tema5-Engranajes

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Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica
TEORÍA DE MECANISMOS
5.- TEORÍA GENERAL DE 
ENGRANAJES
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica
Objetivo:
Comunicar el movimiento de un órgano a otro
Se emplean cuando es necesario un cambio en la 
velocidad o en el par de un dispositivo giratorio
Tipos de transmisiones mecánicas:
a) Transmisiones flexibles
· correas
· cadenas
· cables
· ejes flexibles
b) Transmisiones rígidas
· ruedas de fricción
· engranajes
· sistemas articulados 
compuestos por:
- cigüeñales
- bielas
- manivelas
- embragues
- frenos, etc.
Transmisiones Mecánicas
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Transmisiones mecánicas
cadenas correas engranajes
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Transmisión por correas
Transmisión por 
correas
Transmisión por correa con 
velocidad ajustable
Ventajas:
Permiten gran 
distancia entre centros
Funcionamiento suave 
y silencioso
Bajo coste de mantenimiento
Inconvenientes:
Potencias moderadas
Gran volumen
Peligro de DESLIZAMIENTO (asincronía)
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Transmisión por cadenas y cables
Transmisión por cadenas
TRANSMISIÓN POR CADENAS
Ventajase inconvenientes:
Permiten gran distancia entre centros
Coste y mantenimiento intermedio entre 
cadenas y engranajes
NO existe peligro de DESLIZAMIENTO.
TRANSMISIÓN POR CABLES
Ventajase inconvenientes:
Permiten mayores distancias entre centros
Coste y mantenimiento bajos
Pequeña capacidad de transmisión de potencia
Existe peligro de DESLIZAMIENTO.
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Con 
conexión 
externa
Características:
Es el modo más sencillo de transmisión de potencia de un eje 
rotatorio a otro
Movimiento transmitido por fricción
Inconvenientes
Máxima fuerza de fricción: F = µ·N
Ruedas de fricción (I)
Transmisión de 
par limitada
Con 
conexión 
interna
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Departamento de Ingeniería Mecánica
Si el par demandado requiere una fuerza 
tangencial superior a la máxima disponible: 
DESLIZAMIENTO ENTRE AMBOS CILINDROS
Desgaste
Asincronía
SOLUCIÓN:
Incorporar medios de trabamiento trasmisión por fuerza y 
forma ENGRANAJES
Ruedas de fricción (II)
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Rodadura pura + relación de transmisión constante los perfiles sólo 
pueden ser dos circunferencias
(a) Transmisión entre ejes paralelos:
Cilindros de fricción:
Externos
Internos
Si no hay deslizamiento
Ruedas de fricción (III)
2
2 2
11
1
v
ri v
r
ω
= =
ω
1
1 2
2
rv v i
r
= ⇒ =
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(b) Transmisión entre ejes que se 
cortan:
CONOS de fricción
(c) Transmisión entre ejes que se 
cruzan:
HIPERBOLOIDES de fricción
NO hay rodadura, pero las superficies 
son siempre tangentes entre sí
Ruedas de fricción (IV)
1
2
ri
r
=
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Ventajas:
Es el método más sencillo de transmisión de potencia de un eje a otro
Inconvenientes:
Máxima fuerza de fricción: F = µ·N
Si el par demandado requiere una fuerza tangencial superior a la
máxima disponible: DESLIZAMIENTO ENTRE AMBOS CILINDROS
Desgaste
Asincronía
SOLUCIÓN:
Incorporar medios de trabamiento trasmisión por fuerza y forma 
ENGRANAJES
Ruedas de fricción (V)
Transmisión de 
par limitada
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Tipos de engranajes
•Rectos – externo
– interno
•Cónicos rectos
•Cónicos helicoidales
•Zerol
•De corona y piñón cilíndrico
•Helicoidales cruzados
•De Sinfín Cavex
•De sinfín envolvente
•Hipoidales
•Espiroide
•Helicon Beveloid
– Simples
– Dobles
– De esqueleto 
de pescado 
(herringbone)
•Helicoidales
Ejes paralelos 
(engranajes cilíndricos)
Ejes que se cortan 
(engranajes cónicos)
Ejes que se cruzan en 
el espacio (engranajes 
hiperbólicos)
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Engranajes cilíndricos de dentado recto
Transmiten movimiento entre ejes paralelos
(a) externos: sentidos 
de giro opuestos
(b) internos: sentidos 
de giro iguales
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Dientes inclinados soportan carga axial engrane 
progresivo:
Menos VIBRACIONES
Menos RUIDO
En (b) y (c) están compensadas las componentes axiales 
de los esfuerzos
Engranajes cilíndricos de dentado oblicuo
(a) simple
(b) doble
(c) Herringbone
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Engranajes cónicos
Transmiten par y velocidad entre ejes que se cortan
(a) Cónico rectos
(c) zerol
(b) Cónico helicoidal
(d) De corona y piñón recto
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Engranajes hiperbólicos
Transmiten par y velocidad entre ejes que se cruzan en 
el espacio.
