Semana 12 - La Antiderivada

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Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
La Antiderivada
Docente: Rafael Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Trujillo
22 de junio de 2023
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Interpreta y determina la antiderivada de funciones conocidas
Aplica las propiedades y Teoremas sobre antiderivadas para la
resolución de problemas.
Utiliza la técnica de sustitución para hallar la antiderivada de
funciones.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Interpreta y determina la antiderivada de funciones conocidas
Aplica las propiedades y Teoremas sobre antiderivadas para la
resolución de problemas.
Utiliza la técnica de sustitución para hallar la antiderivada de
funciones.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Interpreta y determina la antiderivada de funciones conocidas
Aplica las propiedades y Teoremas sobre antiderivadas para la
resolución de problemas.
Utiliza la técnica de sustitución para hallar la antiderivada de
funciones.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante:
Interpreta y determina la antiderivada de funciones conocidas
Aplica las propiedades y Teoremas sobre antiderivadas para la
resolución de problemas.
Utiliza la técnica de sustitución para hallar la antiderivada de
funciones.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Introducción
En la antigüedad clásica exist́ıan dos problemas a resolver: el de la
recta tangente y el área bajo una curva.
El problema de la determinación de la ecuación de la recta
tangente se resuelve con el uso de la derivada y fue tratado en la
primera unidad.
El problema del cálculo del área bajo una curva se resuelve con las
nociones del cálculo integral, las cuales se tratarán en la presente
unidad.
Empezaremos esta primera parte definiendo y calculando las
antiderivadas y posteriormente usaremos las antiderivadas para los
propósitos del cálculo integral.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Introducción
En la antigüedad clásica exist́ıan dos problemas a resolver: el de la
recta tangente y el área bajo una curva.
El problema de la determinación de la ecuación de la recta
tangente se resuelve con el uso de la derivada y fue tratado en la
primera unidad.
El problema del cálculo del área bajo una curva se resuelve con las
nociones del cálculo integral, las cuales se tratarán en la presente
unidad.
Empezaremos esta primera parte definiendo y calculando las
antiderivadas y posteriormente usaremos las antiderivadas para los
propósitos del cálculo integral.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Introducción
En la antigüedad clásica exist́ıan dos problemas a resolver: el de la
recta tangente y el área bajo una curva.
El problema de la determinación de la ecuación de la recta
tangente se resuelve con el uso de la derivada y fue tratado en la
primera unidad.
El problema del cálculo del área bajo una curva se resuelve con las
nociones del cálculo integral, las cuales se tratarán en la presente
unidad.
Empezaremos esta primera parte definiendo y calculando las
antiderivadas y posteriormente usaremos las antiderivadas para los
propósitos del cálculo integral.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Introducción
En la antigüedad clásica exist́ıan dos problemas a resolver: el de la
recta tangente y el área bajo una curva.
El problema de la determinación de la ecuación de la recta
tangente se resuelve con el uso de la derivada y fue tratado en la
primera unidad.
El problema del cálculo del área bajo una curva se resuelve con las
nociones del cálculo integral, las cuales se tratarán en la presente
unidad.
Empezaremos esta primera parte definiendo y calculando las
antiderivadas y posteriormente usaremos las antiderivadas para los
propósitos del cálculo integral.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Primitivas
Definición
Una función F se denomina primitiva de una función f en un
intervalo I si F ′(x) = f (x), para todo x ∈ I
Ejemplo
F (x) = x2 es la primitiva de f (x) = 2x
F (x) = sin x es la primitiva de f (x) = cos x
F (x) = ln(x) es la primitiva de f (x) = 1x , para x > 0
Nota
Una función tiene más de una primitiva. Por ejemplo, una primitiva
de la función f (x) = 2x es F (x) = x2, pero también lo son
G(x) = x2 + 1, H(x) = x2 − 2, puesto que al derivar estas
funciones obtenemos f .
Uceda, R.A. La Antiderivada
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La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Primitivas
Definición
Una función F se denomina primitiva de una función f en un
intervalo I si F ′(x) = f (x), para todo x ∈ I
Ejemplo
F (x) = x2 es la primitiva de f (x) = 2x
F (x) = sin x es la primitiva de f (x) = cos x
F (x) = ln(x) es la primitiva de f (x) = 1x , para x > 0
Nota
Una función tiene más de una primitiva. Por ejemplo, una primitiva
de la función f (x) = 2x es F (x) = x2, pero también lo son
G(x) = x2 + 1, H(x) = x2 − 2, puesto que al derivar estas
funciones obtenemos f .
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Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Primitivas
Definición
Una función F se denomina primitiva de una función f en un
intervalo I si F ′(x) = f (x), para todo x ∈ I
Ejemplo
F (x) = x2 es la primitiva de f (x) = 2x
F (x) = sin x es la primitiva de f (x) = cos x
F (x) = ln(x) es la primitiva de f (x) = 1x , para x > 0
Nota
Una función tiene más de una primitiva. Por ejemplo, una primitiva
de la función f (x) = 2x es F (x) = x2, pero también lo son
G(x) = x2 + 1, H(x) = x2 − 2, puesto que al derivar estas
funciones obtenemos f .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Primitivas
Definición
Una función F se denomina primitiva de una función f en un
intervalo I si F ′(x) = f (x), para todo x ∈ I
Ejemplo
F (x) = x2 es la primitiva de f (x) = 2x
F (x) = sin x es la primitiva de f (x) = cos x
F (x) = ln(x) es la primitiva de f (x) = 1x , para x > 0
Nota
Una función tiene más de una primitiva. Por ejemplo, una primitiva
de la función f (x) = 2x es F (x) = x2, pero también lo son
G(x) = x2 + 1, H(x) = x2 − 2, puesto que al derivar estas
funciones obtenemos f .
Uceda, R.A. La Antiderivada
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Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Primitivas
Definición
Una función F se denomina primitiva de una función f en un
intervalo I si F ′(x) = f (x), para todo x ∈ I
Ejemplo
F (x) = x2 es la primitiva de f (x) = 2x
F (x) = sin x es la primitiva de f (x) = cos x
F (x) = ln(x) es la primitiva de f (x) = 1x , para x > 0
Nota
Una función tiene más de una primitiva.Por ejemplo, una primitiva
de la función f (x) = 2x es F (x) = x2, pero también lo son
G(x) = x2 + 1, H(x) = x2 − 2, puesto que al derivar estas
funciones obtenemos f .
Uceda, R.A. La Antiderivada
En general, las funciones con derivadas idénticas se diferencian sólo
en una constante. En resumen:
Si F (x) y G(x) son primitivas de la función continua f (x) en un
intervalo I, entonces existe una constante C tal que
G(x) = F (x) + C .
Observación
La propiedad anterior nos dice que podemos representar toda la
familia de primitivas de una función mediante la adición de un
valor constante a una primitiva conocida. Existe una interpretación
geométrica para este hecho: Cuando se dice que F y G son
primitivas de f , significa que,
F ′(x) = G ′(x) = f (x),
luego la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = F (x)
para cada valor de x es la misma que la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de y = G(x) en x .
En general, las funciones con derivadas idénticas se diferencian sólo
en una constante. En resumen:
Si F (x) y G(x) son primitivas de la función continua f (x) en un
intervalo I, entonces existe una constante C tal que
G(x) = F (x) + C .
Observación
La propiedad anterior nos dice que podemos representar toda la
familia de primitivas de una función mediante la adición de un
valor constante a una primitiva conocida. Existe una interpretación
geométrica para este hecho: Cuando se dice que F y G son
primitivas de f , significa que,
F ′(x) = G ′(x) = f (x),
luego la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = F (x)
para cada valor de x es la misma que la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de y = G(x) en x .
En general, las funciones con derivadas idénticas se diferencian sólo
en una constante. En resumen:
Si F (x) y G(x) son primitivas de la función continua f (x) en un
intervalo I, entonces existe una constante C tal que
G(x) = F (x) + C .
Observación
La propiedad anterior nos dice que podemos representar toda la
familia de primitivas de una función mediante la adición de un
valor constante a una primitiva conocida. Existe una interpretación
geométrica para este hecho: Cuando se dice que F y G son
primitivas de f , significa que,
F ′(x) = G ′(x) = f (x),
luego la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = F (x)
para cada valor de x es la misma que la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de y = G(x) en x .
