Taller_Analisis_Numerico

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Ejercicios del curso de Análisis Numérico.
4 de junio de 2023
Profesor: Tulio Emiro López Erazo.
Oficina: Departamento de Matemáticas, Of. 307.
Email:tele2607@gmail.com
Aritmética del Computador.
1. Considere los números siguientes en sistema decimal. Expréselos como potencias de 10.
1.1. x = 20, 3045;
1.2. x = −0, 203045;
1.3. x = e;
1.4. x = π;
1.5. x =
17
3
;
1.6. x = −38
5
;
1.7. x = −2, 34;
1.8. x = − 5
√
−64, 2;
1.9. x = − 4
√
2
36
.
2. Considere los números siguientes en sistema binario. Expréselos como potencias de 2.
2.1. x = 100101;
2.2. x = −1000001;
2.3. x = 0, 001;
2.4. x = 0, 0011;
2.5. x = −111, 011;
2.6. x = −0, 001001.
3. Considere los números siguientes en sistema decimal. Expréselos en sistema binario.
3.1. n = 100; 3.2. m = −1270; 3.3. k = 137; 3.4. i = −200.
4. Considere los números siguientes en sistema decimal. Expréselos en sistema binario.
4.1. x = 0, 25; 4.2. y = −0, 085; 4.3. z = 0, 00175; 4.4. w = 0, 1337. 4.5. t = 0, 7.
5. Considere los números siguientes en sistema decimal. Expréselos en sistema binario.
5.1. x = 100, 25; 5.2. y = −1270, 085; 5.3. z = 137, 00175; 5.4. w = −200, 002; 5.5. t = 7, 7.
6. Considere los números siguientes en sistema decimal. Encuentre una aproximación de ellos en sistema binario.
6.1. x = e; 6.2. y =
√
2; 6.3. z =
√
3; 6.4. w = ln 5; 6.5. t = e
√
5.
7. Considere los números enteros en sistema binario. Conviértalos al sistema decimal.
7.1. n = 1000001100001;
7.2. n = 10011001100101;
7.3. n = 111111111;
7.4. n = 100000000;
7.5. n = 11111111111111111;
7.6. n = 10000000000000000.
8. Considere los números siguientes en sistema binario. Expréselos en sistema decimal.
8.1. t = 0, 1;
8.2. x = −0, 001;
8.3. w = 0, 0001;
8.4. y = −0, 01000001;
8.5. z = 0, 11111;
8.6. t = 0, 010101.
9. Considere los números siguientes en sistema binario. Expréselos en sistema decimal.
1 1
9.1. x = 100010, 000101; 9.2. y = −110011, 00110011; 9.3. t = 1, 111.
10. Calcule la suma de los números:
10.1. x = 1000102, y = 1111111102;
10.2. x = 10110112, y = 10000111102
10.3. x = 10102, y = 1111102, z = 1000001112;
10.4. x = 101112, y = 1101102, z = 1001101112, w = 1000011112.
11. Calcule la multiplicación de los números:
11.1. x = 1000102, y = 11102;
11.2. x = 10102, y = 101102.
12. Calcule el cuadrado y el cubo de cada número:
12.1. x = 1112; 12.2. y = 10102.
13. Calcule la resta x− y.
13.1. x = 1000102, y = 1112;
13.2. x = 10000111102, y = 10110112
13.3. x = 1000001112, y = 11111002;
13.4. x = 1011011112, y = 1000112.
14. Calcule la división x÷ y.
14.1. x = 1000102, y = 112;
14.2. x = 1010012, y = 1112.
14.3. x = 1010011111102, y = 11112.
14.4. x = 1012, y = 11102.
15. Considere un computador de 32 Bits, diseñado con complemento a 2 y una distribución de palabra
según lo expuesto en clase.
15.1. Represente los siguientes números enteros:
1) n = 3.047.568; 2) m = −1.234.567; 3) p = −745.681.
15.2. Represente los siguientes números reales:
1) x = 928.455, 015625;
2) y = −10.001, 0859375;
3) z = −75, 33203125;
4) w = 315, 888671875.
