Teoria 4 Ecuaciones e inecuaciones

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Capítulo 4
Ecuaciones y Desigualdades
Problema
Un triángulo rectángulo con un lado de longitud 6 tiene un perímetro de 20. Encuentre las
longitudes de los otros dos lados.
1. Resolviendo ecuaciones algebraicamente
Hemos usado la palabra �iguales�y el símbolo matemático �=�sin aclaración. Cuando escribi-
mos:
1� 2=3� 0; 33 � � � = 0
no queremos decir que lo que está a la izquierda del signo igual es idéntico a lo que está a la derecha
del mismo. Más bien, signi�ca que los dos símbolos representan (o nombran) al mismo número.
Este es, básicamente, el signi�cado de �iguales�en este texto.
Habiendo visto esto, necesitamos realizar otra distinción. Si decimos que:
(x� 3) (x+ 3) = x2 � 9
aseguramos que, sin que importe qué número es x; las expresiones a la derecha y a la izquierda
del signo igual representan al mismo número. Llamamos a esta ecuación una identidad, porque es
verdadera para todos los valores de la variable x:
Pero, ¿qué diremos de la ecuación x2�9 = 0? Claramente, no es una identidad. Ella es verdadera
para algunos valores de x; a saber 3 y �3. Llamamos a esta ecuación una ecuación condicional. La
tarea de resolver una ecuación condicional consiste en encontrar aquellos valores de la variable x
que hacen verdadera la igualdad. Llamamos a estos valores las soluciones de la ecuación.
Resolver una ecuación implica modi�carla una y otra vez hasta que las soluciones son obvias.
Por supuesto, debemos estar seguros de que las operaciones efectuadas no cambian las soluciones.
Describiremos dos reglas para tales operaciones.
1.1. Reglas para modi�car ecuaciones
1. Sumar la misma cantidad (o sustraer la misma cantidad) a ambos lados de una ecuación no
cambia sus soluciones.
2. Multiplicar (o dividir) ambos lados de una ecuación por la misma cantidad distinta de cero,
no cambia sus soluciones.
2. Ecuaciones lineales
El tipo más simple de ecuación a resolver es aquella en la que la variable (incógnita) aparece
sólo elevada a la primera potencia. Consideremos:
12x� 9 = 5x+ 5
Nuestro procedimiento consiste en usar las reglas para modi�car ecuaciones reuniendo todos
los términos en x a un lado y los términos constantes en el otro lado y entonces dividir por el
61
62 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
coe�ciente de x. El resultado es que tenemos a x sola a un lado de la ecuación y a un número (la
solución) sobre el otro.
Dada la ecuación:
12x� 9 = 5x+ 5
sumo 9: 12x = 5x+ 14
resto 5x: 7x = 14
divido por 7: x = 2
Siempre es una buena idea comprobar la respuesta. En la ecuación original, reemplazo x por el
valor encontrado, para ver si resulta una a�rmación verdadera:
12 (2)� 9 ?= 5 (2) + 5
15 = 15
Desarrollaremos un ejemplo similar pero con coe�cientes fraccionarios.
Ejemplo 1 Resolver:
2
3
x� 3
4
=
7
6
x+
1
2
Solución
Cuando una ecuación está complicada con muchas fracciones, lo mejor es, primero, desem-
barazarse de ellas. Para hacer esto, multiplicamos ambos lados por el mínimo común denominador
(en este caso, 12). Luego procedemos como siempre.
12
�
2
3
x� 3
4
�
= 12
�
7
6
x+
1
2
�
12
�
2
3
x
�
� 12
�
3
4
�
= 12
�
7
6
x
�
+ 12
�
1
2
�
8x� 9 = 14x+ 6
8x = 14x+ 15
�6x = 15
x =
15
�6
x = �5
2
Recomendamos que sustituya la solución x = �5=2 en la ecuación original para asegurarse que
es la correcta.
Una ecuación de la forma ax+b = 0 (a 6= 0) es llamada una ecuación lineal. Tiene una solución
x = �b=a: Muchas ecuaciones que no están inicialmente en esa forma pueden transformarse en
lineales usando las reglas que hemos aprendido.
Ejemplo 2 Un estudiante tiene cali�caciones de 75, 83, 68, 71 y 58 en sus exámenes parciales. Si
el examen �nal cuenta como 1=3 de la cali�cación del curso y las cali�caciones parciales determinan
los otros 2=3, ¿que cali�cación deberá obtener el estudiante en el examen �nal para obtener un
promedio de 75 en el curso?
Solución
Llamemos p al peso de cada examen parcial. Como las cali�caciones parciales determinan las
2=3 partes de la nota del curso, resulta que:
p+ p+ p+ p+ p =
2
3
2. ECUACIONES LINEALES 63
O sea que: 5p =
2
3
, de donde p =
2
15
� Es decir, que cada examen parcial aporta las 2=15 partes
de la nota del curso.
Ahora bien, si llamamos x a la nota del examen �nal (nuestra incógnita), 13x será su aporte a
la nota del curso. En el dibujo, el rectángulo representa la nota del curso:
Luego, la situación planteada puede interpretarse con la ecuación siguiente:
2
15
(75) +
2
15
(83) +
2
15
(68) +
2
15
(71) +
2
15
(58) +
1
3
x = 75
Multiplicando ambos miembros por 15 y operando, resulta:
150 + 166 + 136 + 142 + 116 + 5x = 1;125
5x = 1;125� 710
5x = 415
x = 415 : 5
x = 83
Luego el estudiante deberá obtener 83 en el examen �nal para que la nota del curso sea 75.
