Semana 5 - Límites Infinitos y al Infinito

Análisis Matemático

•
SIN SIGLA

Rafael Asmat
31/8/2023
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Análisis Matemático

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Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Docente: Rafael Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Trujillo
10 de mayo de 2023
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Interpretar el ĺımite infinito de una función real de variable
real tramos
Usar los ĺımites infinitos para determinar las aśıntotas de una
función.
Clasificar y calcular los ĺımites al infinito.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Interpretar el ĺımite infinito de una función real de variable
real tramos
Usar los ĺımites infinitos para determinar las aśıntotas de una
función.
Clasificar y calcular los ĺımites al infinito.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Interpretar el ĺımite infinito de una función real de variable
real tramos
Usar los ĺımites infinitos para determinar las aśıntotas de una
función.
Clasificar y calcular los ĺımites al infinito.
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Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Interpretar el ĺımite infinito de una función real de variable
real tramos
Usar los ĺımites infinitos para determinar las aśıntotas de una
función.
Clasificar y calcular los ĺımites al infinito.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Consideremos la función cuya gráfica se muestra a continuación:
Podemos observar que medida que el valor de x crece
ilimitadamente el valor de f (x) se aproxima al valor de 1. En estas
circunstancias, decimos que 1 es el ĺımite de f (x) cuando x tiende
a más infinito. En śımbolos:
ĺım
x→+∞
f (x) = 1
En este caso, la recta y = 1 es llamada una aśıntota horizontal de
y = f (x).
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Definición
Decimos que ĺım
x→+∞
f (x) = L si y sólo si
∀ ε > 0, ∃ N > 0 tal que x > N ⇒ |f (x)− L| < ε
Consideremos ahora la función cuya gráfica se muestra a
continuación. Observamos que, a medida que x toma valores
grandes y negativos, los valores de f (x) se acercan al valor de
y = −2.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Definición
Decimos que ĺım
x→+∞
f (x) = L si y sólo si
∀ ε > 0, ∃ N > 0 tal que x > N ⇒ |f (x)− L| < ε
Consideremos ahora la función cuya gráfica se muestra a
continuación. Observamos que, a medida que x toma valores
grandes y negativos, los valores de f (x) se acercan al valor de
y = −2.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
En este caso decimos que el ĺımite de f (x) cuando x tiende a
menos infinito es igual a −2. En śımbolos:
ĺım
x→−∞
f (x) = −2
La recta y = −2 es una aśıntota horizontal de y = f (x).
Definición
Decimos que ĺım
x→−∞
f (x) = L si y sólo si
∀ ε > 0, ∃ N > 0 tal que x < −N ⇒ |f (x)− L| < ε
Ejemplo
Sea f (x) = 1x . Demostrar que ĺımx→∞ f (x) = 0
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
En este caso decimos que el ĺımite de f (x) cuando x tiende a
menos infinito es igual a −2. En śımbolos:
ĺım
x→−∞
f (x) = −2
La recta y = −2 es una aśıntota horizontal de y = f (x).
Definición
Decimos que ĺım
x→−∞
f (x) = L si y sólo si
∀ ε > 0, ∃ N > 0 tal que x < −N ⇒ |f (x)− L| < ε
Ejemplo
Sea f (x) = 1x . Demostrar que ĺımx→∞ f (x) = 0
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Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
En este caso decimos que el ĺımite de f (x) cuando x tiende a
menos infinito es igual a −2. En śımbolos:
ĺım
x→−∞
f (x) = −2
La recta y = −2 es una aśıntota horizontal de y = f (x).
Definición
Decimos que ĺım
x→−∞
f (x) = L si y sólo si
∀ ε > 0, ∃ N > 0 tal que x < −N ⇒ |f (x)− L| < ε
Ejemplo
Sea f (x) = 1x . Demostrar que ĺımx→∞ f (x) = 0
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Solución
Utilizando la definición tenemos:(
ĺım
x→∞
1
x = 0
)
≡ ∀ ε > 0, ∃ N > 0, tal que x > N ⇒
∣∣∣∣1x − 0
∣∣∣∣ < ε
Trabajando con el antecedente:
x > N ⇒ 1x <
1
N
Observamos que tomando N = 1
ε
garantizamos el acercamiento.
Por ejemplo si quisiéramos que y = 1x esté a menos de ε = 0,01 de
0, bastaŕıa con tomar a x > 10,01, es decir, x > 100.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
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Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Solución
Utilizando la definición tenemos:(
ĺım
x→∞
1
x = 0
)
≡ ∀ ε > 0, ∃ N > 0, tal que x > N ⇒
∣∣∣∣1x − 0
∣∣∣∣ < ε
Trabajando con el antecedente:
x > N ⇒ 1x <
1
N
Observamos que tomando N = 1
ε
garantizamos el acercamiento.