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
En otras palabras, la gráfica de G(x) es una traslación vertical de
F (x).
En la figura se muestra la gráfica de algunas primitivas de
f (x) = 2x .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
En otras palabras, la gráfica de G(x) es una traslación vertical de
F (x).
En la figura se muestra la gráfica de algunas primitivas de
f (x) = 2x .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Integral Indefinida
Definición
Se denomina integral indefinida de una función continua f (x) a
la familia de todas sus primitivas. Simbólicamente se denota por:∫
f (x)dx = F (x) + c
donde C es una constante F es una primitiva de f para todo x en
un intervalo I.
Reglas Básicas de Integración
Sean f y g funciones continuas en un intervalo I y k ∈ R una
constante. Se verifican las propiedades siguientes:∫
kdx = kx + C∫
xndx = x
n+1
n + 1 + C
Integral Indefinida
Definición
Se denomina integral indefinida de una función continua f (x) a
la familia de todas sus primitivas. Simbólicamente se denota por:∫
f (x)dx = F (x) + c
donde C es una constante F es una primitiva de f para todo x en
un intervalo I.
Reglas Básicas de Integración
Sean f y g funciones continuas en un intervalo I y k ∈ R una
constante. Se verifican las propiedades siguientes:∫
kdx = kx + C
∫
xndx = x
n+1
n + 1 + C
Integral Indefinida
Definición
Se denomina integral indefinida de una función continua f (x) a
la familia de todas sus primitivas. Simbólicamente se denota por:∫
f (x)dx = F (x) + c
donde C es una constante F es una primitiva de f para todo x en
un intervalo I.
Reglas Básicas de Integración
Sean f y g funciones continuas en un intervalo I y k ∈ R una
constante. Se verifican las propiedades siguientes:∫
kdx = kx + C∫
xndx = x
n+1
n + 1 + C
Integral Indefinida
Definición
Se denomina integral indefinida de una función continua f (x) a
la familia de todas sus primitivas. Simbólicamente se denota por:∫
f (x)dx = F (x) + c
donde C es una constante F es una primitiva de f para todo x en
un intervalo I.
Reglas Básicas de Integración
Sean f y g funciones continuas en un intervalo I y k ∈ R una
constante. Se verifican las propiedades siguientes:∫
kdx = kx + C∫
xndx = x
n+1
n + 1 + C
Integral Indefinida
Definición
Se denomina integral indefinida de una función continua f (x) a
la familia de todas sus primitivas. Simbólicamente se denota por:∫
f (x)dx = F (x) + c
donde C es una constante F es una primitiva de f para todo x en
un intervalo I.
Reglas Básicas de Integración
Sean f y g funciones continuas en un intervalo I y k ∈ R una
constante. Se verifican las propiedades siguientes:∫
kdx = kx + C∫
xndx = x
n+1
n + 1 + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C
∫
ax dx = a
x
ln a + C∫
cos xdx = sin x + C∫
sin xdx = − cos x + C∫
sec2 xdx = tan x + C∫
sec x tan xdx = sec x + C∫
csc2 xdx = − cot x + C∫
csc x tan x = − csc x + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C∫
ax dx = a
x
ln a + C
∫
cos xdx = sin x + C∫
sin xdx = − cos x + C∫
sec2 xdx = tan x + C∫
sec x tan xdx = sec x + C∫
csc2 xdx = − cot x + C∫
csc x tan x = − csc x + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C∫
ax dx = a
x
ln a + C∫
cos xdx = sin x + C
∫
sin xdx = − cos x + C∫
sec2 xdx = tan x + C∫
sec x tan xdx = sec x + C∫
csc2 xdx = − cot x + C∫
csc x tan x = − csc x + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C∫
ax dx = a
x
ln a + C∫
cos xdx = sin x + C∫
sin xdx = − cos x + C
∫
sec2 xdx = tan x + C∫
sec x tan xdx = sec x + C∫
csc2 xdx = − cot x + C∫
csc x tan x = − csc x + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C∫
ax dx = a
x
ln a + C∫
cos xdx = sin x + C∫
sin xdx = − cos x + C∫
sec2 xdx = tan x + C
∫
sec x tan xdx = sec x + C∫
csc2 xdx = − cot x + C∫
csc x tan x = − csc x + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C∫
ax dx = a
x
ln a + C∫
cos xdx = sin x + C∫
sin xdx = − cos x + C∫
sec2 xdx = tan x + C∫
sec x tan xdx = sec x + C
∫
csc2 xdx = − cot x + C∫
csc x tan x = − csc x + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C∫
ax dx = a
x
ln a + C∫
cos xdx = sin x + C∫
sin xdx = − cos x + C∫
sec2 xdx = tan x + C∫
sec x tan xdx = sec x + C∫
csc2 xdx = − cot x + C
∫
csc x tan x = − csc x + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C∫
ax dx = a
x
ln a + C∫
cos xdx = sin x + C∫
sin xdx = − cos x + C∫
sec2 xdx = tan x + C∫
sec x tan xdx = sec x + C∫
csc2 xdx = − cot x + C∫
csc x tan x = − csc x + C
∫ 1
x dx = ln |x |+ C∫
ex dx = ex + C∫
ax dx = a
x
ln a + C∫
cos xdx = sin x + C∫
sin xdx = − cos x + C∫
sec2 xdx = tan x + C∫
sec x tan xdx = sec x + C∫
csc2 xdx = − cot x + C∫
csc x tan x = − csc x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C
∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C∫ dx
a2 + x2 =
1
a arctan
(x
a
)
+ C∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C∫
sinh xdx = cosh x + C∫
cosh xdx = sinh x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C
∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C∫ dx
a2 + x2 =
1
a arctan
(x
a
)
+ C∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C∫
sinh xdx = cosh x + C∫
cosh xdx = sinh x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C
∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C∫ dx
a2 + x2 =1
a arctan
(x
a
)
+ C∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C∫
sinh xdx = cosh x + C∫
cosh xdx = sinh x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C
∫ dx
a2 + x2 =
1
a arctan
(x
a
)
+ C∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C∫
sinh xdx = cosh x + C∫
cosh xdx = sinh x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C∫ dx
a2 + x2 =
1
a arctan
(x
a
)
+ C
∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C∫
sinh xdx = cosh x + C∫
cosh xdx = sinh x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C∫ dx
a2 + x2 =
1
a arctan
(x
a
)
+ C∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C
∫
sinh xdx = cosh x + C∫
cosh xdx = sinh x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C∫ dx
a2 + x2 =
1
a arctan
(x
a
)
+ C∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C∫
sinh xdx = cosh x + C
∫
cosh xdx = sinh x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C∫ dx
a2 + x2 =
1
a arctan
(x
a
)
+ C∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C∫
sinh xdx = cosh x + C∫
cosh xdx = sinh x + C
∫
tan xdx = − ln | cos x |+ C∫
cot xdx = ln | sin x |+ C∫
sec xdx = ln | sec x + tan x |+ C∫
csc xdx = ln | csc x − cot x |+ C∫ dx√
a2 − x2
= arcsin
(x
a
)
+ C∫ dx
a2 + x2 =
1
a arctan
(x
a
)
+ C∫ dx
x
√
x2 − a2
= 1a arcsin
( |x |
a
)
+ C∫
sinh xdx = cosh x + C∫
cosh xdx = sinh x + C
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La integral indefinida verifica las propiedades de linealidad, es decir:∫
kf (x)dx = k
∫
f (x)dx , k ∈ R
∫
[f (x)± g(x)]dx =
∫
f (x)dx ±
∫
g(x)dx
Ejemplo
Calcular
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx .
Solución.
Aplicando propiedades y fórmulas:
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx =
∫ 2
x dx +
∫
3 sin xdx −
∫
4ex dx
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La integral indefinida verifica las propiedades de linealidad, es decir:∫
kf (x)dx = k
∫
f (x)dx , k ∈ R∫
[f (x)± g(x)]dx =
∫
f (x)dx ±
∫
g(x)dx
Ejemplo
Calcular
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx .
Solución.
