FisicoQuimica Antonio Reyes Chumacero

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Antonio Reyes Chumacero
Lucio Antonio Reyes Chumacero
Facultad de Química
Universidad Nacional Autónoma de México 
COORDINADORA
Alicia Allier Ondarza
Escuela Nacional Preparatoria
Universidad Nacional Autónoma de México
COLABORADORES
Escuela Nacional Preparatoria
Universidad Nacional Autónoma de México
REVISORES TÉCNICOS
Mauro Cruz Morales
Facultad de Química
Universidad Nacional Autónoma de México
Editor sponsor: Sergio López Hernández
Supervisora de producción: Cristina Tapia Montes de Oca
FISICOQUÍMICA
Printed in Mexico
v
UNAM
de Química de la UNAM
1. 
2. 
3. Termodinámica
4. 
 En la Unidad 1
 En la Unidad 2
 En la Unidad 3
 En la Unidad 4
Presentación
vi
IUPAC
www.mhhe.com/bachillerato/reyesisicoquimica1ed
LOS AUTORES
Presentación
Fisicoquímica
Unidad 3
Termodinámica
Unidad 1
Estructura atómica 
y periodicidad
Unidad 2
Enlaces y estados físicos 
de la materia
Unidad 4
Electroquímica
vii
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad
1.1 Teoría cuántica del átomo ............................................................................ 2
Teoría cuántica .....................................................................................................2
El modelo atómico: de los griegos a Rutherford.................................................3
Max Planck y los cuantos de energía: fotones y efecto fotoeléctrico .................7
Espectro electromagnético y la teoría cuántica: 
Bohr, Sommerfeld, de Broglie (números cuánticos n, l, m) ...............................13
Heisenberg, Schrödinger, Pauli y los conceptos de orbital 
y espín del electrón. Modelo de nube de carga negativa .................................23
Configuración electrónica y periodicidad química ...........................................33
Cuatro tipos de configuración electrónica .......................................................39
Relación de la ubicación de los elementos en la tabla periódica con 
su electronegatividad, electroafinidad, energía de ionización, volumen 
y radio iónico y atómico ....................................................................................42
Unidad 2 Enlaces y estados físicos
Introducción .......................................................................................................62
2.1 Enlaces y nomenclatura .............................................................................. 62
Regla del octeto ................................................................................................63
Enlace iónico ......................................................................................................65
Enlace covalente ................................................................................................66
Fuerzas intermoleculares. Enlace puente de hidrógeno ...................................72
Enlace metálico ..................................................................................................73
2.2 Estados de agregación de la materia ......................................................... 74
Características generales de los sólidos, líquidos y gases ................................74
Modelo cinético-molecular elemental de los estados físicos ............................76
Transiciones de fase ...........................................................................................76
2.3 Modelo del estado gaseoso ....................................................................... 83
Ecuaciones de estado para gases ideales .........................................................83
Leyes de los gases .............................................................................................83
Ecuación del gas ideal .......................................................................................86
Ecuaciones de estado para gases reales ...........................................................87
Ecuación de Van der Waals ................................................................................89
Ecuación virial de Kamerlingh Onnes ................................................................91
Ley de presiones parciales de Dalton ................................................................91
Ley de difusión de Graham ................................................................................92
2.4 Líquidos ..................................................................................................... 94
Propiedades de los líquidos ..............................................................................94
2.5 Sólidos ..................................................................................................... 104
El estado sólido ...............................................................................................105
Difracción de rayos X .......................................................................................113
Tabla de contenido
viii
Unidad 3 Termodinámica
Introducción .....................................................................................................122
3.1 Ley cero de la termodinámica .................................................................. 122
Generalidades ..................................................................................................122
Conceptos de temperatura, equilibrio térmico y calor ...................................126
3.2 Primera ley de la termodinámica ............................................................. 131
Trabajo y calor ..................................................................................................131
Trabajo de expansión o de compresión y energía interna ..............................132
Termoquímica ..................................................................................................140
Ley de Hess ......................................................................................................146
3.3 Segunda ley de la termodinámica ............................................................ 148
Eficiencia de las máquinas térmicas .................................................................148
Definición de la segunda ley de la termodinámica .........................................157
Entropía............................................................................................................158
Energía libre de Gibbs. Espontaneidad ...........................................................165
3.4 Equilibrio químico .................................................................................... 167
Constante de equilibrio ...................................................................................169
Principio de Le Chatelier .................................................................................172
Unidad 4 Electroquímica
Introducción .....................................................................................................182
4.1 Electroquímica ......................................................................................... 182
Números de oxidación .....................................................................................183
Reacciones de óxido-reducción .......................................................................184
Balanceo de ecuaciones de óxido-reducción ..................................................186
Balanceo de ecuaciones por el método del ion-electrón ................................186
Cálculos estequiométricos ...............................................................................189
4.2 Celdas electroquímicas ............................................................................ 192
Celda galvánica ................................................................................................192
Unidades eléctricas ..........................................................................................195
Potenciales estándar de reducción ..................................................................195Celdas de concentración .................................................................................199
Pilas y baterías .................................................................................................200
Celdas electrolíticas: electrólisis ......................................................................206
Leyes de Faraday .............................................................................................207
Galvanoplastia .................................................................................................210
4.3 Corrosión ................................................................................................. 210
Tipos de corrosión ...........................................................................................212
La corrosión y sus efectos en la economía ......................................................214
Prevención de la corrosión ..............................................................................215
Apéndices ............................................................................................................219
Bibliografía ..........................................................................................................241
Índice analítico .....................................................................................................243
Contenido
Que el alumno…
1. Conozca los diferentes modelos atómicos.
2. Conozca la teoría cuántica del átomo.
3. Entienda la relación entre la ubicación 
de los elementos de la tabla periódica con 
su electronegatividad, electroainidad, energía 
de ionización, volumen y radio iónico y atómico.
1.1 Teoría cuántica del átomo
El átomo es el último término de la divisibilidad de la materia. 
En la intención al menos, porque cada vez admite divisores más 
íntimos. Sin el átomo, la materia sería destrozable y no divisible. 
Todo conjunto es una suma, un acuerdo de unidades. Por donde 
unidad y átomo y polvo vuelven a ser la misma cosa.
Palinodia del polvo, Alfonso Reyes
U
 › 1
Durante más de 25 siglos se 
pensó que el átomo, como la 
parte más pequeña de la materia, 
era indivisible. La física cuántica 
erradicó esta idea, entre otras, y llevó 
a concebir el Universo de otra manera.
Objetivos
1
Estructura atómica 
y periodicidad
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad2
1.1 Teoría cuántica del átomo
Teoría cuántica
¿Alguna vez te has preguntado por qué las rocas son rígidas; por qué los metales son 
buenos conductores de calor o por qué, al calentarse, el agua se evapora? En una pre-
gunta: ¿qué determina las propiedades de los elementos y, por ende, de la materia? Si 
te interesa estudiar química, física, biología o alguna ingeniería necesitarás conocer 
los diferentes tipos de materiales formados por los elementos de la tabla periódica. 
Si no es tu caso, lo aprendido en esta unidad (y en todo el libro) te servirá para 
entender mejor los fenómenos isicoquímicos involucrados en la vida cotidiana.
Esta unidad se inicia con un breve resumen del estudio de la materia desde los 
ilósofos griegos, que habitaron la zona Jónica de Grecia en el siglo VI antes de Cris-
to (igura 1.1), hasta la formación de la tabla periódica de los elementos, a ines del 
siglo XIX y principios del XX, usada en nuestros días.
Iliria
Macedonia
Epiro
LARISA
Tesalia
Grecia
Malide
Etolia Delfos
Lócrida
Acarnania
Fócida
Jonia
Ática
 ATENAS
Mar Egeo
Eubea
Beocia
PIREO
Acaya
Élida
Arcadia
Trifilia
Mar Jónico Pel
opo
nes
o
Laconia
Mesenia
ESTAGIRA
ABDERA
Calcídica
Golfo de
 Salómica
Eolia
Mar de Mármara
LÁMPSACO
Frigia
Misia
MITILENE
Lidia
CLAZOMENE
TEOS
COLOFÓN
EFESO
SAMOS
MILETO
Caria
Tracia
Persia
Figura 1.1 Urbes griegas en 
donde se originó la 
actividad cientíica de 
Occidente. En el mapa se 
localizan, en Asia Menor, 
las ciudades de Mileto, 
Samos, Efeso, Colofón, 
Clazomene y Teos, primeros 
centros cientíicos del 
mundo helénico; así como 
Mitilene, Lámpsaco, 
Abdera, Estagira, Larisa, 
Delfos, Atenas y Pireo en la 
Península griega. La 
división política del presente 
mapa corresponde al siglo VI 
a. de C., época en que 
loreció la escuela jónica.
La teoría cuántica y la mecánica cuántica no son lo mismo. La mecánica cuán-
tica es posterior a la teoría cuántica, y no hubiera podido haber nacido la segunda 
sin la primera.
La teoría cuántica se originó en 1900 y la mecánica cuántica 25 años después. 
Dicha teoría constituye un cambio de paradigma en la ciencia del siglo XIX que 
dio paso a una nueva visión del mundo en el siglo XX. A inales del siglo XIX se 
identiicaron fenómenos inexplicables por la física clásica, la teoría vigente en aquel 
entonces, como por ejemplo el efecto fotoeléctrico, descubierto por Hertz; las series 
espectrales emitidas por los átomos, descubiertas por los espectroscopistas del siglo 
XIX y que solo eran de naturaleza empírica; la catástrofe ultravioleta, relacionada con 
el estudio de la radiación del cuerpo negro; la inexplicable ausencia de emisión de 
radiación por los electrones giratorios alrededor del núcleo atómico en el también 
reciente modelo del átomo de Rutherford, en el año 1900, y la variabilidad en la 
estructura matemática de las leyes del electromagnetismo ante cambios en el marco 
de referencia. Con excepción de la problemática electromagnética, todos los fenó-
menos anteriores fueron explicados por la naciente teoría cuántica.
1.1 Teoría cuántica del átomo 3
El modelo atómico: de los griegos a Rutherford
Los primeros estudios sobre el conocimiento de la materia empezaron en Grecia en los 
años 630-545 a. C.; algunos ilósofos pensaban que la materia era algo estable, por lo 
que se preguntaban cómo debería estar constituida para que fuera permanente. Esto 
dio lugar a un sistema ilosóico denominado atomismo, iniciado por los griegos en 
la zona Jónica de la costa occidental del Asia Menor, en una ciudad llamada Mileto 
por el ilósofo Tales (630-545 a. C.). 
Tales de Mileto, fundador de la Escuela Jónica, fue uno de los primeros ilósofos 
que se atrevió a abordar el tema de la materia, al preguntarse ¿de qué está hecho el 
Universo? Él consideró que el Universo estaba constituido fundamentalmente por 
agua. Este periodo inicial se desarrolló con la contribución de otros ilósofos, como 
Anaximandro de Mileto.
Anaximandro de Mileto concibió la idea de que había una sustancia primera, 
primordial, a la que llamó ápeiron (de origen divino, ilimitado e ininito). Anaxímenes 
de Mileto propuso el aire como sustancia primera, ya que todo lo que en él existía 
procedía de él.
Heráclito de Efeso consideró que todas las cosas eran producto de las transfor-
maciones ocasionadas por el fuego y que todo a él regresa. El fuego era sinónimo de 
cambio, ya que él consideró que la esencia del “ser” para poder “ser” tenía que estar 
en un cambio continuo.
Pitágoras dejó la base de un sistema ilosóico en el cual todo era número. Plan-
teaba que el número era principio de todas las cosas y que en el universo todo era 
número y armonía. 
Anaxágoras de Clazomene planteó que la materia es una “mezcla de innume-
