3-Series de Fourier

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CAPÍTULO 3: Series de Fourier. 
3.1 Introducción 
Al resolver ecuaciones en derivadas parciales por el método de separación de variableshemos 
descubierto que la condición inicial, u(x, 0) = f(x), se puede cumplir solamente si f(x) se puede 
igualar a una combinación lineal de autofunciones de un problema de contorno dado. Vimos tres 
casos específicos: uno involucraba una serie de funciones seno, otro una serie de cosenos 
solamente (incluyendo un término constante) y el tercero una serie que incluía todos estos 
términos. 
Comenzaremos estudiando series con senos y cosenos a la vez, pues las otras son sólo casos 
especiales de estas series más generales. Para problemas con condiciones de frontera periódicas 
en el intervalo –L ≤x ≤ L (tal es el caso de los problemas de calor en un anillo delgado), nos 
preguntamos si la siguiente serie infinita (conocida como Serie de Fourier)tiene sentido: 
 
���� = 	��	 +		
�� cos ����
�
���
	+ 	
�� sen����
�
���
 
¿Converge esta serie? ¿Converge a ����	?	¿Es la serie infinita resultante para u(x, t), realmente 
una solución de la ecuación en derivadas parciales y cumple también con todas las condiciones del 
problema? 
Si bien ninguna de estas preguntas tiene respuestas sencillas, Joseph Fourier desarrolló este tipo 
de series en su famoso tratado sobre el flujo de calor, a comienzos del siglo XIX. 
El primer concepto que necesitamos es el siguiente: 
 
Una función ���� es suave a trozos(en algún intervalo) si el intervalo se puede dividir en 
subintervalos tales que, en cada uno de ellos tanto la función 	���� como su derivada ��/�� 
sean continuas. 
Con esta definición el único tipo de discontinuidad permitida para ����, es que tenga un número 
finito de discontinuidades de salto. Una función ����tiene una discontinuidad de salto en el punto 
x = x0 , si existen tanto el límite por izquierda, ������, como el límite por la derecha, ������, y son 
distintos. Casi todas las funciones que aparecen en la práctica y todas las que trabajaremos, serán 
suaves a trozos. 
Observación: Un hecho conocido es que si una función tiende a ∞ en un punto, entonces no es 
continua en ningún intervalo que incluya a ese punto. Ej: ���� = 	��/�	, no es suave a trozos en 
ningún intervalo que contenga a � = 0,	 porque !"!# = ����$/� es ∞ en � = 0.	En otras palabras, 
cualquier intervalo que contenga al 0 no se puede dividir en subintervalos de tal manera que ��/�� sea continua en cada uno de ellos. 
El siguiente concepto es el de extensión periódica: 
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Ejercicio:Todas las funciones que aparecen en una serie de Fourier son periódicas con período 2L. 
Por lo tanto la serie de Fourier de &�'� en el intervalo –L ≤ x ≤ L es periódica con período 2L. 
VERIFICARLO: es decir, demostrar que&�'� = 	&�' + ()�. 
La función ���� no es necesariamente periódica. Necesitamos una extensión periódica de ����:para construirla, sencillamente dibujamos ����para –L ≤ x ≤ L y después repetimos ese 
mismo patrón con período 2L trasladando el dibujo original para –L ≤ x ≤ L. 
Ejemplo: Sea la siguiente función suave a trozos en el intervalo [–π, π], 
���� = 	 +−�					-.		 − � ≤ � ≤ 0		�							-.								0 < � ≤ 	� 1 
La gráfica de su extensión periódica en [–5π, 5π] es la siguiente (también suave a trozos, pero en 
[–5π, 5π]). Debemos notar su diferencia con la función ����, sólo definida entre –π y π. 
 
