Semana 9 - Regla de la Cadena

Vista previa del material en texto

Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Docente: Rafael Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Trujillo
5 de junio de 2023
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Utiliza la regla de la cadena para hallar la derivada de una
composición de funciones
Determina la derivada impĺıcita y las derivadas de orden
superior de una función real.
Aplica el criterio de la primera derivada para obtener el
máximo y ḿınimo absoluto de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Utiliza la regla de la cadena para hallar la derivada de una
composición de funciones
Determina la derivada impĺıcita y las derivadas de orden
superior de una función real.
Aplica el criterio de la primera derivada para obtener el
máximo y ḿınimo absoluto de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Utiliza la regla de la cadena para hallar la derivada de una
composición de funciones
Determina la derivada impĺıcita y las derivadas de orden
superior de una función real.
Aplica el criterio de la primera derivada para obtener el
máximo y ḿınimo absoluto de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Utiliza la regla de la cadena para hallar la derivada de una
composición de funciones
Determina la derivada impĺıcita y las derivadas de orden
superior de una función real.
Aplica el criterio de la primera derivada para obtener el
máximo y ḿınimo absoluto de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Derivadas Laterales
Por la forma como se definió la derivada mediante un ĺımite,
podemos definirla unilateralmente.
Derivada por la Derecha
La derivada por derecha de una función f en el punto x0 se
define como
f ′(x+0 ) = ĺımh→0+
f (x0 + h)− f (x0)
h
o por su forma alternativa:
f ′(x+0 ) = ĺım
x→x+0
f (x)− f (x0)
x − x0
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Derivadas Laterales
Por la forma como se definió la derivada mediante un ĺımite,
podemos definirla unilateralmente.
Derivada por la Derecha
La derivada por derecha de una función f en el punto x0 se
define como
f ′(x+0 ) = ĺımh→0+
f (x0 + h)− f (x0)
h
o por su forma alternativa:
f ′(x+0 ) = ĺım
x→x+0
f (x)− f (x0)
x − x0
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Derivada Por Izquierda
La derivada por izquierda de una función f en el punto x0 se
define como
f ′(x−0 ) = ĺımh→0−
f (x0 + h)− f (x0)
h
o por su forma alternativa:
f ′(x−0 ) = ĺım
x→x−0
f (x)− f (x0)
x − x0
Por tanto, para que f ′(x0) exista, se requiere que las derivadas
laterales existan y sean iguales. Es decir, si f ′(x+0 ) 6= f ′(x
−
0 ), se
dice que f no es derivable en x0 y su gráfica no será suave en ese
punto.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Derivada Por Izquierda
La derivada por izquierda de una función f en el punto x0 se
define como
f ′(x−0 ) = ĺımh→0−
f (x0 + h)− f (x0)
h
o por su forma alternativa:
f ′(x−0 ) = ĺım
x→x−0
f (x)− f (x0)
x − x0
Por tanto, para que f ′(x0) exista, se requiere que las derivadas
laterales existan y sean iguales. Es decir, si f ′(x+0 ) 6= f ′(x
−
0 ), se
dice que f no es derivable en x0 y su gráfica no será suave en ese
punto.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Derivada Por Izquierda
La derivada por izquierda de una función f en el punto x0 se
define como
f ′(x−0 ) = ĺımh→0−
f (x0 + h)− f (x0)
h
o por su forma alternativa:
f ′(x−0 ) = ĺım
x→x−0
f (x)− f (x0)
x − x0
Por tanto, para que f ′(x0) exista, se requiere que las derivadas
laterales existan y sean iguales. Es decir, si f ′(x+0 ) 6= f ′(x
−
0 ), se
dice que f no es derivable en x0 y su gráfica no será suave en ese
punto.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Si f (x) =
{
2x − 1; x < 2
x2 − 1; x ≥ 2 , hallar f
′(2)
Solución
Primero verifiquemos si f es continua en x = 2:
ĺım
x→2−
f (x) = ĺım
x→2
(2x − 1) = 3
y
ĺım
x→2+
f (x) = ĺım
x→2
(x2 − 1) = 3
Por tanto, f es continua en x = 2.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Si f (x) =
{
2x − 1; x < 2
x2 − 1; x ≥ 2 , hallar f
′(2)
Solución
Primero verifiquemos si f es continua en x = 2:
ĺım
x→2−
f (x) = ĺım
x→2
(2x − 1) = 3
y
ĺım
x→2+
f (x) = ĺım
x→2
(x2 − 1) = 3
Por tanto, f es continua en x = 2.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Para hallar f ′(2) hallaremos las derivadas laterales, pues f tiene
diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2.
f ′(2−) = ĺım
x→2−
f (x)− f (2)
x − 2 = ĺımx→2
(2x − 1)− (2(2)− 1)
x − 2 =
= ĺım
x→2
2(x − 2)
x − 2 = 2
f ′(2+) = ĺım
x→2+
f (x)− f (2)
x − 2 = ĺımx→2
(x2 − 1)− (22 − 1)
x − 2 =
= ĺım
x→2
(x + 2)(x − 2)
x − 2 = 4
Por tanto, como f ′(2−) 6= f ′(2+), entonces f ′(2) no existe.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Para hallar f ′(2) hallaremos las derivadas laterales, pues f tiene
diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2.
f ′(2−) = ĺım
x→2−
f (x)− f (2)
x − 2 = ĺımx→2
(2x − 1)− (2(2)− 1)
x − 2 =
= ĺım
x→2
2(x − 2)
x − 2 = 2
f ′(2+) = ĺım
x→2+
f (x)− f (2)
x − 2 = ĺımx→2
(x2 − 1)− (22 − 1)
x − 2 =
= ĺım
x→2
(x + 2)(x − 2)
x − 2 = 4
Por tanto, como f ′(2−) 6= f ′(2+), entonces f ′(2) no existe.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Para hallar f ′(2) hallaremos las derivadas laterales, pues f tiene
diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2.
f ′(2−) = ĺım
x→2−
f (x)− f (2)
x − 2 = ĺımx→2(2x − 1)− (2(2)− 1)
x − 2 =
= ĺım
x→2
2(x − 2)
x − 2 = 2
f ′(2+) = ĺım
x→2+
f (x)− f (2)
x − 2 = ĺımx→2
(x2 − 1)− (22 − 1)
x − 2 =
= ĺım
x→2
(x + 2)(x − 2)
x − 2 = 4
Por tanto, como f ′(2−) 6= f ′(2+), entonces f ′(2) no existe.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Para hallar f ′(2) hallaremos las derivadas laterales, pues f tiene
diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2.
f ′(2−) = ĺım
x→2−
f (x)− f (2)
x − 2 = ĺımx→2
(2x − 1)− (2(2)− 1)
x − 2 =
= ĺım
x→2
2(x − 2)
x − 2 = 2
f ′(2+) = ĺım
x→2+
f (x)− f (2)
x − 2 = ĺımx→2
(x2 − 1)− (22 − 1)
x − 2 =
= ĺım
x→2
(x + 2)(x − 2)
x − 2 = 4
Por tanto, como f ′(2−) 6= f ′(2+), entonces f ′(2) no existe.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Composición de Funciones
Definición
Sean dos funciones f y g tales que f : A→ B y g : B → C y
además Rf ∩ Dg 6= ∅. La función compuesta “g ◦ f .es aquella
función definida por:
i) Dg◦f = {x / x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dg}
ii) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es la regla de correspondencia.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Composición de Funciones
Definición
Sean dos funciones f y g tales que f : A→ B y g : B → C y
además Rf ∩ Dg 6= ∅. La función compuesta “g ◦ f .es aquella
función definida por:
i) Dg◦f = {x / x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dg}
ii) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es la regla de correspondencia.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Composición de Funciones
Definición
Sean dos funciones f y g tales que f : A→ B y g : B → C y
además Rf ∩ Dg 6= ∅. La función compuesta “g ◦ f .es aquella
función definida por:
i) Dg◦f = {x / x ∈ Df ∧ f (x) ∈ Dg}
ii) (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es la regla de correspondencia.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Observación:
Para que exista la composición de funciones g ◦ f es necesario que
Rf ∩ Dg 6= ∅.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Regla de la Cadena
Definición
Sea y = f (u) y u = g(x). Si g es diferenciable en x0 y f es
diferenciable en g(x0), entonces la función compuesta
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) es diferenciable en x0 y
d
dx (f (g(x))|x=x0 = f
′(g(x0))[g ′(x0)]
o lo que es lo mismo:
dy
dx =
dy
du
du
dx |u=g(x)
Ejemplo
Si y = (x2 + 2)20 entonces haciendo u = g(x) = x2 + 2 tenemos
y = f (u) = u20, de donde:
Regla de la Cadena
Definición
Sea y = f (u) y u = g(x). Si g es diferenciable en x0 y f es
diferenciable en g(x0), entonces la función compuesta
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) es diferenciable en x0 y
d
dx (f (g(x))|x=x0 = f
′(g(x0))[g ′(x0)]
o lo que es lo mismo:
dy
dx =
dy
du
du
dx |u=g(x)
Ejemplo
Si y = (x2 + 2)20 entonces haciendo u = g(x) = x2 + 2 tenemos
y = f (u) = u20, de donde:
Regla de la Cadena
Definición
Sea y = f (u) y u = g(x). Si g es diferenciable en x0 y f es
diferenciable en g(x0), entonces la función compuesta
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) es diferenciable en x0 y
d
dx (f (g(x))|x=x0 = f
′(g(x0))[g ′(x0)]
o lo que es lo mismo:
dy
dx =
dy
du
du
dx |u=g(x)
Ejemplo
Si y = (x2 + 2)20 entonces haciendo u = g(x) = x2 + 2 tenemos
y = f (u) = u20, de donde:
dy
du = 20u
19 y dudx = 2x
Por tanto,
dy
dx =
dy
du
du
dx = (20u
19)(2x) = (20(x2 + 2)19)(2x) = 40x(x2 + 2)19
Ejemplo
Si y = sin (x3 − 3x)︸ ︷︷ ︸
u
entonces
y ′ = Du(sin u)Dx (x3 − 3x) = [cos(x3 − 3x)][3x2 − 3].
