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Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad 1 
 
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UNIDAD I: POLINOMIOS Y EXPRESIONES RACIONALES 
 Contenidos: 
Factorización de polinomios: métodos/técnicas de factorización. Factorización por raíces. Orden 
de multiplicidad de las raíces. 
Resolución de ecuaciones e inecuaciones polinomiales. 
Expresiones algebraicas racionales fraccionarias: restricciones o condiciones de posibilidad, 
simplificación, operaciones y resolución de ecuaciones. 
Problema de introducción: 
 
La intensidad de la reacción de un cuerpo a una dosis D de un cierto fármaco en mg, está dada 
por 
5.𝐷2
2
−
𝐷3
3
, ¿para qué dosis el cuerpo tendrá una reacción nula al medicamento? 
 
 
Factorización de polinomios 
 
Comencemos esta unidad recordando cómo se realiza la multiplicación de polinomios: 
Multiplicación entre polinomios: 
El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen 
multiplicando cada término del primero por cada término del segundo (aplicando propiedad 
distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y/o sustracción). Luego se suman los 
términos semejantes. 
Ejemplo: 
Realizar la multiplicación entre los polinomios (4𝑥2 − 16) 𝑦 (𝑥 + 1). 
(4𝑥 2 − 16) ⋅ (𝑥 + 1) = 4𝑥 2 ⋅ 𝑥 + 4𝑥2.1 − 16 ⋅ 𝑥 − 16 ⋅ 1 
 = 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 16𝑥 − 16 
Si ahora invertimos el procedimiento y escribimos el polinomio como producto de otros 
polinomios primos, el proceso se llama factorización, y cada polinomio en el producto se llama 
factor del polinomio original. 
Es decir, si partimos de un polinomio, por ejemplo 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 16𝑥 − 16 y deseamos escribirlo 
como el producto de dos o más polinomios primos 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 16𝑥 − 16 = (4𝑥2 − 16)(𝑥 + 1) 
 
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto factores, donde cada factor es un 
polinomio primo. 
 
Un polinomio es primo cuando puede dividirse únicamente por 1, -1 y sí mismo. 
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Ejemplos de polinomios primos: 
2, 3, 5, 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 − 1, 𝑥 +
4
3
, 𝑥² + 1 
 
Ejemplos de polinomios no primos: 
4,2𝑥, 𝑥 2 − 1,6𝑥 − 2 
En otras palabras: al factorizar, se sustituye la expresión polinómica por el producto de factores 
primos. Un ejemplo es: 
4𝑥3 + 4𝑥2 − 16𝑥 − 16 = 4. (𝑥 − 2).(𝑥 + 2).(𝑥 + 1) 
 
Cuando un polinomio se escribe como un producto que consiste en solo factores primos, se dice 
que está completamente factorizado. Un ejemplo es: 
4 ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 + 1) 
 
Recordemos los métodos de factorización, que permiten expresar un polinomio en su forma 
factorizada: 
● Factor común: Puede aplicarse cuando un factor es común a todos los términos de un 
polinomio 𝑃. El factor común es la indeterminada del polinomio elevada a su menor 
exponente, y/o el divisor común mayor (DCM) de todos los coeficientes del mismo. 
EJEMPLO 1: 
 
Para poder escribir este polinomio como producto de polinomios de grados menores que él, 
se procederá del siguiente modo: 
- Se consideran los coeficientes del polinomio dado; en este caso, estos coeficientes son: 6, 
3, 9. 
- Se halla el divisor común mayor entre estos coeficientes; en este caso es: 3. 
- Se considera la indeterminada común a todos los términos con el menor exponente con el 
que aparece, en este caso es: 𝑥. 
De este modo, se obtuvo 3𝑥, que es el monomio por el cual se puede y debe dividir cada 
uno de los términos del polinomio dado. 
Entonces, se continúa con la división de cada uno de los términos del polinomio dado por 
el monomio 3𝑥 . Esto es, dividir de la siguiente manera: 
Cálculo auxiliar: 
6𝑥²: 3𝑥 = 2𝑥 
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3𝑥³: 3𝑥 = 𝑥² 
9𝑥 ∶ 3𝑥 = 3 
 
Estos monomios resultantes componen el nuevo polinomio y son parte de la expresión 
factorizada. Después de esto se obtiene la factorización del polinomio dado: 
 
De este modo, se obtuvo el producto entre un monomio de grado uno y un polinomio de 
grado dos; por lo tanto, son dos polinomios de menor grado que el polinomio dado que es 
3. Luego, se puede decir que el polinomio quedó factorizado. 
Como se puede extraer el monomio 3𝑥 como factor dividiendo cada uno de los términos 
del polinomio por este monomio, se dice que 3𝑥 es el “factor común” a todos los términos 
del polinomio original. 
 
EJEMPLO 2: Factorizar 12𝑥4 − 60𝑥3. 
 12𝑥 4 − 60𝑥 3 = 12𝑥 3. (𝑥 − 5) 
 
EJEMPLO 3: Factorizar 2𝑥2 − 4𝑥 5 − 3𝑥 6 + 𝑥 2. 
 2𝑥 2 − 4𝑥 5 − 3𝑥 6 + 𝑥2 = 𝑥 2. (2 − 4𝑥3 − 3𝑥 4 + 1) 
= 𝑥 2. (3 − 4𝑥 3 − 3𝑥 4) 
EJEMPLO 4: Factorizar 15 (𝑥 + 2)2 − 9(𝑥 + 2)3 
15 (𝑥 + 2)2 − 9(𝑥 + 2)3 = 3(𝑥 + 2)2[5 − 3(𝑥 + 2)] 
 15 (𝑥 + 2)2 − 9(𝑥 + 2)3 = 3(𝑥 + 2)2[5 − 3𝑥 − 6] 
 15 (𝑥 + 2)2 − 9(𝑥 + 2)3 = 3(𝑥 + 2)2(−3𝑥 − 1) 
 
● Factor común por grupos: Existen polinomios que no tienen un factor común en todos 
sus términos, pero que presentan una estructura que permite formar grupos de igual 
cantidad de términos y extraer factor común en cada uno de esos grupos. Una vez 
realizado esto, observamos si tenemos un nuevo factor común en todos los grupos. Si 
esto ocurre, lo extraemos y el polinomio queda factorizado. 
EJEMPLO 1: 
Se tiene ahora, el siguiente polinomio, al que se debe factorizar: 
 
Se puede observar que en él no es posible factorizar extrayendo factor común, ya que no 
existe un factor común a todos los términos. Entonces, se propone formar grupos de igual 
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número de términos donde sí se pueda extraer algún factor común. Se pueden considerar, 
por ejemplo, estos dos modos de agrupar: 
● (7𝑥5 − 5𝑥4) + (14𝑥 − 10) 
● (7𝑥5 + 14𝑥) + (−5𝑥4 − 10) 
Se elige una de las dos formas (en este caso, la primera) y se observa cuál es el factor 
común que se puede extraer del primer grupo, y lo mismo para el segundo. Se concluye 
que se puede extraer 𝑥 4 en el primer grupo y 2 en el segundo. Por lo tanto, la expresión 
queda de la siguiente manera: 
 
Se puede ver, que en ambos términos hay una expresión que se repite; esta expresión es 
(7𝑥 − 5). Por lo tanto, (7𝑥 − 5) es un factor común a ambos términos. 
Entonces, si es un factor común a ambos términos, se puede extraer aplicando factor 
común. Luego, se tiene lo siguiente: 
 
 
Como el polinomio dado pudo ser expresado como producto de dos polinomios de grado 
menor que él, podemos decir que ese polinomio está factorizado. 
 Observaciones: 
- - Los grupos que se han formado tienen igual cantidad de términos. 
- - De cada uno de los grupos se puede extraer un factor común. 
- - Una vez extraído el factor común, debe quedar una expresión común a cada uno 
de los términos para que ella pueda extraerse como factor común. 
 
