tema3-Cinematica

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Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica 1
TEORÍA DE MECANISMOS
3.- CINEMÁTICA DE 
MECANISMOS
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica 2
Cinemática de máquinas
Estudio cinemático: determinación de
Trayectorias
Velocidades
Aceleraciones
Métodos analíticos y gráficos
Pares elementales
Rotación
Traslación
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Rotaciones (Vectores deslizantes)
Vectores deslizantes FUERZA
Vectores deslizantes ROTACIÓN
(Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas)
(Rotación, Momento de la rotación)
Velocidad
Reducción del 
sistema de 
vectores 
deslizantes en un 
punto dado.
NOTA: los vectores
deslizantes se aplican
sobre un sólido rígido
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Fuerzas (Vectores deslizantes)
Vectores deslizantes FUERZA
La reducción del sistema de vectores
Deslizantes FUERZA en un punto cualquiera P,
consiste en :
Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas,
en dicho punto P.
Posicionar el vector Suma de los Momentos de
las fuerzas respecto a dicho punto P. 
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Reducción sistema de fuerzas en un 
punto
En el punto de contacto P
El sólido rígido superior
Actúa mediante un sistema
Equivalente de vectores, 
Consistente en:
- una resultante de las fuerzas
Actuantes.
- un momento suma de los 
momentos de cada una de las
fuerzas en el punto P.
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Vectores deslizantes ROTACIÓN
La reducción del sistema de vectores deslizantes
ROTACIÓN en un punto cualquiera P, consiste en :
Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho 
punto P.
Y
Posicionar el vector Suma de los Momentos de las 
rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDAD DE P)
Rotaciones (Vectores deslizantes)
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El sólido rígido afectado por un sistema de rotaciones, puede 
representarse por el esquema de la figura.
Cada bastidor está bajo el efecto de 
una rotación.
Estando todos los ejes de rotación de
cada bastidor apoyados en el siguiente.
Cualquier punto P del sólido rígido está
afectado por una rotación suma de las
de cada bastidor.
Cualquier punto P del sólido rígido está
afectado por el momento suma de todas
las rotaciones, es decir su velocidad. w4
SÓLIDO RÍGIDO
w1
w3
w2
Rotaciones (Vectores deslizantes)
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Movimiento general de un sólido rígido
El sistema de referencia (SF) es fijo
P 0V V OPω= + ∧
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Movimiento general en el plano
P 0V V OPω= + ∧
IV 0=
P IV V I P= + ∧ω
Sólido 
rígido
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Cinemática
Ecuaciones Mecánica
(dado un SF, SM)
Relaciones vectoriales
(A, B Є a un sólido rígido SR)
(Dado un SF, y un SM asociado al SR)
ABS ARR REL
ABS ARR REL
ABS ARR REL COR IOLIS
r =r +r
v =v +v
a a a a= + +
REL
REL COR IOLIS
REL REL COR IOLIS
A AB B
A AB B
A AB B
r =r +r
v =v +v +
+
v
+
0 0
+
v 0, ,
a a
a
a aa
a =
=
= =
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Ecuaciones Mecánica
(dado un SF, SM)
Relaciones vectoriales
(A, B Є a un sólido rígido SR)
(Dado un SF, y un SM asociado a un 
punto del SR y // al SF)
ABS ARR REL
ABS ARR REL
ABS ARR REL COR IOLIS
r =r +r
v =v +v
a a a a= + +
COR IOLIS
COR IOLI
A AB B
A B AB
A
AB
S
B
r =r +r
v =v + +
+
0 2
v
+
+ +
 
( ) 
, v 0
AB
AB AB
rel
a
a a
a
a
r
dr r
dt
ω
ω ω
ω ω
ω
=
=
×
× × ×
= × =
Cinemática
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Cinemática de un eslabón
Pegados al eslabón en estudio en el punto 
C y paralelos al sistema fijo en todo 
momento
31M
(absoluto)
Movimiento absoluto 
del eslabón 3 
respecto a los ejes 
fijos ligados al 
eslabón 1
3CM
(relativos)
Rotación 
alrededor 
de C
Movimiento absoluto 
del eslabón 3 
respecto a los ejes 
fijos ligados al 
eslabón 3C1M
