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Marisa Angélica Digión 1 
 
Universidad Nacional de Jujuy 
Facultad de Ciencias Económicas 
Matemática II 
 
 
 
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Capítulo VI 
 
SUCESIONES 
Y 
SERIES 
INFINITAS 
DE NÚMEROS REALES 
 
 
 
 
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Función
FUNCIÓN REAL 
DE VARIABLE 
REAL
Pre-Cálculo
Límite Continuidad
Cálculo
Diferencial Integral 
Caso Particular: 
SUCESIONES 
INFINITAS DE 
NÚMEROS REALES
SERIES INFINITAS 
DE NÚMEROS 
REALES
 
 
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CONTENIDO 
 
1. INTRODUCCION 
 1.1 Presentación del tema 
 1.2 Objetivos 
 1.3 Conceptos previos 
2. SUCESIÓN INFINITA DE NÚMEROS REALES 
2.1 Definición 
2.2 Términos de una sucesión y Término general 
2.3 Notación 
2.4. Representación gráfica en R2 y en R1 
 2.4.1 Representación gráfica en R2 
 2.4.2 Representación gráfica en R1 
2.5 Operaciones con sucesiones 
 2.6 Límite de una sucesión 
 2.6.1 Definición intuitiva 
 2.6.2 Convergencia y divergencia de una sucesión 
 2.6.3 Propiedades de las sucesiones convergentes 
 2.7 Sucesiones particulares 
 2.7.1 Sucesión aritmética 
 i) Definición 
 ii) Término general “an” de una sucesión aritmética 
 iii) Propiedad de una sucesión aritmética 
 iv) Suma de los “n” primeros términos de una sucesión aritmética 
 2.7.2 Sucesión geométrica 
 i) Definición 
 ii) Término general “an” de una sucesión geométrica 
 iii) Suma de los “n” primeros términos de una sucesión geométrica 
3. SERIE INFINITA DE NÚMEROS REALES 
 3.1 Definición 
 3.2 Sucesión de Sumas Parciales 
 3.3 Convergencia y divergencia de una serie 
 3.4 Condición necesaria para la convergencia de una serie 
 3.5 Propiedades de las series convergentes 
 
 
 
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 3.6 Series particulares 
 3.6.1 Serie aritmética 
 i) Definición 
 ii) ¿Convergencia de una serie aritmética? 
 3.6.2 Serie geométrica 
 i) Definición 
 ii) ¿Convergencia de una serie geométrica? 
4. APLICACIONES 
 
 
 
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1.1 PRESENTACIÓN DEL TEMA 
En este Capítulo se presentarán, como temas centrales, los conceptos de Sucesiones y Series Infinitas de 
Números Reales. 
En la vida cotidiana, muchas veces pensamos en términos de sucesiones: una sucesión de hechos delictivos, una 
sucesión de actos para conmemorar una fecha festiva, una sucesión de eventos que llevan a la concreción de un 
cierto objetivo, entre otros. En el ámbito de la Matemática, la noción de sucesión es semejante a la de los 
ejemplos dados solo que, en este ámbito y en el caso de esta asignatura, se habla de sucesión de números, tema 
en el cual intervienen tres ideas centrales: la de orden, la de ley de formación y la de convergencia. 
Por otra parte, el concepto de serie de números se define a partir del concepto de sucesiones de números. La 
importancia del estudio de las series tiene que ver con la convergencia de las mismas, cuestión que está 
relacionada –al igual que en el estudio de la derivada y la integral definida-, con el cálculo de límites; de existir 
los mismos, es posible afirmar que una suma infinita de números reales “da como resultado” un número finito. 
 
1.2 OBJETIVOS 
✓ Reconocer a la Sucesión Infinita de Números Reales como un caso particular de FRVR. 
✓ Definir y operar algebraicamente con Sucesiones Infinitas de Números Reales. 
✓ Estudiar, gráficamente y analíticamente, la convergencia/divergencia de una Sucesión Infinita de Números 
Reales. 
✓ Determinar –de existir- el límite de una Sucesión Infinita de Números Reales aplicando los conocimientos 
aprendidos precedentemente para FRVR. 
✓ Reconocer las características fundamentales que definen a las particulares Sucesiones Infinitas de Números 
Reales: Aritmética y Geométrica. 
✓ Comprender de qué manera se generan las Series Infinitas de Números reales. 
✓ Estudiar la convergencia, o la divergencia, de una Serie Infinita de Números Reales. 
✓ Definir, notar y estudiar la convergencia de las particulares Series Infinitas de Números Reales: Aritmética y 
Geométrica. 
 
1.3 CONCEPTOS PREVIOS 
Para abordar los temas desarrollados en este Capítulo, necesitas tener presente: 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
 
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o El concepto, el valor numérico, la representación gráfica y el límite de una Función Real de Variable Real. 
o Las operaciones algebraicas entre dos Funciones Reales de Variable Real. 
o El uso del símbolo sumatoria (). 
o Las operaciones algebraicas con números reales. 
 
 
 
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En el contexto de esta materia definiremos al concepto del título precedente de la siguiente manera. 
 
2.1 DEFINICIÓN 
Una sucesión infinita de números reales es una particular función real de variable real, tal que a cada número 
natural (N) le corresponde un único número real (R). 
Tomando en consideración la notación de función real de variable real que ya conocemos, podemos indicar a 
una sucesión infinita de números reales (en adelante, simplemente sucesión) de la siguiente manera: 
 f: N → R 
 n → f(n)=an 
EJEMPLOS 
Las siguientes son sucesiones escritas con la notación correspondiente a funciones reales de variable real: 
a) f: N → R 
 n → f(n)= an = 2n + 1 
b) f: N → R 
 n → f(n)= an= 1 n2 
 
Nota 1 
También, puede ser dominio una sucesión, el conjunto de los números naturales (N) ampliado o restringido: 
* Ampliado, en el caso que al conjunto de los naturales se le anexe el número cero 0  N   0 
* Restringido, para que la expresión f(n)=an tenga sentido  A  N 
EJEMPLOS 
Observemos los dominios de las siguientes sucesiones. 
a) f: N   0 → R 
 n → f(n)= an= n3 
 
2. SUCESIÓN INFINITA DE NÚMEROS REALES 
 
 
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En este caso, el dominio de la sucesión es el conjunto de los números naturales al que se ha ampliado con el 
número cero; la expresión: 
f(n)= an= n3 
tiene sentido para todo n del citado conjunto. 
b) f: [5,+)  N → R 
 n → f(n)= an= 
1√𝑛−4 
Este es un ejemplo de dominio donde el conjunto de los números naturales está restringido, ya que solo para 
los números naturales mayores o iguales a 5, la expresión f(n)= an= 
1√𝑛−4 tiene sentido. 
Nota 2 
A continuación, solo se trabajará con sucesiones con dominio en el conjunto de los números naturales. 
 