2.1. Ecuaciones que pueden cambiarse a la forma lineal
Consideremos:
2
x+ 1
=
3
2x� 2
Si convenimos excluir de nuestra consideración a x = �1 y x = 1; entonces (x+ 1) (2x� 2) no
se hace cero y podemos multiplicar ambos lados por esta expresión. Tenemos:
2
x+ 1
(x+ 1) (2x� 2) = 3
2x� 2 (x+ 1) (2x� 2)
2 (2x� 2) = 3 (x+ 1)
4x� 4 = 3x+ 3
4x = 3x+ 7
x = 7
Como es usual, comprobamos nuestra solución en la solución original:
2
7 + 1
?
=
3
14� 2
64 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
2
8
=
3
12
Luego, x = 7 es una solución.
La importancia de la comprobación se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3 Resolver:
3x
x� 3 = 1 +
9
x� 3
Solución
Para resolver, multiplicamos ambos lados por x� 3 y, entonces, simpli�camos.
3x
x� 3 (x� 3) =
�
1 +
9
x� 3
�
(x� 3)
3x = x� 3 + 9
3x = x+ 6
2x = 6
x = 3
Cuando comprobamos en la ecuación original, obtenemos:
9
3� 3
?
= 1 +
9
3� 3
Esto es absurdo ya que implica la división por cero. ¿Qué hicimos mal? Si x = 3; en nuestro primer
paso en realidad multiplicamos por cero ambos lados de la ecuación, una operación prohibida. Así,
la ecuación dada no tiene solución.
La estrategia de multiplicar ambos lados por x� 3 en este ejemplo era apropiada, aún cuando
ello nos lleva desde el comienzo a una respuesta incorrecta. No debemos preocuparnos, porque sabe-
mos que al �nal comprobaremos nuestro resultado. Debemos veri�car siempre nuestras respuestas,
especialmente en las situaciones en las que hemos multiplicado ambos lados por una expresión que
involucra a la incógnita. Así, una multiplicación puede introducir una solución extraña pero nunca
conduce a la pérdida de una solución.
Una ecuación puede contener varias variables. Es importante que sepamos encontrar una de las
variables en términos de las otras. Problemas de este tipo ocurren frecuentemente en ciencia. Este
es un ejemplo típico.
Ejemplo 4 Resolver para n, en términos de las otras variables, dado que I =
nE
R+ nr
Solución
I =
nE
R+ nr
(R+ nr) I = nE
IR+ Inr = nE
Inr � nE = �IR
n(Ir � E) = �IR
n =
�IR
Ir � E
3. ECUACIONES CUADRÁTICAS 65
3. Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) es llamada una ecuación cuadrática. Son
ejemplos 3x2 � 4x + 1 = 0 y x2 + 4 = 0: Por lo general, una ecuación cuadrática tiene dos
soluciones. Algunas veces ellas pueden encontrarse por factorización. Usamos el hecho de que si el
producto de dos números es cero, entonces uno (o ambos) de los factores es cero.
Ejemplo 5 Resuelva.
(a) x2 � 4 = 0 (b) x2 � 6 = x (c) 8x2 � 2x = 1
Solución
Nuestro primer paso es siempre escribir la ecuación en su forma general ax2 + bx + c = 0:
Entonces, factorizamos el lado izquierdo si ello es posible. Finalmente, igualamos cada factor a 0
y resolvemos.
1. a)
x2 � 4 = 0
(x� 2)(x+ 2) = 0
x� 2 = 0 _ x+ 2 = 0
x = 2 _ x = �2
b)
x2 � x� 6 = 0
(x2 � 3x) + (2x� 6) = 0
x(x� 3) + 2(x� 3) = 0
(x� 3)(x+ 2) = 0
x� 3 = 0 _ x+ 2 = 0
x = 3 _ x = �2
c)
8x2 � 2x� 1 = 0
8x2 � 4x+ 2x� 1 = 0
4x(2x� 1) + 1 � (2x� 1) = 0
(2x� 1) (4x+ 1) = 0
2x� 1 = 0 _ 4x+ 1 = 0
x =
1
2
_ x = �1
4
3.1. La fórmula cuadrática
El método antes descripto sólo sirve si podemos factorizar el lado izquierdo. Si probamos con
x2 � 6x+ 2 = 0 veremos que este métodofalla. Para esta ecuación, sugerimos la conocida fórmula
cuadrática.
Teorema 1 Las soluciones de ax2 + bx+ c = 0 (a 6= 0) están dadas por:
x =
�b�
p
b2 � 4ac
2a
66 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Prueba
Usaremos el método de completar cuadrados. Recordemos que (x+m)2 = x2 + 2xm+m2 (1).
Si dividimos la ecuación cuadrática ax2 + bx+ c = 0 por a 6= 0, resulta:
x2 +
b
a
x+
c
a
= 0 (2)
La idea de completar cuadrados surge de comparar las expresiones (1) y (2) y, básicamente,
consiste en sumar a ambos miembros de (2) el cuadrado de la mitad del coe�ciente de x, o sea:
x2 +
b
a
x+
c
a
+
�
1
2
�
b
a
��2
=
�
1
2
�
b
a
��2
(3)
De este modo, se logra, en el primer miembro de (3), un trinomio cuadrado perfecto:�
x2 +
b
a
x+
b2
4a2
�
+
c
a
=
b2
4a2
(4)
Operando, resulta: �
x+
b
2a
�2
=
b2
4a2
� c
a�
x+
b
2a
�2
=
b2 � 4ac
4a2
(5)
Igualando a 0:
�
x+
b
2a
�2
� b
2 � 4ac
4a2
= 0 o bien
�
x+
b
2a
�2
�
 r
b2 � 4ac
4a2
!2
= 0 (6)
Distribuyendo la raíz y resolviendo la diferencia de cuadrados, queda: 
x+
b
2a
+
p
b2 � 4ac
2a
! 
x+
b
2a
�
p
b2 � 4ac
2a
!