Por ejemplo si quisiéramos que y = 1x esté a menos de ε = 0,01 de
0, bastaŕıa con tomar a x > 10,01, es decir, x > 100.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Cálculo de ĺımites en el Infinito
Teorema
a) Si p > 0, entonces ĺım
x→+∞
1
xp = 0
b) Si p es un número positivo tal que xp es un número real para
x < 0, entonces ĺım
x→−∞
1
xp = 0
Ĺımite de Polinomios
El ĺımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es
+∞ ó −∞ dependiendo del coeficiente del término de mayor
grado del polinomio:
ĺım
x→∞
(2x5 − 3x2 + 5) = +∞
ĺım
x→∞
(−2x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo mientras que
en el segundo caso, el coeficiente de x7 es negativo.
Cálculo de ĺımites en el Infinito
Teorema
a) Si p > 0, entonces ĺım
x→+∞
1
xp = 0
b) Si p es un número positivo tal que xp es un número real para
x < 0, entonces ĺım
x→−∞
1
xp = 0
Ĺımite de Polinomios
El ĺımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es
+∞ ó −∞ dependiendo del coeficiente del término de mayor
grado del polinomio:
ĺım
x→∞
(2x5 − 3x2 + 5) = +∞
ĺım
x→∞
(−2x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo mientras que
en el segundo caso, el coeficiente de x7 es negativo.
Cálculo de ĺımites en el Infinito
Teorema
a) Si p > 0, entonces ĺım
x→+∞
1
xp = 0
b) Si p es un número positivo tal que xp es un número real para
x < 0, entonces ĺım
x→−∞
1
xp = 0
Ĺımite de Polinomios
El ĺımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es
+∞ ó −∞ dependiendo del coeficiente del término de mayor
grado del polinomio:
ĺım
x→∞
(2x5 − 3x2 + 5) = +∞
ĺım
x→∞
(−2x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo mientras que
en el segundo caso, el coeficiente de x7 es negativo.
Cálculo de ĺımites en el Infinito
Teorema
a) Si p > 0, entonces ĺım
x→+∞
1
xp = 0
b) Si p es un número positivo tal que xp es un número real para
x < 0, entonces ĺım
x→−∞
1
xp = 0
Ĺımite de Polinomios
El ĺımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es
+∞ ó −∞ dependiendo del coeficiente del término de mayor
grado del polinomio:
ĺım
x→∞
(2x5 − 3x2 + 5) = +∞
ĺım
x→∞
(−2x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo mientras que
en el segundo caso, el coeficiente dex7 es negativo.
Cálculo de ĺımites en el Infinito
Teorema
a) Si p > 0, entonces ĺım
x→+∞
1
xp = 0
b) Si p es un número positivo tal que xp es un número real para
x < 0, entonces ĺım
x→−∞
1
xp = 0
Ĺımite de Polinomios
El ĺımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es
+∞ ó −∞ dependiendo del coeficiente del término de mayor
grado del polinomio:
ĺım
x→∞
(2x5 − 3x2 + 5) = +∞
ĺım
x→∞
(−2x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo mientras que
en el segundo caso, el coeficiente de x7 es negativo.
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación ∞
∞
Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una
indeterminación de este tipo. Para resolverla utilizamos la siguiente
regla:
ĺım
x→∞
p(x)
q(x) =

±∞ si grado p(x) > grado q(x),
donde el signo depende de los coeficientes
0 si grado p(x) < grado q(x)
a
b si grado p(x) = grado q(x), siendo a, b, los
coeficientes de los términos de mayor grado
de cada polinomio
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ejemplos
a) ĺım
x→∞
x3 − 5x2 + 6
−x2 + 4 =
(∞
∞
)
= −∞, pues el grado del
numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de
mayor grado tienen signo diferente.
b) ĺım
x→∞
x2 − 5
x6 − x4 − 3x2 + 4 =
(∞
∞
)
= 0, pues el grado del
denominador es mayor.
c) ĺım
x→∞
7x3 + 2x − 6
−3x3 + 6 =
(∞
∞
)
= −73, pues los grados son
iguales.
Nota
La resolución de ĺımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos
casos, puesto que: ĺım
x→−∞
f (x) = ĺım
x→∞
f (−x), es decir,
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
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Ĺımites Potenciales
Ejemplos
a) ĺım
x→∞
x3 − 5x2 + 6
−x2 + 4 =
(∞
∞
)
= −∞, pues el grado del
numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de
mayor grado tienen signo diferente.
b) ĺım
x→∞
x2 − 5
x6 − x4 − 3x2 + 4 =
(∞
∞
)
= 0, pues el grado del
denominador es mayor.
c) ĺım
x→∞
7x3 + 2x − 6
−3x3 + 6 =
(∞
∞
)
= −73, pues los grados son
iguales.