Este modo de factorizar implica formar grupos de igual cantidad de términos y luego aplicar 
factor común en cada uno de los grupos. Se puede decir que este modo de factorizar 
polinomios se corresponde con otro método de factorización y se denomina factor común 
por grupos. 
 
EJEMPLO 2: Factorizar 
 
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EJEMPLO 3: Factorizar 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 6 
𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 6 = (𝑥 3 − 2𝑥 2) + (3𝑥 − 6) 
 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 6 = 𝑥 2(𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) 
𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 6 = (𝑥 2 + 3)(𝑥 − 2) 
 
● Trinomio cuadrado perfecto: Se aplica cuando existe un trinomio de grado par, con dos 
términos que son cuadrados perfectos y un término que es el doble del producto de las 
bases de los cuadrados perfectos. 
Para comenzar aestudiar este caso, se debe recordar el concepto de cuadrado de un 
binomio. 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑏2 
 
 
 cuadrado de un binomio trinomio cuadrado perfecto 
 
Por ser una igualdad es posible escribir el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de 
un binomio, permitiendo factorizar el polinomio. 
 
𝑎2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 
 
EJEMPLO 1: Factorizar 4𝑥2 + 12𝑥 + 9 
Analicemos si el polinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto, intentando encontrar 
las bases que lo conforman. 
Una vez encontradas las bases, se comprueba si es un trinomio cuadrado perfecto 
verificando el término del doble producto. 
 
 
Por último, se escribe el cuadrado del binomio. 
 
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Este método nos permite factorizar trinomios cuadrados perfectos como elcuadrado del 
binomio. 
EJEMPLO 2: Factorizar 
 
 
 
 
 
Pero 12𝑥 no es igual que el término del polinomio −12𝑥. Se prosigue considerando alguna 
de las bases negativas. 
- considerando 
- considerando 
Entonces si consideramos una de las bases negativa obtenemos el doble producto de las 
bases. 
Por lo cual podemos escribir 𝑥² − 12𝑥 + 36 = (−𝑥 + 6)² o bien 𝑥² − 12𝑥 + 36 = (𝑥 − 6)². 
Ambos resultados son correctos. 
Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto se debe tener en cuenta que: 
- Los términos cuadrados siempre son positivos. 
- El término del doble producto es positivo siempre que ambas bases sean positivas o ambas 
bases sean negativas. 
- El término del doble producto es negativo siempre que las bases tengan signos opuestos. 
 
EJEMPLO 3: Factorizar 𝑥 8 + 12𝑥 4 + 36 
𝑥 8 + 12𝑥 4 + 36 = (𝑥 4 + 6)2 
 
● Cuatrinomio cubo perfecto: Es aplicable cuando existe un polinomio de cuatro términos 
tal que dos de sus términos sean cubos perfectos, un término es el triple del cuadrado 
de la base del primer término por la base del segundo; y el término restante es el triple 
de la base del primer término por el cuadrado de la base del segundo término. 
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Para comenzar a estudiar este caso, se debe recordar el concepto de cubo de un binomio. 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏 + 3 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏2 + 𝑏3 
 
Cubo de un binomio Trinomio cuadrado perfecto 
 
Por ser una igualdad es posible escribir el trinomio cuadrado perfecto como el cubo de un 
binomio, permitiendo factorizar el polinomio. 
𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3 
 
EJEMPLO 1: Factorizar 
Se observa que es un cuatrinomio, donde dos de sus términos son cubos: 𝑥 3 y 27. Entonces, 
lo que se intenta realizar es expresar el cuatrinomio dado como el cubo de un binomio. 
Para ello, se deben encontrar las bases de 𝑥 3 y 27; ellas son: 𝑥 y 3, respectivamente. 
Luego, se debe formar con estas bases los términos no cúbicos del cuatrinomio. Para ello 
se escribe: 
● El triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda: 
● El triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda: 
 
Como se obtuvieron los dos términos no cúbicos del cuatrinomio, se puede decir que el 
cuatrinomio dado es un cuatrinomio cubo perfecto, por lo que se podrá escribir como el 
cubo de un binomio del siguiente modo: 
 
 
EJEMPLO 2: Factorizar 
En este caso, los términos cúbicos son: 𝑥 3 y −8; por lo tanto las bases respectivas son 𝑥 y 
−2. Ahora queda probar que los términos no cúbicos son el triple del cuadrado de la primera 
base por la segunda y el triple del cuadrado de la segunda base por la primera: 3. 𝑥². (−2) =
−6𝑥² y 3𝑥. (−2)² = 12𝑥. 
Por lo tanto, el cuatrinomio dado cumple con las características de un cuatrinomio cubo 
perfecto, por lo que se puede factorizar de la siguiente forma: 
 
 
 
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EJEMPLO 3: Factorizar 
 
Aquí, los términos cúbicos son −𝑥³ y −
1
8
. Luego, las bases son −𝑥 y −
1
2
, respectivamente. 
El triple del cuadrado de la primera base por la segunda es: 3. (−𝑥)². (−
1
2
) = −
3
2
𝑥². Y el 
triple del cuadrado de la segunda base por la primera es: 3. (−𝑥).(−
1
2
)
2
= −
3
4
𝑥. 
Por lo tanto, se pudieron hallar los términos no cúbicos del cuatrinomio. Luego, se puede 
decir que es un cuatrinomio cubo perfecto y éste se puede factorizar como el cubo de un 
binomio: 
 
 Observaciones: 
Al factorizar un cuatrinomio cubo perfecto se debe tener en cuenta que: 
- Los términos cúbicos son positivos siempre que las bases sean positivas. 
- Los términos cúbicos son negativos siempre que las bases sean negativas. 
- Dos términos son positivos y dos términos son negativos siempre que las bases tengan 
signos opuestos. 
● Diferencia de cuadrados: Puede aplicarse cuando el polinomio es de la forma 𝑎2 − 𝑏2 . 
En este caso, el polinomio se factoriza como un producto de binomios conjugados. 
Recordemos uno de los productos notables, el producto de binomios conjugados: 
(𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
 
 
Producto de binomios Diferencia 
conjugados de cuadrados 
 
Por ser una igualdad es posible escribir la diferencia de cuadrados como el producto de 
binomios conjugados, permitiendo factorizar el polinomio. 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) 
EJEMPLO 1: Factorizar 4𝑡2 − 
1
25
 
 
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Entonces las bases son: 2𝑡 y 
1
5
 
La factorización es la siguiente: 
 4𝑡2 − 
1
25
 = (2𝑡 +
1
5
) . (2𝑡 −
1
5
) 
 
EJEMPLO 2: Factorizar 𝑥 2 − 64 
 
𝑥 2 − 64 = (𝑥 + 8) ∙ (𝑥 − 8) 
 
EJEMPLO 3: Factorizar 25 𝑎2 – 4 
25 𝑎2 – 4 = (5𝑎 + 2). (5𝑎 − 2) 
 
 
● Combinación sucesiva de los casos de factorización 
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más polinomios de grado 
menor que él. 
Por ejemplo: 
3𝑥 3 − 12𝑥 = 3𝑥. (𝑥 2 − 4) 
Se ha factorizado, aplicando el método de factorización “factor común”, pero se puede 
observar que el polinomio dentro del paréntesis puede seguir factorizándose. 
Podemos aplicar, el método de factorización “diferencia de cuadrados”, y el polinomio 
queda expresado como: 
 3 𝑥 3 − 12 𝑥 = 3𝑥. (𝑥 2 − 4) = 3𝑥. (𝑥 + 2).(𝑥 − 2) 
Ahora ya no se puede seguir aplicando ningún caso de factorización, es decir, el polinomio 
está factorizado completamente. 
Un polinomio queda factorizado completamente, cuando está expresado como el producto 
de dos o más polinomios que no pueden descomponerse en el producto de otros polinomios 
de grado menor. 
 
