor-
denada temporal t y un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) para
determinar el instante y la posición de un evento. Que el origen de la coor-
denada temporal es arbitrario, refleja el hecho que el tiempo es homogéneo,
mientras que el origen y la orientación arbitrarias de las coordenadas es-
paciales ponen de manifiesto la homogeneidad e isotropía del espacio. Si la
primera ley de Newton es válida en Σ, entonces una partícula P , sobre la
cual no actúan fuerzas, debe viajar en una línea recta respecto al sistema
Σ. Así por ejemplo, si elegimos el origen del tiempo y los ejes espaciales de
tal manera, que la partícula pase por el origen espacial en el instante t = 0
y se mueva en la dirección del eje x positivo, entonces su posición, en un
instante de tiempo cualquiera t,está dada por
x = uxt ; y = 0 ; z = 0 (1.3)
con
ū = (ux, uy, uz) = (ux, 0, 0) (1.4)
la velocidad de la partícula.
Consideremos otro sistema de referencia Σ0, con respecto al cual la
partícula P permanece en reposo en su origen de coordenadas espaciales,
y elijamos los ejes espaciales de Σ0 paralelos a los del sistema de referen-
cia inercial Σ y el origen del tiempo de tal manera los relojes comiencen
a contar el tiempo, t = t0 = 0, cuando los orígenes de los dos sistemas se
cruzan. Entonces, podemos determinar las coordenadas espaciales y el tiem-
po de cualquier evento físico, bien sea con respecto al sistema inercial Σ o
con respecto al sistema de referencia Σ0. Si llamamos (t, x, y, z) las coorde-
nadas de un evento físico cualquiera, medidas respecto a Σ y (t0, x0, y0, z0) las
correspondientes coordenadas, medidas respecto a Σ0, podemos encontrar la
6 CAPÍTULO 1. MODELO MECÁNICO DEL MUNDO
Figura 1.1: Transformaciones de Galileo
relación entre las coordenadas del evento, medidas por los dos sistemas de
referencia Σ0 y Σ. Estas relaciones son llamadas ecuaciones de transforma-
ción de Galileo.
Es fácil encontrar las ecuaciones de transformación de Galileo (Figura
1.1), pues teniendo encuenta que las ecuaciones (1.3) nos dan la posición,
respecto al sistema inercial Σ, del origen de coordenadas del sistema Σ0,
entonces, las coordenadas (t0, x0, y0, z0) de cualquier evento medidas por Σ0,
están relacionadas con las coordenadas (t, x, y, z) del mismo evento medidas
por Σ, por las ecuaciones:
t0 = t x0 = x− vt y0 = y z0 = z (1.5)
en donde se ha hecho el cambio ux = v, para rescatar la notación usual
utilizada en la literatura.
Así, en lo sucesivo v denotará la velocidad del sistema de referencia Σ0
respecto a Σ. La elección de los dos sistemas coordenados de Σ y Σ0 con
los ejes coordenados paralelos y la misma orientación, así como la velocidad
relativa de los dos sistemas a lo largo de los ejes x, x0 no representa pérdi-
da alguna de generalidad y su justificación se encuentra en la hipótesis de
isotropía del espacio, la cual implica que la física no depende de la orientación
de los ejes coordenados, o equivalentemente, que el espacio es isotrópico.
1.2. LEYES DE NEWTON Y PRINCIPIO DE RELATIVIDAD 7
Además, en las ecuaciones de tranformación de Galileo está implícita, tam-
bién, la hipótesis de homogeneidad del espacio y el tiempo, pues la elección
del origen del tiempo para los dos sistemas, en el instante en que los orí-
genes espaciales coinciden, es arbitraria, indicando que cualquier instante
de tiempo y todos los puntos del espacio son equivalentes para describir los
fenómenos físicos. La primera ecuación de transformación, t0 = t, representa
el carácter absoluto del tiempo, y significa que (salvo la elección arbitraria
del origen) el instante en el cual ocurre un evento físico es independiente del
observador y además, esta ecuación lleva también la hipótesis implícita, que
existe algún mecanismo físico apropiado que permite transmitir información
instantáneamente. Otra forma de expresar este carácter absoluto del tiempo,
es a través del concepto de simultaneidad: Si dos eventos, que ocurren en
puntos diferentes del espacio para un observador, son simultáneos, entonces
estos dos eventos son también simultáneos para cualquier otro observador,
sin importar su estado de movimiento relativo respecto al primer observador.
Como veremos más adelante, la simultaneidad es uno de los conceptos fun-
damentales que debe ser cuestionado y se torna en un punto muy importante
para la formulación de la teoría de la relatividad.
Una primera consecuencia de las transformaciones de Galileo, es que las
leyes de la mecánica son válidas en todos los sistemas de referencia que se
muevan con respecto al sistema de referencia inercial, el cual se encuentra en
reposo con respecto al espacio absoluto. La demostración de este resultado
es directa, pues, si una partícula libre posee una velocidad
ū = (ux, uy, uz) = (
dx
dt
,
dy
dt
,
dz
dt
) (1.6)
respecto al sistema de referencia inercial Σ, entonces, se obtiene de las ecua-
ciones de transformación de Galileo (1.5), que las componentes de la ve-
locidad de la partícula, medidas en el sistema de referencia Σ0 están dadas
por:
ux0 =
dx0
dt0
= ux − v uy0 = uy uz0 = uz (1.7)
Este resultado se conoce con el nombre de teorema de adición de veloci-
dades de Galileo. Así, puesto que la velocidad relativa v entre los sistemas de
referencia Σ y Σ0es constante, entoces, la partícula libre también se mueve
con velocidad constante ū0 = (u0x0 , uy0 , uz0) respecto al sistema Σ
0. De man-
era similar, se deduce que la segunda ley de Newton también se satisface,
pues, utilizando el resultado anterior (ecuación (1.7)), tenemos que
F̄ 0 =
dp̄0
dt0
= m
dū0
dt
= m
du
dt
=
dp̄
dt
= F̄ (1.8)
8 CAPÍTULO 1. MODELO MECÁNICO DEL MUNDO
con el resultado adicional, que no sólo la forma de la segunda ley de Newton
F̄ = dp̄dt es la misma, como queríamos probar, sino que tanto la fuerza que
actúa sobre la partícula, como su aceleración, toman el mismo valor en los
dos sistemas de referencia. Que la tercera ley de Newton también se cumple
para el sistema de referencia Σ, se obtiene de este resultado y del carácter
absoluto de la simultaneidad, pues, la igualdad de las fuerzas de acción y
reacción es instantánea, independiente de la posición relativa de los puntos
de aplicación de las fuerzas.
Esta invarianza de las leyes de la mecánica bajo transformaciones de
Galileo, constituye el Principio de Relatividad Galileano. En la formulación
inicial de las leyes de Newton, se postuló que ellas eran válidas para un
observador en reposo con respecto al espacio absoluto, que lo llamamos ob-
servador inercial o sistema de referencia inercial, y mostramos, que si este
postulado se cumplía, entonces las leyes de Newton también eran válidas
en cualquier sistema de referencia que se moviera con velocidad constante
respecto al observador inercial. Esto justifica extender el nombre de sistema
de referenciainercial, para todos los observadores con movimiento relativo
constante, respecto al observador inercial inicialmente en reposo relativo al
espacio absoluto. Así, podemos dar otras formas equivalentes de enunciar el
principio de relatividad galileano: Las leyes de la mecánica son las mismas
en todos los sistemas de referencia inerciales, o también, no es posible, a
través de experimentos mecánicos, determinar la velocidad del sistema de
referencia inercial con respecto al espacio absoluto.
Esta última forma equivalente de enunciar el principio de relatividad
Galileano, le quita todo el sentido físico al espacio absoluto, pues elimina
su estatus privilegiado de ser el único sistema de referencia con respecto
al cual se cumplen las leyes de la mecánica y por lo tanto, el espacio ab-
soluto queda como un concepto empíricamente vacío, por lo menos en lo
que a fenómenos mecánicos se refiere. Esta situación, reconocida desde un
principio por Newton, lo condujo a buscar experimentos alternativos que le
permitieran determinar el movimiento con respecto al espacio absoluto. El
ejemplo más conocido en la literatura lo constituye su experimento del balde
rotante, en el cual, la curvatura que toma la superficie del agua del balde,
cuando éste se encuentra en rotación, se la atribuye a su movimiento de
rotación respecto al espacio absoluto, pues este fenómeno, sostenía Newton,
tenía lugar aún en el caso que el balde se encontrara solo en el universo.
