Practico 4 Ecuaciones e inecuaciones

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Matemática para Informática
Primer Cuatrimestre 2017
Trabajo Práctico N� 4: Ecuaciones. Inecuaciones
Objetivos
El estudiante deberá ser capaz de:
� Adquirir destreza en la resolución de distintos tipos de ecuaciones, describiendo su dominio y
conjunto solución.
� Analizar conjuntos de soluciones de ecuaciones que dependan de parámetros.
� Resolver problemas planteando ecuaciones.
� Identi�car distintos tipos de inecuaciones y sus dominios.
� Adquirir destreza en la resolución de inecuaciones, describiendo el conjunto solución.
Duración: Doce (12) horas.
1. (a) De�ne ecuación, solución de una ecuación, y conjunto solución. Ejempli�ca
(b) De�ne ecuación equivalente y menciona las propiedades para resolver ecuaciones equivalentes.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta primero el dominio:
(i) 5 (x+ 2)� x = �3 (1� x) + 4 (ii) 2x+ 4 (x� 2) = 3(2x� 1)� 5x (iii) x� 3
5
=
3� x
4
(iv)
1
3
(x� 2) + 2
3
x = x+
4
3
(v) x� (6� x) = 3(x� 2)� x (vi) x� 1
2
=
4� 4x
�8
3. Para las siguientes ecuaciones, analiza si existen valores para el parámetro k, tal que las siguientes
ecuaciones lineales tengan: (a) Solución única, (b) In�nitas soluciones, (c) Ninguna solución.
(i) kx� 3 = 2 (x� k) (ii) 2kx� k + 1 = (k � 1)x
(iii) x = k2 � (1� kx) (iv) k(1� kx) = 2� 4x
4. Analiza las soluciones de la siguiente ecuación, según los valores de los parámetros a y b:
b � (3x� 4a) = a � (3x+ 4b)
5. Plantea y resuelve los siguientes problemas:
(a) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de
hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen
96 personas?
(b) Una empresa proveedora de Internet dispone el reemplazo del tendido de cable por �bra óptica
en un sector importante de la ciudad, el que se hará en cuatro tramos por cuatro equipos
distintos de trabajadores. El primer equipo realiza reemplaza 16 del cableado total. El segundo
equipo reemplaza 25 del cableado faltante. De la misma manera, el tercer equipo reemplaza
2
3
de lo que queda dejándole al último equipo un sector de 400 metros. Se estima un costo de
$700 por cada metro de cable reemplazado ¿Cuál es el costo de la obra?
(c) El stock de platos en un bazar se divide de la siguiente forma: la quinta parte son platos
blancos, la tercera parte son platos negros, si sumamos el total platos blancos y negros, la
cantidad obtenida excede en 100 unidades a los platos de cristal transparente. ¿Cúal es la
cantidad total de platos? ¿Cuántos platos de cada tipo hay?
(d) En una tienda de artículos escolares, un cuaderno cuesta el doble de un bolígrafo, el bolígrafo
cuesta 3 pesos más que un lápiz. Un muchacho ha comprado 6 bolígrafos, 10 lápices y 3
cuadernos. En total le han costado $80. ¿Cuánto habría gastado si compraba 8 bolígrafos, 15
lápices y un cuaderno?
1
6. Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
(i) j2x� 3j = 4 (ii) jx� 4j � 3 = x� 1 (iii) 3 jx+ 4j = x+ 2 (iv) jx� 1j = jxj
7. Expresa las siguientes ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx+ c = 0
(i) 2x2 + 7x = 2x+ 3 (ii) (x� 5)2 � 4 = 5 (iii) �x(x� 1) = �3x+ 7
(iv) x2 + 8 = 1� 72 (x� 2) (v) 4� 5x
2 = 4x(3 + x) (vi) 4x(x+ 1) = �3
�
8
3
x+ 3
�
(a) En cada caso indica el término cuadrático, lineal e independiente, así como sus respectivos
coe�cientes.
(b) Estudia la naturaleza de las raíces de cada ecuación y resuélvelas en R aplicando la fórmula
cuadrática.
(c) Veri�ca las propiedades de las raíces de cada ecuación, cuando sea posible.
8. Resuelve en R, cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrados.
(i) x2 � 2x� 8 = 0 (ii) � 23x
2 + 2x+ 10 = 0 (iii) x2 � 3x+ 3 = 0 (iv) 4x2 + 4x+ 1 = 0
9. (a) Determinar la ecuación de segundo grado que cumple que la suma de las soluciones es 5 y el
producto es 6.
(b) Determinar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones x1 = �3, y x2 = 3:
10. En las siguientes ecuaciones halla, si es posible, el(los) valores del parámetro k que satisfaga(n) las
condiciones que se indican.
(a) 2kx2 � 6kx+ (k + 7) = 0 tiene una raíz doble.
(b) (3� k)x2 + 9x+ (k � 3) = 0 tiene una raíz igual a 2:
(c) En x2 + kx� 2 = 0 la diferencia de sus raíces es igual a 3.
(d) En 2x2 � 12x+ (k + 2) = 0 la suma de sus raíces es igual a 0.
11. Realiza un planteo mediante alguna ecuación y resuelve.
(a) La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 107. Encuentra los dos números.
