Problemas parcial 2 Ejer 1 a 7

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Análisis Numérico y Cálculo Avanzado -Industrial 
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PROBLEMAS PARCIAL 2: APLICACIONES de ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Y SERIES DE FOURIER 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Problemas Resueltos Capitulo 1 – Ecuación del calor y distribución de temperaturas en equilibrio 
1. Sabiendo que la ecuación unidimensional del calor es 𝑐(𝑥)𝜌(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 𝑡) = 
𝜕
𝜕𝑥
(𝐾 0(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑡)) + 𝑄 (𝑥, 𝑡) y 
tomando en cuenta las condición de conductividad 𝐾0 constante y lo especificado en cada inciso, podemos 
calcular la distribución de temperaturas 𝑢(𝑥) en equilibro (es decir 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 𝑡) = 0, no depende del tiempo) 
como sigue: 
a. 𝑄 = 0, 𝑢(0) = 0, 𝑢(𝑙) = 𝑇 
𝑐𝑝
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
(𝐾0(𝑥).
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) + 𝑄 
En primer lugar, si 𝐾0 = 𝑐𝑡𝑒 podemos sacarla fuera del paréntesis de la 
𝜕
𝜕𝑥
() y pasarla para el otro lado, 
donde se anulará porque 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0. Además, si 𝑠𝑖 𝑄 = 0 nos queda: 
0 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 → 𝑢′′(𝑥) = 0 entonces integrando 2 veces obtenemos 𝑢(𝑥). 
𝑢′(𝑥) = ∫𝑢′′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫0 𝑑𝑥 = 𝑎 
𝑢(𝑥) = ∫𝑢′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Utilizando las CB 𝑢(0) = 0 y 𝑢(𝑙) = 𝑇, calculamos los valores de a y b. 
𝑢(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
𝑢(0) = 0 + 𝑏 = 0 → 𝑏 = 0 𝑢(𝑙) = 𝑎. 𝑙 = 𝑇 → 𝑎 =
𝑇
𝑙
 
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
⇒ 𝑢(𝑥) =
𝑇
𝑙
. 𝑥 
b. 𝑄 = 0, 𝑢(0) = 𝑇, 𝑢(𝑙) = 0 
𝑢′′(𝑥) = 0 → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
 𝑢(0) = 0 + 𝑏 = 𝑇 → 𝑏 = 𝑇 ⇒ 𝑢(𝑥) = −
𝑇
𝑙
. 𝑥 + 𝑇 
𝑢(𝑙) = 𝑎. 𝑙 + 𝑇 = 0 → 𝑎 = −𝑇/𝑙 
c. 𝑄 = 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0) = 0, 𝑢(𝐿) = 𝑇 
En este caso la condición de borde izquierdo es una derivada, por lo que utilizaremos 𝑢′(𝑥) y 𝑢(𝑥) para 
calcular a y b. 
 𝑢′(𝑥) = ∫𝑢′′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫0 𝑑𝑥 = 𝑎 Utilizando la CB 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0) = 𝑢′(0) = 0 = 𝑎 
𝑢(𝑥) = ∫𝑢′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 → 𝑢(𝑙) = 0. 𝑙 + 𝑏 = 𝑇 → 𝑏 = 𝑇 
𝑢(𝑥) = 𝑇 
d. 𝑄 = 0, 𝑢(0) = 𝑇 , 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑙) = 𝛼 
𝑢′(𝑥) = 𝑎 → 𝑢′(𝑙) = 𝑎 = 𝛼 
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𝑢(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 → 𝑢(0) = 𝛼. 0 + 𝑏 = 𝑇 → 𝑏 = 𝑇 
𝑢(𝑥) = 𝛼. 𝑥 + 𝑇 
e. 
𝑄
𝐾0
= 1, 𝑢(0) = 𝑇1, 𝑢(𝑙) = 𝑇2 
𝑐𝑝
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
(𝐾0(𝑥).
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) + 𝑄 
 0 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
. 𝐾0 + 𝑄 
 −
𝑄
𝐾0
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 → 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= −1 
𝑢′′(𝑥) = −1 → 𝑢′(𝑥) = ∫−1 𝑑𝑥 = −𝑥 + 𝑏 ; 𝑢(𝑥) = ∫−𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −
𝑥2
2
+ 𝑏. 𝑥 + 𝑑 
Utilizando las CB: 𝑢(0) = −
𝑥2
2
+ 𝑏. 𝑥 + 𝑑 = 0 + 𝑏. 0 + 𝑑 = 𝑇1 → 𝑑 = 𝑇1 
 𝑢(𝑙) = −
𝑥2
2
+ 𝑏. 𝑥 + 𝑑 = −
𝑙2
2
+ 𝑏. 𝑙 + 𝑇1 = 𝑇2 → 𝑏 =
𝑇2−𝑇1+
𝑙2
2
𝑙
 