Críticas a este análisis son igualmente abundantes en la literatura, siendo
la de Mach la más conocida, pues parte del análisis que llevó a Einstein a
formular los principios de la Teoría General de la Relatividad está basado
sobre los trabajos de Mach.
1.3. LUZ Y ÉTER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 9
No es objeto de la presente sección profundizar más sobre este tema,
pues volveremos sobre el problema del espacio absoluto, cuando discutamos
las teorias del eter y los fenómenos electromagnéticos. Sin embargo, es im-
portante dejar claro un aspecto referente a este tema: Dada la imposibilidad
de determinar el movimiento absoluto (a velocidad constante) a través de
fenómenos mecánicos, Newton recurrió, entonces, a sistemas de referencia
acelerados, para los cuales las leyes de la mecánica ya no permanecen invari-
antes y claramente, los efectos de la aceleración si son detectables (las, no
bien llamadas fuerzas ficticias, tales como la fuerza centrífuga o la fuerza de
coriolis, que surgen en sistemas de referencia acelerados), pero aún, en este
caso de sistemas de referencia no inerciales, cualquier referencia al espacio
absoluto sigue siendo superflua.
1.3. Luz y éter: El retorno al espacio absoluto
Hasta comienzos del siglo XIX todos los fenómenos físicos, incluidos los
de la óptica, admitían una explicación mecánica. Esto nos permite compren-
der, en gran parte, por qué esta imágen mecánica del mundo se extendió
hasta finales del siglo XIX, tratando de explicar fenómenos tales como la
propagación de las ondas de luz, y todos aquellos fenómenos relacionados
con la teoría electromagnética de Maxwell. Un ejemplo, que ilustra muy bi-
en esta concepción, lo podemos encontrar en la siguiente cita debida a Lord
Kelvin: ”No estaré contento hasta que pueda construir un modelo mecáni-
co del objeto que estoy estudiando. Si lo puedo lograr significa que lo he
entendido, de lo contrario no.”.
En este parágrafo describiremos brevemente dos desarrollos de la física
del siglo XIX, el carácter ondulatorio de la luz descubierto por Young y
Fresnel y la electrodinámica de Maxwell, que constituyen, en mi opinión, el
punto de partida más directo para formular los principios y conceptos de la
teoría especial de la relatividad.
El sonido es la propagación de ondas longitudinales en un medio material,
en donde la velocidad de propagación está dada por la ecuación debida a
Newton:
v =
s
Y
ρ
(1.9)
en donde Y es el módulo de elasticidad del medio y ρ la densidad del medio.
Además, la velocidad del sonido es independiente de la fuente, pero de-
pende de la velocidad del medio en el cual se transmite. De manera similar,
10 CAPÍTULO 1. MODELO MECÁNICO DEL MUNDO
se trabajaron modelos para explicar los fenómenos de la luz, como los desar-
rollados por Hook y Huygens, en donde la luz se consideraba como alguna
forma de onda longitudinal, que se propagaba a través del espacio. Newton
trabajó este modelo por algún tiempo, pero dada la imposibilidad de ex-
plicar la polarización de la luz, desarrolló el modelo corpuscular, capaz de
explicar este efecto y de dar cuenta de otras propiedades conocidas de la luz,
desplazando al modelo ondulatorio de Huygens.
La teoría corpuscular de la luz permaneció vigente hasta comienzos del
siglo XIX, cuando Young y Fresnel explicaron los nuevos fenómenos de in-
terferencia y difracción, con base en la teoría ondulatoria, relegando a la
teoría corpuscular Newtoniana, a un capítulo más de la historia de la físi-
ca. Sin embargo, de la misma manera que el sonido necesita de un medio
para propagarse, se vió la física avocada a postular un medio material para
la propagación de las ondas de luz. Este medio material, que optaron por
llamar éter, debería ser de naturaleza diferente a la materia conocida has-
ta entonces. Es importante anotar, que el éter en la física no era una idea
completamente original, pues ya había sido usado antes para ”explicar” mu-
chos otros fenómenos. Por ejemplo, Newton, sugiere que el éter puede estar
asociado con la gravitación, con los fenómenos eléctricos y magnéticos, con
la propagación del calor etc.. A este respecto, Young aclara, que el éter a
través del cual se propaga la luz no necesariamente es el mismo que el éter
eléctrico, y por esta razón Young propone llamarlo éter lumínico.
Una vez aceptado que la luz es un fenómeno ondulatorio, comenzaron a
desarrollarse teorías y modelos mecánicos del éter, para explicar el mecan-
ismo de propagación de las ondas de luz en este medio. Young y Fresnel
fueron los primeros en encontrar que las ondas de luz deben ser transver-
sales, para poder explicar el fenómeno de polarización. Este hecho exigía,
entonces, un esfuerzo teórico muy grande para comprender el mecanismo
de transmisión de ondas transversales en un medio elástico, dado que és-
to requería que el medio de transmisión, el éter, tuviera un coeficiente de
rigidez muy grande, pues, como lo demostró Poisson, ondas longitudinales
y transversales se podían propagar en un sólido, con
v⊥ = (η/ρ)
1/2 (1.10)
la velocidad de las ondas transversales y
v
k
= ([k + 4η/3]/ρ)1/2 (1.11)
la velocidad de las ondas longitudinales, siendo η el módulo de rigidez, k el
módulo de elasticidad volumétrico y ρ la densidad del sólido. Una dificultad,
1.3. LUZ Y ÉTER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 11
de este modelo mecánico del éter, era la ausencia de componente longitudi-
nal de las ondas de luz, lo que llevó a Cauchy a sugerir, que el eter debía
tener una compresibilidad negativa, de tal manera que el factor k + 4η/3,
en la ecuación (1.11), se anulara. Estas teorías estaban basadas sobre las
propiedades conocidas de los medios elásticos, pero la combinación tan inusu-
al de las propiedades que debería tener el éter, condujeron a MacCullagh a
postular, que este medio era un nuevo tipo de sustancia elástica, diferente
a las conocidas y asociándole otras propiedades desarrolló una teoría más
sofisticada, con un sistema de ecuaciones, muy parecido a las ecuaciones de
Maxwell, que fue intensamente trabajado en la segunda mitad del siglo XIX.
A diferencia de las propiedades mecánicas del éter, anteriormente dis-
cutidas, para las cuales era difícil proponer experimentos directos que las
verificaran, el teorema de adición de velocidades de Galileo, que se cumple
también para las ondas en un medio mecánico, permitió proponer y realizar
toda una serie de experimentos para medir la velocidad de la luz, desde
un sistema de referencia móvil respecto al éter. La situación se plantea de
la siguiente forma: De la teoría de propagación de lasondas en un medio
elástico, sabemos que:
ū0 = ū− v̄ (1.12)
en donde ū es la velocidad de propagación de las ondas, medida en sistema
de referencia inercial Σ, el cual está en reposo con respecto al medio de
propagación (el éter para el caso de ondas de luz), ū0 es la velocidad de las
ondas, medida por un observador en un sistema de referencia inercial Σ0,
que se mueve con velocidad v̄ respecto a Σ.
En 1728 Bradley descubrió el fenómeno de aberración de la luz, que con-
siste en el cambio aparente de posición de las estrellas en diferentes épocas
del año (Figura 1.2). Este efecto se explica fácilmente, si se supone que el
éter está en reposo respecto al sol, pues, dado que la tierra se mueve con
una velocidad aproximada de 30km/s en su órbita alrededor del sol y, por
lo tanto, si tomamos una estrella colocada perpendicularmente al plano de
translación de la tierra, el telescopio debe inclinarse un ángulo adicional da-
do por vc sin θ, en donde v es la velocidad orbital de la tierra, c la velocidad
de la luz respecto al éter y θ mide la posición angular instántanea de la
estrella respecto a la tierra. Esta interpretación fue capaz de dar el valor
correcto de la aberración observada, a primer orden en v/c.