EJEMPLO 1: Factorizar el polinomio 4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 
- Asociamos los términos del segundo miembro, formando dos grupos de igual cantidad de 
términos, para aplicar el método de factor común por grupos: 
4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 = (4𝑥 3 − 4𝑥 2) + (−36𝑥 + 36) 
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- Extraemos, en el primer término del segundo miembro de la igualdad, factor común 4𝑥 2; 
y extraemos en el segundo término del segundo miembro factor común −36: 
4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 = 4𝑥 2. (𝑥 − 1) − 36. (𝑥 − 1) 
- Extraemos factor común (𝑥 − 1) en el segundo miembro de la igualdad: 
4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 = (𝑥 − 1).(4𝑥 2 − 36) 
- Extraemos factor común 4 en el segundo factor del segundo miembro de la igualdad: 
4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 = (𝑥 − 1). 4(𝑥2 − 9) 
- En el segundo miembro de la igualdad aplicamos el método de diferencia de cuadrados 
en el último factor y propiedad conmutativa de la multiplicación en el primer y segundo 
factor: 
4𝑥3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 = 4 ∙ (𝑥 − 1). (𝑥 − 3).(𝑥+ 3) 
Finalmente queda factorizado de la siguiente manera: 
4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 = 4 .(𝑥 − 1).(𝑥 − 3).(𝑥 + 3) 
 
Raíz de un polinomio 
Decimos que un número 𝑎 perteneciente al conjunto de los número s reales o al conjunto de 
los números complejos es raíz o cero de un polinomio 𝑃 si y sólo si la especialización de 𝑃(𝑥) 
en 𝑎 es 0. 
Simbólicamente: 
𝑎 es raíz de 𝑃 ⟺ 𝑃(𝑎) = 0 
 
EJEMPLO1: Comprobemos si 𝑥 = −1 es raíz de 𝑀(𝑥) = 𝑥 5 − 𝑥 3. 
Especializamos 𝑀(𝑥) en 𝑥 = −1: 
𝑀(−1) = (−1)5 − (−1)3 
Calculamos las potencias en el segundo miembro: 𝑀(−1) = −1 − (−1) 
Resolvemos: 
𝑀(−1) = 0 
Luego, 𝑥 = −1 es raíz de 𝑀(𝑥) = 𝑥 5 − 𝑥 3 porque el valor numérico de 𝑀(𝑥) en −1 es igual a 
cero. 
Teorema del factor 
Un polinomio 𝑃 tiene un factor 𝑥 − 𝑎 si y sólo si 𝑃(𝑎) = 0, es decir, si 𝑎 es raíz de 𝑃. 
 
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EJEMPLO: Determinar las raíces de 𝑃(𝑥) = 4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 
4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 = 4 ∙ (𝑥 − 1). (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) 
Podemos ver que las raíces son los valores que anulan al polinomio, es decir que hacen cero 
a cada uno de los factores, de esta manera: 
𝑃(𝑥) = 4𝑥 3 − 4𝑥 2 − 36𝑥 + 36 tiene por raíces 𝑥1 = 1 , 𝑥2 = 3 y 𝑥3 = 3 
Multiplicidad de una raíz 
En la expresión factorizada de un polinomio, la multiplicidad de una raíz, que se indica con 
𝑘, es la cantidad de veces que aparece el factor asociado a dicha raíz. 
 
EJEMPLO 1: Sea el polinomio dado en forma factorizada 𝐹(𝑥) = (𝑥 −
1
2
)
2
. 
Podemos escribir 𝐹(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) . (𝑥 −
1
2
). Por la definición de raíz de un polinomio sabemos 
que 𝑥 =
1
2
 es raíz de 𝐹(𝑥), y tiene multiplicidad 𝑘 = 2 porque es una raíz doble. 
 
EJEMPLO 2: Sea el polinomio dado en forma factorizada 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 1)2. 𝑥. (𝑥 + 3)3 
Podemos indicar que el polinomio tiene como raíces a 𝑥1 = 1 cuya multiplicidad es 𝑘 = 2 
porque es una raíz doble, 𝑥2 = 0 con multiplicidad 𝑘 = 1 es decir es una raíz simple, y 
finalmente 𝑥3 = −3 tiene como multiplicidad 𝑘 = 3. 
Raíces de un polinomio de segundo grado 
Es posible encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
utilizando la fórmula resolvente. 
Buscamos los valores de 𝑥 tales que 𝑃(𝑥) = 0 es decir: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
con la fórmula resolvente obtenemos: 𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
 
EJEMPLO: Hallar las raíces de 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥. 
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑎 = 1 𝑏 = −1 𝑐 = 0 
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 = 0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒: 
𝑥 =
1 ± √(−1)2 − 4.1.0
2.1
 
𝑥 =
1 ± 1
2
 
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𝑥1 =
1 + 1
2
= 1 
𝑥2 =
1 − 1
2
= 0 
Las raíces son 𝑥1 = 1 y 𝑥2 = 0. 
Lema o Teorema de Gauss 
Sea 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎0 de grado 𝑛, con 𝑎𝑛 ≠ 0 y coeficientes enteros. 
Si 𝑃 admite una raíz racional 
𝑝
𝑞
 (siendo 𝑝 y 𝑞 coprimos), entonces 𝑝 es divisor del término 
independiente y 𝑞 es divisor del coeficiente principal. 
 
EJEMPLO: Determinemos todas las raíces racionales del polinomio 𝐴(𝑥) = 8𝑥 3 + 10𝑥 2 −
11𝑥 + 2. 
- Identificamos los divisores del término independiente, que en 𝐴 es 𝑎0 = 2. 
Divisores de 2: ±1; ±2. 
- Identificamos los divisores del coeficiente principal de 𝐴, 𝑎𝑛 = 8. 
Divisores de 8: ±1; ±2; ±4; ±8. 
- Efectuamos todos los cocientes entre los divisores de 2 y los divisores de 8 para obtener las 
posibles raíces racionales de 𝐴: ±1; ±
1
2
; ±
1
4
; ±
1
8
; ±2. 
- Aplicamos Teorema del resto para determinar las raíces. 
Si 𝑥 =
1
2
, 𝐴 (
1
2
) = 8 ∙ (
1
2
)
3
+ 10 ∙ (
1
2
)
2
− 11 ∙
1
2
+ 2 
Resolvemos y obtenemos: 𝐴 (
1
2
) = 0. Entonces 
1
2
 es una raíz de 𝐴. 
Si 𝑥 =
1
4
, 𝐴 (
1
4
) = 8 ∙ (
1
4
)
3
+ 10 ∙ (
1
4
)
2
− 11 ∙
1
4
+ 2 
Resolvemos y obtenemos: 𝐴 (
1
4
) = 0. Luego 
1
4
 es una raíz de 𝐴. 
 
Si 𝑥 = −2, 𝐴(−2) = 8 ∙ (−2)3 + 10 ∙ (−2)2 − 11 ∙ (−2) + 2 
Resolvemos y obtenemos: 𝐴(−2) = 0 
 
También es posible aplicar el siguiente procedimiento: 
- Dividimos 𝐴(𝑥) = 8𝑥 3 + 10𝑥 2 − 11𝑥 + 2 por (𝑥 −
1
2
) aplicando la regla de Ruffini. Luego 
dividimos por (𝑥 −
1
4
) y por último (𝑥 + 2). Resultando: 
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- Luego, las raíces de 𝐴 son 𝑥1 =
1
2
, 𝑥2 =
1
4
 y 𝑥3 = −2 
Suele ser de gran utilidad aplicar este último procedimiento hasta reducir el polinomio a un 
polinomio de grado 2, y luego encontrar las raíces aplicando fórmula resolvente. Esto se 
debe a que el Teorema de Gauss sólo permite obtener raíces racionales, mientras que la 
fórmula resolvente permite obtener raíces de cualquier naturaleza. 
Retomando el mismo ejemplo, podemos ver que al dividir 𝐴 por (𝑥 −
1
2
) aplicando la Regla 
de Ruffini, se obtiene la primera raíz 𝑥1 =
1
2
 y se logra reducir el polinomio a un polinomio 
de segundo grado. 
 
