Logo Studenta

Teoría de circuitos - Emilio Soria Olivas

¡Este material tiene más páginas!

Vista previa del material en texto

Emilio Soria Olivas
José David Martín Guerrero
Luis Gómez Chova
Contiene 240 problemas
Perfecto para estudiar por tu cuenta
Ideal para preparar exámenes
Excelente complemento para cualquier libro de texto
TEORÍA
DE CIRCUITOS
Uti
liza
do
 po
r m
illo
ne
s d
e
es
tud
ian
tes
 y r
ec
om
en
da
do
po
r p
rof
es
ore
s d
e t
od
o
el 
mu
nd
o
Incluye prácticas de laboratorio con PSPICE
www.FreeLibros.org
TEORÍA
DE CIRCUITOS
TEORÍA
DE CIRCUITOS
EMILIO SORIA OLIVAS
JOSÉ DAVID MARTÍN GUERRERO
LUIS GÓMEZ CHOVA
Universidad de Valencia
MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO
NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SÃO PAULO
AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS
SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO
TEORÍA DE CIRCUITOS
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático,
ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por
fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del
Copyright.
DERECHOS RESERVADOS © 2004, respecto a la primera edición en español, por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U.
Edificio Valrealty
Basauri, 17, 1.ª planta
28023 Aravaca (Madrid)
ISBN: 84-481-4017-6
Editora: Silvia Figueras
Asistente editorial: Montserrat Sanz
Compuesto en Puntographic, S. L.
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
Depósito legal: M. 4868-2004
Diseño de cubierta: Juan García
Impreso en Cofás, S. A.
Dedicado a todos aquellos que he tenido la inmensa suerte
 de llamar amigos, a mi familia y, en especial, a Merche,
¡soy el hombre más afortunado del mundo por tenerte a mi lado!
Emilio Soria Olivas
Dedicado a la base sobre la que construyo mi vida:
 mi familia, María José y mis amigos.
José D. Martín Guerrero
Dedicado a mi padre, mi madre, mi hermano,
a mis amigos y a Norma.
Luis Gómez Chova
Contenido
vii
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
1. Conceptos fundamentales. Leyes de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Concepto de circuito lineal, invariante de parámetros localizados . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Tensión y corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ley de Ohm. Conceptos de impedancia y admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Elementos básicos (I). Resistencia, bobina y condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Elementos básicos (II). Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Formas de onda. Tipos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Ondas periódicas. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Leyes de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Asociación en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Asociación en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Energía y potencia en una red eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Redes bipuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Parámetros impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Parámetros admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Parámetros híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Parámetros G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Parámetros de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Conexión de redes bipuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Cuadripolos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Girador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
viii CONTENIDO
3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Thevènin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4. Corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Potencia instantánea y media en una red eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5. Respuesta en frecuencia. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7. Ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9. Análisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
CONTENIDO ix
10. Lugar de las raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11. Prácticas de análisis de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Análisis temporal de circuitos (I). Circuitos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Análisis temporal de circuitos (II). Circuitos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Análisis de circuitos usando la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Análisis de circuitos usando métodos de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Apéndice. Tablas de uso en el texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Introducción
xi
El propósito del presente trabajo es ayudar al alumno que se acerca por primera vez a la teoría de
circuitos. En este volumen se encontrará una serie de problemas resueltos de los temas considerados
como fundamentales por los autores dentro de un primer curso de análisis de circuitos.
Además de los problemas se ha incluido una serie de prácticas que se pueden hacer con el progra-
ma PSPICE, cuya versión de estudiante se puede encontrar fácilmente en Internet. El fin de estas
prácticas es apuntalar el conocimiento que puede tener el alumno al finalizar la parte de problemas.
No hay que olvidar que su formación será eminentemente práctica.
Al lector con un cierto conocimiento de la materia le resultarán «simplones» algunos párrafos de
este texto. No hay que olvidar que, actualmente, los alumnos que uno se puede encontrar en un primer
curso de ingeniería pueden presentar una procedencia académica diferente; de ahí que los supuestos
en este texto sean mínimos, intentando justificar al máximo todo lo que aparece.
La estructura de los capítulos es la siguiente: se da una pequeña introducción al principio sobre
cada uno de los temas que se tratan en dicho capítulo. Seguidamente se resuelven, paso a paso, una
serie de problemas de diferente grado de dificultad. Por último, se presenta una serie de problemas
propuestos y resueltos (sólo se da la solución) que servirán de test al alumno. Los autores quieren
resaltar que este libro es de problemas, no de teoría, y aconsejan al lector que, si quiere profundizar en
temas teóricos, consulte la bibliografía que se da al final del presente libro.
Otro punto a resaltar es la nomenclatura; así, en el tema de Bode se plantean funciones de
transferencia donde aparece la variable p correspondiente a la transformada de Laplace que aparece
posteriormente. No existe ningún problema por la correspondencia que hay entre el operador deri-
vada, D, que es el que normalmente se tiene al llegar a este tema, y la variable de Laplace. Se ha
seguido este proceder porque el análisis por Laplace es más común que el análisis por ecuaciones
diferenciales.
Dentro del análisis de los contenidos los autores quieren resaltar el tema del lugar de las raíces.
Este tema es fundamental en los cursos de control, explicándose de forma diferente a como aquí se
plantea. Esta explicación se ha amoldado al campo de teoría de circuitos.
La mejor manera de utilizar el presente texto es intentar resolver todos los problemas sin con-
sultar la solución. Si no se hacen los problemas nunca se dominará la materia, por muchos libros de
problemas que se consulten. Este hecho, que es inapelable, hizo pensar a los autores en desarrollar
un libro con el enunciado de los problemas junto con su solución final. Pensamos que esta solución
era peor que la escogida, pues este tipo de textos puede llevar rápidamente al desánimo al estudian-
te, si no se alcanza la solución deseada tras varios intentos y no se tiene ninguna guía sobre el
problema.
xii INTRODUCCIÓN
Cuando se escribe algo que va a ser de dominio público se siente miedo por los posibles errores
cometidos: ¡nosotros no íbamos a ser menos! Desde aquí agradeceríamos que se nos comunicasen los
posibles errores detectados, así como los posibles cambios que podrían hacer el texto más útil al estu-
diante (e-mail: emilio.soria@uv.es).
Siempre, en todo trabajo, hay unos «culpables» en la sombra; estos culpables serían los miembros
del Grupo de Procesado Digital de Señales (GPDS) de la Universitat de València, que más que compa-
ñeros de trabajo son amigos; trabajar con ellos es todo un lujo. Los otros culpables serían todos aque-llos estudiantes que, sufridamente, nos aguantaron años anteriores y que, con sus comentarios sobre la
asignatura, hicieron mejorar su docencia; ellos son el alma de este texto.
CAPÍTULO 1
Conceptos fundamentales. Leyes de Kirchoff
1
���������	
���
����
���
��������	��	��������	�������	����������	��	��������� 	������!��� 
�� �����	
� �	�� 
���
� ���� ���	
���	�������	��� 	������� ��
� �	�	
� �	�� 	�	���
����	��
�
� ��	� ��	�	�
	���������������	����
��	���	��	����	�
	� 	������������
������
�	�!������
"�#���	�����
$����	
����	�
�
�
�	�����%���
�
��	�	&	���
$����'�
�	�����
�	
�
	��
��
��������	�	���������� 	�
�������	������(�	��	�
 ��)
*���	
	����������
��	��+�

�����)���	
��	��	�	������������
�
	� 	�����������
����������
�&���
�	������
$���!
��
$���	�,
$�	
�,����	�	����
"�-
�����	�	������� ������
 
����	���	���	�
��	���������.
������$��
������
$�����	

��������	�����	�	������
���
��	���
	���	�	��
��������	���	��
)�"
/�����������	
��������
	���	�	��	�������
�
����	�����	������	��	
����
��
��	�	��
�	����������0.
�	�
��	������
��	����
����
�	���	�
)��	���������
���"��
)���	
$�	������������
�	�!�����
�
	�������
����.
��������	��
��	��	��	���
�����%	��
�	����������0�	�
��	������
���	�	����
*$��
���
���	����	������	.

� 	�� ��
�	�����
�	
��	�����	�����	�	�
	������ ���	����
����	������"�����	�	�	��
��	
� ��� �	
�)���	
�������
��
�
�����
����������������	
�
�	�����
�	
$����
�
�
�	� ������	�����	��	�	�� ��� �	���(�����
�	��
����
������
�	
+
�* -������������	���������������	���
��������	�	��������	������
$��
���	��
���	 ��,������	
����.
�����

��	���
���	��	����
��	���
�
	1��	
�

��	���
���	�
	���	�	���������	
����	
�)�"

* 2	��������� �	� ��	 �
� ������	
� �
�
� 

�� ��� �	�
���� %�����!�� �
�
����� �
�
� 
���&	*� �� ��
�
���	��	�%
����	�
�����	�!������*$���
	������
������
���	�
	������(�����������	�������
�����
	�!�����
�������!���
"�-
��
� ������	
� �����	
�����

�����
�������(
����	���������
��	�	�����.
��� �
�� ��� ���� �	� �	������	
"�-
�
� 	�	�	��
� �	���	�� 	�� �
���	� �	�����
���
� �	�	�� �	� ���
�	�����
	��� -
� ���
�����	� �	
������ ��	� �	�����
� ��	
��
� ��
��	��� 
�������� �����(���
� ��
 ������	
���	�����	������
�	�!�����
���	������!���
��$��
������
$������
�	
��	��	
����
����	�
��	��
� �� ��� ��
��	��� ��
��	��	� �	��
���� �
�� �
� ������	
� �	������
� ����� ����� (
��
�	���������
"�����������	�	
��
�(
��
���	
	����,�����	�	������
��
��
�����	��
$���	�
	��	.
��	&��,�	������	�������	���	�	�� 
���&	�������
���	��	��	���������
�
"��
�
��	���	�
���	�	
�
���
�
�
	��
��
������	��
���+
3 ���	�
���
�	�	�	��
��	���������
�
	�,�����	��	
�	������	���������	���	
	�����	���	������.
�	�
�������	�� 
���&	"�-
�����
��	����	
�������	����������	����,��
�
��	��������
"
3 ���������	��	�����
��
��������
�
���	
	��������
��
�����	��
$�
�	���	���	
	����,����'
�
��
�����	��
"
2 TEORÍA DE CIRCUITOS
��	�,
$�	
�
����
�
�
	�,��	�	�	��
��	����,�	��
��
����(��
$�	
��	���$�	
������	�
�	�	�	�.
�
����
����,�	��
��	������
����	��
��
� ��)����	��������
���
��
$�
��
���	�

����������	
��	��.
����
�	���	�����������
��	������	
"�-
������
���������
��
�	���	��
����	�	��	
�	�	�	��
���	��
�.
��������������
��
��	���,���������1
�	��	
� ��	��	������	�%�	�	�
$���	
$�����������������	�����1
*"
��� �"�	#	���������	��$������
�������� 4�������������	�����
�	�	������	�	�	��)��	���	��
�����
��
���
���	�
	���	 	�����	�	�.
�����
� ���&
� �	� ������ �	�	� ����� �
�� ��� ���	�	����� �	� �	�
���� 
� �	� 
���&	� 	���	� 	
� ����
"�5���
�	����������	��	�
����	
����	�	��)���	��	������������	������������������
	��	
����	�	���	��
�����
���
"�-���	
��
����	�,�����	��	+
��
��
��� 
� =Δ=−
4�� ������� �	� ��� �	�
���� 	
� 	�� 
���
$� ��	� 
	� �	���	� �
�
� ��� �	�
���� 	��
�	��	� 	���	� �
� ����
�����
������������	�������
���
���	�
	���	 	������ !
��	�	��
����	�������	�	��)���	����&���
"
	�
�������
�
�������
�
����
����� #	��	���	��
�
��������������	�����������������	�����	���
���
�����
�	�	���������	������
����������	���	��
"
��
��
� =
4����������	�����
���	��	�	
�	�����	��
"
2���
���
����	��
�	
��	����
�	
$�
	���	�	�
������������	����
����
����

��	��
��
��	��
��	� 
�.
��&	�	����	�
����6�
�������������
�������	�	������	� 
���&	���������	�
������	�����	�	������
����
�
$�
	

���	�	+
��
��
��
��
��
��
�� =⋅=⋅Δ
#	��
����	�����	�	����
����
��	�� 
���&	��
��������	�
�����	
������$���������
�����	�����	�������	��$
�� ��� ����������	� ��� 	�	��)�� �
�� �	
�	��
� �	�� ��	��
$� ��	� 	
$� ��	��
��	��	$� ��� �	��������� �	� �
�	����"
#	1��	�
���	� ����
�	�� 
���&	� �
�
� ��� ���	�
����� 

�� �����
�	
��	�� ��	��
$��
�� �
���	����'���
�	�.
�����	�����,�	���
���	��	����������	����
������ ��
���	�	������
�	���������
����	��	���	��
"
���	
��	���
�����	������������	���	�5'���	�	�
��	
����������	����	�

��	�����	�
������	�'�����	
�	�	��	����	���"�#�	���	�
	��	���	�����	�	����
��	��	�
����	������������
$��
���
���	�'��������	��	�
	
�
����������
��	���������
��
�
��	�	�	����������	���	
�
"���	
�	�����
�
	��	��
����$��
�����	��	$���
 ��
���	�7$���	
��
�
���
��
�
���	���"�8�����	��	
��������	��
�
��������
���	�	�
���	�	�	����$���	
����
���
�����	�
��	��	���
�
��
�	��
�����!�����
�	
���
��	����	��
��
�
��
� 
���&	
$���	
�������	��
.
�	������	��
��������
��
�����	�	��	
���	���
���	�	������������� 	����	��
����,
��
�	
�
���
�
	��)
���
��
�(
��
��
�����	�	��	
��	�	�	����
"
��#	��	�%�&	�������� 	��	����������	#	����������
-
����	��	
������	���
�����	��
���	�����	��	�
��	��	������
��	�����	
�)���	��������
"�5'���
���
��
��	�	��������	������
�����
��
	������)�����
����	��	��	������+����9��
�:��� ;��%�*$��
�����	����
��� 
%<������="=*"
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 3
-
����
�����	��	
��������	�
	������	���	����>��
"
#	���	�	��	�	����(�������	���	�5'��
��	��!��
	����
����	��	��	������+
��� ⋅=Δ
�
��	� ��� ����
���� 
	� �	� �
�
�	� �
�
� ���	������"� -
�	� ����
�� ��	�	� 
	�� ��� �0�	�
� 
� ��� 
�	���
�
�������
� 

��	� ��� ���������
���	��	� 	�!������� %�
�� 	&	���
$� 	�� 
�	���
���	�� ���*"�#	���	�	�
��	�	�

�����	�����������������	�������	��
�+
��� Δ⋅=
�
��	�	������
�����	���	�	���
���	��	�����������"�4������	��	�
	������	���	+
�
�
=
=
����������	���
����	��
�	
��	����
�	
�	���	� 
���&	�	����	�
����$�
	���	�	��	����������
	��	��	����
.
�
���	���	��
�����
����	������
�������������
���	���	
	����"
�������� 	'� ��� 	()*&	+� � �������	'�'���	#	������ ����
�����
������ #	��	���	��
�
����	��	�	�	��
���	������	����
����	��	��	������+
� � ⋅=Δ
�	��
� ������
�
����	"�-�����<������="?�
	����	��
)��
�
��	������	
�
�	����"
��
��)���	
�

�� �:�7��� �→ ∞"�-��	������	����

�
	���	�	�����
��
�������
���	��	��
	����
���
�������
����	��
"�2	����	��
��
�� ���	���	
������	� �	����
��� ��� ���	�
����$� 
���&	��� �	
�
�	�����	��	�
����	����

$��	���	�
��������	�	������	��	�
�����	�7$����	�	���	��	�	��	��	�������	�
�������	������.
�	$��$�	��	��
	����
$�	
�������	�
����������	�	
���������7����	�	���	��	�	��	��	�����	�
���"
�,���	-&.& � /����	��	���	�� � ������&
�,���	-&-& � /����	��	��	������&
i(t)
V a
V b
4 TEORÍA DE CIRCUITOS
4�
�������	
��	��	
�
�	�����

���
�
'��
�%Ω*$���
	��	���	���
�
�����	
�
�	�������	�
��	�	���
�	�	������
� 	�	�	��
� �����
� ��� ��������	� ���� �	�
���� �	� =� 
���
� �������� �
�� !�� ���� ���	�
����� �	
=����	��
"
4���� 	�
���	�����	
�
�	�����
	��	�
������
�������������
�
�������	
�

���
�
�	�	�
"
������������ �
�
�
�	� 	���
� �
�����
�	
� 
	�����
��
��������	����� �
� �
�����
�$� ��	� �	���	� 	�
�
���	� �	����
���	� 
���	
��������� 4�����
�)�� �	� 	
�
� 	�	�	��
� �����	���� �����
� 	�� ��� �0�	�
��
�
���
������� 
���&	��������
�	���	��	������	
�%�
��	�
��
�����	��*"�-
��	���+
�!� Δ⋅=
�
��	���	
���������������	����$�!������
�
����	��
��� ����	��	���	�	���
���	��	�����������������
�������

���
�������
$�����������	�	������	��	�
����	���	��	������	
��	����'
���
�
��� 
"�-��
)��
.
�
��	�����
��	�
��
��	������������
� �	�	����
�	�����<������="@"
C
�,���	-&0& �/����	��	��	������ ����&
#��	�����	���	
�������	��
���	�� ��
��
���	
�	��
��	����	��
$��	�
�����
���	�!�	
��
�
����	$�
	

���	�	+
��
��
!��
��
��
!
��
�� Δ
⋅=⇒
Δ
⋅= *%
#	���	����������	�������	���	�	�� 
���&	���������	�
�����	������
��	�
��
�"�#��
	��	���	�	��
�	���
�
�	�� ���� %"*� �
�
�
��
�
" = � 
	� ��	��� �� *%*% �"�!�� ⋅= "�8��� ��	� �	�	�� 	�� ��	���� 
�	���	� ��� �
��� 	�

�	���
��"���	��	�	������
���1��
��	������������$������	��
�
�
�	���
����	�	�
	����
�����������

��	
���� �������"
A	�
�����
�����	����������	������������	����	������$�
	�
���	�	����
�
����	��	
��	����
�	
+
"!
�"!� �! ⋅
=⋅=
=
�
��	� ��� �� 	�
�� �	�� 
�	���
��"� '��	� �	�	�	����� �� ��� 
�	������� �	� ���	�������"����)� 	
� ���
�����	
�	
������������
�������	�)
����
��	��
��
��	�
��
�	
+
�* #��	�� 
���&	�	���	��	������	
�	
��
�
����	$�������	�
�����	
�7"�-
�	�'	�'
$���	$�����	��	�	��	$
�
���	�	����
�������$� ����
	���
��
�	���0�����	
���������
�	
$���	
�
	� ��,������	��������	�
 ��
���	��
� �	� ���� 
	1��� �� �	������ 	�� ��
�� �	� !
��� 	�� �	�
"� -
�
� ��	�	� �

$� �
�� 	&	���
$
�����
� 
	� ��
�
�	�� ���
� ����������
�	
� �	� ���� 
	1��$� ��
� �� �
����������� �	�� 
��
$� �� 
	
���	�	�	 ��������
�����������	���
���������������������	�� ��
���	��
"
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 5

* 4
��
��	�
��
�	
�

�����
�
���	������	����	�	��)�$���	
�	�'	�'
��	����	���	�
	��������(�.
��	
�	����
�
��� 
����	
��
�
�#
��$��	��,����
��
�
��,����
$��	
��������
�	
$�	��"
������� #
����
�
��� 
�������	�������	���	� 
���&	�	����	�
����� �	�	�������
�����
����	��	�	���	
���+
��
���
���
*%
*% ⋅=
�
��	��� 	
� ���� �
�
����	� �
��� �� ��	� �	���	� 	�� �
���	� �	� ������������ �� ����
� ������	
� 

�� �
'	���
"�4���	����������	��
��
	���	�	�	���	
��$��	����	��
��
������	����������	��
�	���
���	�� ���$��	
���
����	��	��
���+
*%*% �"���� ⋅=
�
���
���	�������	���������������������	�����
������
�����
�
����	��	
� ��
�	
+
"�
�"�� �� ⋅
=⋅=
=
4���	��	
	��������	
��	�,������	������
����� �	�	�������
�����<������="B"
L
�,���	-&1& � /����	��	���	'�'���&
4�
��
����
���	
	���������
	��	��	����
� 	��	��	
���	�'��,���	
��
�
	&���	�
���

�
�	���	���	
	
�
�
	���
���	"�-������	��������	
�,�	������1
6���
��
����
�
�	�	��
	��	�	�	��
� 
�����
�
��
	
��
��
�������
���	
�
�	����
����
��	�
��
�	
"���	�,
$��
�	��
�	��	��	���	����
�����
� ��
�	
�	
���.
����(��
��	� ������������ �
�
��	� �	
�
�	����
� 
� �
��	�
��
�	
$� �
�� �
� ��	� 	�����'�
� ��������
�	
'��� ��	� ��
	1��
	� ��� �
����� �� 	
��� ���	�� �
� 	
� ���	�����"� C
�� 0����
$� �
� 	�	�	��
� �	
����
� 

�
��	��	
�	�������
���	��	�	������
��
�����	��
� ������� 
$��������� 
�
��	
�
�� 
����
��
�
	����	�� ��
�	������� %�	�
��	�
� ��	� ��� �	
�)�� �	� �������
� 	
� ���� ���
��������� �� ��
� �	�	
� �	�����	��*"� 4
���
�
��	�����
���	
	����,��	�� ����	�	�����
�	
� �	��	
����	�	��	
��
��
�����	��
"�2	� �
�
� �
	�	�	��
� �	�����
$� ��
� �
����
� 

�� �
� ��	� ��	
	����� ����	
�� �
��
�����	��
� 	�� �	������� �
�� 
�
�	��������� D��	��E"
A	
���	��
$� ��
� ���	������
� �� ����������
� �	� �
� ���	�	��	
� 	�	�	��
� �	�����
� ��	���� 	�.
��	
��
�	�����F�����="="
2	� ���F�����="=� 
	���	�	� 	�� ��� �	�������	���	� ��
� ���	������
�������������
��	� ����
�������	�
�
��	�
��
�"�#	���	�	��
���
������	$����� 	��
�	����
���$�������	��������	���
��	�	��
�
	��
��	
.
�
��	� �
�� ��� ����������� �	�� 
��
"� C
�	�
� 	�	 ��� 	
��� �
��	
�
��	����� ����� 	
����	�	�� 	�� ������
��������
��	���������$���	���	����	��	&��
�	�����<������="G"
6 TEORÍA DE CIRCUITOS
�������� 	'� ��� 	())*&	2��������� 
4
��	�	���
�	
$��
���
��	�	���$� �����
	���
�	�	�	��
���	� �������
�
���
��������������
����	�	��)�
�	�	
����������
�������
����	��
"�-��
�	���
����
����	�	��	
��	��	�	���
�	
+
�* %	���&���#	���	�	��	�������
�
����	����
�
��� 
���	���
�
���
��������	�
������%�*�D���	�	�.
��	��	�	��	E� �	� ��� ���	�
����� ��	� ��
�
���
��H�������� 	���	� �	������	
"� -�� 	
��	��� �	� ��
�	�	���
���	�	
�	����
���	����	��	
	����
�	�����<������="I$�	�������	������!��
	�������	���
��'��	 -&-& )��������� 	 #	 ���������� 
��	�� 	��3������ 	�������� 
)��������� 
���������
+� � ������ 
 