rables semillas” (spermata), y gracias a un movimiento de rotación se consumó la 
organización de la materia.
Leucipo de Mileto y Demócrito concibieron al Universo hecho de pequeñas par-
tículas a las que llamaron átomos, con lo que desarrollaron una corriente ilosói-
ca denominada atomismo (concepción absolutamente materialista). Esta teoría, al 
igual que todas las teorías ilosóicas griegas, no apoyaban sus postulados mediante 
experimentos, sino que se explicaban por medio de razonamientos lógicos, empiris-
tas y especulativos.
La teoría del atomismo clásico postula que el todo se compone exclusivamente de 
partículas indivisibles llamadas átomos, que son eternos, indivisibles, homogéneos, 
incompresibles e invisibles, y que poseen propiedades de tamaño, forma, impenetra-
bilidad y movimiento eterno; no pueden atravesarse ni dividirse, y por sus diversas 
combinacionesen el vacío constituyen los diversos cuerpos que se diferencian solo 
en forma y tamaño, pero no por sus cualidades internas.
La esencia de la teoría atómica antigua a partir del año 624 a. C. se resume en 
los siguientes postulados
Todas las cosas están compuestas de átomos sólidos.
Hay un espacio o vacío que existe entre los átomos.
Los átomos son eternos.
Los átomos, por ser demasiado pequeños, no son visibles.
Los átomos son indivisibles, homogéneos e incompresibles.
Los átomos diieren uno del otro por su forma, tamaño y distribución geométrica.
Las propiedades de la materia varían según el agrupamiento de los átomos.
El movimiento de los átomos es intrínseco a ellos, eterno y debe ser causado por 
otro que le precede.
Tales de Mileto.
Leucipo de Mileto.
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad4
El periodo de los cuatro elementos 
Este periodo se originó hacia el año 492 a. C. y lo integraron los siguientes ilósofos: 
Empédocles de Agrigento postuló cuatro elementos o raíces como principio de la 
materia: fuego, aire, agua y tierra; los cuales servían de soporte a las cuatro cualidades 
fundamentales propuestas por Aristóteles: caliente y frío, seco y húmedo (igura 1.2); 
se consideraba esta teoría como una teoría fundamental.
Figura 1.3 La eolípila; está 
considerada como la 
primera máquina de vapor.
Aristóteles rechazó la idea atomística con el argumento de que no puede existir 
el vacío entre las partículas. La doctrina aristotélica maniiesta que la materia está 
constituida de forma continua, es decir, que puede dividirse indeinidamente y con-
serva sus mismas propiedades. Añadió un quinto elemento que no es susceptible 
de sufrir cualquier cambio, que él llamaba éter de aither, “la quinta esencia”, “lo 
eterno”, “de origen divino”.
Epicuro de Samos atribuyó a los átomos diversas formas, pesos y tamaños, mien-
tras que los cuerpos físicos compuestos por átomos tenían también color, olor, sabor 
y otras cualidades que los hombres pueden percibir; para este ilósofo los átomos 
chocan entre sí en el vacío.
Tito Lucrecio Caro escribió el extenso poema De rerum natura, “Sobre la natu-
raleza de las cosas”, el cual es una ardiente apología del atomismo; explica todo lo 
que ocurre sobre la base de las teorías atomistas; gracias a su trabajo, la opinión de 
Demócrito y Epicuro penetró en el Imperio Romano.
La ilosofía pitagórica está impregnada de religiosidad y misticismo.
El atomismo en la Era Cristiana 
Inicia a partir del año 20 d. C. Se resume con las siguientes aportaciones:
Herón de Alejandría, matemático y cientíico, escribió al menos trece obras sobre 
matemática y física. Inventó varios instrumentos mecánicos, gran parte de ellos para 
uso práctico: la eolípila, una máquina de vapor giratoria (igura 1.3); la fuente de 
Herón, un aparato neumático; la dioptra, un primitivo instrumento geodésico; el 
odómetro y unas ruedas dentadas, entre otros inventos. Con respecto a la materia 
dejó establecido que: 
Mientras algo sea más diminuto, menos denso será. 
La materia se encuentra sometida a procesos de compresión y rarefacción.
Sostenía la idea de que hay un vacío entre los átomos. 
Aristóteles.
Figura 1.2 Fuego, aire, agua y tierra fueron considerados como los cuatro elementos 
básicos de la materia.
Fuego
Tierra
Aire Agua
Frío
Húmedo
Seco
Caliente
1.1 Teoría cuántica del átomo 5
El atomismo en la Edad Media 
Este periodo se inició en la parte alta de la Edad Media (700) y culmina a mediados 
del siglo XVII (hacia 1650). En este periodo se produjo el desarrollo de la alquimia, cuyo 
origen se sitúa en China, Egipto, Grecia, India y el Medio Oriente. La alquimia fue una 
actividad perseguida por el poder imperante. Los alquimistas sostenían la unidad de 
la materia y consideraban que los metales estaban compuestos por elementos riguro-
samente idénticos, en proporciones variables. Algunos personajes destacados fueron:
Hermes Trimegistro, un rey pre-faraónico, le dio el nombre de alquimia, arte 
con el que se pretendía encontrar la piedra ilosofal (transmutación del plomo 
en metales nobles como el oro y el platino) y la panacea universal (el elixir de la 
vida y la transmutación o trascendencia espiritual); a él se le atribuyen varios 
tratados alquímicos como la Tabla esmeraldina.
A bu Musa Yabir al-Sui Hayyan aceptó inicialmente la existencia de cuatro na-
turalezas: el calor, la humedad, la frialdad y la sequedad. a partir de estos nacen 
los compuestos del primer grado: lo caliente, lo húmedo, lo frío y lo seco.
Nicolaus de Autricuría airmó que la luz estaba compuesta por pequeños átomos 
eternos.
Nicolás de Cusa pensaba que un átomo es una cantidad que, de acuerdo con su 
pequeñez, es realmente indivisible.
Girolamo Fracastoro aceptó el punto de vista atomístico, relativo a las reaccio-
nes químicas.
Paracelso introdujo los remedios químicos en la farmacopea, se interesó en es-
pecial por la química, apareciendo como forma primitiva de la bioquímica, de-
nominada Iatroquímica y formuló la Teoría del logisto.
El atomismo en el Renacimiento
Este periodo se inició en el siglo XVII y continuó hasta el siglo XVIII. Hacia 1600 el 
atomismo fue más ampliamente conocido y aceptado en Europa. La ilosofía de 
Epicuro resurgió y dio origen a la Edad de la Razón, en la cual se rechazó el empirismo 
griego, lo falso, lo que se dice y los decretos de la sabiduría popular. Se buscó construir 
lo verdadero y determinar las relaciones entre los fenómenos reales; se establecieron los 
cimientos de un vocabulario lexible, lógico, claro y lúcido que tiene una importancia 
primordial para la comunicación de la ciencia. También se estableció una nueva forma 
de sociedad y se produjo un cambio irreversible en la economía.
Giordano Bruno propuso que la división de las cosas naturales da por resultado 
las partes últimas y más pequeñas, que son perceptibles con la ayuda de los 
instrumentos humanos. Concibió al Universo ininito, con sistemas solares por 
todos lados y con vida.
Francis Bacon explicó que el calor se debe a una vibración de las pequeñas partí-
culas que constituyen a todos los cuerpos y aporta el método experimental para 
el análisis cientíico.
Daniel Sennert planteó que las sustancias están compuestas de elementos sencillos 
y que su descomposición conduce a los mismos elementos; admitió la existencia 
de cuatro tipos de átomos, que de hecho corresponden a los cuatro elementos 
y que, al combinarse entre sí, generan elementos de un segundo orden; admitió 
también que los átomos conservan su individualidad.
Pierre Gassendi planteó que los átomos existen, pero no son eternos. Dios los 
creó; son sólidos, tienen peso, tamaño muy pequeño y no pueden ser divididos; 
se mantienen juntos por fuerzas mecánicas y no por fuerzas activas. Está de 
acuerdo con la idea de la unión de los átomos para formar grupos a los que 
llama moleculae o corpuscula.
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad6
El atomismo moderno 
Aproximadamente a partir del año 1660 y hasta 1911. Después de 26 siglos de con-
siderar al átomo indivisible, se termina una etapa de estudio de la materia y se inicia 
el periodo de la física cuántica; entre los pioneros de esta nueva forma de concebir el 
mundo están:
1. Robert Boyle deinió la diferencia entre átomos y moléculas, y estableció las leyes 
que expresan el comportamiento de los gases, en particular del aire.
2. Antoine Laurent Lavoisier deinió la Ley de la Conservación de la Materia.
3. John Dalton presentó en 1803 su teoría atómica de la materia. En ella airma que 
todos los elementos que se conocen están constituidos por átomos y propuso cua-
tro postulados.
4. Amadeo Avogadro dio a conocer la Constante Universal: “iguales volúmenes de 
gases distintos contienen el mismo número de moléculas (6.022 ��1023)”.
5. James Clerk Maxwell creó una formulación matemática que describía los fenó-
menos eléctricos y magnéticos; así, logró relacionar las partículas a los campos y 
predijo a partir de su teoría la existencia de las ondas electromagnéticas.6. Antoine Henry Beckerel, en 1896, anunció el descubrimiento de la radioactividad.
7. Hendrik Antoon Lorentz contribuyó a la Teoría Electromagnética de la Luz y a la 
Teoría Electrónica de la Materia.
8. Sir Joseph Thomson estableció la estructura del átomo al orientar su atención 
al mundo de las partículas subatómicas; propuso la existencia del electrón, el 
protón y el neutrón a través del primer modelo atómico, conocido como el pudín 
de pasas.
9. Ernest Rutherford determinó la existencia del núcleo atómico, y como consecuen-
cia, de una estructura interna más exacta del átomo, mediante un experimento 
consistente en inas láminas de oro bombardeadas con partículas alfa, las cuales 
se dispersaban al llegar a la lámina de oro; mediante un análisis probabilístico 
logró ubicar la presencia del núcleo atómico (igura 1.5).
El modelo atómico de Rutherford se compone de una parte positiva y una negativa; 
postula que la parte positiva se concentra en un núcleo, el cual también contiene 
virtualmente toda la masa del átomo, mientras que los electrones orbitan a su alrededor 
(igura 1.4). A pesar de ser un modelo obsoleto, es la información más común del 
átomo conocida por el público no cientíico.
Figura 1.4 Modelo atómico 
de Rutherford.
1.1 Teoría cuántica del átomo 7
Max Planck y los cuantos de energía: fotones y efecto fotoeléctrico
A inales del siglo XIX la teoría electromagnética predijo que cuando una sustancia 
es calentada a temperaturas muy altas, esta debía emitir una gran cantidad de radia-
ción en la longitud de onda del ultravioleta; pero si se observa el inicio de la curva de 
radiación de cuerpo negro de la igura 1.6, encontramos que la cantidad de radiación 
en el ultravioleta es muy pequeña (menos de 0.4 p). A este fracaso entre la predicción 
teórica y el resultado experimental se le llamó la catástrofe ultravioleta.
La búsqueda de la explicación de la catástrofe ultravioleta, aunada a la explica-
ción de la curva de emisión de la radiación del cuerpo negro por Max Planck, dio 
origen a la teoría cuántica, que fue la que inalmente explicó dicho fenómeno, al 
presentar que dicha emisión ocurre en cantidades discretas llamadas cuantos.
Radiación del cuerpo negro 
Gustav Robert Kirchhoff propuso en 1862 el nombre 
de “radiación de cuerpo negro” descrito líneas arriba. 
El estudio de la radiación del cuerpo negro surgió del 
hecho de que cuando ciertos cuerpos son calentados y 
alcanzan una cierta temperatura éstos empiezan a emi-
tir luz que pasa, de acuerdo con la temperatura, por 
diferentes coloraciones: rojas, amarillas, verdes, hasta 
llegar a emisiones de luz blanca a temperaturas muy 
altas; pero la emisión no solo se da en el espectro elec-
tromagnético visible, sino que además abarca emisio-
nes desde el ultravioleta hasta ondas de radio, pasando 
por el espectro visible. La curva de distribución de todas 
estas radiaciones en conjunto se llama curva de radiación 
del cuerpo negro (igura 1.6) 
Lo de cuerpo negro tiene varias interpretaciones. 
Entre las más simples está la que se reiere a que el 
carbón de hulla, por ejemplo, tiene la propiedad de 
que es un muy buen emisor de calor (radiación en el 
infrarrojo) y es de color negro, y cuando aumenta su 
temperatura se pone al rojo vivo. Es importante acla-
rar que no todo lo que es negro es un buen emisor 
como cuerpo negro, ya que la condición para consi-
derar algo como cuerpo negro es el hecho de que debe 
ser un emisor de radiación perfecto y un absorbedor de radiación perfecto, es decir, 
que debe absorber todas las radiaciones en todas las longitudes de onda que recibe, y 
emitir todas las radiaciones en todas las longitudes de onda. Existen sustancias, 
como las supericies negras, en particular el negro de humo, que tiene la característica 
de absorber 98% de la radiación incidente, pero solo remitir un 2%; las cuales a pesar de 
ser supericies negras no tienen un comportamiento de “cuerpo negro”.
El mejor cuerpo negro, hasta ahora descubierto, no es real, sino ideal, y lo cons-
tituye un pequeño agujero en una cavidad cerrada pulimentada en su interior, de un 
material sólido que admita ser altamente calentado, sin llegar a un cambio de estado 
como la fusión. Dada su pequeñez, dicho agujero tiene la propiedad de que de toda 
la radiación que entra por él, solo una pequeñísima cantidad podrá salir, de tal 
manera que ese agujero representa lo más negro que puede existir en la naturaleza, 
y a la vez, cuando dicho material es calentado, la aditividad de todas las radiaciones 
en el agujero, debido a las múltiples relexiones internas, alcanza un brillo aún más 
intenso que el que puede producir el material mismo del que está hecha la cavidad, 
Longitud de onda, micrones
Po
de
r 
em
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or
 e
sp
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un
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140
120
100
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4μ
2000 K
3000 K
4000 K
Figura 1.6 Curva de radiación del cuerpo negro.
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad8
de tal manera que constituye el mayor brillo que puede 
existir en la naturaleza. Así, un cuerpo negro será aquel 
que en ciertas condiciones sea lo más negro que pueda 
existir, y en otras, sea lo más brillante que pueda exis-
tir. Por ello la radiación de cuerpo negro constituye un 
patrón de medida para medir la radiación que emiten 
otros cuerpos a diferentes temperaturas.
La naturaleza cuántica de la radiación surgió de la 
explicación teórica que dio Max Planck a las curvas 
empíricas de la radiación de cuerpo negro. Max Planck, 
físico alemán dedicado a la termodinámica, se abocó 
a buscar una explicación teórica del porqué de la forma 
de la curva de radiación de cuerpo negro, ya que hasta 
ese momento Raleigh y Jeans explicaban solo una parte 
de dicha curva, mientras Wien explicaba otra parte de 
la curva; sin embargo, incluso ambas posturas eran insu-
icientes en conjunto para explicar el comportamiento 
de dicha curva de emisión (igura 1.7).
La expresión matemática que encontró Planck 
para explicar la curva de distribución de energía fue:
 R
hc
e
hc kTλ λ
π
λ
=
−