3.2 Propiedades de las series de Fourier 
Tenemos que distinguir cuidadosamente entre la función ���� ysu serie de Fourier en el intervalo 
–L ≤ x ≤ L. Ésta última se define como la siguiente serie infinita: 
23453	63	7894534 = :;	 +		
:< =>?<@')
�
<�A
	+ 	
B< ?CD<@')
�
<�A
 
Esta serie infinita puede incluso no converger y si converge, puede que no converja a ����.	Sin 
embargo si esta serie infinita converge aprendimos, en el Capítulo 2, cómo determinar los 
coeficientes de Fourier��	, ��y �� usando algunas relaciones de ortogonalidad. Las utilizadas 
para resolver el problema de conducción del calor en un anillo delgado (ver Problema 13 de la 
Guía de Problemas EDP-Parte 1), donde convenimos en tomar 2L como perímetro del anillo y 
medir la longitud de arco �, de tal manera que � varíe de –L a L (en vez de los límites más usuales, 
0 y 2L) muestranque +1, cos F#G , cos $F#G , cos �F#G , … , sen F#G , sen $F#G , sen �F#G , … I es un conjunto 
ortogonal de funciones definidas en el intervalo [–L, L]: VERIFICARLO usando tablas de integrales 
y notar que no son ortogonales en [0, L]. 
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 Usaremos ahora estos resultados como 
Definición de los coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de &�'� en el intervalo[–L, L]: 
:; =	 A() J&�'�6'
)
–)
	,			:< =	A) J&�'� =>? L<@') M6'
)
–)
	 , B< = A) J&�'� ?CDL<@') M6'
)
–)
 
Observación:Notamos inmediatamente que una serie de Fourier no existe a menos que, por 
ejemplo, :;exista. Es decir, a menos que NO &�'�6')–) N < 	∞. Esto elimina ciertas funciones, por 
ejemplo, no preguntaremos cuál es la serie de Fourier de &�'� = A'(.		 
Incluso aunqueO ������G–G exista, la serie podría no converger, o podría no converger a ����. 
 
TEOREMA de CONVERGENCIA de las SERIES de FOURIER (teorema de Dirichlet): este teorema 
resume ciertas propiedades de las series de Fourier, 
 
Si ���� es suave a trozosen el intervalo –L ≤ x ≤ L, entonces la serie de Fourier de ���� converge: 
a la extensión periódica de ����, donde esta extensión sea continua; sino a la media de los límites 
laterales, 
A( P	&�' +� + &�' −�Q, donde la extensión tenga una discontinuidad de salto. 
Observación: La hipótesis, f suave a trozos es condición suficiente pero no necesaria. 
GRAFICA de las SERIES de FOURIER: Seguimos los siguientes pasos 
1. Dibujamos ����, preferentemente sólo para –L ≤ x ≤ L. 
2. Dibujamos la extensión periódica (con período 2�)de ����. 
3. Aplicamos el teorema: Donde la extensión periódica es continua, la serie converge (aquí 
“converge” significa “es igual”) lo que ocurrirá en casi todas partes. Y, en los puntos con 
discontinuidad de salto de la extensión periódica, la serie de Fourier converge al punto 
medio entre los dos valores de todas las discontinuidades de salto (los marcamos con un 
punto “relleno”, •) 
Ejemplo: La gráfica de la serie de Fourier de ���� = 	 +−�					-.		 − � ≤ � ≤ 0		�							-.								0 < � ≤ 	� 1 es 
 