Nota
La resolución de ĺımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos
casos, puesto que: ĺım
x→−∞
f (x) = ĺım
x→∞
f (−x), es decir,
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Ĺımites Potenciales
Ejemplos
a) ĺım
x→∞
x3 − 5x2 + 6
−x2 + 4 =
(∞
∞
)
= −∞, pues el grado del
numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de
mayor grado tienen signo diferente.
b) ĺım
x→∞
x2 − 5
x6 − x4 − 3x2 + 4 =
(∞
∞
)
= 0, pues el grado del
denominador es mayor.
c) ĺım
x→∞
7x3 + 2x − 6
−3x3 + 6 =
(∞
∞
)
= −73, pues los grados son
iguales.
Nota
La resolución de ĺımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos
casos, puesto que: ĺım
x→−∞
f (x) = ĺım
x→∞
f (−x), es decir,
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Ejemplos
a) ĺım
x→∞
x3 − 5x2 + 6
−x2 + 4 =
(∞
∞
)
= −∞, pues el grado del
numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de
mayor grado tienen signo diferente.
b) ĺım
x→∞
x2 − 5
x6 − x4 − 3x2 + 4 =
(∞
∞
)
= 0, pues el grado del
denominador es mayor.
c) ĺım
x→∞
7x3 + 2x − 6
−3x3 + 6 =
(∞
∞
)
= −73, pues los grados son
iguales.
Nota
La resolución de ĺımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos
casos, puesto que: ĺım
x→−∞
f (x) = ĺım
x→∞
f (−x), es decir,
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Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
ĺım
x→−∞
x3 − 5x2 + 4
−x2 + 5x = ĺımx→∞
(−x)3 − 5(−x)2 + 4
−(−x)2 + 5(−x)
= ĺım
x→∞
−x3 − 5x2 + 4
−x2 − 5x =
(∞
∞
)
=∞
En el caso aparezcan ráıces, aplicamos la regla anterior:
d) ĺım
x→∞
3 +
√
x3 − 5x
x2 + 4 =
(∞
∞
)
= 0 puesto que el grado del
denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x
es 32, que es menor que 2.
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Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
ĺım
x→−∞
x3 − 5x2 + 4
−x2 + 5x = ĺımx→∞
(−x)3 − 5(−x)2 + 4
−(−x)2 + 5(−x)
= ĺım
x→∞
−x3 − 5x2 + 4
−x2 − 5x =
(∞
∞
)
=∞
En el caso aparezcan ráıces, aplicamos la regla anterior:
d) ĺım
x→∞
3 +
√
x3 − 5x
x2 + 4 =
(∞
∞
)
= 0 puesto que el grado del
denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x
es 32, que es menor que 2.
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Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
ĺım
x→−∞
x3 − 5x2 + 4
−x2 + 5x = ĺımx→∞
(−x)3 − 5(−x)2 + 4
−(−x)2 + 5(−x)
= ĺım
x→∞
−x3 − 5x2 + 4
−x2 − 5x =
(∞
∞
)
=∞
En el caso aparezcan ráıces, aplicamos la regla anterior:
d) ĺım
x→∞
3 +
√
x3 − 5x
x2 + 4 =
(∞
∞
)
= 0 puesto que el grado del
denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x
es 32, que es menor que 2.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
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Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
e) ĺım
x→∞
√
−x + 1 + x3
1 + x + 3x3 = @, pues, aunque los grados de
numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞
(es positivo y muy grande) tenemos que −x + 1 es negativo y
como sabemos, la ráız cuadrada de un número negativo no
existe en el cuerpo de los número reales, por lo tanto, el ĺımite
anterior no tiene sentido.
f) ĺım
x→−∞
√
−x + 1 + x3
1 + x + 3x3 = ĺımx→∞
√
−(−x) + 1 + (−x)3
1 + (−x) + 3(−x)3 =
ĺım
x→∞
√
x + 1− x3
1− x − 3x3 =
(∞
∞
)
= 13
pues en este caso la ráız si
tiene sentido y los grados son iguales y por tanto, el ĺımite es
el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor grado
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Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
e) ĺım
x→∞
√
−x + 1 + x3
1 + x + 3x3 = @, pues, aunque los grados de
numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞
(es positivo y muy grande) tenemos que −x + 1 es negativo y
como sabemos, la ráız cuadrada de un número negativo no
existe en el cuerpo de los número reales, por lo tanto, el ĺımite
anterior no tiene sentido.