= 0 (7)
lo que, usando un teorema de números reales ya visto, da:
x+
b
2a
+
r
b2 � 4ac
4a2
= 0 _ x+ b
2a
�
r
b2 � 4ac
4a2
= 0 (8)
Si en las igualdades (8) despejamos x, operamos y unimos ambas expresiones en una, resulta
la fórmula buscada:
x =
�b�
p
b2 � 4ac
2a
Ejemplo 6 Resuelva usando la fórmula.
(a) x2 � 6x+ 2 = 0 (b) 2x2 � 4x+ 258 = 0
Solución
1. a) Aquí a = 1, b = �6 y c = 2. Así:
x =
� (�6)�
p
(�6)2 � 4 � 1 � 2
2 � 1 =
6�
p
36� 8
2
=
6�
p
28
2
=
6�
p
4 � 7
2
=
6� 2
p
7
2
=
2
�
3�
p
7
�
2
= 3�
p
7
Las dos soluciones son x = 3 +
p
7 � 5; 6458 y x = 3�
p
7 � 0; 35425.
b) Ahora a = 2, b = �4 y c = 258 : La fórmula da:
x =
4�
p
16� 25
4
=
4�
p
�9
4
=
4� 3 i
4
= 1� 3
4
i
3. ECUACIONES CUADRÁTICAS 67
La expresión b2 � 4ac que aparece bajo el signo de la raíz cuadrada es llamada discriminante,
el que determina el carácter de las soluciones:
Si b2 � 4ac > 0, hay dos soluciones reales;
si b2 � 4ac = 0, hay una solución real;
si b2 � 4ac < 0, hay dos soluciones no reales (complejas).
3.2. Relaciones entre coe�cientes y raíces
Teorema 2 Entre los coe�cientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) y
sus raíces r1y r2, existen las relaciones siguientes:
r1 + r2 = �
b
a
(1) y r1 � r2 =
c
a
(2)
Prueba
r1 = �
b
2a
+
p
b2 � 4ac
2a
^ r2 = �
b
2a
�
p
b2 � 4ac
2a
Sumando miembro a miembro ambas expresiones, resulta:
r1 + r2 = �
b
2a
� b
2a
=
�b� b
2a
=
�2b
2a
= � b
a
como a�rmamos en (1).
Si ahora multiplicamos r1 por r2, obtenemos:
r1 � r2 =
 
� b
2a
+
p
b2 � 4ac
2a
!
�
 
� b
2a
�
p
b2 � 4ac
2a
!
=
24�� b
2a
�2
�
 p
b2 � 4ac
2a
!235
=
b2
4a2
� b
2 � 4ac
4a2
=
b2 � b2 + 4ac
4a2
=
4ac
4a2
=
c
a
como decimos en (2).
Ejemplo 7 Encuentre una ecuación cuadrática que tenga por raíces a �2 y 1=2.
Solución
Las relaciones encontradas anteriormente nos permiten escribir que
�2 + 1
2
= � b
a
y � 2 � 1
2
=
c
a
Es decir, b = 32a y c = �a. Como los valores de b y c están dados en términos de a, para cada
a que elijamos obtendremos un par de valores de b y c. Por ejemplo, si �jamos a = 1, resultarán
b = 3=2 y c = �1, con lo que la ecuación pedida será:
x2 +
3
2
x� 1 = 0
Como la única limitación para a es no valer cero, habrá in�nitas ecuaciones que cumplan con
la condición dada en el enunciado (una para cada a elegido).
68 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
3.3. Factorización
Las expresiones obtenidas en la sección anterior nos permiten asegurar que la ecuación de
segundo grado puede factorizarse como se indica:
ax2 + bx+ c = a(x� r1)(x� r2)
Prueba
En efecto, si operamos en el segundo miembro de esta igualdad, resulta:
ax2 + bx+ c = a(x� r1)(x� r2)
= (ax� ar1)(x� r2)
= ax2 � ar2x� ar1x+ ar1r2
= ax2 � (ar1x+ ar2x) + ar1r2
= ax2 � ax(r1 + r2) + ar1r2
= ax2 � ax(� b
a
) + a � c
a
= ax2 + bx+ c
como queríamos probar.
Así, siempre es posible factorizar una ecuación cuadrática con raíces reales, lo que nos será de
inestimable utilidad en la resolución de ecuaciones y desigualdades de grado superior a 1.
Dejamos, como un ejercicio propuesto, la demostración de derecha a izquierda.