(a) Helicoidal 
cruzado
(b) De sinfín-corona
(c) De sinfín 
cavex
(d) De sinfín 
evolvente
(e) hipoidal
(f) helicon
(g) Beveloid
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Generación efectiva de los flancos de 
de los dientes
Procesos de mecanizado:
Fresado
Cepillado
Cortador en forma de cremallera
Cortador en forma de piñón
Formado con sinfín
Procesos de acabado:
Cepillado
Bruñido
Esmerilado
Pulido
Otros métodos:
Fundición
Extrusión
Estampación
Sinterizado, etc
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Fresado (I)
La herramienta (fresa) tiene la forma del hueco 
entre dientes
Inconvenientes: la herramienta sólo sirve para 
ruedas del mismo 
diámetro y 
módulo
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Fresado (II)
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Cepillado (I)
Útil en forma de cremallera:
La herramienta es una cremallera del mismo módulo que la 
rueda a tallar.
El corte se debe al movimiento de vaivén de la herramienta en 
la dirección del eje de la rueda
Se enfrenta la herramienta a un disco de radio ra.
La herramienta penetra hasta que 
su línea media es tangente a la 
circunferencia primitiva de referencia
Se gira ligeramente el disco y se 
desplaza la cremallera como si 
estuvieran engranando
Cuando se ha cortado un diente se 
reposiciona la cremallera
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Cepillado (II)
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Cepillado (III)
Útil en forma de piñón:
La herramienta es una contrarrueda
El procedimiento es semejante al 
anterior
Ventajas:
Permite generar 
ruedas internas
No hay problemas
de imprecisión por 
reposicionamiento
de la herramienta.
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Cepillado (IV) 
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Cepillado (V)
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Conformado sin fin
El cortador tiene forma de tornillo sinfín
Los dientes son rectos como los de una cremallera, 
pero el sinfín no tiene que girar para cortar 
dientes rectos.
Ventajas:
Gran precisión, 
por no tener quereposicionar la 
herramienta
Es el método más 
usado.
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P
VA3
VA2
Tangente 
de contacto
Palancas rodantes (I)
(a) Condición de contacto 
permanente
Los perfiles NO deben 
penetrar ni separarse
Las componentes normales 
de VA1 y VA2 han de ser 
iguales
n n
A1 A2v v=
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2 1A A2
1 2 1
V V
i
O A O A
ω
= =
ω
1 2
'
1 1
nA nA 1 2 '
2 2
O NV V AN AN i
O N
= ⇒ = ⇒ =
1
1
2
2
A' 1
1 1 A 1 '
1 1 1 2 1
' '
A' 2 2 2 12
2 2 A 2 '
2 2 2
V ANO A N semejante a V N A
O A O N AN ANi
V O N O NANO A N semejante a V N A
O A O N
⎫
− − − − = ⎪
⎪ =⎬
⎪− − − − = ⎪
⎭
Palancas rodantes (II)
(b) relación de transmisión 
constante
Por la condición de contacto 
permanente
' ' 1
1 1 2 2
2
O PO N P semejante a O N P i cte
O P
− − − − ⇒ = =
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Palancas rodantes (III)
La normal común y la línea de centros se cortan en un 
punto fijo P.
