trabajos practicos discreta

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UTN – FRT – Año 2019 Página | 1 
 
 
TRABAJOS PRACTICOS 
MATEMATICA DISCRETA 
 
1° cuatrimestre 
AÑO 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMATICA DISCRETA 
 TRABAJO PRACTICO Nº1 
LÓGICA PROPOSICIONAL Y DE PREDICADOS 
 
1) Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y en los casos afirmativos, si 
son simples o compuestas y expresarlas simbólicamente dando su valor de verdad: 
 
a) Estudio guitarra pero no violín 
b) x + 3 es un numero entero positivo 
c) Si la temperatura baja a 0°entonces el agua se congela 
d) Daniel o Luis , Sara o Micaela 
e) No hay mal que por bien no venga 
f) Mi automóvil funciona si hay combustible en el tanque 
g) Desde la calle Catamarca hasta la calle Salta 
h) El número 2 es natural si y solo si es racional 
i) Esta poesía es una caricia al alma 
j) 17 y 31 son coprimos. 
 
2) Sean las proposiciones p, q y r para las cuales la proposición compuesta (¬p  r) → q tiene 
valor de verdad falso. A partir de esta información determinar los valores de verdad de: 
a) ¬p  ¬q  r b) p  q 
c) q → (p  r) d) (r  q)  p 
 
3) Determinar si las siguientes proposiciones compuestas son tautología, contradicción o 
contingencia 
a) (( p → ( q → r ))  p  q) → r 
b) (( p → q )  ( q → ¬r )  p) → ¬r 
c) ( ¬p  ( q  r ) )  ( ( p  r )  q ) 
d) ¬ ( p → ¬q )  ( q → ¬p ) 
 
 
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4) Demostrar que las siguientes expresiones, todas relacionadas con la  ( disyunción 
excluyente) son tautologías . 
a) ( p  q )  ( p  q )  ¬ ( p  q ) 
b) ( p  q )  ( p  ¬ q )  ( q  ¬ p ) 
c) ¬ ( p  q )  ( q  ¬ p )  ( p  ¬ q ) 
d) ( p  q )  r  p  ( q  r ) 
e) p  q  r  (p  ¬q  ¬r )  (q  ¬ p  ¬r )  (r  ¬p  ¬q)  (p  q  r ) 
 
5) Dadas las siguientes proposiciones: 
 p: “El automóvil arranca”; q: “El tanque tiene nafta” ; r: “La batería tiene corriente” 
 Expresar verbalmente las siguientes expresiones lógicas 
a) (qr) b) q  r 
c) q  r d) (qr) 
e) p  q f) q p 
g) ( q  p) h) q  p 
i) q(rp) j) (qr) p 
k) (p  q) l) p  q 
 
Además conteste: Entre las expresiones dadas, ¿hay algunas que sean equivalentes? 
 
6) Expresar las siguientes proposiciones en forma simbólica, luego encontrar una frase 
equivalente y su negación, simbólica y verbalmente. 
 
a) No estudiaré electrónica ni informática 
b) No es cierto que, estudiaré electrónica e informática 
c) Si estudio electrónica, entonces realizaré una investigación en sistemas digitales. 
d) Es suficiente un disco rígido de 80 GB para que pueda navegar en Internet. 
e) Si se realiza un buen diseño de base de datos y se hace una buena programación, 
entonces se accederá rápidamente a la información 
f) Si la luna está brillando y no está nevando, entonces Felipe sale a dar un paseo 
g) No es cierto que, Felipe sale a dar un paseo y está nevando. 
h) Si peso más de 60 kilos, me inscribiré en la clase de educación física. 
 
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i) Si Juan va al dique El Cadillal, María compra los boletos de colectivos 
j) Si se realiza un buen diseño de base de datos y se hace una buena programación, 
entonces se accederá rápidamente a la información 
 
7) Usando las leyes lógicas, demuestre que 
a) [( p → q )  ( p → r )]  [ p → (q  r)] 
b) ¬( p  q ) → q  q 
c) ( p  q )  ( r → q )  ( p  ¬r )  q 
d) (¬p  ¬q  ¬r)  ( p  q  r)  F 
e) ( p  q )  q  q  ¬p 
f) ( p  q )  q  p  q 
 
8) Unir con una línea a las expresiones lógicas equivalentes. (Puede haber más de una 
equivalencia con la misma expresión. Ver ejemplo) 
 