Nota
Para el caso de funciones de la forma y = f (g(h(x)) haciendo
v = h(x), tenemos y = f (g(v)) y haciendo u = g(v), tenemos
y = f (u). Entonces dydx =
dy
du
du
dv
dv
dx , ó simplemente
y ′ = [f ′(g(h(x)))][g ′(h(x))][h′(x)]
dy
du = 20u
19 y dudx = 2x
Por tanto,
dy
dx =
dy
du
du
dx = (20u
19)(2x) = (20(x2 + 2)19)(2x) = 40x(x2 + 2)19
Ejemplo
Si y = sin (x3 − 3x)︸ ︷︷ ︸
u
entonces
y ′ = Du(sin u)Dx (x3 − 3x) = [cos(x3 − 3x)][3x2 − 3].
Nota
Para el caso de funciones de la forma y = f (g(h(x)) haciendo
v = h(x), tenemos y = f (g(v)) y haciendo u = g(v), tenemos
y = f (u). Entonces dydx =
dy
du
du
dv
dv
dx , ó simplemente
y ′ = [f ′(g(h(x)))][g ′(h(x))][h′(x)]
dy
du = 20u
19 y dudx = 2x
Por tanto,
dy
dx =
dy
du
du
dx = (20u
19)(2x) = (20(x2 + 2)19)(2x) = 40x(x2 + 2)19
Ejemplo
Si y = sin (x3 − 3x)︸ ︷︷ ︸
u
entonces
y ′ = Du(sin u)Dx (x3 − 3x) = [cos(x3 − 3x)][3x2 − 3].
Nota
Para el caso de funciones de la forma y = f (g(h(x)) haciendo
v = h(x), tenemos y = f (g(v)) y haciendo u = g(v), tenemos
y = f (u). Entonces dydx =
dy
du
du
dv
dv
dx , ó simplemente
y ′ = [f ′(g(h(x)))][g ′(h(x))][h′(x)]
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Fórmulas de Derivación para Funciones Compuestas
Sea u = u(x), entonces:
1 Dx (un) = n(un−1)u′
2 Dx (eu) = euu′
3 Dx (au) = au(ln a)u′
4 Dx (ln u) =
1
u u
′
5 Dx (loga u) =
1
u ln au
′
6 Dx (sin u) = (cos u)u′
7 Dx (cos u) = (− sin u)u′
8 Dx (tan u) = (sec2 u)u′
9 Dx (cot u) = (− csc2 u)u′
10 Dx (sec u) = (sec u tan u)u′
11 Dx (csc u) =
(− csc u cot u)u′
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Dada la función de desintegración radioactiva N(t) = N0e−kt
Hallar la tasa de cambio de la cantidad de material restante
cuando t = 5.
Solución.
Según el problema, debemos encontrar dN/dt, donde N es la
cantidad restante de la sustancia. Utilizando la regla de la cadena
tendŕıamos:
dN
dt = −kN0e
−kt = −kN(t)
Como nos pide la tasa de variación cuando t = 5, entonces:
N ′(5) = −kN(5) = −kN0e−k5
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Dada la función de desintegración radioactiva N(t) = N0e−kt
Hallar la tasa de cambio de la cantidad de material restante
cuando t = 5.
Solución.
Según el problema, debemos encontrar dN/dt, donde N es la
cantidad restante de la sustancia. Utilizando la regla de la cadena
tendŕıamos:
dN
dt = −kN0e
−kt = −kN(t)
Como nos pide la tasa de variación cuando t = 5, entonces:
N ′(5) = −kN(5) = −kN0e−k5
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Dada la función de desintegración radioactiva N(t) = N0e−kt
Hallar la tasa de cambio de la cantidad de material restante
cuando t = 5.
Solución.
Según el problema, debemos encontrar dN/dt, donde N es la
cantidad restante de la sustancia. Utilizando la regla de la cadena
tendŕıamos:
dN
dt = −kN0e
−kt = −kN(t)
Como nos pide la tasa de variación cuando t = 5, entonces:
N ′(5) = −kN(5) = −kN0e−k5
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Dada la función de desintegración radioactiva N(t) = N0e−kt
Hallar la tasade cambio de la cantidad de material restante
cuando t = 5.
Solución.
Según el problema, debemos encontrar dN/dt, donde N es la
cantidad restante de la sustancia. Utilizando la regla de la cadena
tendŕıamos:
dN
dt = −kN0e
−kt = −kN(t)
Como nos pide la tasa de variación cuando t = 5, entonces:
N ′(5) = −kN(5) = −kN0e−k5
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Dada la función de desintegración radioactiva N(t) = N0e−kt
Hallar la tasa de cambio de la cantidad de material restante
cuando t = 5.
Solución.
Según el problema, debemos encontrar dN/dt, donde N es la
cantidad restante de la sustancia. Utilizando la regla de la cadena
tendŕıamos:
dN
dt = −kN0e
−kt = −kN(t)
Como nos pide la tasa de variación cuando t = 5, entonces:
N ′(5) = −kN(5) = −kN0e−k5
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Funciones Impĺıcitas
Hasta ahora hemos calculado la derivada de funciones del tipo
y = f (x). En casos como este, se dice que la función está
expĺıcitamente definida a partir de x , es decir, y es una función
conocida de x .
Ahora vamos a definir y impĺıcitamente como función de x , esto
quiere decir que y es una función de x pero no conocemos su
expresión. Por ejemplo:
ex + sin(xy) = y2 + 1
aparecen dos variables x que supondremos la variable
independiente y y que es la variable dependiente.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Funciones Impĺıcitas
Hasta ahora hemos calculado la derivada de funciones del tipo
y = f (x). En casos como este, se dice que la función está
expĺıcitamente definida a partir de x , es decir, y es una función
conocida de x .
Ahora vamos a definir y impĺıcitamente como función de x , esto
quiere decir que y es una función de x pero no conocemos su
expresión. Por ejemplo:
ex + sin(xy) = y2 + 1
aparecen dos variables x que supondremos la variable
independiente y y que es la variable dependiente.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Funciones Impĺıcitas
Hasta ahora hemos calculado la derivada de funciones del tipo
y = f (x). En casos como este, se dice que la función está
expĺıcitamente definida a partir de x , es decir, y es una función
conocida de x .
Ahora vamos a definir y impĺıcitamente como función de x , esto
quiere decir que y es una función de x pero no conocemos su
expresión. Por ejemplo:
ex + sin(xy) = y2 + 1
aparecen dos variables x que supondremos la variable
independiente y y que es la variable dependiente.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Funciones Impĺıcitas
Hasta ahora hemos calculado la derivada de funciones del tipo
y = f (x). En casos como este, se dice que la función está
expĺıcitamente definida a partir de x , es decir, y es una función
conocida de x .
Ahora vamos a definir y impĺıcitamente como función de x , esto
quiere decir que y es una función de x pero no conocemos su
expresión. Por ejemplo:
ex + sin(xy) = y2 + 1
aparecen dos variables x que supondremos la variable
independiente y y que es la variable dependiente.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
En la ecuación anterior no hay forma evidente de despejar y en
términos de x . Vamos en encontrar la derivada de y sin intentar
despejar la variable.
A continuación se indican los pasos a realizar para obtener
y ′ = dydx cuando en una ecuación se define y impĺıcitamente como
función derivable de x .
Derivar término a término los miembros de la ecuación,
respetando las reglas de derivación y teniendo en cuenta que y
es una función de x . Aśı, cada vez que derivamos y utilizamos
la regla de la cadena y aparece el factor y ′.
Despejar en la ecuación resultante y ′ = dydx .
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
En la ecuación anterior no hay forma evidente de despejar y en
términos de x . Vamos en encontrar la derivada de y sin intentar
despejar la variable.
A continuación se indican los pasos a realizar para obtener
y ′ = dydx cuando en una ecuación se define y impĺıcitamente como
función derivable de x .