15.3. Represente los siguientes números reales:
1) x = 0, 001011011101111× 2111;
2) y = −0, 111101110× 2111011;
3) z = 0, 100101110× 2−100010;
4) w = −0, 00001111× 2−101011;
15.4. Identifique cual es el número entero en base 10 representado de la siguiente forma:
1) 0 1010101010101010101010101010101
2) 1 0000000000001110111011101110111
3) 1 0000001111110000001111110000001
15.5. Identifique cual es el número real en base 10 representado de la siguiente forma:
1) 0 0 1010101 11100011100011100011100
2) 0 1 1010101 00011100011100011100011
3) 1 1 0111011 10001100011000110001100
2 2
15.6. Ordene de menor a mayor los siguientes números enteros:
1) n = 1111000111; m = 1111100110; p = 1110001110; q = 1110010110; r = 1111010111.
15.7. Ordene de menor a mayor los siguientes números en notación punto flotante:
x = 0, 1101010101× 2101;
y = 0, 1101000101× 2101;
z = 0, 1010001001× 2101;
w = 0, 1010101001× 2101.
15.8. Ordene de menor a mayor los siguientes números en notación punto flotante:
x = 0, 1101010101× 211;
y = 0, 1101000101× 2111;
z = 0, 1010001001× 21011;
w = 0, 1010101001× 21111.
15.9. ¿Cuales de los siguientes números se pueden representar en este computador?.
1) z =
1
5
; 2) w =
1
3
; 3) t =
1
256
.
15.10. Considere el número x =
2
3
.
Represente el número en el sistema binario;
Defina x′ como el número en el computador obtenido por truncamiento;
Defina x′′ como el número en el computador obtenido por redondeo;
Defina fl(x) como el número x
′
o x
′′
que esté más “cerca” a x;
Calcule el error relativo al representar x como fl(x).
15.11. Considere el número x =
4
5
..
Muestre que x no puede ser representado de manera exacta en el este computador;
¿Cuál es el número de máquina más cercano?;
Cuál es el error de redondeo relativo que se produce al representar x como fl(x).
15.12. Sea x = 0, 111 . . . 111000 . . .2×210001 en donde la parte fraccionaria tiene 26 unos seguidos de ceros. Determine:
x
′
, x
′′
, x− x′ , x′′ − x, x′′ − x′ , fl(x) y |x− fl(x)|
|x|
..
Solución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Lineales.
16. Resuelva el SEL usando reducción Gaussiana:
2x− 3y + z − w = 1
−x+ y − z − w = −1
4x+ 3y + 2z − 3w = 0
3y + 2z = 0
.
17. Resuelva el SEL usando sustitución hacia adelante: 2x = 1−x+ y = −1
4x+ 3y + 2z − 3w = 0
.
18. Resuelva el SEL usando la factorización LU de la matriz de coeficientes:
x+ y + z + w = 1
2x− 3y − z + 4w = 2
−2x+ 4y + z − 2w = −1
5x− y + 2z − w = 1
.
3 3
19. Realice 3 iteraciones del método de Jacobi para resolver el SEL:
2x− 6y + z − w = 6
4x+ y − z − w = −4
2x+ 4y + 2z − 10w = 0
3y + 6z = 0
.
Use como aproximación inicial el vector nulo correspondiente. En cada iteración calcule el error generado en dos
iteraciones consecutivas. A partir de esta secuencia de errores, ¿puede concluir algo respecto a la solución del
sistema?.
Reorganice las ecuaciones del sistema de tal forma que se garantice convergencia de la sucesión generarada por el
método de Jacobi para cualquier aproximación inicial. Ahora realice 3 iteraciones del método de Jacobi (decida
usted cual aproximación inicial toma).
20. Realice 3 iteraciones del método de Gauss-Seidel para resolver el SEL:
2x− 6y + z − w = 6
4x+ y − z − w = −4
2x+ 4y + 2z − 10w = 0
3y + 6z = 0
.