Movimiento del punto C del 
eslabón 3 respecto a los ejes 
fijos ligados al eslabón 1(arrastre)
31 3C C1v v v= +
Rotación de 
3 sobre C
Velocidad de un punto 
genérico del eslabón 3
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
Corral, UPM, Madrid 1992 
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31 3C C1a a a 0= + +
TIERRA
≡ eslabón
Aceleración en un eslabón (1)
Si localizamos los ejes móviles pegados a un punto 
C del propio eslabón, y mantenemos el SM 
paralelo al SF
31 3 1 COR IOLISa a a aC C= + +
Interpretación:
31
CORIOLIS SM 3C
a ROT TRAS
a 2 V 0
= +
= ⋅ ∧ ≡ω
0
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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Aceleración en un eslabón (2)
≡ eslabón
31 32 21 COR IOLISa a a a= + +
ABS ARR REL COR IOLISa a a a= + +
ABS ARR RELv v v= +
“Cinemática y dinámica de 
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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Técnicas de determinación de velocidades
1. Método de proyección o componente axial
2. Método de las velocidades giradas
3. Cinema de velocidades
4. Método de las velocidades relativas
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1. Método de proyección
AB
A,B
AB v 0cte= ⇒ =
SF
A B
AB AB
v v=
Dado y la dirección de conocemosAv Bv ⇒ Bv
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2. Método de las velocidades giradas (I)
Técnica gráfica de cálculo de velocidades
Datos: Incógnita:CC, v y A Av
1. Giramos 90º sentido obtenemos C’
2. Obtenemos A’, siendo
3. Giramos 90º en sentido contrario a el segmento 
obteniendo
ESLABON Cvω
CA || C'A'
ESLABONω A A'
Av
B
A
VA
VB
AB
Is
A'
B'
S
ωs
C
C'
VC
ISC
Cinema de 
velocidades de 
ABC (abc)
Eslabón
o
c
a
b
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A
N
v A'
N' N'' v NN''
→
→ → ≡
Cálculo de A
M
v A'
M ' M '' v MM''
→
→ → ≡
Cálculo de 
Nv Mv
Cínema de 
velocidades de los 
eslabones:
2
4
O A oa
O B ob
AB ab
→
→
→
2. Método de las velocidades giradas (II)
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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3. Cínema de velocidades (I)
Sea un eslabón y su CIR en un instante dado.
Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector 
posición 90º en el sentido de la rotación del eslabón y 
haciendo una expansión o contracción de factor ω.
Si lo realizamos para todos los puntos eslabón se obtendrá, 
posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de 
velocidades (puntos homólogos de los del eslabón).
P
pr
CIR ω
P ∈ eslabón: P P
P P
v r
1
v r
si
k
ω
ω
= ∧
=
= ∧Vector unitario ⊥ al planok
Peslabón Pcínema
HOMOLOGÍA
90º ω
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3. Cinema de velocidades (II)
Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del 
mecanismo articulado plano para cada eslabón
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4. Método de velocidades relativas
Sean Eslabón
A AB B
A, B
v v v
∈
= +
Rotación de B 
sobre A
Traslación de B
A
B
Av
Bv
Av
Bv
ABv
AB
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Eslabón (4)
(1)
(2)
Cinema del 
punto 
auxiliar x
Cinema de velocidades deleslabón BCD
Datos:
Técnica del punto auxiliar: 
obtención de la , a partir del 
esquema de velocidades del 
eslabón (4)
Encontrar tal que
Localizar un punto de 4, por 
ejemplo C con velocidad de 
dirección conocida, de modo que 
esté localizado de manera que
Av
xv
X XB B
B BA A
X XB BA A
v v v
v v v
v v v v
⎧ = +⎪= + ⎨
= + +⎪⎩
X (4)∈
XB BAv || v BAX≡
X (4)∈
XC Cv || v
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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Velocidades relativas. Mecanismo de 
corredera
Eslabón (deslizadera) (4)
Análisis del punto C
Conocido el centro de 
curvatura de la guía por 
donde se desliza el eslabón 
(4), podemos sustituir el 
mecanismo por el 
cuadrilátero articulado: 
en C se hace el cálculo de 
3 3 2 2C C C C
v v v= +
3 2(C C )y
2 0 3O ,C ,C,O
0C
v
3 3 0 0C C C C
v v v= +
Dir.