Solución al problema inicial
La condición del perímetro y el teorema de Pitágoras nos dan las dos ecuaciones siguientes:
6 + b+ c = 20
36 + b2 = c2
Resolviendo la primera ecuación para c y sustituyendo en la segunda ecuación, resulta:
36 + b2 = (14� b)2
36 + b2 = 196� 28b+ b2
28b = 160
b = 160=28
=
40
7
� 5; 714
c = 14� b
=
58
7
� 8; 286
4. SISTEMAS DE ECUACIONES 69
4. Sistemas de ecuaciones
Problemas prácticos conducen frecuentemente a un sistema de varias ecuaciones con varias
incógnitas. Son ejemplos:
(a) 3x� 4y = 11 (b) 2x� y = 1
2x+ 3y = �4 x2 + y2 = 2
Las soluciones consisten en pares ordenados (x; y) de números que satisfacen ambas ecuaciones
simultáneamente. Podemos comprobar que (1;�2) es una solución para el primer sistema. Este sis-
tema es llamado sistema lineal porque las incógnitas aparecen elevadas a la potencia uno en ambas
ecuaciones. El segundo sistema es no lineal. Se puede veri�car que los pares (1; 1) y (�1=5;�7=5)
son soluciones del mismo. Ambos sistemas pueden resolverse por el método de sustitución. Se re-
suelve una ecuación para una de las incógnitas en términos de la otra. Entonces, sustituímos en
la ecuación restante, reduciendo así el sistema a una ecuación con una incógnita. Resolvemos para
una incógnita y sustituímos su valor en una de las ecuaciones originales; entonces resolvemos para
la otra incógnita. Aquí están los detalles para el primer sistema.
Ejemplo 8 Resolver el sistema (a) anterior.
Solución
Resolviendo la primera ecuación para x, obtenemos x = (4y + 11)=3 (1). Cuando sustituímos
esta expresión en la segunda ecuación y operamos, resulta:
2 � 4y + 11
3
+ 3y = �4
2(4y + 11) + 9y = �12
8y + 22 + 9y = �12
17y = �34
y = �2
Sustituyendo este valor de y en (1), resulta:
x =
4(�2) + 11
3
=
�8 + 11
3
= 1
Luego x = 1 e y = �2 y el conjunto solución es CS = f(1;�2)g.
Llamamos conjunto solución de un sistema al conjunto formado por todos los pares que son
solución del sistema, esto es, que satisfacen sus ecuaciones simultáneamente. En el primer sistema,
el conjunto solución es f(1;�2)g y en el segundo f(�1=5;�7=5); (1; 1)g.
4.1. Sistemas de ecuaciones equivalentes y operaciones que llevan a sis-
temas equivalentes
En la sección anterior encontramos nuestro primer sistema de ecuaciones. Descubrimos que
este sistema tenía al par ordenado (1;�2) como solución. Así, x = 1 e y = �2 hace que ambas
igualdades sean verdaderas.
Si consideramos la situación más general de un sistema de n ecuaciones y n incógnitas, por
una solución de tal sistema entendemos una n�upla ordenada que satisfaga las n ecuaciones si-
multáneamente. Y resolver tal sistema signi�ca encontrar todas sus soluciones.
Resolver un sistema de ecuaciones requiere de herramientas. Nuestra principal herramienta es
un conjunto de operaciones que nos permite ir a un sistema equivalente, que es otro sistema con las
mismas soluciones. Estas operaciones nos permiten simpli�car un sistema hasta que sus soluciones
sean obvias. Estas son las operaciones que tenemos permitido usar.
Operación 1 : intercambiar las posiciones de dos ecuaciones.
Operación 2 : multiplicar una ecuación por una constante no nula, esto es, reemplazar una ecuación
por otra que es múltiplo no nulo de ella.
Operación 3: sumar un múltiplo de una ecuación a otra, esto es, reemplazar una ecuación por la
suma de ella y el múltiplo de otra.
Ilustraremos una forma de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
70 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Ejemplo 9 Resolver el sistema:
2x� 2y = 4
3x+ 5y = 14
Solución
Usando la operación 2, reemplazamos al dado por el sistema:
x� y = 2
3x+ 5y = 14
Entonces, usando la operación 3, sumamos la primera ecuación multiplicada por �3 a la segunda,
obteniendo el sistemaequivalente:
x� y = 2
8y = 8
En esta forma la solución es obvia. La segunda ecuación dice que y = 1 y, cuando este valor es
sustituído en la primera, resulta que x = 3: Veri�camos que el par ordenado (3; 1) satisface a ambas
ecuaciones del sistema original. Luego, (3; 1) es la única solución.
4.2. Las tres soluciones para un sistema lineal
Veamos a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas desde un punto de vista
geométrico. Las dos ecuaciones determinan dos rectas. O las rectas son paralelas y distintas (no hay
soluciones), o ellas son idénticas (in�nitas soluciones distintas), o ellas se intersectan en exactamente
un punto (una solución única). La �gura al comienzo de la página siguiente ilustra estos tres casos.
Aunque sistemas lineales de tres o más incógnitas ya no representan rectas (sino planos e
hiperplanos), aún es verdad que un sistema lineal o no tiene solución, o tiene in�nitas soluciones
diferentes, o exactamente una solución. Así, si descubrimos dos soluciones para un sistema lineal,
podemos concluir inmediatamente que tiene in�nitas soluciones distintas.
Ejercicio 1 Si el sistema x+ 2y = 4 y ax+ 3y = b tienen in�nitas soluciones diferentes, ¿cuáles
son a y b?
Problema
El profesor ha prometido un 9 a cualquier estudiante que obtenga un puntaje promedio, para
todos los exámenes, de más de 80 y hasta 90 puntos, sobre 100 posibles. En los cuatro exámenes
5. DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS 71
parciales María obtuvo 88; 82; 81 y 91: ¿Entre qué dos puntajes debe ubicarse la nota del examen
�nal de María, para que ella obtenga un 9, si se ha establecido que el examen �nal cuente como
dos veces un examen parcial? ¿Tiene María alguna posibilidad de obtener un 10 en el curso?