2.2 TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN Y TÉRMINO GENERAL 
Sea la sucesión, definida por: 
f: N → R 
 n → f(n)=an 
y asignemos valores a la variable independiente “n”: 
• Para n=1  f(1)=a1 , se denomina 1° Termino de la sucesión 
• Para n=2  f(2)=a2 , se denomina 2° Termino de la sucesión 
• Para n=3  f(3)=a3 , se denomina 3° Termino de la sucesión 
... 
• Para n  f(n)=an , se denomina Término General de la Sucesión 
EJEMPLO 
Para la sucesión definida por: 
f: N → R 
 n → f(n)= an= 2n + 1es: 
 
 
 
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El Término general de la sucesión: f(n)= an= 2n + 1 
El 1° Término de la sucesión: f(1)= a1 = 2.1 + 1= 3 
El 2° Término de la sucesión: f(2)= a2 = 2.2 + 1= 5 
El 3° Término de la sucesión: f(3)= a3 = 2.3 + 1= 7 
 …. 
 
2.3 NOTACIÓN 
Como se definió precedentemente, una sucesión es un caso particular de una función real de variable real; por 
lo tanto, la notación ya conocida para función real de variable real, también es válida para sucesión. 
f: N → R 
 n → f(n)= an 
No obstante, dada la importancia que tienen las sucesiones, éstas cuentan con una notación propia; a una 
sucesión se la indica con: 
  an  𝒏=𝟏+ o simplemente  an  
(como ya se mencionó, en ambos casos n  N) 
EJEMPLOS 
Dadas las siguientes sucesiones, escribir los primeros cinco términos. 
a)  n2  𝑛=1+ 
b)  
1n+1  
 
Solución 
➢ En Caso a), el término general es: an = n2 . 
Así: 
 Para n=1, el 1° término es: a1 = 12= 1 
 Para n=2, el 2° término es: a2 = 22= 4 
 Para n=3, el 3° término es: a3 = 32= 9 
 Para n=4, el 4° término es: a4 = 42= 16 
 Para n=5, el 5° término es: a5 = 52= 25 
 
 
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Pudiendo escribir a la sucesión, indicando los cinco primeros términos, de la siguiente forma: 
 𝐧𝟐  𝒏=𝟏+ = 1, 4, 9, 16, 25, … 
➢ En Caso b), el término general es: an = 
1n+1 
Luego: 
 Para n=1, el 1° término es: a1 = 
11+1= 12 
 Para n=2, el 2° término es: a2 = 
12+1= 13 
 Para n=3, el 3° término es: a3 = 
13+1= 14 
 Para n=4, el 4° término es: a4 = 
14+1= 15 
 Para n=5, el 5° término es: a5 = 
15+1= 16 
Así: 
 
𝟏𝐧+𝟏  =  𝟏𝟐, 𝟏𝟑 , 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, … 
Nota: NO CONFUNDIR … 
  an  es la sucesión 
con: 
 an es el término general de la sucesión 
 
2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN R2 Y R1 
2.4.1 Representación gráfica en R2 
Por ser una sucesión una particular función real de variable real, es posible representarla gráficamente en el 
espacio de dos dimensiones R2. 
Definición 
Sea la sucesión definida por  an . Su representación gráfica en el espacio de dos dimensiones R2 está 
formada por el conjunto infinito de puntos aislados de la forma Pn (n, an) para todo número natural “n”. 
 
 
 
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EJEMPLO 
¿Cuál es la gráfica en R2 de la sucesión definida por  an = 
1n ? 
Solución 
Formemos la siguiente tabla: 
n 𝟏𝐧 (n, an = 𝟏𝐧 ) Pn (n, an = 𝟏𝐧 ) 
1 1 (1, 1) P1(1, 1) 
2 12 (2,12) P2 (2,12) 
3 13 (3, 13 ) P3 (3, 13 ) 
4 14 (4, 14 ) P4 (4, 14 ) 
5 15 (5, 15 ) P5 (5, 15 ) 
6 16 (6, 16 ) P6 (6, 16 ) 
7 17 (7, 17 ) P7 (7, 17 ) 
8 18 (8, 18 ) P8 (8, 18 ) 
9 19 (9, 19 ) P9 (9, 19 ) 
10 110 (10, 110 ) P10 (10, 110 ) 
y llevemos los puntos a un sistema de coordenadas cartesianas; obtendremos lo siguiente: 
 
 
 
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Si bien no se han representado gráficamente todos los puntos que forman la gráfica de la sucesión, los diez 
primeros, nos dan una idea del comportamiento gráfico de la misma cuando el valor de n crece. 
2.4.2 Representación gráfica en R1 
Una forma alternativa de representar gráficamente las sucesiones es utilizando un solo eje de coordenadas con 
dirección, origen y sentido; en éste se indican solamente los valores de an. 
Sea la sucesión definida por  an . Su representación gráfica en el espacio de unidimensional R está formada 
por el conjunto infinito de puntos aislados de la forma Pn (an) para todo número natural “n”. 
 
EJEMPLO 
Consideremos nuevamente la sucesión del ejemplo precedente  an = 
1n . En este caso la gráfica de la sucesión 
sería, para los cuatro primeros términos, la siguiente: 
 
 a4= 
𝟏𝟒 a2= 𝟏𝟐 
 
 0 a3= 
𝟏𝟑 a1= 1 an 
 
2.5 OPERACIONES CON SUCESIONES 
Sean las sucesiones definidas por: 
  an   bn  
Entonces, se define entre ellas nuevas sucesiones: 
* Suma de sucesiones:  an+ bn  
* Diferencia de sucesiones:  an- bn  
* Producto de sucesiones:  an . bn  
* Cociente de sucesiones:  an /bn  con bn  0  n  N 
 
EJEMPLOS: Sean las sucesiones definidas de la siguiente manera: 
 
 
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 
nn+1   1n  
* El término general de la sucesión suma es: nn + 1 + 1n = n2 + n + 1n2 + n 
y la Sucesión Suma queda determinada por: 
 
𝐧𝟐+𝐧+𝟏𝐧𝟐+𝐧  
* Procediendo de idéntica forma para determinar las sucesiones diferencia, producto y cociente, se obtiene 
que: 
Sucesión Diferencia:  
𝒏𝟐−𝒏−𝟏𝒏𝟐+𝒏  
 Sucesión Producto:  
𝐧𝐧𝟐+𝐧 =  𝟏𝐧+𝟏  (pues n0), 
 
Sucesión Cociente:  
𝐧𝟐𝐧+𝟏  
 
2.6 LÍMITE DE UNA SUCESIÓN 
Al dar la definición de sucesión, indicamos que la misma es un caso particular de una función real de variable 
real. Luego, si fue posible definir intuitivamente el concepto de límite de una función real de variable real, 
también podremos referirnos, de la misma manera, al límite de una sucesión. 
2.6.1 Definición intuitiva 
Sea la sucesión definida por  an . El número real L es el límite de la sucesión  an  y escribimos: 
𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞ 𝐚𝐧 = L o bien an → L tanto como n→+ 
si conforme “n” crece sin límite, el término de la sucesión an se acerca a L. 
 
2.6.2 Convergencia y divergencia de una sucesión 
La sucesión  an  es convergente si y solo si existe 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞ 𝐚𝐧 = L con L  R. Si no existe L, la sucesión  an  es 
divergente. 
 
 
 
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Nota: ya que “n” es un número natural y solo puede crecer a valores positivos, en adelante, obviaremos el signo 
“+” que precede al símbolo “”. 
EJEMPLOS 
a) Estudiar, analíticamente, si la sucesión  
2n−13n+1 es convergente o divergente. 
Solución 
Apliquemos el método analítico con el paso al límite: lim𝑛→∞ 2n−13n+1 =  ¡Indeterminación! 
 