Aplicando propiedades y fórmulas:
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx =
∫ 2
x dx +
∫
3 sin xdx −
∫
4ex dx
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
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Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La integral indefinida verifica las propiedades de linealidad, es decir:∫
kf (x)dx = k
∫
f (x)dx , k ∈ R∫
[f (x)± g(x)]dx =
∫
f (x)dx ±
∫
g(x)dx
Ejemplo
Calcular
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx .
Solución.
Aplicando propiedades y fórmulas:
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx =
∫ 2
x dx +
∫
3 sin xdx −
∫
4ex dx
Uceda, R.A. La Antiderivada
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La Integral Indefinida
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Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La integral indefinida verifica las propiedades de linealidad, es decir:∫
kf (x)dx = k
∫
f (x)dx , k ∈ R∫
[f (x)± g(x)]dx =
∫
f (x)dx ±
∫
g(x)dx
Ejemplo
Calcular
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx .
Solución.
Aplicando propiedades y fórmulas:
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx =
∫ 2
x dx +
∫
3 sin xdx −
∫
4ex dx
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Propiedades de la Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La integral indefinida verifica las propiedades de linealidad, es decir:∫
kf (x)dx = k
∫
f (x)dx , k ∈ R∫
[f (x)± g(x)]dx =
∫
f (x)dx ±
∫
g(x)dx
Ejemplo
Calcular
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx .
Solución.
Aplicando propiedades y fórmulas:
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx =
∫ 2
x dx +
∫
3 sin xdx −
∫
4ex dx
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La integral indefinida verifica las propiedades de linealidad, es decir:∫
kf (x)dx = k
∫
f (x)dx , k ∈ R∫
[f (x)± g(x)]dx =
∫
f (x)dx ±
∫
g(x)dx
Ejemplo
Calcular
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx .
Solución.
Aplicando propiedades y fórmulas:
∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx =
∫ 2
x dx +
∫
3 sin xdx −
∫
4ex dx
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
= 2
∫ dx
x + 3
∫
sin xdx − 4
∫
ex dx
= 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C .
Por lo tanto,∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx = 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C
Ejemplo
Calcular
∫ x2 + 1
x2 dx .
Solución.
Realizando un trabajo algebraico en el integrando y usando las
propiedades antes vistas obtenemos:
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
= 2
∫ dx
x + 3
∫
sin xdx − 4
∫
ex dx
= 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C .
Por lo tanto,∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx = 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C
Ejemplo
Calcular
∫ x2 + 1
x2 dx .
Solución.
Realizando un trabajo algebraico en el integrando y usando las
propiedades antes vistas obtenemos:
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
= 2
∫ dx
x + 3
∫
sin xdx − 4
∫
ex dx
= 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C .
Por lo tanto,∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx = 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C
Ejemplo
Calcular
∫ x2 + 1
x2 dx .
Solución.
Realizando un trabajo algebraico en el integrando y usando las
propiedades antes vistas obtenemos:
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
= 2
∫ dx
x + 3
∫
sin xdx − 4
∫
ex dx
= 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C .
Por lo tanto,∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx = 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C
Ejemplo
Calcular
∫ x2 + 1
x2 dx .
Solución.
Realizando un trabajo algebraico en el integrando y usando las
propiedades antes vistas obtenemos:
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
= 2
∫ dx
x + 3
∫
sin xdx − 4
∫
ex dx
= 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C .
Por lo tanto,∫ (2
x + 3 sin x − 4e
x
)
dx = 2 ln |x | − 3 cos x − 4ex + C
Ejemplo
Calcular
∫ x2 + 1
x2 dx .
Solución.
Realizando un trabajo algebraico en el integrando y usando las
propiedades antes vistas obtenemos:
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
∫ x2 + 1
x2 dx =
∫ (
1 + 1x2
)
dx =
∫
1dx +
∫
x−2dx = x − 1x + C
Ejemplo
Calcular
∫
x2
√
xdx .
Solución
Multiplicando potencias de igual base y de las propiedades
anteriores se sigue que:∫
x2
√
xdx =
∫
x2(x
1
2 )dx =
∫
x
5
2 dx = 27x
7
2 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
∫ x2 + 1
x2 dx =
∫ (
1 + 1x2
)
dx =
∫
1dx +
∫
x−2dx = x − 1x +C
Ejemplo
Calcular
∫
x2
√
xdx .
Solución
Multiplicando potencias de igual base y de las propiedades
anteriores se sigue que:∫
x2
√
xdx =
∫
x2(x
1
2 )dx =
∫
x
5
2 dx = 27x
7
2 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
∫ x2 + 1
x2 dx =
∫ (
1 + 1x2
)
dx =
∫
1dx +
∫
x−2dx = x − 1x + C
Ejemplo
Calcular
∫
x2
√
xdx .
Solución
Multiplicando potencias de igual base y de las propiedades
anteriores se sigue que:∫
x2
√
xdx =
∫
x2(x
1
2 )dx =
∫
x
5
2 dx = 27x
7
2 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ejemplo
Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal
forma que después de t años su altura h(t) cambia a razón de
h′(t) = 0,2t2/3 +
√
t, cm/año. Si el árbol teńıa 20cm de altura
cuando se plantó, ¿cuánto medirá dentro de 27 años?
Solución.
El problema nos indica que h′(x) es la derivada de la función altura
y se nos pide encontrar dicha función. En términos de integral
indefinida escribimos:
h(t) =
∫
[0,2t2/3 +
√
t]dt = 0,2
∫
t2/3dt +
∫
t1/2dt
= 0,235 t
5/3 + 23 t
3/2 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ejemplo
Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal
forma que después de t años su altura h(t) cambia a razón de
h′(t) = 0,2t2/3 +
√
t, cm/año. Si el árbol teńıa 20cm de altura
cuando se plantó, ¿cuánto medirá dentro de 27 años?
Solución.
El problema nos indica que h′(x) es la derivada de la función altura
y se nos pide encontrar dicha función. En términos de integral
indefinida escribimos:
h(t) =
∫
[0,2t2/3 +
√
t]dt = 0,2
∫
t2/3dt +
∫
t1/2dt
= 0,235 t
5/3 + 23 t
3/2 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ejemplo
Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal
forma que después de t años su altura h(t) cambia a razón de
h′(t) = 0,2t2/3 +
√
t, cm/año. Si el árbol teńıa 20cm de altura
cuando se plantó, ¿cuánto medirá dentro de 27 años?
Solución.
El problema nos indica que h′(x) es la derivada de la función altura
y se nos pide encontrar dicha función. En términos de integral
indefinida escribimos:
h(t) =
∫
[0,2t2/3 +
√
t]dt = 0,2
∫
t2/3dt +
∫
t1/2dt
= 0,235 t
5/3 + 23 t
3/2 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ejemplo
Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal
forma que después de t años su altura h(t) cambia a razón de
h′(t) = 0,2t2/3 +
√
t, cm/año. Si el árbol teńıa 20cm de altura
cuando se plantó, ¿cuánto medirá dentro de 27 años?
Solución.
El problema nos indica que h′(x) es la derivada de la función altura
y se nos pide encontrar dicha función. En términos de integral
indefinida escribimos:
h(t) =
∫
[0,2t2/3 +
√
t]dt = 0,2
∫
t2/3dt +
∫
t1/2dt
= 0,235 t
5/3 + 23 t
3/2 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La función altura h(t) = 0,2 35 t
5/3 + 23 t
3/2 + C depende de la
constante C . Sin embargo, sabemos que h(0) = 20, con lo cual:
20 = 0,235(0) +
2
3(0) + C ⇒ C = 20
Finalmente,
h(t) = 0,235 t
5/3 + 23 t
3/2 + 20
En el problema no piden calcular la altura del árbol cuando t = 27.
Aśı,
h(27) = 0,23527
5/3 + 2327
3/2 + 20 = 62,66
Por lo tanto, la altura del árbol dentro de 27 años será de
aproximadamente 62 cent́ımetros.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La función altura h(t) = 0,2 35 t
5/3 + 23 t
3/2 + C depende de la
constante C . Sin embargo, sabemos que h(0) = 20, con lo cual:
20 = 0,235(0) +
2
3(0) + C ⇒ C = 20
Finalmente,
h(t) = 0,235 t
5/3 + 23 t
3/2 + 20
En el problema no piden calcular la altura del árbol cuando t = 27.