5. Desigualdades y valores absolutos
Las relaciones de orden < y � fueron introducidas en una sección anterior. Expresiones tales
como 3x � 2 < 0 y �1 � 2x � 4 son llamadas desigualdades. Como con las ecuaciones, nuestra
primer tarea será aprender a resolver desigualdades. Resolver una desigualdad signi�ca determinar
los valores de x que hacen verdadera la desigualdad. Para hacerlo, la reducimos usualmente a una
desigualdad equivalente de una forma simple, típicamente de forma tal como x < 2=3 o �3 � x < 2:
Estas últimas desigualdades determinan intervalos sobre la recta real (�gura).
Un círculo vacío indica que el punto no está incluido, mientras que un círculo relleno indica
que si lo está. A diferencia de una ecuación en x, donde el conjunto solución es usualmente un
número o un conjunto pequeño de números, el conjunto solución para una inecuación en x es, por
lo general, un intervalo de números (o tal vez una unión de esos intervalos). Pero así como para
resolver ecuaciones, para resolver inecuaciones hay métodos algebraicos y geométricos.
Antes de estudiar la forma de encontrar la solución de una inecuación, precisaremos la idea de
intervalo.
5.1. Intervalos
Sean a y b dos números reales tales que a < b. Llamamos intervalo a un subconjunto de la recta
real, según las siguientes de�niciones:
Intervalo abierto
Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b. Lo representamos entre parén-
tesis, con el número menor a la izquierda:
(a; b) = fx 2 R j a < x < bg
Intervalo cerrado
Es el conjunto formado por los números reales a y b y los comprendidos entre ellos. Lo repre-
sentamos entre corchetes, con el número menor a la izquierda:
[a; b] = fx 2 R j a � x � bg
Intervalo semiabierto (o semicerrado)
De�nimos como intervalo semiabierto a la derecha, de extremos a y b, al conjunto formado
por b y los números reales comprendidos entre a y b. Lo representamos entre un paréntesis y un
corchete, con el número menor a la izquierda:
[a; b) = fxjx 2 R^ a � x < bg
Análogamente, el intervalo semiabierto a la izquierda esta dado por:
(a; b] = fxjx 2 R^ a < x � bg
Generalizamos estas de�niciones de la siguiente manera:
(a;1) = fx jx 2 R^ x > ag
(�1; b) = fx jx 2 R^ x < bg
(�1;1) = fx jx 2 Rg = R
72 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
5.2. Resolviendo desigualdades algebraicamente
Una herramienta importante para la solución de inecuaciones es el conjunto de propiedades
enunciadas que se reproduce a continuación. Con estas propiedades podemos resolver una de-
sigualdad lineal, la que es de la forma ax+ b < 0:
5.3. Propiedades de <
1. Exactamente una de las expresiones a < b; a = b y a > b es válida.
2. Si a < b y b < c; entonces a < c.
3. Si a < b y 0 < c; entonces ac < bc.
4. Si a < b y c < 0; entonces bc < ac.
Ejemplo 10 Resuelva la desigualdad 3x � 2 < 0 y muestre su conjunto solución sobre la recta
real.
Solución
Estos son los pasos:
3x� 2 < 0
3x < 2 (sumando 2 a ambos lados);
x <
2
3
(dividiendo a ambos lados por 3).
El intervalo correspondiente a la recta real ya fue dibujado en una �gura anterior.
Ejemplo 11 Resolver la doble desigualdad
6
7
� 3x+ 15
7
< 3 y mostrar su conjunto solución sobre
la recta real.
Solución
La inecuación dada puede ser reescrita como sigue:
6 � 3x+ 15 < 21 (multiplicando por 7);
�9 � 3x < 6 (restando 15);
�3 � x < 2 (dividiendo por 3).
El conjunto solución correspondiente, sobre la recta real, ya fue dibujado una �gura anterior.
Resolver algebraicamente inecuaciones de mayor grado es más di�cil porque ello depende de
nuestra habilidad para factorizar.
Ejemplo 12 Resuelva la desigualdad x2 + x� 6 < 0.
Solución
La inecuación dada es equivalente a (x+ 3) (x� 2) < 0: Un producto de dos factores es negativo
si y sólo si un factor es positivo y el otro es negativo. Podemos organizar las posibilidades en un
cuadro de signos como el que sigue, el que muestra el signo de cada factor.
x+ 3 � � j + + + + j + +
x� 2 � � j � � � � j + +
j j
�5 �4 j�3 �2 �1 0 1 j 2 3 4
Aquí vemos que los dos factores tienen signos opuestos precisamente en el intervalo �3 < x < 2.
Ejemplo 13 Resolver la inecuación (x+ 3) (x� 1)2 = (x� 4) � 0 y muestra la solución sobre la
recta real.
x+ 3 � � j + + + j + + j + +
(x� 1)2 + + j + + + j + + j + +
x� 4 � � j � � � j � � j + +
�5 �4 j�3 �2 �1 0 j1 2 3 j4 5 6
5. DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS 73
De este cuadro surge que la solución es la unión de dos intervalos x � �3 y x > 4; juntamente
con el punto 1. No dejemos de ver que �3 y 1 están incluidos pero 4 no. En la notación de conjuntos,
podemos escribir el conjunto solución como CS= fx=x � �3g [ fx=x > 4g [ f1g.
Otra forma de resolver una inecuación cuadrática es completando cuadrados, como veremos en
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 14 Resuelva completando cuadrados.