=
������ ����
"! ⋅
=
!�;�"
4�'��� ��;�"
"� ⋅
=
VOLTAJE INTENSIDAD
INTENSIDAD VOLTAJE
IMPEDANCIA ADMITANCIA
ADMITANCIA IMPEDANCIA
CIRCUITO
ABIERTO
CORTOCIRCUITO
�,���	-&5& � /����	/��	��3��6�	��	���������	��	��������	�����	������ ����	#	'�'���&
�,���	-&7& 2��������� 8	 (�*	2������&	 (�*	��������&	 (�*	
������&
�5J2-J#�25A K5K�J�
(c)
+ –
(b)
+ –
+ –
V (t) g
(a)
V 0
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 7
���
� 	
�	����	
� �	� �	�	���
�	
+� �
� �	� �
������� % ��
�� �	� �	�
���� �
�
����	*� �� �	� ���	���
%�	�	���
�	
��	� �	�
����
���

����	
*"

* !����	��	��#	� �	���	� �
�
� ���	�� ��
�
��� 
� ��	� ��
�
���
��� ���� �
���	��	� ��%�*� D���	�	�.
��	��	�	��	E��	�����	�
������	���	
	��	�	���	��	������	
"�-��	
��	����	�	
�	���
�
��� 
���	.
����	�����
�	�����<������="L"
���� 	��	����&	���� 	'� ��� 
-�� �	
�)�� �	� �������
� 	
� �
���� 	��
�����
	� �
�� ���� 
	��	� ���
� �	� �����
�	
� �	� 	���������"� 4�
��,
�
���	
�

�+
�* <��������	���"�2	��������
�
+
⎩
⎨
⎧
=⇔∞
≠⇔
=
7
77
*%
�
�
�δ
/�����
��	�������
�����	��	�����	����	
+
∫
+∞
∞−
=⋅ *7%*%*% #�#�δ

* <�������	
�����"�2	��������
�+
⎩
⎨
⎧
≥⇔
<⇔
=
7
77
*%
�'
�
�(
�
��	�'�	
������
�
����	"�/����

������������	
�	��	
�������������
�%'�)�=*"
-
��� �������� �
���� 	
�	����� ���
�������� �����
� 
	� �����&�� 	�� 
�
�	��
� �
������
$� ��
��	�	
� ��� ����������	��
�	��(�� �
� �����
��	� �	�
�������	� ���	�
�������	� 
	�����	�� ���	
�������
"
#	���	�	��	�
�������	�����	�� �����	������������	
������	
�������������	���"�-
�����
��	.
�������	�,����� �����	�	�������	�	���
�������
�����	�	������	
�)���	��������
"�-��	�	��
$���
���	�
�������	����������
������
��	�
��
��	
� ����	�� �����	�� 
���&	��	���
��	�
��
�"�#��	�
 
���&	��	
�
��	���������������	
�����$�������	�
�������	���������,��
��	
	��
��	�
��
���	�.
�	�,����������
��������:�7�%���������	���*"
�,���	-&9& � /����	��	��	,��������	��	���������&
+ –
I (t) g
8 TEORÍA DE CIRCUITOS
�* <������������"�2	��������
�+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥⇔⋅
<⇔
=
7
77
*%
��
'
�
�*
τ
�	��
�����
�
����	�������	�*%τ*�:�'"
�* C��

��	���������"�2	��������
�+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>⇔
≤≤⇔
<⇔
=
7
7
7
7
77
*%
��
��'
�
�*
-�� �
��
� ��
� �
���
� �	� 
���� �	������
� 
	� '�� �
�
��	���
� ��	� 

�� ����
� ����� ��	��
� �	��.
�� 
"��� ��
� 
	1��	
� ��	� �����	�� 	
��� ��
��	���� 
	� ��
� �	�
����� �	+�
	�� �����
	��� /��� �	�	��.
��(������ �	� 	
��
� �
���
� �	� 
���� 	
� �
�
��	���� ��	� �
� ��	�	�� 
�� 
���	�� 	�� 	�� 7$� 
��
� 	�� 
��
� ����
�	�	������
"
���� 	����"���� &	��3�������� 	#	�6����� 
/������������%�*�
	����	���	�	
��	��������
�������	+
�$?$=*%*% =⋅+= �%�����
�
��	�%� 	
� 	�
�	�,���-� 	
� �	���$� 	�� ��	��
� ����
������
� '�
��� ��	� ��� 
���� �	� 	� �� �
���� 
�� ��
�

�������"�A	����
���
� �
�� 	�� �	�)
�
� 	
�,� 	�����
�-� 
� ����	� �	� 
���� �
���	������ 	�� ��� �	�)
�
"� #�.
���	��
� �
�� ��
� �	������
�	
$� 
	� 	���	����� ��� �	� #�	��	����� .# /-� ��	� 	
� ��� �� 	�
�� �	�� �	�)
�
"� 4�
������	
��	� ��� ��	��	����� 

�� �
�'	��(�
� %01*�
� �9="�A	����
������
�� ��� ��	��	����� 
	�	���	����� ��
#�	��	����� ����
���
� ��
����&�� %2*$� ��	� 
	� �	���	� �
�
� 	�� ��
����
� �	� ?π� �
�� ��� ��	��	����"� 4�
������	
�

�����H
	�"
����
�
���
��	�������
�
	��	
��
���������
	��	��	���������	
$�	���	���
���	��	
�����
+
�* '��
�������,���
� ��
���	�����
�����	�������"

* ��
����������������2��	�	�����	���	��
� ��
�	
��,���
����)���
��	�����
���"
�* ��
����	�����-
�	� ��
�����	���� 	���	��
���������	���	
	�������
	1��$�����	����	�����
��
�+
∫
+
⋅⋅=
%�
�
����
%
�� *%
=
*%
�* ��
���	#���1��-
�	� ��
��	
�,��	����
���
��
������
�	������	�����
	1���%�
�
��
���
���	�
	��	���	����	��
���	��	����	���*$�����	����	�����
��
�+
����
%
��
%�
�	#���1
?
*M%N
=*% ∫ +=
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 9
�����
�	&	���
��	�
	1��	
��	�������
�
	�)��+
�* #	1���
���

����"�2	��������
�+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥⇔⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ +⋅
⋅
⋅
<⇔
=
7
?
��
77
*%
��
%
'
�
�* θπ
�
��	�'�	
��������������	����
	1��$�%�	
�	���	�)
�
���θ�	
������
	��������"�F
�
��
���
�
��� 
�
�
���
��
�
���
�
��� 
��	����	����	
�,���	����
���
��
��	
�	����
��	������
�	
"

* 5������������"�2	��������
�+
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅+<<⋅⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ +⇔
=⋅⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ +≤≤⋅⇔
<⇔
=
%��%�3
�%��%�'
�
�*
*=%
?
=
$?$=$7
?
=
77
*% �
�* 5��������������"�2	��������
�
+
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅+≤≤⋅⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ +⇔⋅−
⋅
−
⋅⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ +≤≤⋅⇔⋅−
⋅
<⇔
=
%��%�%��
%
'
'
%��%�%��
%
'
�
�*
*=%
?
=
*%
?
?
=
*%
?
77
*%
�	��
�'��������������	����
	1�����%�	���	�)
�
"
C��������������� �
��
��	��
�	���	
�
$� ��
����	�	�������	�� ��
���	��
���	�� ��
��	����(��	
����
���������������	� ��)��	���	�O="
�����
������ ��������
�
���	���������
	�
���	�	+
∫ ∫ ∫
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅⋅=⋅==
%
%
%
%
��������
%
����
%
��
7
?
7
?
*%*%
=
*%
=
*%
10 TEORÍA DE CIRCUITOS
�
�
�	��	������	��
	���	�)
�
����
���� ��	�=���	��	��
	����
�9=$�
��	�	�
+
7
?
*=%
?
=
*% =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅−+=
%%
%
��
�����
������� 2	�
���	��������+
] ===*M%N=*%
?
7
?
7
? =⋅=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⋅= ∫ ∫∫ %%����%����%��
%
%
%
%
	#���1
��:��	��		;)+�<�
4�
��	�	
��	�P���'
���

��	��	�	�	��
�������	������	���,��
�
��	��������
"�C�����	���(���	
�	���,��
�
	� �����(��,�� ���	�	��	
� '	�����	���
$� �
�
� ��	�	�� 
	�� ��� ������	� �
���	&�� 	�� �
���	��	� ���	���$� ��
����
�
�������	�4�����	�	��	����

��,
��	�	���$�	��"$��	�
�
�	���	� �
����
��
�
�����
��	��������
	
��
��	�	
"��
)���	
$�	
��	�	
���
�����	��	��
��
�
����	��
�������
)������(����
�
�����
��	��
"����	
�	�	���������
�'�����	���������
	��	��	��
��	��
��	�	
���
�������
�	�������(����
"
����� -
��������	��(
����	���������
��	����������
���
��	������	
"�/����������	�	�	
�����
���	
.
����
������
�&���
��	�	�	�	��
��	��������
�%�	
�
�	����
$��
��	�
��
�	
$�	��"*"
����� C���
� �	�� �������
� �
��	� �
�����	�� �
� 
��,
� ����
"�5���� �	��������� ���	����� �� 	
� ��� ��	
�
�
��	������
��
�
����	������
��	���������
���	���	
	���������	�
�������	�	��	�����	
�
��	�(
��
��	�
�������
"
������ �����
��	����
�	��	���������
��
����
��
������
�&���
��	�����
"
���� A	���	�	
�	��
���	�	���
�&���
��
�����	���������
��������(��"
���
�
��	�	&	���
$����<������="Q���	
	��������������
�	�!�����
$��	
���,��
	��
����	�	��	
�	�	.
�	��
���	��
��
����"
-��
�	�� �
� �	�	
� �	�P���'
��+� ��� �	�� �	� ���
� �� ��� �	�� �	������
"���	����
� ��� ����	��$� �
�
�
�����	�	���$�
	������(��	����
���,����
$����
	������	
������(����'��������	��	�	����,��
�
��	����
"
���
��
������ -
��� �	��'��	� �	�	�	����� �� ��� �
�
	� �������	� ��� ��������	� 
	���� 	�� �
�
� 
�
�	��
�	����
$� �
���������	� �������� �	� �
� 
�
�	��
� 	�!�����
� �� �����(��"� #	� '�� 	�������
��	� ���	�	��	
�
���
+
�* 4��
�����	��
��
���
����	�
����	
�	��������
6�
���
��
�

���	�	������$�	
�7"

* 4��
�����	��
��
���
����	�
����	
�	��������
6�
���
��
�

���	�
�����$�	
�7"
�* 4��
�����	���
����	�
����	
��	�	���������������
��	�	�
	�������������
�����	���
����	�
����	
�	�
�����"
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 11
#��
	������(������	���	����
�
	� 	�������	��	���	�	
�,���
����	��	����������
��	��
�
	� �������	
��� �������	� �
�
� 
�
�	�����
���
"���� �������� ��� �	���	����
�'�����	� �	�	�� 	
�	����� ������
��
�� �
	����
��	���
����	�
����	
$��	
�	����
�	������	��
��	�����	���	�5'�������
�
	�	
����	(������
��	����
.
�	
��	�	
��
����	�
����	
��
�� 
���&	
�	����	������
"
���
��
������� -
����	�$��
�
�
���
���	�������$�
	������	��

��	���
������
��	���������
������	���
��	����
�����	���
����	�	����
��	��
�	���������	�	�
���	�����������	
��	�
"
�����������	
��
��	�	
�'�����	��	�	��������
��
������
���������	���
����	�	����
��	��
�	��������	.
	��	
�	����������"�/��� 	(��	�	������������
�������$�'�����	��	
�	����	������	��
��	�����	���	�5'����
�
�������	
�
� 
���&	
�	�����������	���
����	�
����	
��	������"�/��	&	���
��	��
����	��
��	��	������
 	���)�����
��
�����<������="R"
R 1
R 2
I 1
+ –
+–
I 1
I 2
�,���	-&=& �6�����	���	 ������	��	�� 	��������� 	��	�������	��	��#	��	����� &
V
MALLA NUDO
�,���	-&>& � /����	��	���	���	��$������	���	�� 	��3������ 	����� 	��������� &
12 TEORÍA DE CIRCUITOS
���������������	���	������
�
	��	���)����	�� 
=
�S�Δ� 
?
�:�7$��
��	�� 
=
�:��
=
�;� 
=
���� 
?
�:�%�
=
�9��
?
*�;� 
?
"
5�����
�����	��	�	�������	���
�	������	�� 
?
�
	�)���	�	�������������	�
������	�����	���
 
���	
����)����	
�	�
���� �
�� 	
�� �
�������� ����$� �
�	��
��	��	$������������� ���'�� ���	�
����� �
�� ��� ���	������"�-
��
���	�
����� 	���)��������
���
=
�9��
?
"
J
�����	��	�����
�����	�������������	���	������
��	��������	������
�,�����	
+
�* #	��	���	����
��
���	��	
��	������-�����������	
��������	������

* #	��	���(��	����
����
��	����	�
������	��������
��
�����	����	������
��	�����������������'
��
����
�
	��	��	
���	����
����
��	���
��
���	��	
��	���������	�
	��� 	����
��
����
����	���.
���
���	�	
�!��	����
�����
��
�������	
"
�* <�����	��	$�	���	
�����
�
	�������������
�����	��
��	�	���
�	
���	
	��	
�	������	�$��
�
��	.
����
��
��� 
����	��
��	�	���
�	
�	���
���	�����
���	��	��	�������
	��	
���(���	���	������
�
��� 
�����	���� 
$����	���� 
�	���
���	�
����	��
��
������
"
���
�
� �	� 	&	���
$� �������	�
� ��� �	�� �	������
� 	�� 	�� 
����	��	� �������
$� �
��	� 
	� �
� ���	
�	�	���������
��
���	��	
��	��������	���������
��	����<������="=7"
+
–
+
–
+
–
1k 1k
1k1k1k
V1 V 2 V3
1k
1kI 1 I 2 I 3
R 2
R 3 R 5R 1
R 4 R 6
R 7
�,���	-&-?& ��������	�	�� �����	���	��� 	��������� 	��	����� &
#��
	����������
����	�	��	
���
����	��
��	��	��	���
���
������ �������	��������$�
	�
���	�	+
=???==
*% � � � +=⋅−+⋅
C�������
	������������
	�
���	�	+
?B@B@???=
*% � � � � −=⋅−++⋅+⋅−
�$��
��0����
$����������	��	��+
@?B?LIGB@
*% �� � � −+=⋅−+++⋅
�
�
��	����
� �
�
� �
� �	�	���
�	
� �	� �
������� �
�� ��� ��
�� ������ �� =7� 
���
$� 
	� ��	��� �+
�
=�
:�@GHR6��
?�
:�9?7HR$��
@
�:�9GHR"�2	
�������
�'	�'
�	���
��	
�����
�
��	���
+
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 13
�* -��
���
��	���� 
��	���
��
���	��	
��	����
	���������	��	���������
	��	�	�����	�	��
	����
�	����
�	�������	
�	��
��	
�
��������&��
$��	��')�	��
���
"

* J
�
	��
�	��������	
$���	
��
�

�����	�
����	
��	��	
$�
��
���������
"
C���� ��	� 	
��
� �
� �	�	
� ��	�	���,
� �����
$� 
	� ��� �� �������� �� ���� 
	��	� �	� 	&	���
"�4
��
����	�
� ��	�	�� ���� ����� ��������� �� ��� '
��� �	� �	�	������� ��� ���	������� 	��� ��	��	� �	� ��� 
�
�	��
	�!�����
"

 ������"�	��	 ����
/�� �
�&���
� �	� ���	������
� 	
�,�� �

�����
� 	�� 
	��	� 
�� �
�� 	���
� �������� �����
��� ���	�
����� %<�.
�����="==*"
�,���	-&--& � /����	��	���	� ������"�	��	 ����&
�
�
�
	����	����	�����<������="==$�
��
�
	���	�	����������$��
���
���	��
������
�	
�������������	���	
�����
�%
��
��	�	�
�����	����������	��	

� 	�*"
	4
5
6
6	4
5
6
6 �������� =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔=⋅⇒=⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑
== =
77
=
�
)���	
$� ��� ���	������� 	��� ��	��	��	������

��������	�� 
	��	� 	
� ��� 
�����	� ��
� ���	������
"
T	��
�	����!�
	�����
�
����	
����	��������
����	�	��	
�	�	�	��
"
�����
������� #�� 
	� ��	�	�����
�&���
��	� �	
�
�	����
��

�����
�	��
	��	$� ��� ���	�������	��� ��	��	
 	���,�������
�+
∑
=
=
5
6
	46 � 
=
	
��	���$�
	�,������!�������	
�
�	������
����� ��
�������������
�����	���
����	�	��	
��	
�
�	����
���	
�
��������'���

�������"
�������������� #��	
�����
�&���
��	��
��	�
��
�	
�	��
	��	$�	��	��� ��	��	� 	���,����
��
�+
	4
5
6 6
5
6 	4
5
6 66
!!"!"!"!
=======
== =
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔⋅=⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⋅ ∑∑ ∑ == =
+
–
Z 1
V 0
Z 2 Zn
I
· · ·
14 TEORÍA DE CIRCUITOS
	
��	���$�	��	��� ��	��	��	�����
�&���
��	��
��	�
��
�	
�	��
	��	�	
�����
��	�
��
����������������
57� �	�	�������
�����
�����	���
����������	
"
�������� #��	
�����
�&���
��	��
����
$��
���	�
	��

����	��
	��	�
	��	���,��
�
����	�������	��� ��	��	+
	4
5
6
6	4
5
6
5
6
66 ��"�"�"� =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔⋅=⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅ ∑∑ ∑
== = == =
	
��	���$�������	�������	��� ��	��	��	�����
�&���
��	��
����
�	��
	��	�	
�
�����
������
�����������.
������� ������ �� ��� 
�����	� �
� ��
�	
��	� ��
� �����������
��	� ��
��
����
���	� �
�����	
�� �

�������"

 ������"�	��	��������
/���
�&���
��	����	������
�	
�,��

����
�	�������	�
�
����	
	�������
���
��
����	�	����
��	��
�	�����
	���	�
�
�	���	�
�%<������="=?*"
+
–
Z 1V 0
Z 2 Z n
I 1 I 2 I n
I
· · ·
�,���	-&-.& � /����	��	���	� ������"�	��	��������&
�
�
�
	����	����	�����<������="=?$��
��,
�
	�����
�	
������	���	�����
�	
��	����
$������	�
��
'�����	������	�������	�������6���	����
���	�
���
��
������
$�'���)����	������	���5�	�����
�	
"
��������
����
$���
	�0��	��
	����
��	���
��
���	��	
��	����<������="=?$�
	������	+
∑
=
=
5
6
6 ��
=
#��
	������������	���	�5'�$�
	���	���)���+
�
�
�5
6 6
=∑
==
7
��	���������
�����	����������	�������������
����	��+
∑
=
=⋅
5
6
6 ���
=
7
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 15

$��	��
����	��� ��	��	+
���
5
6
6 =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅ ∑
==
7
��	$��
�
��	����
�	��
����
��
��
�
����� ������	$�
	���	������
7
�;��	4�:��$���	�
������
������
��
����
���	��
��
	���	���������
����
������	���������������	��� ��	��	��	�����
�&���
��	����
�
�	�������	�
	
����
�����	���
�����������
"
4��0������	���	
�����	��	
	����	���������
���	�
	���	
����	�����<������="=@"
+
–
V 0 Z
I
�,���	-&-0& ��������	 �����3�����	���	 ��	 ����������	�/���������	��������&
�
)���	
$�
	�'���	�����
�	���
�&���
��	����	������
��	���������
��	����<������="=?�������

���	�.
�	"�4��������������	
������	�	
����
�����	���
�����������
���	��
���������

��������	�������	�
"�T	�.
�
�	
����

��������������
����	�	��	
�	�	�	��
+
3 	����	�������#�� 
	� ��	�	� ��� �
�&���
� �	� �	
�
�	����
� 	�� �����	�
$� ��� ����������� 	��� ��	��	
	�,+
∑
=
=
5
6
	4
6 
�
=
=
#	���	�	���	�������	�������	��� ��	��	������!��	
������	
�
�	����"
3 !���	������	���2��
�����
�&���
��	��
��	�
��
�	
�	�������	�
$�	��	��� ��	��	��	����'
��
�.
&���
�
	�,+
"!�"!�"!� 	4
�
6
6
�
6
	46	4 ⋅=⇒⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒⋅= ∑∑
== ==
-
��	���$�	��	��� ��	��	��	�����

��������	
�����
��	�
��
�����������������	
����
�����	���
���������	
���	�
	��

�����	�������	�
"
3 3�
������-��	��� ��	��	��	�����
�&���
��	��
����
�	�������	�
� �	�	����
��
�+
16 TEORÍA DE CIRCUITOS
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⇒
⋅
= ∑∑
==
�
6 6
�
6 6
	4
�""�
�
==
===
�
�
�
	����	����	�����	���	
���$���������������	��� ��	��	�	
������
����"
���+2@
	:	������)
	��	��
	+��	��A��+)�
A	�
�����
�����	����������	��
���	��	�	�!����������	��	�
������������	��
��	��	
�4
��
�
��
�4
� =Δ= �
	���	�	��	���������
����	��	���������+
��
��
�4
�4
��
��
��
⋅Δ=⋅=
#	�
���	�	$���������
�����	�����	�������	���	���	�� �����$���	�	����
����
��	�����	�
�����
������
���	��	
	�!�������	
�������������
�	�����	�!���������
����,�	���
�
�����H��
�
���
������
��	�����
�
�	����	
����"
C
��
��������	$�
	�
��	���	+
∫ ∫ ⋅⋅Δ⇔⋅=⇒=
� �
���������8��
��
��
�8
7 7
*%*%*%*%*%
#	���	��$���	
$�������	���	
������������	�	��)���
�
�����H�	�	������
�������	��	�!������"
4�� ������$� 	�� 	�� 
�
�	��� ���	�����
���$� �	� ��� �
�	����� 	
� 	�� ���
� %9*� �� ��� �	� ��� 	�	��)�� 	
� 	�
&���
�%:*"
C�������	�	������	���	�	�	��)���
�
���������	�	�����	
��	�	
���
�	
����	�	���������	��
��	�
���
	�������
�����
����	�
����	
�
	��	��	�	"�4��<������="=B��	���	�	������	��
�	
����	���
"
-
�	� ����	��
$� 
�� 
	� �	��	���� ����	����������	��
���	��	� 	�!������$� ��	�	� 
	����
� 
�� �
���
��
�
�	�	�	�����	����
�
��� 
��
�
��	���
"�-��	�	��
$� ����
���	��	�	
� ��� ����������	��������
��� ���
��	�
��	��
"�-�� �
� ��
�
��� 
� 	�!�����
� �� 	�	�������
� ��� �
���	��	� ��	��� �	������� �
�� �
� 	�	���
�	
$
	�	�	��
��	��������	���� �"�-
��	���$�����
���	��	���	�	�
	����
�
��	
�
�����
 ���	��
��	��
�	�	���
.
�	
"�#���
�	�	���
�	
�
��	��%�
���	��	��	�	������������
�
��� 
*$�	��������	��	�������	
��
��� 
$��	��')
	��
���
"
<�����	��	$��
��	������
�	
+�
	��	���	��	
	�	��������������
�
����	��
�	�	�	��
���	��
�
�.
�	�� 
� ��

��	�� 	�	��)�� 	�� ���� �	�� 	�!������� �� 	
	�	����� �������� �
�
� ���	��
� ��	� ��� ��
���	�"
#	�0��	������	��
��	����	�
����	
��
�
��	���
$����	����	��
��
����
��	������
�	
��	��
�	�������	�	��)�
	�!������$�
	��	���,���	$��
�
��	����
���
����	�
����	
��	�	������������
�
��� 
+
-4-�-JF5�C�#�T5�⇒��%�*�≥�7
-4-�-JF5���F�T5�⇒��%�*�U�7
2	
������ ��	� 	�� �
�
� �������
� 
	� �����	� 	�� ��������
� �	� �
�
	� ������ �	� ��� 	�	��)�� %�
� 
	
��	�	�V	�V��	���� �	���	�
� �	� ���������*"� -
� �	���$� ��� 	�	��)�� �
�
������ 	
� ������ �� ��� �	�	.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 17
����"V-
��V�	������$� ���	�	���,��
��$� �
����	� �� ��	� ��� �
�	����� �
�
������ 	
� ������ �� ��� 
�����
.
�����"� -
�	� '	�'
� �	������,� �
���
���� 
�� 
	� '�� �	
�	��
� ��	�� ��� �������
� '���	��
� ��� ������	� �	
	�	��)�"
���
�����������
	�	
������,�	���
��
�����	��
��	��
����	�	��	
�	�	�	��
�	
������
"
+� � ������
-�������	
�
�	�����
	������	����
����	��	��	������+
7�
� >⋅=Δ � �
#�
�����	��
�	
���	���	
����	������	����������	��
�	�����	�!�������
	���	����+
 
�
�8 ��8���8
?
?
*%
*%*%*%
Δ
=⇔⋅=⇔⋅Δ=
#��
	���������'
������	���	
�����	����	�	��)��	�����������	�����
�	�����
	���	����+
∫ ∫ ∫ ⋅Δ⇔⋅⋅⇔⋅=
� � �
�
 
�
� ��8��
7 7 7
?
?
**%%
*%*%*% ττττττ
2	����	���	
�������	��
��
	���	�	��	������	���
��
�����	��
��	������	
�
�	����"�#	���	�	����	.
�������	�����������������	�����	
��
��� ��%�����	�	
�,�	�	 ��������������
*���	
�,���������������
����
����
���
��� 
� %��� �	
�
�	����*"��
�
� 
	� �
�
��	���� 
�
�	��
� ���
��	
$� 	�� ��	��
�	
��
��� 
$� �
�� �
��	�	���	
�����
��	�������	�����	
��
��� 
6�	
��	���$�����	
�
�	�����	
����	�	�	��
���
� 
"�W-
����	���.
��������	�,�������� 	�
��������
������
��
��
��	
�
�	����
���������	���������
�����
�	��	��	�
�����
������X
-��	����

�������������	���	�����
���	��	�
�	�� 
���&	�
	����
�
����	
$�
	���	��������
����	��	�	���	.
������������	�	��)��%
��
��	��
������!����	���������	��	�����
���	��	���	�� 
���&	� ��	��7*+
�
 
�
��� ��� ⋅
Δ
=⇔⋅⋅=
?
?
*%
*%*%
+
–
I < 0
I > 0
�,���	-&-1& ��������	��	 �,�� 	��	�� 	��������� 	����	��	�������	��	����,B� &
18 TEORÍA DE CIRCUITOS
������ ����
C��������
��	�
��
��
	������	����
����	��	��	�������	���	� 
���&	�	����	�
����+
*%*%*%
=
�"�!����
"!
� ⋅=⇔⋅
⋅
=Δ
�
��	$�������
��
������������
������$�
	�'��	�������
�	������	�	��
��	����	���	
�����	�� 
���&	"�����.
����
�����	����������	��
�	�����	�!���������
�
�����	��
�	��!
������	���	
�������	��
��
	���	����+
*%
*%
*%*%*%*% ��
��
���
!�8�����8 ⋅⋅=⇔⋅=
#��
	������������	����������	�	�	��)��	�!�������	�����������	�����
�	���������������
�����	�����	���
���	���
	�
���	�	+
∫ ∫ ∫ ⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅=
� � �
���!����
�
��
!�8��
7 7 7
*%*%*%*%
*%
*%*% ττττ
τ
τττ
<�����	��	$� ���	�����
�������	��
��	���	
���
[ ]?
7
?
*%
?
=
*% ���!�� −⋅⋅=
�
��	��
7
�	
�	�� 
���&	����������	���
��	�
��
�"�#��
	�
��
�	���������	��	��	
������
�
	�
���	�	+
*%
?
=
*%
?
��!�� ⋅⋅=
2��
���	�!�	
������
�
����	��
��� �$�
	��
����	����	����	���	
�������	��
����	����	�	��)��	�!�.
������	������
��	�
��
��
�	���	�	
��
��� �$�	
��	���$�	
����	�	�	��
���
� 
"�2	
�������
�'	�'
+
�* 4��	�	��)��	������
��	�
��
��	
����������	�� 
���&	6��
���
����
�	
�	� 
���&	��
�	�
��
�.
��
�����������
�	�	������	�	�	��)��	������
��	�
��
�"�-
�
�
	�'�������(��
�	��#
��$���	��,����
�
�
��,����
$� �	
��������
�	
$� �
������
�	
$� 	��"�-�� ��������
� 	
� 
�	���	� 	����
�
$� �
�
�
�	
	�������	����	�	��)��	������
��	�
��
�������,���	��������	�	������	��	�
����	���	��	�����.
�	
�����$��
�	��
��	��	$��	
�������
�	�������	��
��	��	1
�%���	�	������	� 
���&	���
����
	�
�	�
��$��
������
$��
������	�	��)����	�������
�	������	���
��	�
��
������	
�
��	���������
*"

* -��	��D����
��	��E���
�����
�	�	����
��	�	�	��)���
�
	��	���(�������	��
��	�
$�
��
���	��	�	.
����������	��
���	��
"�#��	��	��	�
�	
�	���(
����	��
�����
��	�
��
�$������
���	����	�	�.
�)��	
����������	�� 
���&	$�
	���	���������
����
������	�	�������
��	��	�
����	������
��	�
��
�
�
�
	���	�	���
�������� ��	��
��	�
6�	
��	���$�	���
��	�
��
����	
	������	����D��	����E��� �
�����
��	��	�
���"
4�'���
C����	����

��	�����
�����'���)����	��	���(�����
���
��
�
�	����
�	
���	������	����

��	���
��	�
��
�6
��� 	�����
$� �
�	�
� �������� 	�� ��������
� �	� ��������� ��	� �
� ���������,� 	�� �����&
"��
)$� ����� ���
�
�����
	�
��	���)�+
[ ]?
7
?
*%
?
=
*% ������ −⋅⋅=
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 19
�
��	��
7
�	
�����
���	��	����������
������
����"�#��
	�
��
�	���	���������	��	�	
�,��	
��������
	���	����+
[ ]*%
?
=
*%
?
����� ⋅⋅=
�����������	�	��	����

��	���
��	�
��
�$�
	��	���	���	�����
�����	
����	�	�	��
���
� 
"��������.
�
�	����������
��	���������$�
	��	���	���
�'	�'
+
�* 4���
������
���	���	�	��)��	�����������	�����
���	��	���	�������� �	
�"

* 4���
�������	
	����D��	����E��� �
������
��	��
���	��	�
�
��!��
	���!
�
"�-
�
� 
	��
�.
���	������	
�������
���
��
�����	��
�	��	��	
���
�����
��
��
����	������
$������	�
	��
��
���
�
�
�����������
����	��
+��
����������
���	��	������ !
��	�	���"
PROBLEMAS RESUELTOS
-& 2	�	������������	�������	��� ��	��	��	+
1k 2k
2k
1k
1k
;�
���&�
�����'
����	��	�	�������	��	��� ��	��	��	�����
�&���
��	� ���	������
��	�	�
�
������
�	��	�

��
�	���	�
��$��	
�	��')$�	��	(������

����� �	��	��
�	����	����
��	
�,��	��
	��	�
�	�������	�
$
����� �����(��� 
� ��	�� ���	������
� 
� ��	�� ����������
"� -�� ��	
��
� ��

$� ��
� �
� �	
�
�	����
� �	
?���	
�,��	�������	�
�%��	
	����,�������
����	�
����	���	��	������	
*$��
���
���	�	��	��� ��	��	
�	�	
�
��
��	
�
�	����
�
	�,+
Ω=⇒=+=+= ����� 	4	4 ==
?
=
?
=
?=
�
���
���	�	���������
���	���,��
�
+
1k
1k
1k
1k
�'
��� ��
��
� ���	������
��	�=��� 	
�,��	�� 
	��	$������	��������� �����
��� ���	�
������
�
	���
$��
���
���	�	��	��� ��	��	��	�	���
�
	�,��	4�:�=�S�=�:�?��Ω$��
���
���	�	���������
��	���	 
��	����	�����
��+
20 TEORÍA DE CIRCUITOS
1k
2k1k
4�
����	������
��	�?������	�=���	
�,��	�������	�
$��
���
���	�
��	��� ��	��	�
	�,
Ω=⇒=+= ��� 	4	4
@
?
?
@
=
?
=
��	���������
�
����������
�
	��	�����,��+
1k
2/3k
Y$�������	��	$�	
��
��
����	������
�	
�,��	��
	��	$��
���
���	�	��	��� ��	��	��
����
	�,+
Ω==+= ��	4 IL$=
@
G
=
@
?
4������	��	$�	�������

���������	��	
�
�	����
�	���	
�����
��������	�����

���������	�	��	�	�
������,��	���	
�
�� 
"
.& 2	�	������������	�������	��� ��	��	��	+
1k 1H
1F 1F
;�
���&�
-�� ��	
��
� 	&	���
� ��� �
����� �� 	�� �
��	�
��
�� ������ 	
�,�� 	�� 
	��	$� �
�� �
� ��	� ��� ���	������
	��� ��	��	��	�	
�
��
�	�	�	��
�
	�,
"
"
"
"
"�
"!
�	4
===
? +=+=⋅+
⋅
=
��	���������
�
����������
���	���,��
�
+
1
1F Zeq
�'
���������	�������	��� ��	��	��������������	��
��	��	���	���
��	�
��
��	
�,��	�������	�
$
�
���
���	�������	��������	
������	�
	�,+
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 21
""
"
�
"
""
"
"
"
"!�� 	4	4 ⋅+
+=⇒
+
⋅+=+
+
=⋅+=
?
=
=
?
=
@
?
?
@
?
Y�������	��	$� ��� ���	��������	
������	�	
�,�	��
	��	��
������	
�
�	������	�=��Ω$��
���
���	+
""
"""
""
"
�����
?
=?
?
=
=
@
?@
@
?
+
+++=
+
++=
0& -�� 	�� 
����	��	� 	&	���
� 
	� �	
	�� �	�	������� ��� ���	������� 	��� ��	��	� �
��	
�
���	��	� ��� 
�.
���	��	��������
$�
��
��	��
��
��
���
��	
�
�	����
��	� ��
��=��Ω+
R 2
R 3
R 6R 5
R 1
R 4 I 2
I 3
I 1
+
–
Z ent
I
V
;�
���&�
-��	
�	���
��	���
	����	�	��	�	�������	���
��	��	�	���	�	�� 
���&	�����������	�
������
=
$������	�
	
