Tutorial_parametrizacion_Geogebra_2023

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El siguiente es un pequeño tutorial de como poder parametrizar curvas y superficies en
el GeogebraTM .
El GeogebraTM es un programa que nos ayudará a visualizar las cosas que hacemos, pero
los cálculos los debemos hacer nosotros.
1. Curvas
Vamos a subdividir esta seccion en curvas en el plano y curvas en el espacio.
1.1. Curvas en el plano
Utilizaremos el comando mas intuitivo. En geobebra, vamos a usar el comand çurva”.
Si estamos en la version de PC, nos saldran las siguientes opciones autocompletadas. A
nosotros nos interesa la primera de las opciones, porque es la que usaremos para el plano.
La segunda opción, es para curvas en el espacio
La opción que nos interesa es la si-
guiente:
curva(Expresion,Expresion, Parametro, V alorinicial, V alorfinal)
En nuestra hoja tendremos la parametrización realizada. Vamos a plasmarla.
En nuestra hoja tendremos lo siguiente:
r(t) = (r1(t), r2(t)); t0 ≤ t ≤ t1
Llenemos el comando de GeogrebraTM con nuestra parametrización que queremos ver gra-
ficada.
En la primera expresion del comando, debemos colocar la componente ”x”de nuestra
parametrización, es decir, r1(t).
En la segunda expresion del comando, debemos colocar la componente 2”de nuestra
parametrización, es decir, r2(t).
En el lugar de parametro, debemos colocar que variable usamos en la primera y la
segunda expresion, en decir, iria ”t”.
En el valor inicial, debemos colocar el valor inicial de nuestro parametro, en nuestro
caso, seria el numero t0.
En el valor final, debemos colocar el valor final de nuestro parametro, en nuestro caso,
seria el numero t1.
De esta forma, nuestra curva quedaria completa de la siguiente forma.
1.2. ejemplo
Tomemos la curva parametrizada por
r(w) = (4cos(w) + 1, 2sen(w) − 1); 0 ≤ w ≤ 2π
Esto es una elipse con semi eje en x de amplitud 4 y semi eje en y de amplitud 2, centrada
en el punto (-1,1).
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Si la parametrizamos, quedaria esto.
Al apretar la tecla .enter”, el GeogebraTM escribira en forma partida la curva y, es muy
probable, que cambie las variables (por razones de programación).
1.3. Version Movil
Para usar la version Movil, no aparece el autocompletar, debemos hacer todo a mano.
Sin embargo, el procedimiento es el mismo, hay que separar por comas ”,çada uno de los
campos del comando (Expresión, Expresión, Parámetro,Valor inicial,Valor final).
1.4. Curvas en el espacio
Para poder graficar curvas en el espacio, es EXACTAMENTE IGUAL, la unica diferencia
es que debemos agregar una tercer .Expresión”para la variable Z.
(usamos esa que esta en gricesito)
La expresion seria
curva(r1(t), r2(t), r3(t), t, t0, t1)
1.5. Version Movil
Nuevamente, debemos completar a mano todos los campos del comando.
2. Superficies en el espacio
Para parametrizar superficies vamos a usar el comando
el comando superficie tiene los siguientes campos:
Expresión: es donde vamos a colocar los componentes de la parametrizacion. La prime-
ra .Expresión.es para la variable x, la segunda .Expresión.es para la variable y, la tercera
.Expresión.es para la variable z.
Parámetro: una de las variables que usamos en la parametrizacion.
Valor inicial: el valor inicial que toma ese parametro
Valor final: el valor final que toma ese parametro
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Observemos que lo debemo completar el comando de la siguiente manera: teniendo en
nuestra hoja la parametrización de la superficie
r(u, v) = (r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v)) u0 ≤ u ≤ u1; v0 ≤ v ≤ v1
nuestro comando quedaria:
superficie(r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v), u, u0, u1, v, v0, v1)
NOTA IMPORTANTE: GeogebraTM DEBE TENER SI O SI que los dos parametros
se muevan entre numeros. Es decir, no podemos parametrizar en GeogebraTM cuando una
variable depende de la otra.
Bueno, al menos no podemos de la forma convencional. Veamos un ejemplo de como
queda una superfiice parametrizada antes de pasar a como .engañar.a GeogebraTM para
parametrizar cuando una variable depende de la otra.
2.1. Ejemplo
Parametrizar la superficie cilindrica x2 + z2 = 9 que va desde y = −2 hasta y = 5.
Haciendo polares sobre el plano XZ, tenemos que es un circulo de radio 3, asi que,
usando coordenadas cilindricas, quedaria de la siguiente forma:
r(θ, y) =
 x = 3cos(θ) 0 ≤ θ ≤ 2πy = y −2 ≤ y ≤ 5
z = 3sen(θ)
Vemos que los dos parametros son θ e y. Para escribirlo en GeogebraTM , vamos a usar
las letras ”x 2”qçomo parámetros. Aśı, quedaria escrito en el comando.