1. a) x2 � 10x+ 24 > 0
b) x2 + x+ 4 < 0
Solución
1. a) Sumamos en ambos miembros el cuadrado de la mitad del coe�ciente del término lineal:
x2 � 10x+ 24 + 25 > 25
(x2 � 10x+ 25) + 24 > 25
(x� 5)2 > 1p
(x� 5)2 >
p
1
jx� 5j > 1
x� 5 > 1 _ x� 5 < �1
x > 6 _ x < 4
CS = (�1; 4) [ (6;1)
b) En este caso, sumamos a ambos miembros el cuadrado de 1=2:
x2 + x+ 4 +
1
4
<
1
4�
x2 + x+
1
4
�
+ 4 <
1
4�
x+
1
2
�2
<
1
4
� 4�
x+
1
2
�2
< �15
4
CS = ;
ya que ningún número elevado al cuadrado podrá ser menor que un número negativo.
5.4. Resolviendo desigualdades geométricamente
El método algebraico descrito da buenos resultados para inecuaciones factorizables pero falla
en otros casos. El método geométrico que describiremos ahora es apto en todos los casos.
Ejemplo 15 Resuelva la desigualdad x2 + x� 8 < 0
Solución
74 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Usemos nuestra calculadora para gra�car y = x2 + x� 8 (�gura).
El conjunto solución es el intervalo de x donde y < 0, esto es el intervalo donde la curva está
bajo el eje x: En la �gura podemos ver que el intervalo �3; 5 < x < 2; 5 es aproximadamente el
buscado. Una solución más precisa es el intervalo �3; 372 < x < 2; 372:
Por supuesto, no necesitamos usar el método geométrico para el ejemplo dado porque la fórmula
cuadrática nos da los extremos exactos del intervalo solución. Ellos son (�1�
p
33=2). Sin embargo,
para el próximo ejemplo tal fórmula algebraica simple no existe.
Ejemplo 16 Resuelva la desigualdad0; 1x5 � x3 + 3 � 0.
Solución
Usando una calculadora, gra�camos y = 0; 1x5 � x3 + 3:
Por supuesto, lo que se ve en la �gura es sólo una parte del grá�co, pero una pequeña experi-
mentación nos convence de que las ramas izquierda y derecha se mantienen realmente hacia abajo
y hacia arriba respectivamente. El grá�co nos da una primer estimación de la solución, la que
consiste en la unión de dos intervalos �3; 3 � x � 1; 5 y x � 3: Por medio del �zooming �de la
calculadora, determinamos los intervalos con más precisión:
�3; 292 � x � 1; 589 y x � 2; 977
5.5. Valores absolutos y desigualdades
Recordemos que de�nimos valor absoluto de la siguiente manera:
jxj =
�
x si x � 0
�x si x < 0
Pensando geométricamente, podemos establecer los siguientes hechos, ya enunciados entre las
propiedades del módulo:
(7) jxj � k si y sólo si � k � x � k (con k > 0)
(8) jxj � k si y sólo si x � k ó x � �k (con k > 0)
Por ejemplo, la expresión (7), leída de izquierda a derecha, dice que si la distancia de un número
real cualquiera x al origen, es menor que un cierto número positivo k, entonces x se encuentra,
5. DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS 75
sobre la recta real, ubicado entre �k y k. Si la leemos en sentido contrario, inferimos que un número
real x cualquiera dista de 0 menos que k si está entre los números k y �k (con k > 0).
Construyamos una prueba de esta propiedad.
(7) 8k > 0;8x : (jxj � k , �k � x � k)
Prueba
Primera parte: jxj � k ) �k � x � k
Consideremos dos casos, según x sea negativo o nó.
1. a) x < 0
Por de�nición de módulo: x < 0) jxj = �x
Por propiedad de números reales: x < 0) x < �x
Por axioma de sustitución: x < jxj
Por hipótesis es: jxj � k
Por transitividad: x � k
Además: �x = jxj � k
Multiplicando por �1: �k � x
Luego: �k � x � k
que es la tesis.
b) x � 0
Por de�nición de módulo: x � 0) jxj = x
Por hipótesis es: jxj � k
Por axioma de sustitución: x � k
Por propiedad de números reales: x � 0) �x � x
Por transitividad: �x � x ^ x � k ) �x � k
Multiplicando por �1: �x � k ) �k � x
Por lo tanto: �k � x � k
que es la tesis.
Segunda parte: �k � x � k ) jxj � k
Consideremos también dos casos.
1. a) x < 0
Por de�nición de módulo: x < 0) jxj = �x
Multiplicando por �1: jxj = �x) �jxj = x
Por hipótesis: �k � x
Por axioma de sustitución: �k � � jxj
Multiplicando por �1: jxj � k
que es la tesis.
b) x � 0
Por de�nición de módulo: x � 0) jxj = x
Por hipótesis: x � k
Por axioma de sustitución: jxj � k
que es la tesis.
76 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Ejercicio 2 Demuestre la propiedad (8).
Probaremos ahora otra propiedad muy importante del valor absoluto llamada desigualdad tri-
angular :
(9) 8x; 8y : jx+ yj � jxj+ jyj
Prueba
Por una propiedad anterior (4), sabemos que:
� jxj � x � jxj y � jyj � y � jyj
Sumando estas relaciones, miembro a miembro, resulta:
� jxj � jyj � x+ y � jxj+ jyj
o, lo que es lo mismo:
� (jxj+ jyj) � x+ y � (jxj+ jyj)
Por la propiedad 7:, resulta:
jx+ yj � jxj+ jyj
que es la tesis.