Aśı,
h(27) = 0,23527
5/3 + 2327
3/2 + 20 = 62,66
Por lo tanto, la altura del árbol dentro de 27 años será de
aproximadamente 62 cent́ımetros.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
La función altura h(t) = 0,2 35 t
5/3 + 23 t
3/2 + C depende de la
constante C . Sin embargo, sabemos que h(0) = 20, con lo cual:
20 = 0,235(0) +
2
3(0) + C ⇒ C = 20
Finalmente,
h(t) = 0,235 t
5/3 + 23 t
3/2 + 20
En el problema no piden calcular la altura del árbol cuando t = 27.
Aśı,
h(27) = 0,23527
5/3 + 2327
3/2 + 20 = 62,66
Por lo tanto, la altura del árbol dentro de 27 años será de
aproximadamente 62 cent́ımetros.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Ejemplo
Se lanza una bola hacia arriba, como muestra la figura siguiente,
con una velocidad inicial de 64 pies/s y desde una altura inicial de
80 pies.
a) Hallar la función posición que describe la altura s en función del
tiempo t.
b) ¿Cuándo llega la bola al suelo?
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (altura inicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (altura inicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (altura inicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (altura inicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (alturainicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (altura inicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (altura inicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (altura inicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Solución
Sea t = 0 el instante inicial.
Las condiciones iniciales son:
s(0) = 80 (altura inicial)
s ′(0) = 64 pies/s (velocidad inicial).
Tomando la aceleración de gravedad como -32pies/s2, podemos
escribir s ′′(t) = −32. Integrando,
s ′(t) =
∫
s ′′(t)dt =
∫
(−32)dt = −32t + C1
Como s ′(0) = 64, evaluamos la derivada en cero para obtener el
valor de la constante C1:
64 = s ′(0) = −32(0) + C1 ⇒ C1 = 64
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ahora integramos s ′(t) para obtener la función posición:
s(t) =
∫
s ′(t)dt =
∫
(−32t + 64)dt = −16t2 + 64t + C2
Sabiendo que la altura inicial, s(0), es 80, con esa condición
obtenemos el valor de la constante C2:
80 = −16(0)2 + 64(0) + C2 ⇒ C2 = 80
Con los cálculos anteriores tenemos que:
a) La función posición que describe la altura es:
s(t) = −16t2 + 64t + 80
b) La bola llegará al suelo cuando s(t) = 0, es decir,
−16t2 + 64t + 80 = 0⇔ −16(t + 1)(t − 5) = 0⇔ t = −1 ∧ t = 5
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ahora integramos s ′(t) para obtener la función posición:
s(t) =
∫
s ′(t)dt =
∫
(−32t + 64)dt = −16t2 + 64t + C2
Sabiendo que la altura inicial, s(0), es 80, con esa condición
obtenemos el valor de la constante C2:
80 = −16(0)2 + 64(0) + C2 ⇒ C2 = 80
Con los cálculos anteriores tenemos que:
a) La función posición que describe la altura es:
s(t) = −16t2 + 64t + 80
b) La bola llegará al suelo cuando s(t) = 0, es decir,
−16t2 + 64t + 80 = 0⇔ −16(t + 1)(t − 5) = 0⇔ t = −1 ∧ t = 5
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ahora integramos s ′(t) para obtener la función posición:
s(t) =
∫
s ′(t)dt =
∫
(−32t + 64)dt = −16t2 + 64t + C2
Sabiendo que la altura inicial, s(0), es 80, con esa condición
obtenemos el valor de la constante C2:
80 = −16(0)2 + 64(0) + C2 ⇒ C2 = 80
Con los cálculos anteriores tenemos que:
a) La función posición que describe la altura es:
s(t) = −16t2 + 64t + 80
b) La bola llegará al suelo cuando s(t) = 0, es decir,
−16t2 + 64t + 80 = 0⇔ −16(t + 1)(t − 5) = 0⇔ t = −1 ∧ t = 5
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ahora integramos s ′(t) para obtener la función posición:
s(t) =
∫
s ′(t)dt =
∫
(−32t + 64)dt = −16t2 + 64t + C2
Sabiendo que la altura inicial, s(0), es 80, con esa condición
obtenemos el valor de la constante C2:
80 = −16(0)2 + 64(0) + C2 ⇒ C2 = 80
Con los cálculos anteriores tenemos que:
a) La función posición que describe la altura es:
s(t) = −16t2 + 64t + 80
b) La bola llegará al suelo cuando s(t) = 0, es decir,
−16t2 + 64t + 80 = 0⇔ −16(t + 1)(t − 5) = 0⇔ t = −1 ∧ t = 5
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ahora integramos s ′(t) para obtener la función posición:
s(t) =
∫
s ′(t)dt =
∫
(−32t + 64)dt = −16t2 + 64t + C2
Sabiendo que la altura inicial, s(0), es 80, con esa condición
obtenemos el valor de la constante C2:
80 = −16(0)2 + 64(0) + C2 ⇒ C2 = 80
Con los cálculos anteriores tenemos que:
a) La función posición que describe la altura es:
s(t) = −16t2 + 64t + 80
b) La bola llegará al suelo cuando s(t) = 0, es decir,
−16t2 + 64t + 80 = 0⇔ −16(t + 1)(t − 5) = 0⇔ t = −1 ∧ t = 5
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ahora integramos s ′(t) para obtener la función posición:
s(t) =
∫
s ′(t)dt =
∫
(−32t + 64)dt = −16t2 + 64t + C2
Sabiendo que la altura inicial, s(0), es 80, con esa condición
obtenemos el valor de la constante C2:
80 = −16(0)2 + 64(0) + C2 ⇒ C2 = 80
Con los cálculos anteriores tenemos que:
a) La función posición que describe la altura es:
s(t) = −16t2 + 64t + 80
b) La bola llegará al suelo cuando s(t) = 0, es decir,
−16t2 + 64t + 80 = 0⇔ −16(t + 1)(t − 5) = 0⇔ t = −1 ∧ t = 5
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Ahora integramos s ′(t) para obtener la función posición:
s(t) =
∫
s ′(t)dt =
∫
(−32t + 64)dt = −16t2 + 64t + C2
Sabiendo que la altura inicial, s(0), es 80, con esa condición
obtenemos el valor de la constante C2:
80 = −16(0)2 + 64(0) + C2 ⇒ C2 = 80
Con los cálculos anteriores tenemos que:
a) La función posición que describe la altura es:
s(t) = −16t2 + 64t + 80
b) La bola llegará al suelo cuando s(t) = 0, es decir,
−16t2 + 64t + 80 = 0⇔ −16(t + 1)(t − 5) = 0⇔ t = −1 ∧ t = 5
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Como t > 0, conclúımos que la bola toca el suelo 5 segundos
después de ser lanzada.
Nota
En el ejemplo anterior ya se sospechaba que debeŕıamos
integrar dos veces, es decir, deb́ıamos tener dos constantes de
integración. Por esta razón, usamos C1 y luego C2.
En este tipo de ejercicios, la función posición tiene la forma:
s(t) = 12gt
2 + v0t + s0,
donde g = −32, v0 es la velocidad inicial y s0 es la altura
inicial.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de laIntegral Indefinida
Como t > 0, conclúımos que la bola toca el suelo 5 segundos
después de ser lanzada.
Nota
En el ejemplo anterior ya se sospechaba que debeŕıamos
integrar dos veces, es decir, deb́ıamos tener dos constantes de
integración. Por esta razón, usamos C1 y luego C2.
En este tipo de ejercicios, la función posición tiene la forma:
s(t) = 12gt
2 + v0t + s0,
donde g = −32, v0 es la velocidad inicial y s0 es la altura
inicial.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Como t > 0, conclúımos que la bola toca el suelo 5 segundos
después de ser lanzada.
Nota
En el ejemplo anterior ya se sospechaba que debeŕıamos
integrar dos veces, es decir, deb́ıamos tener dos constantes de
integración. Por esta razón, usamos C1 y luego C2.