Derivar término a término los miembros de la ecuación,
respetando las reglas de derivación y teniendo en cuenta que y
es una función de x . Aśı, cada vez que derivamos y utilizamos
la regla de la cadena y aparece el factor y ′.
Despejar en la ecuación resultante y ′ = dydx .
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
En la ecuación anterior no hay forma evidente de despejar y en
términos de x . Vamos en encontrar la derivada de y sin intentar
despejar la variable.
A continuación se indican los pasos a realizar para obtener
y ′ = dydx cuando en una ecuación se define y impĺıcitamente como
función derivable de x .
Derivar término a término los miembros de la ecuación,
respetando las reglas de derivación y teniendo en cuenta que y
es una función de x . Aśı, cada vez que derivamos y utilizamos
la regla de la cadena y aparece el factor y ′.
Despejar en la ecuación resultante y ′ = dydx .
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
En la ecuación anterior no hay forma evidente de despejar y en
términos de x . Vamos en encontrar la derivada de y sin intentar
despejar la variable.
A continuación se indican los pasos a realizar para obtener
y ′ = dydx cuando en una ecuación se define y impĺıcitamente como
función derivable de x .
Derivar término a término los miembros de la ecuación,
respetando las reglas de derivación y teniendo en cuenta que y
es una función de x . Aśı, cada vez que derivamos y utilizamos
la regla de la cadena y aparece el factor y ′.
Despejar en la ecuación resultante y ′ = dydx .
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Ejemplo
Sea x4 − y5 = 0 la ecuación de una función. Hallar y ′ = dydx .
Solución.
Podemos proceder por una de las siguientes formas:
1 Despejando y (forma expĺıcita): y = x4/5. Entonces:
y ′ = 45x
−1/5
2 Sin despejar y (forma impĺıcita): La consideramos como
x4 − [f (x)]5 = 0. Ahora derivamos cada miembro de la
ecuación:
Dx
[
x4 − [f (x)]5
]
= Dx (0)⇒ 4x3 − 5[f (x)]4f ′(x) = 0
Ahora despejamos f ′(x):
Ejemplo
Sea x4 − y5 = 0 la ecuación de una función. Hallar y ′ = dydx .
Solución.
Podemos proceder por una de las siguientes formas:
1 Despejando y (forma expĺıcita): y = x4/5. Entonces:
y ′ = 45x
−1/5
2 Sin despejar y (forma impĺıcita): La consideramos como
x4 − [f (x)]5 = 0. Ahora derivamos cada miembro de la
ecuación:
Dx
[
x4 − [f (x)]5
]
= Dx (0)⇒ 4x3 − 5[f (x)]4f ′(x) = 0
Ahora despejamos f ′(x):Ejemplo
Sea x4 − y5 = 0 la ecuación de una función. Hallar y ′ = dydx .
Solución.
Podemos proceder por una de las siguientes formas:
1 Despejando y (forma expĺıcita): y = x4/5. Entonces:
y ′ = 45x
−1/5
2 Sin despejar y (forma impĺıcita): La consideramos como
x4 − [f (x)]5 = 0. Ahora derivamos cada miembro de la
ecuación:
Dx
[
x4 − [f (x)]5
]
= Dx (0)⇒ 4x3 − 5[f (x)]4f ′(x) = 0
Ahora despejamos f ′(x):
f ′(x) = 4x
3
5[f (x)]4
Para comprobar que los resultados son los mismos, simplemente
debemos reemplazar f (x) = x4/5:
f ′(x) = 4x
3
5[f (x)]4 =
4x3
5[x4/5]4
= 4x
3
5x16/5
= 45x
−1/5
Ejemplo
Sea x2 + y2 = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y ′
Solución.
Primer Método:
Como es posible despejar y , tenemos y = +
√
1− x2. Entonces
y ′ = 12(1− x
2)−1/2(−2x) = − x√
1− x2
= −xy
f ′(x) = 4x
3
5[f (x)]4
Para comprobar que los resultados son los mismos, simplemente
debemos reemplazar f (x) = x4/5:
f ′(x) = 4x
3
5[f (x)]4 =
4x3
5[x4/5]4
= 4x
3
5x16/5
= 45x
−1/5
Ejemplo
Sea x2 + y2 = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y ′
Solución.
Primer Método:
Como es posible despejar y , tenemos y = +
√
1− x2. Entonces
y ′ = 12(1− x
2)−1/2(−2x) = − x√
1− x2
= −xy
f ′(x) = 4x
3
5[f (x)]4
Para comprobar que los resultados son los mismos, simplemente
debemos reemplazar f (x) = x4/5:
f ′(x) = 4x
3
5[f (x)]4 =
4x3
5[x4/5]4
= 4x
3
5x16/5
= 45x
−1/5
Ejemplo
Sea x2 + y2 = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y ′
Solución.
Primer Método:
Como es posible despejar y , tenemos y = +
√
1− x2. Entonces
y ′ = 12(1− x
2)−1/2(−2x) = − x√
1− x2
= −xy
f ′(x) = 4x
3
5[f (x)]4
Para comprobar que los resultados son los mismos, simplemente
debemos reemplazar f (x) = x4/5:
f ′(x) = 4x
3
5[f (x)]4 =
4x3
5[x4/5]4
= 4x
3
5x16/5
= 45x
−1/5
Ejemplo
Sea x2 + y2 = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y ′
Solución.
Primer Método:
Como es posible despejar y , tenemos y = +
√
1− x2. Entonces
y ′ = 12(1− x
2)−1/2(−2x) = − x√
1− x2
= −xy
Segundo Método:
Derivamos la ecuación dada como x2 + [f (x)]2 = 1:
Dx (x2 + [f (x)]2) = Dx (1)⇒ 2x + 2f (x)f ′(x) = 0
que es lo mismo que 2x + 2yy ′ = 0
Despejando y ′ resulta:
y ′ = −xy = −
x√
1− x2
Nota
Los ejemplos anteriores muestran que la derivación impĺıcita es
válida, pero la comprobación no siempre va a ser posible. Sin
embargo, lo que se desea es obtener la derivada y es lo que se ha
realizado. Además, las ecuaciones impĺıcitas podŕıan representar no
sólo funciones sino una relación cualquiera y, en esos caso, también
podemos obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Segundo Método:
Derivamos la ecuación dada como x2 + [f (x)]2 = 1:
Dx (x2 + [f (x)]2) = Dx (1)⇒ 2x + 2f (x)f ′(x) = 0
que es lo mismo que 2x + 2yy ′ = 0
Despejando y ′ resulta:
y ′ = −xy = −
x√
1− x2
Nota
Los ejemplos anteriores muestran que la derivación impĺıcita es
válida, pero la comprobación no siempre va a ser posible. Sin
embargo, lo que se desea es obtener la derivada y es lo que se ha
realizado. Además, las ecuaciones impĺıcitas podŕıan representar no
sólo funciones sino una relación cualquiera y, en esos caso, también
podemos obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Segundo Método:
Derivamos la ecuación dada como x2 + [f (x)]2 = 1:
Dx (x2 + [f (x)]2) = Dx (1)⇒ 2x + 2f (x)f ′(x) = 0
que es lo mismo que 2x + 2yy ′ = 0
Despejando y ′ resulta:
y ′ = −xy = −
x√
1− x2
Nota
Los ejemplos anteriores muestran que la derivación impĺıcita es
válida, pero la comprobación no siempre va a ser posible. Sin
embargo, lo que se desea es obtener la derivada y es lo que se ha
realizado. Además, las ecuaciones impĺıcitas podŕıan representar no
sólo funciones sino una relación cualquiera y, en esos caso, también
podemos obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Segundo Método:
Derivamos la ecuación dada como x2 + [f (x)]2 = 1:
Dx (x2 + [f (x)]2) = Dx (1)⇒ 2x + 2f (x)f ′(x) = 0
que es lo mismo que 2x + 2yy ′ = 0
Despejando y ′ resulta:
y ′ = −xy = −
x√
1− x2
Nota
Los ejemplos anteriores muestran que la derivación impĺıcita es
válida, pero la comprobación no siempre va a ser posible. Sin
embargo, lo que se desea es obtener la derivada y es lo que se ha
realizado. Además, las ecuaciones impĺıcitas podŕıan representar no
sólo funciones sino una relación cualquiera y, en esos caso, también
podemos obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Segundo Método:
Derivamos la ecuación dada como x2 + [f (x)]2 = 1:
Dx (x2 + [f (x)]2) = Dx (1)⇒ 2x + 2f (x)f ′(x) = 0
que es lo mismo que 2x + 2yy ′ = 0
Despejando y ′ resulta:
y ′ = −xy = −
x√
1− x2
Nota
Los ejemplos anteriores muestran que la derivación impĺıcita es
válida, pero la comprobación no siempre va a ser posible. Sin
embargo, lo que se desea es obtener la derivada y es lo que se ha
realizado. Además, las ecuaciones impĺıcitas podŕıan representar no
sólo funciones sino una relación cualquiera y, en esos caso, también
podemos obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Si 4x3 + 7xy2 = 2y3, hallar y ′.