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Observación: Para graficar la serie de Fourier de una función f(x) dada, no es necesario calcular los 
coeficientes de Fourier. 
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3.3 Series de Fourier de senos y de cosenos. 
Veamos que las series que sólo contienen senos y las que sólo contienen cosenos, son casos 
especiales de series de Fourier 
Serie de Fourier de senos 
Sabemos que una función impar tiene la propiedad, f(–x) = –f(x) para todo x, y su gráfica 
en un intervalo simétrico como [–L, L] posee simetría con respecto al origen (es decir, si se 
grafica f para x > 0, la gráfica para x < 0 se obtiene cambiando de signo la imagen reflejada de f). 
Por ejemplo, f(x) = xn con n impar y f(x) = sen x. 
Además, la integral de una función impar en un intervalo simétrico es cero. Por esto, los 
coeficientes de Fourier A0 y An son cero porque en ambos casos el integrando, f(x) y 
f(x).cos(nπx/L), es impar. De esta manera, las funciones cosenos que son pares, no aparecerán en 
la serie de Fourier de una función impar. 
Sin embargo sólo ocasionalmente nos encontraremos ante una función impar a la que tengamos 
que calcular su serie de Fourier. Frecuentemente aparecen series de senos en el contexto de 
separación de variables. 
Por ejemplo, la temperatura en una varilla unidimensional 0 < x < L, con temperatura cero en los 
extremos satisface S��, T� = 	∑ �� sen L�.FG �M . V�WL<.@) M
(X	���� , donde la condición inicial u(x,0)= 
f(x) se cumple si ���� = 	∑ �� senL�.FG �M���� . 
Por lo tanto f(x) se debe representar como unaserie de senos, pero la diferencia aquí es que f(x) 
está sólo definida en [0, L] (pues es la distribución de temperatura inicial) y no es necesariamente 
impar. Lo que debemos hacer entonces es,extenderla como una función impar definida en [-L, L] 
para poder aplicar el teorema de convergencia de Series de Fourier. 
Más aún, como la extensión impar de f(x) es ciertamente impar, su serie de Fourier tiene sólo senos 
y sus coeficientes ��dados por la fórmula de los coeficientes de Fourier definidos en la página 3, 
resultan ser: 
�� = 1� J���� sen L���� M��
G
–G
= 2�J���� senL���� M��
G
�
. 
Por lo tanto, llamamos serie de Fourier de senos de f(x) en [0, L] a la serie 
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&�'� = 	
B< ?CD L<.@) 'M
�
<�A
	donde			B< = ()J&�'� ?CDL<@') M6'
)
;
 
Observación: Debemos recordar que ���� está definida solamente en [0, L], aunque podemos 
pensar en ella directamente como una función impar en [-L,L], utilizando su extensión impar. 
GRÁFICA de las SERIES de FOURIER de SENOS:Seguimos los siguientes pasos 
1. Dibujamos ����, preferentemente sólo para 0 ≤ x ≤ L. 
2. Dibujamos la extensión impar de ����. 
3. Extendemos como una función periódica g(x), con período 2�. 
4. Aplicamos el teorema: Donde la extensión impar periódicages continua, la serie de Fourier 
de f(x) en [0, L] converge a g(x) y, en los puntos con discontinuidad de salto de la extensión 
impar periódica g, la serie de Fourier converge al punto medio entre los dos valores de las 
discontinuidades de salto (los marcamos con un punto “relleno”, •) 
EJEMPLO: 
Uno de los ejemplos más simples es la serie de Fourier de senos de una constante. Este problema 
fue desarrollado en el capítulo anterior al resolver la ecuación del calor unidimensional con 
condiciones de contorno nulas y temperatura inicialS��, 0� = 100. Obtuvimos (pág 6 - Cap2) 
S��, T� = 	400� 
 12� − 1V�WL
�(<[A�@) M(X			 sen \�2� − 1���� ]
�
���
 
Por lo tanto la condición inicial se cumple si, 
100 = 	400� 
sen L�$����F#G M2� − 1 = 	400� \-V�	��/�1 +	-V�	3��/�3 +	-V�	5��/�5 +	… ]				�∗�
�
���
 
Matemáticamente, esta serie de Fourier de la condición inicial tiene un comportamiento bastante 
malo en x=0 y en x= L. De hecho, la situación física para este problema no está muy bien definida 
en x=0 en el instante t=0, donde existe un conflicto entre la condición inicial (CI) y la condición de 
borde (CB). La CI prescribe que la temperatura es 100 incluso cdo x � 0, mientras que la CB en x=0 
prescribe que la temperatura es 0 también cdo t � 0. Hemos introducido una discontinuidad en 
x=0 (lo mismo que en x=L) en nuestro modelo matemático, al hacer pasar “instantáneamente” la 
varilla (en t=0) de un baño de 100 a otro de 0° en ambos bordes. Esta operación requiere en la 
práctica un tiempo positivo (aunque extremadamente pequeño), con lo que la temperatura es en 
realidad continua. 
 