Use como aproximación inicial el vector nulo correspondiente. En cada iteración calcule el error generado en dos
iteraciones consecutivas. A partir de esta secuencia de errores, ¿puede concluir algo respecto a la solución del
sistema?.
Reorganice las ecuaciones del sistema de tal forma que se garantice convergencia de la sucesión generarada por el
método de Gauss-Seidel para cualquier aproximación inicial. Ahora realice 3 iteraciones del método de Gauss-Seidel
(decida usted cual aproximación inicial toma).
Observación 1.
Recordemos que el método de Gauss-Seidel tiene como principio general despejar la variable xi en la ecuación
i−ésima, para i = 1, 2, 3, · · · . Luego, en la iteración k−ésima, calcula cada una de estas variables considerando
los valores actualizados en esta iteración de las variables anteriores y los valores de las variables posteriores en
la iteración anterior, con k = 1, 2, 3, · · · . En este sentido, primero se actualiza la variable x1, luego se actualiza
la variable x2, seguidamente s eactualiza la variable x3 y aśı sucesivamente se actualizan todas las variables hasta
llegar a la variable xn, la cual será la última variable actualizada en la iteración actual (la actualización de las
variables se hace hacia adelante).
Una variante del método de Gauss-Seidel, después de despejar cada variable de la ecuación correspodiente (al
igual que en la versión tradicional del método), consiste en calcular en la iteración k−ésima cada una de las varia-
bles considerando los valores actualizados en estaiteración de las variables posteriores y los valores de las variables
anteriores en la iteración actual, con k = 1, 2, 3, · · · . En este sentido, primero se actualiza la variable xn, luego
se actualiza la variable xn−1, seguidamente se actualiza la variable xn−2 y aśı sucesivamente se actualizan todas
las variables hasta llegar a la variable x1, la cual será la última variable actualizada en la iteración actual (la
actualización de las variables se hace hacia atrás).
21. Realice 3 iteraciones de la nueva versión del método de Gauss-Seidel para resolver el SEL:
2x− 6y + z − w = 6
4x+ y − z − w = −4
2x+ 4y + 2z − 10w = 0
3y + 6z = 0
.
Use como aproximación inicial el vector nulo correspondiente. En cada iteración calcule el error generado en dos
iteraciones consecutivas. A partir de esta secuencia de errores, ¿puede concluir algo respecto a la solución del
sistema?.
Reorganice las ecuaciones del sistema de tal forma que se garantice convergencia de la sucesión generarada por
la nueva versión del método de Gauss-Seidel para cualquier aproximación inicial. Ahora realice 3 iteraciones del
método de Gauss-Seidel en esta nueva versión (decida usted cual aproximación inicial toma).
4 4
22. Realice 5 iteraciones del método de Gauss-Seidel usado para resolver el SEL: 3x+ y + z = 5x+ 3y − z = 3
3x+ y − 5z = −1
.
Use como aproximación inicial el vector x(0) = (10,−100, 1000)T . Sabiendo que la solución del sistema lineal es,
x = (1, 1, 1)T , calcule el error relativo causado en cada una de las iteraciones. A partir de esta secuencia de errores,
¿puede concluir algo respecto a la convergencia del método para resolver este sistema?. ¿Es el sistema estrictamente
diagonalmente dominante? (¿Es la matriz de coeficientes del sistema estrictamente diagonalmente dominante?).
23. Realice 5 iteraciones del método de Jacobi usado para resolver el SEL: 3x+ y + z = 53x+ y − 5z = −1
x+ 3y − z = 1
.
Use como aproximación inicial el vector x(0) = (10,−100, 1000)T . Sabiendo que la solución del sistema lineal es,
x = (5/4, 1/4, 1)
T
, calcule el error relativo causado en cada una de las iteraciones. A partir de esta sucesión de
errores, ¿puede concluir algo respecto a la convergencia del método usado para resolver este sistema?. ¿Es el sistema
estrictamente diagonalmente dominante? (¿Es la matriz de coeficientes del sistema estrictamente diagonalmente
dominante?).
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales.