Solución:
Derivando ambos miembro y resolviendo tenemos:
Dx (4x3 + 7xy2) = Dx (2y3)⇒ 12x2 + (7y2 + 7x(2yy ′)) = 6y2y ′
⇒ 12x2 + 7y2 + 14xyy ′ = 6y2y ′
Despejando y ′ resulta:
y ′ = 12x
2 + 7y2
6y2 − 14xy
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Si 4x3 + 7xy2 = 2y3, hallar y ′.
Solución:
Derivando ambos miembro y resolviendo tenemos:
Dx (4x3 + 7xy2) = Dx (2y3)⇒ 12x2 + (7y2 + 7x(2yy ′)) = 6y2y ′
⇒ 12x2 + 7y2 + 14xyy ′ = 6y2y ′
Despejando y ′ resulta:
y ′ = 12x
2 + 7y2
6y2 − 14xy
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Si 4x3 + 7xy2 = 2y3, hallar y ′.
Solución:
Derivando ambos miembro y resolviendo tenemos:
Dx (4x3 + 7xy2) = Dx (2y3)⇒ 12x2 + (7y2 + 7x(2yy ′)) = 6y2y ′
⇒ 12x2 + 7y2 + 14xyy ′ = 6y2y ′
Despejando y ′ resulta:
y ′ = 12x
2 + 7y2
6y2 − 14xy
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Si 4x3 + 7xy2 = 2y3, hallar y ′.
Solución:
Derivando ambos miembro y resolviendo tenemos:
Dx (4x3 + 7xy2) = Dx (2y3)⇒ 12x2 + (7y2 + 7x(2yy ′)) = 6y2y ′
⇒ 12x2 + 7y2 + 14xyy ′ = 6y2y ′
Despejando y ′ resulta:
y ′ = 12x
2 + 7y2
6y2 − 14xy
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Si 4x3 + 7xy2 = 2y3, hallar y ′.
Solución:
Derivando ambos miembro y resolviendo tenemos:
Dx (4x3 + 7xy2) = Dx (2y3)⇒ 12x2 + (7y2 + 7x(2yy ′)) = 6y2y ′
⇒ 12x2 + 7y2 + 14xyy ′ = 6y2y ′
Despejando y ′ resulta:
y ′ = 12x
2 + 7y2
6y2 − 14xy
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Calcular la recta tangente y normal a la curva xy − y3 = 1 en el
punto (0,−1).
Solución.
Derivamos término a término la igualdad dada, usando las reglas
de derivación:
y + xy ′ − 3y2y ′ = 0
Despejando y ′ obtenemos:
y ′ = y3y2 − x
Para hallar la recta tangente en el punto dado, necesitamos
conocer el valor de la pendiente en ese punto. Para ello,
reemplazamos los valores dados x = 0y y = −1 en la ecuación de
y ′.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Calcular la recta tangente y normal a la curva xy − y3 = 1 en el
punto (0,−1).
Solución.
Derivamos término a término la igualdad dada, usando las reglas
de derivación:
y + xy ′ − 3y2y ′ = 0
Despejando y ′ obtenemos:
y ′ = y3y2 − x
Para hallar la recta tangente en el punto dado, necesitamos
conocer el valor de la pendiente en ese punto. Para ello,
reemplazamos los valores dados x = 0 y y = −1 en la ecuación de
y ′.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Calcular la recta tangente y normal a la curva xy − y3 = 1 en el
punto (0,−1).
Solución.
Derivamos término a término la igualdad dada, usando las reglas
de derivación:
y + xy ′ − 3y2y ′ = 0
Despejando y ′ obtenemos:
y ′ = y3y2 − x
Para hallar la recta tangente en el punto dado, necesitamos
conocer el valor de la pendiente en ese punto. Para ello,
reemplazamos los valores dados x = 0 y y = −1 en la ecuación de
y ′.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Calcular la recta tangente y normal a la curva xy − y3 = 1 en el
punto (0,−1).
Solución.
Derivamos término a término la igualdad dada, usando las reglas
de derivación:
y + xy ′ − 3y2y ′ = 0
Despejando y ′ obtenemos:
y ′ = y3y2 − x
Para hallar la recta tangente en el punto dado, necesitamos
conocer el valor de la pendiente en ese punto. Para ello,
reemplazamos los valores dados x = 0 y y = −1 en la ecuación de
y ′.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Calcular la recta tangente y normal a la curva xy − y3 = 1 en el
punto (0,−1).
Solución.
Derivamos término a término la igualdad dada, usando las reglas
de derivación:
y + xy ′ − 3y2y ′ = 0
Despejando y ′ obtenemos:
y ′ = y3y2 − x
Para hallar la recta tangente en el punto dado, necesitamos
conocer el valor de la pendiente en ese punto. Para ello,
reemplazamos los valores dados x = 0 y y = −1 en la ecuación de
y ′.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
Ejemplo
Calcular la recta tangente y normal a la curva xy − y3 = 1 en el
punto (0,−1).
Solución.
Derivamos término a término la igualdad dada, usando las reglas
de derivación:
y + xy ′ − 3y2y ′ = 0
Despejando y ′ obtenemos:
y ′ = y3y2 − x
Para hallar la recta tangente en el punto dado, necesitamos
conocer el valor de la pendiente en ese punto. Para ello,
reemplazamos los valores dados x = 0 y y = −1 en la ecuación de
y ′.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
y ′(0,−1) = −13(−1)2 − 0 = −
1
3
Como ya conocemos la pendiente de la recta tangente, aplicamos
la fórmula para hallar la ecuación de la recta:
y + 1 = −13x o equivalentemente x + 3y + 3 = 0
Para hallar la recta normal, recordemos que su pendiente m debe
ser tal que (m)
(
−13
)
= −1, es decir, m = 3. De este modo, la
ecuación de la recta normal es:
y + 1 = 3x
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
y ′(0,−1) = −13(−1)2 − 0 = −
1
3
Como ya conocemos la pendiente de la recta tangente, aplicamos
la fórmula para hallar la ecuación de la recta:
y + 1 = −13x o equivalentemente x + 3y + 3 = 0
Para hallar la recta normal, recordemos que su pendiente m debe
ser tal que (m)
(
−13
)
= −1, es decir, m = 3.
De este modo, la
ecuación de la recta normal es:
y + 1 = 3x
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
y ′(0,−1) = −13(−1)2 − 0 = −
1
3
Como ya conocemos la pendiente de la recta tangente, aplicamos
la fórmula para hallar la ecuación de la recta:
y + 1 = −13x o equivalentemente x + 3y + 3 = 0
Para hallar la recta normal, recordemos que su pendiente m debe
ser tal que (m)
(
−13
)
= −1, es decir, m = 3. De este modo, la
ecuación de la recta normal es:
y + 1 = 3x
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
y ′(0,−1) = −13(−1)2 − 0 = −
1
3
Como ya conocemos la pendiente de la recta tangente, aplicamos
la fórmula para hallar la ecuación de la recta:
y + 1 = −13x o equivalentemente x + 3y + 3 = 0
Para hallar la recta normal, recordemos que su pendiente m debe
ser tal que (m)
(
−13
)
= −1, es decir, m = 3. De este modo, la
ecuación de la recta normal es:
y + 1 = 3x
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Derivadas Laterales
Regla de la Cadena
Funciones Impĺıcitas
y ′(0,−1) = −13(−1)2 − 0 = −
1
3
Como ya conocemos la pendiente de la recta tangente, aplicamos
la fórmula para hallar la ecuación de la recta:
y + 1 = −13x o equivalentemente x + 3y + 3 = 0
Para hallar la recta normal, recordemos que su pendiente m debe
ser tal que (m)
(
−13
)
= −1, es decir, m = 3. De este modo, la
ecuación de la recta normal es:
y + 1 = 3x
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Derivadas de Orden Superior
La derivada de una función es otra función y por tanto, se podŕıa
obtener también la derivada de esta función y aśı sucesivamente.
Sea y = f (x) una función “n” veces derivable, entonces:
La primera derivada es:
y ′ = f ′(x) = dydx = Dxy = ĺımh→0
f (x + h)− f (x)
h
La segunda derivada es:
Dx (y ′) = y ′′ = f ′′(x) =
d2y
dx2 = D
2
x y = ĺımh→0
f ′(x + h)− f ′(x)
h
La tercera derivada es:
Dx (y ′′) = y ′′′ = f ′′′(x) =
d3y
dx3 = D
3
x y = ĺımh→0
f ′′(x + h)− f ′′(x)
h
En general, la n-ésima derivada es:
y (n) = f (n)(x) = d
ny
dxn = D
n
x y = ĺımh→0
f (n−1)(x + h)− f (n−1)(x)
h
Derivadas de Orden Superior
La derivada de una función es otra función y por tanto, se podŕıa
obtener también la derivada de esta función y aśı sucesivamente.