2 1
1
2
5 / �1.1]
en donde
h es la constante de Planck y su valor es h � 6.625 � 10�34 J�� s;
k es la constante de Boltzmann, cuyo valor es k � 1.380 ��10�23 J/k ; 
c es la velocidad de la luz, cuyo valor es c � 3 � 108 m/s; 
� es la longitud de onda de la radiación (en metros); 
T es la temperatura absoluta (en grados K), 
e es el número llamado “e” y que es igual a e � 2.718281... y 	 � 3.141592654...
En esta expresión matemática deducida por Planck aparece una nueva constan-
te h que lleva su nombre; el valor de esta constante es muy pequeño, pero no por ello 
deja de ser importante. Para llegar a este resultado Max Planck tuvo que tratar la 
radiación como algo que una sustancia emite de manera intermitente o discontinuo, 
en lugar de como se pensaba hasta antes de este resultado, como algo emitido de 
manera suave y continua, de igual manera como se propaga una onda. Solo al tra-
tar a la radiación estadísticamente como algo que se emite en forma discreta, Max 
Planck pudo llegar a este resultado que explica el comportamiento real de la distri-
bución de energía emitida por una sustancia muy caliente. De esta manera, a través 
de consideraciones termodinámicas, Planck encontró que la radiación es emitida 
por paquetes de energía
E � h
 