Procedemos a eliminar la indeterminación: limn→∞ 2n−13n+1 = limn→∞ 2n−1n3n+1n = limn→∞ 2−1 n⁄3+1 n⁄ = 23 
 
Así: 
 2n−13n+1 → 23 conforme n→ 
 
Finalmente: la sucesión  
2n−13n+1 es convergente y converge a 𝟐𝟑 y 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝟐𝐧−𝟏𝟑𝐧+𝟏 = 𝟐𝟑 
 
b) Aplicar el método gráfico para establecer que: limn→∞ 1n2+1 = 0. 
Solución 
Representemos gráficamente la sucesión en R2, ubicando en el sistema de coordenadas cartesianas algunos 
términos de la misma: a1=1/2; a2=1/5; a3=1/10; a4=1/17; a5= 1/26; a6= 1/37; a7= 1/50 y a8=1/65. 
 
 
 
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Observamos el comportamiento de los puntos de la sucesión y llegamos a determinar que: 
 
𝟏𝐧𝟐+𝟏  → 0 cuando n→  
o lo que es lo mismo que: 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝟏𝐧𝟐+𝟏 = 0 
 
2.6.3 Propiedades de las sucesiones convergentes 
Si las sucesiones  an  y  bn  son convergentes y tales que 𝐥𝐢𝐦𝐧→𝐚𝐧 = A y 𝐥𝐢𝐦𝐧→𝐛𝐧 = B, con A y B números 
reales, entonces: 
• La sucesión  an + bn  es convergente y su valor de convergencia es 𝐥𝐢𝐦𝐧→(𝐚𝐧 + 𝐛𝐧) = A + B 
• La sucesión  an - bn  es convergente y suvalor de convergencia es 𝐥𝐢𝐦𝐧→(𝐚𝐧 − 𝐛𝐧) = A - B 
• La sucesión  an . bn  es convergente y su valor de convergencia es 𝐥𝐢𝐦𝐧→(𝐚𝐧 . 𝐛𝐧) = A . B 
• La sucesión  an / bn  es convergente y su valor de convergencia es 𝐥𝐢𝐦𝐧→(𝐚𝐧 /𝐛𝐧) = A / B 
 con bn 0 n  N y B0 
 
EJEMPLO 
Consideremos las siguientes sucesiones convergentes  an y  bn, respectivamente: 
  
1n3  → 0  n1+n → 1 
 
 
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Entonces, las sucesiones: 
 an + bn =  
1n3 + n1+n → 1 [= 0+1] 
 an - bn =  
1n3 - n1+n → -1 [= 0-1] 
 an . bn =  
1n3 . n1+n → 0 [= 0.1] 
 an / bn =  
1n3 / n1+n → 0 [= 0/1] 
 
2.7 SUCESIONES PARTICULARES 
Dos sucesiones particulares son la Sucesión aritmética y la Sucesión geométrica, ambas de singular interés en 
el ámbito del Cálculo Financiero. Veremos a continuación sus correspondientes definiciones y características. 
 
2.7.1 Sucesión aritmética 
i) Definición 
Una sucesión es aritmética cuando cada término – salvo el primero- se obtiene, sumándole al anterior, una 
constante real no nula, a la cual se denomina “diferencia”. O sea: 
an+1 = an + d n  N 
 d (diferencia)  R-0 
Una forma alternativa de definir una sucesión aritmética, que se apoya en la ya dada, es la siguiente: 
Una sucesión es aritmética cuando la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante real no 
nula, a la cual se denomina “diferencia”. O sea: 
an+1 - an = d n  N 
 d (diferencia)  R-0 
EJEMPLOS 
a) Determinar si la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16,…  es aritmética. En caso de serlo, ¿cuál es el valor de la 
diferencia? 
Solución 
Observemos que, si aplicamos la primera definición, se cumple que: 
 4= 1+3 
 7= 4+3 
 
 
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10= 7+3 
 13= 10+3 
16= 13+3 
 … 
Así, cada término -salvo el primero- se obtiene a partir del anterior sumándole 3; luego es una sucesión 
aritmética con diferencia d=3. 
También, es posible chequear que es una sucesión aritmética, utilizando la segunda definición; en este caso: 
 4 – 1 = 3 
 7 – 4 = 3 
10 - 7 = 3 
 13 - 10 = 3 
16 – 13 = 3 
… 
Lo cual indica que, efectivamente, es una sucesión aritmética con diferencia d=3. 
b) Obtener los 5 primeros términos de la sucesión aritmética cuyo primer término es a1= 
12 y la diferencia es d= 
2. 
a1= 
12 
a2= 
12 + 2 = 52 
a3= 
52 + 2 = 92 
a4= 
92 + 2 = 132 
a5= 
132 + 2 = 172 
… 
Luego, la sucesión aritmética es:  𝟏𝟐, 𝟓𝟐, 𝟗𝟐, 𝟏𝟑𝟐 , 𝟏𝟕𝟐 , …. 
ii) Término general “an” de una sucesión aritmética 
A partir de la definición de sucesión aritmética es posible determinar la forma del término general an de la 
misma, teniendo como datos el primer término y la diferencia. Veamos de qué manera. 
Sea la sucesión aritmética  an , cuyo primer término es a1 y la diferencia es d. Entonces, aplicando la primera 
definición de sucesión aritmética, se tiene que: 
 
 
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a1 
a2 = a1 + d= a1 + (2-1) d 
a3 = a2 + d= (a1 + d) + d= a1 + 2d= a1 + (3-1) d 
a4 = a3 + d= (a1 + 2d) + d= a1 + 3d= a1 + (4-1) d 
a5 = a4 + d= (a1 + 3d) + d= a1 + 4d= a1 + (5-1) d 
… 
an = a1 + (n-1) d término general de la sucesión aritmética 
Luego es posible expresar, en forma general, a la sucesión aritmética de la siguiente manera: 
 an = a1 + (n-1) d sucesión aritmética 
 
Nota: una forma simplificada de obtener la expresión para el término general an es la siguiente: 
a1 
a2 = a1 + d= a1 + (2-1) d 
a3 = a1 + 2d= a1 + (3-1) d 
a4 = a1 + 3d= a1 + (4-1) d 
a5 = a1 + 4d= a1 + (5-1) d 
… 
an = a1 + (n-1) d 
 
Nota: Las sucesiones aritméticas son divergentes pues 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝐚𝐧= 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞[𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏)𝐝] =  
EJEMPLOS 
Determinar el término general de cada una de las siguientes sucesiones aritméticas: 
a) 1, 4, 7, 10, 13, 16,… 
Como: 
a1=1 y d= 4-1 = 3 [No es necesario chequear las otras diferencias 
pues el enunciado ya indica que es una sucesión aritmética] 
es: 
an = a1 + (n-1) d = 1 + (n-1) 3 =1 + 3(n-1)  an = 1 + 3(n-1) 
Veamos si, efectivamente, aplicando esta fórmula obtenemos los términos de la sucesión dada: 
a2 = 1 + 3(2-1)= 1+3= 4 
a3 = 1 + 3(3-1)= 1+6=7 
a4 = 1 + 3(4-1)= 1+9=10 
 