1) pq a) qp 
2) (pq) b) p q 
3) p q c) pq 
4) qp d) p  q 
5) q  p e) pq 
6) p f) (pq) 
7) (pq)p g) ¬ (p  q) 
8) p q h) q  F 
9) q i) q  V 
10) q p j) q(pq) 
11) p  q k) p(qp) 
12) (p ¬ q) (q ¬ p) l) (qp) 
13) p  p m) p 
14) F  p n) F 
 
9) Demostrar y analizar el mensaje que transmite cada implicación lógica. Dar un ejemplo 
 
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coloquial donde se vea su aplicación: 
a) [ ( p → q ) ∧ p ]  q 
b) [ ( p → ¬q ) ∧ q ]  ¬p 
c) [ ( p  q ) ∧ ¬q ]  p 
d) ( p ∧ q )  p 
10) Completar en los puntos suspensivos con alguna expresión lógica de tal modo que valga 
la implicancia lógica ( ⇒ ) 
 
a) ¬r  ¬q ⇒ ……………….. 
b) s ⇒ ……………….. 
c) [ (¬ p → q )  ¬ p ] ⇒ ……………….. 
d) [ ( p → ¬ q )  q ] ⇒ ……………….. 
e) [ ( p  ¬ q )  q ] ⇒ ……………….. 
f) [ ( ¬ p → q )  ( ¬ r → ¬ q ) ] ⇒ ……………….. 
 
11 ) Unir con una flecha a las expresiones lógicas de la 1° columna con una expresión lógica 
de la 2° columna de tal modo que esta última se infiera de la primera (Puede haber más de 
un resultado para una proposición dada. Ver ejemplo) 
 
1) p  (  p  s ) a) q  r 
2) (( q  r )  p )  p b) p 
3) (( q  r )  p )  ( q  r ) c) q  r 
4) p  ( q  r) d) p  q 
5) q e) s 
6) q  r f) p  r 
7) p  (  p  s ) g) r 
8) p  ( p  s ) h) q 
9) (¬p¬q)¬p i) ¬p 
10) p  F j) ¬q 
 
 
 
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12) Determinar si los siguientes razonamientos son válidos. 
 
a) b) 
 
 
 c) d) 
 
 
 
13) En cada apartado, completar en la línea punteada agregando una conclusión de tal 
modo que el esquema lógico resulte un razonamiento valido 
 
 a) b ) 
 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 
 
14) Expresar simbólicamente y luego establecer la validez de los siguientes argumentos: 
a) Si no llueve, voy al cine. Está lloviendo. Por lo tanto No voy al cine. 
b) Si el partido A gana las elecciones, tendrá mayoría en el Congreso. Si tiene mayoría 
en el Congreso, el candidato del partido A podrá cumplir su programa de gobierno. Por 
lo tanto, si el partido A gana las elecciones, su candidato a presidente podrá cumplir su 
programa de gobierno. 
c) Las llaves de Elisa están en su bolso o en su auto. Las llaves de Elisa no están en su 
auto. Finalmente las llaves de Elisa están en su bolso. 
d) Andrea programa en Java y en C++. Por lo tanto Andrea programa en C++ 
 ∧ 
 
 
 
 ∧ ∧ 
 
 
 
pq r 
¬r 
¬q¬p 
p¬t 
¬q t 
¬q . 
¬p 
¬r 
pq 
qr . 
 ¬p 
¬p 
¬pq . 
 ¬q 
  
 
 
 
 
 ∧ 
 
 
 
 
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e) Si mis cálculos son correctos y pago la cuenta de la electricidad, me quedaré sin 
dinero. Si no pago la cuenta de electricidad, me cortarán la corriente. No me he 
quedado sin dinero y no me han cortado la corriente. Por lo tanto, mis cálculos son 
incorrectos 
f) Si Sara ganara la lotería, viajará a Europa en las vacaciones. En las vacaciones, Sara 
estudiara y practicará deportes, si no gana la lotería. Sara no viajo a Europa durante las 
vacaciones. Por lo tanto Sara estudio durante las
vacaciones 
15) Dadas las siguientes frases 
 i) Todos los estudiantes de la UTN mayores de 25 años trabajan 
 ii) Ningún estudiante de la UTN aprobó el examen 
 iii) Cualquier estudiante puede obtener una beca 
 iv) Algún docente de la UTN es además ingeniero en sistemas 
 
a) Extraer de cada una de ellas los predicados presentes 
b) Expresar las frases en lenguaje simbólico, usando el o los cuantificadores 
apropiados, indicando claramente cuál es el universo de discurso. 
c) Negar las expresiones dadas en forma simbólica y coloquial 
 