Es de anotar, que los experimentos de aberración de la luz estelar no
eran capaces de dar el valor de la velocidad absoluta de la tierra respecto al
éter, sino solamente cambios de la velocidad relativa de la tierra respecto al
éter. Arago en 1810 propuso una modificación al experimento de aberración,
12 CAPÍTULO 1. MODELO MECÁNICO DEL MUNDO
Figura 1.2: Aberración de la luz estelar
que sí permitiría medir la velocidad absoluta de la tierra respecto al éter,
pues de acuerdo con la teoría clásica, si la luz atravesaba un medio refractivo
(como el agua o un vidrio), el cual estuviera moviéndose respecto al éter,
entonces la velocidad de la luz respecto a este medio variaba, dependiendo de
la dirección relativa de movimiento del medio y el éter, es decir, el índice de
refración del medio dependería de la dirección relativa de movimiento. Arago
colocó un prisma en el telescopio y observó diferentes estrellas, esperando
encontrar variaciones del ángulo de aberración. El resultado negativo de su
experimento, condujo a Fresnel a proponer la teoría del arrastre parcial del
éter por los medios materiales en movimiento y mostró que este arrastre
parcial del éter hacía inobservable el efecto del viento de éter en medios
materiales, en órdenes de magnitud de v/c.
Basados sobre este mismo principio, se realizaron toda una serie de exper-
imentos como los de Hoek, de Mascart y Jamin, Airy, Fizeau, etc, obtenién-
dose también resultados negativos. Sin embargo, no se podía estar seguro
que las condiciones experimentales fueran lo suficientemente adecuadas para
medir los pequeños efectos que se estaban buscando. Además se agregaba
la dificultad que al utilizar luz blanca, el índice de refración de la luz en un
medio dependía de la frecuencia y por tanto cada color (frecuencia) sufría un
arrastre diferente. Los problemas de la teoría del éter no se centraban úni-
1.3. LUZ Y ÉTER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 13
camente en la determinación de la velocidad absoluta de la tierra respecto
al éter, sino también tenían que dar cuenta de los demás efectos conocidos,
tales como las leyes de reflexión, refracción, polarización, cristales ópticos,
etc, lo cual conducía a complicar cada vez más el modelo mecánico del éter.
Un elemento adicional que se sumaba a esta historia del éter, lo cons-
tituye el desarrollo de las teorías de la electricidad y el magnetismo, que
culminan hacia mediados del siglo XIX con las ecuaciones de Maxwell y con
el descubrimiento, tal vez el más importante de ese siglo, que la luz son ondas
electromagnéticas. A partir de este momento el éter se asoció como el medio
de propagación de los campos eléctricos y magnéticos. Pero un punto más
importante para nuestra discusión de los orígenes de la teoría especial de
la relatividad, lo constituye el hecho de que las leyes del electromagnetismo
de Maxwell no satisfacen el principio de relatividad de Galileo. Lo que resta
de esta sección lo dedicaremos a explicar el significado de este hecho y sus
implicaciones.
Que las leyes del electromagnetismo de Maxwell no satisfacen el prin-
cipio de relatividad de Galileo significa que las ecuaciones de Maxwell no
permanecen invariantes, cuando se realiza una transformación de Galileo
entre dos sistemas de referencia inerciales, o en otros términos equivalentes,
si suponemos que las ecuaciones de Maxwell son válidas en un sistema de ref-
erencia inercial Σ, entonces ellas cambiarán para cualquier otro observador
inercial Σ0, que se mueva con respecto a Σ. Este cambio se refleja en que a
las ecuaciones de Maxwell le aparecen nuevos términos, que van a depender
de la velocidad relativa de los sistemas. Estos nuevos términos dependientes
de la velocidad en las leyes de la electrodinámica deben producir efectos ob-
servables y por tanto, deben permitir determinar la velocidad del sistema de
referencia Σ0 del observador, respecto al único sistema de referencia inercial
para el cual las ecuaciones de Maxwell toman su forma más simple.
Esta situación de las leyes del electromagnetismo rescataba entonces el
concepto de espacio absoluto, identificado a su vez con el sistema de reposo
del éter, pero ahora y a diferencia del caso de la mecánica de Newton, dándole
un significado físico: Las leyes de la electrodinámica son válidas solamente
en el sistema de referencia en reposo con respecto al espacio absoluto.
Para ilustrar esta situación, consideremos dos cargas +q y −q, unidas
por una varilla rígida aislante (Figura 1.3). Si este sistema está en reposo
respecto al espacio absoluto Σ, la única fuerza entre las cargas es la eléctrica,
dada por la ley de Coulomb. Pero si estas cargas se encuentran en reposo en
otro sistema de referencia inercial Σ0que se mueva respecto Σ a una veloci-
dad v, entonces aparecerá un campo magnético y así, una fuerza, adicional
a la fuerza eléctrica, debida al movimiento de las cargas, que producirá, por
14 CAPÍTULO 1. MODELO MECÁNICO DEL MUNDO
Figura 1.3: Experimento de Truton-Noble
lo tanto, un par de fuerzas que tenderá a hacer girar el sistema. Este ex-
perimento, con resultado negativo, fue llevado a cabo por Trouton y Noble,
esperando encontrar una fuerza magnética que dependía de la relación v
2
c2 ,
siendo v la velocidad de la tierra. Es de anotar, que el diseño experimen-
tal utilizado para realizar este experimento, permitía medir cantidades del
orden de magnitud de v2/c2 ∼ 10−8.
1.3.1. Un experimento crucial
El experimento más notable, y de referencia obligada en todo tratado de
relatividad, lo constituye el realizado por Michelson y Morley en 1887. Es
interesante notar, que Einstein no hace referencia alguna a este experimento
en sus primeros artículos, en donde desarrolla la teoría especial de la rela-
tividad, y de hecho, varios historiadores de la ciencia afirman que ni siquiera
lo conocía. La importancia histórica de este experimento y su obligatoria
referencia, la podemos entender por dos aspectos: primero, el diseño del
experimento permitía medir, con una precisión suficiente (corrimientos del
patrón de interferencia menores a 1/100 de franja), evitando así, el problema
que se presentaba en todos los otros experimentos realizados hasta entonces,
en cuanto a que, el orden de magnitud de los efectos esperados, eran siempre
menores o del mismo orden que el error experimental, dejando siempre un
1.3. LUZ Y ÉTER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 15
velo de duda sobre los resultados obtenidos. Segundo, el resultado negativo
del experimento de Michelson y Morley generó toda una serie de trabajos
teóricos, que impulsaron el desarrollo de la física y abrieron el camino para
la formulación de la teoría de la relatividad. Tal vez, el más importante de
estos trabajos fue el realizado por Lorentz, que culminó con su libro sobre la
teoría del electrón publicadoen 1905. Es interesante, más no sorprendente,
anotar como, en este libro, se encuentran todas las ecuaciones que describen
los fenómenos más significativos que predice la relatividad, como por ejemp-
lo, las transformaciones entre sistemas de referencia inerciales (llamadas hoy
transformaciones de Lorentz), las ecuaciones de contracción de longitudes y
dilatación del tiempo, la equivalencia masa-energía, la variación de la masa
inercial con la velocidad, etc, solamente que su interpretación, en términos
de las propiedades del éter, era incorrecta, en cuanto a que, estos efectos
esperados, siempre se compensaban con otros debidos al éter, de tal man-
era que ninguno de ellos resultaba ser observable. Este trabajo teórico de
Lorentz resolvía, así, la aparente inconsistencia entre los dos grandes pilares
de la física conocidos hasta entoces, la mecánica de Newton y la electrod-
inámica de Maxwell, pero dejaba el problema fundamental sin resolver: el
espacio absoluto y la indetectabilidad del éter.
Anotábamos en el parágrafo anterior, que no es una sorpresa que el tra-
bajo de Lorentz contenga todas las ecuaciones relativistas, pues está basa-
do sobre la electrodinámica de Maxwell, que como veremos en un capítulo
posterior, es una teoría relativista. Igualmente, esta anotación nos permite
también entender, por qué no era necesario que Einstein conociera el exper-
imento de Michelson y Morley para desarrollar la teoría de la relatividad.