Dir. Dir. Tg. guía
Dato
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3
O2
O4
A B
I13
2 4
1
1
Cf
Cm
VA VB
Polo de velocidades de un eslabón
CIR del eslabón (3). 
es un punto móvil
Eslabón 
biela
CIR permanentes
CIR del 
eslabón 
(2). Es 
un punto 
fijo
CIR del eslabón (4). 
Es un punto fijo
3P
Lugar geométrico 
de los puntos de la 
biela posicionados en 
el sistema fijo a tierra
Lugar geométrico 
de los puntos de la 
biela posicionados en 
el sistema móvil de la 
biela
fC
mC
describe 
la curva polar
La rodadura de la 
curva sobre 
la define el 
movimiento del 
eslabón 
fC
mC
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3
B0
A0
A B
I13
Cf
Cm
VA
VB
uA
uB
ud
u'd
u
||AA0
||BB0
t t t
t
P Plim
t
+∆
∆ →∞ ∆
Curvas polares
Velocidad de cambio de polo
tangente a la curva polar (PROPIEDAD)u⇒
t
3
P
t
CIR
en
⎧
≡ ⎨
⎩
t t
3
P
t t
CIR
en+∆
⎧
≡ ⎨ + ∆⎩
Detalle:
P mC
fC CIR del 
eslabón (3)
a d
b d
u u u
u u'
= + =
= +
Componentes 
de Euler-Savary
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Fórmula de Euler-Savary (I)
La componente de la velocidad de cambio de polo en la 
dirección paralela a la velocidad de un punto cualquiera 
del eslabón en estudio guarda relación con la velocidad 
del punto según las distancias del punto y del CIR al 
centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el 
punto.
Sea A el punto 
perteneciente al eslabón
Sea ρA el centro de 
curvatura de A
ρA
A
AC
C
CIR
Av
Au A
A
CA
CA
ACv
ICu
=
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Fórmula de Euler-Savary (II)
Relaciona:
u, , v,CIRρ
Velocidad de cambio de polo:
i i'
B B B A A A
AB B A
d CIR CIRu
t
dS d dS dv v
dt dt dt dt
ρ α ρ ατ τ
=
∆
⋅ ⋅
= = ⋅ = = ⋅
τ Vector unitario tangente
i B
i A
CIR ,B C B B
ACIR ,A C A
dS C d
dS C d
α τ
α τ
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
Componentes de
Vectores paralelos a
i i'CIR CIR
A BdS ,dS
i A
i B
CIR ,A C i
A A A
B
CIR ,B C i
B B B
A
dS C CIR
PROY. u dS u v
dt
dS C CIR
PROY. u dS u v
dt
= = = ⋅
ρ
= = = ⋅
ρ
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Velocidad del 
punto A de la 
biela 3
Velocidad 
del punto 
B de la 
biela 3
I13
Velocidad de cambio de polo
Obtención gráfica. 
Aplicación a la biela 3 de un cuadrilátero 
articulado de la Fórmula de Euler-Savary
A A 3 A, v , CIR uρ ⇒
B B 3 B, v , CIR uρ ⇒
A du u (u )= + ⊥
B du u ' (u ' )= + ⊥
Velocidad 
cambio de 
polo
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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Teorema de Kennedy (I)
CIR relativo es el punto 
en el que la velocidad 
relativa entre dos 
eslabones dados se anula
Sea un mecanismo 
articulado plano:
Sean 3 los eslabones: 
A, B, C.