16) En el universo de los números naturales = { 1 , 2, 3 , 4 , ....} se definen los siguientes 
predicados: P(x) : “x > 2 ” y Q(x) : “2x - 6 = 0” 
Expresar en forma coloquial las siguientes expresiones y encontrar su valor de verdad 
a) Q( 3 ) b) P( 1 ) c) ¬Q( 1) 
d) ∃x  , Q(x) e) ∀ x  , P(x) f) ∃x  , [¬Q(x) ] 
g) ∃x [P(x)  Q(x) ] h) ∀x [P(x)  Q(x) ] i) ∀x [Q(x) P(x) ]
 
Luego encontrar sus negaciones en forma simbólica y coloquial. 
 
17) Dados los siguientes predicados indicar si hay equivalencia entre ellos o si existe solo 
una implicación lógica. Considere en cada caso el universo de discurso indicado 
a) En 
i) p(x) : “ x = 5 “ q(x) : “ (x+3)(x-5) = 0” 
ii) p(x): “x2 > 1” q(x): “x > 1” 
b) En 
 
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i) p(x) : “ x = 5 “ q(x) : “ x > 0” 
ii) p(x): “x2 > 9” q(x): “x > 3  x < 3” 
 
c) En 
i) p(x) : “ |x|>3 ” q(x): “-3 < x < 3” 
ii) p(x) : “ x es racional ” q(x): “ x2 es racional” 
 
18) Expresar verbalmente y encontrar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. 
Luego encontrar su negación 
 
i) n , [ n es impar  3n es par ] 
ii) ¬ n , [ n es impar  3+n es par ] 
iii) n , [ n > 0  n < 10 ] 
iv) n , [ n > 0  n < 10 ] 
 
19) Expresar simbólicamente las siguientes expresiones, dar el valor de verdad de las 
siguientes expresiones y luego encontrar su negación de manera simbólica y coloquial 
a) Existe un número entero tal que sumado a 3 el resultado es par. 
b) Cualquier número natural es positivo. 
c) Algún número natural es solución de la ecuación x / 2 = 5 
d) Ningún número real es solución de la ecuación x2 = 2 
e) No existe un número real sin inverso multiplicativo 
 
20) Expresar las siguientes frases de manera simbólica y luego encontrar la forma simbólica 
y coloquial de su negación. Suponer que el universo está formado por todas las personas. 
a) Nadie estudia con Luis 
b) Alguien es profesor de Luis. 
c) Luis es alumno de todos 
d) Todos son compañeros de Luis 
 
 
 
 
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21) Establecer si los siguientes argumentos son válidos, justificando su respuesta 
 
a Todos los profesores de matemática han estudiado cálculo. 
Todos los que estudian cálculo saben resolver integrales . 
 Todos los que saben resolver integrales son profesores de matemáticas 
 
 
b Todos los rombos tienen cuatro lados. 
Toda figura con cuatro lados es un cuadrilátero . 
 Todos los rombos son cuadriláteros. 
 
 
c Todos los alumnos de sistemas han cursado Discreta. 
Juan no ha cursado Discreta . 
 Juan no es alumno de Sistemas. 
 
 
d Todas las personas que cuidan el medio ambiente reciclan sus recipientes plásticos. 
Margarita se preocupa por el medio ambiente . 
 Margarita recicla sus recipientes plásticos 
 
 
e Todos los números racionales son reales 
Para todos los números reales se cumple que su cuadrado es positivo o cero 
 . 
 Por lo tanto no es racional 
 
 
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MATEMATICA DISCRETA 
TRABAJO PRACTICO Nº2 
CONJUNTOS Y RELACIONES 
 
1) Son los siguientes conjuntos disjuntos? Justificar la respuesta 
a) A = { x  R / 1 < x < 3 } y B = { x  R / x 2 = 1 } 
b) A = { x  R / x + 1 = 0 } y B = { x  R / x 2 = 1 } 
 
2) Sean A y B subconjuntos de un universo U. Decir Verdadero o Falso, justificando su 
respuesta 
 a) A  ( A  B ) 
 b) A  ( A  B ) 
 c) ( A – B ) y ( B – A ) son disjuntos 
d) Si A  B entones A  B = B y A  B = A 
 
3) Sea A = { x, y, z, v , w } . Calcular |A| y |P(A)| 
 Responder Verdadero o Falso, justificando la respuesta: 
a) Ø  P(A)  Ø  P(A) 
b) x  P(A)  {x}  P(A) 
c) { z , v , w }  P(A)  A  P(A) 
d) Existe al menos un par de subconjuntos de A que son disjuntos y al menos un 
par de subconjuntos que no son disjuntos 
 