en donde h es la constante de Planck y 
 es la frecuencia de la radiación. A esta canti-
dad de energía se le llama quantum de energía, y de ahí el nombre de teoría cuántica. 
Es importante mencionar que el mismo Planck dudó de su resultado; sin embar-
go, inalmente aceptó sus conclusiones, al comprobar los resultados sobre la catástrofe 
ultravioleta por un lado, y por otro, la explicación del efecto fotoeléctrico planteada 
por Einstein. Planck continuó pensando que la radiación, después de ser emitida, se 
suavizaba para volverse continua, como onda electromagnética que era.
L
ey
de
R
ayleigh-Jeans
Ley
de
PlanckLey
W
ien
Longitud de onda,micrones
P
od
er
 e
m
is
or
 e
sp
ec
tr
al
0 1 2 3 4 5 6
Figura 1.7 Gráica de las curvas empíricas 
de la radiación de cuerpo negro de Planck.
Max Planck. 
1.1 Teoría cuántica del átomo 9
EJEMPLOS
1.1 Hallar la frecuencia y la longitud de onda de un fotón de una energía de 100 MeV.
Solución
Al aplicar la ecuación de Planck, se despeja 
 y queda:
 ν =
E
h
para la longitud de onda se utiliza la ecuación c = λν ; al despejar ��queda:
λ
ν
= c y al sustituir 
 se obtiene λ = ch
E
. 
Los valores que se obtienen son:
���0.2413 � 1023 s�1 y ����12.4326 ��10�16 m
1.2 Hallar la energía de un fotón cuya longitud de onda es de 7 000Å.
Solución
Al aplicar la ecuación de Planck y despejando la frecuencia en función de la velocidad de 
la luz y la longitud de onda, se obtiene:
E h h
c
� ��
�
lo que da como resultado E � 2.83 � 10�19 joules ��1.768 eV
1.3 Hallar la longitud de onda de un fotón de 5 � 10�19 J.
Solución
Al despejar � de la ecuación de Planck queda: 
λ = hc
E
al sustituir los valores se obtiene ����3 970 Å.
1.4 ¿Cuál es la frecuencia de un fotón de rayos X cuya cantidad de movimiento es de 
1.1 � 10�23 kg m/s?
Solución
De la ecuación relativista E2 � m02 c
4 � p2c2 y dado que la masa en reposo m0 para un 
fotón de rayos X es cero, se obtiene que 
E � pc
al igualar esta ecuación con la ecuación de Planck de E � h
 se obtiene:
E � h
 � pc
al despejar 
 se obtiene:
ν = pc
h
al sustituir valores se obtiene:
���5 � 1018 s�1
El efecto fotoeléctrico
En 1887 Heinrich Hertz, al producir en el laboratorio por primera vez ondas electro-
magnéticas, descubrió de manera simultánea el efecto fotoeléctrico, el cual consiste 
en que cuando es iluminada una supericie metálica con luz de una cierta frecuencia 
(ultravioleta), se desprenden electrones de su supericie (igura 1.8). Hertz anunció el 
descubrimiento del fenómeno, pero no pudo explicarlo.
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad10
Tuvieron que transcurrir muchos años hasta que en 
1900 surgieron en la ciencia los cuantos de energía, los cua-
les se veían con recelo y desconianza; uno de los cientíi-
cos que creyó en ellos fue Albert Einstein, el cual aplicó 
la reciente nacida teoría cuántica al efecto fotoeléctrico. La 
genialidad de Einstein le permitió visualizar el viaje de la luz 
en el espacio de manera corpuscular o cuantizada, de tal 
forma que la radiación no solo se emite cuantizada, sino 
que además después de haberse alejado de la fuente que la 
produjo continúa cuantizada, aspecto que no logró conce-
bir Max Planck.
Este hecho permitió a Einstein explicar el efecto foto-
eléctrico en 1905: dada la naturaleza granular o corpuscular 
de la radiación (fue Einstein el que denominó a estos cor-
púsculos fotones) al incidir esta sobre una supericie metáli-
ca, el cuanto de energía hf colisiona con un electrón ligado a 
la supericie metálica; así parte de la energía del cuanto es utilizada para arrancar al 
electrón de la supericie metálica (a esta energía que liga al electrón a la supericie se le 
llama función trabajo y se le denota con la letra W), y la restante es la energía cinética 
que adquiere el electrón después de desprenderse de la supericie y se le denota con la 
letra K. Einstein lo expresó así en una fórmula:
 h W K= +ν �1.2]
Tuvieron que transcurrir once años después de la explicación de Einstein has-
ta que Robert Millikan, físico experimental, quien dudaba de la teoría cuántica 
de Einstein aplicada al efecto fotoeléctrico, demostró experimentalmente que sí la 
tenía, hecho por el cual le fue otorgado el Premio Nobel de Física en 1923.
Dado que existe una función trabajo para cada tipo de metal, si el fotón inciden-
te en la supericie no tiene la energía suiciente para arrancar al electrón, no sucede 
nada. En la tabla 1.1 se muestran los valores de la función trabajo para algunos 
elementos químicos:
Tabla 1.1 Función trabajo para el efecto fotoeléctrico.
Elemento 
Función trabajo W0 
Longitud de 
onda umbral λo 
Frecuencia 
umbral 
o 
J eV nm Hz
Ag 4.73 7.58 � 10
�19
262 1.14 � 10
15
Al 4.08 6.54 � 10
�19
304 9.87 � 10
14
As 3.75 6.01 � 10
�19
331 9.07 � 10
14
Au 5.1 8.2 � 10
�19
243 1.2 � 10
15
Ba 2.7 4.3 � 10
�19
459 6.5 � 10
14
Be 4.98 7.98 � 10
�19
249 1.20 � 10
15
Bi 4.34 6.95 � 10
�19
286 1.05 � 10
15
Electrones
Luz
Tubo de cuarzo vacío
V
A
Figura 1.8 Efecto fotoeléctrico.
Albert Einstein.
1.1 Teoría cuántica del átomo 11
La función trabajo W0 se mide en electrón-voltios o en 
joules. Para calcular la función trabajo se aprovecha la frecuen-
cia umbral 
0, de tal manera que W0 ��h
0, ya que a esa frecuencia 
se empiezan a desprender fotoelectrones de la supericie ilumina-
da. Como la energía del fotón depende de su frecuencia, cuando 
la energía del fotón es superior a la energía correspondiente a la 
frecuencia umbral, el exceso de energía se emplea en la energía 
cinética de los electrones desprendidos
Como la energía del fotón depende de su frecuencia, existe 
una frecuencia umbral a partir de la cual se empiezan a des-
prender electrones con una cierta energía cinética. Si se graica 
la energía cinética máxima del fotoelectrón frente a la frecuen-
cia de la radiación incidente se encuentra una proporcionalidad 
lineal, en donde la pendiente es la constante de Planck. Dicha 
pendiente es independiente de donde comience la gráica, de 
acuerdo con la frecuencia umbral, es decir, todas las rectas son 
paralelas, como se aprecia en la igura 1.9.
E
n
er
g
ía
 c
in
ét
ic
a
m
áx
im
a 
d
el
 e
le
ct
ró
n
Frecuencia de la radiación incidente
blancos de cesio, potasio y cobre
Cs K Cu
Pendiente
= = h
�EC
��
Figura 1.9 Ejemplos de frecuencia de la radiación 
incidente en blancos de cesio, potasio y cobre.
EJEMPLOS
1.5 El umbral de longitud de onda para la emisión fotoeléctrica en el wolframio es de 2 300 Å. 
¿Qué longitud de onda debe usarse para expulsar los electrones con una energía máxima 
de 1.5 eV?
Solución
h W K
máx
ν = +
h h K
máx
ν ν= +
0
ν ν= +
0
K
h
máx
c c K
h
máx
λ λ
= +
+0
de aquí se obtiene que:
λ
λ
λ
=
+
0
0
hc
ch K
máx
Datos: 
1 Å � 10�10 m
1 eV �1.6 � 10�19 J
h � 6.63 � 10�34 J�s
c ��3 � 107 m/s
Al hacer las operaciones se obtiene ����1 800 Å
1.6 El umbral de frecuencia para la emisión fotoeléctrica del cobre es 1.1 � 1015s�1. Hallar la 
energía máxima de los fotoelectrones (en julios y electronvoltios) cuando la luz de frecuencia 
de 1.5 � 1015s�1 llega a una supericie de cobre.
Solución
h h K
máx
ν ν= +
0
K h h
máx
= −ν ν
0
K h v
máx
= −( )ν
0
;
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad12
al sustituir valores se obtiene:
K
máx
= 2.652 × 10 J 1.6575 eV=−19
1.7 La función de trabajo del sodio es 2.3 eV. ¿Cuál será la máxima longitud de onda de la 
luz que producirá emisión de fotoelectrones del sodio? ¿Cuál será la energía cinética máxima 
de los fotoelectrones, si luz de 2 000 Å incide sobre una supericie de sodio?
Solución
La función trabajo W h= ν
0
;W h
c=
λ
0
; al despejar se obtiene λ
0
= hc
WPor otro lado
h h K
máx
ν ν= +
0
al despejar Kmáx queda:
K h W h
c
W
máx
= − = −ν
λ
Al sustituir se obtiene ����5 400 Å y Kmáx� 3.9 eV
Efecto Compton
El efecto Compton es otro fenómeno que apoya la naturaleza cuántica de la radiación, 
y fue Arthur Compton el primero en observar dicho fenómeno a principios de 1920. 
Este fenómeno consiste en que las ondas electromagnéticas, al tener comportamiento 
corpuscular, colisionan con partículas que viajan en el espacio interestelar, como por 
ejemplo, protones de alta velocidad, los cuales constituyen lo que se llama radiación 
cósmica primaria, que es producida en el interior de las estrellas. Como resultado de es-
ta colisión, las ondas electromagnéticas experimentan un cambio de longitud de onda 
y por tanto también de frecuencia. La única forma de explicar dicho cambio es a tra-
vés de los cuantos de energía de Planck. La fórmula obtenida por Compton es:
λ λ φ´ ( cos )− = −h
m c
0
1
en donde m0 es la masaen reposo de la partícula dispersora o con la que colisiona 
el fotón; λ´ es la longitud de onda modiicada por la colisión entre fotones y elec-
trones libres; λ es la longitud original de los fotones y φ es el ángulo de dispersión; 
h
m c0
es la “longitud de onda Compton” de la partícula dispersada, que para el caso de 
un electrón es 0.024Å.
EJEMPLOS
1.8 Un haz de rayos X es dispersado por electrones libres. A 45o de la dirección del haz, los 
rayos X dispersados tienen una longitud de onda de 0.022Å. ¿Cuál es la longitud de onda de 
los rayos X en el haz original?
Solución
Este es un problema de efecto Compton. Al despejar � de la ecuación original queda:
λ λ φ= − −´ ( cos )h
m c
0
1
Arthur Compton.
1.1 Teoría cuántica del átomo 13
y al sustituir valores se obtiene ����0.015 Å.
1.9 Un fotón de rayos X de frecuencia inicial 3 � 1019s�1 entra en colisión con un electrón y es 
dispersado a 90º. Hallar su nueva frecuencia.
Solución
Al despejar λ´ se obtiene
λ λ φ´ ( cos )= + −h
m c
0
1
al tener λ´ , con la ecuación de la velocidad de una onda v = λν , para este caso 
 � c, se 
obtiene c = λ ν´ ´ , de donde
ν
λ
´
´
= c
El valor que se obtiene es ν ´ = 2.4 × 1019 –1s .
Espectro electromagnético y la teoría cuántica: 
Bohr, Sommerfeld, de Broglie (números cuánticos n, l, m)
Espectro electromagnético y la teoría cuántica
A partir de la explicación teórica de la curva empírica de la radiación de cuerpo 
negro hecha por Max Planck, se generó un cambio de paradigma en la ciencia del 
siglo XX. Se comprendió fundamentalmente de qué dependía la energía del campo 
electromagnético, a saber, de su frecuencia (E ��h
), de tal manera que a mayor 
frecuencia mayor energía del fotón electromagnético. El espectro electromagnético 
se representa de derecha a izquierda a partir de la radiación gama y termina en las 
ondas de radio, por lo que la frecuencia disminuye de derecha a izquierda y por tanto 
también su energía. 
El espectro electromagnético está constituido de radiación gama, rayos X, 
radiación ultravioleta, espectro visible, radiación infrarroja, microondas y ondas 
de radio (igura 1.10), al decrecer su energía en ese orden, la capacidad de ioniza-
ción de la radiación disminuye también en ese mismo orden, de tal manera que 
dicho espectro queda dividido entre radiaciones ionizantes y no ionizantes. La 
nueva visión mostró que una onda electromagnética también tiene un comporta-
miento corpuscular, razón por la cual a estas ondas también se les llamó “ondículos” 
(onda-partícula). Dado que la velocidad de propagación de una onda, ya sea lon-
gitudinal o transversal, es: 
 v = λν �1.3]
para el caso de un fotón del campo electromagnético el cual viaja a la velocidad de 
la luz c la ecuación queda:
 c = λν �1.4]
Esta relación es muy importante tenerla presente, ya que la longitud de onda y la 
frecuencia de un fenómeno ondulatorio son inversamente proporcionales, de tal 
manera que en el espectro electromagnético, a medida que la energía de los foto-
nes disminuye, dado que la frecuencia disminuye, la longitud de onda de dichos 
fotones aumenta.
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad14
Figura 1.10 Tabla con datos del espectro electromagnético.
Resuelve los problemas sobre espectro electromagnético al final de la unidad
1.1 Teoría cuántica del átomo 15
El átomo de Bohr
En 1913 el físico danés Niels Bohr, contemporáneo de Rutherford, Planck y Eins-
tein, jugó un papel muy importante en la comprensión de la estructura interna de 
los átomos. Su genialidad le permitió concebir un nuevo modelo del átomo para el 
hidrógeno, al unir la reciente teoría cuántica con el también recién nacido modelo 
del átomo de Rutherford. Es muy posible que Bohr también se inspirara de alguna 
manera en el átomo de Thomson (el del pudín de pasas, anterior al de Rutherford), 
debido a que este modelo concibió a los electrones distribuidos en círculos concén-
tricos dentro del átomo, ya que esta coniguración resultó ser la más estable desde el 
punto de vista de un análisis electrostático. 
Niels Bohr hizo varias hipótesis llamadas postulados para la creación de su 
modelo atómico:
Primero: El hidrógeno era el átomo más simple de todos los existentes, al tener 
solo un electrón girando alrededor del núcleo; además, dicho electrón gira en 
órbitas circulares sujeto a una fuerza central de naturaleza culombiana y regido 
por las leyes de Newton.
Segundo: Los electrones giran solo en ciertas órbitas permitidas, cada una de 
estas tiene un nivel diferente de energía.
Tercero: Los electrones, al brincar de un nivel de energía mayor a otro menor, 
emiten un fotón de energía hν .
Cuarto: El momento angular del electrón debe ser un múltiplo entero de h/2	 
para que permanezca en una órbita permitida.
El hecho es que al combinar los dos modelos atómicos anteriores con la reciente 
teoría cuántica, Niels Bohr cuantizó al átomo con ciertos niveles permitidos, de 
acuerdo con la fórmula:
 E
me
h n
n
= −