En efecto, basta con recordar el título del primer artículo publicado por
Einstein sobre el tema:“Zur Elektrodinamik der bewegten Körper” (Sobre
la electrodinámica de los cuerpos en movimiento).
El experimento de Michelson-Morley fue realizado en 1887, utilizando
como principio físico el fenómeno de interferencia de la luz. El diseño ex-
perimental es bosquejado en la (Figura 1.4). De la fuente S sale un haz de
luz que incide sobre un espejo semitransparente A, el cual divide al haz en
dos rayos mutuamente perpendiculares, los cuales se reflejan en los espejos
planos B y C, retornando al espejo A, en donde, el rayo proveniente del
espejo C es desviado hacia el objetivo O, mientras que el rayo reflejado en
B atraviesa el espejo A y llega al objetivo O, donde se observan franjas de
interferencia, las cuales dependen de la diferencia de caminos ópticos entre
los dos rayos de luz.
Supongamos, sin pérdida de generalidad y para simplicar el análisis, que
16 CAPÍTULO 1. MODELO MECÁNICO DEL MUNDO
Figura 1.4: Experimento de Michelson y Morley
los caminos AB y AC de los dos haces de luz son iguales. Sea v̄ la velocidad
de la tierra respecto al éter y paralela al brazo AC del interferómetro. Así,
la velocidad del viento del éter respecto al interferómetro, fijo a la tierra,
está en la dirección de CA (ver Figura 1.4), suponiendo que no hay arrastre
parcial del éter. De acuerdo con las teorías del éter, la velocidad de la luz
relativa al laboratorio es c−v, cuando va de A hacia C y c+v cuando regresa
de C hacia A, mientras que la velocidad del otro rayo de luz es (c2 − v2) 12
en la dirección de A hacia B y de B hacia A.
Entonces, si la longitud de cada uno de los brazos del interferómetro es
L, la diferencia de tiempos de llegada de los dos rayos está dada por:
∆t = tACA − tABA =
2Lc
c2 − v2 −
2L√
c2 − v2
=
2L
c
(
1
1− v2/c2 −
1
p
1− v2/c2
) (1.13)
Utilizando la expansión en serie
(1 + x)r = 1 + rx+
1
2!
r(r − 1)x2 + · · · (1.14)
la cual es convergente para |x| < 1, se desarrolla cada fracción hasta términos
1.3. LUZ Y ÉTER: EL RETORNO AL ESPACIO ABSOLUTO 17
del orden de v2/c2, obteniendo:
∆t ' L
v2
c2
(1.15)
Si rotamos el interferómetro 90◦, el tiempo para recorrer el camino ABA
será ahora mayor que el tiempo para el camino ACA, y la diferencia de
tiempos ∆t estará dada por ∆t ' −Lv2c2 . Por lo tanto, el cambio total en la
diferencia de tiempos al rotar el interferómetro es igual a 2Lv
2
c2
. Si λ es la
longitud de onda de la luz utilizada, entonces la rotación del interferómetro
da lugar a un corrimiento de n franjas, dado por:
n =
2L
λ
v2
c2
(1.16)
Michelson y Morley utilizaron en su experimento luz de longitud de onda
de 5,9× 10−7m y un camino de L = 11m, logrado por múltiples reflexiones.
Tomando para la velocidad de la tierra alrededor del sol 30km/s, se esperaba
un corrimiento de aproximadamente 0,37 franjas, el cual, como ya se ha dicho
no fue observado.
18 CAPÍTULO 1. MODELO MECÁNICO DEL MUNDO
Capítulo 2
Fundamentos de la
relatividad especial
En este capítulo formularemos los postulados fundamentales sobre los
cuales está basada la teoría especial de la relatividad y obtendremos las ecua-
ciones de transformación entre sistemas de referencia inerciales (transforma-
ciones de Lorentz). Concluiremos el capítulo estudiando las propiedades de
las transformaciones de Lorentz y sus consecuencias sobre la medida de in-
tervalos temporales y espaciales.
2.1. Postulados de la relatividad especial
Como fue anotado en el capítulo anterior, la teoría desarrollada por
Lorentz solucionaba la aparente inconsistencia de la mecánica Newtoniana y
la electrodinámica de Maxwell, manteniendo inmodificados los principios y
postulados físicos sobre los cuales se basaban estas teorias. La aproximación
de Einstein a este problema es diferente, pues está basada sobre dos postula-
dos de carácter fundamental, en el sentido de que estos postulados deben ser
satisfechos por cualquier teoría física que se proponga, independientemente
de las leyes y principios que se postulen para describir esta teoría.
Postulado 1: Las leyes físicas son independientes del sistema de refe-
rencia inercial, con respecto al cual se midan las variables que describen al
sistema físico considerado.
Postulado 2: La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos
los observadores inerciales, independiente de la dirección de propagación y
de la velocidad de la fuente emisora.
El primer postulado propuesto por Einstein es conocido también como
19
20 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
el Principio de Relatividad, el cual generaliza el principio de relatividad
Galileano a todas las leyes de la física. El costo de aceptar este postulado
es el de abandonar las transformaciones de Galileo, que relacionan las coor-
denadas de los eventos medidas por diferentes observadores inerciales, y de
paso, se hace necesario revisar las leyes de la mecánica Newtoniana. Pues,
como vimos en la parte final del capítulo anterior, las ecuaciones de Maxwell
no eran invariantes bajo transformaciones de Galileo, indicando que las leyes
del electromagnetismo no obedecían el principio de relatividad de Galileo.
Sin embargo, los experimentos realizados para demostrar este hecho daban
todos resultados negativos, y no es aventurado pensar que fue esta situación
la que llevó a Einstein a postular, que las leyes de la electrodinámica sí sat-
isfacían el principio de relatividad, pero entonces ésto exigía abandonar las
ecuaciones de transformación de Galileo, como la forma correcta de expresar
las transformaciones entre sistemas de referencia inerciales. Esto implicaba
también que deberían ser modificadas las leyes de la mecánica de Newton,
las cuales sí permanecen invariantes bajo transformaciones de Galileo.
El segundo postulado de la Teoría de la Relatividad establece que la
velocidad de la luz en el vacío es constante, independiente del sistema de
referencia inercial desde el cual ésta sea medida. Cómo llegó Einstein a este
resultado, es un problema que ha sido objeto permanente de debate en la
historia de la ciencia. Ninguno de los experimentos realizados en el siglo XIX
se puede considerar como evidencia directa de la constancia de la velocidad
de la luz en el vacío. Es claro a la luz de este postulado, el resultado negativo
del experimento de Michelson y Morley y podría pensarse, como lo afirma
Grünbaum, que Einstein incorpora este resultado nulo como un axióma, a
través del principio de la constancia de la velocidad de la luz. Aun cuando
en una entrevista realizada por Shanklanda Einstein en 1950, le afirma que
él no estaba familiarizado con el experimento de Michelson y Morley cuando
escribió su artículo en 1905, Shankland hace notar que en este artículo Ein-
stein hace referencia a ”intentos fallidos para detectar cualquier movimiento
de la tierra respecto al éter lumínico”, lo que indica según Shankland, que
Einstein tenía referencia de los diferentes experimentos ópticos realizados,
pero no de los detalles própios de cada experimento.
Una aproximación alternativa para buscar los orígenes de este segun-
do postulado, la podemos encontrar en la teoría de la electrodinámica de
Maxwell, pues, si aceptamos su validez y el principio de relatividad, podemos
encontrar el principio de la constancia de la velocidad de la luz, así como
también el postulado de la constancia de la carga eléctrica, el cual juega un
papel igualmente importante en física.