���	�	�
�
��������
�
�	���������
��
���������	���������	���	
	��	����'
� ��
�	
��	� 
���&	�	����	�.
����"�#	���	�	����������	�����
�	
��	������
�
��	��	��
+
*%7
*%7
*%
IGB@B?G=
B@B@?=?==
G@=?G==
 � � �
 � � �
 � � ��
++⋅+⋅−⋅−=
⋅−+++⋅+⋅−=
⋅−⋅−+⋅=
�
�
��	����
���	��
��
���
��	
�
�	����
��
����	�� ��
���	�=��Ω$�
	���	������
����	��	��	
�����
+
Ω= ��	4
==
=@
1& /
���
���
��	�	
��	�P���'
��$��	�	��������
��	�
�
�	
�	���
�����
�����
6����)��
7
��
������ ��
���	
?7��'$��
7�
:�=7�T��� ���������=��Ω"
R R R
I 1 I 3
I 2
R
I 4
2V 0
I 0
ba
V 0
I 5
22 TEORÍA DE CIRCUITOS
;�
���&�
8�����	��	�	���������
��	�
�
�	
�	���
�����
�����
$��
���
���	�
	��������,�����
"�C���	�
�
	
��	����������
����
��	���������
�	���
���	��
�
	��
�
�	�	�� 
���&	"�-����	
��
���

$�	
�
����

���
�����
�����
"��
)$���������
����
�	���$�
	�
���	�	+
777
7
7
@7=@?=
=−++−⇒=++⇒=++
 
��
�
 
��
������ �
�
Y���������
����
�	��
+
 
�
 
��
 
��
��� 

�
−+−=−⇒+= 7? 7
GB@
�
�
��	����
��
�
����	��	
� ��
�	
+��
7
���������=7� 
���
$� ���������=���	��
7
���������?7��'-
	���	����+

��
� ����� −⋅=⇒=−++− ?@77?7=7
�
�
�


 ������ −⋅=⇒−=−+− @?7?7
��	$��	

� �	��
$��
����	��+
���� 
� =B�?? ==
5& 2	�	������ ��
� �
���	��	
� �	� �����
� �	�� 
����	��	� �������
$� �
��	� � :� =��Ω$� �
7
� :� =7��'� �
��:�=7�T"
I 0
R R
R
+
–
+
–
+
–2V
3V
I 1 I 2 I 3
V
A R
;�
���&�
2	������������	���������
�
	���	�	���	�������	��
�������	��������
�
����	��	
�	�����
�	
V�	V�����+
�
7
�:��
?
�9��
=
�%��������
�����	����������	���	��	��	��
���	��	*�	��
@
�;�%? *�9��
?
�;� �:�?��9�@�"
#	� �	�	
���$� ��	
$� ���� �	��	��� 	�������"� #�� �
� ��&��
� 	�� ��� �	�
���� 	���	� 	���	�
� �	� ��
��	��	��	��
���	��	$��
����������	$�
	���	�	+
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 23
+
I 1
R
A
V
–
#��
	��	�	������	�� 
���&	�����
�
����
�����	���
��	�
�
�	
�	������	
�
�	�����������	���	�	���
�
�	��
������$����	��	��
�	����	��������
���������	����'
� 
���&	
$�
	���	����+
� ��� +⋅−= =
C
�� 
���� ����	$� ���'�� ���	�	����� �	� �
�	������ 
	� �
��)�� '��	�� �	�	������
� �
���
� ��� ����

��	
��+
+
I 2 R
A
2V
–
R
I 3
5�
	� ���
�	��	
��	��$����	��	��
�	����	��������
���	��	��	�����	���
���
������	
�
�	������,
�	����������	�	���
���	��
������$�
	���	����+
� �� ��� ?*% @?? +⋅−+⋅=
��������
���
��
�0�����
�	���	
�
�	
�
	�
���	�	�����	��	���	�������$��	�	
�����������	�	���.
������
��
���	��	
��	������+
� �� �� � ?*%
@??=
+⋅−+⋅=+⋅−
F
����
��
�
� ��
�	
� �:�=��Ω$� �
7
�:�=7�������� :�=7�T� 
	�
���	�	+� �
=
�:�9=?$� �
?
�:�9?� 	
�
@
�:�9I6��
�����	�	��������	
$���	
��
���	�	��	��
���������
��	��
���	��	
��	��	
"
7& 2	�	��������
��
�	����
��
�
�����
����	�	����
�	��	��
����	��	��������
6��
7�
 ��	�=7� 
���
"
24 TEORÍA DE CIRCUITOS
+
–
1k 2k
1k2k
I 2
R 2
R 3R 1
R 4
V 0
I 1
;�
���&�
��������
�	�����
�	
��	������
�
	�
���	�	�������������	��������+
???==7
*% � �� ⋅−+⋅=
����������
	�����+
?=B@??
*%7 � � ⋅−++⋅=
��	$�
�
�����	��
� ��
�	
$��
����	����%�
7
� ��	�=7� 
���
*+�@�
=
�9��
?
�:�=7���B�
?
�9��
=
�:�7"�A	

� �	��
	�
���	�	+��
=�
:�B7H==6��
?
�:�=7H=="�C
������
$���
����	�	��	
��
�	����
�
	�,�+
�* 8��	������	�	�������
�
�
	�
�
	� ���	����������$�	���	�	���
���	��
�������	
���,��������
�
�
����	�	�	��
����� 
�%��&!�
�
�	��	��
	����
��	� ����
���	��	*"�-�� ��
���	�	
����
�	����
	�,+
�9��8 �	��	��	�	�����
==
B77
==
B7
=7 =⋅=⋅=
�	�
�����
���	���������&����
�� 
���
���������
���	��	� �	�	������	���'�������
�	�����	���9"

* 8��	������������������������
�����	����������	��
�	�����	�������	
�
�	�����
��	�	�
+
�9 � �8
�9 � �8
�9 �� �8
�9 � �8
 
 
 
 
=?=
?77
?
=?=
=77
=?=
=77
=?=
R77
*%
=?=
?77@
?
=?=
I77=
B
?
?B
?
@
?
?@
?
?
?
?=?
?
=
?
==
?
BB
@@
??
==
=⋅=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
=⋅−=⋅=
=⋅=⋅=⋅=
-�� 	�� �,����� �	� ��� �
�	����� �	� 
?
� '��)�� ��	� �	�	������� ��� �
���	��	� �	��� ��	� ��
�� �� 
�
��� !
6�	��
	����
���������$���	
���	�
�
	�	�	 ������������
�������������������
�	����"
4���
�	������
�����
�
������	
���������B77H==��9$���	$��������	��	$�	
������
�
���
����
�
��	���	�	���
�"
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 25
9& 2	�	��������
��
�	����
��
�
�����
����	�	����
�	��	��
����	��	��������
��
���
7
�:�=? "
+
–
1k
1k1k
R 3R 1
V 0
A
+
–
3V 0
I1 I2
I3
R 2
;�
���&�
-��	
�	��������
�
	��������,�����
�	��	������
�'"�2	����	��
��
��	��	
��	��$�
	��������,+
7
?@=
=++ ���
��	$���������
�����	���	�5'�$��
����	��+
7
@7
@
7
?=
7 =
−
+
−
+
−
 