f) ĺım
x→−∞
√
−x + 1 + x3
1 + x + 3x3 = ĺımx→∞
√
−(−x) + 1 + (−x)3
1 + (−x) + 3(−x)3 =
ĺım
x→∞
√
x + 1− x3
1− x − 3x3 =
(∞
∞
)
= 13 pues en este caso la ráız si
tiene sentido y los grados son iguales y por tanto, el ĺımite es
el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor grado
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Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
e) ĺım
x→∞
√
−x + 1 + x3
1 + x + 3x3 = @, pues, aunque los grados de
numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞
(es positivo y muy grande) tenemos que −x + 1 es negativo y
como sabemos, la ráız cuadrada de un número negativo no
existe en el cuerpo de los número reales, por lo tanto, el ĺımite
anterior no tiene sentido.
f) ĺım
x→−∞
√
−x + 1 + x3
1 + x + 3x3 = ĺımx→∞
√
−(−x) + 1 + (−x)3
1 + (−x) + 3(−x)3 =
ĺım
x→∞
√
x + 1− x3
1− x − 3x3 =
(∞
∞
)
= 13 pues en este caso la ráız si
tiene sentido y los grados son iguales y por tanto, el ĺımite es
el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor grado
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Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación ∞−∞
Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de
fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente
de polinomios, los cuales se resuelven como en el caso 2.
Ejemplo
ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= (∞)− (∞) =
ĺım
x→∞
(
(x2 − x + 1)(x − 1)− (x + 3 + x2)(x + 1)
(x + 1)(x − 1)
)
=
ĺım
x→∞
(
−4x2 − 2x − 4
x2 − 1
)
=
(∞
∞)
= −4
∴ ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= −4.
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Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación ∞−∞
Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de
fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente
de polinomios, los cuales se resuelven como en el caso 2.
Ejemplo
ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= (∞)− (∞) =
ĺım
x→∞
(
(x2 − x + 1)(x − 1)− (x + 3 + x2)(x + 1)
(x + 1)(x − 1)
)
=
ĺım
x→∞
(
−4x2 − 2x − 4
x2 − 1
)
=
(∞
∞
)
= −4
∴ ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= −4.
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Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación ∞−∞
Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de
fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente
de polinomios, los cuales se resuelven como en el caso 2.
Ejemplo
ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= (∞)− (∞) =
ĺım
x→∞
(
(x2 − x + 1)(x − 1)− (x + 3 + x2)(x + 1)
(x + 1)(x − 1)
)
=
ĺım
x→∞
(
−4x2 − 2x − 4
x2 − 1
)
=
(∞
∞
)
= −4
∴ ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= −4.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación ∞−∞
Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de
fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente
de polinomios, los cuales se resuelven como en el caso 2.
Ejemplo
ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= (∞)− (∞) =
ĺım
x→∞
(
(x2 − x + 1)(x − 1)− (x + 3 + x2)(x + 1)
(x + 1)(x − 1)
)
=
ĺım
x→∞
(
−4x2 − 2x − 4
x2 − 1
)
=
(∞
∞
)
= −4
∴ ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= −4.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación ∞−∞
Cuando aparece esta indeterminación, si tenemos una resta de
fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente
de polinomios, los cuales se resuelven como en el caso 2.
Ejemplo
ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= (∞)− (∞) =
ĺım
x→∞
(
(x2 − x + 1)(x − 1)− (x + 3 + x2)(x + 1)
(x + 1)(x − 1)
)
=
ĺım
x→∞
(
−4x2 − 2x − 4
x2 − 1
)
=
(∞
∞
)
= −4
∴ ĺım
x→∞
(
x2 − x + 1
x + 1 −
x + 3 + x2
x − 1
)
= −4.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ĺımite Infinitos
Supongamos que cuando x toma valores próximos a un punto a,
tanto por izquierda como por derecha, f (x) toma valores muy
grandes positivos; es decir ĺım
x→a
f (x) =∞. Diremos, en este caso,
que f crece sin ĺımite o que f no tiene ĺımite en a.
Definición
Sea M una cantidad muy grande y positiva. Decimos que
ĺım
x→a
f (x) =∞ si y sólo si
∀ M > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
De forma gráfica tenemos:
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ĺımite Infinitos
Supongamos que cuando x toma valores próximos a un punto a,
tanto por izquierda como por derecha, f (x) toma valores muy
grandes positivos; es decir ĺım
x→a
f (x) =∞. Diremos, en este caso,
que f crece sin ĺımite o que f no tiene ĺımite en a.