4
0
2 2 28
1
ε
 
 n
Niveles de energía
=1 2 3, ,
 �1.5]
A las energías dadas por esta ecuación se les llama niveles de energía del átomo 
de hidrógeno. Los niveles son todos negativos, lo que signiica que el electrón no 
tiene la energía suiciente para poder abandonar el átomo. Al nivel más bajo, E1, se 
le llama estado fundamental y a los más altos, E2, E3, E4, estados excitados.
Bohr se inspiró en las ecuaciones empíricas de los espectroscopistas para sospe-
char la existencia de los niveles de energía en el átomo; por ejemplo, a partir de la serie 
de Balmer (maestro de escuela suizo quien en 1885 dio a conocer una fórmula muy 
sencilla que representó con gran precisión las frecuencias de las líneas espectrales en la 
luz visible del espectro del átomo de hidrógeno), la cual es:
 
m
s
m n,
.= 3 289 × 10 1
2
115
2 2
1− −ν �1.6]
En la fórmula anterior el lugar de la n lo ocupa el 2 del denominador, de tal 
manera que el electrón brinca de un nivel m superior a n en donde n ��2 para el caso 
de la serie de Balmer.
Planck demostró que la energía de un fotón que es emitido por un átomo es 
E h= ν por lo que:
 E h h R n m
hR
n
hR
m
hR
m
m n
= = − = − = −ν
,
1 1
2 2 2 2 2
− − = −hR
n
E E
m n2 �1.7]
en donde el signo negativo entre el paréntesis se reiere a que es un electrón ligado al 
núcleo y en donde Em es una energía mayor que En.
Niels Bohr.
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad16
Por tanto 
 E
hR
n
n
= −
2 �1.8]
Por otro lado, para que el electrón pueda estar girando de manera estable en una 
órbita de radio r, es necesario que actúen dos fuerzas sobre él que tengan sentidos 
contrarios, a saber, una fuerza de tipo central de naturaleza electrostática, debida 
al hecho de que tanto el protón del núcleo como el electrón que gira tienen cargas 
contrarias, lo cual genera una fuerza de atracción entre ellos 
F
e
r
e
= −




2
2
y otra de naturaleza centrífuga que tiende a alejar al electrón del centro de giro 
F
m v
r
c
e e=


2
;
en fórmula:
 − + =e
r
m v
r
e e
2
2
2
0 �1.9]
Al despejar la velocidad del electrón de la fórmula anterior, se obtiene:
 v
e
m r
e
e
= �1.10]
la cual nos indica que el electrón puede girar en cualquier órbita siempre y cuando 
tenga la velocidad adecuada. Pero entonces, ¿cuál debe ser la condición que impon-
ga al electrón solo ciertas órbitas cuantizadas?
Al recordar otra vez la teoría de Planck, la forma en que los fotones pueden ser 
emitidos por un átomo es en múltiplos enteros de hν , es decir, E nh
n
= ν en donde n 
toma los valores n � 1, 2, 3,... por lo que:
 
E
nh
n
ν
= �1.11]
lo que nos indica que la relación 
E n
ν es un múltiplo entero de h. Esta ecuación nos 
permite conocer las unidades de h (la constante de Planck); la combinación de 
dichas unidades se llama acción:
acción
energía
frecuencia
masa velocidad
tiempo
= = ( ) ( )
(
2
 
masa velocidad velocidad
tiempo)
( ) ( ) ( )
( )− −
=
1 1
acción
tiempo tiempo
masa velocidaddistancia=
−
( ) ( ) ( )
( ) (1
masa velocidad
)
( ) ( ) (distancia)=
El producto de la masa de una partícula por su velocidad por la distancia reco-
rrida es una magnitud perfectamente conocida y que juega un papel muy importan-
te en la mecánica analítica clásica. El Principio de acción mínima, formulado en 1747 
por el matemático francés P.L.M. de Maurpertuis, airma que una partícula sujeta a 
fuerzas mecánicas se moverá desde un punto A cualquiera hasta otro punto B cual-
quiera siguiendo una trayectoria tal que el valor de la acción total será un máximo 
o un mínimo comparado con los valores correspondientes a todas las trayectorias 
posibles que partan de A y lleguen a B. La ley de Planck de los cuantos de luz agrega 
al principio de Maurpertuis una condición suplementaria, que dice: “la acción total 
debe ser un múltiplo entero del valor de h”.
1.1 Teoría cuántica del átomo 17
Así, regresando al caso de un electrón que gira alrededor de un protón, su acción 
ya con la condición de cuantiicación exige que el producto de la masa electrónica 
por su velocidad por la distancia recorrida en una revolución debe ser un múltiplo 
entero de h. Así, para la enésima órbita de Bohr:
 m v r nh
e n n
2π = [1.12]
al sustituir el valor de v
e
m r
n
e n
= en [1.12] se obtiene:
 m
e
m r
r nh
e
e n
n
2π = �1.13]
y al simpliicar:
 2πe m r nh
e n
= �1.14]
al despejar rn �1.14] se tiene que: 
 r
h
e m
n
n
e
=
2
2 2
2
4π 
�1.15]
Para calcular la energía mecánica total de un electrón en su enésima órbita se 
aplica la conservación de la energía mecánica, la cual consta de dos términos. El pri-
mero representa la energía cinética K del electrón y el segundo su energía potencial 
U a la distancia rn del núcleo. Por tanto:
 E K U
n n n
= + �1.16]
al sustituir la masa del electrón ya obtenida y sabiendo que la energía potencial para 
dos cargas eléctricas e a una cierta distancia r es: 
 U
e
r
n
n
= −
2
 �1.17]
se obtiene en �1.16]: 
 E m v
e
r
m
e
m r
e
r
e
r
e
n e n
n
e
e n n
= − =