4) Sea A = { x / x es una letra del abecedario excepto ñ} 
 Encontrar: 
a) Un subconjunto de A con 3 elementos 
b) Un subconjunto de A con 4 elementos que a su vez contenga al subconjunto del 
apartado a) 
c) Todos los subconjuntos unitarios formados por las vocales 
d) Un par de subconjuntos disjuntos y un par de subconjuntos no disjuntos pero 
distintos 
e) Cuantos subconjuntos de cualquier tamaño posee A? 
 
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5) Representar mediante una fórmula las zonas sombreadas en cada diagrama de Venn: 
 i) ii) 
 
 
iii) iv) 
 
 
6) Sea U = {x / x es estudiante universitario argentino} y sean los conjuntos 
A ={x U / x juega al futbol} , B= {x U / x trabaja} y C = {x U / x recibe una beca } 
i) Expresar por comprensión y representar en un diagrama de Venn 
ii) Indicar cuales expresiones representan a conjuntos iguales 
a) B  A’  C’ b) B – A – C 
c) ( A  B )’ – C d) A’  B’  C’ 
 
7) Considerando U={ xN / x ≤ 10 } , sean A = { xU / x < 5 } , B = { xU / 5 < x ≤ 10 } y 
C={ xU / x es par} subconjuntos de U. Expresar por comprensión y por extensión los 
resultados de las siguientes operaciones. Representar en diagramas de Venn, sombreando 
la zona que corresponde a los resultados 
a) A  B’  C b ) ( B  C ) – A 
c) B’  C d ) [ ( A  B ) – C ]’ 
 
 
 
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8) Sea U ={ u , v , w , x , y , z } y sean A, B y C subconjuntos de U. 
Decir Verdadero o Falso, justificando su respuesta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Demostrar las siguientes propiedades de las operaciones entre conjuntos: 
a) A  ( B  C ) = ( A  B )  C Ley asociativa de  
b) A  ( A  B ) = A Ley de absorción de  
c) A  ( B  C ) = ( A  B ) ( A  C ) Ley distributiva de  respecto de  
 
10) Sea A = { a , b , c , d , e , f , g , h , i , j , k } 
i) Determinar si los siguientes conjuntos son particiones de A. Graficar en Diagramas 
de Venn en los casos afirmativos 
a) { { a , b , c , d } , { e , f , g } , { i } , { g , h , j , k } } 
b) { { a , b , c , d } , { e , f , g } , { i , j , k } } 
c) { { a , c , e } , { g , i , k } , { b , d , f , h , j } } 
d) { {a} , {b} , {c} , {d} , {e} , {f} , {g} , {h} , {i} , {j} , {k} } 
e) { { c , e } , {a, h} , { g , i , k } , { b , d } , { f , j } } 
 
ii) Responder Verdadero o Falso, justificando su respuesta 
a) Existen particiones de A con dos elementos 
b) Existe una partición con más de 11 elementos 
 
11) Sea A = { x  N / x es múltiplo de 6 y x  24 } 
 i) Dar al menos dos
particiones distintas de A. Representar gráficamente 
 ii) Dar un ejemplo de un conjunto de tres elementos que no sea partición de A. 
ii) Responder Verdadero o Falso, justificando su respuesta: 
a) y  (A  B )’ 
b) x  (A  B  C) 
c) w  ( A  (B  C)’) 
d) u  (A  B  C ) 
e) x  ( (A  C) – B ) 
f) z  ( A  C ) 
g) y  ( (A  B) – C ) 
h) v  (C – (A  B) ) 
 
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a) { { 6 } , { 12 , 18 } , { 24 } } son tres particiones de A; 
 b) { { 6 } , { 12 , 18 } , { 24 } } es una partición de A 
 c) { { 12 , 18 } , { 24 } } es una partición de A 
 d) { { 6 } , { } , { 12 } , { 18 } , { 24 } } es una partición de A 
 
12) Sea A = { x  N / 1 ≤ x < 4 } y B = { x  Z / -2 ≤ x < 6 } y sean las siguientes 
relaciones Ri : A B 
R1 = { ( x , y ) / x + y ≥ 5 } 
R2 = { ( x , y ) / x = |y| } 
R3 = { ( x , y ) / y – x = 1 } 
R4 = { ( x , y ) / x 
2 = y } 
 