Los perfiles que cumplen esta condición se llaman PERFILES 
CONJUGADOS
(c) Condición de rodadura pura:
Deslizamiento: diferencia de velocidades 
tangenciales
Habrá RODADURA PURA si las componentes 
tangenciales de VA1 y VA2 son iguales.
Como 
El contacto se produce sobre la línea de centros
( )t tA1 A2v v−
t t
A1 A2
A1 A2n n
A1 A2
v v
contacto permanente v v
v v
⎫=
⇒ ⇒ =⎬= ⎭
A1 1 A2 2 1 2v OA y v O A O ,O yAestan alineados⊥ ⊥ ⇒
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Perfiles conjugados (I)
Transmisión del movimiento con relación constante 
de velocidades angulares
OBJETIVO: Evitar deslizamientos entre elementos 
rodantes
SOLUCIÓN: Incorporar dientes de cualquier forma.
Engranajes primitivos (200 a.c.): Ruedas giratorias 
de madera a las que se fijaban elementos de 
formas rudimentarias (molinos de viento, ruedas 
hidráulicas, relojería, etc.)
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Aparición del motor de vapor ( ≈ 1750 ):
Se transmiten mayores pares y velocidades
Las transmisiones NO uniformes provocaban 
fuertes choques entre dientes y los destruían
Surge la necesidad de obtención de dientes que 
proporcionen transmisión con relación constante 
de las velocidades angulares de entrada y salida
PERFILES CONJUGADOS
Perfiles conjugados (II)
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Perfiles conjugados empleados 
en engranajes
En teoría pueden emplearse cualquier pareja de 
perfiles conjugados.
Por consideraciones prácticas, sólo se emplean dos 
tipos de perfiles conjugados:
Perfil cicloide:
Fue el más empleado en la Revolución industrial hasta principios
de siglo XX, pero hoy día sólo se utiliza en mecanismos de 
relojería.
Perfil de Evolvente de Círculo:
En la actualidad es el perfil de uso universal, salvo en relojería y 
bombas de paletas. Presenta las siguientes ventajas:
Versatilidad a la hora de diseñar
Otras características inherentes a su geometría que se verán 
más adelante
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Generación de perfiles conjugados
Para cualquier perfil que se de a los dientes de una 
rueda, siempre existe un perfil para los de la otra 
que es conjugado del primero.
Método de generación:
Se hace rodar una circunferencia 
sobre la otra
La evolvente de las posiciones 
de un diente es el perfil del diente 
conjugado.
Este método es la base de la 
talla de perfiles por generación
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Método de generación
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Método de generación
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Perfil de evolvente (I)
Definición:
“curva generada por un punto fijo de una recta que 
rueda sin deslizar sobre una circunferencia llamada 
circunferencia básica”.
Es la curva que trazaría una cuerda tensa al 
desenrollarse de un cilindro.
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Perfil de evolvente (II)
Propiedades:
El cordel es tangente 
a la circunferencia
El centro de curvatura 
es el punto de 
tangencia del cordel y 
la circunferencia base
La evolvente es 
siempre normal al 
cordel.