 𝑢(𝑥) = −
𝑥2
2
+
𝑇2−𝑇1+
𝑙2
2
𝑙
. 𝑥 + 𝑇1 
f. 
𝑄
𝐾0
= 𝑥2, 𝑢(0) = 𝑇, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝐿) = 0 
−
𝑄
𝐾0
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 → −𝑥2 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 
Entonces 𝑢′′(𝑥) = −𝑥2 → 𝑢′(𝑥) = ∫−𝑥2 𝑑𝑥 = −
𝑥3
3
+ 𝑎 → 𝑢(𝑥) = ∫−
𝑥3
3
+ 𝑎 𝑑𝑥 = −
𝑥4
12
+
𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Utilizando las CB: 𝑢(0) = 𝑇 → 𝑢(0) = −
04
12
+ 𝑎. 0 + 𝑏 = 𝑇 → 𝑏 = 𝑇 
 𝑢′(𝑙) = −
𝑙3
3
+ 𝑎 = 0 → 𝑎 =
𝑙3
3
 
 𝑢(𝑥) = −
𝑥4
12
+
𝑙3
3
. 𝑥 + 𝑇 
g. 𝑄 = 0, 𝑢(0) = 𝑇, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝐿) + 𝑢(𝐿) = 0 
𝑐𝑝
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑥
(𝐾0(𝑥).
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) + 𝑄 
 0 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 0 → 𝑢′′(𝑥) = 0 
 𝑢′(𝑥) = ∫0 𝑑𝑥 = 𝑎 → 𝑢(𝑥) = ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Utilizando las CB: 𝑢(0) = 𝑎. 0 + 𝑏 = 𝑇 → 𝑏 = 𝑇 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝐿) + 𝑢(𝐿) = 𝑎 + 𝑎. 𝑙 + 𝑇 = 0 → 𝑎 = −
𝑇
1 + 𝑙
 
𝑢(𝑥) = −
𝑇
1 + 𝑙
. 𝑥 + 𝑇 
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h. 𝑄 = 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0) − [𝑢(0) − 𝑇] = 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝐿) = 𝛼 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 0 → 𝑢′′(𝑥) = 0 → 𝑢′(𝑥) = ∫0 𝑑𝑥 = 𝑎 → 𝑢(𝑥) = ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Utilizando las CB: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑙) = 𝛼 → 𝑢′(𝑙) = 𝑎 = 𝛼 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0) − [𝑢(0) − 𝑇] = 0 → 𝛼 − [𝛼. 0 + 𝑏 − 𝑇] = 0 → 𝑏 = 𝑇 + 𝛼 
 𝑢(𝑥) = 𝛼. 𝑥 + (𝑇 + 𝛼) 
2. Si la distribución de temperaturas se encuentra en equilibrio (
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0) en una varilla uniforme unidimensional, 
con propiedades térmicas constantes, una fuente de energía térmica 𝑄 𝐾0⁄ = 𝑥, y CB 𝑢(0) = 0 y 𝑢(𝐿) = 0 y 
el ejercicio pide calcular la energía térmica generada por Q y la que entra y sale por los bordes, sabemos que 
el balance energía térmica nos da: 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
(Ω, 𝑡) = 𝐴. [Ф(0) − Ф(𝑙)] + 𝐴∫ 𝑄 𝑑𝑥
𝑙
0
= 0 
[
𝐿𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐸𝑇 𝑒𝑛
 Ω en el instante t
] = [
𝐿𝑎 𝐸𝑇 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
 de tiempo en el instante t
] + [
𝐿𝑎 𝐸𝑇 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 Ω por unidad 
 de tiempo en el instante t
] = 0 
a. Determinar la energía calorífica generada por la fuente 𝑄 por unidad de tiempo y de área en el interior 
de toda la varilla. 
𝐸(𝑄) = ∫𝑄 𝑑𝑥 = ∫𝑄 𝑑𝑥 = ∫𝐾0. 𝑥 𝑑𝑥 → 𝐸 = (𝐾0.
𝑥2
2
)
𝑙
0
𝑙
0
𝑏
𝑎
|
𝑙
0
= 𝐾0.
𝑙2
2
 