Se pide: 
a) Expresar por extensión y dar dominio e imagen de cada relación 
b) Encontrar el conjunto relativo de cada elemento del dominio 
c) Decir cual de ellas es función? Justificar la respuesta 
 
13) Sea A = { x / x es vocal } 
Definir por extensión a las siguientes relaciones en A 
i. R1 = { ( x , y )  AxA / x e y pertenecen a la palabra MAMA} 
ii. R2 = { ( x , y )  AxA / x e y pertenecen a la palabra MUELLE} 
iii. R3 = { ( x , y )  AxA / x es vocal de ARQUITECTO e y es vocal de SUR } 
¿Cuál de ellas es función? 
 
14) Dadas las matrices 
 
i) Calcular A  B , A  B , A  B y B  A 
ii) Responder: ¿A domina a B ? , ¿B domina a A? 
 
 
 
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15) Sea el conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y sean R1 y R2 definidas en A por medio de sus dígrafos. 
Examinar las propiedades que cumplen cada una usando sus matrices 
 R1 R2 
 
 
16) Dadas R1 y R2 del ejercicio anterior: 
a) Usando las respectivas matrices encontrar R2 R1 , R1 R2 y R2 R2 
 b) Confeccionar los digrafos de las nuevas relaciones a partir de las matrices 
 
17) Dada R la relación definida en A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } y dada por su digrafo. Se pide: 
i) Responder: ¿Es R una relacion de equivalencia? Justificar 
ii) Encontrar [1] , [3] y [5] . ¿Qué puede concluir? 
iii) Encontrar A / R 
R 
 
18) Dadas las relaciones R1, R2 , R3 y R4 dadas por sus dígrafos, analizar si son relaciones de 
equivalencia. En caso afirmativo encontrar el conjunto cociente correspondiente 
R1 R2 
 
 
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R3 R4 
 
 
19) Las siguientes matrices corresponden a relaciones binarias. Analizando las propiedades 
determinar si corresponden a relaciones de equivalencia. En caso afirmativo encontrar el 
conjunto cociente correspondiente. Designar a gusto el nombre de los elementos del 
conjunto adonde cada relación estaría definida 
 
 
20) Sea A = { x  Z / | x |  5 } y sea R : A  A definida por R = { ( x , y ) / | x | = | y | } 
Se pide: 
a) Determinar si R es una relación de equivalencia en A sin realizar el digrafo ni la 
matriz 
b) Encontrar al conjunto relativo correspondiente a cada elemento de A 
c) En caso afirmativo en a) encontrar A / R 
d) Graficar A y a su conjunto Cociente por medio de diagramas de Venn 
 
 
 
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 21) Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } y sean Ri : A  A dada por 
 a) R1= { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(1,3),(4,3),(3,5),(2,5),(1,5),(4,5),(4,6) } 
 b) R2= { (1,3),(1,6),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,6),(2,5),(3,6),(3,5),(3,4),(6,5),(4,5)} 
En cada apartado se pide: 
i) Confeccionar digrafo y encontrar matriz correspondiente. 
ii) Determinar si es una relación de orden. En caso afirmativo indicar que tipo de 
orden es y encontrar su diagrama de Hasse 
iii) Responder, justificando su respuesta: 
¿Existen elementos no comparables? 
¿Es un orden total o parcial? 
¿ El conjunto posee elementos extremos? 
 
22) Sea la siguiente relación definida en A = { a , b , c , d , e , f } dada por su digrafo. 
En cada apartado responder: 
¿Es una relación de orden? 
En caso afirmativo, de que tipo? Justificar su respuesta 
 
a) b) 
 
Además: 
Justificar cada respuesta 
 
a) En caso afirmativo realizar el diagrama de Hasse. 
b) Responder: ¿Es una relación de orden parcial o total? 
c) Señalar los elementos extremos, si es que existen. 
 