Definición
Sea M una cantidad muy grande y positiva. Decimos que
ĺım
x→a
f (x) =∞ si y sólo si
∀ M > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
De forma gráfica tenemos:
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Supongamos ahora cuando x toma valores próximos al punto a,
tanto por izquierda como por derecha, f (x) toma valores muy
grandes negativos; es decir ĺım
x→a
f (x) = −∞. Diremos, en este
caso, que f crece sin ĺımite o que f no tiene ĺımite en a.
Definición
Sea M una cantidad muy grande y positiva. Decimos que
ĺım
x→a
f (x) = −∞ si y sólo si
∀ M > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M
De forma gráfica:
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Supongamos ahora cuando x toma valores próximos al punto a,
tanto por izquierda como por derecha, f (x) toma valores muy
grandes negativos; es decir ĺım
x→a
f (x) = −∞. Diremos, en este
caso, que f crece sin ĺımite o que f no tiene ĺımite en a.
Definición
Sea M una cantidad muy grande y positiva. Decimos que
ĺım
x→a
f (x) = −∞ si y sólo si
∀ M > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M
De forma gráfica:
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
En otro caso puede ocurrir que cuando x toma valores próximos al
punto a, sólo por su derecha, f (x) toma valores muy grandes; es
decir ĺım
x→a+
f (x) =∞. Entonces tenemos:
Definición
Dada una cantidad muy grande y positiva M. Decimos que
ĺım
x→a+
f (x) =∞ si y sólo si
∀ M > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
Gráficamente:
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
En otro caso puede ocurrir que cuando x toma valores próximos al
punto a, sólo por su derecha, f (x) toma valores muy grandes; es
decir ĺım
x→a+
f (x) =∞. Entonces tenemos:
Definición
Dada una cantidad muy grande y positiva M. Decimos que
ĺım
x→a+
f (x) =∞ si y sólo si
∀ M > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
Gráficamente:
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Este comportamiento significa que la gráfica tiene una aśıntota
vertical x = a.
Ejemplo
Calcular ĺım
x→1
1
(x − 1)2
Solución.
Por sustitución directa:
ĺım
x→1
1
(x − 1)2 =
1
(1− 1)2 =
1
0 = +∞ (No existe)
La gráfica de f (x) = 1(x − 1)2 tiene una aśıntota vertical x = 1 y
tanto por izquierda como por derecha la grafica crece sin ĺımite.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Este comportamiento significa que la gráfica tiene una aśıntota
vertical x = a.
Ejemplo
Calcular ĺım
x→1
1
(x − 1)2
Solución.
Por sustitución directa:
ĺım
x→1
1
(x − 1)2 =
1
(1− 1)2 =
1
0 = +∞ (No existe)
La gráfica de f (x) = 1(x − 1)2 tiene una aśıntota vertical x = 1 y
tanto por izquierda como por derecha la grafica crece sin ĺımite.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Este comportamiento significa que la gráfica tiene una aśıntota
vertical x = a.
Ejemplo
Calcular ĺım
x→1
1
(x − 1)2
Solución.
Por sustitución directa:
ĺım
x→1
1
(x − 1)2 =
1
(1− 1)2 =
1
0 = +∞ (No existe)
La gráfica de f (x) = 1(x − 1)2 tiene una aśıntota vertical x = 1 y
tanto por izquierda como por derecha la grafica crece sin ĺımite.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Otros Ĺımites
Definición
Decimos que ĺım
x→∞
f (x) =∞ si y sólo si
∀ M > 0, ∃ N > 0 tal que x > N ⇒ f (x) > M. Gráficamente:Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ejemplo
Basado en los datos de 1980 a 2003, el número de instalaciones de
campos de golf en los Estados Unidos se puede modelar por:
g(t) = 46331 + 59,97e−0,2567t + 12, 000
instalaciones, donde t es el número de años desde finales de 1980.
Calcular ĺımt→∞ g(t) e interprete el resultado según el contexto
del problema.
Solución.
Aplicamos el ĺımite cuando t →∞ a la función g(t), usando las
propiedades de ĺımites:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
( 4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000
)
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ejemplo
Basado en los datos de 1980 a 2003, el número de instalaciones de
campos de golf en los Estados Unidos se puede modelar por:
g(t) = 46331 + 59,97e−0,2567t + 12, 000
instalaciones, donde t es el número de años desde finales de 1980.
Calcular ĺımt→∞ g(t) e interprete el resultado según el contexto
del problema.
Solución.
Aplicamos el ĺımite cuando t →∞ a la función g(t), usando las
propiedades de ĺımites:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
( 4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000
)
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ejemplo
Basado en los datos de 1980 a 2003, el número de instalaciones de
campos de golf en los Estados Unidos se puede modelar por:
g(t) = 46331 + 59,97e−0,2567t + 12, 000
instalaciones, donde t es el número de años desde finales de 1980.