b. Determinar la energía calorífica que fluye hacia afuera de la varilla por unidad de tiempo y de área a 
través de sus bordes en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿. 
Para calcular ɸ(𝑥, 𝑡) = −𝐾0.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 primero necesitamos el valor de 𝑢(𝑥) que calculamos con los datos 
𝑄
𝐾0
= 𝑥, 𝑢(0) = 0, 𝑢(𝐿) = 0, y temperatura en equilibro 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0. 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= −𝑥 → 𝑢′′(𝑥) = −𝑥 
𝑢′(𝑥) = ∫−𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥2
2
+ 𝑎 
𝑢(𝑥) = ∫−
𝑥2
2
+ 𝑎 = −
𝑥3
6
+ 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Utilizando las CB: 𝑢(0) = −
03
6
+ 𝑎. 0 + 𝑏 = 0 → 𝑏 = 0 
 𝑢(𝑙) = −
𝑙3
6
+ 𝑎. 𝑙 = 0 → 𝑎 =
𝑙2
6
 
 𝑢(𝑥) = −
𝑥3
6
+
𝑙2
6
. 𝑥 
 
 
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Calculamos ahora el valor del flujo en bordes (Energía térmica que fluye por unidad de tiempo y área) 
ɸ(𝑥, 𝑡) = −𝐾0.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= −𝐾0. (−
𝑥2
2
+
𝑙2
6
) 
Ф(0) = −𝐾0. (−
02
2
+
𝑙2
6
) = −𝐾0. (
𝑙2
6
) 
Ф(𝑙) = −𝐾0. (−
𝑙2
2
+
𝑙2
6
) = 𝐾0. (
𝑙2
3
) 
c. ¿Qué relación debe existir entre las respuestas de los apartados a y b? El principio de conservación de 
la energía que establece el balance de energía térmica. 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 𝐴. [Ф(0) − Ф(𝑙)] + 𝐴∫ 𝑄 𝑑𝑥
𝑙
0
= 0 
 0 = 𝐴. [−𝐾0. (
𝑙2
6
) + 𝐾0. (
𝑙2
3
)] + 𝐴. 𝐾0.
𝑙2
2
 → 𝐴. [−𝐾0.
𝑙2
2
] + 𝐴.𝐾0.
𝑙2
2
= 0 Verifica, por lo que la 
energía térmica se conserva. 
3. Definición: Se dice que dos varillas unidimensionales de diferentes materiales, unidas en 𝑥 = 𝑥0, están en 
contacto térmico perfecto si tanto la temperatura como el flujo son continuos en 𝑥 = 𝑥0, lo cual se escribe 
simbólicamente 𝑢(𝑥0
−) = 𝑢(𝑥0
+) 𝑦 ∅(𝑥0
−) = ∅(𝑥0
+). 
Determinar la distribución de temperaturas en equilibrio para una varilla unidimensional compuesta de dos 
materiales distintos en contacto térmico perfecto en x = 1. Sabiendo que para 0 < 𝑥 < 1, el material tiene 
𝑐𝜌 = 1, 𝐾0 = 1 y una fuente constante 𝑄 = 1, mientras que para 1< 𝑥 < 2 no existen fuentes internas de 
calor, 𝑐𝜌 = 2 𝑦 𝐾0 = 2. Además, las condiciones de contorno son 𝑢(0) = 0 y 𝑢(2) = 0. 
Las CB en la barra son: 
0 < 𝑥 < 1 𝑐𝑝 = 1, 𝐾0 = 1, 𝑄 = 1 
1 < 𝑥 < 2 𝑐𝑝 = 2, 𝐾0= 2, 𝑄 = 0 
Y por definición de contacto térmico perfecto sabemos que 𝑢(+1) = 𝑢(−1) y Ф(+1) = Ф(−1) 
En 0<x<1 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝐾0
𝑐𝑝
.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑄 = 0 → 0 = 
1
1
.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 1 → 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= −1 
𝑢1
′′(𝑥) = −1 → 𝑢1
′(𝑥) = ∫−1 𝑑𝑥 = −𝑥 + 𝑎 → 𝑢1(𝑥) = ∫−𝑥 + 𝑎 𝑑𝑥 = −
𝑥2
2
+ 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
La CB del intervalo 0<x<1 es 𝑢(0) = 0, entonces 𝑢1(0) =
𝑥2
2
+ 0. 𝑥 + 𝑏 = 0 → 𝑏 = 0 
 