24. Considere el método de bisección y el intervalo I = [1.5, 3.5] como intervalo inicial
a) ¿Cuál es la longitud del intervalo en el paso n-ésimo?
b) ¿Cuál es la máxima distancia posible entre la raiz r y el punto medio de ese intervalo?.
25. Si a = 0.1 y b = 1, ¿cuantos pasos del método de la bisección son necesarios para determinar una raiz con un error
de a los más
1
2
× 10−8?.
26. Usando el algoritmo de la bisección, encuentre una raiz de la ecuación, 2x
2 − 5x+ 1 = 0. Use una calculadora.
27. Usando el algoritmo de la bisección, encuentre una raiz negativa de la ecuación, x3−3x+1 = 0. Use una calculadora.
28. Usando el algoritmo de la bisección, encuentre una raiz de la ecuación, x3 − 2 cosx = 0. Use una calculadora.
29. Usando la implementación del algoritmo de la bisección, encuentre la raiz negativa de la ecuación, x3− 2 senx = 0.
30. Usando la implementación del algoritmo de la bisección, encuentre una raiz de la ecuación,
x8 − 36x7 + 546x6 − 4536x5 + 22449x4 − 67284x3 + 118124x2 − 109584x+ 40320 = 0
en el intervalo I = [5.5, 6.5]. Cambie −36 por −36.001 y repita el proceso.
31. Si f(x) = x3 − 3x+ 1 y x0 = 2, ¿cuales son x1 y x2 en el método de Newton?.
32. Usando la implementación del algoritmo de Newton, encuentre una raiz de la función, f(x) = x3 + 2x2 + 10x− 20,
iniciando en x0 = 2.
33. Usando la implementación del algoritmo de Newton, encuentre una raiz de la ecuación
2x(1− x2 + x) lnx = x2 − 1,
en el intervalo I = [0, 1].
5 5
34. Usando la implementación del algoritmo de Newton, encuentre una raiz de la ecuación
5(3x4 − 6x2 + 1) = 2(3x5 − 5x3),
en el intervalo I = [0, 1].
35. Usando una calculadora, realice 8 iteraciones del método de Newton, para aproximar el valor de una raiz positiva
de cada una de las ecuaciones siguientes:
35.1. x = 2 senx. 35.2. x5 + x2 = 1 + 7x3; x ≥ 2. 35.3. x3 = senx+ 7.
Si el método de la secante es aplicado sobre el polinomio, p(x) = x5 + x3 + 3 con x0 = −1 y x1 = 1, ¿quién es x8?.
Si el método de la secante es aplicado sobre el polinomio, p(x) = x3 + 2x+ 2 con x0 = 0 y x1 = 1, ¿quién es x2?.
Si el método de la secante es aplicado sobre el polinomio, p(x) = x5 + x3 + 3 y si xn−2 = 0 y xn−1 = 1, ¿quién es
xn?.
39. Si f(x) = x3 − 3x+ 1 y x0 = 2.5, x1 = 2, ¿cuales son x2 y x3 en el método de la secante?.
40. Calcule un valor aproximado para a = 43/4 usando un paso del método de la secante con x0 = 3 y x1 = 1.
41. Usando los métodos de: bisección, Newton y secante, encuentre la mayor raiz positiva correcta hasta 3 cifras
decimales del polinomio p(x) = x3 − 5x+ 3. (todas las raices están en el intervalo [−3, 3].)
42. Use el método de la secante para aproximar la raiz más cercana a −0, 5 de la función f(x) = ex−3x2. Esta función
además tiene una raiz cercana a 4. Encuentre esta raiz usando el método de Newton.
43. Encuentre los puntos fijos de cada una de las siguientes funciones:
43.1. f(x) = ex + 1. 43.2. f(x) = e−x − x. 43.3. f(x) = senx.
44. Para la ecuación no lineal x2 − x− 2 = 0 con raices 1 y 2, escriba 4 problemas equivalentes de la forma x = g(x).
Dibuje estas y muestre que todas ellas intersectan la recta x = y.
45. Usando una “calculadora” como Excell o Matlab, encuentre una raiz del polinomio p(x) = x5 + x3 + 3.
6 6