Ejemplo 17 Reescriba cada desigualdad sin usar el símbolo de valor absoluto.
(a) jxj � 4 (b) jx� 3j < 5 (c) jx+ 2j > 3 (d)
��x
3 � 2
�� � 2; 4
Solución
1. a) �4 � x � 4
b) Pensemos geométricamente. La distancia entre x y 3 es menor que 5. Así, �2 < x < 8:
Alternativamente, reescribimos jx� 3j < 5 como �5 < x � 3 < 5 y entonces sumamos
3 a los tres miembros.
c) Nota que jx+ 2j = jx� (�2)j : La distancia entre x y �2 es mayor que 3. Así, x < �5
y x > 1:
d) Reescribamos la ecuación dada como �2; 4 � x3 � 2 � 2; 4: Sumamos 2 para obtener
�0; 4 � x3 � 4; 4: Finalmente, multiplicamos por 3, obteniendo �1; 2 � x � 13; 2.
5.6. Una aplicación
Una fábrica es requerida para hacer bolillas de metal de16 cm3 de volumen, con un error de a
lo sumo 0; 10 cm3. Determinar los posibles valores del radio x:
Solución
Recordando que la fórmula para el volumen de una bolilla de radio x es V = 43�x
3; formularemos
la condición que debe satisfacerse como����43�x3 � 16
���� � 0; 1
Esta condición es equivalente a
�0; 1 � 4
3
�x3 � 16 � 0; 1
La transformaremos mediante los siguientes pasos:
�0; 3 � 4�x3 � 48 � 0; 3
47; 7 � 4�x3 � 48; 3
47; 7=4� � x3 � 48; 3==4�
3
p
47; 7=4� � x � 3
p
48; 3==4�
1; 5599 � x � 1; 5664
6. SISTEMAS DE DESIGUALDADES 77
Solución al problema inicial
Si llamamos p al peso de cada parcial en la nota �nal de la materia, el peso de los cuatro
parciales estará dado por:
p+ p+ p+ p = 4p
Como el examen �nal tiene el doble de peso que un parcial, su peso será 2p.
Si representamos a la nota �nal como un rectángulo, tendremos la �gura siguiente:
Como vemos, el rectángulo que representa a la nota �nal está dividido en seis partes iguales.
Cada examen parcial aporta 1=6 del total y el examen �nal lo hace con 2=6.
Si llamamos x al puntaje que debe obtener María en el examen �nal para merecer un 9, la
situación planteada puede ser escrita como sigue:
80 <
1
6
(88) +
1
6
(82) +
1
6
(81) +
1
6
(91) +
2
6
x 6 90
Esta desigualdad puede transformarse sucesivamente como sigue:
80 <
88 + 82 + 81 + 91 + 2x
6
6 90
80 <
342 + 2x
6
6 90
480 < 342 + 2x 6 540
138 < 2x 6 198
69 < x 6 99
Un puntaje de más de 69 y hasta 99 daría a María un 9. Tendría un 10 únicamente si obtiene
100 puntos en el examen �nal.
Problema
Pedro Quispe tiene 480 ha de tierra sobre las que puede cultivar maíz o trigo. Calcula que
tiene 800 horas de trabajo disponibles durante la crucial estación estival. Dados los márgenes de
bene�cio y los requerimientos de mano de obra mostrados abajo, ¿qué cantidad de hectáreas de
tierra debe plantar de cada una, para maximizar su bene�cio?¿Cuál es este máximo bene�cio?
Mano de obra Beneficio
Maíz 2 hora/día $ 40/ha
Trigo 1 hora/día $ 30/ha
6. Sistemas de desigualdades
Desde los sistemas de ecuaciones, que hemos subrayado antes, nos trasladamos a los sistemas de
inecuaciones. Tales sistemas pueden involucrar docenas de variables, pero restringiremos nuestra
atención a desigualdades en exactamente dos variables. Un típico sistema de la clase que tenemos
en mente es el siguiente:
3x� 6y � 12
4x+ 6y � 30
6x� 5y � 3
78 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
El conjunto solución de puntos (x; y) que satisfacen a todas estas desigualdades simultáneamente
será llamado el conjunto solución; algunos autores lo llaman el conjunto factible. Nuestra primer
tarea es determinar este conjunto solución, lo que haremos grá�camente. Comenzaremos analizando
una desigualdad lineal en dos variables.
6.1. El grá�co de ax+ by � c
El grá�co de ax + by = c es una recta; el grá�co de ax + by � c es un semiplano. Para verlo,
consideremos la desigualdad 3x� 6y � 12: Podemos reescribirla, después de resolver para y; como
y � 12x� 2: El grá�co de todos los puntos que satisfacen y > x=2� 2 consiste en todos los puntos
por encima de la recta (en la �gura que está abajo a la izquierda, la zona sombreada).
En general, el grá�co de ax + by � c consta de todos los puntos sobre la recta ax + by = c
juntamente con todos los puntos sobre un lado de ella. Podemos descubrir qué lado tomando un
punto de prueba, por ejemplo el (0; 0) y comprobar si satisface la desigualdad. Si lo hace, todos
los puntos sobre el lado en que esta el punto testeado están en el grá�co.
Ejemplo 18 Dibuje el grá�co de 4x+ 6y � 30.
Solución
Primero gra�camos la recta 4x+6y = 30. Como (0; 0) satisface la inecuación, todos los puntos
de su mismo semiplano con respecto a la recta están en el grá�co (arriba, a la derecha).