 
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En 1<x<2 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝐾0
𝑐𝑝
.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑄 = 0 → 0 = 
2
2
.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 0 → 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 0 
𝑢2
′′(𝑥) = 0 → 𝑢2
′(𝑥) = ∫0 𝑑𝑥 = 𝑐 → 𝑢2(𝑥) = ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑐. 𝑥 + 𝑑 
La CB del intervalo 1<x<2 es 𝑢(2) = 0, entonces 𝑢2(2) = 2. 𝑐 + 𝑑 = 0 → −2𝑐 = 𝑑 
Ahora, utilizando el concepto de contacto térmico perfecto en x=1 
𝑢(+1) = 𝑢(−1) → 𝑢1(1) = 𝑢2(1) → −
12
2
+ 𝑎. 1 = 𝑐. 1 − 2𝑐 → −
1
2
+ 𝑎 = −𝑐 (𝐸𝑐 ∗) 
Ф(+1) = Ф(−1) 𝑦 Ф(𝑥) = −𝐾0.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 
Ф1(𝑥) = −𝐾0. (−𝑥 + 𝑎) 𝑠𝑖 𝐾0 = 1 → Ф1(𝑥) = 𝑥 − 𝑎 
Ф2(𝑥) = −𝐾0. 𝑐 𝑠𝑖 𝐾0 = 2 → Ф2(𝑥) = −2. 𝑐 
Ф1(1) = Ф2(1) → 1 − 𝑎 = −2𝑐 → 𝑎 = 2. 𝑐 + 1 (𝐸𝑐 ∗∗) 
Combinando las ecuaciones Ec* y Ec** se obtienen los valores correspondientes a las constantes 
−
1
2
+ 𝑎 = −𝑐 → −
1
2
+ (2. 𝑐 + 1) = −𝑐 → 𝑐 = −
1
6
 
En Ec * −
1
2
+ 𝑎 =
1
6
 → 𝑎 =
2
3
 
Y hallando el valor de d utilizado la expresión obtenido en 𝑢2(2): − 2. 𝑐 = 𝑑 =
2
6
 
Por lo tanto se determinan las ecuaciones 
𝑢1(𝑥) = −
𝑥2
2
+
2
3
. 𝑥 0 < 𝑥 < 1 
𝑢2(𝑥) = −
1
6
. 𝑥 +
1
3
 1 < 𝑥 < 2 
4. Si ambos extremos de una varilla unidimensional están aislados y no hay fuentes internas de calor, mostrar 
que la energía térmica total es constante como función del tiempo. 
Condiciones: 𝑄 = 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0) = 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑙) = 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 0 → 𝑢′′(𝑥) = 0 → 𝑢′(𝑥) = ∫0 𝑑𝑥 = 𝑎 → 𝑢(𝑥) = ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Utilizando las CB: 𝑢′(0) = 𝑢′(𝑙) = 0 = 𝑎 
Entonces : 𝑢(𝑥) = 0. 𝑥 + 𝑏 → 𝑢(𝑥) = 𝑏 = 𝑐𝑡𝑒. 
Si calculamos la energía térmica ET 
𝐸(𝛺, 𝑡) = 𝐴. 𝑐𝑝∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)
𝑙
0
 𝑑𝑥 = 𝐴. 𝑐𝑝∫ 𝑏 𝑑𝑥 = 
𝑙
0
𝐴. 𝑐𝑝. 𝑏
𝑙
0
| 
𝐸(𝛺, 𝑡) = 𝐴. 𝑐𝑝. 𝑏. 𝑙 = 𝑐𝑡𝑒. 
Se demuestra que la Energía no varía con el tiempo derivando 𝐸(𝛺, 𝑡) = 𝑐𝑡𝑒 obtenemos 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0 
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5. Considerar una varilla unidimensional 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 con propiedades térmicas constantes y sin fuentes. 
Determinar en estado estacionario la temperatura en 𝑥 = 𝐿 si además se conoce tanto la temperatura como 
el flujo de calor en 𝑥 = 0. 
Condiciones: 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑄 = 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0, 𝑢(0) = 𝑇0, Ф(0) = Ф0 siendo 𝑇0 y Ф0 dos ctes cualquiera. 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 0 → 𝑢′′(𝑥) = 0 → 𝑢′(𝑥) = ∫0 𝑑𝑥 = 𝑎 → 𝑢(𝑥) = ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Ф(𝑥) = −𝐾0.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 
Utilizando las CB : 𝑢(0) = 𝑎. 0 + 𝑏 = 𝑇0 → 𝑏 = 𝑇0 
 Ф(0) = −𝐾0.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0) = Ф0 → −𝐾0. 𝑎 = Ф0 → 𝑎 = −
Ф0
𝐾0
 