De manera que pueden obtenerse las raíces restantes del polinomio 8𝑥 2 + 14𝑥 − 4 aplicando 
la fórmula resolvente: 
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 = 8, 𝑏 = 14 𝑦 𝑐 = −4 
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 8𝑥2 + 14𝑥 − 4 = 0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒: 
𝑥 =
−14 ± √(14)2 − 4.8. (−4)
2.8
 
𝑥 =
−14 ± √324
16
 
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14 
 
𝑥2 =
−14 + 18
16
=
1
4
 
𝑥3 =
−14 − 18
16
= −2 
- Luego, las raíces de 𝐴(𝑥) son 𝑥1 =
1
2
, 𝑥2 =
1
4
 y 𝑥3 = −2 
Teorema fundamental del álgebra 
Todo polinomio en una indeterminada 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎0 de grado 𝑛 ≥
1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja). 
Teorema de las 𝑛 raíces 
Sea 𝑃 ∈ 𝑅[𝑥] un polinomio de grado 𝑛 ≥ 1, entonces 𝑃 tiene exactamente 𝑛 raíces siempre 
y cuando la multiplicidad “𝑘” de una raíz, se cuente 𝑘 veces. 
 
Teorema de la descomposición factorial de un polinomio 
 Todo polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎0 ∈ 𝑅[𝑥] de grado 𝑛, puede 
factorizarse como: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑟1 )(𝑥 − 𝑟2 ) … (𝑥 − 𝑟𝑛) 
donde 𝑎𝑛 es el coeficiente principal de 𝑃 y 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑛 son las 𝑛 raíces 𝑑𝑒 𝑃. 
 
EJEMPLO 1: 
Aplicando este teorema es que podemos escribir al polinomio 𝐴(𝑥) = 8𝑥 3 + 10𝑥 2 − 11𝑥 + 2 
factorizado a partir de la obtención de sus raíces las raíces de 𝐴(𝑥) son 𝑥1 =
1
2
, 𝑥2 =
1
4
 y 𝑥3 =
−2 como: 𝐴(𝑥) = 8 (𝑥 −
1
2
) . (𝑥 −
1
4
) . (𝑥 + 2) 
 
EJEMPLO 2: Determina todas las raíces del polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 27𝑥 − 18 y 
luego escribe su factorización completa. 
Es un polinomio a coeficientes enteros y el término independiente es distinto de cero. 
Divisores del término independiente: ±1, ±2,±3,±6,±9,±18 
Divisores del coeficiente principal: ±1,±2 
Posibles raíces racionales: ±1,±2,±3,±6,±9,±18,±
3
2
,±
9
2
,±
1
2
 
Aplicamos teorema del resto: 
𝑃(1) = 2. 13 − 7. 12 − 27.1 − 18 = −50 (no es raíz) 
 
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15 
 
𝑃(−1) = 2(−1)3 − 7(−1)2 − 27(−1) − 18 = 0 𝑥 = −1 es raíz de P. 
 
Verificamos aplicando la regla de Ruffini, y utilizamos el cociente (de grado 2) para 
hallar el resto de las raíces con la fórmula resolvente. 
 
El cociente es: 2𝑥 2 − 9𝑥 − 18 
Encontramos las raíces de 2𝑥 2 − 9𝑥 − 18 
 
𝑥 =
 −(−9) ± √81 − 4.2.(−18)2.2
 
𝑥 =
 9 ± √225
4
 
𝑥 =
 9 ± 15
4
 
𝑥1 = 6 ; 𝑥2 = −
3 
2 
 
 
Por lo tanto, P se factoriza de la siguiente manera: 
𝑃(𝑥) = 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 6) (𝑥 +
3
2
) 
 
EJEMPLO 3: Determina todas las raíces del polinomio 𝑄(𝑥) = 2𝑥 4 − 6𝑥 2 + 4𝑥 y luego 
escribe su factorización completa. 
 
Se puede observar, que es un polinomio de coeficientes enteros y de grado cuatro, pero el 
término independiente es cero. Esto nos indica que una de sus raíces es cero, es decir, en 
primera instancia deberemos aplicar factor común para luego factorizar aplicando Teorema 
de Gauss. 
De esta manera escribimos 𝑄(𝑥) = 2𝑥 (𝑥 3 − 3𝑥 + 2) y notamos que una raíz es 𝑥1 = 0. 
Procedemos luego aplicar teorema de Gauss para factorizar 𝑥 3 − 3𝑥 + 2. Para ello 
consideramos en primer lugar los divisores del término independiente, que es 2; por lo tanto, 
sus divisores son 𝑝 = {±1 ,±2} . 
Luego, se deben determinar los divisores del coeficiente principal, que es 1; por lo que sus 
divisores son 𝑞 = {±1 } 
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16 
 
Entonces, las posibles raíces racionales del polinomio se encuentran formando las fracciones 
irreducibles 
𝑝
𝑞
= {±1 ,±2 } 
Se realiza la división aplicando la Regla de Ruffini, con todas las posibles raíces hasta 
encontrar el valor que anula el polinomio. 
 1 0 -3 2 
1 1 1 -2 
 1 1 -2 0 
 
Encontramos que la segunda raíz es 1, es decir, 𝑥2 = 1 
Una vez que encontramos una raíz, notamos que el polinomio resultante es de grado 2, por 
lo cual es posible encontrar sus raíces aplicando la fórmula resolvente. 
Encontramos las raíces de 𝑥 2 + 𝑥 − 2: 
 
𝑥 =
− 1 ± √12 − 4.1. (−2)
2.1
 
𝑥 =
−1 ± √9
2
 
𝑥 =
−1 ± 3
2
 
𝑥3 = −2 ; 𝑥4 = 1 
Entonces, 𝑄 puede factorizarse como: 
𝑄(𝑥) = 2𝑥 4 − 6𝑥 2 + 4𝑥 = 2 𝑥. (𝑥 − 1). (𝑥 − 1). (𝑥 + 2) 
Como se puede ver en la expresión factorizada, el factor (𝑥 − 1) se repite dos veces; por lo 
tanto, esto significa que 1 es raíz doble del polinomio. 
Y se puede reescribir la expresión factorizada como sigue: 
𝑄(𝑥) = 2𝑥 4 − 6𝑥 2 + 4𝑥 = 2𝑥 (𝑥 − 1)2(𝑥 + 2) 
Ecuaciones polinomiales 
Una ecuación polinomial o polinómica de grado n es una ecuación que tiene la forma 
𝑃(𝑥) = 0. 
EJEMPLOS: 
● Ecuación polinómica de tercer grado con una incógnita:𝑥 3 + 2𝑥 2 − 11𝑥 − 12 = 0 
● Ecuación polinómica de cuarto grado con una incógnita:2𝑥 4 + 2𝑥 3 − 22𝑥2 − 18𝑥 +
 35 = 0 
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17 
 
El método de resolución para las ecuaciones polinomiales de grado mayor que 2 se basa 
principalmente en la factorización de polinomios, aplicando el Teorema de Gauss, el 
Teorema del resto, la Regla de Ruffini y luego el teorema del factor. En las ecuaciones de 
tercer grado por ejemplo, basta con conocer una de sus raíces para resolverla por 
completo, porque uno de los factores resultantes será de segundo grado, cuyas raíces se 
obtendrán aplicando la fórmula resolvente. 
EJEMPLO 1: 
Tenemos por ejemplo la siguiente expresión polinomial expresada en función de sus factores 
e igualada a cero: 
(3𝑥 + 2).(5𝑥 − 4).(2𝑥 − 3) = 0 (1) 
Como el producto de estos tres factores es cero, esto significa que uno, dos, o los tres 
factores simultáneamente pueden ser cero. Igualando cada factor a 0 resulta: 
3𝑥 + 2 = 0 
 3𝑥 = 0 − 2 
 3𝑥 = −2 
 𝑥 = −2 ∙
1
3
 