Sea y = f (x) una función “n” veces derivable, entonces:
La primera derivada es:
y ′ = f ′(x) = dydx = Dxy = ĺımh→0
f (x + h)− f (x)
h
La segunda derivada es:
Dx (y ′) = y ′′ = f ′′(x) =
d2y
dx2 = D
2
x y = ĺımh→0
f ′(x + h)− f ′(x)
h
La tercera derivada es:
Dx (y ′′) = y ′′′ = f ′′′(x) =
d3y
dx3 = D
3
x y = ĺımh→0
f ′′(x + h)− f ′′(x)
h
En general, la n-ésima derivada es:
y (n) = f (n)(x) = d
ny
dxn = D
n
x y = ĺımh→0
f (n−1)(x + h)− f (n−1)(x)
h
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Hallar Dnx
( 1
1− 2x
)
.
Solución.
En este caso: y = 11− 2x = (1− 2x)
−1. Calcularemos las
derivadas hasta poder generalizarla:
y ′ = −(1− 2x)−2(−2) = (1− 2x)−22 = 1!(1− 2x)−221
y ′′ = 2(−2)(1− 2x)−3(−2) = 2(1− 2x)−322 = 2!(1− 2x)−322
y ′′′ = 2(−3)(1− 2x)−4(−2)22 = (2× 3)(1− 2x)−423 =
3!(1− 2x)−423
y (4) = 2× 3(−4)(1− 2x)−5(−2)23= (2× 3× 4)(1− 2x)−524 =
4!(1− 2x)−524
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Hallar Dnx
( 1
1− 2x
)
.
Solución.
En este caso: y = 11− 2x = (1− 2x)
−1. Calcularemos las
derivadas hasta poder generalizarla:
y ′ = −(1− 2x)−2(−2) = (1− 2x)−22 = 1!(1− 2x)−221
y ′′ = 2(−2)(1− 2x)−3(−2) = 2(1− 2x)−322 = 2!(1− 2x)−322
y ′′′ = 2(−3)(1− 2x)−4(−2)22 = (2× 3)(1− 2x)−423 =
3!(1− 2x)−423
y (4) = 2× 3(−4)(1− 2x)−5(−2)23 = (2× 3× 4)(1− 2x)−524 =
4!(1− 2x)−524
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Hallar Dnx
( 1
1− 2x
)
.
Solución.
En este caso: y = 11− 2x = (1− 2x)
−1. Calcularemos las
derivadas hasta poder generalizarla:
y ′ = −(1− 2x)−2(−2) = (1− 2x)−22 = 1!(1− 2x)−221
y ′′ = 2(−2)(1− 2x)−3(−2) = 2(1− 2x)−322 = 2!(1− 2x)−322
y ′′′ = 2(−3)(1− 2x)−4(−2)22 = (2× 3)(1− 2x)−423 =
3!(1− 2x)−423
y (4) = 2× 3(−4)(1− 2x)−5(−2)23 = (2× 3× 4)(1− 2x)−524 =
4!(1− 2x)−524
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Hallar Dnx
( 1
1− 2x
)
.
Solución.
En este caso: y = 11− 2x = (1− 2x)
−1. Calcularemos las
derivadas hasta poder generalizarla:
y ′ = −(1− 2x)−2(−2) = (1− 2x)−22 = 1!(1− 2x)−221
y ′′ = 2(−2)(1− 2x)−3(−2) = 2(1− 2x)−322 = 2!(1− 2x)−322
y ′′′ = 2(−3)(1− 2x)−4(−2)22 = (2× 3)(1− 2x)−423 =
3!(1− 2x)−423
y (4) = 2× 3(−4)(1− 2x)−5(−2)23 = (2× 3× 4)(1− 2x)−524 =
4!(1− 2x)−524
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Hallar Dnx
( 1
1− 2x
)
.
Solución.
En este caso: y = 11− 2x = (1− 2x)
−1. Calcularemos las
derivadas hasta poder generalizarla:
y ′ = −(1− 2x)−2(−2) = (1− 2x)−22 = 1!(1− 2x)−221
y ′′ = 2(−2)(1− 2x)−3(−2) = 2(1− 2x)−322 = 2!(1− 2x)−322
y ′′′ = 2(−3)(1− 2x)−4(−2)22 = (2× 3)(1− 2x)−423 =
3!(1− 2x)−423
y (4) = 2× 3(−4)(1− 2x)−5(−2)23 = (2× 3× 4)(1− 2x)−524 =
4!(1− 2x)−524
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Hallar Dnx
( 1
1− 2x
)
.
Solución.
En este caso: y = 11− 2x = (1− 2x)
−1. Calcularemos las
derivadas hasta poder generalizarla:
y ′ = −(1− 2x)−2(−2) = (1− 2x)−22 = 1!(1− 2x)−221
y ′′ = 2(−2)(1− 2x)−3(−2) = 2(1− 2x)−322 = 2!(1− 2x)−322
y ′′′ = 2(−3)(1− 2x)−4(−2)22 = (2× 3)(1− 2x)−423 =
3!(1− 2x)−423
y (4) = 2× 3(−4)(1− 2x)−5(−2)23 = (2× 3× 4)(1− 2x)−524 =
4!(1− 2x)−524
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
La quinta derivada podemos calcularla directamente:
y (5) = 5!(1− 2x)−625
Por tanto, la n-ésima derivada es:
y (n) = n!(1− 2x)−(n+1)2n
Ejemplo
Hallar y ′′ si x2 + y2 − 3x + 4y − 31 = 0
Solución.
Primero calculamos y ′ impĺıcitamente:
2x + 2yy ′ − 3 + 4y ′ = 0
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
La quinta derivada podemos calcularla directamente:
y (5) = 5!(1− 2x)−625
Por tanto, la n-ésima derivada es:
y (n) = n!(1− 2x)−(n+1)2n
Ejemplo
Hallar y ′′ si x2 + y2 − 3x + 4y − 31 = 0
Solución.
Primero calculamos y ′ impĺıcitamente:
2x + 2yy ′ − 3 + 4y ′ = 0
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
La quinta derivada podemos calcularla directamente:
y (5) = 5!(1− 2x)−625
Por tanto, la n-ésima derivada es:
y (n) = n!(1− 2x)−(n+1)2n
Ejemplo
Hallar y ′′ si x2 + y2 − 3x + 4y − 31 = 0
Solución.
Primero calculamos y ′ impĺıcitamente:
2x + 2yy ′ − 3 + 4y ′ = 0
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
La quinta derivada podemos calcularla directamente:
y (5) = 5!(1− 2x)−625
Por tanto, la n-ésima derivada es:
y (n) = n!(1− 2x)−(n+1)2n
Ejemplo
Hallar y ′′ si x2 + y2 − 3x + 4y − 31 = 0
Solución.
Primero calculamos y ′ impĺıcitamente:
2x + 2yy ′ − 3 + 4y ′ = 0
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Despejando y ′ tenemos:
y ′ = 3− 2x2y + 4
Ahora calculamos la segunda derivada usando la regla del cociente:
y ′′ = (3− 2x)
′(2y + 4)− (3− 2x)(2y + 4)′
(2y + 4)2
= (−2)(2y + 4)− (3− 2x)(2y
′)
(2y + 4)2
= −4y − 8− (6− 4x)y
′
(2y + 4)2
Como ya anteriormente ya hab́ıamos encontrado y ′, sustituimos en
esta última igualdad:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Despejando y ′ tenemos:
y ′ = 3− 2x2y + 4
Ahora calculamos la segunda derivada usando la regla del cociente:
y ′′ = (3− 2x)
′(2y + 4)− (3− 2x)(2y + 4)′
(2y + 4)2
= (−2)(2y + 4)− (3− 2x)(2y
′)
(2y + 4)2
= −4y − 8− (6− 4x)y
′
(2y + 4)2
Como ya anteriormente ya hab́ıamos encontrado y ′, sustituimos en
esta última igualdad:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Despejando y ′ tenemos:
y ′ = 3− 2x2y + 4
Ahora calculamos la segunda derivada usando la regla del cociente:
y ′′ = (3− 2x)
′(2y + 4)− (3− 2x)(2y + 4)′
(2y + 4)2
= (−2)(2y + 4)− (3− 2x)(2y
′)
(2y + 4)2
= −4y − 8− (6− 4x)y
′
(2y + 4)2
Como ya anteriormente ya hab́ıamos encontrado y ′, sustituimos en
esta última igualdad:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Despejando y ′ tenemos:
y ′ = 3− 2x2y + 4
Ahora calculamos la segunda derivada usando la regla del cociente:
y ′′ = (3− 2x)
′(2y + 4)− (3− 2x)(2y + 4)′
(2y + 4)2
= (−2)(2y + 4)− (3− 2x)(2y
′)
(2y + 4)2
= −4y − 8− (6− 4x)y
′
(2y + 4)2
Como ya anteriormente ya hab́ıamos encontrado y ′, sustituimos en
esta última igualdad:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Despejando y ′ tenemos:
y ′ = 3− 2x2y + 4
Ahora calculamos la segunda derivada usando la regla del cociente:
y ′′ = (3− 2x)
′(2y + 4)− (3− 2x)(2y + 4)′
(2y + 4)2
= (−2)(2y + 4)− (3− 2x)(2y
′)
(2y + 4)2
= −4y − 8− (6− 4x)y
′
(2y + 4)2
Como ya anteriormente ya hab́ıamos encontrado y ′, sustituimos en
esta última igualdad:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
y ′′ =
−4y − 8− (6− 4x)
(
3−2x
2y+4
)
(2y + 4)2
Efectuando las operaciones indicadas tenemos:
y ′′ = −8y
2 − 32y − 32− (18− 24x + 8x2)
(2y + 4)3
Por lo tanto,
y ′′ = −(8x
2 + 8y2 − 24x + 32y + 50)
(2y + 4)3
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
y ′′ =
−4y − 8− (6− 4x)
(
3−2x
2y+4
)
(2y + 4)2
Efectuando las operaciones indicadas tenemos:
y ′′ = −8y
2 − 32y − 32− (18− 24x + 8x2)
(2y + 4)3
Por lo tanto,
y ′′ = −(8x
2 + 8y2 − 24x + 32y + 50)
(2y + 4)3
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
y ′′ =
−4y − 8− (6− 4x)
(
3−2x
2y+4
)
(2y + 4)2
Efectuando las operaciones indicadas tenemos:
y ′′ = −8y
2 − 32y − 32− (18− 24x + 8x2)
(2y + 4)3
Por lo tanto,
y ′′ = −(8x
2 + 8y2 − 24x + 32y + 50)
(2y + 4)3
Uceda,R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Un cuerpo cae bajo la acción de la gravedad desde una posición de
reposo una distancia de s = 16t2 a los t segundos. Calcule su
aceleración.