𝑢(𝑥) = −
Ф0
𝐾0
. 𝑥 + 𝑇0 
Por lo tanto, evaluado en el extremo l obtenemos la expresión de la temperatura en ese extremo: 
𝑢(𝑙) = −
Ф0
𝐾0
. 𝑙 + 𝑇0 
6. Suponer que los dos extremos de una varilla unidimensional de longitud L con propiedades térmicas 
constantes se encuentran aislados, que existe una fuente constante de energía térmica 𝑄0 ≠ 0 y que la 
temperatura inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) . Mostrar matemáticamente que no existe solución de equilibrio. 
Condiciones: 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑄 ≠ 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 
Si la temperatura está en equilibrio, entonces 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0 =
𝐾0
𝑐𝑝
.
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑄 → −
𝑄
𝐾0
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 𝑠𝑖 𝑐𝑝 = 1 
𝑢′′(𝑥) = −
𝑄
𝐾0
 → 𝑢′(𝑥) = ∫−
𝑄
𝐾0
 𝑑𝑥 = −
𝑄
𝐾0
. 𝑥 + 𝑏 
Utilizando las CB: 𝑢′(0) = −
𝑄
𝐾0
. 0 + 𝑏 = 0 → 𝑏 = 0 
 𝑢′(𝑙) = −
𝑄
𝐾0
. 𝑙 = 0 → 𝐴𝐵𝑆𝑈𝑅𝐷𝑂 
7. Determinar, si es que existe, una distribución de temperaturas en equilibrio para los siguientes problemas. 
¿Para qué valores de 𝛽 existen soluciones? Justificar. 
a. 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 1, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑜, 𝑡) = 1, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝐿, 𝑡) = 𝛽 
𝑠𝑖 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0 → 0 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 1 → 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= −1 
𝑢′′(𝑥) = −1 → 𝑢′(𝑥) = ∫−1 𝑑𝑥 = −𝑥 + 𝑏 
𝑢(𝑥) = ∫−𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −
𝑥2
2
+ 𝑏. 𝑥 + 𝑑 
Con las CB: 𝑢′(0) = −0 + 𝑏 = 1 → 𝑏 = 1 
 𝑢′(𝑙) = −𝑙 + 1 = 𝛽 → 𝛽 = 𝑙 − 1 
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b. 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑜, 𝑡) = 1 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝐿, 𝑡) = 𝛽 
𝑠𝑖 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0 → 0 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
 → 𝑢′′(𝑥) = 0 → 𝑢′(𝑥) = ∫0 𝑑𝑥 = 𝑎 
𝑢(𝑥) = ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Con las CB: 𝑢′(0) = 𝑎 = 1 
 𝑢′(𝑙) = 𝑎 = 𝛽 = 1 
c. 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑥 − 𝛽, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑜, 𝑡) = 0, 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝐿, 𝑡) = 0 
𝑠𝑖 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0 → 0 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑥 − 𝛽 
𝑢′′(𝑥) = 𝛽 − 𝑥 → 𝑢′(𝑥) = ∫𝛽 − 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥2
2
+ 𝛽. 𝑥 + 𝑎 
𝑢(𝑥) = ∫−
𝑥2
2
+ 𝛽. 𝑥 + 𝑎 𝑑𝑥 = −
𝑥3
6
+ 𝛽.
𝑥2
2
+ 𝑎. 𝑥 + 𝑏 
Con las CB: 𝑢′(0) = −
02
2
+ 𝛽. 0 + 𝑎 = 0 → 𝑎 = 0 
 𝑢′(𝑙) = −
𝑙2
2
+ 𝛽. 𝑙 = 0 → 𝛽 = 𝑙/2