Las ecuaciones de Maxwell, en el sistema M.K.S. racionalizado, para un
2.1. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 21
observador inercial Σ toman la forma
∇̄ · Ē = ρ/ε0 (2.1)
∇̄ · B̄ = 0 (2.2)
∇̄× B̄ = µ0J̄ + µ0ε0
∂Ē
∂t
(2.3)
∇̄× Ē = −∂B̄
∂t
(2.4)
con µ0 = 4π × 10
−7Nw/(amp)2 la permeabilidad magnética del vacío y
ε0 = 8, 854× 10
−12coulomb2/Nw ·m2 la constante dieléctrica del vacío. La
primera ecuación corresponde a la ley de Gauss, y establece que las cargas
son fuente del campo eléctrico, siendo ρ la densidad de carga. La segunda
ecuación afirma que no existen cargas magnéticas aisladas. El primer término
de la tercera ecuación corresponde a la ley de Ampère y significa que las
corrientes eléctricas son fuente del campo magnético, con J̄ la densidad
de corriente, mientras que el último término, conocido como corriente de
desplazamiento de Maxwell, establece que variaciones temporales del campo
eléctrico son también fuente del campo magnético. La última ecuación es la
ley de inducción de Faraday, en la cual variaciones temporales del campo
magnético producen campos eléctricos. Las ecuaciones de campo de Maxwell
se completan con una ecuación de movimiento, la cual establece que la fuerza
sobre una partícula de carga q en presencia de un campo electromagnético
está dada por :
F̄ = qĒ + qū× B̄ (2.5)
conocida como la fuerza de Lorentz.
Si tomamos la divergencia de la tercera ecuación de Maxwell, haciendo
uso de la ley de Gauss (primera ecuación) y del hecho que la divergencia
del rotacional siempre es cero, obtenemos la ecuación de continuidad para
la carga eléctrica
∂ρ
∂t
+ ∇̄ · J̄ = 0 (2.6)
Integrando en todo el espacio y aplicando el teorema de Gauss, se llega
al principio de conservación de la carga:
d
dt
Z
ρdV =
dQ
dt
= 0 (2.7)
Este resultado es independiente del estado de movimienento de la carga
y existe muchísima evidencia experimental que lo corrobora. Por ejemplo,
22 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
si la carga dependiera de la velocidad, el átomo de hidrógeno podría no ser
eléctricamente neutro, ya que en promedio, la velocidad del electrón en el
átomo es mayor que la velocidad del protón.
Considerando otro sistema de referencia inercial Σ0 y asumiendo el prin-
cipio de relatividad, las ecuaciones de Maxwell en este nuevo sistema están
dadas por:
∇̄0 · Ē0 = ρ0/ε0 (2.8)
∇̄0 · B̄0 = 0 (2.9)
∇̄0 × B̄0 = µ0J̄ 0 + µ0ε0
∂Ē0
∂t0
(2.10)
∇̄0 × Ē0 = −∂B̄
0
∂t0
(2.11)
en donde las cantidades primadas se refieren a sus valores medidos por el
observador Σ0. Siguiendo los mismos pasos anteriores, obtenemos la ecuación
de continuidad en el sistema de referencia Σ0
∂ρ0
∂t0
+ ∇̄0 · J̄ 0 = 0 (2.12)
y el principio de la invarianza de la carga, que para el caso de una partícula
elemental su valor invariante corresponde al valor medido de la carga, cuan-
do ésta se encuentra en reposo respecto al sistema de referencia inercial Σ0.
Una suposición fundamental que está implícita en el principio de relatividad,
es que parámetros tales como la carga , la masa, etc., de una partícula fun-
damental, cuando son medidos respecto a un sistema de referencia Σ para el
cual la partícula está en reposo, toman el mismo valor numérico cuando se
miden con respecto a otro sistema de referencia inercial Σ0 cuando la partícu-
la se encuentra en reposo relativo respecto a este sistema Σ0. Si aceptamos
esta suposición, entonces el principio de la constacia de la carga eléctrica, se
obtiene de las ecuaciones de Maxwell y del principio de relatividad.
Consideremos, ahora, las ecuaciones de Maxwell en el vacío (ρ = 0,
J̄ = 0̄), en un sistema de referencia inercial Σ y tomemos el rotacional de
la última ecuación de Maxwell (la ley de inducción de Faraday), entonces,
teniendo en cuenta la identidad vectorial
∇̄× ∇̄× Ē = ∇̄(∇̄ · Ē)−∇2Ē (2.13)
y la primera ecuación de Maxwell en el vacío ∇̄ · Ē = 0, obtenemos
∇2Ē − µ0ε0
∂2Ē
∂t2
= 0 (2.14)
2.1. POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 23
Esta relación corresponde a la ecuación de ondas electromagnéticas (con
una ecuación similar para el vector campo magnético), y describe la ra-
diación electromagnética producida por algún sistema de cargas aceleradas,
y cuya velocidad de propagación en el vacío, viene dada por:
c = 1/
√
µ0ε0 (2.15)
siendo esta velocidad de propagación, independiente de la velocidad de la
fuente (sistema de cargas aceleradas). Si ahora asumimos de nuevo la validez
del principio de relatividad y consideramos otro sistema de referencia inercial
Σ0, obtenemos, siguiendo un razonamiento similar, la ecuación de ondas en
el sistema de referencia Σ0 :
∇02Ē0 − µ00ε00
∂2Ē0
∂t02
= 0 (2.16)
Esta ecuación describe la propagación de las ondas electromanéticas con
una velocidad (µ00ε
0
0)
−1/2 en el vacío, la cual, como para el caso del sistema de
referencia Σ, es también independiente del movimiento de las cargas fuente.
Si definimos el amperio a través de la ley de Biot-Savart, como la corri-
ente que circula por dos hilos paralelos infinitos, separados por una distancia
de un metro en el vacío, para que sobre cada hilo se experimente una fuerza
por unidad de longitud de 2 × 10−7Nw, entonces el valor de la constante
permeabilidad magnética del vacío es:
µ00 = µ0 = 4π × 10
−7Nw/m (2.17)
Por otra parte, si suponemos que la ley de Coulomb es válida en los dos
sistemas de referencia inerciales Σ y Σ0, y que la fuerza de Coulomb, entre dos
partículas iguales en reposo relativo, por ejemplo dos electrones o protones,
es la misma en ambos sistemas de referencia inerciales, entonces ε00 = ε0 y
por lo tanto la velocidad de la luz es independiente del sistema de referencia
inercial desde el cual ésta sea medida e independiente del movimiento de las
fuentes.
Si aceptamos ahora, que el postulado de la constancia de la velocidad de
la luz es válido, y las ecuaciones de Maxwell son correctas, entonces ε00 = ε0 y
también µ00 = µ0. Esto implica que las unidades fundamentales de longitud,
tiempo, masa y carga eléctrica deben ser definidas en la misma forma en
todos los sistemas de referencia inerciales, así como también las constantes
fundamentales de la física: la constante de Planck h = 6, 626× 10−34J · s, la
constante de gravitación universal de Newton G = 6, 670× 10−11Nw ·m2 ·
kg−2 y la velocidad de la luz en el vacío c = 2, 998× 108m · s−1.
24 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Como fue originalmente propuesto por Planck, estas constantes funda-
mentales c, G y ~ = h/2π, pueden ser conbinadas para dar las unidades
fundamentales de longitud, tiempo y masa:
Lp := (G~/c
3)1/2 = 1, 616× 10−35m (2.18)
Tp := (G~/c
5)1/2 = 5, 39× 10−44s (2.19)
Mp := (~c/G)
1/2 = 2, 18× 10−8kg (2.20)
llamadas longitud, tiempo y masa de Planck respectivamente. Actualmente
es práctica usual en la física trabajar con unidades de c = ~ = G = 1, las
cuales son llamadas unidades fundamentales o naturales.
2.2. Transformaciones de Lorentz
De lo discutido en la sección anterior, las leyes de la electrodinámica
son físicamente compatibles con el principio de la constancia de la veloci-
dad de la luz, pero a diferencia de las leyes de Newton, lasecuaciones de
Maxwell no permanecen invariantes bajo las transformaciones de Gelileo.
Esta situación nos conduce al problema de encontrar un conjunto de trans-
formaciones de coordenadas compatibles con los postulados de la relativi-
dad especial. Lorentz a finales del sigloXIX, encontró las transformaciones
de coordenadas que dejaban invariante a las ecuaciones de Maxwell, pero en
ningún momento las consideró como las ecuaciones de transformación entre
sistemas de referencia inerciales, pues ellas claramente, no eran compatibles
con las leyes de la mecánica Newtoniana. Estas transformaciones se conocen
hoy día como las transformaciones de Lorentz.
