2- Ejemplo TFInversa

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Ejemplo de aplicación del Teorema de Función Inversa
Sea F : R2 → R2 dada por F (x, y) = (x3 + y3, x2 + xy). Demostrar que F admite una inversa en un entorno
de (1, 2) de clase C1 y hallar DF−1(9, 3).
Antes de resolverlo, observemos que la función F tiene dos componentes; podemos escribirlas, por ejemplo,
como {
u = x3 + y3
v = x2 + xy
o también, como
{
u = f(x, y) = x3 + y3
v = g(x, y) = x2 + xy
Además, F (1, 2) = (9, 3).
Podemos identificar esta relación escribiendo de modo general F (x0, y0) = (u0, v0), que en este caso hará
que (x0, y0) = (1, 2) y (u0, v0) = (9, 3) (o, si necesitáramos alguna de las relaciones por separado, f(1, 2) = 9
y g(1, 2) = 3).
Veamos que estamos en las condiciones del Teorema de la Función Inversa:
F es de clase C1 en un entorno de (1, 2): como cada componente de F es un polinomio, ambas son de
clase C1 en realidad de R2, en particular en cualquier entorno del punto (1, 2).
Observación: dependiendo de las funciones involucradas, es posible que la función sea C1 solamente
en un entorno del punto; es importante aclararlo. Si sólo escribimos ”F es C1”, se interpreta que la
función es C1 en todo su dominio
Debemos calcular la matriz jacobiana de F en el punto (1, 2) y ver si su determinante es no nulo:
DF (1, 2) =
∂(u, v)
∂(x, y)
(1, 2) =

∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(1,2)
o también, (como más les guste)
DF (1, 2) =
∂(f, g)
∂(x, y)
(1, 2) =

∂f
∂x
∂f
∂y
∂g
∂x
∂g
∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(1,2)
Entonces
detDF (1, 2) =
∣∣∣∣ 3x2 3y22x + y x
∣∣∣∣ (1, 2) = ∣∣∣∣ 3 124 1
∣∣∣∣ = −45 6= 0
Luego, el Teorema de la Función Inversa garantiza que:
existe un entorno U de (1, 2) y un entorno V de (9, 3) donde F : U → V es biyectiva.
Es más, F−1 : V → U es de clase C1(V ).
La matriz jacobiana de F−1 en el punto (9, 3) puede calcularse por regla de la cadena, teniendo en cuenta
que F ◦ F−1 = id, y entonces,
D
(
F ◦ F−1
)
(9, 3) = DF (F−1(9, 3)) ·DF−1(9, 3) = DF (1, 2) ·DF−1(9, 3) = I,
o sea
DF−1(9, 3) =
(
DF (1, 2)
)−1
Podemos usar, por ejemplo, que para una matriz H invertible, su inversa se puede calcular como
H−1 =
1
detH
Adj(H)t
En este caso,
DF−1(9, 3) =
1
detDF (1, 2)
Adj(DF (1, 2))t =
1
−45
(
1 −4
−12 3
)t
= − 1
45
(
1 −12
−4 3
)
=
( − 145 415
4
45 −
1
15
)
(∗)
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Aqúı acaba el pedido del ejercicio. Pero es igualmente importante interpretar los resultados obtenidos. Por
ejemplo: Calcular el plano tangente a la gráfica de y = y(u, v) en el punto (9, 3, y(9, 3)).
Como F (x, y) = (u, v), entonces (x, y) = F−1(u, v), es decir que{
x = x(u, v)
y = y(u, v)
para (u, v) ∈ V ;
{
x(9, 3) = 1
y(9, 3) = 2
(∗∗)
y entonces
DF−1(9, 3) =
∂(x, y)
∂(u, v)
(9, 3) =

∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(9,3)
(∗ ∗ ∗)
Sabemos que cada componente de F−1 es de clase C1(V ), en particular son diferenciables.
Podemos entonces calcular el plano tangente a la gráfica de y = y(u, v) en el punto (9, 3, y(9, 3)).
Utilizando (∗), (∗∗) y (∗ ∗ ∗), vemos que
y(9, 3) = 2;
∂y
∂u
(9, 3) =
4
45
;
∂y
∂v
(9, 3) = − 1
15
.
Luego la ecuación del plano tangente es:
y − 2 = 4
45
(u− 9)− 1
15
(v − 3).