2.2. Superficies que un parametro depende del otro
Para poder resolver esto, primero debemos hablar un poco del comando SI() de GeogebraTM .
2.2.1. Comando SI()
El comando SI(Condición, Entonces) de GeogebraTM da por resultado una copia del
objeto Entonces si la Çondición”se verifica, y un objeto indefinido, si la condición no se
verifica.
Vamos a usarlo de la siguiente forma:
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Tenemos la función y = x, pero a nosotros solo nos interesa en un rango en particular,
entonces, pondrmos en Çondición.el rango donde queremos ver la copia de .Entonces 2en
.Entonces”ponemos x, asi nos quedaria esto:
Lo que le pedimos al comando SI fue: cuando el x esté entre 2 y 5, quiero ver la funcion
x. Esta es la idea que vamos a usar, porque en el comando Si es posible poner variables en
la consicion (esto es por como ejecuta los comandos GeogebraTM )
Con esto en mente, hagamos una parametrizacion donde uno de los parámetros depende
del otro.
2.3. Parametrización
Parametricemos el cilindro de de radio 2, que tiene al eje Y como eje de simetria, desde
el plano y = 0 hasta el plano y + z = 5
Entonces, pacemos a la parametrización que deberiamos tener en nuestra hoja. Si proyec-
tamos en el plano XZ, tenemos un circulo de radio 2, aśı que ese ćırculo quedaŕıa x2+z2 = 4.
Usamos ciĺındricas, donde la base del cilindro con las coordenadas que cambiaremos por sen
y cos. Quedando aśı:
r(t, y) =
 x = 2cos(t) 0 ≤ t ≤ 2πy = y
z = 2sen(t) 0 ≤ y ≤ 5 − 2sen(t)
Ahora, lo que querriamos hacer es lo siguiente en GeogebraTM :
Observemos que GeogebraTM dibujará algo, pero podemos ver que el dibujo esta MAL.
Esto es, porque el programa detecta los extremos de las funciones como numeros, no como
funciones. Lo que debemos hacer es usar el comando SI, como habiamos dicho anteriormente.
Lo vamos a usar de la siguiente forma: ya que la variable y de ciĺındricas es la que queremos
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que se mueva entre variables, será ella a la que reemplazaremos por la función SI, de la
siguiente manera:
y quedará de la siguiente manera:
Superficie(2cos(t), si(0 ≤ y ≤ 5 − 2sen(t), y), 2sen(t), t, 0, 2π, y, algo1, algo2)
Pero la pregunta que surge ahora es: dentro de la segunda variable (que en este caso es
la y), ¿cuales son los valores iniciales y finales? (Ahi descriptos como algo1 y algo2)
Bueno, hay 2 maneras de proceder: la práctica o la prolija.
En la manera práctica, el rango de y que vamos a elegir deberá ser lo duficientemente
amplio como para que estén todos los valores posibles que presenta la Condición de la funciön
SI. En nuestro caso, la Condición de la función SI es 0 ≤ y ≤ 5 − 2sen(t), aśı que el valor
mı́nimo que puede tomar es 0 y el valor máximo, es cuando sen(t) = −1, haciendo que quede
0 ≤ y ≤ 7, asi que si elegimos, por ejemplo, el rando [−25, 25], estamos perfectos. Entonces,
el comando superficie, completo, nos queda:
En la manera prolija, el rango de y que vamos a elegir será, exactamente, el rango maximo
que toma la Condición de la función SI. En nuestro caso, será [0, 7], quedando el comando
Superficie
¿en que se diferencian? vean que el cuadriculado que recibe la superficie parametrizada
es mas “bonito” en la forma prolija que en la forma práctica. Pero sólo esa es la diferencia.
2.4. Formula General
Como podrán notar, es menos complicado explicar la parametrización de una superficie
cuando una variable depende la otra mediante un ejemplo, que tirar la fórmula general de
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una. Es por eso que lo dejé para el último.
En la fórmula general, una superficie parametrizada de manera que una variable depende
de la otra seescribe:
r(u, t) =
 r1(u, t) u0 ≤ u ≤ u1r2(u, t)
r3(u, t) t0(u) ≤ t ≤ t1(u)
(uso la variable t en lugar de la variable v, porque si se ve rapido, la u y la v son muy
confundibles)
Como los ĺımites de t dependen de u, la función SI quedaria
SI(t0(u) ≤ t ≤ t1(u), t)
Llamemos m al mı́nimo valor que puede adquirir t0(u), y llamemos M al máximo va-
lor que puede tomar t1(u); en consecuencia, el comando Superficie quedaŕıa de la siguiente
manera:
Superficie(r1(u, SI(t0(u) ≤ t ≤ t1(u), t)), r2(u, SI(t0(u) ≤ t ≤ t1(u), t)), r3(u, SI(t0(u) ≤ t ≤ t1(u), t)),
u,u0, u1, t,m,M)
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