Normal al perfil 
de evolvente y 
tangente a la 
circunferencia 
base
Perfil de 
evolvente
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Transmisión uniforme con 
dientes de evolvente
Al hacer girar los carretes en sentidos opuestos, el 
punto P del hilo traza una evolvente en cada cilindro
C’
Propiedades de la transmisión:
El contacto se produce sobre la 
tangente común a las 
circunferencia base, , 
llamada línea de engrane.
es la normal común en el 
punto de engrane P
es única → corta a la línea 
de centros en un punto fijo →
relación de transmisión constante
1 2TT
1 2TT
1 2TT
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Dientes de evolvente
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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Ley fundamental del engrane
La relación de transmisión debe ser constante
La normal común a los perfiles de los dientes, en 
todos los puntos de contacto dentro del segmento 
de engrane, debe pasar por un punto fijo de la 
línea de centros, llamado punto primitivo.
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Ley fundamental de engrane
Evolvente → Longitud 
recorrida por el punto de 
contacto sobre la línea de 
engrane es igual al arco 
girado por las 
circunferencias básicas.
Como
Así pues
1 1 2 2PP' QQ ' Q Q '= =
bQQ' r= α ⋅
1 2b1 b2
b11
1 2b1 b2
2 b2
r r
rt r t r
r
α ⋅ = α ⋅
ω
ω ⋅ ∆ ⋅ = ω ⋅ ∆ ⋅ ⇒ =
ω
b11
2 b2
ri cte
r
ω
= = =
ω
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Nomenclatura. Pareja de ruedas (I)
a) Pareja de ruedas
Piñón: rueda dentada de menor 
diámetro
Rueda: rueda dentada de mayor 
diámetro
Circunferencia base (rb): 
circunferencias a partir de las cuales se 
generan los perfiles de evolventes
Línea de centros: línea que une los 
centros, O1 y O2 de las dos 
circunferencias básicas
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Línea de engrane, : tangente común a las circunferencias 
básicas. Sobre ella se produce el contacto entre los dientes.
Punto primitivo C’ : punto de intersección de la línea de 
engrane con la línea de centros
Circunferencias primitivas de funcionamiento (r’):
circunferencias de las teóricas ruedas de fricción a las que se 
han incorporado dientes. Su radio es tal que el movimiento de 
rodadura entre ambas tendría lugar en el punto primitivo C’.
Ángulo de presión de funcionamiento (α’): ángulo que forma 
la línea de presión con la tangente común a las 
circunferencias primitivas por el punto C’.
Nomenclatura. Pareja de ruedas (II)
1 2TT
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Nomenclatura. Rueda aislada (I)
b) Rueda aislada:
Circunferencia primitiva de referencia (r) y 
ángulo de presión de referencia α’ : estos 
parámetros se emplean para referir a ellos las 
magnitudes geométricas de una rueda aislada. 
La circunferencia primitiva de referencia sería 
aquella a la que le correspondería un ángulo 
de presión de referencia que está normalizado 
a 14.5, 20 y 25º, siendo el de 20º el valor más 
habitual.
b1 1
b
2b2
r rr r cos i
r r
= ⋅ α ⇒ = =
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Número de dientes de la rueda z
Paso p:distancia entre puntos homólogos de dos perfiles 
consecutivos de una misma rueda, medida sobre la circunferencia 
primitiva de referencia.
Para que dos ruedas engranen deben tener el mismo paso.
Módulo m: cociente entre el diámetro primitivo de referencia y el 
número de dientes.
Dos ruedas engranan si tienen el mismo módulo.
Paso diametral (diametral pitch), dp: cociente entre el número de 
dientes y el diámetro primitivo de referencia expresado en pulgadas.
2 rp
z
π
=
p2rm
z
= =
π
11 1
2 2 2
mz 2r zi
r mz 2 z
= = =
zdp
2 r(pulgadas)
=
⋅
Nomenclatura. Rueda aislada (II)
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Nomenclatura. Dentadura (I) 
c) Dentadura:
Circunferencia de cabeza (ra):circunferencia que limita los dientes 
por su parte superior
Circunferencia de pie (rf): circunferencia que limita el hueco entre 
dientes por su parte inferior. El hueco debe ser suficientemente
profundo para dejar pasar la cabeza de los dientes de la otra 
rueda.