Solución.
La velocidad después de t segundos es:
ds
dt =
d
dt (16t
2) = 32t,
es decir, la velocidad es de 32t pies/segundo.
Para obtener la aceleración, derivamos nuevamente:
Aceleración = d
2s
dt2 =
d
dt (32t) = 32
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Un cuerpo cae bajo la acción de la gravedad desde una posición de
reposo una distancia de s = 16t2 a los t segundos. Calcule su
aceleración.
Solución.
La velocidad después de t segundos es:
ds
dt =
d
dt (16t
2) = 32t,
es decir, la velocidad es de 32t pies/segundo.
Para obtener la aceleración, derivamos nuevamente:
Aceleración = d
2s
dt2 =
d
dt (32t) = 32
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Un cuerpo cae bajo la acción de la gravedad desde una posición de
reposo una distancia de s = 16t2 a los t segundos. Calcule su
aceleración.
Solución.
La velocidad después de t segundos es:
ds
dt =
d
dt (16t
2) = 32t,
es decir, la velocidad es de 32t pies/segundo.
Para obtener la aceleración, derivamos nuevamente:
Aceleración = d
2s
dt2 =
d
dt (32t) = 32
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Un cuerpo cae bajo la acción de la gravedad desde una posición de
reposo una distancia de s = 16t2 a los t segundos. Calcule su
aceleración.
Solución.
La velocidad después de t segundos es:
ds
dt =
d
dt (16t
2) = 32t,
es decir, la velocidad es de 32t pies/segundo.
Para obtener la aceleración, derivamos nuevamente:
Aceleración = d
2s
dt2 =
d
dt (32t) = 32
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Un cuerpo cae bajo la acción de la gravedad desde una posición de
reposo una distancia de s = 16t2 a los t segundos. Calcule su
aceleración.
Solución.
La velocidad después de t segundos es:
ds
dt =
d
dt (16t
2) = 32t,
es decir, la velocidad es de 32t pies/segundo.
Para obtener la aceleración, derivamos nuevamente:
Aceleración = d
2s
dt2 =
d
dt (32t) = 32
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Ejemplo
Un cuerpo cae bajo la acción de la gravedad desde una posición de
reposo una distancia de s = 16t2 a los t segundos. Calcule su
aceleración.
Solución.
La velocidad después de t segundos es:
ds
dt =
d
dt (16t
2) = 32t,
es decir, la velocidad es de 32t pies/segundo.
Para obtener la aceleración, derivamos nuevamente:
Aceleración = d
2s
dt2 =
d
dt (32t) = 32
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Por lo tanto, la aceleración del objeto, luego de t segundos es 32
pies/segundo2.
Observación
En el ejemplo anterior observamos la aceleración del objeto es
independiente de t. Esto quiere decir que un cuerpo que cae bajo
la acción de la gravedad tiene una aceleración constante de 32
pies/ segundo2.
Ejercicio
Demostrar que:
Si y = x sin x , entonces se verifica la igualdad:
x2y ′′ − 2xy ′ + (x2 + y2)y = 0
Si y = ex , entonces se satiface la ecuación: y ′′+ xy ′− y = xex
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Por lo tanto, la aceleración del objeto, luego de t segundos es 32
pies/segundo2.
Observación
En el ejemplo anterior observamos la aceleración del objeto es
independiente de t. Esto quiere decir que un cuerpo que cae bajo
la acción de la gravedad tiene una aceleración constante de 32
pies/ segundo2.
Ejercicio
Demostrar que:
Si y = x sin x , entonces se verifica la igualdad:
x2y ′′ − 2xy ′ + (x2 + y2)y = 0
Si y = ex , entonces se satiface la ecuación: y ′′+ xy ′− y = xex
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Por lo tanto, la aceleración del objeto, luego de t segundos es 32
pies/segundo2.
Observación
En el ejemplo anterior observamos la aceleración del objeto es
independiente de t. Esto quiere decir que un cuerpo que cae bajo
la acción de la gravedad tiene una aceleración constante de 32
pies/ segundo2.
Ejercicio
Demostrar que:
Si y = x sin x , entonces se verifica la igualdad:
x2y ′′ − 2xy ′ + (x2 + y2)y = 0
Si y = ex , entonces se satiface la ecuación: y ′′+ xy ′− y = xex
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Una aplicación muy interesante de la derivada es la obtención de
Máximos y Mı́nimos de función, lo cual tiene aplicaciones muy
importantes.
Suponga que la gráfica de una función y = f (x) es la curva
mostrada en la siguiente figura:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Una aplicación muy interesante de la derivada es la obtención de
Máximos y Mı́nimos de función, lo cual tiene aplicaciones muy
importantes.
Suponga que la gráfica de una función y = f (x) es la curva
mostrada en la siguiente figura:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Los puntos A y E se llaman máximos, los puntos C y G se llaman
ḿınimos y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión.
Antes de definir formalmente estos puntos, necesitamos del
siguiente concepto.
Definición (Monotońıa)
Sea f : D ⊆ R→ R una función de variable real. Decimos que f es:
Monótona Creciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Monótona Decreciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
Monótona Estrictamente Creciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) < f (y)
Monótona Estrictamente Decreciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) > f (y)
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Los puntos A y E se llaman máximos, los puntos C y G se llaman
ḿınimos y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión.
Antes de definir formalmente estos puntos, necesitamos del
siguiente concepto.
Definición (Monotońıa)
Sea f : D ⊆ R→ R una función de variable real. Decimos que f es:
Monótona Creciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Monótona Decreciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
Monótona Estrictamente Creciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) < f (y)
Monótona Estrictamente Decreciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) > f (y)
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Los puntos A y E se llaman máximos, los puntos C y G se llaman
ḿınimos y los puntosB, D, F y H se llaman puntos de inflexión.
Antes de definir formalmente estos puntos, necesitamos del
siguiente concepto.
Definición (Monotońıa)
Sea f : D ⊆ R→ R una función de variable real. Decimos que f es:
Monótona Creciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Monótona Decreciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
Monótona Estrictamente Creciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) < f (y)
Monótona Estrictamente Decreciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) > f (y)
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Los puntos A y E se llaman máximos, los puntos C y G se llaman
ḿınimos y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión.
Antes de definir formalmente estos puntos, necesitamos del
siguiente concepto.
Definición (Monotońıa)
Sea f : D ⊆ R→ R una función de variable real. Decimos que f es:
Monótona Creciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Monótona Decreciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
Monótona Estrictamente Creciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) < f (y)
Monótona Estrictamente Decreciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) > f (y)
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Los puntos A y E se llaman máximos, los puntos C y G se llaman
ḿınimos y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión.
Antes de definir formalmente estos puntos, necesitamos del
siguiente concepto.
Definición (Monotońıa)
Sea f : D ⊆ R→ R una función de variable real. Decimos que f es:
Monótona Creciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Monótona Decreciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
Monótona Estrictamente Creciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) < f (y)
Monótona Estrictamente Decreciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) > f (y)
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Los puntos A y E se llaman máximos, los puntos C y G se llaman
ḿınimos y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión.
Antes de definir formalmente estos puntos, necesitamos del
siguiente concepto.