 − = −
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2 2 22 21
2r
e
r
n n
= − �1.18]
y al sustituir en el resultado anterior el valor obtenido de rn de �1.16], se obtiene:
 E
e m
h n
n
e= −
4 1
2 4
2 2
π
 �1.19]
la cual coincide con la fórmula empírica:
E
Rh
n
n
= −
2
 
deducida de la relación Balmer, en donde:
 R
e m
h
e=
4 2 4
3
π
 �1.20]
Cuando Bohr sustituyó en la ecuación �1.20] los valores de e, me y h, obtuvo el 
valor de R ��3.289 ��1015 s�1, que coincide exactamente con el valor empírico obteni-
do espectroscópicamente. De esta manera, la cuantiicación de un sistema mecánico 
había quedado establecida.
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad18
La gran intuición de Bohr permitió hacer algo similar a lo que hizo Planck, si este 
cuantizó la emisión del campo electromagnético, aquel cuantizó un sistema mecánico. 
Bohr pensó que si la energía de la radiación se emitía en paquetes, seguramente se debía 
a que el sistema que lo emitía poseía propiedades de cuantización. Para ello postuló 
(posiblemente inspirado en el átomo del pudín de pasas de Thomson) que los electro-
nes se encuentran girando solo a ciertas distancias permitidas del núcleo atómico.
Este modelo del átomo de Bohr permitió explicar teóricamente las líneas espec-
trales del átomo de hidrógeno descubiertas por los espectroscopistas del siglo XIX 
cuyas series mostraban un cierto orden interno del átomo, en aquel entonces desco-
nocido. Este hecho constituyó otro de los éxitos de la joven teoría cuántica, la cual se 
originó con la explicación de la curva de radiación de cuerpo negro y fue trasladada 
por Bohr al interior del átomo. 
Las series espectrales explicadas por este modelo son:
�
1 1
2
1
2 2λ
= −





R
n �
 n � 3, 4, 5 �1.21]
4ª órbita
3ª
órbita
2ª órbita
1ª órbita
P
aschenBalm
er
Lyman
Figura 1.11 Serie de Balmer encontrada en 1885.
La serie de Balmer contiene solamente longitudes de onda en la parte visible del 
espectro de hidrógeno (igura 1.11). La línea Hα corresponde a n � 3, Hβ para n � 4
y así sucesivamente, y contiene solamente longitudes de onda en la parte visible 
del espectro del hidrógeno. Las líneas espectrales en la región del ultravioleta y del 
infrarrojo caen dentro de otras series. En la fórmula R es la constante de Rydlberg y 
tiene el valor de R � 1.097 ��107 m�1.
En el ultravioleta la serie de Lyman contiene las longitudes de onda dadas por 
la fórmula:
 1 1
1
1
2 2λ
= −





R
n
 n � 2, 3, 4... �1.22]
En el infrarrojo se han encontrado tres series espectrales con líneas cuyas longi-
tudes de onda vienen dadas por las fórmulas:
1 1
3
1
2 2λ
= −





R
n
 n � 4, 5, 6... Serie de Paschen (infrarrojo)
1 1
4
1
2 2λ
= −





R
n
 n � 5, 6, 7... Serie de Brackett (infrarrojo) �1.23]
1 1
5
1
2 2λ
= −





R
n
 n � 6, 7, 8... Serie de Pfund (infrarrojo)
1.1 Teoría cuántica del átomo 19
La serie de Brackett reconoce a la serie de Paschen y a la de Pfund. La existen-
cia de tan notables regularidades en el espectro del hidrógeno, lo mismo que para el 
espectro de elementos más complejos, supone una prueba deinitiva para cualquier 
teoría de la estructura atómica.
Uno de los últimos éxitos de la concepción de Bohr fue la explicación de la 
actividad química o “valencia” de los elementos químicos. El químico americano 
Irving Lanmuir, quien trabajaba en 1919 con gases inertes, sugirió que los electrones 
asociados con cada clase diferente de átomos se encuentran en una serie de capas 
concéntricas alrededor del núcleo y, solo en algunos casos en donde las capas están 
totalmente ocupadas, los átomos no se combinarán con otros átomos.
El átomo de Sommerfeld
Arnold Sommerfeld nació en Alemania en 1868, fue quien generalizó las órbitas 
circulares del átomo de Bohr a órbitas elípticas, recordando el modelo planetario, 
en donde los planetas se encuentran sujetos a una fuerza central que varía con el 
inverso del cuadrado de la distancia, y en donde el Sol ocupa uno de los focos de la 
trayectoria elíptica. 
Para el caso del átomo, si la fuerza electrostática que liga al electrón con el núcleo 
también es de tipo central, y varía de igual modo con el inverso del cuadrado de la 
distancia al núcleo, Sommerfeld pensó que también las órbitas de los electrones 
deben ser elípticas en donde el núcleo atómico ocupa uno de los focos, y en donde 
las órbitas circulares son solo un caso particular de la elipse. Además Sommerfeld 
aplicó por primera vez la joven teoría de la relatividad especial al giro de los electro-
nes, ya que si las órbitas son elípticas, cuando el electrón está más cerca del núcleo su 
velocidad es mayor, y cuando está en su punto más alejado del núcleo su velocidad 
es menor. Este hecho de la velocidad variable del electrón hace que su masa también 
sea variable de acuerdo con la relatividad especial. 
Para describir el movimiento de una partícula en un campo de fuerzas centra-
les se requieren dos coordenadas polares; la distancia r de la partícula al centro de 
atracción y el ángulo posicional (azimut)��, que forma el vector que mide la distan-
cia r con el eje mayor de la elipse (igura 1.12).
Para este caso, Sommerfeld demostró que es necesario utilizar dos números 
cuánticos en lugar del indicado con n para llegar a la fórmula siguiente para la ener-
gía del movimiento sobre órbitas elípticas cuantiicadas:
 E
Rh
n n
n n
r
rφ
φ
,
= −
+( ) 2
 �1.24]
El primero de ellos se reiere al momento angular del electrón en su órbita elíp-
tica y restringe el momento angular a múltiplos enteros de h/2	, de manera que el 
momento angular resulta igual a k(h/2	), en donde k es un entero llamado número 
cuántico azimutal.
El segundo número cuántico se introduce para restringir el impulso radial del 
electrón. Cuando un electrón se mueve en una órbita elíptica debe alternativamente 
aproximarse al núcleo y alejarse de él. Si se multiplica el impulsoradial promedio 
por la variación total del radio durante una revolución completa (sumando tanto 
el aumento como la disminución), se obtiene una cantidad que es igual a nr h, en 
donde nr puede valer cero o un número entero y es llamado número cuántico radial. 
La suma de los números cuánticos azimutal y radial designa al número cuántico 
principal n. Esta designación concuerda con la teoría más simple, enunciada por 
Bohr, puesto que nr � 0 para una órbita circular y n resulta idéntico al número 
Arnold Sommerfeld.
Figura 1.12 
r�
E
je m
ayor
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad20
cuántico azimutal. Cuando nr 
 0 resultan órbitas elípticas con diferentes grados de 
excentricidad. Sin embargo, las energías de todas las trayectorias que corresponden 
a un mismo valor de la suma n� � nr , son exactamente iguales a pesar de las dife-
rentes formas de aquellas. El valor de la suma n� � nr se conoce como n, el número 
cuántico principal.
Por otro lado, Sommerfeld aplica la recién nacida teoría de la relatividad espe-
cial de Einstein a la masa del electrón en órbitas elípticas, ya que en dichas órbitas la 
velocidad no es constante en magnitud, como en el caso de las órbitas circulares del 
átomo de Bohr; cuando el electrón se encuentra en el punto más cercano al núcleo 
su velocidad es mayor y cuando está más alejado del núcleo su velocidad es menor, 
todo esto de acuerdo con la tercera ley de kepler. Atendiendo la Teoría de la rela-
tividad especial la masa varía según la velocidad de la partícula, de acuerdo con la 
fórmula de Lorentz:
 m
m
v
c
=
−
0
2
2
1
 �1.25]
en donde m0 es la masa en reposo del electrón, 
 es la velocidad instantánea del elec-
trón y c es la velocidad de la luz en el vacío, de aproximadamente 300 000 km/s. Así, 
las energías de las diferentes órbitas pertenecientes a un mismo valor del número 
cuántico principal se hacen ligeramente distintas y un nivel que antes era simple se 
escinde ahora en varios componentes situados muy cerca el uno del otro.
Esta multiplicidad, que solo puede ser observada utilizando un analizador espectral 
de muy alto poder dispersivo, es llamada la estructura ina de las líneas espectrales.
Las diferencias entre las frecuencias de las diversas componentes de esos múltiples 
de estructura ina dependen de la denominada constante de estructura ina �, cuya 
expresión matemática es:
 α = =e
hc
2 1
137
 �1.26]
Esta cantidad no posee dimensiones físicas. Su escasa magnitud explica la existencia 
de las componentes tan cercanas de la estructura ina. Si la velocidad de la luz c 
fuera ininita, � valdría cero y no existiría la estructura ina.
Cuando los físicos se percataron de que las órbitas elípticas de Sommerfeld no 
debían necesariamente hallarse en un mismo plano, sino que podían orientarse de 
diferente manera en el espacio circundante, se llegó a otra ampliación de la teoría 
primitiva de Bohr, en donde los electrones constituían conjuntos tridimensionales. 
Cuando Sommerfeld dio a conocer sus conclusiones, Einstein le manifestó, en 
febrero de 1916, que estos resultados eran toda una revelación. Por su parte, Bohr 
expresó una gran alegría y satisfacción, además consideró que los números n, l y m 
correspondían al tamaño, la forma y la dirección de las órbitas, respectivamente.
El átomo de Sommerfeld fue una ampliación del átomo de Bohr, y dio resulta-
dos correctos para sistemas de un solo electrón. Cuando se calculó con precisión la 
energía necesaria para extraer un electrón de un átomo neutro de helio, o de otros 
átomos o iones más complejos, los resultados teóricos diirieron notablemente de 
los datos observados. Fue necesario esperar hasta el nacimiento de la mecánica cuán-
tica para poder explicar adecuadamente la predicción teórica en concordancia con 
las observaciones experimentales. Sin embargo, debido al valor del modelo planeta-
rio que explica cuantitativamente muchas de las propiedades químicas y físicas de los 
átomos con varios electrones, se le utiliza en la discusión del espectro de Rayos X y 
muchos otros problemas atómicos.
1.1 Teoría cuántica del átomo 21
Ondas de materia 
Louis de Broglie, físico francés, concibió el proceso inverso de la radiación de cuerpo 
negro, a saber: que toda partícula tiene asociada una onda, así postuló que toda 
partícula de masa m y velocidad v tiene asociada una longitud de onda 
 λ =
h
mv
 �1.27]
en donde h es la constante de Planck y p � mv es la cantidad de movimiento de la 
partícula.
Para llegar a esta fórmula Louis de Broglie tomó como referencia el siguiente 
razonamiento.
Dada la experiencia que tenía en radiocomunicaciones, que era la última novedad 
en su época (de hecho en la Primera Guerra Mundial fue asignado a ese departa-
mento por su preparación), y también a su gusto por la música concibió al átomo 
como una especie de caja que emitía en una frecuencia fundamental y en sus armó-
nicos. Para ello creó un modelo en el que a cada órbita del átomo de Bohr le asoció 
una longitud de onda que fuera un múltiplo entero del perímetro de la órbita a la 
cual se le llamó “onda piloto”, de tal manera que el primer perímetro de la primera 
órbita coincide con una longitud de onda; la segunda órbita tiene dos longitudes de 
onda; el tercero, tres longitudes de onda, y así sucesivamente.
De esta manera, las órbitas de los electrones constituyen ondas en interferencia 
constructiva (igura 1.13).
Por otro lado, una zona prohibida en donde no existe un electrón girando se 
debería a que el perímetro de esa órbita no es un múltiplo entero de la longitud de 
onda del electrón por lo que se interiere destructivamente.
De esta manera, en el átomo existen órbitas permitidas y órbitas prohibidas 
debido a las ondas piloto llamadas posteriormente ondas de De Broglie.
Inspirado en los niveles de energía de las órbitas de Bohr, a saber
 r
n h
e m
n
=
2 2
2 24π
 �1.15]
pensó que el perímetro de cada órbita debía ser un múltiplo entero de la longitud de 
onda, es decir
 n rnλ π= 2 con n � 1, 2, 3, �1.28]
y combinando la fuerza centrífuga a la cual está sujeto el electrón, debido a su giro, 
con la fuerza eléctrica de tipo central se tiene que
 