 𝑥 = −
2
3
 
2𝑥 − 3 = 0 
 2𝑥 = 0 + 3 
 2𝑥 = 3 
 𝑥 = 3 ∙
1
2
 
 𝑥 =
3
2
 
5𝑥 − 4 = 0 
 5𝑥 = 0 + 4 
 5𝑥 = 4 
 𝑥 = 4 ∙
1
5
 
 𝑥 =
4
5
 
 
 
 
Estamos ahora en condiciones de resolver el problema inicial de esta sección: 
 
Problema de introducción: 
 
La intensidad de la reacción de un cuerpo a una dosis D de un cierto fármaco en mg, está 
dada por 
5.𝐷2
2
−
𝐷3
3
, ¿para qué dosis el cuerpo tendrá una reacción nula al medicamento? 
 
Es decir, queremos averiguar qué valores de la dosis (incógnita D) hacen cero la ecuación, 
por lo tanto podemos plantear que: 
5.𝐷2
2
−
𝐷3
3
= 0 
Luego si factorizamos la expresión, extrayendo factor común D 
 
𝐷2. (
5
2
−
𝐷
3
) = 0 
Resolvemos aplicando el teorema del factor cero, entonces: 
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18 
 
𝐷2 = 0 
𝐷 = 0 
 
5
2
−
𝐷
3
= 0 
 −
𝐷
3
= −
5
2
 
 
𝐷
3
=
5
2
 
 𝐷 =
5
2
. 3 
 𝐷 =
15
2
= 7,5 
 
Es decir tendrá una reacción nula al medicamento si no se coloca dosis, o si se coloca una 
dosis de 7,5 mg. 
 
 
DESIGUALDADES E INECUACIONES 
 
 
Resolver ecuaciones es una de las tareas tradicionales de la matemática, pero es casi de la 
misma importancia en cálculo saber resolver una inecuación por ejemplo ─2𝑥 + 6 < 70 o 
𝑥 2 − 2𝑥 + 46 ≥ 0, o como plantea el problema 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 10𝑥 + 26 < 2 
Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen 
verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo co njunto solución, en general, consta de un 
número o un conjunto finito de números, el conjunto solución de una inecuación por lo 
común consta de un intervalo completo de números o, en algunos casos, la unión de tales 
intervalos. 
 
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19 
 
Propiedades de las desigualdades 
 
Dados dos números reales, siempre podemos compararlos y decidir si son iguales o cuál es el 
mayor de ellos. 
 
 
 
El orden en los números reales tiene las siguientes propiedades: 
 
1. Si a y b son números reales, sucede una y sólo una de las siguientes relaciones (propiedad 
de tricotomía): i) a = b; ii) a > b; iii) a < b. 
2. Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐, entonces 𝑎 < 𝑐 (propiedad transitiva). 
 
3. Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ ,𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 . 
 
4. Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 > 0, entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐. 
 
5. Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 0, entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐. Podemos tener los tres casos siguientes. 
 
−𝑏𝑐 < −𝑎𝑐 𝑏𝑐 < 𝑎𝑐 −𝑏𝑐 < 𝑎𝑐 
 
Intervalos 
 
Definición: Dados dos números cualesquiera 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ con a menor que b, el intervalo 
definido por a y b es el conjunto de números x en ℝ que están entre a y b. 
Los números a y b pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener los 
siguientes casos: 
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20 
 
1. Si a y b pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo cerrado y escribimos: [𝑎, 𝑏] =
{𝑥 ∈ ℝ/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}. 
 
2. Si a y b no pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo abierto y escribimos: (𝑎, 𝑏) =
{𝑥 ∈ ℝ/ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}. 
 
3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos estos dos 
casos (intervalos semiabiertos o semicerrados): 
 
La noción de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las 𝑥 ∈ ℝ que son 
más mayores o menores que un número dado. 
Por ejemplo, para denotar al conjunto {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 𝑎} escribimos (𝑎, +∞). 
Los siguientes conjuntos son intervalos: 
(𝑎; +∞) = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 𝑎} 
 
[𝑎; +∞) = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 𝑎} 
 
(−∞; 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ /𝑥 < 𝑏} 
 
(−∞; 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤ 𝑏 } 
 
(−∞; +∞) = ℝ 
 
 
[ ] 
a b 
( ) 
a b 
( ] 
a b 
[ ) 
a b 
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21 
 
EJEMPLOS: 
 
Intervalo Desigualdad Gráfica en la recta. 
[-3; 5) 
-3 ≤ x < 5 
(-∞;-5] x ≤ -5 
 
[3; 8] 3 ≤ x ≤ 8 
 
(-5; 4) 
-5 < x < 4 
 
 
Solución de una inecuación 
Resolver una inecuación significa determinar el conjunto de números 𝑥 para los cuales la 
desigualdad es cierta. A este conjunto de números se le llama conjunto solución de la 
inecuación. 
 
 
Comencemos con el estudio de las inecuaciones polinomiales: 
 
Inecuación lineal o de primer grado 
 
Una inecuación lineal es una desigualdad polinomial que tiene la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 
(el símbolo, ≤ 𝑜 ≥) con 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0. 
 
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22 
 
Resolución: Para resolver una inecuación lineal se trabaja de la misma manera que en las 
ecuaciones lineales, siempre teniendo en cuenta el sentido de la desigualdad. 
 
EJEMPLO 1: 
Halla la solución de la desigualdad 3x + 5 ≤ -7x + 25 y represéntala gráficamente en la 
recta numérica. 
 
Primero sumamos 7x en ambos miembros de la 
igualdad. 
3𝑥 + 7𝑥 + 5 ≤ 25 
 
 10𝑥 + 5 ≤ 25 
Ahora sumamos -5 en ambos miembros. 
 10𝑥 ≤ 25 – 5 
 
 10𝑥 ≤ 20 
 
Multiplicamos ambos miembros por 
1
10
. De esta 
manera tenemos que la solución está formada por 
todos los números menores o iguales que 2. En 
otros términos, la solución está dada por el 
intervalo (- ∞; 2]. 
 𝑥 ≤ 20.
1
10
 
 
 𝑥 ≤ 2 
 
 
EJEMPLO 2: 
Resuelve la desigualdad 2 + x < 9 x + 6 y representa la solución en la recta numérica. 
En primer lugar sumamos -2 a ambos miembros 
de la desigualdad. 
 𝑥 < 9𝑥 + 6 − 2 
 
 𝑥 < 9𝑥 + 4 
 
Luego se resta 9x en ambos miembros. 𝑥 − 9𝑥 < 4 
 
 −8𝑥 < 4 
 
Ahora multiplicamos ambos miembros por −
1
8
. 
Observa que al multiplicar por el número 
negativo cambiamos el sentido de la 
desigualdad. Por lo tanto, el conjunto solución 
está formado por todos los números mayores 
que −
1
2
. En otras palabras, la solución de la 
desigualdad es el intervalo (−
1
2
, ; +∞). 
 