En esta sección mostraremos, que las transformaciones de Lorentz, con-
stituyen el conjunto de ecuaciones de transformación de coordenadas entre
sistemas de referencia inerciales, deduciéndolas a partir de los postulados
fundamentales de la relatividad especial, junto con algunas suposiciones gen-
erales sobre homogeneidad e isotropía del espacio y del tiempo.
Antes de abordar el problema de obtener las ecuaciones de transforma-
ción de coordenadas, es importante aclarar algunos conceptos sobre la forma
como se definen y miden las coordenadas del espacio y del tiempo, y sobre
los postulados de homogeneidad e isotropía.
Al igual que en la mecánica Newtoniana, asumiremos que el espacio físi-
co es homogéneo e isotrópico, lo cual implica que todos los puntos y todas
las direcciones espaciales son equivalentes para describir los fenómenos físi-
cos. Esto significa, en términos más precisos, que las leyes fundamentales
2.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 25
de la física no deben depender de la posición y de la dirección espacial, lo
cual energía se traduce en la arbitrariedad para elegir el origen y la direc-
ción de los ejes espaciales. Adicionalmente se postula que el espacio físico
es tridimensional y obedece los postulados de la geometría euclideana. La
homogeneidad e isotropía del tiempo, significan que las leyes de la física
no deben depender de un instante particular ni de la dirección del tiempo
elegida, es decir, la elección del origen y la escala para medir el tiempo es
arbitraria (homogeneidad) y que las leyes de la física son invariantes bajo
una transformación de la forma t → −t (isotropía). Estas propiedades del
espacio y el tiempo deben quedar reflejadas en el sistema de coordenadas
espacio-temporales elegido, así como la forma en que se miden las distancias
espaciales y el intervalo temporal entre eventos físicos.
Un evento es un fenómeno físico independiente del observador (tal como
la colisión entre dos partículas, o la emisión de un fotón por un átomo), el
cual ocurre en un punto del espacio y en un instante de tiempo y puede ser
medido por instrumentos físicos adecuados.
Adicional a los postulados anteriores sobre la estructura del espacio y el
tiempo, suponemos que se puede definir una escala de medida de longitudes,
igual para todos los observadores inerciales, la cual nos permite medir inter-
valos espaciales utilizando un sistema de reglas rígidas. Este procedimiento
define una métrica para el espacio, que cumple con las propiedades de ho-
mogeneidad e isotropía y que obedece la geometría euclideana. El sistema
de coordenadas cartesianas espaciales R3 con la métrica usual, esto es la
métrica euclideana
x̄ ∈ R3 ⇒ |x̄|2 = x21 + x22 + x23 (2.21)
nos ofrece el modelo matemático natural para describir el espacio físico.
Uno de los aspectos cruciales de la teoría de la relatividad lo constituye el
problema de la medida del tiempo. En efecto, Einstein en su primer artículo,
dedica una buena parte de él a definir la forma como se miden los intervalos
temporales entre eventos físicos. Definida ya la estructura métrica del espacio
y el proceso de medida de intervalos espaciales, podemos utilizar el postulado
de la constancia de la velocidad de la luz para definir el concepto de tiempo
físico, es decir, el método operacional para la medida del tiempo que esté
de acuerdo con los postulados fundamentales de la física y que refleje las
propiedades de homogeneidad e isotropía del tiempo.
En primer lugar se asume, que si dos eventos físicos ocurren en el mismo
punto del espacio y simultáneamente (en el mismo instante de tiempo) para
un observador inercial, entonces estos dos eventos físicos serán simultáneos
26 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Figura 2.1: Sincronización de relojes
para todos los observadores inerciales y ocurrirán también en el mismo pun-
to del espacio. En otras palabras, la simultáneidad de eventos en un mismo
punto del espacio es un hecho físico absoluto, i.e., independiente del obser-
vador. Supongamos además, que se dispone de un conjunto de relojes ideales
e idénticos, es decir, algún dispositivo o fenómeno físico reproducible, que
nos permita determinar una escala de tiempo y situemos uno de estos relojes
en el origen de coordenadas espaciales escogido por un observador inercial.
De acuerdo con la suposición sobre el caracter absoluto de la simultáneidad
para eventos que tienen lugar en el mismo punto del espacio, el observador
determinará un tiempo, el marcado por el reloj situado en su origen, para
cada evento que ocurra en el origen de coordenadas. Este tiempo marcado
por el reloj supone haber elegido un instante inicial, t = 0, el cual es ar-
bitrario, de acuerdo con la hipótesis de homogeneidad del tiempo. Ahora,
coloquemos en cada punto del espacio y en reposo relativo al reloj del origen,
uno de estos relojes idénticos, y determinemos que el instante de tiempo en
que un evento físico sucede, es el marcado por el reloj situado en el punto
del espacio donde el evento tiene lugar.
Hasta este momento se ha definido la medida del tiempo local y falta
entonces “sincronizar” todos los relojes del observador inercial, para que este
2.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 27
observador asigne un único tiempo y así, una única coordenada temporal a
cada evento físico, independiente de la posición espacial en la cual suceda
dicho evento. Para sincronizar los relojes seguiremos el método expuesto por
Einstein en su primer artículo.
Para el reloj situado en el origen de coordenadas, elijamos un instante
cualquiera como el tiempo t = 0. Consideremos un segundo reloj situado a
una distancia d del origen y enviemos, desde el origen y en la dirección de este
segundo reloj, un rayo de luz en en el instante en que el reloj del origen marca
t1 (Figura 2.1). Este segundo reloj marcará un tiempo t2 cuando el rayo de
luz lo alcanza, y se define entonces que los dos relojes están sincronizados,
si se cumple que
t2 = t1 +
d
c
(2.22)
Con estas definiciones de medida de la distancia y del intervalo tem-
poral, un observador inercial construye su sistema de coordenadas espacio-
temporal. Este procedimiento es consistente y válido para todos los obser-
vadores inerciales, puesto que la distancia d para puntos en reposo relativo
está bien definida y es por su definición independiente del observador, así co-
mo la velocidad de la luz en el vacío c es una constante universal, de acuerdo
con el segundo postulado.
La coordenada temporal para un evento, se le define, entonces, como la
lectura del reloj que está situado en el punto del espacio donde el evento
ocurre, y de acuerdo con la hipótesis del caracter absoluto de la simultánei-
dad, para eventos que suceden en el mismo punto del espacio, este proced-
imiento es independiente del observador.
Habiendo definido la forma como un observador inercial construye su
sistema de coordenadas espacio-temporales, abordemos, ahora, el problema
de encontrar las ecuaciones que relacionan las coordenadas de un evento,
asignadas por dos observadores inerciales.
Sea p un evento físico, y séan (t, x, y, z) y (t0, x0, y0, z0) las coordenadas
del evento, medidas por los dos observadores inerciales Σ y Σ0. De acuerdo
con la homogéneidad e isotropía del espacio y el tiempo, supongamos, sin
pérdida de generalidad, que los dos observadores eligen los ejes coordenados
espaciales paralelos,con v, la velocidad del sistema Σ0 respecto a Σ, en
la dirección positiva de los ejes x, x0, y además, define cada observador, el
origen de la coordenada temporal t = t0 = 0, en el instante en que los
orígenes espaciales de los sistemas coinciden (Figura 2.2).
El conjunto de transformaciones de coordenadas, que estamos buscando,
28 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Figura 2.2: Transformaciones de Lorentz
lo podemos escribir en la forma general como:
t0 = f1(t, x, y, z) (2.23)
x0 = f2(t, x, y, z) (2.24)
y0 = f3(t, x, y, z) (2.25)
z0 = f4(t, x, y, z) (2.26)
con la condición que las funciones fi séan invertibles, es decir, que se puedan
despejar las coordenadas (t, x, y, z) en función de las coordenadas primadas
(t0, x0, y0, z0).