 
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a5 = 1 + 3(5-1)= 1+12=13 
a6 = 1 + 3(6-1)= 1+15=16 
¡Correcto! 
 
b)  12, 52, 92, 132 , 172 , … 
En este caso: 
a1= 
12 y d= 52 − 12 = 2 [No es necesario chequear las otras diferencias 
pues el enunciado ya indica que es una sucesión aritmética] 
 
es: 
an = a1 + (n-1) d = 
12 + (n-1) 2 =12 + 2(n-1)  an = 𝟏𝟐 + 2(n-1) 
 
Veamos si, efectivamente, aplicando esta fórmula obtenemos los términos de la sucesión dada: 
a2 = 
12 + 2(2-1)= 12 +2= 52 
a3 = 
12 + 2(3-1)= 12 +4= 92 
a4 = 
12 + 2(4-1)= 12 +6=132 
a5 = 
12 + 2(5-1)= 12 +8=172 
 
¡Correcto! 
 
iii) Propiedad de una sucesión aritmética 
Sea la sucesión aritmética  a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an … . Entonces la suma de los términos simétricos es igual 
a una constante. O sea: 
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = … = constante real no nula 
(la suma del primer término más el último término explicitado es igual a la suma del segundo término más el 
penúltimo término, igual a la suma del tercer término más el antepenúltimo término, y así sucesivamente). 
Justificación 
* Sea la siguiente una sucesión aritmética: a1, a2, a3, a4, a5, a6, …, donde: 
 
 
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a2 = a1 + d 
a3 = a1 + 2d 
a4 = a1 + 3d 
a5 = a1 + 4d 
a6 = a1 + 5d 
En este caso, los términos simétricos consignados son: a1 y a6 , a2 y a5 , a3 y a4; sumándolos obtendremos: 
a1 + a6 = a1 + (a1 + 5d) = 2 a1 + 5d 
a2 + a5 = (a1 + d) + (a1 + 4d) = 2 a1 + 5d 
a3 + a4 = (a1 + 2d) + (a1 + 3d) = 2 a1 + 5d 
Así, todas las sumas realizadas dan como resultado el mismo valor constante “2 a1 + 5d”. 
* Realicemos el mismo proceso anterior, si la sucesión aritmética es: a1, a2, a3, a4, a5, …, donde: 
a2 = a1 + d 
a3 = a1 + 2d 
a4 = a1 + 3d 
a5 = a1 + 4d 
En este caso, los términos simétricos consignados son: a1 y a5 , a2 y a4 , a3 y a3; sumándolos obtendremos: 
a1 + a5 = a1 + (a1 + 4d) = 2 a1 + 4d 
a2 + a4 = (a1 + d) + (a1 + 3d) = 2 a1 + 4d 
a3 + a3 = (a1 + 2d) + (a1 + 2d) = 2 a1 + 4d 
Finalmente, todas las sumas realizadas dan como resultado el mismo valor constante “2 a1 + 4d”. 
Nota: la justificación dada es independiente del número de términos de la sucesión que se especifiquen y si 
dicho número es par o impar. 
EJEMPLO 
En la sucesión: 1, 4, 7, 10, 13, 16, …se cumple que: 1+16= 4+13= 7+10= 17 [constante] 
 
 
iv) Suma de los “n” primeros términos de una sucesión aritmética 
Supongamos que  an  es una sucesión aritmética y con Sn indiquemos la suma de los “n” primeros términos 
de la misma, o sea: 
 
 
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Sn= a1+ a2+ a3+… +an-2+ an-1+an (1) 
Como la suma es conmutativa, podemos escribirla anterior como: 
Sn= an+ an-1+ an-2 +…+ a3+a2+a1 (2) 
Sumando (1) y (2) miembro a miembro y aplicando la propiedad asociativa de la suma, obtendremos: 
Sn+ Sn = (a1+ an) + (a2+ an-1) + (a3+ an-2) +… +(an-2+a3) +(an-1+a2) +(an+a1) (3) 
 
 =2 Sn n términos 
Pero por la propiedad de simetría de los términos de una sucesión aritmética, se cumple que: 
(a1+ an)= (a2+ an-1)= (a3+ an-2) =… = +(an-2+a3) = (an-1+a2)= (an+a1) [constante] 
quedando así la expresión (3) como: 
2Sn= (a1+ an) n  Sn= 
(𝐚𝟏+ 𝐚𝐧).𝐧𝟐 
EJEMPLO 
¿Cuánto vale la suma de los 6 primeros términos de la sucesión aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, … 
Solución 
Una forma de resolverlo es sumando los seis primeros términos dados: 1+4+7+10+13+16 = 51 
Otra forma de hacerlo es aplicando la fórmula: S6= 
(1+ 16).62 = 51 
 
2.7.2 Sucesión geométrica 
i) Definición 
Una sucesión es geométrica cuando cada término – salvo el primero- se obtiene multiplicándole al anterior, 
una constante real no nula, a la cual se denomina “razón”. O sea: 
an+1 = r an n  N 
 r (razón)  R-0 
 
Una forma alternativa de definir una sucesión geométrica, que se apoya en la ya dada, es la siguiente: 
 
 
 
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Una sucesión es geométrica si la razón (constante real no nula) entre cada término y el anterior es un valor 
constante, al cual se denomina “razón”. O sea: 
 
𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏 = r n  N 
 r (razón)  R-0 
Nota: en este curso, no trabajaremos con sucesiones geométricas de razón 1 y -1. 
EJEMPLOS 
a) Determinar si la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, …  es geométrica. En caso de serlo, ¿cuál es el valor de la razón? 
Solución 
 
Utilizando la primera definición, observemos que: 
6 = 3.2 
18 = 3.6 
54= 3. 18 
162 = 3. 54 
… 
Con lo cual cada término es igual al anterior multiplicado por una constante que en este caso es 3 (razón); es 
entonces una sucesión geométrica con razón r=3. 
Aplicando la segunda definición, llegaremos a la misma conclusión: 62 = 3 186 = 3 5418 = 3 16254 = 3 
… 
Así, la razón entre un término y el anterior es constante; luego es una sucesión geométrica con razón r=3. 
b) Obtener los 5 primeros términos de la sucesión geométrica cuyo primer término es a1= 
12 y la razón es r= 2. 
 