 
 𝑥 > 4.(−
1
8
) 
 
 𝑥 > −
4
8
 
𝑥 > −
1
2
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
EJEMPLO 3: 
Halla la solución de la desigualdad 7 < 3𝑥 – 2 ≤ 13 y represéntala en la recta real. 
Solución: En este caso tenemos una doble desigualdad en la cual queda comprendida la incógnita. 
La solución consta de todos los valores de x que satisfacen las dos desigualdades. Para resolverla 
despejamos x de la desigualdad. 
Primero sumamos 2 en todos los 
miembros de la desigualdad. 
7 < 3𝑥 – 2 ≤ 13 
7 + 2 < 3𝑥 ≤ 13 + 2 
9 < 3𝑥 ≤ 15 
Luego multiplicamos por 
1
3
 toda la 
desigualdad. De esta manera tenemos 
que la solución está formada por 
todos los números x mayores que 3 y 
menores o iguales a 5. En otros 
términos, la solución está dada por el 
intervalo (3, 5]. 
1
3
. 9 < 𝑥 ≤
1
3
. 15 
3 < x ≤ 5 
 
 
 
 
EJEMPLO 4: 
Problema: 
Un estudiante debe mantener un promedio numérico final en cinco exámenes de 80% 
a 89%, para estar aprobado en el curso de cálculo como distinguido. Si en los primeros 
cuatro exámenes obtuvo calificaciones de 96%, 70%, 81% y 95%, ¿qué calificación 
deberá obtener en el examen final para obtener una nota que le permita promocionar 
con distinguido? Sabiendo que la categoría siguiente es aprobar con sobresaliente, ¿es 
posible obtener una nota que le permita alcanzar dicha categoría? 
Dejemos que x (0 ≤ x ≤ 100) sea la calificación que debe obtener el estudiante en el 
examen final. Un promedio se busca sumando las notas y dividiendo entre el número de 
notas. Así, el promedio del estudiante se calculará de la siguiente manera: 
 
Queremos que el promedio final quede entre 80% y 90%, inclusive el 80. Luego, al 
simplificar la expresión anterior, tenemos: 
80 ≤
342 + 𝑥
5
< 90 
Si resolvemos la desigualdad anterior: 
80.5 ≤ 342 + 𝑥 < 90.5 
400 ≤ 342 + 𝑥 < 450 
58 ≤ 𝑥 < 108 
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24 
 
El resultado anterior significa que, el estudiante no puede sacar menos de 58% en el 
examen final si desea una calificación de distinguido en dicho curso. Otras 
consecuencias del resultado anterior son que si obtiene una calificación menor de 58% 
en dicho examen final, su nota final será menos de distinguido y que no hay modo de 
que el estudiante obtenga una nota final de Sobresaliente, pues 0 ≤ x ≤ 100 y el resultado 
obtenido implica que tendría que obtener una calificación mayor o igual a 108 para 
obtenerla. 
 
 
Inecuaciones polinomiales de grado mayor que uno 
 
El procedimiento de resolución es el siguiente: 
• Expresarla como 𝑃(𝑥) < 0, 𝑃(𝑥) ≤ 0, 𝑃(𝑥) > 0, 𝑃(𝑥) ≥ 0. 
• Factorizar el polinomio 𝑃(𝑥). 
• Estudiar el signo de cada factor. 
• Estudiar el signo del producto de los factores, que será el producto de los signos. 
 
 
EJEMPLO 1: 
Encontrar el conjunto solución de 𝑥3 + 𝑥 ≤ 4𝑥2 − 6 
Solución: 
𝑥3 + 𝑥 − 4𝑥2 + 6 ≤ 0 
𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 ≤ 0 
Divisores del coef. Principal = ±1 
Divisores del término independiente = ±1, ±2, ±3, ±6 
Posibles raíces (p/q)= ±1, ±2, ±3, ±6 
𝑃(1) = 13 − 4. 12 + 1 + 6 = 4 1 no es raíz 
𝑃(−1) = (−1)3 − 4. (−1)2 + (−1) + 6 = 0 → x=-1 es raíz 
 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 es el polinomio resultante 
El polinomio factorizado es: 𝑥 3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 + 1).(𝑥 2 − 5𝑥 + 6) 
Calculamos el resto de raíces aplicando fórmula resolvente a 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 
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25 
 
𝑥2,3 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4.1.6
2.1
 
𝑥2 = 2 y 𝑥3 = 3 
Entonces el polinomio factorizado completo 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = 1. (𝑥 + 1).(𝑥 − 2).(𝑥 − 3) 
𝑥 3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 ≤ 0 lo podemos escribir 
1. (𝑥 + 1). (𝑥 − 2). (𝑥 − 3) ≤ 0 queremos que el resultado sea negativo 
 Signo de factores Signo expresión 
Intervalos Valor de prueba 1. (𝑥 + 1) (𝑥 − 2) (𝑥 − 3) 1. (𝑥 + 1). (𝑥 − 2). (𝑥 − 3) 
(−∞, −1) -2 - - - −. −. −= − 
(−1,2) 0 + - - +. −. −= + 
(2,3) 2.5 + + - +. +. −= − 
(3, ∞) 4 + + + +. +. += + 
 
Marcamos raíces y vemos intervalos 
 
 
Solución de la desigualdad 𝑆 = (−∞,−1] ∪ [2,3] 
 
EJEMPLO 2: 
Encontrar el conjunto solución de 
2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 3𝑥 > 0 
 Extraemos factor común 
𝑥. (2𝑥 2 − 5𝑥 − 3) > 0 
Aplicamos fórmula resolvente a la expresión 2𝑥 2 − 5𝑥 − 3, y obtenemos como raíces 𝑥2 =
3 ,𝑥3 = −
1
2
 
 
2𝑥. (𝑥 − 3). (𝑥 +
1
2
) > 0 , es decir buscamos que el producto sea positivo. 
 
 Signo de factores Signo expresión 
Intervalos Valor de prueba 2𝑥 (𝑥 − 3) 
(𝑥 +
1
2
) 2𝑥. (𝑥 − 3). (𝑥 +
1
2
) 
(−∞, −
1
2
) 
-1 - - - - 
(−
1
2
, 0) 
-0,2 - - + + 
(0,3) 1 + - + - 
(3, ∞) 4 + + + + 
 
Marcamos las raíces y quedan determinados los siguientes intervalos: 
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26 
 
 
 
Solución: 𝑆 = (−
1
2
,0) ∪ (3,∞) 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS 
 
 
Definición: 
Llamamos expresión algebraica racional fraccionaria al cociente de dos polinomios 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
siendo 𝑄(𝑥) ≠ 0 
 
Por ejemplo: 
● 
 𝑥2 + 1 
5𝑥 + 3
 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ −
3
5
 
 
● 
𝑥2 − 2 
𝑥−1
 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 1 
 
 
Restricciones de expresiones algebraicas racionales fraccionarias 
 
Diremos que una expresión algebraica racional fraccionaria no está definida, cuando el 
denominador es cero. 
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27 
 
 
Para que la expresión algebraica racional fraccionaria esté definida, se coloca como 
restricción que la indeterminada sea distinta del valor que anula al denominador. 
En nuestro ejemplo 
 𝑥2 + 1 
5𝑥 + 3
 x debe ser distinto de 𝑥 ≠ −
3
5
 puesto que: 
5𝑥 + 3 ≠ 0 
 5𝑥 ≠ −3 
 𝑥 ≠ −
3
5
 
En nuestro ejemplo 
𝑥2 − 2 
𝑥−1
 x debe ser distinto de 1, en símbolos 𝑥 ≠ 1 puesto que: 
𝑥 − 1 ≠ 0 
 𝑥 ≠ 1 
 
Ejemplos: 
Expresión algebraica 
 
Restriccies 
 
𝑥 ≠ 0 
 
𝑥 ≠ −5 
 
𝑥 ≠ 1 
 
𝑥 ≠ −𝑏 
 
 
Expresiones algebraicas racionales fraccionarias equivalentes 
Dos expresiones algebraicas racionales fraccionarias 
 𝐴 
𝐵
 𝑦 
 𝐶 
𝐷
 con B y C distintos de cero son 
equivalentes si asumen los mismos valores numéricos para toda asignación de la 
indeterminada en las dos expresiones. Se indica 
 𝐴 
𝐵
 = 
 𝐶 
𝐷
 
 
Propiedades 
a) Las expresiones racionales 
 𝐴 
𝐵
 𝑦 
𝑀 𝐶 
𝑀 𝐷
 son equivalentes, siempre que B, 𝑀 ≠ 0. 
Ejemplo: 
(𝑥 + 1) 
𝑥
=
(𝑥 + 1) (𝑥 − 1) 
𝑥 (𝑥−1)
 para todo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ 1 
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28 
 
b) Si 
 𝐴 
𝐵
 𝑦 
 𝐶 
𝐷
 son equivalentes, entonces 𝐴. 𝐷 = 𝐵. 𝐶 con B, D≠ 0 
Esta propiedad se puede utilizar para decidir si dos expresiones NO son equivalentes. 
 