En este tipo de ejercicios, la función posición tiene la forma:
s(t) = 12gt
2 + v0t + s0,
donde g = −32, v0 es la velocidad inicial y s0 es la altura
inicial.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Antiderivada
Integral Indefinida
Propiedades de la Integral Indefinida
Como t > 0, conclúımos que la bola toca el suelo 5 segundos
después de ser lanzada.
Nota
En el ejemplo anterior ya se sospechaba que debeŕıamos
integrar dos veces, es decir, deb́ıamos tener dos constantes de
integración. Por esta razón, usamos C1 y luego C2.
En este tipo de ejercicios, la función posición tiene la forma:
s(t) = 12gt
2 + v0t + s0,
donde g = −32, v0 es la velocidad inicial y s0 es la altura
inicial.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Métodos de Integración
Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es
posible una integración directa, es necesario realizar un cambio de
variable para transformarlas en integrales inmediatas.
Dada la integral de una función f (x) cuya forma no es estándar, el
método de sustitución busca una nueva variable tal que∫
f (x)dx =
∫
g(u)du,
donde la integral de la derecha es una integral estándar, es decir,
g(u) se puede integrar de forma directa, a diferencia de la función
dada, f (x).
Ejemplo
Calcular:
∫
(1− x)30dx
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Métodos de Integración
Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es
posible una integración directa, es necesario realizar un cambio de
variable para transformarlas en integrales inmediatas.
Dada la integral de una función f (x) cuya forma no es estándar, el
método de sustitución busca una nueva variable tal que∫
f (x)dx =
∫
g(u)du,
donde la integral de la derecha es una integral estándar, es decir,
g(u) se puede integrar de forma directa, a diferencia de la función
dada, f (x).
Ejemplo
Calcular:
∫
(1− x)30dx
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Métodos de Integración
Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es
posible una integración directa, es necesario realizar un cambio de
variable para transformarlas en integrales inmediatas.
Dada la integral de una función f (x) cuya forma no es estándar, el
método de sustitución busca una nueva variable tal que∫
f (x)dx =
∫
g(u)du,
donde la integral de la derecha es una integral estándar, es decir,
g(u) se puede integrar de forma directa, a diferencia de la función
dada, f (x).
Ejemplo
Calcular:
∫
(1− x)30dx
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Solución
En este caso, es conveniente realizar el cambio de variable
u = 1− x . Luego,
du
dx = −1⇒ du = −dx
Ahora sustituyendo, tenemos:∫
(1− x)30dx =
∫
u30(−du) = −
∫
u30du = −u
31
31 + C
Una vez integrada la nueva función, volvemos a la variable original:∫
(1− x)30dx = −(1− x)
31
31 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Solución
En este caso, es conveniente realizar el cambio de variable
u = 1− x . Luego,
du
dx = −1⇒ du = −dx
Ahora sustituyendo, tenemos:∫
(1− x)30dx =
∫
u30(−du) = −
∫
u30du = −u
31
31 + C
Una vez integrada la nueva función, volvemos a la variable original:∫
(1− x)30dx = −(1− x)
31
31 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Solución
En este caso, es conveniente realizar el cambio de variable
u = 1− x . Luego,
du
dx = −1⇒ du = −dx
Ahora sustituyendo, tenemos:∫
(1− x)30dx =
∫
u30(−du) = −
∫
u30du = −u
31
31 + C
Una vez integrada la nueva función, volvemos a la variable original:∫
(1− x)30dx = −(1− x)
31
31 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Solución
En este caso, es conveniente realizar el cambio de variable
u = 1− x . Luego,
du
dx = −1⇒ du = −dx
Ahora sustituyendo, tenemos:∫
(1− x)30dx =
∫
u30(−du) = −
∫
u30du = −u
31
31 + C
Una vez integrada la nueva función, volvemos a la variable original:∫
(1− x)30dx = −(1− x)
31
31 + C
Uceda, R.A. La Antiderivada
Ejemplo
Calcular:
∫ sin√x√
x dx ,
Solución.
Aqúı empleamos el cambio de variable u =
√
x . Luego
du
dx =
1
2
√
x ⇒ dx = 2
√
xdu = 2udu
Ahora sustituyendo, tenemos:∫ sin√x√
x dx =
∫ 2u sin u
u du = 2
∫
sin udu = −2 cos u + C
Volviendo a la variable original:∫ sin√x√
x dx = −2 cos
√
x + C
Ejemplo
Calcular:
∫ sin√x√
x dx ,
Solución.
Aqúı empleamos el cambio de variable u =
√
x . Luego
du
dx =
1
2
√
x ⇒ dx = 2
√
xdu = 2udu
Ahora sustituyendo, tenemos:∫ sin√x√
x dx =
∫ 2u sin u
u du = 2
∫
sin udu = −2 cos u + C
Volviendo a la variable original:∫ sin√x√
x dx = −2 cos
√
x + C
Ejemplo
Calcular:
∫ sin√x√
x dx ,
Solución.
Aqúı empleamos el cambio de variable u =
√
x . Luego
du
dx =
1
2
√
x ⇒ dx = 2
√
xdu = 2udu
Ahora sustituyendo, tenemos:∫ sin√x√
x dx =
∫ 2u sin u
u du = 2
∫
sin udu = −2 cos u + C
Volviendo a la variable original:∫ sin√x√
x dx = −2 cos
√
x + C
Ejemplo
Calcular:
∫ sin√x√
x dx ,
Solución.
Aqúı empleamos el cambio de variable u =
√
x . Luego
du
dx =
1
2
√
x ⇒ dx = 2
√
xdu = 2udu
Ahora sustituyendo, tenemos:∫ sin√x√
x dx =
∫ 2u sin u
u du = 2
∫
sin udu = −2 cos u + C
Volviendo a la variable original:∫ sin√x√
x dx = −2 cos
√
x + C
Ejemplo
Calcular:
∫ sin√x√
x dx ,
Solución.
Aqúı empleamos el cambio de variable u =
√
x . Luego
du
dx =
1
2
√
x ⇒ dx = 2
√
xdu = 2udu
Ahora sustituyendo, tenemos:∫ sin√x√
x dx =
∫ 2u sin u
u du = 2
∫
sin udu = −2 cos u + C
Volviendo a la variable original:∫ sin√x√
x dx = −2 cos
√
x + C
Ejemplo
Calcular:
∫
x
√
x − 1dx
Solución.
Usaremos el cambio de variable u = x − 1⇒ x = u + 1. Luego,
du
dx = 1⇒ dx = du
Sustituyendo tenemos:∫
x
√
x − 1dx =
∫
(u+1)
√
udu =
∫ (
u
√
u +
√
u
)
du =
∫
u3/2du+
+
∫
u1/2du = 25u
5/2 + 23u
3/2 + C
Ahora, volvemos a la variable original:∫
x
√
x − 1dx = 25(x − 1)
5/2 + 23(x − 1)
3/2 + C
Ejemplo
Calcular:
∫
x
√
x − 1dx
Solución.
Usaremos el cambio de variable u = x − 1⇒ x = u + 1. Luego,
du
dx = 1⇒ dx = du
Sustituyendo tenemos:∫
x
√
x − 1dx =
∫
(u+1)
√
udu =
∫ (
u
√
u +
√
u
)
du =
∫
u3/2du+
+
∫
u1/2du = 25u
5/2 + 23u
3/2 + C
Ahora, volvemos a la variable original:∫
x
√
x − 1dx = 25(x − 1)
5/2 + 23(x − 1)
3/2 + C
Ejemplo
Calcular:
∫
x
√
x − 1dx
Solución.
Usaremos el cambio de variable u = x − 1⇒ x = u + 1. Luego,
du
dx = 1⇒ dx = du
Sustituyendo tenemos:∫
x
√
x − 1dx =∫
(u+1)
√
udu =
∫ (
u
√
u +
√
u
)
du =
∫
u3/2du+
+
∫
u1/2du = 25u
5/2 + 23u
3/2 + C
Ahora, volvemos a la variable original:∫
x
√
x − 1dx = 25(x − 1)
5/2 + 23(x − 1)
3/2 + C
Ejemplo
Calcular:
∫
x
√
x − 1dx
Solución.