El teorema de Fourier nos muestra cómo se reproduce matemáticamente la discontinuidad física 
en los bordes de la varilla. La serie de Fourier de senos de 100 (que representa la solución física en 
t=0) tiene la agradable propiedad de que es igual a 100 en todos los x dentro de la varilla 0<x<L, 
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cumpliendo por tanto la CI allí, pero es 0 en los bordes (cumpliendo así las CB). La serie de Fourier 
de senos de 100 es una función matemática extraña, pero también lo es la aproximación física 
para la que se necesita. 
 
Notar que para x= 
G$ obtenemos la famosa fórmula de Euler para �	 LFa = 1 − ��+ �b− �c+ �d +⋯M 
 
Si dibujamos (con un graficador) el lado izquierdo y derecho de (*) para un número finito de 
términos(sucesivamente mayor) nos convenceremos de la igualdad. Por ejemplo, para sumas 
parciales de 1, 3, 5 y 7 términos, tendremos las siguientes aproximaciones (oscilaciones 
sinusoidales) de 100 
 
Si bien estas sumas parciales( 1, 3, 5 y 7) no son buenas aproximaciones para la constante 100, 
tampoco son tan malas teniendo en cuenta que son tan pocos términos de una serie infinita. 
Además podemos observar cómo va mejorando considerablemente al agregar más términos. 
Para 51 términos (ver gráfico que sigue), la suma finita es una buena aproximación para ���� = 100, lejos de los extremos. Cerca de ellos (en x=0 y x= L=1) donde hay una discontinuidad 
de salto de amplitud 200 para la extensión impar periódica de 100, vemos que la solución que 
comienza en cero se dispara por encima de 100, es lo que se llama “sobrepaso”. Podríamos 
esperar que el sobrepaso desapareciera cuando n�∞, pero por el contrario, se forma un pico en 
los puntos de máximo sobrepaso, donde la solución toma valores próximos a 118. Este sobrepaso 
(del 9% del salto de 200) es un ejemplo del llamado fenómeno de Gibbs (que ocurre sólo cuando 
una serie finita de autofunciones aproxima a una función discontinua). 
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Serie de Fourier de cosenos 
Ideas similares son válidas para una función par que tiene la propiedad, f(–x) = f(x) para 
todo x. Los coeficientes de las funciones seno de una serie de Fourier en [-L, L] serán cero 
para cualquier función par, pues f�x�. sen L�F#G M es impar (es decir, Bn=0). Los coeficientes de 
los cosenos se evalúan utilizando la información de f(x) en el intervalo [0, L], 
�� =	 12� J������
G
–G
= 1�J������
G
�
	 ; 
�� = 	1� J���� cos L���� M�� = 	2�J���� cos L���� M��	, � = 1, 2, 3, …
G
�
G
–G
 
Si la función f(x) dada no fuese par (por ejemplo, pensemos en los casos de una temperatura inicial 
definida para [0,L]), simplemente introducimos la extensión par periódica de f(x) en [-L, L] para 
que la Serie de Fourier de cosenos de f(x) en [0,L] sea la serie 
&�'� = :;	 +		
:< =>?<@') donde		
�
<�A
�� = 1�J������
G
�
y		�� = 	2�J���� cos L���� M��	.		
G
�
 