mv
r
e
r
n
n n
2 2
2
= �1.29]
en donde en la expresión que representa la ley de Coulomb la k ��1 está en unidades 
electrostáticas. Al despejar e mv r
n n
2 2= y sustituyéndolo en la ecuación despejada 
�1.29] se tiene que 
 4 2 2
2 2
2 2
π r h n
m v
n
= �1.30]
y al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación �1.26] se obtiene que 
 2πr nh
mv
n
n
= �1.31]
de acuerdo con la ecuación �1.27], λ = h
mv n
 es la onda piloto de De Broglie.
De esta manera, al combinar los tres aspectos se encuentra la expresión para la 
longitud de onda de De Broglie.
Figura 1.14 Onda de Louis 
de Broglie inconclusa.
Figura 1.13 Ondas de Louis 
de Broglie.
Circunferencia 2 longitudes 
de onda 
Circunferencia 4 longitudes 
de onda 
Circunferencia 8 longitudes 
de onda 
Louis de Broglie.
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad22
1.11 Hallar la longitud de onda de De Broglie de un electrón que posee una energía cinética 
de 15 eV.
Solución
La longitud de onda de De Broglie es
λ = h
p
pero como la energía cinética del electrón es muy pequeña comparada con su energía en 
reposo m0c
2, la cual para el electrón es de 5.1 ��103 eV, el problema se reduce a un caso 
clásico en lugar de ser relativista, por lo que T (la energía cinética) es la energía cinética 
clásica, es decir:
T m v= 1
2
0
2
al despejar 
m0
 � 2 0m T
por lo que
λ = h
m T2
0
y sustituyendo se encuentra que ��� 3.1 Å. La masa del electrón es de m0 � 9.1 ��10
�31 kg.
1.12 ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electrón que tiene una velocidad 
 � 0.9c?
Solución
La longitud de onda de De Broglie es
λ = h
mv
en donde m es la masa relativista, es decir:
m
m
v
c
=
−
0
2
2
1
al sustituir en la ecuación anterior se obtiene:
λ =
−h v
c
m v
1
2
2
0
y otra vez al sustituir valores se obtieneuna longitud de onda para el electrón a esa velo-
cidad de � � 0.116 Å.
1.13 Determinar la longitud de onda de un objeto de 1 kg cuya velocidad es de 1 m/s.
Solución
Dado que es un caso clásico, la fórmula es
λ = h
m v
0
y al sustituir los valores se obtiene ��� 6.63 � 10�24 Å, la cual es una longitud de onda muy 
pequeña, y por tanto imperceptible a nivel clásico; es decir, dada la pequeñez de la cons-
tante de Planck, los efectos cuánticos al nivel de nuestras dimensiones son despreciables, 
lo que hace que se haga una distinción a esta escala, entre onda y partícula.
1.11 Hallar la longitud de onda de De Broglie de un electrón que posee una energía cinética
de 15 eV.
Solución
La longitud de onda de De Broglie es
λ = h
p
pero como la energía cinética del electrón es muy pequeña comparada con su energía en 
reposo m0c
2, la cual para el electrón es de 5.1��103 eV, el problema se reduce a un caso 
clásico en lugar de ser relativista, por lo que T (la energía cinética) es la energía cinética 
clásica, es decir:
T m v
1
2
0
2
al despejar 
m0
 � 2 0m T
por lo que
λ = h
m T2
0
y sustituyendo se encuentra que � � 3.1 Å. La masa del electrón es de m0� 9.1 ��10
�31 kg.
1.12 ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electrón que tiene una velocidad 
 � 0.9c?
Solución
La longitud de onda de De Broglie es
λ = h
mv
en donde m es la masa relativista, es decir:
m
m
v
c
=
−
0
2
2
1
al sustituir en la ecuación anterior se obtiene:
λ =
−h v
c
m v
1
2
2
0
y otra vez al sustituir valores se obtiene una longitud de onda para el electrón a esa velo-
cidad de � � 0.116 Å.
1.13 Determinar la longitud de onda de un objeto de 1 kg cuya velocidad es de 1 m/s.
Solución
Dado que es un caso clásico, la fórmula es
λ = h
m v
0
y al sustituir los valores se obtiene � � 6.63 � 10�24 Å, la cual es una longitud de onda muy 
pequeña, y por tanto imperceptible a nivel clásico; es decir, dada la pequeñez de la cons-
tante de Planck, los efectos cuánticos al nivel de nuestras dimensiones son despreciables, 
lo que hace que se haga una distinción a esta escala, entre onda y partícula.
EJEMPLOS
1.1 Teoría cuántica del átomo 23
Heisenberg, Schrödinger, Pauli y los conceptos de orbital 
y espín del electrón. Modelo de nube de carga negativa
Uno de los pilares fundamentales de la física actual es la mecánica cuántica, que 
describe y explica los procesos que acontecen a nivel atómico, subatómico y nuclear. 
Se trata de una teoría que sintetiza un conjunto de nuevas ideas surgidas durante 
los primeros 30 años del siglo XX, con las que ha sido posible explicar la estructura 
del átomo, los mecanismos de emisión y absorción de la radiación electromagnética 
y en general la interacción entre la masa y la radiación, procesos físicos que no se 
lograron explicar con la teoría de la física clásica.
A partir de los conocimientos proporcionados por la mecánica cuántica ha sido posi-
ble el auge del desarrollo tecnológico en los últimos años, ya que ha contribuido a 
los grandes avances en electrónica y computación, así como la obtención de nuevos 
materiales, la construcción de chips y láseres, el diseño y construcción de aceleradores 
de partículas con altas energías, la elaboración de instrumentación y equipo médico, 
una mayor comprensión del origen y desarrollo del Universo, la explicación de la tabla 
de los elementos químicos y las reacciones químicas que estos últimos experimentan, 
entre otros.
La mecánica cuántica se apoya en cantidades medibles u observables, como 
son la intensidad y la frecuencia de las líneas espectrales que caracteriza a cada uno de 
los átomos. Además considera cantidades como: la posición, el momento lineal, el 
momento angular, la energía, el tiempo, entre otras. Las matrices desarrolladas por 
Heisenberg y la ecuación de onda de Schrödinger están íntimamente vinculadas 
con las cantidades físicas señaladas, ya que estas son parte de la expresión mate-
mática o constituyen la solución de la operación matricial o ecuación ondulatoria. 
La estimación de la probabilidad de que una partícula se localice en cierta región 
del espacio subatómico o que se produzca un suceso en un intervalo de tiempo, es 
la esencia de la mecánica cuántica, por lo que la probabilidad es la que posee un 
valor objetivo, a diferencia de lo que ocurre en la física clásica, donde se impone el 
determinismo.
Para su mejor comprensión la mecánica cuántica se divide en:
Mecánica cuántica antigua, también llamada teoría cuántica. Es la que comprende el 
periodo de 1900 a 1925, en el que se expone por primera vez el concepto de cuanti-
zación de la energía, por el físico alemán Max Planck; la explicación del efecto foto-
eléctrico por Albert Einstein, el modelo atómico y postulados cuánticos propuesto 
por Niels Bohr, la existencia de subniveles de energía y órbitas elípticas, la explica-
ción de las líneas espectrales producidas por el Efecto Zeeman y la integración de 
los números cuánticos azimutal o secundario (�) y magnético (m) planteados por 
Arnold Sommerfeld. La búsqueda de explicación de dos líneas espectrales obser-
vables denominadas dobletes y consideradas como producto de un efecto Zeeman 
anómalo que inicia en 1920; en 1921 Arthur Compton plantea que el electrón posee 
un momento angular intrínseco; por su parte Otto Stern y Walter Gerlach descu-
bren experimentalmente la existencia del espín del electrón en 1922; en noviembre 
de 1925 George E. Uhlenbeck y Simon A. Goudsmit publican un artículo en el que 
demuestran que el efecto Zeeman anómalo es producto de la rotación del electrón 
sobre su propio eje; de manera simultánea Wolgang Pauli estableció la hipótesis de 
que el momento angular observado era resultado de una rotación oculta a la que 
asoció un cuarto número cuántico, el número cuántico espín (s), que solo toma los 
valores �1/2 y �1/2.
En 1924 se publicó otro trabajo relevante para el desarrollo de la mecánica 
cuántica, la hipótesis de la dualidad onda-partícula expuesta por el francés Louis 
De Broglie.
Wolfgang Pauli. 
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad24
Mecánica cuántica nueva inicia a mediados de 1925, cuando Werner Heisenberg 
desarrolla la mecánica matricial, con la que explica las frecuencias e intensidades 
de las líneas espectrales que emiten los átomos y moléculas. Una vez analizada y 
fundamentada por los expertos en matrices, Max Born y Pascual Jordan escriben un 
artículo que es enviado para su publicación en noviembre del mismo año. A inales 
de este año Wolgang Pauli deduce la presencia del número cuántico espín, establece 
el principio de exclusión y contribuye de manera importante en el desarrollo de la 
mecánica matricial.
En enero de 1926, Erwin Schrödinger dio a conocer la ecuación ondulatoria por 
él desarrollada, con la que describe el comportamiento de los electrones dentro del 
átomo y otros efectos subatómicos. A inales de este año el físico Paul Dirac formula 
la teoría de la transformación y la teoría del campo cuántico, en la que integra la teoría 
de la relatividad y desarrolla una teoría cuántica más general que incluye a la mecánica 
matricial y a la mecánica ondulatoria. 
En 1927 Heisenberg desarrolla el Principio de incertidumbre y Niels Bohr da a 
conocer el Principio de complementaridad. En este último año se planteó la Inter-
pretación de Copenhague, en la que se aceptó el carácter probabilístico de la mecá-
nica cuántica, cuya aceptación deinitiva se estableció en 1930, aunque se mantuvo 
una fuerte polémica con Einstein y otros que no aceptaron dicha interpretación.
A partir de este último año se inició la aplicación de la mecánica cuántica a 
la búsqueda de respuestas de problemas relacionados con las moléculas, átomos, 
núcleo y materia en estado sólido, principalmente, obteniéndose grandes éxitos. 
Los tres trabajos realizados de manera independiente y que constituyen la fun-
damentación teórica de la mecánica cuántica nueva son: mecánica matricial de Wer-
ner Heisenberg, mecánica ondulatoriade Erwin Schrödinger y álgebra cuántica de 
Paul Dirac.
Werner Heisenberg
Werner Karl Heisenberg nació el 5 de diciembre de 1901. En 1920 ingresó a la Uni-
versidad de Munich e inmediatamente se integró a los seminarios impartidos por 
el físico Arnold Sommerfeld con quien colaboró y trabajó su tesis doctoral, la que 
concluyó y presentó en 1923. Meses después de ingresar a la universidad conoció al 
físico Wolfgang Pauli, con quien mantuvo una gran amistad en los siguientes años. 
En junio de 1922 asistió a una conferencia en la que Niels Bohr expone su modelo 
atómico, en ésta interviene y le plantea sus desacuerdos. Al inalizar, Bohr lo invitó 
a platicar sobre el tema, lo que lo motivó a profundizar en sus investigaciones sobre 
los átomos. Bohr le comentó a sus colegas: “este joven entiende el problema, la solu-
ción está en sus manos, solo debe encontrar una forma de sortear las diicultades 
de la teoría cuántica”. Luego, Bohr le expresó a Heisenberg su reconocimiento por 
poseer un talento excepcional. 
Heisenberg manifestó su desacuerdo con la existencia de órbitas imaginarias 
para los electrones, según el modelo del átomo propuesto por Bohr, lo que expresó 
en la siguiente forma: “¿De qué sirve hablar de trayectorias invisibles para electrones 
que se desplazan dentro de pequeños átomos invisibles?”
En la primavera de 1925, Heisenberg se trasladó a Gotinga, en donde con el 
respaldo de Max Born se integró a la universidad como docente; en este año ya se 
encontraba muy familiarizado con los datos de la espectroscopía atómica y con las 
diicultades del uso combinado de la mecánica clásica y las reglas de cuantización de 
Bohr-Sommerled. En junio del mismo año sufrió un fuerte ataque de iebre de heno, 
producto del polen contenido en el aire, por lo que decidió buscar una atmósfera sin 
polen y se traslada a la isla de Hegoland, que se encuentra en el mar del Norte. 
Werner Heisenberg.
Paul Dirac.
1.1 Teoría cuántica del átomo 25
Durante su estancia en la isla se dedicó a la búsqueda de un código que descifrara 
las frecuencias e intensidades de las líneas de los espectros de emisión observadas en 
el átomo de hidrógeno y otros. Para ello tomó como base el modelo atómico de Bohr; 
en particular se apoyó en el principio de correspondencia, que trata de la región del 
átomo en donde las teorías clásica y cuántica producen los mismos resultados. Al 
considerar valores muy grandes del número cuántico principal, encontró que la fre-
cuencia orbital es igual a la frecuencia de la radiación y el átomo se comporta como 
un oscilador lineal. 
Heisenberg concluyó que la nueva teoría tenía que construirse sobre la base de 
las propiedades atómicas observables, como lo son las frecuencias e intensidades 
de las líneas espectrales, y que a partir del conocimiento de las leyes que las relacio-
nan se tendría la posibilidad de obtener información acerca de las energías de los 
estados estacionarios, las energías de los fotones y otras variables que intervienen 
(igura 1.15).
Figura 1.15 Espectro de emisión del Na (sodio).
Heisenberg consideró al átomo como un simple oscilador capaz de producir todas 
las frecuencias del espectro y partió de la base de que los estados estacionarios de un 
átomo tienen energías bien deinidas E1, E2, E3, y que las energías de las radiaciones de 
un átomo cuando el electrón pasa de un estado estacionario a otro se pueden calcular 
aplicando la relación: ΔEif: � Ef � Ei. Como ΔEif � hfif, se obtiene que: 
 f
E E
h
if
f i=
−( )
 �1.32]
Estas cantidades eran totalmente observables y se podían ordenar en un arreglo en 
forma de matriz.
La energía de los estados estacionarios se ubica en una matriz diagonal, es decir 
los elementos no nulos Ei se ubican sobre la diagonal y los elementos nulos se loca-
lizan fuera de la diagonal:
 