(b) Un campo rectangular que es 20 metros (m) más largo que ancho y su área es 300 m2. ¿Cuáles
son las dimensiones del campo?
(c) Los lados de un triángulo son 18cm 16cm y 9cm. Si restamos la misma cantidad a los tres
lados, obtenemos un triángulo rectángulo donde el lado mayor resulta la hipotenusa. ¿Cuál es
esa cantidad que debemos restar?
12. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justi�ca las respuestas.
(a) Para que una solución de una ecuación cuadrática sea x = 0 el término independiente debe
ser cero.
(b) Una ecuación lineal siempre tiene solución.
(c) Una ecuación polinómica de grado impar siempre tiene por solución al menos una raíz real.
(d) El conjunto solución de
���� xx� 4
����� 12 = 0 es Cs = ?:
(e) El conjunto solución de
��x2 � 2x� 3�� = 3 es Cs = f0g
13. En cada caso, determina el dominio y expresa el conjunto solución
(i) 16x4 � 1 = 0 (ii) 2
p
2x� 1 = 4 (iii) x3 + 2 = 2x2 + x (iv) 2
p
1� x+ 1 = 0
(v)
x
x� 1 =
x+ 1
x
(vi)
x
x+ 1
=
�2x
x+ 3
(vii)
2x
x� 2 �
x� 2
2
= 1 (viii)
x2 � 5x+ 4
8� x = 5
14. Determina el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, uti-
lizando en cada caso un método distinto. Veri�ca la solución grá�camente.
(a)
�
2y + 2 = 2
4y + 5 = x� 3 (b)
�
�3x+ 2y = 2
2x+ 3y = �3
(c)
�
2y � x = 2
2 (y + 3)� x = 0 (d)
�
2y � x = 2
2 (y + 3)� x = 8
2
15. Plantea el sistema de ecuaciones que modeliza cada problema y resuelve:
(a) Hoy Juan tiene la mitad de la edad de Carlos, hace doce años la edad de Carlos era 3 veces la
de Juan. ¿Cuál es la edad de cada uno?
(b) Se desea mezclar dos tipos de líquido de diferentes precios para lograr uno que pueda venderse
a un precio intermedio; el primero cuesta $0,94 el litro, y el segundo $0,86 el litro. Luego de
realizar la mezcla se obtienen 40 litros de líquido que cuesta $0,89 el litro. ¿Cuál es la cantidad
de cada líquido en los 40 litros de mezcla ?
(c) Mónica tiene visitantes en su casa y quiere llevarlos a un paseo en embarcación por un día.
Hay dos agencias de renta de embarcaciones en el lago. El alquiler de botes de la agencia A
es de $25 por hora, lo cual incluye toda la gasolina que se utilice. La renta de la agencia B es
de $22 por hora más una tarifa �ja de $18 por la gasolina utilizada. Determine el número de
horas que las embarcaciones deben rentarse para que el costo total sea el mismo.
(d) Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 2 y 3 toneladas, se
hicieron en total 32 viajes para transportar 80 toneladas de madera. ¿Cuántos viajes realizó
cada camión?
16. Determina la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justi�ca tu respuesta.
(i) 8a; b; c 2 N : a < b) ac < bc � �
(ii) 8a; b; c 2 R : a < b) ac < bc � �
(iii) 8a; b 2 R;8c 2 R+ : a < b) ac < bc � �
(iv) 8a; b 2 R;8c 2 R� : a < b) ac < bc � �
17. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. Expresa la respuesta en términos de
intervalos y representa gra�camente.
(i) 2 (x+ 1)� 3 (x� 2) < x+ 6 (ii) x
2
+
x+ 1
4
< x� 1 (iii) 1
3
� �x+ 2 < 2
18. Resuelve de dos maneras distintas cada una de las siguientes inecuaciones cuadráticas.
(i) x2 + 9x � �18 (ii) x2 + 6x� 1 � �x2 + 3x� 6 (iii) x (x� 2) + 5 > 3 (1� x)
19. Resuelve las siguientes inecuaciones. En cada caso expresa el conjunto solución en términos de
intervalos y representa grá�camente.
(i)
1
3x� 2 < 2 (ii)
3x� 2
x+ 3
> 0 (iii)
x+ 1
x� 1 > �3 (vi)
2
x+ 2
>
x
x2 � 4
20. Resuelve las siguientes inecuaciones. En cada caso expresa el conjunto solución en términos de
intervalos y representagrá�camente.
(i) j2x� 3j � 1 (ii) j2x� 3j > 1 (iii)
����x2 + xx� 1
���� > 0
(iv)
����3� xx� 1
���� < 0 (v) ����3� xx� 1
���� � 0 (vi) ���� x+ 53� 2x
���� < �1
(vii) 0 < jx� 2j < 3 (viii) jx� 1j < j3x+ 2j (ix) jx� 2j+ j3� xj > 1
21. Gra�ca el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones.
(i)
�
2x+ y � 3
x+ y � 1 (ii)
8<: x+ y � 102 < x � 7
x � y
(iii)
8>><>>:
y � 3x � 1
4x � 16� y
0 � y � 4
x � 0
J.E.A./2017
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