Los 3 CIR relativos 2 a 
2 ESTÁN ALINEADOS
A|B B|ACIR CIR=
AB BC CAI , I , I Alineados⇒
Teorema de los tres 
centros o teorema de 
Kennedy
I13
I24 I21 I14
I23
I14
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Teorema de Kennedy (II)
Sean: A, B, C los eslabones
Sea ∆ el CIR relativo de A|B
Sea � el CIR relativo de A|C
Sea O el CIR relativo de C|B
A AO |B O |C
v v rad= ≡ α = π
∆ �
O
α
Al calcular las velocidades 
relativas respecto al 
eslabón B o C, se observa 
que son iguales, pues O es 
un punto CIR relativo
Para que sean iguales 
los tres CIR relativos ∆, �, O 
deben estar alineados
A AO |B O |C
v , v
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Cálculo de los CIR relativos usando el 
teorema de Kennedy
( )N N 1N eslabones (CIR relativos)
2
⋅ −
⇒
1. Se calculan los CIR 
absolutos (N,1).
2. Se calculan los CIR 
relativos en las 
articulaciones (N,N-1).
3. Se calculan los CIR 
relativos en las 
deslizaderas
4. Se aplica el teorema de 
Kennedy
( )guia⊥ →∞
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Escalas gráficas
Escala de longitudes
Escala de velocidades
Escala de aceleraciones
cos⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
cm grafi
cmrealα
coscm grafi
cm seg realβ
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
2βγ
α
=
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Cálculo de la aceleración en puntos pertenecientes
a un mismo eslabón (mismo SM)
B A BA
B A BA
B A BA
r r r
v v v
a a a
= +
= +
= +
d
dt
d
dt
Si A, B Є pieza sólido rígido
AB cte≡ B rota sobre A
BA
BA
BA
r
v
a
Posición de B respecto de A
velocidad de B respecto de A
aceleración de B respecto de A
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Posición velocidad y aceleración de 
arrastre
P, se mueve respecto al sistema 
móvil
El sistema móvil está 
parametrizado por la posición 
del origen del sistema móvil (O) 
y el vector de rotación ( ω ) del 
triedro móvil respecto al triedro 
fijo.
M
M
M
r
v
a
Posición relativa
velocidad relativa
aceleración relativa
SF
SM
O
ω ( )
arr 0
arr 0 M
arr 0 M M
r r
v v r
a a r r
=
= +ω∧
= +α ∧ +ω∧ ω∧
Posición, velocidad y 
aceleración de arrastre
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Estudio de la aceleración (I)
Pto A Є eslabón i
Pto B Є eslabón i
Pto C Є eslabón i+1
SM pegado al 
eslabón i que 
rota con ωi
respecto al SF
SF
SM
A B
Ci
i+1
C CA A
C CA rel A
C CA rel A CORIOLIS
C i 1, r r r
v v v v
a a a a a
∈ + = +
= + +
= + + +
B BA A
B BA A
B BA A
B i, r r r
v v v
a a a
∈ = +
= +
= +
B rota sobre 
A con ωi
C rota sobre 
A con ωi
Rotación 
SM
C CA arr CORIOLISa a a a= + +
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Caso de movimiento circular
Aceleración de los puntos A y B Є pieza
Estudio de la aceleración (II)
2
t na a= ρ⋅α = ω ⋅ρ
d
dt
ω
cte
B A BAv v v= +
B A BAa a a= +
A
B
Av
BAω
Rotación 
sobre A
Rotaciónarrastre
CORIOLIS
arr
a 0
v 0
=
=
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Ejemplos: Manivela
A Oa a=
A A
AO
C AO t n
a
C O a a a
+
≡ ⇒ = +
AO AOAO t n
a a a= +
Coincide el CIR = O
Coincide el polo = O 
de aceleraciones 
En general, los puntos del sólido con velocidad nula (CIR) y 
aceleración nula (polo de aceleraciones) son distintos 
CIR Poloaceleraciones≠
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Aceleración del polo del cínema de 