 
Por ejemplo: 
 𝑥 + 7 
𝑥2
 y 
7
𝑥
 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0 no son equivalentes pues: (𝑥 + 7)𝑥 ≠ 7𝑥 2 
 
Simplificación de expresiones algebraicas racionales fraccionarias 
 
Para simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria, se factorizan numerador y 
denominador, y luego se simplifican los factores comunes. Se obtiene así una expresión 
racional, reducida o simplificada, equivalente a la dada. Este proceso también se conoce 
como “reducir a la mínima expresión”. 
 
Para poder llevar a cabo una simplificación, hay que verificar si la expresión algebraica está 
o no factorizada. Si no lo está, se debe factorizar la expresión. Luego se simplifican los 
factores comunes en el numerador y denominador, obteniéndose otra expresión 
equivalente. 
 
EJEMPLO 1: 
Para simplificar: 
 
Se factoriza el numerador y el denominador: 
𝑥 2 − 5𝑥 = 𝑥 (𝑥 − 5) 𝑥 2 − 25 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) 
Reemplazando las expresiones factorizadas en la expresión algebraica racional fraccionaria: 
 
Luego simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador: 
 
Por último, se obtiene la expresión equivalente: 
 
 
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29 
 
𝑥2 −5𝑥
𝑥2 −25
=
𝑥
𝑥+5
 ∀ 𝑥 ≠ ±5 
Se presenta otro ejemplo: 
 
Observemos que los polinomios ya están escritos en forma factorizada y por lo tanto 
procedemos a simplificar: 
 
EJEMPLO 2: 
 
Factorizamos ambos polinomios: 
𝑎2 + 9 − 6𝑎 = (𝑎 − 3)2 𝑎2 − 9 = (𝑎 + 3)(𝑎 − 3) 
Reescribiendo la expresión: 
 
Simplificando los factores comunes: 
 
Luego hallamos la expresión equivalente: 
 ∀ 𝑎 ≠ ±3 
 
 
● Adición y Sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias 
CON IGUAL DENOMINADOR 
El resultado de resolver una adición o sustracción de dos o más fracciones con igual 
denominador es otra fracción que tiene el mismo denominador y cuyo numerador es la suma 
o diferencia de los numeradores. 
Es decir, 
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑏
=
𝑎±𝑐
𝑏
 con 𝑏 ≠ 0 
 
 
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30 
 
Por ejemplo: 
50
20
+
15
20
=
50 + 15
20
=
65
20
 
Siempre al terminar de resolver la operación, se simplifica el resultado: 
50
20
+
15
20
=
65
20
=
13
4
 
Para operar con expresiones algebraicas racionales fraccionarias se procede de la misma 
manera: 
Para sumar o restar expresiones algebraicas racionales fraccionarias con igual denominador, 
se suman o restan las expresiones de los numeradores, y se conserva el mismo denominador. 
Por último, si es posible, se simplifica la expresión resultante. 
EJEMPLO 1: 
 ∀ 𝑥 ≠ −
2
3
 
 
Por último se intenta simplificar, recordemos que para simplificar los polinomios deben estar 
factorizados: 
 ∀𝑥 ≠ −23 
EJEMPLO 2: 
𝑡2 + 16
𝑡2 − 16
−
8𝑡
𝑡2 − 16
 ∀ 𝑡 ≠ 4 ∧ 𝑡 ≠ −4 
 
𝑡2 + 16
𝑡2 − 16
−
8𝑡
𝑡2 − 16
=
𝑡2 + 16 − 8𝑡
𝑡2 − 16
 
 
Por último se intenta simplificar, recordemos que para simplificar los polinomios deben estar 
factorizados: 
𝑡2 + 16
𝑡2 − 16
−
8𝑡
𝑡2 − 16
=
𝑡2 + 16 − 8𝑡
𝑡2 − 16
=
(𝑡 − 4)2
(𝑡 + 4)(𝑡 − 4)
 =
𝑡 − 4
𝑡 + 4
 ∀ 𝑡 ≠ 4 ∧ 𝑡 ≠ −4 
 
 
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31 
 
CON DISTINTO DENOMINADOR 
Recordaremos la resoluciones de la adición de número racionales, mediante un ejemplo: 
2
5
+
3
25
+
1
2
 
 
Primero debemos encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m). 
Recordemos que el mínimo común múltiplo (m.c.m). entre dos números se obtiene, haciendo 
el producto de factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 
El m.c.m. entre 5 ; 25 y 2 es 52. 2 = 50 
Luego se divide el denominador común en cada uno de los denominadores y se multiplica 
cada resultado por su correspondiente numerador. 
2
5
+
3
25
+
1
2
=
20 + 6 + 25
50
=
51
50
 
 
Para finalizar se simplifica el resultado, en este caso en particular no podemos realizar 
ninguna simplificación. 
Con las expresiones algebraicas racionales fraccionarias se procede de la misma manera: 
Para resolver la adición o sustracción de expresiones algebraicas racionales fraccionarias, es 
necesario calcular el denominador común, es decir, hallar el mínimo común múltiplo de las 
expresiones algebraicas del denominador. Luego, se procede dividiendo el denominador 
común, en cada uno de los denominadores y a cada resultado se lo multiplica por su 
correspondiente numerador. 
Por último, si es posible, se simplifica la expresión resultante. 
 
Mínimo Común Múltiplo: para calcularlo las expresiones del denominador deben estar 
factorizadas, y se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes con su mayor 
exponente. 
 
EJEMPLO 1: Resuelve la siguiente adición: 
𝑥
𝑥 + 1
+
1
𝑥 − 1
= ∀ 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ −1 
 
Como los denominadores se encuentran factorizados, entonces podemos calcular el m.c.m.: 
como ambos son factores no comunes debemos realizar su producto: 
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32 
 
𝑚. 𝑐. 𝑚. = (𝑥 + 1).(𝑥 − 1) 
Efectuamos la operación: 
𝑥
𝑥 + 1
+
1
𝑥 − 1
=
𝑥. (𝑥 − 1) + 1.(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1).(𝑥 + 1)
 
Luego se aplica la propiedad distributiva: 
𝑥
𝑥 + 1
+
1
𝑥 − 1
=
𝑥 2 − 𝑥 + 𝑥 + 1
(𝑥 − 1).(𝑥 + 1)
 
 
Agrupando monomios semejantes: 
𝑥
𝑥 + 1
+
1
𝑥 − 1
=
𝑥 2 + 1
(𝑥 − 1).(𝑥 + 1)
 
No es posible factorizar el numerador, por lo cual no es posible simplificar la expresión. 
 