Otra condición general sobre las funciones fi la impone la primera ley de
Newton la cual implica que una partícula libre debe moverse con velocidad
constante para todos los observadores inerciales. Esta exigencia implica que
las ecuaciones de transformación deben ser lineales en las coordenadas. Así,
el sistema de ecuaciones de transformación (2.23), (2.24), (2.25) y (2.26) lo
podemos escribir como:
t0 = a00t+ a01x+ a02y + a03z (2.27)
x0 = a10t+ a11x+ a12y + a13z (2.28)
2.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 29
y0 = a20t+ a21x+ a22y + a23z (2.29)
z0 = a30t+ a31x+ a32y + a33z (2.30)
en donde los coeficientes ai,j son constantes independientes de las coorde-
nadas. Estos coeficientes ai,j son funciones, a lo sumo, de la velocidad del
sistema de referencia Σ0 respecto a Σ, pues se supone que todos los ob-
servadores eligen las mismas escalas para medir distancias y tiempos. La
linealidad implica también que los ejes espaciales de Σ0 permanecen siempre
paralelos a si mismos y así a los ejes espaciales de Σ. Además, la velocidad
del sistema Σ respecto a Σ0 es igual a −v (igual en magnitud y opuesta a
la velocidad de Σ0 respecto a Σ), y por lo tanto la transformación inversa
debe tener la misma forma cambiando v por −v. Para el caso cuando v = 0,
la transformación se reduce a la identidad. La condición de existencia de la
transformación inversa, por otra parte, queda garantizada exigiendo que el
determinante de los coeficientes aij sea diferente de cero.
De la escogencia de los ejes espaciales se obtiene que los planos y = 0
y y0 = 0 coinciden permanentemente (todos los ejes espaciales de los dos
sistemas de referencia permanecen paralelos) y por lo tanto la ecuación de
transformación para la coordenada y0 debe reducirse a:
y0 = a22y (2.31)
Si invertimos las direcciones de los ejes x y z de Σ no se debe afectar la
relación anterior, y por lo tanto la transformación inversa de Σ0 a Σ, para
la coordenada y, toma la forma
y = a022y
0 = a22y
0 (2.32)
Esto implica, por lo tanto que se debe cumplir que a22 = ±1. Por otra
parte, dado que para v → 0 se cumple que y0 → y, entonces
a22 = 1 (2.33)
Un argumento similar vale para la coordenada z, entonces
y0 = y ; z0 = z (2.34)
Puesto que la transformación de coordenadas es lineal y las coordenadas
del origen del sistema de referencia Σ0, medidas por el observador Σ, están
dadas por x = vt, entonces x0 debe ser de la forma
x0 = γ(x− vt) (2.35)
30 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
donde γ es un parámetro que, en general, depende de la velocidad. Por
simetría, la transformación inversa para la coordenada x tendrá la misma
forma (con v cambiada por −v), entonces
x = γ0(x0 + vt0) (2.36)
siendo γ0 otra constante dependiente de v. Si invertimos las direcciones de
los ejex x y z en Σ y Σ0, entonces las relaciones (2.35) y (2.36) se siguen
cumpliendo, es decir si cambiando x→ −x y x0 → −x0 tenemos que
−x0 = γ(−x− vt) =⇒
x0 = γ(x+ vt) (2.37)
y
−x = γ0(−x0 + vt0) =⇒
x = γ0(x0 − vt0) (2.38)
de donde se obtiene que γ = γ0, pues, del principio de relatividad la física
no debe depender de la dirección elegida para los ejes espaciales. Además,
el parámetro γ debe ser positivo dado que para t = 0, x0 > 0 si x > 0.
Para encontrar una expresión explícita para γ y la forma como la coorde-
nada temporal se transforma, apliquemos ahora el segundo postulado de la
constancia de la velocidad de la luz en el vacío. Si en el instante t = 0 = t0,
cuando los orígenes coinciden, se emite un pulso de luz en la dirección del eje
x positivo, entonces se debe satisfacer que al cabo de un tiempo t, medido en
Σ, el pulso de luz esté en un punto del espacio cuya coordenada x, medida
en Σ, cumpla x = ct. De acuerdo con el postulado de la constancia de la
velocidad de la luz en el vacío, para el observador Σ0 se debe cumplir que
el pulso de luz llega al punto del espacio de coordenada x0, en un instante
t0, tal que x0 = ct0. Substituyendo estas dos relaciones, x = ct y x0 = ct0,
en las ecuaciones (2.35) y (2.36), multiplicando las ecuaciones resultantes y
eliminando el término tt0, obtenemos
γ = γ(v) =
1
p
1− v2/c2
(2.39)
conocido como el factor gamma de Lorentz. A partir de esta expresión y
eliminando la coordenada x0 entre las ecuaciones (2.35) y (2.36), obtenemos
la ecuación de transformación para la coordenada temporal:
t0 = γ(t− vx/c2) (2.40)
2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 31
Resumiendo, el conjunto de transformaciones de coordenadas, llamadas
transformaciones de Lorentz (TL), que relacionan las coordenadas espacio-
temporales de un evento físico medidas por dos observadores inerciales, están
dadas por:
t0 = γ(t− vx/c2)
x0 = γ(x− vt)
y0 = y
z0 = z
(2.41)
Así, el principio de relatividad exige que las leyes de la física deben ser
tales que ellas permanezcan invariantes bajo las tranformaciones de Lorentz
(ecuaciones (2.41)), pues, como veremos en la siguiente sección donde se
discutirán algunas propiedades de las TL, éllas contienen implícitamente
al postulado de la constancia de la velocidad de la luz. Para encontrar las
transfomaciones de Lorentz inversas, es decir, las transformaciones de co-
ordenadas para pasar del sistema Σ0 al sistema Σ, basta con invertir las
ecuaciones (2.41), o en forma equivalente, cambiando v por −v en las TL
(2.41) y las coordenadas primadas por las no primadas (por la simetría entre
los sistemas Σ y Σ0):
t = γ(t0 + vx0/c2)
x = γ(x0 + vt0)
y = y0
z = z0
(2.42)
2.3. Propiedades de las TL
Las ecuaciones de transformación de Lorentz encontradas en la sección
anterior, corresponden a un caso particular de un conjunto de transforma-
ciones más general, que constituyen la expresión matemática del principio
de relatividad y de las propiedades de homogeneidad e isotropía del espacio
y el tiempo. En efecto, el conjunto de transformaciones de coordenadas más
general se puede escribir en la forma:
x0µ =
3X
ν=0
Λ µν x
ν + aµ ; µ, ν = 0, 1, 2, 3 (2.43)
con Λ µν y aµ constantes independientes de las coordenadas. Para simplificar
las expresiones hemos introducido la notación
ct ≡ x0 ; x ≡ x1 ; y ≡ x2 ; z ≡ x3 (2.44)
32 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
de tal manera que la coordenada temporal la medimos en unidades de longi-
tud, dado el carácter de constante universal de la velocidad de la luz c. Esta
redefinición de la coordenada temporal nos permite, como veremos más ade-
lante, escribir las transformaciones de Lorentz en una forma más simétrica
y resaltar en forma explícita el papel de la coordenada temporal en la teoría
de la relatividad. En lo sucesivo utilizaremos índices griegos, que recorren
de 0 a 3, para describir las coordenadas de un evento y dejaremos los índices
latinos para describir solamente las coordenadas espaciales.
Las ecuaciones de transformación (2.43) constituyen un conjunto de
transformaciones lineales no homogéneas, en donde las cuatro constantes
aµ corresponden a la arbitrariedad para elegir el origen de las coordenadas
espaciales (µ = 1, 2, 3) y de la coordenada temporal (µ = 0), y así represen-
tan la homogeneidad del espacio-tiempo. Esta propiedad de homogeneidad
del espacio y el tiempo, en términos más formales, se traduce en el princi-
pio de invarianza de la física bajo translaciones espaciales (ai; i = 1, 2, 3) y
translacionestemporales (a0).