Calcular ĺımt→∞ g(t) e interprete el resultado según el contexto
del problema.
Solución.
Aplicamos el ĺımite cuando t →∞ a la función g(t), usando las
propiedades de ĺımites:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
( 4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000
)
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ejemplo
Basado en los datos de 1980 a 2003, el número de instalaciones de
campos de golf en los Estados Unidos se puede modelar por:
g(t) = 46331 + 59,97e−0,2567t + 12, 000
instalaciones, donde t es el número de años desde finales de 1980.
Calcular ĺımt→∞ g(t) e interprete el resultado según el contexto
del problema.
Solución.
Aplicamos el ĺımite cuando t →∞ a la función g(t), usando las
propiedades de ĺımites:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
( 4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000
)
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
=
ĺım
t→∞
4633
ĺım
t→∞
(1 + 59,97e−0,2567t)
+ ĺım
t→∞
12, 000
= 4633
1 + 59,97 ĺım
t→∞
e−0,2567t
+ 12, 000
Tenemos que:
ĺım
t→∞
e−0,2567t = ĺım
t→∞
1
e0,2567t = 0
pues ĺım
t→∞
e0,2567t =∞ al ser el número e =2.7182.... > 1.
Reemplazando en el ĺımite anterior:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000 = 4, 633 + 12, 000
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
=
ĺım
t→∞
4633
ĺım
t→∞
(1 + 59,97e−0,2567t)
+ ĺım
t→∞
12, 000
= 4633
1 + 59,97 ĺım
t→∞
e−0,2567t
+ 12, 000
Tenemos que:
ĺım
t→∞
e−0,2567t = ĺım
t→∞
1
e0,2567t = 0
pues ĺım
t→∞
e0,2567t =∞ al ser el número e =2.7182.... > 1.
Reemplazando en el ĺımite anterior:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000 = 4, 633 + 12, 000
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
=
ĺım
t→∞
4633
ĺım
t→∞
(1 + 59,97e−0,2567t)
+ ĺım
t→∞
12, 000
= 4633
1 + 59,97 ĺım
t→∞
e−0,2567t
+ 12, 000
Tenemos que:
ĺım
t→∞
e−0,2567t = ĺım
t→∞
1
e0,2567t = 0
pues ĺım
t→∞
e0,2567t =∞ al ser el número e =2.7182.... > 1.
Reemplazando en el ĺımite anterior:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000 = 4, 633 + 12, 000
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
=
ĺım
t→∞
4633
ĺım
t→∞
(1 + 59,97e−0,2567t)
+ ĺım
t→∞
12, 000
= 4633
1 + 59,97 ĺım
t→∞
e−0,2567t
+ 12, 000
Tenemos que:
ĺım
t→∞
e−0,2567t = ĺım
t→∞
1
e0,2567t = 0
pues ĺım
t→∞
e0,2567t =∞ al ser el número e =2.7182.... > 1.
Reemplazando en el ĺımite anterior:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000 = 4, 633 + 12, 000
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
=
ĺım
t→∞
4633
ĺım
t→∞
(1 + 59,97e−0,2567t)
+ ĺım
t→∞
12, 000
= 4633
1 + 59,97 ĺım
t→∞
e−0,2567t
+ 12, 000
Tenemos que:
ĺım
t→∞
e−0,2567t = ĺım
t→∞
1
e0,2567t = 0
pues ĺım
t→∞
e0,2567t =∞ al ser el número e =2.7182.... > 1.
Reemplazando en el ĺımite anterior:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000 = 4, 633 + 12, 000
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
=
ĺım
t→∞
4633
ĺım
t→∞
(1 + 59,97e−0,2567t)
+ ĺım
t→∞
12, 000
= 4633
1 + 59,97 ĺım
t→∞
e−0,2567t
+ 12, 000
Tenemos que:
ĺım
t→∞
e−0,2567t = ĺım
t→∞
1
e0,2567t = 0
pues ĺım
t→∞
e0,2567t =∞ al ser el número e =2.7182.... > 1.
Reemplazando en el ĺımite anterior:
ĺım
t→∞
g(t) = ĺım
t→∞
4633
1 + 59,97e−0,2567t + 12, 000 = 4, 633 + 12, 000
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
= 16, 633
Por lo tanto, de acuerdo al modelo, a medida que pasa el tiempo el
número instalaciones de golf en los Estados Unidos se aproximará
pero no excederá las 16,633 instalaciones.