EJEMPLO 2: Resuelve las siguientes operaciones: 
𝑥 + 1
𝑥 − 3
−
𝑥
𝑥 + 3
−
6(𝑥 − 1)
𝑥 2 − 9
= ∀ 𝑥 ≠ 3 ∧ 𝑥 ≠ −3 
Primero se factorizan los denominadores: 
𝑥 + 1
𝑥 − 3
−
𝑥
𝑥 + 3
−
6(𝑥 − 1)
𝑥 2 − 9
= 
𝑥 + 1
𝑥 − 3
−
𝑥
𝑥 + 3
−
6(𝑥 − 1)
(𝑥 − 3).(𝑥 + 3)
= 
 
Luego se calcula el m.c.m = (𝑥 + 3).(𝑥 − 3) 
Resolviendo las operaciones se obtiene: 
𝑥 + 1
𝑥 − 3
−
𝑥
𝑥 + 3
−
6(𝑥 − 1)
(𝑥 − 3). (𝑥 + 3)
=
(𝑥 + 1). (𝑥 + 3) − 𝑥. (𝑥 − 3) − 6(𝑥 − 1)
(𝑥 − 3). (𝑥 + 3)
= 
 
Aplicando propiedad distributiva: 
 
(𝑥+1).(𝑥+3)−𝑥.(𝑥−3)−6(𝑥−1)
(𝑥−3).(𝑥+3)
=
𝑥2 +𝑥+3𝑥+3−𝑥2+3𝑥−6𝑥+6
(𝑥−3).(𝑥+3)Agrupando monomios semejantes: 
𝑥 + 1
𝑥 − 3
−
𝑥
𝑥 + 3
−
6(𝑥 − 1)
(𝑥 − 3).(𝑥 + 3)
=
𝑥 + 9
(𝑥 − 3). (𝑥 + 3)
 
 
No es posible simplificar la expresión. 
 
● Multiplicación de expresiones algebraicas racionales fraccionarias 
Recordemos cómo se resuelve la multiplicación de fracciones: 
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33 
 
Para multiplicar fracciones, se deben multiplicar los numeradores y los denominadores entre 
sí. Antes de efectuar la multiplicación de los numeradores y los denominadores, es 
conveniente simplificar cualquier numerador con cualquier denominador y viceversa. 
Por ejemplo: 
 
Procedemos de la misma forma para resolver la multiplicación de expresiones algebraicas 
racionales fraccionarias. 
Para resolver el producto de varias expresiones algebraicas racionales fraccionarias, se 
deben factorizar los numeradores y denominadores de todas las expresiones. Luego, se 
simplifican factores iguales del numerador con factores iguales del denominador, y 
viceversa. Por último, se multiplican las expresiones que quedaron sin simplificar en los 
numeradores, y también se multiplican las expresiones que quedaron sin simplificar en los 
denominadores. 
 
EJEMPLO 1: Resuelve la siguiente multiplicación: 
(𝑥 2 − 4)
(𝑥 2 − 9)
.
(𝑥 − 3)
(𝑥 + 2)2
 ∀ 𝑥 ≠ 3 ∧ 𝑥 ≠ −3 ∧ 𝑥 ≠ −2 
Primero factorizamos los polinomios del numerador y denominador: 
(𝑥 + 2). (𝑥 − 2)
(𝑥 + 3). (𝑥 − 3)
.
(𝑥 − 3)
(𝑥 + 2). (𝑥 + 2)
= 
Simplificamos factores comunes, y luego multiplicamos: 
 ∀ 𝑥 ≠ 3 ∧ 𝑥 ≠
−3 ∧ 𝑥 ≠ −2 
EJEMPLO 2: Resuelve la siguiente multiplicación: 
𝑥+2
(𝑥+2)2
.
𝑥2−4
𝑥
 ∀ 𝑥 ≠ −2 ∧ 𝑥 ≠ 0 
Primero debemos factorizar los polinomios del numerador y denominador, quedando 
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𝑥 + 2
(𝑥 + 2)2
.
𝑥 2 − 4
𝑥
=
(𝑥 + 2)
(𝑥 + 2).(𝑥 + 2)
.
(𝑥 + 2).(𝑥 − 2)
𝑥
= 
Luego se simplifican factores comunes del numerador y denominador, es decir: 
 
Por último, se multiplican los numeradores y los denominadores, quedando: 
 
𝑥+2
(𝑥+2)2
.
𝑥2−4
𝑥
= 
𝑥−2
𝑥
 ∀ 𝑥 ≠ −2 ∧ 𝑥 ≠ 0 
 
● División de expresiones algebraicas racionales fraccionarias 
Recordemos cómo se resuelve la división de fracciones: 
Para dividir dos fracciones, se debe multiplicar la primera fracción por la recíproca de la 
segunda, es decir 
𝑎
𝑏
:
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
 
Veamos un ejemplo: 
3
5
:
9
25
=
3
5
.
25
9
 
Luego se resuelve: 
3
5
.
25
9
=
3
5
.
5.5
3.3
=
5
3
 
Procedemos de la misma forma para resolver la división de expresiones algebraicas 
racionales fraccionarias. 
El cociente entre dos expresiones algebraicas racionales fraccionarias se obtiene 
multiplicando la primera por la recíproca de la segunda. 
 
EJEMPLO 1: Resuelve la siguiente división: 
∀ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ −3 ∧ 𝑥 ≠ 1 
Primero transformamos la división en una multiplicación 
𝑥 3 − 𝑥
2𝑥 2 + 6𝑥
:
5𝑥2 − 5𝑥
2𝑥 + 6
=
𝑥 3 − 𝑥
2𝑥 2 + 6𝑥
.
2𝑥 + 6
5𝑥 2 − 5𝑥
 
 
Luego, factorizamos los polinomios del numerador y denominador, quedando: 
Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad 1 
 
35 
 
𝑥 3 − 𝑥
2𝑥 2 + 6𝑥
.
2𝑥 + 6
5𝑥 2 − 5𝑥
=
𝑥. (𝑥 + 1).(𝑥 − 1)
2𝑥(𝑥 + 3)
.
2.(𝑥 + 3)
5𝑥(𝑥 − 1)
= 
 
Luego se simplifican factores comunes que aparezcan en el numerador y denominador, es 
decir: 
𝑥. (𝑥 + 1).(𝑥 − 1)
2𝑥(𝑥 + 3)
.
2. (𝑥 + 3)
5𝑥(𝑥 − 1)
= 
Por último, se multiplican los numeradores y los denominadores, quedando: 
 
𝑥3−𝑥
2𝑥2 +6𝑥
:
5𝑥2 −5𝑥
2𝑥+6
=
𝑥+1
5𝑥
 ∀ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ −3 ∧ 𝑥 ≠ 1 
 
Solución del ejercicio inicial de la sección 
 
Georg Simon Ohm descubrió a principios del siglo XIX, que en los circuitos eléctricos, 
la intensidad, el voltaje y la resistencia, se relacionan según la ley que tiene su 
nombre 
 
 
 
 
 
 
● El voltaje que proporciona un generador a un barrio de Paraná, viene dado por la 
siguiente expresión 𝑉(𝑡) = 1200 − 200𝑡2 (donde t es el tiempo en días de uso sin 
corte del generador), la resistencia total del barrio (teniendo en cuenta todos sus 
artefactos eléctricos, depende del tiempo del uso de los artefactos, también 
calculado en días sin interrupción) se resume en la expresión 𝑅(𝑡) = 2400 − 4𝑡2. 
a) Calcula la expresión que muestra la intensidad del generador, para ese 
barrio en particular, y de ser posible simplifícala. 
b) ¿Qué puedes concluir de la intensidad de corriente que reciben las casas 
del barrio? 
 
Solución: 
 
a) 𝐼 =
𝑉
𝑅
=
120000−200𝑡2
2400−4𝑡2
=
200 .(600−𝑡2 )
4.(600 −𝑡2 )
= 50 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒 
 
b) Sin importar la cantidad de días que esté funcionando el generador, o la cantidad 
de días que estén prendidos los artefactos, las viviendas reciben la misma 
intensidad de corriente. 
 
 
 
I: representa la intensidad medida en ampere 
V: representa el voltaje medido en volt 
R: representa la resistencia medida en ohm