De sta forma, la invarianza de las leyes de la física bajo translaciones
espacio-temporales, nos permiten elegir las coordenadas de los dos sistemas
de referencia inerciales de tal manera que coincidan sus orígenes espaciales
para t = t0 = 0, haciendo que el término inhomogéneo del sistema de ecua-
ciones (2.43) se anula, y en este caso las ecuaciones de transformación se
reducen al sistema lineal homogéneo
x0µ =
3X
ν=0
Λµνx
ν ; µ, ν = 0, 1, 2, 3 (2.45)
Este conjunto de transformaciones, contiene dos casos especiales: Por una
parte están las rotaciones de los ejes espaciales, las cuales reflejan la isotropía
del espacio, es decir, que la leyes físicas no deben depender de la orientación
de los ejes espaciales. Una rotación de los ejes espaciales queda determinada
por tres parámetros, por ejemplo, los tres ángulos de Euler. Por otra parte,
están las llamadas transformaciones de Lorentz puras, caracterizadas por
las tres componentes de la velocidad relativa de los sistemas de referencia
inerciales.
Así, las transformaciones de Lorentz deducidas en la sección anterior,
constituyen un caso particular del conjunto de transformaciones (2.43), en
donde el movimiento relativo entre los sistemas de referencia es a lo largo
de un eje coordenado, con ejes espaciales paralelos (no hay rotación de ejes)
y sin translación de los orígenes espacial y temporal (Figura 2.3). En este
caso basta con un solo parámetro, la magnitud de la velocidad relativa, para
2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 33
Figura 2.3: Transformación general de coordenadas
determinar completamente la transformación.
En el caso de general de una transformación de coordenadas que in-
volucre movimiento relativo, cambio de orientación de los ejes espaciales
y translación del origen de coordenadas espacial y temporal, se requieren
entonces 10 parámetros para determinar completamente la transformación:
Los tres parámetros ai, i = 1, 2, 3 que determinan el cambio del origen es-
pacial, un parámetro a0 para el desplazamiento del origen temporal, tres
parámetros (e.g. los ángulos de Euler) para determinar una rotación de los
ejes espaciales y tres parámetros (e.g. las tres componentes de la veloci-
dad relativa) para determinar una transformación pura de Lorentz. Para los
objetivos del presente libro, salvo se especifique lo contrario, es suficiente
considerar solamente transformaciones de Lorentz puras con los ejes xx0 en
la dirección de la velocidad relativa de los sistemas de referencia y supon-
dremos además, que los orígenes de los sistemas coinciden para el tiempo
cero en ambos sistemas.
Antes de continuar con la discusión de algunas propiedades de las trans-
formaciones de Lorentz, reescribamos las ecuaciones de transformación (2.41)
34 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
Figura 2.4: Composición de transformaciones de Lorentz
en la notación introducida en la ecuación (2.44):
x00 = γ(x0 − βx1)
x01 = γ(x1 − βx0)
x02 = x2
x03 = x3
(2.46)
en donde se ha definido el parámetro adimensional β = v/c y así γ(v) =
(1−β2)−1/2. Como se mencionó al comienzo de esta sección, las ecuaciones de
transformación de Lorentz adquieren una forma simétrica en las coordenadas
espaciales y la temporal. Así, los coeficientes de la transformación de Lorentz
Λ µν , llamados también elementos de la matriz de transformación de Lorentz,
en la ecuación (2.45) están dados por:
Λ00 = Λ
1
1 = γ
Λ01 = Λ
1
0 = −βγ
Λ22 = Λ
3
3 = 1
(2.47)
siendo los demás coeficientes cero.
Consideremos ahora tres sistemas de referencia inerciales Σ, Σ0 y Σ00, con
ejes paralelos, movimiento relativo a lo largo del eje espacial x1, y orígenes
2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 35
espaciales coincidentes para t = t0 = t00 = 0 (Figura 2.4). Sea v la velocidad
del sistema de referencia Σ0 respecto a Σ y w la velocidad del sistema Σ00
respecto a Σ0, y sean (x0, x1, x2, x3), (x00, x01, x02, x03) y (x000, x001, x002, x003) las
coordenadas de un evento físico medidas por los tres observadores Σ, Σ0 y Σ00,
respectivamente. La relación entre las coordenadas del evento medidas por
Σ y Σ0 están dadas por la ecuación (2.46) y la relación entre las coordenadas
medidas por Σ0 y Σ00 están dadas por las ecuaciones:
x000 = γ(w)(x00 − β0x01)
x001 = γ(w)(x01 − β0x00)
x002 = x02
x003 = x03
(2.48)
en donde β0 = w/c. Las ecuaciones de transformación que relacionan las
coordenadas medidas por Σ y Σ00 se obtienen entonces, componiendo las
dos transformaciones, es decir, remplazando las coordenadas del sistema Σ0
de la ecuación (2.46), en esta última ecuación (2.48). Despues de reagrupar
términos, las ecuaciones de transformación finales, como era de esperarse,
toman la misma forma:
x000 = γ(u)(x0 − β00x1)
x001 = γ(u)(x1 − β00x0)
x002 = x2
x003 = x3
(2.49)
en donde β00 = u/c y u es la velocidad relativa del sistema de referencia Σ00
respecto a Σ, la cual está dada por la ecuación
u =
w + v
1 + wv/c2
(2.50)
Esta ecuación corresponde a la versión relativista del teorema de adición
de velocidades de Galileo. Notemos si v < c y w < c entonces u < c.
Notemos que las ecuaciones de transformación de Lorentz y el teorema
de adición de velocidades se reducen a las ecuaciones de transformación de
Galileo y al teorema de adición de velocidades Galileano cuando c → ∞.
Este límite formal, sin embargo, carece de significado físico en la medida
que la velocidad de la luz en el vacío es una constante universal y por lo
tanto este límite debe entenderse mejor en el siguiente sentido.
Para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz v ¿ c,
tanto las ecuaciones de transformación de Lorentz, como el teorema de adi-
ción de velociades, se reducen a las ecuaciones de transformación de Galileo
36 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
y al teorema de adición de velocidades galileano, respectivamente. Para ver
esto, es suficiente recordar la expansión en serie de Taylor de la función
(1 + xr) = 1 + rx+
r (r − 1)
2!
x2 + · · · (2.51)
la cual converge para |x| < 1. Si aplicamos esta expansión al factor γ (v)
tenemos
γ (v) =
µ
1− v
2
c2
¶−1/2
= 1 +
1
2
v2
c2
+ · · · (2.52)
Remplazando esta expansión en las ecuaciones de transformación de
Lorentz 2.41 obtenemos
x́ =
µ
1 +
1
2
v2
c2
+ · · ·
¶
(x− vt)
= x− vt+O
µ
v2
c2
¶
(2.53)
t́ =
µ
1 +
1
2
v2
c2
+ · · ·
¶³
t− v
c2
x
´
= t+O
µ
v2
c2
¶
(2.54)
en donde O
¡
v2/c2
¢
representa términos del orden de v2/c2, los cuales son
muy pequeños si v/c << 1 y por lo tanto las ecuaciones de transforma-
ción de Galileo corresponden a una aproximación a vajas velocidades de las
ecuaciones de Lorentz. Un resultado similar se obtiene pata el teorema de
adición de velociades.
Este límite de bajas velocidades juega el papel de un principio de corre-
spondencia, en el sentido de que la “física Newtoniana es una teoría válida”
para describir los fenómenos, cuando las velocidades típicas involucradas en
los procesos bajo consideración son bajas comparadas con la velocidad de
la luz y por lo tanto, las ecuaciones de la relatividad deben reducirse a las
correspondientes relaciones clásicas, en este límite de velocidades bajas. Es
importante aclarar el significado de la frase “validez de la física Newtonianas
para velocidades v << c”. Dado que toda medida experimental de una can-
tidad física, lleva consigo un error experimental, entonces las predicciones
2.3. PROPIEDADES DE LAS TL 37
de la mecánica clásica para los diferentes observables de un sistema dado,
están en concordancia con los resultados experimentales, dentro del rango
de error experimental. Así, el límite clásico, o el rango de velocidades para el
cual la mecánica clásica es aplicable, depende de la precisión experimental.
El límite formal c→∞ se puede entender fícamente en el sentido que c
representa la vélocidad máxima de propagación de señales físicas, indepen-
dientemente que esta constante corresponda a la velocidad de la luz en el
vacío, y por lo tanto si c → ∞ esto significaría que podemos enviar infor-
mación a velocidad