Observación: Debemos recordar que ���� está definida solamente en [0, L], aunque podemos 
pensar en ella directamente como una función par en [-L,L], utilizando su extensión par. 
GRÁFICA de las SERIES de FOURIER de COSENOS: Seguimos los siguientes pasos 
1. Dibujamos ����, preferentemente sólo para 0 ≤ x ≤ L. 
2. Dibujamos la extensión par de ����. 
3. Extendemos como función periódica (con período 2�). 
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4. Aplicamos el teorema: Donde la extensión periódica es continua, la serie converge y, en 
los puntos con discontinuidad de salto de la extensión par periódica, la serie de Fourier 
converge al punto medio entre los dos valores de las discontinuidades de salto (los 
marcamos con un punto “relleno”, •) 
Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos de f(x) = x (notar su diferencia con su serie de senos) 
 
OBSERVACIÓN: Puede parecer evidente que cualquier función f(x) suave a trozos, se puede 
representar como serie de Fourier de senos o como serie de cosenos. El tipo de serie elegido 
vendrá determinado por las condiciones de contorno (si el problema surge en el contexto de 
resolver una EDP utilizando el método de separación de variables). También es posible utilizar 
series de Fourier con senos y cosenos. 
Representación de f(x) en serie de senos y cosenos:Veamos el siguiente ejemplo, 
���� =
jk
l
km−
�2 -V�	 ��� 								� < 0							
�																		0 ≤ � ≤ �2
� − �																		� > �2
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Las siguientes son las respectivas representaciones de la serie de Fourier de f(x), la serie de Fourier 
de senos de f(x) y la serie de Fourier de cosenos de f(x). 
 
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Observemos que para –L ≤ x ≤ L, sólo la serie de Fourier de f(x) es realmente igual a f(x). Sin 
embargo, en los tres casos la serie es igual a f(x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ L. 
Nota:Una ventaja importante de las series de Fourier es que son capaces de representar funciones 
muy generales, con muchas discontinuidades del tipo de funciones discontinuas de “impulso”, que 
son muy usuales en diversos sistemas mecánicos, circuitos y análisis de señales. Mientras que las 
series de potencias sólo pueden representar funciones continuas con derivadas de cualquier 
orden. 
MÁS PROPIEDADES IMPORTANTES de las Series de Fourier: 
(1)La serie de Fourierde f(x) es igual a la serie de Fourier de su parte impar, fi(x) = ½[f(x) – f(-x)], 
más la serie de Fourier de cosenos de su parte par, fp(x) = ½[f(x) + f(-x)]. NO CONFUNDIR este 
resultado con las extensiones par e impar. Por ej, la extensión par de ���� = o ����,				� > 0��−��,			� < 01 . 
(2) Para una función f(x) suave a trozos, su serie de Fourier es continua en [-L, L] si y sólo si f(x) es 
continua y f(-L) = f(L). 
(3) Para una función f(x) suave a trozos, su serie de Fourier de cosenos es continua en [0, L] si y 
sólo si f(x) es continua. En cuyo caso, si además fꜞ(x) es suave a trozos, la serie se puede derivar 
término a término. 
(4) Para una función f(x) suave a trozos, su serie de Fourier de senos es continua en [0, L] si y sólo 
si f(x) es continua y f(0) = f(L)= 0 (que son exactamente las condiciones físicas de temperatura 0° 
en los extremos). En cuyo caso, si además fꜞ(x) es suave a trozos, la serie se puede derivar término 
a término. 
(5)Para una función f(x) suave a trozos, su serie de Fourier siempre se puede integrar término a 
término y el resultado es una serie infinita convergente (que converge a la integral de f(x) en [-L, L] 
(incluso si la serie original tiene discontinuidades de salto). 
 
 
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Material elaborado por AdrianaFrausin (2016) 
BIBLIOGRAFÍA: 
Haberman,R. “Applied Partial Differential Equations” Prentice-Hall (2004)-Capítulo3. 
Zilly Cullen “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de valores en la frontera” Thomson (2006) 
Capítulo 11. 
 
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