Usaremos el cambio de variable u = x − 1⇒ x = u + 1. Luego,
du
dx = 1⇒ dx = du
Sustituyendo tenemos:∫
x
√
x − 1dx =
∫
(u+1)
√
udu =
∫ (
u
√
u +
√
u
)
du =
∫
u3/2du+
+
∫
u1/2du = 25u
5/2 + 23u
3/2 + C
Ahora, volvemos a la variable original:∫
x
√
x − 1dx = 25(x − 1)
5/2 + 23(x − 1)
3/2 + C
Ejemplo
Calcular:
∫
x
√
x − 1dx
Solución.
Usaremos el cambio de variable u = x − 1⇒ x = u + 1. Luego,
du
dx = 1⇒ dx = du
Sustituyendo tenemos:∫
x
√
x − 1dx =
∫
(u+1)
√
udu =
∫ (
u
√
u +
√
u
)
du =
∫
u3/2du+
+
∫
u1/2du = 25u
5/2 + 23u
3/2 + C
Ahora, volvemos a la variable original:∫
x
√
x − 1dx = 25(x − 1)
5/2 + 23(x − 1)
3/2 + C
Ejemplo
Calcular:
∫
x
√
x − 1dx
Solución.
Usaremos el cambio de variable u = x − 1⇒ x = u + 1. Luego,
du
dx = 1⇒ dx = du
Sustituyendo tenemos:∫
x
√
x − 1dx =
∫
(u+1)
√
udu =
∫ (
u
√
u +
√
u
)
du =
∫
u3/2du+
+
∫
u1/2du = 25u
5/2 + 23u
3/2 + C
Ahora, volvemos a la variable original:∫
x
√
x − 1dx = 25(x − 1)
5/2 + 23(x − 1)
3/2 + C
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Si conocemos la razón de cambio, f ′, de la función f , entonces la
función f misma es una antiderivada de f ′, pues la derivada de f
es f ′.
Por supuesto hay muchas antiderivadas de f ′ y la más general es
denotada por la integral indefinida. Por ejemplo, si
f ′(x) = 2x
entonces
f (x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
2xdx = x2 + C
Es decir, cualquier función de la forma f (x) = x2 + C tiene su
derivada igual a 2x .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Si conocemos la razón de cambio, f ′, de la función f , entonces la
función f misma es una antiderivada de f ′, pues la derivada de f
es f ′.
Por supuesto hay muchas antiderivadas de f ′ y la más general es
denotada por la integral indefinida. Por ejemplo, si
f ′(x) = 2x
entonces
f (x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
2xdx = x2 + C
Es decir, cualquier función de la forma f (x) = x2 + C tiene su
derivada igual a 2x .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Si conocemos la razón de cambio, f ′, de la función f , entonces la
función f misma es una antiderivada de f ′, pues la derivada de f
es f ′.
Por supuesto hay muchas antiderivadas de f ′ y la más general es
denotada por la integral indefinida. Por ejemplo, si
f ′(x) = 2x
entonces
f (x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
2xdx = x2 + C
Es decir, cualquier función de la forma f (x) = x2 + C tiene su
derivada igual a 2x .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Si conocemos la razón de cambio, f ′, de la función f , entonces la
función f misma es una antiderivada de f ′, pues la derivada de f
es f ′.
Por supuesto hay muchas antiderivadas de f ′ y la más general es
denotada por la integral indefinida. Por ejemplo, si
f ′(x) = 2x
entonces
f (x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
2xdx = x2 + C
Es decir, cualquier función de la forma f (x) = x2 + C tiene su
derivada igual a 2x .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Si conocemos la razón de cambio, f ′, de la función f , entonces la
función f misma es una antiderivada de f ′, pues la derivada de f
es f ′.
Por supuesto hay muchas antiderivadas de f ′ y la más general es
denotada por la integral indefinida. Por ejemplo, si
f ′(x) = 2x
entonces
f (x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
2xdx = x2 + C
Es decir, cualquier función de la forma f (x) = x2 + C tiene su
derivada igual a 2x .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Si conocemos la razón de cambio, f ′, de la función f , entonces la
función f misma es una antiderivada de f ′, pues la derivada de f
es f ′.
Por supuesto hay muchas antiderivadas de f ′ y la más general es
denotada por la integral indefinida. Por ejemplo, si
f ′(x) = 2x
entonces
f (x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
2xdx = x2 + C
Es decir, cualquier función de la forma f (x) = x2 + C tiene su
derivada igual a 2x .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Notemos que debido a la constante de integración, no conocemos
f (x) espećıficamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor
para un valor particular de x , podemos determinar el valor de C y
conocer aśı espećıficamente a f (x).
Por ejemplo, si f (1) = 4, entonces:
4 = f (1) = 12 + C
y obtenemos C = 3.
Por tanto, f (x) = x2 + 3.
Ahora ya conocemos la función particular f (x) para la cual
f ′(x) = 2x y f (1) = 4.
La condición f (1) = 4, que da un valor de f para un valor
espećıfico de x , se llama condición inicial o valor en la frontera.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Notemos que debido a la constante de integración, no conocemos
f (x) espećıficamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor
para un valor particular de x , podemos determinar el valor de C y
conocer aśı espećıficamente a f (x).
Por ejemplo, si f (1) = 4, entonces:
4 = f (1) = 12 + C
y obtenemos C = 3.
Por tanto, f (x) = x2 + 3.
Ahora ya conocemos la función particular f (x) para la cual
f ′(x) = 2x y f (1) = 4.
La condición f (1) = 4, que da un valor de f para un valor
espećıfico de x , se llama condición inicial o valor en la frontera.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Notemos que debido a la constante de integración, no conocemos
f (x) espećıficamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor
para un valor particular de x , podemos determinar el valor de C y
conocer aśı espećıficamente a f (x).
Por ejemplo, si f (1) = 4, entonces:
4 = f (1) = 12 + C
y obtenemos C = 3.
Por tanto, f (x) = x2 + 3.
Ahora ya conocemos la función particular f (x) para la cual
f ′(x) = 2x y f (1) = 4.
La condición f (1) = 4, que da un valor de f para un valor
espećıfico de x , se llama condición inicial o valor en la frontera.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Notemos que debido a la constante de integración, no conocemos
f (x) espećıficamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor
para un valor particular de x , podemos determinar el valor de C y
conocer aśı espećıficamente a f (x).
Por ejemplo, si f (1) = 4, entonces:
4 = f (1) = 12 + C
y obtenemos C = 3.
Por tanto, f (x) = x2 + 3.
Ahora ya conocemos la función particular f (x) para la cual
f ′(x) = 2x y f (1) = 4.
La condición f (1) = 4, que da un valor de f para un valor
espećıfico de x , se llama condición inicial o valor en la frontera.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Notemos que debido a la constante de integración, no conocemos
f (x) espećıficamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor
para un valor particular de x , podemos determinar el valor de C y
conocer aśı espećıficamente a f (x).
Por ejemplo, si f (1) = 4, entonces:
4 = f (1) = 12 + C
y obtenemos C = 3.
Por tanto, f (x)= x2 + 3.
Ahora ya conocemos la función particular f (x) para la cual
f ′(x) = 2x y f (1) = 4.
La condición f (1) = 4, que da un valor de f para un valor
espećıfico de x , se llama condición inicial o valor en la frontera.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Notemos que debido a la constante de integración, no conocemos
f (x) espećıficamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor
para un valor particular de x , podemos determinar el valor de C y
conocer aśı espećıficamente a f (x).
Por ejemplo, si f (1) = 4, entonces:
4 = f (1) = 12 + C
y obtenemos C = 3.
Por tanto, f (x) = x2 + 3.
Ahora ya conocemos la función particular f (x) para la cual
f ′(x) = 2x y f (1) = 4.
La condición f (1) = 4, que da un valor de f para un valor
espećıfico de x , se llama condición inicial o valor en la frontera.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Notemos que debido a la constante de integración, no conocemos
f (x) espećıficamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor
para un valor particular de x , podemos determinar el valor de C y
conocer aśı espećıficamente a f (x).
Por ejemplo, si f (1) = 4, entonces:
4 = f (1) = 12 + C
y obtenemos C = 3.