 
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Solución 
a1= 
12 
a2= 
12 . 2 = 1 
a3= 1 . 2 = 2 
a4= 2 . 2 = 4 
a5= 4 2 = 8 
… 
Luego, la sucesión geométrica es:  12, 1, 2, 4,8, …. 
ii) Término general “an” de una sucesión geométrica 
A partir de la primera versión de la definición de sucesión geométrica es posible determinar la forma del término 
general an de la misma, teniendo como datos el primer término y la razón. Veamos de qué manera: 
Para una sucesión geométrica de primer término a1 y razón r es: 
a1 
a2 = a1 . r 
a3 = a2 . r = (a1 . r). r = a1 r2 
a4 = a3 . r = (a1 . r2). r = a1 r3 
a5 = a4 . r = (a1 . r3). r = a1 r4 
… 
 an = a1 . r 
n-1
 término general de la sucesión geométrica 
 
Luego es posible expresar, en forma general, a la sucesión geométrica de la siguiente manera: 
 an = a1 . r 
n-1
 sucesión geométrica 
EJEMPLOS 
a) Determinar el término general de cada una de las siguientes sucesiones geométricas: 
i) 5, 10, 20, 40, 80,… 
Solución 
Como: 
a1=5 y r= 
105 =2 [No es necesario chequear los otros cocientes 
pues el enunciado ya indica que es una sucesión geométrica] 
es: 
 
 
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an = a1 .r 
n-1
 = 5 . 2 
n-1  an = 5. 2 n-1 
Veamos si, efectivamente, aplicando esta fórmula obtenemos los términos de la sucesión dada: 
a2 = 5. 2 2-1 = 5. 2 = 10 
a3 = 5. 2 3-1 = 5. 4 = 20 
a4 = 5. 2 4-1 = 5. 8 = 40 
a5 = 5. 2 5-1 = 5. 16 = 80 
¡Correcto! 
 
ii)  12, 32, 92, 272 , 812 , … 
Solución 
En este caso: 
a1= 
12 y r= 3212 = 3 [No es necesario chequear los otros cocientes 
pues el enunciado ya indica que es una sucesión geométrica] 
es: 
an = a1 . r 
n-1
 = 
12 . 3 n-1  an = 𝟑𝒏−𝟏𝟐 
Veamos si, efectivamente, aplicando esta fórmula obtenemos los términos de la sucesión dada: 
a2 = 
32−12 = 32 
a3 = 
33−12 = 92 
a4 = 
34−12 = 272 
a5 = 
35−12 = 812 
¡Correcto! 
 
b) Determinar el 8° término de la sucesión geométrica  an =(−1)2𝑛−1 
Para aplicar la fórmula de término n-esimo: an = a1 . r 
n-1
 , se necesitan determinar previamente el 1° término y 
la razón. Por ello: 
 
 
 
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El 1° término es: a1= (−1)21−1= (- 1) 20 = (-1). 1 = -1 
El 2° término es: a2= (−1)22−1= (- 1) 2 = -2 
Como se sabe que es una progresión geométrica, la razón es: 
−2 −1 = 2= r 
Luego, el 8° término es: 
a8= (−1)28−1= (- 1) 27 = (-1). 128 = -128  a8 = -128 
 
Nota: Las sucesiones geométricas: 
 * Son convergentes, si la razón r es tal que -1< r < 1 (r0) 
 * Son divergentes, si r < -1 o r > 1 
iii) Suma de los “n” primeros términos de una sucesión geométrica 
Supongamos que  an  es una sucesión geométrica de primer término a1 y de razón r. Con Sn indiquemos la 
suma de los “n” primeros términos de la misma, o sea: 
Sn= a1+ a2+ a3+… + an-1+an 
Sn= a1+ a1.r + a1. r2+ a1. r3+… + a1. rn-2+ a1. rn-1 (1) 
Multiplicamos a (1) por la razón “r”, y obtenemos: 
r. Sn= a1.r + a1.r2 + a1. r3+ a1. r4+… + a1. rn-1+ a1. rn (2) 
Restando, miembro a miembro, (1) menos (2): 
Sn - r. Sn = (a1+ a1.r + a1. r2+ a1. r3+… + a1. rn-2+ a1. rn-1) – (a1.r + a1.r2 + a1. r3+ a1. r4+… + a1. rn-1+ a1. rn) 
Cancelando los términos semejantes, con distinto signo, la última igualdad queda: 
Sn - r. Sn = (a1- a1. r
n) 
Realizando operaciones algebraicas: 
Sn ( 1- r) = a1 (1- r
n) 
Sn = 
a1 1−r (1 − rn) 
O bien, sacando factor común (-1) en el numerador y en el denominador, se obtiene: 
Sn = 
𝐚1 𝐫−𝟏 (𝐫𝐧 − 𝟏) 
 
 
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EJEMPLOS 
a) ¿Cuánto vale la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 
1280, 2560,…? 
Solución 
Una forma de resolverlo es sumando: 5+10+20+40+80+160+320+640+ 1280+2560= 5115 
Otra forma de hacerlo es considerando que a1=5 y r=2 y aplicando la fórmula de Sn: 
S10 = 
5 2−1 (210 − 1)= 5 1 (1023)= 5115  S10 = 5115 (mismo resultado que el anterior) 
 
b) ¿Cuánto vale la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica de primer término a1 = 2 y r = -
2? 
Solución 
En este caso es a1= 2 la razón r = -2, entonces aplicando la fórmula de Sn: 
 
S10 = 
2 −2−1 [(−2)10 − 1]= − 2 3 (1023)= -682  S10 = -682 
 
 
 
 
3.1 DEFINICIÓN 
Sea la sucesión infinita de números reales an = a1, a2, a3, a4, a5, …. La expresión de la forma: 
a1+ a2+ a3+ a4+ a5+…= ∑ 𝐚𝐤∞𝐤=𝟏 
se la denomina Serie Infinita de Números Reales. 
 
Nota: en adelante, a la serie infinita de números reales, se la denominará simplemente Serie. 
EJEMPLOS 
a) La sucesión 
12n  da origen a la serie: 
 
 
3. SERIE INFINITA DE NÚMEROS REALES 
 
 
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12 + 122 + 123 + 124 + 125 + ⋯ = ∑ 𝟏𝟐𝐤∞𝐤=𝟏 
b) La sucesión 
310n  da origen a la serie: ∑ 310k∞k=1 
cuyo desarrollo es: ∑ 310k∞k=1 = 310 + 3100 + 31000 + 310000 + 3100000+…= 0,3 + 0,33+ 0,333+ 0,3333+ 0,33333+ …= 
 = 0,33333… = 
13 
 
Nota: realicemos una comparación entre los ejemplos a) y b): 
* En el ejemplo a), se ha determinado la serie, sin indicar si la misma “da como resultado” un número. 
* En el ejemplo b), la serie “da como resultado” un número. 
Esto nos da motivo para preguntarnos: una serie, o sea, una suma infinita de números reales, “¿tiene siempre 
resultado?”, o sea, ¿existe un número real S tal que la serie ∑ 𝐚𝐤∞𝐤=𝟏 = S? 
Responderemos esta pregunta tras desarrollar el siguiente tema. 
3.2 SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES 
Sea la sucesión infinita de números reales  an . Formemos las siguientes sumas: 
 S1= a1 
 S2= a1 + a2 
 S3= a1 + a2 + a3 
 S4= a1 + a2 + a3+ a4 
 S5= a1 + a2 + a3+ a4 + a5 
 … 
 Sn= a1 + a2 + a3+ a4 + a5 +… + an 
 … 
La nueva sucesión que se genera de término general Sn, o sea Sn, recibe el nombre de Sucesión de Sumas 
Parciales. 
 
 
 
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EJEMPLO 
La sucesión an= 12n  da origen a las sumas parciales: 
 S1= 
12 
 S2= 
12 + 122 = 34 = 4−14 = 1- 14 = 1- 122 
 S3= 
12 + 122 + 123 = 78 = 8−18 = 1 - 18 = 1 - 123 
 S4= 
12 + 122 + 123 + 124 = 1516 = 16−116 = 1 - 116 = 1 - 124 
 S5= 
12 + 122 + 123 + 124 + 125 = 3132 = 32−132 = 1 - 132 = 1 - 125 
 … 
 Sn= 
12 + 122 + 123 + 124 + 125 + ⋯ + 12𝑛 = 1 - 12n 
 … 
Siendo la sucesión de sumas parciales de la forma Sn=1 − 12n . 
 