Definición (Monotońıa)
Sea f : D ⊆ R→ R una función de variable real. Decimos que f es:
Monótona Creciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Monótona Decreciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
Monótona Estrictamente Creciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) < f (y)
Monótona Estrictamente Decreciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) > f (y)
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Los puntos A y E se llaman máximos, los puntos C y G se llaman
ḿınimos y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión.
Antes de definir formalmente estos puntos, necesitamos del
siguiente concepto.
Definición (Monotońıa)
Sea f : D ⊆ R→ R una función de variable real. Decimos que f es:
Monótona Creciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Monótona Decreciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
Monótona Estrictamente Creciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) < f (y)
Monótona Estrictamente Decreciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) > f (y)
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Los puntos A y E se llaman máximos, los puntos C y G se llaman
ḿınimos y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión.
Antes de definir formalmente estos puntos, necesitamos del
siguiente concepto.
Definición (Monotońıa)
Sea f : D ⊆ R→ R una función de variable real. Decimos que f es:
Monótona Creciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Monótona Decreciente si: x , y ∈ D, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
Monótona Estrictamente Creciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) < f (y)
Monótona Estrictamente Decreciente si:
x , y ∈ D, x < y ⇒ f (x) > f (y)
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Monotońıa de una función f
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Teorema
Sea f : [a, b] ⊂ R→ R una función continua en [a, b] y
diferenciable en (a, b). Entonces,
1 Si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es creciente en [a, b]
2 Si f ′(x) < 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es decreciente en [a, b]
Ejemplo
Analizar la monotońıa de f (x) = 2x2 − 4x + 5.
Solución:
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función, analizamos la primera derivada de f , es decir
f ′(x) = 4x − 4.
Determinamos los intervalos de x en los cuales la derivada toma
valores positivos o negativos, factorizando f ′(x) = 4(x − 1).
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Teorema
Sea f : [a, b] ⊂ R→ R una función continua en [a, b] y
diferenciable en (a, b). Entonces,
1 Si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es creciente en [a, b]
2 Si f ′(x) < 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es decreciente en [a, b]
Ejemplo
Analizar la monotońıa de f (x) = 2x2 − 4x + 5.
Solución:
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función, analizamos la primera derivada de f , es decir
f ′(x) = 4x − 4.
Determinamos los intervalos de x en los cuales la derivada toma
valores positivos o negativos, factorizando f ′(x) = 4(x − 1).
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Teorema
Sea f : [a, b] ⊂ R→ R una función continua en [a, b] y
diferenciable en (a, b). Entonces,
1 Si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es creciente en [a, b]
2 Si f ′(x) < 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es decreciente en [a, b]
Ejemplo
Analizar la monotońıa de f (x) = 2x2 − 4x + 5.
Solución:
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función, analizamos la primera derivada de f , es decir
f ′(x) = 4x − 4.
Determinamos los intervalos de x en los cuales la derivada toma
valores positivos o negativos, factorizando f ′(x) = 4(x − 1).
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Teorema
Sea f : [a, b] ⊂ R→ R una función continua en [a, b] y
diferenciable en (a, b). Entonces,
1 Si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es creciente en [a, b]
2 Si f ′(x) < 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es decreciente en [a, b]
Ejemplo
Analizar la monotońıa de f (x) = 2x2 − 4x + 5.
Solución:
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función, analizamos la primeraderivada de f , es decir
f ′(x) = 4x − 4.
Determinamos los intervalos de x en los cuales la derivada toma
valores positivos o negativos, factorizando f ′(x) = 4(x − 1).
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Teorema
Sea f : [a, b] ⊂ R→ R una función continua en [a, b] y
diferenciable en (a, b). Entonces,
1 Si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es creciente en [a, b]
2 Si f ′(x) < 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es decreciente en [a, b]
Ejemplo
Analizar la monotońıa de f (x) = 2x2 − 4x + 5.
Solución:
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función, analizamos la primera derivada de f , es decir
f ′(x) = 4x − 4.
Determinamos los intervalos de x en los cuales la derivada toma
valores positivos o negativos, factorizando f ′(x) = 4(x − 1).
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Teorema
Sea f : [a, b] ⊂ R→ R una función continua en [a, b] y
diferenciable en (a, b). Entonces,
1 Si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es creciente en [a, b]
2 Si f ′(x) < 0, ∀ x ∈ [a, b], entonces f es decreciente en [a, b]
Ejemplo
Analizar la monotońıa de f (x) = 2x2 − 4x + 5.
Solución:
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función, analizamos la primera derivada de f , es decir
f ′(x) = 4x − 4.
Determinamos los intervalos de x en los cuales la derivada toma
valores positivos o negativos, factorizando f ′(x) = 4(x − 1).
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Luego, observamos que:
x f ′(x) f
x < 1 Negativa (-) decrece
x > 1 Positiva (+) crece
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Luego, observamos que:
x f ′(x) f
x < 1 Negativa (-) decrece
x > 1 Positiva (+) crece
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Máximos y Ḿınimos de una Función
Definición
Sea f : I ⊆ R→ R y sea x0 ∈ I. Entonces,
1 f (x0) es el valor máximo de f en I, si f (x0) ≥ f (x), ∀ x ∈ I
(El mayor de todos)
2 f (x0) es el valor ḿınimo de f en I, si f (x0) ≤ f (x), ∀ x ∈ I
(El menor de todos)
Al máximo y al ḿınimo de f se lo llama VALOR EXTREMO.
Ahora daremos las condiciones para garantizar la existencia de los
valores extremos.
Teorema
Si f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
entonces f alcanza un valor máximo y un valor ḿınimo en [a, b].
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Máximos y Ḿınimos de una Función
Definición
Sea f : I ⊆ R→ R y sea x0 ∈ I. Entonces,
1 f (x0) es el valor máximo de f en I, si f (x0) ≥ f (x), ∀ x ∈ I
(El mayor de todos)
2 f (x0) es el valor ḿınimo de f en I, si f (x0) ≤ f (x), ∀ x ∈ I
(El menor de todos)
Al máximo y al ḿınimo de f se lo llama VALOR EXTREMO.
Ahora daremos las condiciones para garantizar la existencia de los
valores extremos.
Teorema
Si f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
entonces f alcanza un valor máximo y un valor ḿınimo en [a, b].
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Máximos y Ḿınimos de una Función
Definición
Sea f : I ⊆ R→ R y sea x0 ∈ I. Entonces,
1 f (x0) es el valor máximo de f en I, si f (x0) ≥ f (x), ∀ x ∈ I
(El mayor de todos)
2 f (x0) es el valor ḿınimo de f en I, si f (x0) ≤ f (x), ∀ x ∈ I
(El menor de todos)
Al máximo y al ḿınimo de f se lo llama VALOR EXTREMO.
Ahora daremos las condiciones para garantizar la existencia de los
valores extremos.
Teorema
Si f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
entonces f alcanza un valor máximo y un valor ḿınimo en [a, b].
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Máximos y Ḿınimos de una Función
Definición
Sea f : I ⊆ R→ R y sea x0 ∈ I. Entonces,
1 f (x0) es el valor máximo de f en I, si f (x0) ≥ f (x), ∀ x ∈ I
(El mayor de todos)
2 f (x0) es el valor ḿınimo de f en I, si f (x0) ≤ f (x), ∀ x ∈ I
(El menor de todos)
Al máximo y al ḿınimo de f se lo llama VALOR EXTREMO.
Ahora daremos las condiciones para garantizar la existencia de los
valores extremos.
Teorema
Si f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
entonces f alcanza un valor máximo y un valor ḿınimo en [a, b].
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Máximos y Ḿınimos de una Función
Definición
Sea f : I ⊆ R→ R y sea x0 ∈ I. Entonces,
1 f (x0) es el valor máximo de f en I, si f (x0) ≥ f (x), ∀ x ∈ I
(El mayor de todos)
2 f (x0) es el valor ḿınimo de f en I, si f (x0) ≤ f (x), ∀ x ∈ I
(El menor de todos)
Al máximo y al ḿınimo de f se lo llama VALOR EXTREMO.
Ahora daremos las condiciones para garantizar la existencia de los
valores extremos.
Teorema
Si f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
entonces f alcanza un valor máximo y un valor ḿınimo en [a, b].
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Máximos y Ḿınimos de una Función
Definición
Sea f : I ⊆ R→ R y sea x0 ∈ I. Entonces,
1 f (x0) es el valor máximo de f en I, si f (x0) ≥ f (x), ∀ x ∈ I
(El mayor de todos)
2 f (x0) es el valor ḿınimo de f en I, si f (x0) ≤ f (x), ∀ x ∈ I
(El menor de todos)
Al máximo y al ḿınimo de f se lo llama VALOR EXTREMO.
Ahora daremos las condiciones para garantizar la existencia de los
valores extremos.
Teorema
Si f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
entonces f alcanza un valor máximo y un valor ḿınimo en [a, b].