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Altura de cabeza o adendo, ha : distancia radial entre la 
circunferencia primitiva y la cabeza del diente.
Altura de pie o dedendo, hf: distancia radial entre la raíz del diente y 
la circunferencia primitiva
Altura total, h: suma de la altura de cabeza y la de pie
Holgura o juego circunferencial: hueco que dejan al acoplar una 
pareja de dientes. Necesaria para permitir la deflexión de los 
dientes, el paso del lubricante y la expansión térmica
Huelgo o juego en cabeza, c: hueco que dejan una pareja de 
dientes al engranar, entre la cabeza del diente y el fondo del 
espacio interdental de la rueda conectada. Suele valer:
Altura de trabajo hw: diferencia entre la altura total del diente y el 
juego. 
a fh h h= +
c 0.25 m= ⋅
Nomenclatura. Dentadura (II) 
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Espesor s : Espesor del diente, medido sobre la circunferencia 
primitiva
Hueco e: hueco entre dientes, medido sobre la circunferencia 
primitiva.
Se cumple que
cara: parte de la superficie del diente que queda entre la 
circunferencia primitiva y la de cabeza
Flanco: parte de la superficie de un diente que queda entre la 
circunferencia primitiva y la de pie
Altura de flanco b: anchura del diente medida en dirección paralela 
al eje.
2 r mzs
2 2
π π
= =
me s
2
π
= =
p e s= +
Nomenclatura. Dentadura (III) 
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b 0
0
b
r r cos
r r cos
= ⋅ α ⎫
⇒ α = α⎬= ⋅ α ⎭
Perfil de referencia normalizado
Las dimensiones del perfil de referencia y de la 
herramienta asociada a él están normalizadas
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Perfil de referencia (I)
Cremallera de referencia:
Útil de corte ficticio que se emplearía para generar los dientes
de un engranaje con dimensiones normalizadas.
Perfil de referencia:
Sección normal de la cremallera de referencia.
Se emplea para definir las dimensiones normalizadas del 
dentado.
Perfil de referencia del dentado
Perfil de referencia de la herramienta
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Penetración e interferencia (I)
La evolvente NO puede extenderse por debajo de su circunferencia
base.
Si la herramienta penetra en el círculo básico ⇒ PENETRACIÓN del 
diente ⇒ menor resistencia mecánica
La porción de diente que queda por debajo NO tiene perfil de evolvente 
e interfiere con la cabeza del otro diente ⇒ INTERFERENCIA entre 
dientes.
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Penetración e interferencia (II)
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Número límite de dientes (I)
OBJETIVO: evitar la penetración
Situación límite de penetración:
La cabeza de la herramienta sale tangencialmente al flanco que 
acaba de generar, y no lo daña.
El extremo del flanco de la herramienta NO debe sobrepasar el 
punto T, pues allí la velocidad relativa de la herramienta y el diente 
es tangente a ambos.
Si el extremo de la 
cremallera se extiende 
más allá de T, su 
velocidad no es tangente 
al flanco del diente, y 
penetra en él.
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Número límite de dientes (II)
Como y :
Para , el número límite de dientes es:
2rm
z
= br r cos= α
20ºα =
2 2
2 2
2
2r 2r r cos 1 cos
z z
2 2 21 cos sen z
z z sen
− ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒
≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥
α
No obstante, si 
z>14, la penetración 
es muy poco 
importante, y en la 
práctica se admite:
lim2
2z 17 z 17
sen 20º
≥ ≈ ⇒ =
limz 14=
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Procedimientos de talla para evitar la 
penetración
Objetivo:
Evitar la penetración en ruedas con menos de 14 dientes.