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23) Sea el siguiente conjunto A = { { a } , {b} , {c}, {a,d} , {a,b}, {a,b,c}, } y sean las siguientes 
relaciones de orden: 
 a) X,Y A , X 1 Y  X  Y 
b) X,Y A , X 2 Y  X  Y 
Se pide: 
a) Clasificar a 1 y 2 según sean de orden amplio o estricto, parcial o total 
b) Realizar el digrafo y el diagrama de Hasse correspondiente 
 
24) Dadas las siguientes matrices 
 a) b) 
 
1 2 3 4 
 
1 2 3 4 5 6 
 
1 1 0 0 1 
 
1 0 1 0 0 0 0 
MR1= 2 0 1 0 1 
 
MR2= 2 0 0 0 0 0 0 
 
3 1 1 1 0 
 
3 0 1 0 0 0 0 
 
4 0 0 0 1 
 
4 1 1 1 0 0 0 
 
5 1 1 1 1 0 1 
 
6 1 1 0 0 0 0 
c) d) 
 
a b c d e f g h i 
 
a b c d e f g h 
 
a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
a 1 1 1 1 1 1 1 1 
 
b 1 1 0 0 0 0 0 0 0 
 
b 0 1 1 0 0 0 1 1 
 
c 1 1 1 0 0 0 0 0 0 
 
c 0 0 1 0 0 0 1 0 
 
d 1 1 1 1 0 0 0 1 1 
MR3= d 0 0 1 1 0 1 1 0 
 
MR4= e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 
e 0 0 0 0 1 1 1 1 
 
f 1 1 0 0 0 1 1 1 1 
 
f 0 0 0 0 0 1 1 0 
 
g 1 0 0 0 0 0 1 1 0 
 
g 0 0 0 0 0 0 1 0 
 
h 1 0 0 0 0 0 0 1 0 
 
h 0 0 0 0 0 0 1 1 
 
i 1 1 0 0 0 0 0 1 1 
 
Responder, justificando su respuesta: 
a) ¿Representan a relaciones de orden? De que tipo? 
b) En caso de haber respondido afirmativamente en a) 
i)¿el orden es lineal o parcial? 
ii) ¿Posee extremos el conjunto? 
iii) Dibuja el digrafo y el diagrama de Hasse correspondiente 
 
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25) Sea A = { 1 , 2 , 3 , 6 } y sean Ri : A  A. 
a) R1 = { ( 1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (6 , 6) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 6) } 
b) R2 = { ( x , y ) / x < y , donde < es el orden estricto usual de } 
c) R3 = { ( x , y ) / el resto de la división de y en x es cero } 
d) R4 = { ( x , y ) / el resto de la división de x en y es cero } 
En cada apartado se pide 
i) Confeccionar el digrafo y encontrar la matriz de cada relación 
ii) Determinar si son relaciones de orden y en los casos afirmativos encontrar su 
diagrama de Hasse. También analizar si es un orden lineal o parcial, amplio o 
estricto. 
iii) En que casos hay extremos? Quienes son? 
 
26) Dados los siguientes diagramas de Hasse, se pide 
a) Confeccionar las correspondientes matrices, considerando que los diagramas 1 y 2 
corresponden a ordenes amplios mientras que el diagrama 3 corresponde a un
orden 
estricto. 
b) Hacer el listado de elementos no comparables 
c) Encontrar los elementos extremos, si es que existen. 
 
 
Diagrama de Hasse 1 Diagrama de Hasse 2 Diagrama de Hasse 3 
 
 
27) A continuación se da el diagrama de Hasse de una relación de orden amplio definida en 
el conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } . 
Responder verdadero o falso, justificando su respuesta: 
 
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a) 1 y 8 no son comparables 
b) 5 y 7 no son comparables 
c) 6 y 4 son comparables 
d) 7 ≤ 3 y 8 ≤ 3 , entonces 7≤8 
e) 6 ≤ x , x A 
f) x ≤ 4 , x A 
g) A no posee máximo 
h) A posee mínimo 
 
 
 
28) Dada la relación de orden estricto definida en el conjunto A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j } 
por el siguiente diagrama de Hasse: 
 
Responder Verdadero o Falso, justificando su respuesta. 
a) c < i  i < c 
b) d < b  b < a  d < a 
c) g < j  f < j  d < j 
d) x A , x > j 
e) x A , [ x < h  x < e] 
f) xA , x < j 
g) ¬x A , x < f 
h) ¬ xA , x < j 
 
 
 
 
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MATEMATICA DISCRETA 
TRABAJO PRACTICO Nº3 
TEORIA DE NÚMEROS ENTEROS 
 
1) Calcular, justificando la respuesta 
a) – 35 div 5 y – 35 mod 5 
b) – 35 div 4 y – 35 mod 4 
c) x  Z / x div 7 = 6 y x mod 7 = 1 
d) x  Z / 25 div x = 3 y 25 mod x = 1 
e) x  Z / – 25 div 7 = x y – 25 mod 7 = – x – 1 
 