Por tanto, f (x) = x2 + 3.
Ahora ya conocemos la función particular f (x) para la cual
f ′(x) = 2x y f (1) = 4.
La condición f (1) = 4, que da un valor de f para un valor
espećıfico de x , se llama condición inicial o valor en la frontera.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Ejemplo
Si y es una función de x tal que y ′ = 8x − 4 y y(2) = 5, hallar y .
Solución.
Tenemos la condición inicial y(2) = 5. Como y ′ = 8x − 4, y es una
antiderivada de 8x − 4. Luego,
y =
∫
(8x − 4)dx = 4x2 − 4x + C
Para hallar el valor de C usaremos la condición inicial: cuando
x = 2, y = 5. Aśı:
5 = y(2) = 4(2)2 − 4(2) + C
5 = 16− 8 + C
C = −3
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Ejemplo
Si y es una función de x tal que y ′ = 8x − 4 y y(2) = 5, hallar y .
Solución.
Tenemos la condición inicial y(2) = 5. Como y ′ = 8x − 4, y es una
antiderivada de 8x − 4. Luego,
y =
∫
(8x − 4)dx = 4x2 − 4x + C
Para hallar el valor de C usaremos la condición inicial: cuando
x = 2, y = 5. Aśı:
5 = y(2) = 4(2)2 − 4(2) + C
5 = 16− 8 + C
C = −3
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Ejemplo
Si y es una función de x tal que y ′ = 8x − 4 y y(2) = 5, hallar y .
Solución.
Tenemos la condición inicial y(2) = 5. Como y ′ = 8x − 4, y es una
antiderivada de 8x − 4. Luego,
y =
∫
(8x − 4)dx = 4x2 − 4x + C
Para hallar el valor de C usaremos la condición inicial: cuando
x = 2, y = 5. Aśı:
5 = y(2) = 4(2)2 − 4(2) + C
5 = 16− 8 + C
C = −3
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Ejemplo
Si y es una función de x tal que y ′ = 8x − 4 y y(2) = 5, hallar y .
Solución.
Tenemos la condición inicial y(2) = 5. Como y ′ = 8x − 4, y es una
antiderivada de 8x − 4. Luego,
y =
∫
(8x − 4)dx = 4x2 − 4x + C
Para hallar el valor de C usaremos la condición inicial: cuando
x = 2, y = 5. Aśı:
5 = y(2) = 4(2)2 − 4(2) + C
5 = 16− 8 + C
C = −3
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Ejemplo
Si y es una función de x tal que y ′ = 8x − 4 y y(2) = 5, hallar y .
Solución.
Tenemos la condición inicial y(2) = 5. Como y ′ = 8x − 4, y es una
antiderivada de 8x − 4. Luego,
y =
∫
(8x − 4)dx = 4x2 − 4x + C
Para hallar el valor de C usaremos la condición inicial: cuando
x = 2, y = 5. Aśı:
5 = y(2) = 4(2)2 − 4(2) + C
5 = 16− 8 + C
C = −3
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Ejemplo
Si y es una función de x tal que y ′ = 8x − 4 y y(2) = 5, hallar y .
Solución.
Tenemos la condición inicial y(2) = 5. Como y ′ = 8x − 4, y es una
antiderivada de 8x − 4. Luego,
y =
∫
(8x − 4)dx = 4x2 − 4x + C
Para hallar el valor de C usaremos la condición inicial: cuando
x = 2, y = 5. Aśı:
5 = y(2) = 4(2)2 − 4(2) + C
5 = 16− 8 + C
C = −3
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Ejemplo
Si y es una función de x tal que y ′ = 8x − 4 y y(2) = 5, hallar y .
Solución.
Tenemos la condición inicial y(2) = 5. Como y ′ = 8x − 4, y es una
antiderivada de 8x − 4. Luego,
y =
∫
(8x − 4)dx = 4x2 − 4x + C
Para hallar el valor de C usaremos la condición inicial: cuando
x = 2, y = 5. Aśı:
5 = y(2) = 4(2)2 − 4(2) + C
5 = 16− 8 + C
C = −3
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Ejemplo
Si y es una función de x tal que y ′ = 8x − 4 y y(2) = 5, hallar y .
Solución.
Tenemos la condición inicial y(2) = 5. Como y ′ = 8x − 4, y es una
antiderivada de 8x − 4. Luego,
y =
∫
(8x − 4)dx = 4x2 − 4x + C
Para hallar el valor de C usaremos la condición inicial: cuando
x = 2, y = 5. Aśı:
5 = y(2) = 4(2)2 − 4(2) + C
5 = 16− 8 + C
C = −3
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Por lo tanto, reemplazando el valor de C = −3, obtenemos la
función pedida:
y = 4x2 − 4x − 3
Ejemplo
Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el
ingreso anual promedio actual y (en dólares) que una persona con
x años de educación puede esperar recibir al buscar un empleo
ordinario. Ellos estimaron que la razón a la que el ingreso cambia
con respecto a la educación está dada por
dy
dx = 100x
3/2, 4 ≤ x ≤ 16,
donde y = 28, 720 cuando x = 9. Hallar y .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Por lo tanto, reemplazando el valor de C = −3, obtenemos la
función pedida:
y = 4x2 − 4x − 3
Ejemplo
Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el
ingreso anual promedio actual y (en dólares) que una persona con
x años de educación puede esperar recibir al buscar un empleo
ordinario. Ellos estimaron que la razón a la que el ingreso cambia
con respecto a la educación está dada por
dy
dx = 100x
3/2, 4 ≤ x ≤ 16,
donde y = 28, 720 cuando x = 9. Hallar y .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Por lo tanto, reemplazando el valor de C = −3, obtenemos la
función pedida:
y = 4x2 − 4x − 3
Ejemplo
Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el
ingreso anual promedio actual y (en dólares) que una persona con
x años de educación puede esperar recibir al buscar un empleo
ordinario. Ellos estimaron que la razón a la que el ingreso cambia
con respecto a la educación está dada por
dy
dx = 100x
3/2, 4 ≤ x ≤ 16,
donde y = 28, 720 cuando x = 9. Hallar y .
Uceda, R.A. La Antiderivada
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 =40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 = 40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 = 40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 = 40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 = 40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 = 40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 = 40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 = 40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Solución.
Tenemos que y es una antiderivada de 100x3/2. Luego,
y =
∫
100x3/2dx = 100
∫
x3/2
y = 100x
5/2
5
2
+ C
y = 40x5/2 + C
Usamos la condición inicial para obtener el valor de C :
28, 720 = 40(9)5/2 + C
28, 720 = 40(243) + C
C = 19, 000
Por lo tanto, y = 40x5/2 + 19, 000.
Ejemplo
La aceleración de un móvil en el instante t es 3 + 0,5t.
a) Determine la velocidad en cualquier instante t si la velocidad
inicial en t = 0 es de 60 unidades.
b) Calcule la distancia recorrida por el móvil en el instante t si la
distancia es cero cuando t = 0.
Solución.
a) Sabemos que la aceleración de un móvil es la derivada de la
función velocidad, es decir,
a(t) = v ′(t)
Para obtener la función velocidad en cualquier instante t
integramos la función aceleración:
v(t) =
∫
a(t)dt =
∫
(3 + 0,5t)dt
Aśı, v(t) = 3t + 14 t
2 + C1.
Ejemplo
La aceleración de un móvil en el instante t es 3 + 0,5t.
a) Determine la velocidad en cualquier instante t si la velocidad
inicial en t = 0 es de 60 unidades.
b) Calcule la distancia recorrida por el móvil en el instante t si la
distancia es cero cuando t = 0.
Solución.
a) Sabemos que la aceleración de un móvil es la derivada de la
función velocidad, es decir,
a(t) = v ′(t)
Para obtener la función velocidad en cualquier instante t
integramos la función aceleración:
v(t) =
∫
a(t)dt =
∫
(3 + 0,5t)dt
Aśı, v(t) = 3t + 14 t
2 + C1.
Ejemplo
La aceleración de un móvil en el instante t es 3 + 0,5t.
a) Determine la velocidad en cualquier instante t si la velocidad
inicial en t = 0 es de 60 unidades.
b) Calcule la distancia recorrida por el móvil en el instante t si la
distancia es cero cuando t = 0.