6.2. El grá�co de un sistema de desigualdades
Consideremos ahora el sistema de inecuaciones mencionado anteriormente.
3x� 6y � 12
4x+ 6y � 30
6x� 5y � 3
La �gura muestra cómo su conjunto solución se restringe gradualmente a medida que agregamos
otra desigualdad
6. SISTEMAS DE DESIGUALDADES 79
El conjunto requerido es el conjunto poligonal a la derecha del dibujo.
Ejemplo 19 Dibuje el conjunto solución para el sistema de inecuaciones siguiente:8>>>><>>>>:
2x� y � �5
x+ y � 11
3x� y � 13
x � 0
y � 0
Solución
La �gura de la izquierda muestra elconjunto solución. Como una prueba de su validez, vemos
que el (1; 1) satisface las cinco desigualdades.
Vemos que cada conjunto solución encontrado es convexo. Un conjunto es convexo si contiene
al segmento entre dos cualquiera de sus puntos. Signi�ca que no tiene dientes ni agujeros. La �gura
ubicada a la derecha, muestra un conjunto no convexo.
Siendo la intersección de semiplanos, el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales
es siempre convexo.
6.3. Problemas de programación lineal
El tipo de problemas que tratamos ahora aparecen en los negocios y la industria. Consisten en
maximizar (o minimizar) una función lineal sujeta a desigualdades lineales, llamadas restricciones.
Llamaremos a este un problema de programación lineal.
Ejemplo 20 Maximizar P = 5x+ 4y sujeta a las restricciones del ejemplo anterior.
Solución
La �gura muestra el conjunto solución del ejemplo 37, con el agregado del dibujo de algunas
rectas. Son los grá�cos de P = 5x+4y, para algunos valores de P: Imaginemos que la recta que está
más a la izquierda se desplaza a través del conjunto solución en dirección nordeste, manteniendo
una pendiente constante. Si lo hacemos así, P aumenta constantemente, alcanzando su máximo
valor de 50 en el vértice (6; 5).
Razonando como lo hicimos en este ejemplo, llegamos a una importante conclusión:
80 CAPÍTULO 4. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
�Si una función lineal, sujeta a restricciones lineales, tiene un valor máximo (o valor mín-
imo), este valor es alcanzado siempre en un vértice del conjunto solución determinado por las
restricciones�.
Esto signi�ca que para resolver un problema de programación lineal, todo lo que es necesario
es encontrar los vértices del conjunto solución, evaluar la función a maximizar en estos puntos, y
determinar cuál de este conjunto �nito de valores es el más grande.
6.4. Una aplicación
Este es un problema de fabricación simpli�cado, que puede resolverse facilmente por nuestro
método.
Una fábrica de pequeñas piezas encuentra que en su programa de producción tres de sus máquinas:
un torno, una prensa y una amoladora están ociosas 61, 88 y 91 minutos, respectivamente, cada
día de trabajo. Se ha considerado usar este tiempo ocioso para fabricar dos nuevos artículos, A y
B; los que pueden venderse a $8 y $20 cada uno, respectivamente. El cuadro adjunto muestra el
número de minutos requerido por cada máquina para fabricar una unidad de A y una unidad de B:
¿Cuántos artículos de cada tipo deberá producir la empresa cada día para maximizar el bene�cio
diario y cuál es este máximo bene�cio adicional?
A B
Torno 5 3
Prensa 4 8
Amoladora 2 10
Solución
Si, basándonos en el precio de venta, suponemos que la compañía debería usar todo su tiempo
ocioso para fabricar el artículo B; estaríamos equivocados. Llamemos x e y, respectivamente, al
número de unidades de A y B a ser fabricadas. Obviamente x e y deben ser números no negativos.
Este hecho, juntamente con las restricciones de tiempo, nos lleva a las desigualdades siguientes:
5x+ 3y � 61
4x+ 8y � 88
2x+ 10y � 91
x � 0
y � 0
El bene�cio producido es B = 8x+ 20y en pesos. Así, debemos resolver el siguiente problema
de programación lineal: maximizar B sujeto a las retricciones anteriores.
6. SISTEMAS DE DESIGUALDADES 81
Vértice B = 8x+ 20y
(0; 0) 0
(0; 9; 1) 182�
6;b6; 7; 8b3� 209; 88
(8; 7) 204
(12; 2; 0) 97; 6
La �gura muestra el grá�co del conjunto solución, juntamente con las coordenadaas de los
vértices (obtenidas resolviendo dos ecuaciones simultáneamente) y el cuadro los valores de B para
cada uno de ésos puntos. Concluímos que la compañía debería fabricar cada día, 6;b6 unidades de
A y 7; 8b3 de B; con un bene�cio de $209; 88.
Solución al problema inicial
Suponiendo que Pedro Quispe siembra x ha de maíz e y ha de trigo, las restricciones pueden
formularse como sigue:
restricción de la tierra: x+ y � 480
restricción de la mano de obra: 2x+ y � 800
restricción de la no negatividad: x � 0; y � 0
Debemos maximizar B = 40x + 30y sujeto a estas restricciones. El conjunto solución es el de
la �gura. El cuadro muestra los valores de B para cada vértice.
Pedro debe sembrar 320 ha de maíz y 160 ha de trigo, obteniendo con ésto un máximo bene�cio
de $ 17;600.
Vértice B = 40x+ 30y
(0; 0) 0
(0; 480) 14;400
(320; 160) 17;600
(400; 0) 16;000