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Definición (Puntos Cŕıticos)
Sea f : [a, b]→ R y sea x0 ∈ [a, b]. Entonces x0 es llamado Punto
Cŕıtico si es:
Un punto extremo del intervalo, es decir, x0 = a, x0 = b.
Estos serán denominados Puntos Cŕıticos de Frontera.
Un punto donde la derivada es igual a cero, es decir,
f ′(x0) = 0. Este será llamado Punto Critico Estacionario.
(En este punto la recta tangente es horizontal).
Un punto donde la derivada no existe, es decir, f ′(x0) no está
definida. Este sera llamado Punto Critico Singular. (En
estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo
f (x) = |x |, tiene un punto critico singular (pico) en x = 0)
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] que contiene a x0.
Si f (x0) es un valor extremo, entonces x0 es un Punto Critico.
Definición (Puntos Cŕıticos)
Sea f : [a, b]→ R y sea x0 ∈ [a, b]. Entonces x0 es llamado Punto
Cŕıtico si es:
Un punto extremo del intervalo, es decir, x0 = a, x0 = b.
Estos serán denominados Puntos Cŕıticos de Frontera.
Un punto donde la derivada es igual a cero, es decir,
f ′(x0) = 0. Este será llamado Punto Critico Estacionario.
(En este punto la recta tangente es horizontal).
Un punto donde la derivada no existe,es decir, f ′(x0) no está
definida. Este sera llamado Punto Critico Singular. (En
estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo
f (x) = |x |, tiene un punto critico singular (pico) en x = 0)
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] que contiene a x0.
Si f (x0) es un valor extremo, entonces x0 es un Punto Critico.
Definición (Puntos Cŕıticos)
Sea f : [a, b]→ R y sea x0 ∈ [a, b]. Entonces x0 es llamado Punto
Cŕıtico si es:
Un punto extremo del intervalo, es decir, x0 = a, x0 = b.
Estos serán denominados Puntos Cŕıticos de Frontera.
Un punto donde la derivada es igual a cero, es decir,
f ′(x0) = 0. Este será llamado Punto Critico Estacionario.
(En este punto la recta tangente es horizontal).
Un punto donde la derivada no existe, es decir, f ′(x0) no está
definida. Este sera llamado Punto Critico Singular. (En
estos puntos la gráfica de f tiene unos picos.
Por ejemplo
f (x) = |x |, tiene un punto critico singular (pico) en x = 0)
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] que contiene a x0.
Si f (x0) es un valor extremo, entonces x0 es un Punto Critico.
Definición (Puntos Cŕıticos)
Sea f : [a, b]→ R y sea x0 ∈ [a, b]. Entonces x0 es llamado Punto
Cŕıtico si es:
Un punto extremo del intervalo, es decir, x0 = a, x0 = b.
Estos serán denominados Puntos Cŕıticos de Frontera.
Un punto donde la derivada es igual a cero, es decir,
f ′(x0) = 0. Este será llamado Punto Critico Estacionario.
(En este punto la recta tangente es horizontal).
Un punto donde la derivada no existe, es decir, f ′(x0) no está
definida. Este sera llamado Punto Critico Singular. (En
estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo
f (x) = |x |, tiene un punto critico singular (pico) en x = 0)
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] que contiene a x0.
Si f (x0) es un valor extremo, entonces x0 es un Punto Critico.
Definición (Puntos Cŕıticos)
Sea f : [a, b]→ R y sea x0 ∈ [a, b]. Entonces x0 es llamado Punto
Cŕıtico si es:
Un punto extremo del intervalo, es decir, x0 = a, x0 = b.
Estos serán denominados Puntos Cŕıticos de Frontera.
Un punto donde la derivada es igual a cero, es decir,
f ′(x0) = 0. Este será llamado Punto Critico Estacionario.
(En este punto la recta tangente es horizontal).
Un punto donde la derivada no existe, es decir, f ′(x0) no está
definida. Este sera llamado Punto Critico Singular. (En
estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo
f (x) = |x |, tiene un punto critico singular (pico) en x = 0)
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] que contiene a x0.
Si f (x0) es un valor extremo, entonces x0 es un Punto Critico.
Definición (Puntos Cŕıticos)
Sea f : [a, b]→ R y sea x0 ∈ [a, b]. Entonces x0 es llamado Punto
Cŕıtico si es:
Un punto extremo del intervalo, es decir, x0 = a, x0 = b.
Estos serán denominados Puntos Cŕıticos de Frontera.
Un punto donde la derivada es igual a cero, es decir,
f ′(x0) = 0. Este será llamado Punto Critico Estacionario.
(En este punto la recta tangente es horizontal).
Un punto donde la derivada no existe, es decir, f ′(x0) no está
definida. Este sera llamado Punto Critico Singular. (En
estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo
f (x) = |x |, tiene un punto critico singular (pico) en x = 0)
Teorema
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] que contiene a x0.
Si f (x0) es un valor extremo, entonces x0 es un Punto Critico.
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Ejemplo
Determinar los extremos para f (x) = 2x2 − 4x + 5 en [0, 3].
Solución.
Vamos a analizar solamente los puntos cŕıticos.
1 Puntos Cŕıticos de Frontera: x0 = 0 y x0 = 3.
2 Puntos Cŕıticos Estacionarios: Para obtenerlos derivamos e
igualamos a cero: f ′(x) = 4x − 4 = 4(x − 1) = 0. Entonces el
punto cŕıtico estacionario es x0 = 1.
3 Puntos Cŕıticos Singulares: Al observar la derivada notamos
que está definida para toda x , por tanto, no existe puntos
cŕıticos singulares.
Ahora vamos a clasificar los puntos cŕıticos, para lo cual,
evaluamos la función en cada uno de los puntos cŕıticos:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Ejemplo
Determinar los extremos para f (x) = 2x2 − 4x + 5 en [0, 3].
Solución.
Vamos a analizar solamente los puntos cŕıticos.
1 Puntos Cŕıticos de Frontera: x0 = 0 y x0 = 3.
2 Puntos Cŕıticos Estacionarios: Para obtenerlos derivamos e
igualamos a cero: f ′(x) = 4x − 4 = 4(x − 1) = 0. Entonces el
punto cŕıtico estacionario es x0 = 1.
3 Puntos Cŕıticos Singulares: Al observar la derivada notamos
que está definida para toda x , por tanto, no existe puntos
cŕıticos singulares.
Ahora vamos a clasificar los puntos cŕıticos, para lo cual,
evaluamos la función en cada uno de los puntos cŕıticos:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Ejemplo
Determinar los extremos para f (x) = 2x2 − 4x + 5 en [0, 3].
Solución.
Vamos a analizar solamente los puntos cŕıticos.
1 Puntos Cŕıticos de Frontera: x0 = 0 y x0 = 3.
2 Puntos Cŕıticos Estacionarios: Para obtenerlos derivamos e
igualamos a cero: f ′(x) = 4x − 4 = 4(x − 1) = 0. Entonces el
punto cŕıtico estacionario es x0 = 1.
3 Puntos Cŕıticos Singulares: Al observar la derivada notamos
que está definida para toda x , por tanto, no existe puntos
cŕıticos singulares.
Ahora vamos a clasificar los puntos cŕıticos, para lo cual,
evaluamos la función en cada uno de los puntos cŕıticos:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Ejemplo
Determinar los extremos para f (x) = 2x2 − 4x + 5 en [0, 3].
Solución.
Vamos a analizar solamente los puntos cŕıticos.
1 Puntos Cŕıticos de Frontera: x0 = 0 y x0 = 3.
2 Puntos Cŕıticos Estacionarios: Para obtenerlos derivamos e
igualamos a cero: f ′(x) = 4x − 4 = 4(x − 1) = 0. Entonces el
punto cŕıtico estacionario es x0 = 1.
3 Puntos Cŕıticos Singulares: Al observar la derivada notamos
que está definida para toda x , por tanto, no existe puntos
cŕıticos singulares.
Ahora vamos a clasificar los puntos cŕıticos, para lo cual,
evaluamos la función en cada uno de los puntos cŕıticos:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa
Criterio de la Primera Derivada
Ejemplo
Determinar los extremos para f (x) = 2x2 − 4x + 5 en [0, 3].
Solución.
Vamos a analizar solamente los puntos cŕıticos.
1 Puntos Cŕıticos de Frontera: x0 = 0 y x0 = 3.
2 Puntos Cŕıticos Estacionarios: Para obtenerlos derivamos e
igualamos a cero: f ′(x) = 4x − 4 = 4(x − 1) = 0. Entonces el
punto cŕıtico estacionario es x0 = 1.
3 Puntos Cŕıticos Singulares: Al observar la derivada notamos
que está definida para toda x , por tanto, no existe puntos
cŕıticos singulares.
Ahora vamos a clasificar los puntos cŕıticos, para lo cual,
evaluamos la función en cada uno de los puntos cŕıticos:
Uceda, R.A. Regla de la Cadena - Criterio Primera Derivada
Preliminares
Diferenciación
Derivadas de Orden Superior
Máximos y Ḿınimos de una Función
Monotońıa