(a) variación del ángulo de inclinación del flanco de 
la cremallera:
Sigue siendo válida la expresión anterior:
0 20ºα > α =
1 12 2 2
0 0
1 1
2 2 2z ' z ' z
sen sen sen
z ' z
≥ ⇒ = < = ⇒
α α α
<
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(b) Dentado rebajado:
Se emplea cremallera con alturas de pie y de cabeza inferiores a las 
normalizadas.
Como y :
El número límite de dientes es:
Como en el caso anterior, la cremallera no está normalizada.
Procedimientos de talla para evitar la 
penetración
ao
2
b
h my (y 1)
r my r cos
= <
− ≥ α
2rm
z
= br r cos= α
2 2
2 2
2
2r 2yr y r cos 1 cos
z ' z '
2y 2y 2y1 cos sen z '
z ' z ' sen
− ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒
≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥
α
1 1 1 12 2
0
2y 2z ' z z ' z
sen sen
= < = ⇒ <
α α
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(c) desplazamiento en la talla:
La línea media de la herramienta se desplaza una cantidad +xm
hacia el exterior de la circunferencia primitiva.
Como 
y :
Como para poder cortar debe ser x<1:
Esta talla se llama talla a +V
Procedimientos de talla para evitar la 
penetración
b
b
r xm m r cos
r (1 x) m r cos
+ − ≥ α ⇒
⇒ − − ⋅ ≥ α
2rm
z
=
br r cos= α
2 2
2 2
2
2r 2(1 x)r (1 x) r cos 1 cos
z ' z '
2(1 x) 2(1 x) 2(1 x)1 cos sen z '
z ' z ' sen
−
− − ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒
− − −
≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥
α
La herramienta SI está normalizada
1 1 1 12 2
0
2(1 x) 2z ' z z ' z
sen sen
−
= < = ⇒ <
α α
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Cálculo del factor de desplazamiento 
en ruedas talladas a V
Según se ha visto
Se sabe, sin embargo, que en la práctica se puede trabajar 
con un número límite de dientes inferior al calculado, por lo 
que se toma:
2
1 12
1 1 1 1
1 12
2(1 x) senz ' (1 x) z '
sen 2
z ' z ' z z 'x 1 12 z z
sen
− α
= ⇒ − = ⇒
α
−
= − = − =
α
14 z 'x
17
−
=
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Ruedas talladas a cero y ruedas 
talladas a V
Atendiendo a la forma en que se realiza la talla, las 
ruedas se clasifican en:
RUEDAS A CERO (rueda normal): la línea media de la 
herramienta de talla es tangente a la circunferencia 
primitiva de referencia
RUEDAS A V (con desplazamiento): la línea media del 
perfil de referencia se desplaza respecto a la 
circunferencia primitiva una cantidad V=mx, contada 
positivamente hacia el exterior (rueda V+) y 
negativamente hacia el interior (rueda V-)
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Montaje de engranajes
Según el tipo de montaje, los engranajes se 
clasifican en:
Engranajes montados a cero: las circunferencias 
primitivas y de funcionamiento coinciden con las 
de referencia.
Engranajes montados en V: las circunferencias 
primitivas de referencia NO coinciden con las de 
funcionamiento.