Nota
El ĺımite anterior es una forma especial del tipo de funciones
f (x) = 1xn (con el cambio de variable x = e
t), con n > 0. Para este
ĺımite, se cumple que
ĺım
x→±∞
1
xn = 0
Esta propiedad se utiliza en muchos ejemplos y ejercicios.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
= 16, 633
Por lo tanto, de acuerdo al modelo, a medida que pasa el tiempo el
número instalaciones de golf en los Estados Unidos se aproximará
pero no excederá las 16,633 instalaciones.
Nota
El ĺımite anterior es una forma especial del tipo de funciones
f (x) = 1xn (con el cambio de variable x = e
t), con n > 0.
Para este
ĺımite, se cumple que
ĺım
x→±∞
1
xn = 0
Esta propiedad se utiliza en muchos ejemplos y ejercicios.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
= 16, 633
Por lo tanto, de acuerdo al modelo, a medida que pasa el tiempo el
número instalaciones de golf en los Estados Unidos se aproximará
pero no excederá las 16,633 instalaciones.
Nota
El ĺımite anterior es una forma especial del tipo de funciones
f (x) = 1xn (con el cambio de variable x = e
t), con n > 0. Para este
ĺımite, se cumple que
ĺım
x→±∞
1
xn = 0
Esta propiedad se utiliza en muchos ejemplos y ejercicios.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
= 16, 633
Por lo tanto, de acuerdo al modelo, a medida que pasa el tiempo el
número instalaciones de golf en los Estados Unidos se aproximará
pero no excederá las 16,633 instalaciones.
Nota
El ĺımite anterior es una forma especial del tipo de funciones
f (x) = 1xn (con el cambio de variable x = e
t), con n > 0. Para este
ĺımite, se cumple que
ĺım
x→±∞
1
xn = 0
Esta propiedad se utiliza en muchos ejemplos y ejercicios.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales= 16, 633
Por lo tanto, de acuerdo al modelo, a medida que pasa el tiempo el
número instalaciones de golf en los Estados Unidos se aproximará
pero no excederá las 16,633 instalaciones.
Nota
El ĺımite anterior es una forma especial del tipo de funciones
f (x) = 1xn (con el cambio de variable x = e
t), con n > 0. Para este
ĺımite, se cumple que
ĺım
x→±∞
1
xn = 0
Esta propiedad se utiliza en muchos ejemplos y ejercicios.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación 1∞
Cuando aparecen exponentes, hay que recordar algunas reglas
básicas. Si tenemos ĺım
x→a
(f (x))g(x), ĺım
x→∞
(f (x))g(x), se presentan
los siguientes casos:
1 La base tiende a un número cualquiera no nulo y el exponente
a otro número. En este caso, el ĺımite es el número que resulta
de realizar la operación correspondiente:
ĺım
x→1
(x + 1)2x−3 = 2−1 = 12,
2 La base tiende a un número positivo mayor que 1 y el
exponente a +∞. En este caso, el ĺımite es también +∞.
ĺım
x→∞
(2x + 1
1 + x
)2x+3
= 2∞ = +∞.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación 1∞
Cuando aparecen exponentes, hay que recordar algunas reglas
básicas. Si tenemos ĺım
x→a
(f (x))g(x), ĺım
x→∞
(f (x))g(x), se presentan
los siguientes casos:
1 La base tiende a un número cualquiera no nulo y el exponente
a otro número. En este caso, el ĺımite es el número que resulta
de realizar la operación correspondiente:
ĺım
x→1
(x + 1)2x−3 = 2−1 = 12,
2 La base tiende a un número positivo mayor que 1 y el
exponente a +∞. En este caso, el ĺımite es también +∞.
ĺım
x→∞
(2x + 1
1 + x
)2x+3
= 2∞ = +∞.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Indeterminación 1∞
Cuando aparecen exponentes, hay que recordar algunas reglas
básicas. Si tenemos ĺım
x→a
(f (x))g(x), ĺım
x→∞
(f (x))g(x), se presentan
los siguientes casos:
1 La base tiende a un número cualquiera no nulo y el exponente
a otro número. En este caso, el ĺımite es el número que resulta
de realizar la operación correspondiente:
ĺım
x→1
(x + 1)2x−3 = 2−1 = 12,
2 La base tiende a un número positivo mayor que 1 y el
exponente a +∞. En este caso, el ĺımite es también +∞.
ĺım
x→∞
(2x + 1
1 + x
)2x+3
= 2∞ = +∞.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
1 La base tiende a un número no nulo comprendido entre -1 y 1
y el exponente a +∞. En este caso, el ĺımite es 0.
ĺım
x→∞
( 1 + x
2x + 1
)2x+3
=
(1
2
)∞
= 0.