2) Dado el conjunto A = { x  Z / | x |  10 } 
Definir por extensión a los siguientes subconjuntos de A: 
a) B = { x  A / x mod 2 = 0 } 
b) C = { x  A / | x div 2 | = 1 } 
c) D = { x  A / x mod 2 = 0  x mod 3 = 0 } 
d) E = { x  A / x mod 3 = 0  x mod 5 = 0 } 
 
3) Dado el conjunto Z+ 
Definir por extensión a los siguientes subconjuntos de Z+: 
a) M = { x / x | 20 } 
b) N = { x / 5 | x  x  20 } 
c) O = { x / 5 | ( x – 1 )  x  20 } 
 
4) Decir Verdadero o Falso, justificando su respuesta 
a) 3|6  2|6 
b) 3|5  3|6 
 c) x es par  2|x , xN 
 d) Si a|b  b|(c.x) entonces a|(c.x) , a,b,c,x  Z , a , b 0 
e)  a Z , 0 | a 
f)  x Z , x | ( x – 1 ) 
g)  x  Z , 8|(56x) 
 
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h) Si 3|6 entonces 3| (6x+12y) , x,yZ 
i) x,yZ , – 2 | ( 16x – 4y + 2) 
j)  x , y  Z tales que 3x + 2y = 1 
k)  x , y  Z tales que 4x + 6y = 1 
l)  x , y , z  Z tales que 9x + 27y -3z = 100 
 
5) a) ¿Para qué valores de el número es múltiplo de 2 ? 
b) ¿Para qué valores de el número es múltiplo de 2 ? 
6) a) Para cada uno de los siguientes números, dar al menos un primo que lo divida 
91 ; 1155 ; 2717 
Responder: ¿Los números dados, son primos o compuestos? 
b) Buscar en la web 5 números primos consecutivos y mayores que 1500 
c) Demostrar que el número 57967 no es primo. Luego encontrar su forma factoreada 
usando el Teorema Fundamental de la Aritmética. 
 
7) Responder Verdadero o Falso, justificando su respuesta: 
a) Si x  Z y x | (a . b) entonces x | a o x | b 
b) Si x  Z y x | a o x | b entonces x | (a . b) 
c) Si 2 | ( 3 x) entonces 2|x , para todo x  Z 
d) Si 2 | ( 6 x) entonces 2|x , para todo x  Z 
 
8) Usando el Algoritmo de Euclides encontrar el mcd (a , b ) para los siguientes valores: 
a) a = 1350 , b = 966 
b) a = 1820 , b = 231 
c) a = 1458 , b = 486 
Además se pide: 
i) Expresar al mcd como combinación lineal de a y b en cada caso 
ii) Calcular, usando propiedades , el mcm (a,b) 
 
9) Aplicando el Algoritmo descripto en la pag. 153 del libro, contar el número de veces que 
se ejecuta la sentencia “Si r >0 , entonces....” para los valores de a y b del ejercicio 8 
 
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10) Responder Verdadero o Falso, justificando su respuesta: 
a) mcd( -8 , 12 ) = mcd ( 8 , 4 ) = 4 
b) mcd(1000 , 550 ) = 10 . mcd ( 100 , 55 ) = 5 
c) mcd ( - 8 , -12 ) = - 4 
d) mcd ( 5 , 20x ) = 5 
e) 4 es combinación lineal de ( - 8) y 12 
f) 50 es combinación lineal de 1000 y 550 
 
11) a) Encontrar 5 números coprimos con 10 . Justificar la elección 
d) Unir con una línea a los pares de números coprimos. (Puede haber mas de una 
correspondencia con cada número) 
 
 
 
 
 
e) Definir por extensión al siguiente conjunto: 
A = { x  Z+ / x es coprimo con 5  x|20 } 
 
12) Decir Verdadero o Falso, justificando su respuesta 
a) a,bZ+ , si a y b son coprimos, entonces a y b son primos 
b) Si 8|(5x) entonces 8|x , xZ 
c) mcd(x,y)=4 entonces x/4 e y/4 son coprimos 
c) 2x y 5x son coprimos , xZ 
d) x Z , 2x y 5x son coprimos 
d) 2x y 6x no son coprimos, xZ 
 
13) Calcular, justificando su respuesta: 
a) mcm ( 103 , 105) , sabiendo que 103 y 105 son coprimos 
b) mcm ( x , 105) sabiendo que x | 105 
c) mcm ( x , 105) sabiendo que mcd ( x , 105) = x/3 
 