3.3 CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE UNA SERIE 
Retomemos la pregunta que planteamos previamente. 
Una serie ∑ 𝐚𝐤∞𝐤=𝟏 , “¿tiene siempre resultado?”, o sea, ¿existe un número real S tal que la serie ∑ 𝐚𝐤∞𝐤=𝟏 = S? 
Para responder a esta pregunta, es necesario hablar de “convergencia y divergencia de una serie”. Al respecto 
decimos lo siguiente. 
Sea la sucesión infinita de números reales an y, asociada a ella, la sucesión de sumas parciales Sn . 
* Si la sucesión de sumas parciales Sn es convergente a un número S, o sea 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝐒𝐧= S, entonces la serie 
infinita de números reales ∑ 𝐚𝐤∞𝐤=𝟏 es convergente a S y se escribe ∑ 𝐚𝐤∞𝐤=𝟏 = S. El número S recibe el nombre 
de suma de la serie. 
* Si la sucesión de sumas parciales Sn es divergente, entonces la serie infinita de números reales ∑ 𝐚𝐤∞𝐤=𝟏 es 
divergente. 
 
 
 
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EJEMPLO 
 Consideremos, otra vez, la sucesión an= 12n  y la sucesión de sumas parciales asociada Sn=1 − 12n . La serie ∑ 12k k=1 , ¿es convergente o divergente? 
Solución 
Para estudiar la convergencia o divergencia de la serie, debemos estudiar la convergencia o divergencia de la 
sucesión de sumas parciales, lo cual lo hacemos a través del siguiente cálculo: lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = lim𝑛→∞(1 − 12𝑛) = lim𝑛→∞ 1 − lim𝑛→∞ 12𝑛 = 1 – 0 = 1 
 La sucesión de sumas parciales Sn = 1 − 12𝑛 converge a 1 
 La serie ∑ 12k k=1 también converge a 1 (suma de la serie) y se escribe: ∑ 𝟏𝟐𝐤 𝐤=𝟏 = 𝟏 
 
3.4 CONDICIÓN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE 
Según lo visto en el punto anterior, para estudiar la convergencia o divergencia de una serie, es necesario 
determinar una expresión que defina al término general Sn de la sucesión de sumas parciales  Sn. Esta tarea 
no es sencilla. Por tal razón, se deben proponer, otras herramientas que permitan determinar si una serie es, o 
no es, convergente. La siguiente es una de ellas. 
Teorema 
Sea la sucesión infinita de números reales an y la serie infinita de números reales ∑ 𝐚𝐤=𝟏 K. Si la serie ∑ 𝐚𝐤=𝟏 K 
es convergente, entonces 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝐚𝐧 = 0. 
 
El contra-recíproco de este Teorema permite determinar, de manera precisa, la divergencia de una serie. 
Sea la sucesión infinita de números reales an y la serie infinita de números reales ∑ 𝐚𝐤=𝟏 K. Si 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝐚n  0 o 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞ 𝐚n no existe, entonces la serie ∑ 𝐚𝐤=𝟏 K es divergente. 
 
EJEMPLOS 
a) Demostrar que la serie ∑ kk=1 es divergente. 
Solución 
La sucesión que corresponde a esta serie es n. Calculando el límite del término general, se obtiene: 
 
 
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 limn→∞ n =  (no existe el límite)  ∑ 𝐤𝐤=𝟏 es divergente 
b) Demostrar que la serie ∑ k3 k3+5k=1 es divergente. 
Solución 
La sucesión que corresponde a esta serie es  
n3 n3+5. Calculando el límite del término general, se obtiene: 
limn→∞ n3 n3+5 = limn→∞ n3 n3(1+ 5𝑛3) = limn→∞ 11+ 5𝑛3 = 1  0  ∑ 𝐤𝟑 𝐤𝟑+𝟓𝐤=𝟏 es divergente 
 
3.5 PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES 
1) Si ∑ 𝐚𝐤𝐤=𝟏 es una serie convergente de suma igual a A [o sea ∑ 𝐚𝐤𝐤=𝟏 = A] y “c” es una constante real no 
nula, entonces la serie ∑ 𝐜 𝐚𝐤𝐤=𝟏 es también convergente de suma c A [o sea ∑ 𝐜 𝐚𝐤𝐤=𝟏 = cA ]. 
2) Si ∑ 𝐚𝐤𝐤=𝟏 es una serie convergente de suma igual a A [ o sea ∑ 𝐚𝐤𝐤=𝟏 = A] y ∑ 𝐛𝐤𝐤=𝟏 es una serie 
convergente de suma igual a B [ o sea ∑ 𝐛𝐤𝐤=𝟏 = B], entonces las series ∑ [ 𝐚𝐤 − + 𝐛𝐤] 𝐤=𝟏 es también 
convergente de suma 𝐀 − + 𝐁 [ o sea ∑ [ 𝐚𝐤 − + 𝐛𝐤] 𝐤=𝟏 = 𝐀 − + 𝐁 ]. 
3) Si ∑ 𝐚𝐤𝐤=𝟏 es una serie divergente y “c” es una constante real no nula, entonces la serie ∑ 𝐜 𝐚𝐤𝐤=𝟏 es 
también divergente. 
4) Si ∑ 𝐚𝐤𝐤=𝟏 es una serie divergente y ∑ 𝐛𝐤𝐤=𝟏 es una serie convergente de suma igual a B [ o sea ∑ 𝐛𝐤𝐤=𝟏 
= B] (o viceversa), entonces las series ∑ [ 𝐚𝐤 − + 𝐛𝐤] 𝐤=𝟏 es divergente. 
 
 
3.6 SERIES PARTICULARES 
3.6.1 Serie aritmética 
i) Definición 
Sea la sucesión aritmética de primer término “a1” y diferencia “d” conocidos, definida por: 
 an = a1+ (n-1) d 
La serie infinita de la forma: ∑ [ 𝐚𝐤=𝟏 1 + (k-1) d] = a1+ (a1+d) + (a1+ 2d) + (a1 + 3d) + … 
es una Serie aritmética. 
 
