2017-06-10

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
 Primer Parcial ANÁLISIS MATEMÁTICO II Fecha 10-06-2017 
APELLIDO Y NOMBRE......................................................... 
CARRERA: .................................................. 
UN EJERCICIO POR HOJA, ENTREGAR TODAS, 
INCLUYENDO ÉSTA. 
 
 
TEMA I: Desarrollar cada inciso. Justificando correctamente 
a) ¿Es cierto que para una función vectorial )(tr
r
con módulo constante tCtr ∀= ;)(r se cumple ttrtr ∀⊥ )()(' rr ? 
b) Enunciar y Demostrar la regla de cálculo para la derivada ( ))().( tvtu
dt
d rr
 con )()( tvytu
rr
 funciones vectoriales 
derivables de ℜ en 2ℜ . 
c) Definir derivada ),( oox yxf y dar su interpretación geométrica. 
d) De las condiciones y demuestre la fórmula de cálculo del plano tangente a la superficie de nivel kzyxF =),,( en el 
punto ),,( 0zyxP oo 
TEMA II : 1) Dada la curva C intersección entre 
224 yxz −−= y el plano yz 24 += . y los gráficos 
 
i) ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Sabiendo que uno de los grafico corresponde a C indicar cuál es. 
b) Dar una parametrización de C y su función vectorial correspondiente. 
c) Hallar si existe un punto donde la recta tangente a C es paralela al eje X
r
. Si existe dar su ecuación. 
TEMA III: 
Dos proyectiles (A y B) parten a la misma hora con aceleración constante. Pasado un minuto del arranque, el proyectil A lleva una 
velocidad jiv
vvv
147 −= , una aceleración jia
rrv
22 += y se encuentra en el punto P (6, -15). El proyectil B sigue una 
trayectoria −+= tttr 6,1005)(v 
a) Encontrar la función vectorial que represente la posición del proyectil A en función de t. 
b) ¿A qué velocidad se encontraba el proyectil B cuando ambos proyectiles se chocan? 
 
TEMA IV: Dada la función xyxyxT 42),( 23 −+= 
a) Calcular la razón de cambio de T en el punto (2,3) en la dirección = 4,12vv 
b) Calcular la dirección de máximo crecimiento de la función en el punto (1,2). Justifique. 
c) Dar el rango de variación de la ))3,2((TDu . 
 
TEMA V: a) Dada la función )();( yseneyxf x= 
a) Hallar y dibujar las curvas de nivel cero de f . 
b) Escribir la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en (0;0) 
c) Mostrar que la gráfica de );( yxf no tiene plano tangente horizontal en punto alguno. 
d) Mostrar que 0
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
y
f
x
f
 en 
2ℜ 
 
I II III IV V TOTAL 
32 10 12 18 28 100 
 
 a) Dada 
)0,0(),( 0
)0,0(),( 
),( 22




=
≠
+=
yx
yx
yx
xy
yxf 
i) Calcular )0,0(
y
f ) 
ii) Hallar si existen los límites por caminos rectilíneos. ¿Es continua ),( yxf en 2R ? 
Iii ) ¿Es diferenciable en (0,0)?¿ Existe plano tangente en (0;0)?