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(a) engranajes montados a cero con ruedas 
talladas a cero:
Las dos ruedas tienen más de 14 dientes
(b) engranajes montados a cero con ruedas 
talladas en V: 
Una rueda tiene más de 14 dientes y la otramenos, y su 
suma es mayor de 28
Se tallan las ruedas con x1=x2
(c) engranajes montados en V con ruedas talladas 
en V:
Los dientes de ambas ruedas suman menos de 28
Las ruedas se tallan con desplazamientos diferentes
Montaje de engranajes
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La función evolvente
Por las propiedades de la evolvente de círculo
La función recibe el nombre de función evolvente
*
b b b b
EB AB AE AP AE tg
r r r r
−
α = = = − = α − α
tgα − α
*Ev( ) tg Ev( )α = α − α ⇒ α = α
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Cálculo de espesor del diente
Espesor de una circunferencia de radio rx
Por semejanza
Por las propiedades de la evolvente
Análogamente
Sustituyendo en (1)
Necesitamos conocer el valor de
( )x x xx
x b b b
s 2 EC r rs 2 EC 2 CB EB (1)
r r r r
= ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
( ) ( )
*
x x
b x*
b x
Ev
EB r Ev
Como : EB r
⎫α = α ⎪ ⇒ = ⋅ α⎬
= ⋅α ⎪⎭
( )bCB r Ev= ⋅ γ
( )
( )
x
x b b x
b
x x x
rs 2 r Ev( ) r Ev( )
r
s 2 r Ev( ) Ev( ) (2)
= ⋅ ⋅ γ − ⋅ α ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ γ − α
( )Ev γ
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Departamento de Ingeniería Mecánica
Cálculo del espesor del diente
El espesor en la circunferencia primitiva de 
referencia, s’, se mide en la cremallera y vale:
Aplicando la ec. (2) a la circunferencia primitiva de 
referencia:
Sustituyendo en la ec. (2) queda:
s' s 2 s
m ms s' 2 x m tg
2 2
s tg s x m tg
xm
⎫
⎪= + ∆
⎪π ⋅ π ⋅⎪= ⇒ = + ⋅ ⋅ ⋅ α⎬
⎪
∆ ⎪= α ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ α ⎪⎭
( ) ( )m m2 x m tg 2 r Ev Ev 2 x m tg m z Ev Ev
2 2
2r mz 2xComo : m r Ev tg Ev
z 2 2z z
π π⎫+ ⋅ ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ γ − α + ⋅ ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ γ − α ⇒⎪⎪ ⇒⎬ π⎪= ⇒ = ⇒ γ= + ⋅ α + α
⎪⎭
x x x
2xs 2 r tg Ev Ev
2z z
π⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α⎢ ⎥⎣ ⎦
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Distancia entre ejes de 
funcionamiento
Distancia entre ejes de funcionamiento a’:
Suma de los radios primitivos de funcionamiento.
Como:
Sustituyendo
0 1 2a r ' r '= +
b
b
r r ' cos ' cosr ' cos ' r cos r ' r
r r cos cos '
= ⋅ α ⎫ α
⇒ ⋅ α = ⋅ α ⇒ = ⋅⎬= ⋅ α α⎭
( )0 1 2
cosa r r
cos '
α
= + ⋅
α
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Distancia entre ejes de 
funcionamiento
(a) engranajes a cero:
Como:
(b) engranajes en V sin holgura circunferencial:
Sobre las circunferencias primitivas de funcionamiento:
Suma del espesor de los dientes = paso
Paso circunferencial sobre circunferencia primitiva de 
funcionamiento:
0 1 2' a r rα = α ⇒ = +
2 r 'p ' 2 cosz p' r
cos z cos 'r ' r
cos '
2 mz coscomo r mz 2 : p'
z 2 cos '
π ⎫= ⎪ π α⎪ ⇒ = ⋅ ⋅⎬α α⎪= ⋅
⎪α ⎭
π α
= = ⋅ ⋅
α
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Espesor de los dientes sobre la circunferencia primitiva de 
funcionamiento.