 
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EJEMPLOS 
a) Desarrollar la siguiente serie aritmética hasta su quinto término: ∑ [ 1𝑘=1 + (k-1) (-2)]. 
Solución 
Entonces: ∑ [ 1k=1 + (k-1) (-2)] = 1 -1- 3- 5- 7 + … 
 
b) Determinar la serie aritmética generada por la siguiente sucesión aritmética -5, -3, -1, 1, 3, … . 
Solución 
La sucesión dada es una sucesión aritmética ya que la diferencia entre dos términos consecutivos es una 
constante, o sea: 
-3- (-5)= -1- (-3) = 1- (-1)= 3-1= 2 (valor constante) 
Entonces, la sucesión aritmética dada tiene: 
 1° término: a1= -5 
 Diferencia: d = 2 
Luego, según lo visto en el tema de sucesiones aritméticas, el término general an es: 
 an = a1 + (n-1) d 
an = -5 + (n-1) 2 
siendo la serie aritmética correspondiente la siguiente: ∑ [ −𝟓𝐤=𝟏 + (k-1) (2)] 
 
ii) ¿Convergencia de la serie aritmética? 
Las series aritméticas infinitas ∑ [ 𝐚𝐤=𝟏 1 + (k-1) d] son divergentes. 
Esta afirmación puede ser justificada utilizando dos argumentos. 
El primero, haciendo mención a la definición de “convergencia y divergencia de una serie”. Recordando que, 
para una sucesión aritmética, la suma de los “n” primeros términos está dada por: 
Sn= 
(a1+ an).𝑛2 
y considerando el límite de la misma para n tendiendo a infinito, obtenemos que: lim𝑛→∞ 𝑆n = limn→∞ (a1+ an).n2 =  (no existe el límite)   Sn  es divergente 
 
 
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 ∑ [ 𝐚𝐤=𝟏 1 + (k-1)d] es divergente 
El segundo, apelamos al “contra-reciproco de teorema que da la condición necesaria para la convergencia de 
una serie”. En este caso, y tomando en consideración que el término general an de una sucesión aritmética tiene 
la siguiente forma: 
an = a1 + (n-1) d 
estudiamos el límite este término para “n” tendiendo a infinito, determinando que: limn→∞ an = limn→∞[a1 + (n-1) d]=  (no existe dicho límite) ∑ [ 𝐚𝐤=𝟏 1 + (k-1) d] es divergente 
Finalmente, podemos decir que la serie aritmética es divergente y, por lo tanto, no existe la suma de la misma. 
No obstante si, en una serie aritmética, delimitamos un número finito de los “n” primeros términos, sí es 
posible determinar el valor de la suma de los mismos. Dicha suma viene dada por la expresión: 
Sn= 
(a1+ an).n2 
EJEMPLO 
Dada la serie aritmética infinita: ∑ [ 1k=1 + (k-1) (-2)] = 1 -1- 3- 5- 7 + … 
 
a) Determinar la suma de los primeros 5 términos. 
b) Determinar la suma de los primeros 100 términos. 
 
Solución a) 
Es posible dar curso a la consigna sumando, simplemente, los cinco términos indicados, o sea: 
S5=1 -1- 3- 5- 7 = -15 
A este mismo resultado se llega si se aplica la fórmula: 
Sn= 
(a1+ an).n2 
con: a1= 1, a5= -7 y n=5: 
S5= 
[1+(−7)].52 = (−6).52 = -15 
 
 
 
 
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Solución b) 
En este caso, no están explicitados los 100 primeros términos de la serie, por lo tanto, no es posible sumarlos 
como lo hicimos en el caso a). 
Se debe aplicar: 
Sn= 
(a1+ an).n2 
con: a1= 1, a100= -197 y n=100: 
 
S100= 
[1+(−197)].1002 = (−196).1002 = -9800 
 
3.6.2 Serie geométrica 
i) Definición 
 
Sea la sucesión geométrica de primer término “a1” y razón “r” conocidos, definida por: 
 an = a1 rn-1 
La serie infinita de la forma: ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1 = a1+ a1 r+ a1 r2+ a1 r3+ … 
es una Serie geométrica. 
 
EJEMPLOS 
a) Desarrollar la serie geométrica ∑ 3k=1 (12)k-1 hasta el 5° término; indicar cuál es el 1° término de la misma 
(a1) y cuál es su razón (r). 
Solución ∑ 3k=1 (12)k-1 = 3 + 𝟑𝟐 + 𝟑𝟒 + 𝟑𝟖 + 𝟑𝟏𝟔 + … 
 
El 1° término es a 1= 3 y la razón es r = 323 = 3432 = 3834 = 31638 = 𝟏𝟐 
 
b) La serie: 1- 2 + 4 – 8 + 16 -32 …, ¿es una serie geométrica? De serlo, escribirla en forma abreviada (usando el 
símbolo sumatoria). 
 
 
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Solución 
Observemos que: −21 = 4−2 = −84 = 16−8 = −3216 = −2 
 
Lo que indica que la razón entre dos términos consecutivos es constante e igual a -2. Luego, la serie dada es una 
serie geométrica con 1° término a1 = 1 y razón r= -2, la que puede expresarse como: 
1- 2 + 4 – 8 + 16 -32 … = ∑ k=1 1 (−2)k-1 = ∑ 𝐤=𝟏 (−𝟐)k-1 
 
ii) ¿Convergencia de la serie geométrica? 
Teorema 
Sea la serie geométrica ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1. Si: 
a) Sir < 1 (r0) la serie geométrica ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1 es convergente y su suma es igual a 𝐚𝟏𝟏−𝐫 , o sea ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1 = 𝐚𝟏𝟏−𝐫 . 
b) Si r > 1  la serie geométrica ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1 es divergente. 
 
Demostración 
Para realizar la demostración, utilizaremos la definición de “convergencia y divergencia de una serie”. 
Al desarrollar el tema de sucesiones geométricas, obtuvimos que la suma de los “n” primeros términos de la 
misma está dada por: 
Sn = 
a1 r−1 (rn − 1) 
* Si r > 1 y considerando el límite de la suma de los “n” primeros términos de la sucesión Sn , se obtiene: 
limn→∞ Sn= limn→∞ [ 𝐚𝟏 𝐫−𝟏 (rn − 1)] = 𝐚𝟏 𝐫−𝟏 limn→∞(rn − 1) =  
 si [n → y r > 1]  rn →  limn→∞(rn − 1) =  
 factor constante 
Luego si: 
 
 
 
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limn→∞ Sn=    Sn  es divergente  ∑ 𝐚𝟏𝒌=𝟏 rk-1 es divergente para r > 1 
* Si r < 1, considerando nuevamente el límite de la suma de los “n” primeros términos de la sucesión se tiene: 
limn→∞ Sn= limn→∞ [ 𝐚𝟏 𝐫−𝟏 (rn − 1)] = 𝐚𝟏 𝐫−𝟏 limn→∞(rn − 1) = 𝐚𝟏 𝐫−𝟏 (−1) = 𝐚𝟏 𝟏−𝐫 
 si [n → y r < 1]  rn → 0  limn→∞(rn − 1) = − 1 
 factor constante 
Luego si: 
limn→∞ Sn= 𝐚𝟏 𝟏−𝐫   Sn  es convergente  ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1 es convergente y su suma es igual a 𝐚𝟏 𝟏−𝐫 , 
o sea, ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1 = 𝐚𝟏 𝟏−𝐫 para r < 1 
Así, queda demostrado el Teorema. 
EJEMPLOS 
Retomemos las series geométricas dadas en el ejemplo anterior y estudiemos su situación de convergencia. 
a) La serie geométrica: ∑ 3k=1 (12)k-1 = 3 + 32 + 34 + 38 + 316 + … 
tiene: a1 = 3 y r = 
12 ; luego r= 12 < 1 (o bien: -1 < r = 12 < 1); entonces la serie geométrica dada es convergente 
y su suma es 
𝐚𝟏 𝟏−𝒓 = 𝟑𝟏−𝟏𝟐 = 6. 
Finalmente: 
 ∑ 𝟑𝐤=𝟏 (𝟏𝟐)k-1 = 3 + 𝟑𝟐 + 𝟑𝟒 + 𝟑𝟖 + 𝟑𝟏𝟔 + …= 6 
b) La serie geométrica: ∑ 𝐤=𝟏 (−𝟐)k-1 = 1- 2 + 4 – 8 + 16 -32 … 
tiene: a1 = 1 y r = -2 ; luego r= -2= 2 > 1 ; entonces la serie geométrica dada es divergente. 
 