E
E
i j
11 0
0
�












 �1.33]
Por su parte la matriz de las frecuencias se caracteriza por ubicar a los elementos 
nulos sobre la diagonal y a los elementos fij (i ≠ j) fuera de la diagonal:
 
0
0
1
1
f
f
j
i
�












 �1.34]
Unidad 1 Estructura atómica y periodicidad26
El cálculo de las intensidades de las radiaciones y de otras propiedades de los áto-
mos se realizó introduciendo la matriz que expresaba la posición xij:
 
x
x x
x J
i i j
11 1
1
�












 �1.35]
Para describir los espectros asociados con diversos átomos, Heisenberg efectuó el 
producto de matrices y descubrió que esta operación no cumplía la propiedad de 
conmutatividad. Este fue uno de sus descubrimientos más relevantes. 
Con la inalidad de obtener los valores de las frecuencias e intensidades de las 
radiaciones observadas mediante las líneas espectrales, Heisenberg planteó un pos-
tulado cuántico, el que una vez mejorado por Born y Jordan se expresa como: 
 x p p x
ih
2
x jk x jk jk
( ) ( ) =− π δ �1.36]
Siendo i � i = − 1, �jk � 1, si j � k, �jk � 0 si j ≠ k. Px y x representan la cantidad de 
movimiento y posición del electrón, respectivamente. Se observa que el producto 
de las matrices que expresan la posición y la cantidad de movimiento no cumple la 
propiedad conmutativa. 
A partir de este postulado, Heisenberg logró demostrar que los estados de energía 
estaban cuantizados, como lo había planteado Bohr en 1913, pero también encontró 
que son independientes del tiempo, es decir, estacionarios. El sistema de ecuaciones 
resultante produce los valores para las frecuencias e intensidades de las líneas espec-
trales de los átomos. La teoría de Bohr no había logrado explicar la diferencia de 
intensidades de las líneas espectrales. Con los agregados hechos por Pauli fue posi-
ble explicar las frecuencias e intensidades de las diferentes líneas, tanto del átomo 
de hidrógeno como de otros, lo cual completa la primera versión de la mecánica 
cuántica.
Durante los 14 días que Heisenberg vivió en la inhóspita isla, su mente dio 
forma a un conjunto de ideas, las que escribió en el famoso trabajo titulado: Uber 
die quanten theoretische Umdeutung kinematischerund mechanischer Beziehungen, 
“Sobre una interpretación teórico-cuántica de las relaciones cinemáticas y mecá-
nicas”. Al retornar a Gottingen, le envía el escrito al físico Wolfgang Pauli, a quien 
le maniiesta algunas dudas y una gran seguridad en la no existencia de las órbitas 
electrónicas. El 9 de julio también entrega el escrito a Max Born para su análisis. 
Ambos manifestaron su asombro y visualizaron un descubrimiento crucial.
Born leyó el artículo y observó que se podía mejorar mediante el empleo del len-
guaje del álgebra de matrices que él conocía, para lo que solicitó el auxilio de un 
destacado ex alumno y especialista en el tema, Pascual Jordan, y así los resultados 
obtenidos por Heisenberg fueron expresados rigurosamente por el álgebra matricial; 
los resultados del trabajo inicial fueron enviados para su publicación el 27 de septiem-
bre de 1925. El 16 de noviembre del mismo año entregó otro artículo titulado Zur 
Quantenmechanik II, “Fuentes de la mecánica cuántica”, en el que aparecen como 
autores M. Born, H. Heisenberg y P. Jordan. En este último artículo se establecieron 
los fundamentos de la mecánica matricial y se explican los niveles de energía atómicos 
y las frecuencias e intensidades de las líneas espectrales de diversos átomos.
La mecánica matricial es una teoría, producto del formalismo matemático, 
que no puede ser representada por gráicas o modelos físicos; pero su aplicación al 
estudio de los espectros de átomos y moléculas ofrece respuestas correctas que se 
veriican experimentalmente. Heisenberg desechó todo intento por representar un 
1.1 Teoría cuántica del átomo 27
átomo compuesto por partículas u ondas. Describió los niveles de energía atómicos 
en términos numéricos, incluso detestó el término de mecánica matricial por ser tan 
abstracto. 
El escrito de Heisenberg también fue recibido por el físico Paul Dirac, quien 
se apoyó en este para desarrollar trabajos