��
 
�
 
�� ���
#�
�����	��
� ��
�	
�%�
7
��
���	�� ��
���	�=?� 
���
*�
	�
���	�	���������	�� ��
���	�=I�T"
T	��
�	������	����������
��
�	����
�	���
��	�	���
�	
"
�9����8 ��� BQ
=
=I=?
=?
=7
===
−=
−
⋅=⋅=⋅=
���)�����	�	����'	�'
����
�����	+�����
�	�����	
��	���� ���
�
��	����
�������	�
������	�
�.
����$�	
��	���$�	���	�	���
�����0���
�
����	�	�	��
���
� 
"�5�����
�����	� 	��
�	
���&��
	�	��	�
	����
��	��
=
$���	�	
$�&�
���	��	$�	��
��	
�
��������&��
�	��	��	
��	��"
-�������
����
	����
��	�	���
�+
�9����8 ��� L?7
=
=I@I
@I@
?7
???
=
−
⋅=⋅=⋅=
-�������
�����
��
�	����
��
�
�����
��
����
��	
�
�	����
$���������
���	
�98�98�98 B77
=
*=I@I%
?GI
=
*=I7%
=I
=
*=I=?%
???
@?=
=−==−==−=
��
	��	�	����������
�	������
�����
�
������	
��	�	
���
������������)�����
�	������	������	���	�	.
���
�$� ��	� ���0�� �
�
���� 	�	�	��
� ��
� 
$� 
	� 
���	�	� ��� �
���� �	� L?7��9$� ��	� 	
� ��� �
�	����
�����
�������
��	��
	����
��	�	���
�"
26 TEORÍA DE CIRCUITOS
>& 2	�	����������
��
�	��	��	��
���������	�� ��
��	����(��	����
����	��	��
�����	�
���+
A
V(t)
T t
T/3
;�
���&�
C�����	�	�����������
��
�	��	��	��
���������
����
��'������	�� ��
���	��
��	����
	1����	�������
��	�
	���	
����	�� ��� ������"�C	��������	��	$�	
��� 
	1���	
���,��	
�������
�� ��� 
����	��	� �������$
�
��	�%��	�
���	���	�)
�
+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤⋅⋅
=
@
�
@
�
7
@
*%
%�
%�
%
�'
��
-��
��	
$�	�� ��
���	��
� 	���,����
��
�+
I?
@@=
*%
=
*%
@
7
?
7
@
7
?
'�
%
'
���
%
'
%
����
%
��
%
%
%
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡⋅
=⋅
⋅
== ∫ ∫
C
������
$�����
��
�	��	��	��
��������	�����
�����	�
����	
+
I
*%
'��
��������
=
C
��
��
����
$�	�� ��
��	����(��	������
�����	�
�����	�	�������� �	�	����
��
�����
����	��	
	���	
���+
∫=
%
	## ����
%
�
7
?
*%
=
-
��	���$���	��
�
��	����
���	
�����
�����	�
����
	��	���,���	+
@@
RR=
@
7
@
@
?@
7
?
??
'�
%
'
��
%
�'
%
�
%%
	## =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡⋅
=
⋅⋅
= ∫
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 27
-
��	���$���	�	�� ��
��	����(��	�����
�����	�
����	
+
@
'�	## =
=& �
�
��	���
�����
	1����	��������������
�����	�
�����
��	
�
���	��	�������	�)
�
�
	���	
���
	����������������	�	����
����	��	�	���	
��������)����+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤⋅⋅
=
?
�7
?
�*%
��
*%
%
�
%
�%2'
��
2	�	����������
��
�	��	��	��
���������	�� ��
��	����(��	����
	1��"
A
0
T /2 T /2
;�
���&�
4���
��
�	��	��	��
��������	����
	1��� �	�	�������
��	�� ��
���	��
��	�!
��$���	� �	�	����
��
�
���	���	
���+
[ ] ?
7
7
?
7
*�
%*%
��
=
*%
=
*%
%
%
%
�2
2%
'
���2'
%
����
%
�� ⋅
⋅
−=⋅⋅== ∫ ∫
F	��	��
�	����	������	�%�;�2�:�?�;�π$�
	���	�������	+
ππ
''
���� �������� =−−⋅⋅
−== *==%
?
*%Z*%
-�������
���� ��
��	����($�!
�	� �	�	����
��
�����
����	��	�	���	
���+
28 TEORÍA DE CIRCUITOS
∫=
%
	## ����
%
�
7
?
*%
=
������	�
���� ���	�������	�����	�	�	�� ���	���	
�����	�� ��
��	����($� �	��	��
�	����	������	
?
*?�
%=
*%
��
?
<
<
⋅−
=
	���	
������	�
	��	���	����	����	��	��	��
��
�
����
���
��	���	
�����
�
�!�����
+
*%
��*%�
*?�
%
=*%�
*%
��
??
??
<<<
<<
−=⋅
=+
-��
��	
+
∫∫∫ ∫ ⋅⋅−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡⋅=⋅⋅−=⋅⋅=
?
7
?
?
7
?
7
??
7
?
7
???
*?�
%
???
*?�
%=
*%
��*%
%%%%
%
���2
'�
'��
�2
'���2'����
4�����	�������	�����	�	�	��	��
	����
��!����
�	
�����$������	+
[ ] 7*?
��%
?
=
*?�
%
?
7
?
7
=⋅⋅
⋅
=⋅⋅∫
%
%
�2
2
���2
C
������
+
∫ ⋅=
?
7
??
B
*%
%
%
'����
-
��	���$���	�	�� ��
��	����(��	����
	1���
	�,+
?B
? ''
�	## ==
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 29
PROBLEMAS PROPUESTOS
-& 2	�	������	�� ��
���	���
���	��
���	�����,������
���	��	���	���	�	�����������
������
�����	
��	
?�'�%��������	��	��
��������������������	�
������
��	���*$�
�	��
���:�?0"
�
a
ta
V(t)
V(t)
+
–
L
;�
���&��� Q
.& 2	�	������	�� ��
���	��
���	�� ��
��	����(��	������
�����	�
������	��	��	�
�	���"
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⋅+≤≤⋅⇔⋅−⋅
<⇔
= �$=$7�
�
*=%*%
77
*% �
%��%�%��
%
�
�
�#
;�
���&���
@
�
0& 2	�	������������	�������	��� ��	��	��	��
����	��	��������
+
1k
1k
1k
3k
1k
1k
1k
;�
���&���B@H=@�6Ω"
1& 2	�	��������
��
���	��	
��	�������	��	��
����	��	��������
��
���
7
���������=7� +
1k
1k1k
V0
2V 0
+
–
+
–
I1
1k 2k
I2
30 TEORÍA DE CIRCUITOS
;�
���&��� �'��'�
==
L7
6
==
I7
?=
==
5& 2	�	����������	�
����	��'�%�
7
� ��	�=7� 
���
�	��
7
��
���	�� ��
���	�=7��'*"
1k
1k1k
1k
V 0
+
– +
–
V 0
I 0
A
;�
���&������:�=7� "
7& 2	�	������������	�������	��� ��	��	��	��
����	��	�
�
�	��+
1k
1k1k
1k
1k
2k
3k
;�
���&���ILH=I�6Ω"
9& 2	�	����������	�
����	��'�%�
7
� ��	�=7� 
���
*+
1k
1k1k
1k
V 0
+
–
2V 0
+
–
+
–
3V 0
1k
A
;�
���&������:�=Q� "
CONCEPTOS FUNDAMENTALES. LEYES DE KIRCHOFF 31
>& 2	�	������ ��
� �
�	����
� 
�����
�����
H�	�	����
� �
�� �
� �	�	���
�	
� ��	
	��	
� 	�� 	�� �������
$
�	��
��
7
�:=7� �	��
7
�:�=7��'�
1k
2k1k
+
–
R 1
R 2
R 3
2kR 4
I 0
V 0
;�
���&���
�98
�98
�
�
@
B77
@
=77
7
7
=
=
���
��
��	�	����
"
=& 2	�	������ ��
� �
�	����
� 
�����
�����
H�	�	����
� �
�� �
� �	�	���
�	
� ��	
	��	
� 	�� 	�� �������
$
�	��
��
7
�:�=7� "
1k
1k
V 0
+
–
1k
1k
2V 0
+
–
+ –
3V 0
1k
8�
7
�:�QG��9��
�
����
;�
���&�� 8=�
7
�:�?G��9��	�	���
8>�
7
�:�??G��9��	�	���
-?& 2	�	������	�� ��
��	����(��	����
����	��	��
�����	�
���"
A
V(t)
T tT /2
;�
���&���
I
'
�	## =
CAPÍTULO 2
Redes bipuerta
33
En este capítulo se van a analizar una serie de elementos que son básicos en teoría de circuitos: las
redes bipuerta o cuadripolos. Estos sistemas simbolizan de manera general cualquier dispositivo elec-
trónico/eléctrico con dos pares de terminales conocido cada uno de ellos como puerta. Para diferen-
ciarlos se habla de puerta de entrada y puerta de salida o, simplemente, de entrada y salida. Cuando se
tenía un dispositivo de dos terminales sólo se podían definir dos elementos, admitancia e impedancia,
a partir de las magnitudes fundamentales (tensión y corriente). Ahora la situación cambia, ya que se
tienen cuatro magnitudes fundamentales, dos por cada puerta, por lo que el número de posibles rela-
ciones entre estas magnitudes aumenta de forma considerable.
En general una red bipuerta tendrá el aspecto que se muestra en la Figura 2.1.
Comentar que algunos libros de teoría siguen un criterio diferente para los sentidos de las corrien-
tes; más concretamente el sentido de la corriente de la puerta de salida suele ser de salida a la puerta.
Este cambio de signo tendrá su relevancia a la hora de determinar los parámetros equivalentes cuando
se conectan diferentes puertas en cascada, como se comentará más adelante.
A partir del diagrama general de la red bipuerta se pueden definir una serie de parámetros que
serían los siguientes: impedancia, admitancia, híbridos, G y transmisión.
PARÁMETROS IMPEDANCIA
Estos parámetros quedan definidos por las siguientes relaciones:
V(1) = z11 · I(1) + z12 · I(2)
V(2) = z21 · I(1) + z22 · I(2)
+
–
+
–
I(1)
V(1)
I(2)
V(2)
RED
BIPUERTA
Figura 2.1. Representación de una red bipuerta genérica en forma de bloque.
34 TEORÍA DE CIRCUITOS
En forma matricial las expresiones anteriores se podríanexpresar como:
���
�
�
��
��
�
�
⋅=⇔⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
���
���
���
���
����
����
donde Z es la matriz impedancia y V e I son vectores que agrupan a las tensiones y corrientes de puerta
respectivamente. Resaltar que la última igualdad es una igualdad matricial y se ha puesto aquí para
resaltar la equivalencia que hay entre los parámetros impedancia de una red bipuerta y el parámetro
impedancia de un dispositivo de dos terminales.
PARÁMETROS ADMITANCIA
Estos parámetros quedan definidos por las siguientes relaciones:
I(1) = y11 · V(1) + y12 · V(2)
I(2) = y21 · V(1) + y22 · V(2)
En forma matricial las expresiones anteriores se podrían expresar como:
���
�
�
��
��
�
�
⋅=⇔⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
���
���
���
���
����
����
donde Y es la matriz admitancia. Al igual que en el caso de la impedancia queda clara la equivalencia
entre esta matriz y el parámetro equivalente para el dispositivo de dos terminales.
PARÁMETROS HÍBRIDOS
Estos parámetros quedan definidos por las siguientes relaciones:
V(1) = h11 · I(1) + h12 · V(2)
I(2) = h21 · I(1) + h22 · V(2)
En forma matricial las expresiones anteriores se podrían expresar como:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⇔⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
���
���
���
���
���
���
���
���
����
����
�
�
�
�
�
�
�
		
		
�
�
donde H es la matriz de parámetros híbridos. El nombre de esta matriz está claro, ya que en ella se
combinan relaciones entre las dos puertas (entrada/salida). Evidentemente no existe ningún elemento
análogo en los dispositivos de dos terminales.
PARÁMETROS G
Estos parámetros quedan definidos por las siguientes relaciones:
I(1) = g11 · V(1) + g12 · I(2)
V(2) = g21 · V(1) + g22 · I(2)
REDES BIPUERTA 35
En forma matricial las expresiones anteriores se podrían expresar como:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⇔⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
���
���
���
���
���
���
���
���
����
����
�
�
�
�
�
�
��
��
�
�
Se aprecia que la matriz G es la inversa de la matriz de parámetros híbridos.
PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN
En todas las igualdades matriciales que aparecen en las anteriores igualdades las magnitudes de cada
miembro pertenecían a diferentes puertas. En los siguientes parámetros esta situación cambia, ya que
se intenta relacionar las magnitudes de la puerta de entrada con las magnitudes de la puerta de salida.
La definición de estos parámetros es la siguiente:
V(1) = t11 · V(2) + t12 · I(2)
I(1) = t21 · V(2) + t22 · I(2)
En forma matricial las expresiones anteriores se podrían expresar como:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⇔⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
���
���
���
���
���
���
���
���
����
����
�
�
�
�
�
�
�


�
�
donde T es la matriz de parámetros de transmisión.
Una vez definidos todos los parámetros, lo primero que llama la atención es su gran número, ¿son
necesarios todos estos parámetros? Si se analizan en profundidad se llega a la conclusión de su nece-
sidad y de su uso. A modo de ejemplo centrémonos en el parámetro h11, este parámetro es igual al
cociente entre V(1) e I(1) cuando V(2) vale 0. A nivel eléctrico eso es igual a la impedancia que
presenta el dispositivo, impedancia de entrada, cuando la salida está cortocircuitada. Este parámetro
tiene su importancia, ya que esta impedancia determinará su comportamiento dentro de un sistema
cuando la salida se cortocircuite. Otro parámetro sería el y22. Este parámetro, usando su definición, es
igual al cociente que hay entre I(2) y V(2) cuando I(1) es 0, que desde un punto de vista eléctrico es la
admitancia de salida cuando la entrada está en abierto. A modo de resumen, estos parámetros determi-
nan el comportamiento de la red bipuerta de forma unívoca, de ahí su importancia. Destacar lo que
parece evidente desde un punto de vista matemático, todos los parámetros están relacionados entre sí
(la tabla de conversión de parámetros se muestra en las tablas que aparecen en el Apéndice al final del
presente texto).
CONEXIÓN DE REDES BIPUERTA
De la misma forma que el aumentar el número de terminales aumenta el número de parámetros con
relación a un sistema con un par de terminales, también se incrementan las formas de interconexión de
estos elementos. Antes, cuando se tenían dispositivos de dos terminales, sólo se podían conectar en
serie o en paralelo. Ahora se tienen más posibilidades de conexión dependiendo del tipo de conexión
por puerta. Así se tienen conexiones serie-serie, paralelo-paralelo, serie-paralelo, paralelo-serie y, fi-
nalmente, en cascada. En las Figuras 2.2, 2.3 y 2.4 se muestran las conexiones serie-serie, paralelo-
paralelo y en cascada. La razón estriba en que las dos que no se muestran son inmediatas de inferir a
36 TEORÍA DE CIRCUITOS
partir de la combinación de las dos primeras. Se muestra, en trazo grueso, el cuadripolo final formado
por la combinación de las dos redes bipuerta. Se han usado los mismos nombres para las magnitudes
de entrada y salida de cada cuadripolo para no complicar el esquema.
+
–
I(1)
V(1)
I(2)
V(2)
RED
BIPUERTA (1)
RED
BIPUERTA (2)
+
–
I(1)
V(1) V(2)
+
–
I(2)
–
+
+
–
I(1)
V(1) V(2)
+
–
I(2)
Figura 2.4. Conexión en cascada de dos redes bipuerta.
� �
����
����
����
����
��	
��
����
���
�
�
����
����
����
����
��	
��
����
���
�
�
�
�
����
���� ����
�
�
����
Figura 2.3. Conexión paralelo-paralelo de dos redes bipuerta.
+ +
I(1) I(2)
V(2)
RED
BIPUERTA
(1)
– –
V(1)
V(2)
RED
BIPUERTA
(2)
+
–
I(1)
V(1) V(2)
+
–
I(2)
+
–
I(1)
V(1) V(2)
+
–
I(2)
Figura 2.2. Conexión serie-serie de dos redes bipuerta.
REDES BIPUERTA 37
Se puede demostrar que los parámetros que definen las redes bipuerta antes de la conexión y los
parámetros de la red bipuerta resultante están relacionados de la siguiente forma:
Conexión serie-serie: Z = Z1 + Z2
Conexión paralelo-paralelo: Y = Y1 + Y2
Conexión serie-paralelo: H = H1 + H2
Conexión paralelo-serie: G = G1 + G2
Conexión serie-serie: ��
���
��
��� ⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=
Con las anteriores igualdades se pueden determinar los parámetros de una red que sea el resultado
de conectar dos dadas.
Sobre las expresiones, resaltar dos cuestiones importantes:
a) Son igualdades matriciales, por lo que no son operaciones sobre elementos individuales sino
sobre las matrices definidas anteriormente.
b) Si los sentidos de las corrientes se han definido de otra forma, por ejemplo si la corriente de
salida se considera en un sentido inverso al especificado aquí, entonces se mantienen todas
las expresiones anteriores salvo la última. En este caso la matriz de transmisión total es el
producto de las matrices de transmisión (no es necesario multiplicar por esa matriz adicional
que aparece en la igualdad).
CUADRIPOLOS ESPECIALES
Por su importancia en la síntesis de redes bipuerta se comentarán dos que aparecen en dicha síntesis:
transformador ideal y girador.
TRANSFORMADOR IDEAL
El transformador ideal presenta el esquema de la Figura 2.5 en teoría de circuitos.
+
–
I(2)
V(2)
+
–
I(1)
V(1)
Figura 2.5. Esquema de la red bipuerta de un transformador ideal.
38 TEORÍA DE CIRCUITOS
Las relaciones entre las diferentes magnitudes quedan reflejadas en las siguientes ecuaciones:
���
�
����
������
�
�
�
���
⋅⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛=
⋅=
donde n es un número real positivo. Si los puntos negros no se encuentran en esa posición, sino que el de
la puerta de salida se encuentra en la zona inferior, entonces los signos de las expresiones cambian. Esta
diferencia se encuentra en la forma de hacer los dos bobinados en la construcción del transformador.
Multiplicando los términos de cada miembro de las últimas expresiones se llega a:
�������������� �� =+⇒⋅=⋅ ������
siendo Pk la potencia eléctrica de la puerta k. Esta expresión pone de manifiesto la idoneidad de este
modelo, ya que es un elemento que no consume nada; toda la potencia de entrada se tiene a la salida
(balance igual a 0).
Supongamosque a la salida del transformador conectamos una impedancia ZL; se quiere conocer
qué impedancia se observa a la entrada del circuito de la Figura 2.6.
Se tienen las siguientes expresiones:
— Por el transformador:
���
�
����
������
�
�
�
���
⋅⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛=
⋅=
— En la segunda puerta:
������� ��� � ⋅=
Se sabe que la impedancia de entrada es el cociente entre V(1) e I(1). Así pues, dividiendo miem-
bro a miembro las igualdades que definen el comportamiento del transformador se tiene:
���
 ��
�
�
�
�
�
� ⋅=⋅== ��
���
���
�
���
���
Así pues, se tiene una impedancia de entrada que presenta el mismo carácter (inductivo, capaciti-
vo o resistivo) de la impedancia que se conecta a la salida ZL.
+
–
I(2)
V(2)
+
–
I(1)
V(1)
Z(L)
Figura 2.6. Representación de un transformador con carga ZL.
REDES BIPUERTA 39
GIRADOR
Este elemento presenta el esquema de la Figura 2.7 en teoría de circuitos.
Las relaciones entre las diferentes magnitudes quedan reflejadas en las siguientes ecuaciones:
������
�������
���
���
⋅=
⋅=
donde r es un número real positivo. Si en el esquema presentado anteriormente se cambia el sentido de
la flecha, los signos de las anteriores igualdades cambian.
Al igual que ocurría con el transformador ideal es inmediato llegar a la igualdad
�������������� �� =+⇒⋅=⋅ ������
Tenemos otro elemento ideal que, en cursos avanzados de síntesis de redes eléctricas, se diseña
usando elementos activos que proporcionan la energía necesaria para que el balance energético en el
dispositivo sea nulo.
Supongamos que a la salida del girador conectamos una impedancia ZL y se quiere conocer qué
impedancia se observa a la entrada (situación análoga a la anterior con el transformador ideal).
Se tienen las siguientes expresiones:
— Por el girador:
���
�
���
�������
�
�
�
���
⋅⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛=
⋅=
— En la segunda puerta:
������� ��� � ⋅=
Dividiendo miembro a miembro las igualdades que definen el comportamiento del girador, se
tiene:
�
�
��
 ��
�
�
�
�
�
�
�
� ⋅=⋅=⋅== ���
�
���
���
�
���
���
+
–
I(2)
V(2)
+
–
I(1)
V(1)
r
Figura 2.7. Esquema de la red bipuerta de un girador ideal.
40 TEORÍA DE CIRCUITOS
Nuestro dispositivo cambia el carácter a la impedancia; por ejemplo, si se coloca un condensador
de capacidad C se tiene como impedancia de entrada la siguiente:
��������
 ⋅′=⋅⋅=
�
Ahora se tiene una bobina con un valor de inductancia de r2C. Se puede comprobar que ocurre lo
mismo si se coloca una bobina; el resultado es que lo que se «observa» en la primera puerta es un
condensador. Este hecho tiene una gran utilidad práctica, ya que permite la síntesis de una bobina con
un valor determinado de inductancia usando condensadores y este elemento (recordar las ventajas que
presentan los condensadores frente a las bobinas mencionadas en el primer capítulo).
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determina los parámetros de transmisión T de la siguiente red bipuerta:
C C
C
+
–
I(2)
V(2)
+
–
I(1)
V(1)
Solución
Queremos conocer los parámetros de transmisión de esta red bipuerta. Para ello, analizaremos
qué parámetros (de impedancia, de admitancia, híbridos...) son los más sencillos de obtener, y
posteriormente utilizaremos la tabla de conversión de parámetros para calcular definitivamente
los parámetros de transmisión.
La manera de obtener qué parámetros son más adecuados consiste en observar con cuáles se
simplificarían más los circuitos a analizar. Para ello, igualamos a cero las tensiones y las intensi-
dades de puerta y vemos qué ocurre:
Si i1 = 0 ⇒ Se elimina C
Si v1 = 0 ⇒ Se tiene C en paralelo con C
Si i2 = 0 ⇒ Se elimina C
Si v2 = 0 ⇒ Se tiene C en paralelo con C
Por tanto, los parámetros más sencillos de obtener son los de impedancia:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
�
�
����
����
�
�
�
�
��
��
�
�
¿z11?
��
�
��
�=
=
�
�
�
�
REDES BIPUERTA 41
Como en el circuito equivalente que quedaría estaría eliminado el condensador de la puerta de
salida, se tendría que:
������
�
⋅
=
⋅
+
⋅
= �����
¿z21?
��
�
��
�=
=
�
�
�
�
El circuito equivalente es el mismo que en el caso anterior, por lo que se tendría:
��
�
��
��
��
���� =⇒⋅
⋅=
¿z12?
Como la matriz de impedancia es simétrica:
��
��
�
���� ==
¿z22?
��
�
��
�=
=
�
�
�
�
En el circuito equivalente que queda, se elimina el condensador de la entrada, por lo que se tiene:
������
�
⋅
=
⋅
+
⋅
= �����
Entonces, para obtener los parámetros de transmisión recurrimos a la tabla de transformación
de parámetros:
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
=
=
=
� es el determinante de la matriz de impedancia, es decir:
����������� ��
�
��
�
�
��
	
�
������
����� ==⋅⋅=
42 TEORÍA DE CIRCUITOS
Entonces:
���
���
��
�
��
��
��
��
��
��
=
=
=
=
2. Determina los parámetros de impedancia Z de la siguiente red bipuerta:
C C
C
+
–
I(2)
V(2)
+
–
I(1)
V(1) L
Solución
En primer lugar, analizaremos con qué parámetros es más cómodo trabajar en este caso:
Si i1 = 0 ⇒ Se elimina C
Si v1 = 0 ⇒ Se tiene C en paralelo con L
Si i2 = 0 ⇒ Se elimina C
Si v2 = 0 ⇒ Se tiene C en paralelo con C
Por tanto, los parámetros más adecuados son los de impedancia, que justamente son los que se
piden en el enunciado, por lo que se obtendrán directamente:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
�
�
����
����
�
�
�
�
��
��
�
�
¿z11?
��
�
��
�=
=
�
�
�
�
Como en el circuito equivalente que quedaría estaría eliminado el condensador de la puerta de
salida, se tendría que:
���	
�	
��
�
��� +⋅⋅
⋅
+
⋅
=+
⋅
= �
�
�
��
��
¿z21?
��
�
��
�=
=
�
�
�
�
REDES BIPUERTA 43
El circuito equivalente es el mismo que en el caso anterior, por lo que a partir de la expresión
anterior, se tendría que:
���	
�	
��� +⋅⋅
⋅
=
¿z12?
Como la matriz de impedancia es simétrica:
���	
�	
��� +⋅⋅
⋅
== ���
¿z22?
��
�
��
�=
=
�
�
�
�
En el circuito equivalente que queda, se elimina el condensador de la entrada, por lo que se
tiene:
���	
�	
��
�
��� +⋅⋅
⋅
+
⋅
=+
⋅
= �
�
�
��
��
3. Determina los parámetros híbridos H de la siguiente red bipuerta:
I(2)
V(2)
I(1)
V(1)
C
+
–
+
R C R
++
–
R
Solución
En primer lugar, analizaremos con qué parámetros es más cómodo trabajar en este caso:
Si i1 = 0 ⇒ Se elimina R
Si v1 = 0 ⇒ Se tiene R en paralelo con R
Si i2 = 0 ⇒ No cambia nada
Si v2 = 0 ⇒ Se eliminan R y C
Por tanto, los parámetros más adecuados son los H, que justamente son los que se piden en el
enunciado, por lo que se obtendrán directamente:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
�
�
����
����
�
�
�
�
		
		
�
�
¿h11?
��
�
��
�=
=
�
�
�
	
44 TEORÍA DE CIRCUITOS
Como en el circuito equivalente correspondiente estarían eliminados la resistencia y el con-
densador de la puerta de salida, se tendría que:
����
�
���� +⋅⋅
+=+= �
� ���
¿h21?
��
�
��
�=
=
�
�
�
	
El circuito equivalente es el mismo; si aplicamos la ley de los nudos al único nudo presente en
el circuito, y que podemos llamar X:
���
���
��
��
�
�
�
�
��
�
�
⋅⋅
+⋅⋅
⋅=⇒
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⋅
=
=+
�
�
�
��
�
��
Entonces:
����
���
���� +⋅⋅
⋅⋅
==
�
�
�
�
¿h12?
��
�
��
�=
=
�
�
�
	
Como la matriz de parámetros híbridos es antisimétrica se tiene que:
����
���
��� +⋅⋅
⋅⋅
=���	
¿h22?
��
�
��
�=
=
�
�
�
	
En el circuito equivalente que queda se elimina la R que aparece a la entrada, por lo que se
tiene:
( ) �
�����
�
�������
�
�
�� +⋅⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅==
�
�
�
���������
4. Determina los parámetros de transmisión T de la siguiente red bipuerta:
I(2)
V(2)
+
–
R r
+
–
+
–
I(1)
V(1) L
REDES BIPUERTA 45
Solución
Queremos determinar los parámetros de transmisión que vienen determinados por:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
�
�
����
����
�
�
�
�


�
�
donde
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
����
����


�
es la matriz de transmisión. En lugar de realizar el clásico análisis para determinar qué paráme-
tros

Continuar navegando