Distancia entre ejes de 
funcionamiento
( )
1 2
2xs' 2 r ' tg Ev Ev '
2z z
como :
cos mz cos mz cos 2xr ' r s ' 2 tg Ev Ev '
cos ' 2 cos ' 2 cos ' 2z z
cosm 2x tg z Ev Ev '
cos ' 2
igualando p' con s' s ' queda :
cos cosm m
cos ' c
π⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α⎢ ⎥⎣ ⎦
α α α π⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α =⎢ ⎥α α α ⎣ ⎦
α π⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + ⋅ α − α⎢ ⎥α ⎣ ⎦
+
α α
π ⋅ = ⋅
α
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 x x tg z z Ev Ev '
os ' 2
2 x x tg ' z z Ev Ev ' 0
x xEv ' 2 tg Ev ' a '
z z
π⎡ ⎤+ + ⋅ α + + ⋅ α − α ⇒⎢ ⎥α ⎣ ⎦
⇒ + ⋅ α + + ⋅ α − α = ⇒
+
α = ⋅ ⋅ α + α →α →
+
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Distancia entre ejes de 
funcionamiento
(c) engranajes en V sin holgura 
radial:
La línea media de la cremallera 
de referencia de la rueda 1 
coincide con la de la 2
Multiplicando y dividiendo por
como
( ) ( )
( )
0 1 1 2 2
1 2 1 2
a r mx r mx
r r x x m
= + + + =
= + + + ⋅
( )1 22 z z+
( )1 20 1 2 1 2
1 2
x x ma r r 2 z z
z z 2
+
= + + ⋅ ⋅ ⋅ +
+
( ) ( ) ( )
( )
1 2
1 2 1 2 0 1 2 1 2
1 2
1 2
0 1 2
1 2
mz m x xr z z r r a r r 2 r r
2 2 z z
x xa r r 1 2
z z
+
= ⇒ ⋅ + = + ⇒ = + + ⋅ + ⋅ ⇒
+
⎡ ⎤+
⇒ = + + ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦
m 2r z=
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Longitud de engrane
El segmento de engrane se 
puede considerar como la suma 
de dos segmentos, unidos por el 
punto primitivo.
α = +acercamiento alejamientog g g
1E P 2PE
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Coeficiente de engrane ∈
(grado de recubrimiento)
En un par de engranajes el ratio entre:
El arco de conducción (evolvente) y
El paso (circunferencia base) p 2 r´/ z= π
b bp 2 r / z m cos( ´)= π = π α
2 1E E
2 1
b
E E
p
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Arco de conducción
(circunf. Base y Circunf. Primitiva)
Es el arco girado desde el engrane y el desengrane de un 
diente.
Por las propiedades de la evolvente el arco de conducción 
es igual a la longitud de engrane.
Si el arco es medido en la circunferencia primitiva de 
funcionamiento r´, entonces
2 1E E
2 1E E gα=
2 1E´ E´ g / cos( ´)α= α
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Cálculo de la longitud de acercamiento
2 2 2
f 2 2 2 c2 2 2g E T PT R R sen( )́= − = −ρ − α
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Cálculo de la longitud de alejamiento
2 2 2
a 1 1 1 c1 1 1g E T PT R R sen( ´)= − = −ρ − α
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Longitud de engrane. Arco de 
conducción
Longitud de engrane, gα: suma de las longitudes 
de acercamiento y alejamiento
Arco de conducción, : es el arco 
correspondiente al ángulo girado al pasar de E2 a 
E1
Por las propiedades de la evolvente, el arco de 
conducción medido sobre la circunferencia básica es 
igual a la longitud de engrane.
Si se mide en circunferencia primitiva de funcionamiento 
vale:
Por semejanza de arcos:
Como y queda:
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Grado de recubrimiento o coeficiente 
de engrane
Por las propiedades de la evolvente, es el 
paso medido en circunferencia básica.
Del mismo modo, también es el paso medido 
en circunferencia básica.
Grado de recubrimiento, ε: es el cociente 
entre el arco de conducción y el paso.
Tomando ambos sobre la circunferencia básica:
La porción debida a la rueda 1 es:
Y la debida a la rueda 2 es:
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( )2 2 2 2a1 b1 a2 b2 p1 p2
C
r r r r r r sen
R
m cos
− + − − + α
=
π α
2 2 2 2
a1 b1 p1 a2 b2 p2
C
r r r sen r r r sen
R 2 r cos
Z
− − α + − − α
=
π
α
1 2 1 1 2 2
C
bb
g g TB TP T A T PR 2 rp
Z
+ − + −
= ε = =
π
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