Finalmente: ∑ 𝒌=𝟏 (−𝟐)k-1 = 1- 2 + 4 – 8 + 16 -32 … es divergente 
 
 
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Nota 
Hemos definido a la serie geométrica de la forma: ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1. 
Sin embargo, existen otras posibles versiones de la misma; por ejemplo: ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝐨 rk ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟐 rk-2 ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟑 rk-3 ... ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟖 rk-8 …. 
La diferencia entre ellas es el valor inicial de “k”; luego esto repercute en el exponente de la razón. 
Todas estas formas son válidas y se trabajan algebraicamente de la misma manera que lo estudiado para: ∑ 𝐚𝟏𝐤=𝟏 rk-1. 
 
 
 
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4. APLICACIONES 
 
1. Considere la siguiente sucesión: 
250, 248, 246, 244, …, 202 
La diferencia entre dos términos consecutivos es: 
248- 250= 246- 248= 244- 246= -2 (constante) 
Luego, la sucesión dada es una sucesión aritmética con primer elemento a1 = 250 y diferencia d=-2, cuyo 
término general es: 
an = 250 + (n-1) (-2) 
quedando la sucesión aritmética que definida por: 
 250 + (n-1) (-2)  
Esta sucesión aritmética, tratada desde el punto de vista matemático, es el resultado de considerar una 
situación planteada en el ámbito del Cálculo Financiero, relacionada con el tema de “Interés Simple”. El 
siguiente es su enunciado. 
El Sr. Artero, agricultor de la zona tabacalera jujeña, pide a un banco del medio la cantidad de 5000 dólares 
conociendo que, el interés mensual simple aplicable a su devolución, es del 1%. Él está de acuerdo en pagar al 
banco 200 dólares al capital cada mes, más el interés correspondiente al saldo de lo adeudado. 
Así, el primer mes (n=1), pagará: 
200 + 1% de 5000 = 200 + 50 = 250 dólares 
El segundo mes (n=2), pagará: 
200 + 1% de (5000-200)= 200 + 1% de 4800= 200+ 48= 248 dólares 
El tercer mes (n=3), pagará: 
200 + 1% de (4800-200)= 200 + 1% de 4600= 200+ 46= 246 dólares 
El cuarto mes (n=4), pagará: 
200 + 1% de (4600-200)= 200 + 1% de 4400= 200+ 44= 244 dólares 
y así sucesivamente hasta el mes 25 [= 5000/200] (n=25), donde pagará: 
200 + 1 % de (400-200)= 200 + 1 % de 200 = 200 + 2= 202 dólares 
 
 
 
4. APLICACIONES 
 
 
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Si observamos el monto de los pagos realizados, son los términos de la sucesión aritmética dada. 
Corroboremos esto, aplicando la fórmula del término general de una sucesión aritmética: 
an = a1 + (n-1) d con: a1= 250 y d= -2 
an = 250 + (n-1) (-2) 
para n= 1  a1 = 250 + (1-1) (-2) =250 
para n= 2  a2 = 250 + (2-1) (-2) = 250 -2= 248 
para n= 3  a3 = 250 + (3-1) (-2) = 250 -4= 246 
para n= 4  a4 = 250 + (4-1) (-2) = 250 -6= 244 
… 
para n= 25  a25 = 250 + (25-1) (-2) = 250 -48= 202 
Si nos preguntamos, ¿cuánto pagó en total el Sr. Artero por el préstamo solicitado?, la respuesta llevaría a 
sumar todas las cuotas que abonó: 
250+ 248 + 246+ 244+ … + 202 
o bien aplicar la fórmula que da la suma de los “n” términos de una sucesión aritmética: 
Sn= 
(𝐚𝟏+ 𝐚𝐧).𝐧𝟐 con a1= 250; a25= 202 y n=25 
S25= 
(𝟐𝟓𝟎+ 𝟐𝟎𝟐).𝟐𝟓𝟐 = 5650 dólares 
O sea que pagó el capital que le fue prestado de 5000 dólares, más 650 dólares de intereses. 
2. Considere la siguiente sucesión: 
1100; 1210; 1331; 1464,1; 1610,51… 
La razón entre dos términos consecutivos es: 12101100 = 13311210 = 1464,1 1331 = 1610,511464,1 = 1,1 (constante) 
Luego, la sucesión dada es una sucesión geométrica con primer elemento a1= 1000 y razón r= 1,1 cuyo término 
general es: 
an = 1100 (1,1)n-1 
quedando la sucesión geométrica que definida por: 
 
 
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Matemática II 
 
 1100 (1,1)n-1  
Esta sucesión geométrica, tratada desde el punto de vista matemático, es otra de las situaciones de interés 
en el ámbito del Cálculo Financiero, específicamente, relacionada con el tema de “Interés Compuesto”. El 
siguiente es su enunciado. 
Resultado del ahorro familiar, el jefe de familia realiza un plazo fijo en un banco local por la suma de 1000 
dólares. El banco le ofrece pagar una tasa de interés del 10% capitalizable anualmente. 
El valor de esta inversión al cabo de un año (n=1) es de: 
1000 + 10% de 1000 = 1000 + 100 = 1100 dólares 
Al cabo del segundo año (n=2), el valor de la inversión es: 
1100 + 10% de 1100 = 1100 + 110 = 1210 dólares 
Al cabo del tercer año (n=3), el valor de la inversión es: 
1210 + 10% de 1210 = 1210 + 121 = 1331 dólares 
Al cabo del cuarto año (n=4), el valor de la inversión es: 
1331 + 10% de 1331 = 1331 + 133,1 = 1464,1 dólares 
Al cabo del quinto año (n=5) , el valor de la inversión es: 
1464,1 + 10% de 1464,1 = 1464,1 + 146,41 = 1610,51 dólares 
Los valores obtenidos al final al cabo de cada año, son los términos de la sucesión geométrica dada. 
Corroboremos esto, aplicando la fórmula del término general de una sucesión geométrica: 
an = a1 r n-1 con: a1= 1100 y r= 1,1 
an = 1100 (1,1)n-1 
 para n= 1 (al cabo del primer año)  a1 = 1100 (1,1)1-1= 1100 dólares 
 para n= 2 (al cabo del segundo año) a2 = 1100 (1,1)2-1= 1210 dólares 
 para n= 3 (al cabo del tercer año)  a3 = 1100 (1,1)3-1= 1331 dólares 
 para n= 4 (al cabo del cuarto año)  a4 = 1100 (1,1)4-1= 1464,1 dólares 
 para n= 5 (al cabo del quinto año)  a5 = 1100 (1,1)5-1= 1610,51 dólares 
Si nos preguntamos, ¿cuánto dinero ganó al cabo de 5? La respuesta es de 610,51 dólares.