Solución.
a) Sabemos que la aceleración de un móvil es la derivada de la
función velocidad, es decir,
a(t) = v ′(t)
Para obtener la función velocidad en cualquier instante t
integramos la función aceleración:
v(t) =
∫
a(t)dt =
∫
(3 + 0,5t)dt
Aśı, v(t) = 3t + 14 t
2 + C1.
Ejemplo
La aceleración de un móvil en el instante t es 3 + 0,5t.
a) Determine la velocidad en cualquier instante t si la velocidad
inicial en t = 0 es de 60 unidades.
b) Calcule la distancia recorrida por el móvil en el instante t si la
distancia es cero cuando t = 0.
Solución.
a) Sabemos que la aceleración de un móvil es la derivada de la
función velocidad, es decir,
a(t) = v ′(t)
Para obtener la función velocidad en cualquier instante t
integramos la función aceleración:
v(t) =
∫
a(t)dt =
∫
(3 + 0,5t)dt
Aśı, v(t) = 3t + 14 t
2 + C1.
Ejemplo
La aceleración de un móvil en el instante t es 3 + 0,5t.
a) Determine la velocidad en cualquier instante t si la velocidad
inicial en t = 0 es de 60 unidades.
b) Calcule la distancia recorrida por el móvil en el instante t si la
distancia es cero cuando t = 0.
Solución.
a) Sabemos que la aceleración de un móvil es la derivada de la
función velocidad, es decir,
a(t) = v ′(t)
Para obtener la función velocidad en cualquier instante t
integramos la función aceleración:
v(t) =
∫
a(t)dt =
∫
(3 + 0,5t)dt
Aśı, v(t) = 3t + 14 t
2 + C1.
Ejemplo
La aceleración de un móvil en el instante t es 3 + 0,5t.
a) Determine la velocidad en cualquier instante t si la velocidad
inicial en t = 0 es de 60 unidades.
b) Calcule la distancia recorrida por el móvil en el instante t si la
distancia es cero cuando t = 0.
Solución.
a) Sabemos que la aceleración de un móvil es la derivada de la
función velocidad, es decir,
a(t) = v ′(t)
Para obtener la función velocidad en cualquier instante t
integramos la función aceleración:
v(t) =
∫
a(t)dt =
∫
(3 + 0,5t)dt
Aśı, v(t) = 3t + 14 t
2 + C1.
Ejemplo
La aceleración de un móvil en el instante t es 3 + 0,5t.
a) Determine la velocidad en cualquier instante t si la velocidad
inicial en t = 0 es de 60 unidades.
b) Calcule la distancia recorrida por el móvil en el instante t si la
distancia es cero cuando t = 0.
Solución.
a) Sabemos que la aceleración de un móvil es la derivada de la
función velocidad, es decir,
a(t) = v ′(t)
Para obtener la función velocidad en cualquier instante t
integramos la función aceleración:
v(t) =
∫
a(t)dt =
∫
(3 + 0,5t)dt
Aśı, v(t) = 3t + 14 t
2 + C1.
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Tenemos la condición inicial v(0) = 60. Luego,
60 = v(0) = 3(0) + 14(0)
2 + C1 ⇒ C1 = 60
Por lo tanto, la velocidad en cualquier instante t es:
v(t) = 3t + 14 t
2 + 60.
b) La velocidad de un móvil es la derivada de la función posición
(distancia), es decir,
v(t) = d ′(t)
Para obtener la función distancia integramos la función velocidad:
d(t) =
∫
v(t)dt =
∫
(3t + 14 t
2 + 60)dt
Aśı, d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t + C2.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Tenemos la condición inicial v(0) = 60. Luego,
60 = v(0) = 3(0) + 14(0)
2 + C1 ⇒ C1 = 60
Por lo tanto, la velocidad en cualquier instante t es:
v(t) = 3t + 14 t
2 + 60.
b) La velocidad de un móvil es la derivada de la función posición
(distancia), es decir,
v(t) = d ′(t)
Para obtener la función distancia integramos la función velocidad:
d(t) =
∫
v(t)dt =
∫
(3t + 14 t
2 + 60)dt
Aśı, d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t + C2.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Tenemos la condición inicial v(0) = 60. Luego,
60 = v(0) = 3(0) + 14(0)
2 + C1 ⇒ C1 = 60
Por lo tanto, la velocidad en cualquier instante t es:
v(t) = 3t + 14 t
2 + 60.
b) La velocidad de un móvil es la derivada de la función posición
(distancia), es decir,
v(t) = d ′(t)
Para obtener la función distancia integramos la función velocidad:
d(t) =
∫v(t)dt =
∫
(3t + 14 t
2 + 60)dt
Aśı, d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t + C2.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Tenemos la condición inicial v(0) = 60. Luego,
60 = v(0) = 3(0) + 14(0)
2 + C1 ⇒ C1 = 60
Por lo tanto, la velocidad en cualquier instante t es:
v(t) = 3t + 14 t
2 + 60.
b) La velocidad de un móvil es la derivada de la función posición
(distancia), es decir,
v(t) = d ′(t)
Para obtener la función distancia integramos la función velocidad:
d(t) =
∫
v(t)dt =
∫
(3t + 14 t
2 + 60)dt
Aśı, d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t + C2.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Tenemos la condición inicial v(0) = 60. Luego,
60 = v(0) = 3(0) + 14(0)
2 + C1 ⇒ C1 = 60
Por lo tanto, la velocidad en cualquier instante t es:
v(t) = 3t + 14 t
2 + 60.
b) La velocidad de un móvil es la derivada de la función posición
(distancia), es decir,
v(t) = d ′(t)
Para obtener la función distancia integramos la función velocidad:
d(t) =
∫
v(t)dt =
∫
(3t + 14 t
2 + 60)dt
Aśı, d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t + C2.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Tenemos la condición inicial v(0) = 60. Luego,
60 = v(0) = 3(0) + 14(0)
2 + C1 ⇒ C1 = 60
Por lo tanto, la velocidad en cualquier instante t es:
v(t) = 3t + 14 t
2 + 60.
b) La velocidad de un móvil es la derivada de la función posición
(distancia), es decir,
v(t) = d ′(t)
Para obtener la función distancia integramos la función velocidad:
d(t) =
∫
v(t)dt =
∫
(3t + 14 t
2 + 60)dt
Aśı, d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t + C2.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Tenemos la condición inicial v(0) = 60. Luego,
60 = v(0) = 3(0) + 14(0)
2 + C1 ⇒ C1 = 60
Por lo tanto, la velocidad en cualquier instante t es:
v(t) = 3t + 14 t
2 + 60.
b) La velocidad de un móvil es la derivada de la función posición
(distancia), es decir,
v(t) = d ′(t)
Para obtener la función distancia integramos la función velocidad:
d(t) =
∫
v(t)dt =
∫
(3t + 14 t
2 + 60)dt
Aśı, d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t + C2.
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Usamos la condición inicial d(0) = 0:
0 = d(0) = 32(0)
2 + 112(0)
6 + 60(0) + C2 ⇒ C2 = 0
Por lo tanto, la distancia recorrida por el móvil en el instante t es:
d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Usamos la condición inicial d(0) = 0:
0 = d(0) = 32(0)
2 + 112(0)
6 + 60(0) + C2 ⇒ C2 = 0
Por lo tanto, la distancia recorrida por el móvil en el instante t es:
d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t
Uceda, R.A. La Antiderivada
Preliminares
La Integral Indefinida
Técnicas de Integración
Método de Sustitución
Integración con Condiciones Iniciales
Usamos la condición inicial d(0) = 0:
0 = d(0) = 32(0)
2 + 112(0)
6 + 60(0) + C2 ⇒ C2 = 0
Por lo tanto, la distancia recorrida por el móvil en el instante t es:
d(t) = 32 t
2 + 112 t
3 + 60t
Uceda, R.A. La Antiderivada
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	La Integral Indefinida
	Antiderivada
	Integral Indefinida
	Propiedades de la Integral Indefinida
	Técnicas de Integración
	Método de Sustitución
	Integración con Condiciones Iniciales