2 La base Tiende a un número negativo menor o igual que -1 y
el exponente a +∞. En este caso el ĺımite no existe, pues los
productos son alternativamente de signo contrario:
ĺım
x→∞
(−3x + 1
1 + x
)2x+3
= (−3)∞ = @.
3 En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞,
tenemos una indeterminación que se resuelve aplicando la
fórmula:
ĺımx→a(f (x))g(x) = (1∞) = e
ĺım
x→a
(g(x) · (f (x)− 1))
.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
1 La base tiende a un número no nulo comprendido entre -1 y 1
y el exponente a +∞. En este caso, el ĺımite es 0.
ĺım
x→∞
( 1 + x
2x + 1
)2x+3
=
(1
2
)∞
= 0.
2 La base Tiende a un número negativo menor o igual que -1 y
el exponente a +∞. En este caso el ĺımite no existe, pues los
productos son alternativamente de signo contrario:
ĺım
x→∞
(−3x + 1
1 + x
)2x+3
= (−3)∞ = @.
3 En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞,
tenemos una indeterminación que se resuelve aplicando la
fórmula:
ĺımx→a(f (x))g(x) = (1∞) = e
ĺım
x→a
(g(x) · (f (x)− 1))
.
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Ĺımites Potenciales
1 La base tiende a un número no nulo comprendido entre -1 y 1
y el exponente a +∞. En este caso, el ĺımite es 0.
ĺım
x→∞
( 1 + x
2x + 1
)2x+3
=
(1
2
)∞
= 0.
2 La base Tiende a un número negativo menor o igual que -1 y
el exponente a +∞. En este caso el ĺımite no existe, pues los
productos son alternativamente de signo contrario:
ĺım
x→∞
(−3x + 1
1 + x
)2x+3
= (−3)∞ = @.
3 En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞,
tenemos una indeterminación que se resuelve aplicando la
fórmula:
ĺımx→a(f (x))g(x) = (1∞) = e
ĺım
x→a
(g(x) · (f (x)− 1))
.
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Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ejemplo
Calcular ĺım
x→0
( 1 + x
2x + 1
) 2x+3
x
.
Solución Usando la fórmula tenemos:
ĺım
x→0
( 1 + x
2x + 1
) 2x+3
x
= e
ĺım
x→0
((2x + 3
x
)
·
( 1 + x
2x + 1 − 1
))
= e
ĺım
x→0
(2x + 3
x
)
·
( −x
2x + 1
)
= e
− ĺım
x→0
(2x + 3
2x + 1
)
= e−3
Por lo tanto, ĺım
x→0
( 1 + x
2x + 1
) 2x+3
x
= e−3.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites Infinitos y al Infinito
Ĺımites al Infinito
Ĺımites Infinitos
Ĺımites Potenciales
Ejemplo
Calcular ĺım
x→0
( 1 + x
2x + 1
) 2x+3
x
.
Solución Usando la fórmula tenemos:
ĺım
x→0
( 1 + x
2x + 1
) 2x+3
x
= e
ĺım
x→0
((2x + 3
x
)
·
( 1 + x
2x + 1 − 1
))
= e
ĺım
x→0
(2x + 3
x
)
·
( −x
2x + 1
)
= e
− ĺım
x→0
(2x + 3
2x + 1
)
= e−3
Por lo tanto, ĺım
x→0
( 1 + x
2x + 1
) 2x+3
x
= e−3.
Uceda, R.A. Ĺımites Infinitos y al Infinito
Nota
El caso en que el exponente tiende a −∞ lo reducimos al caso
+∞ simplemente utilizando las propiedades de las potencias:(a
b
)n
=
(b
a
)−n
Actividad
Resolver los siguientes ejercicios:
i. a) ĺım
x→1
3√x2 − 2 3
√
x + 1
(x − 1)2 , b) ĺımx→∞ x sin
(1
x
)
iii. La población de cierta ciudad pequeña t años a partir de
ahora se pronostica que será
N = 20, 000 + 10, 000(t + 2)2
Determinar cuál será el tamaño de la población a largo plazo.
Nota
El caso en que el exponente tiende a −∞ lo reducimos al caso
+∞ simplemente utilizando las propiedades de las potencias:(a
b
)n
=
(b
a
)−n
Actividad
Resolver los siguientes ejercicios:
i. a) ĺım
x→1
3√x2 − 2 3
√
x + 1
(x − 1)2 , b) ĺımx→∞ x sin
(1
x
)
iii. La población de cierta ciudad pequeña t años a partir de
ahora se pronostica que será
N = 20, 000 + 10, 000(t + 2)2
Determinar cuál será el tamaño de la población a largo plazo.
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