velocidades
A
I
POLO 
VELOCIDAD
I I ' I ''
a a
0
→ →
≠
A I AIa a a= +
I no es un punto 
singular en cuanto a 
aceleraciones
{ }A B BA Aa a a , ,a= + ω α
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Polo de aceleraciones (I)A I AI Ia a a (a 0 en general); A, I CIR= + ≠ ≡
A B BAa a a ; A, B= +
P A Pa 0 a a∃ = → = APa+
A APa a=
Si conocemos P, el 
cuerpo se comporta 
como un sólido 
rígido en rotación 
pura en ese instante
Modelo de 
comportamiento 
del eslabón en el 
instante t en 
cuanto a 
aceleraciones XPa
P POLO DE ACELERACIONES≡
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Polo de aceleraciones (II)
A
B
Aa
Ba
θ
θ
Polo 
aceleración
( )PP eslabon a 0∈ ≡ =
A AP
B BP
a a
a a
=
=
APa Aceleración relativa de A alrededor de P, con ω y α
del eslabón
eslabón
(A, B,C) (a, b,c)→
Cinema de aceleraciones
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Aceleración normal
Construcción gráfica del vector aceleración normal 
relacionado con una rotación (pura)
Centro 
de 
rotación
Teorema del cateto Teorema de la altura
c
h
m n
2h m n= ⋅
( )2c m m n= ⋅ +
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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Obtención de la aceleración
Obtención de la aceleración de un punto cualquiera del eslabón a partir 
de la aceleración en A:
B B|A Aa a a= + donde se obtiene la aceleración a partir de la cinemática 
relativa de B respecto de A
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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ejemplo
Datos: es decir, conocemos 
la secuencia gráfica sería:
1. Obtención gráfica de
2. Cinema del eslabón 2
3. Obtención gráfica de
4. Obtención gráfica de a partir de 
y 
5. Obtención gráfica de
AA t
v ,a
2 2,ω α
An
a
B|An
a
Aa
An
a A
ta
Bn
a
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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ejemplo
AA t
datos v , a
Cinema de 
velocidades del 
eslabón 3
Cinema de 
velocidades del 
eslabón 5
Obtenemos conjuntamente 
con y tenemos el cinema de 
aceleraciones del eslabón 3 y 
obtenemos 
Ba
Aa
Ca
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de 
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Análisis de aceleraciones (I) 
Piezas en contacto deslizante
En piezas articuladas
En piezas con contacto deslizante
P
1 2
articulación
P 1 o 2∈ (1) ( 2)
(1) ( 2)
P P
P P
a a
v v
=
=
1
2
3
SM P 1, 2∈Se conoce la 
dirección de la 
velocidad 
relativa
(1) ( 2)
(1) ( 2)
P P
P P
v v
a a
≠
≠
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(3)A
v (1)Av
(SM )A
v
Análisis de aceleraciones (II)
Considero y enclavo en él el A 1∈ ( )1 1SM ,ω α
(abs ) (arr ) ( rel )SM
(3) (1) (SM )
A A A
A A A
v v v
v v v
= +
= +
1
13 2
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dir arrn
dir arrt
SM
Cálculo de aceleraciones (III)
Cálculo de Aa
3 A AA O n t
a a a a (1)= + +
A A
2
A
n t 3
3
va a dir O A
O A
= ⊥
A arr rel cora a a a (2)= + +
1arr O
a a=
arr arrn t
rel 1
cor 1 r 1 r
a a
comosi A 1
a || O P
a 2 v ( O P y v )
+ +
∈
= ⋅ω ∧ ⊥ ⊥
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Cálculo de aceleraciones (IV)
(1) (2) (3) (4) (5)→ → → →Secuencia de cálculo
o
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
arrn
a
An
a At
a
cora
arrt
a
rel 1dir a || O P
1|| O P
3|| O A
At
dir a