1 
 
5 
5 
 
6 
10 
 
7 
12 
 
8 
15 
 
9 
16 
 
10 
 
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14) Responder Verdadero o Falso, justificando su respuesta: 
a) Si mcm(a,b) = b , entonces mcd (a,b) = a 
b) Si mcm ( a , b ) = a . b , entonces mcd (a , b ) = 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) mcm(a.k , b.k) = k . mcm (a , b) 
 
15) Resuelve aplicando los conceptos de mcd y mcm: 
a) Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de 
modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuántos trozos de 
cuerda obtendrá? 
b) David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces 
a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la 
mayor posible, ¿cuántos dulces repartirán a cada persona? ¿a cuántos familiares 
regalará dulces cada uno de ellos? 
c) En un vecindario, un camión de helados pasa cada 8 días y un food truck pasa cada 
dos semanas. Se sabe que 15 días atrás ambos vehículos pasaron en el mismo día. 
Raúl cree que dentro de un mes los vehículos volverán a encontrarse y Oscar cree esto 
ocurrirá dentro de dos semanas. ¿Quién está en lo cierto? 
d)En una banda compuesta por un baterista, un guitarrista, un bajista y un saxofonista, 
el baterista toca en lapsos de 8 tiempos, el guitarrista en 12 tiempos, el bajista en 6 
tiempos y el saxofonista en 16 tiempos. Si todos empiezan al mismo tiempo, ¿en 
cuántos tiempos sus periodos volverán a iniciar al mismo tiempo? 
16) Encontrar, si existen, las infinitas soluciones enteras de las siguientes ecuaciones 
diofánticas 
a) 1820 x + 231 y = 2100 
b) 2 x + 10 y = 17 
c) 204 x – 276 y = 72 
d) 72 x – 66 y = 18 
 
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17) Ejercicios de aplicación de mcd , mcm y ecuaciones diofánticas: 
a) Juan va a comprar un libro que cuesta $123. No obstante, cuando va a pagar se da 
cuenta que sólo tiene monedas de $2 . Por si fuera poco, el cajero en aquel momento 
sólo tiene billetes de $20. ¿Es posible que pueda pagar el precio exacto del libro? 
b) Un comerciante desea poner en cajas
12028 manzanas y 12772 naranjas, de modo 
que cada caja contenga el mismo número de manzanas y de naranjas y, además, el 
mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de 
cajas necesarias para embalar manzanas y naranjas. 
 Conteste además: ¿Cuántas cajas de manzanas y naranjas se deben vender si se desea 
obtener una ganancia de $3600 sabiendo que por cada caja de manzanas vendida se 
gana $93 y por caja de naranjas vendida se gana $78? 
 
18) Sea n n , Decir Verdadero o Falso, justificando su respuesta 
a) Dos números son congruentes módulo n si y solo si la diferencia entre ellos es n 
b) Si dos números son congruentes módulo n entonces se obtiene el mismo cociente 
al dividir a cada uno de ellos por n 
c) Si n|( 2x – 3y ) , entonces x  y (mod n) , x,y 
d) Si x1  y1 (mod n)  x2  y2 (mod n) , entonces x1 +x2  y1 +y2 (mod n) , 
x1,y1,x2,y2  
e) Si x1  y1 (mod n) , entonces a.x1  a.y1 (mod n) , x1,y1  
 
19) 
a)Completar las líneas punteadas con cuatro números positivos congruentes a los dados 
i) – 8  ... .  ....  ....  .... (mod 3) 
ii) – 20  ....  ....  ....  .... (mod 7) 
b) Completar las líneas punteadas con cuatro números negativos congruentes a los dados 
i) 12  ... .  ....  ....  .... (mod 3) 
ii) 25  ....  ....  ....  .... (mod 7) 
 
 
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20) Decir Verdadero o Falso, justificando su respuesta: 
a) Toda relación de congruencia es de equivalencia. 
b) La relación R = { ( x , y ) / x  y (mod n) } definida en Z genera un conjunto 
cociente con exactamente n – 1 clases de equivalencia 
c) Dado que R = { ( x , y ) / x  y (mod 2) } definida en Z es una relación de equivalencia 
entonces [ 0 ]2 = { x / 2 | x } y [ 1 ]2 = { x / 2 | ( x – 1 ) } 
d) [0]5 = [5]5  [0]2 = [0]4 
 
21) Sea R = { ( x , y ) / x  y (mod n) } definida en Z encontrar los conjuntos cocientes 
generados por R para : 
a) n = 4 
b) n = 6 
c) n = 7 
Realizar diagramas de Venn para ilustrar a ambas particiones